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第四章 因式分解
4.2提取公因式
《提取公因式》是浙教版初中数学七年级下册第四章第二节的内容，本节课是因式分解这一章节的重要基础方法．因式分解在初中数学代数知识体系中占据关键地位，它是对整式运算的进一步深化，同时也是后续学习分式运算、解方程（特别是一元二次方程）以及二次函数等知识的重要工具．提取公因式作为因式分解最基本、最常用的方法，为后续学习其他因式分解方法，如运用公式法、分组分解法等奠定了基础．通过提取公因式，能将多项式化简，使复杂的数学问题变得更加简单，便于学生进一步分析和解决．
学生在学习提取公因式之前，已经掌握了整式的基本运算，包括单项式的乘法、多项式的乘法等．这些知识为学生理解公因式的概念和提取公因式的方法提供了必要的基础．通过对上一节课的学习，学生对因数分解有一定的了解，并且在小学阶段学习整数的因数分解时，已经熟悉了寻找一个数的因数的方法，这与寻找多项式公因式的过程有相似之处，学生可以通过类比来理解公因式的概念．
1．熟练掌握提取公因式法分解因式的一般步骤和方法，培养学生的逻辑推理素养．
2．在运用提取公因式法简化复杂数学表达式的过程中，提升学生的数学运算素养．
3．应用提取公因式法解决实际数学问题，提升学生运用数学知识解决问题的能力，体会从特殊到一般的数学思想方法．
重点：掌握提取公因式法并加以运用．
难点：应用提取公因式法解决实际数学问题．
复习回顾
因式分解:
一般地，把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫作因式分解，有时我们也把这一过程叫分解因式．
师生活动：学生代表回答，如出现错误或者不完整，请其他学生修正或者补充，教师点评．
设计意图：通过复习因式分解的定义，为本节课深入学习提取公因式法进行因式分解及综合运用做好知识上的准备．
探究新知
活动一：探究提取公因式法的概念
观察下列多项式，它们有什么共同特点？
一般地，一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式.
如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解，这种分解因式的方法，叫做提取公因式法．
活动二：利用提取公因式法进行因式分解
把下列各式分解因式.
分析：提公因式法步骤(分三步)
第一步:确定应提取的公因式；
第二步:用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式；
第三步:把多项式写成这两个因式的积的形式．
(公因式必须时各项系数的最大公约数（当系数是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积).
解：(1)
；
(2)
活动三：利用因式分解求整式的值
已知，，求的值．
解：，
原式
方法总结：含，的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用和表示的式子，然后将，的值整体带入即可.
师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示．
设计意图：让学生使用提公因式法进行因式分解练习，加深学生对提公因式法的理解．
应用新知
例1. 把下列各式分解因式：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4)
解： (1) ；
(2) ；
(3) ；
(4)
例2． 把 分解因式．
解：
在本题中，我们把 加上括号，变形成，而不改变的值，这种方法叫做添括号．一般地，添括号的法则如下：
括号前面添 “+” 号，括到括号里的各项都不变号；括号前面添 “-” 号，括到括号里的各项都变号.
例3．已知，求的值.
解：
.
师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示，规范书写格式．
设计意图：通过典型例题巩固新知，让学生学会解题格式并思考过程，同时让学生领会提公因式法的运用方法以及需注意的问题．
课堂练习
1．添括号（填空）：
(1)；
(2) ；
(3) .
解：(1)；
(2) ；
(3) .
2．下面的因式分解对吗？如果不对，怎样改正？
(1)；
(2)；
(3)；
(4) ．
解： (1) 不对，；
(2) 不对，；
(3) 不对，；
(4) 不对，
3．已知: ，求代数式的值．
解：
师生活动：学生先独立思考，再小组交流，完善过程，学生代表板演做题的过程，然后给大家讲解，教师再总结提升．
设计意图：让学生用所学知识解决问题，加深学生对提公因式法的应用和理解，进一步掌握解题技巧，激发学生兴趣．
课堂检测
1．添括号（填空）：
(1) ；
(2) ；
(3) .
解: (1) ；
(2) ；
(3) .
2．先写出多项式各项的公因式，然后分解因式．
解：多项式各项的公因式为，
分解因式得：
3．分解因式：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) .
解：(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
4．若，求的值．
解：
.
又
．
5．化简求值：，其中 ．
解：原式
当时，原式.
6．的三边长分别为，且，请判断的形状，并说明理由．
解：整理得，，
，
或，
即或(舍去)，
是等腰三角形．
师生活动：学生先独立思考再作答．
设计意图：学生通过做题，熟练运用提公因式法解决因式分解问题，提高学生解决问题的能力．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
1．本节课你学到了什么？
2．提公因式法需要注意的事项有哪些？
设计意图：在教师的引导下，学生自主归纳，使学生对所学知识及时纳入学生的认知结构．
本节课是第四章“因式分解”的第二节《提取公因式》的内容，在教学中，多数学生掌握基础知识，但知识迁移和综合运用不足． 讲授法虽系统但互动欠缺，实例演练需优化实例选择及加强指导． 学生积极性有差异，基础薄弱者难理解原理，学优生觉练习简单．
改进措施包括优化教学内容，分层设计练习；丰富教学手段，如多媒体、小组竞赛、探究活动；强化学习评价，纳入课堂表现、竞赛成绩、作业质量等，以提升教学质量．

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