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第四章 整式的乘除
4.3用乘法公式分解因式（第2课时）
《用乘法公式分解因式》是浙教版初中数学七年级下册第三章第4节的内容.本节课主要学习利用完全平方公式对多项式进行因式分解，帮助学生掌握三项式的特殊结构特点，并能灵活运用公式解决实际问题，为后续学习分式化简、二次方程等知识奠定基础.
学生已掌握因式分解的基本方法（提公因式法、平方差公式），并熟悉整式乘法的完全平方公式.但部分学生对多项式结构的观察能力较弱，容易混淆平方差与完全平方公式.本节课将通过小组合作、典型例题辨析，强化学生对完全平方式的识别能力，提升运算准确性.
1.理解完全平方式的结构特点，掌握完全平方公式因式分解的方法.
2.能熟练运用公式分解因式，并能解决相关的化简、求值问题.
3.通过观察、归纳、合作探究，发展学生的逻辑推理能力和数学建模意识.
4.在小组活动中培养团队协作精神，通过解决实际问题增强数学应用意识.
重点：完全平方公式的结构特点及因式分解方法.
难点：准确识别完全平方式，正确处理符号.
复习回顾
回顾完全平方公式
整式乘法中， 的展开式是什么？
答：。
师生活动：学生代表回答，如出现错误或者不完整，请其他学生修正或者补充．
设计意图：通过复习完全平方公式公式，唤醒旧知，为因式分解的逆向应用做铺垫．
探究新知
活动一：认识完全平方式
观察思考：给出多项式 和 ，引导学生分析特点：
每个多项式有几项？
每个多项式的第一项和第三项有什么特征？
中间项和第一项、第三项有什么关系？
答：（1）三项
（2）这两项都是数或式的平方，并且符号相同
（3）中间项是第一项和第三项底数的积的±2倍，这样的多项式称之为完全平放式．
师生活动：学生代表回答，如出现错误或者不完整，请其他学生修正或者补充，老师及时总结．
总结：完全平方式的特点
1.必须是三项式(或可以看成三项的)
2.有两个同号的平方项
3.有一个乘积项(等于平方项底数的±2倍)
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央
活动二：完全平方式因式分解
尝试分解
分析：先变成两项的平方和平方项底数的±2倍
利用公式 或 把一个多项式分解因式的方法叫公式法．
活动三：运用公式分解因式
多项式 是否完全平方式 表示形式 含义
是
是
否 — —
是
是
是
师生活动：学生独立完成思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示，请其他学生修正或者补充．
设计意图：先辨别一个多项式是否属于完全平方式，需要学生准确的认识的完全平方式的特点，同时找到含义，有助于学生使用完全平方式分解因式，是对本节课内容的强化。
应用新知
经典例题
1.简便计算：
(1)1002－2×100×99+99 ；
(2)342＋34×32＋162.
解：(1)原式=（100－99)
=1；
(2)原式＝(34＋16)2
＝2500.
2.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值；
(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．
解：(1)原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
当a－b＝3时，原式＝32＝9.
(2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.
当ab＝2，a＋b＝5时，
原式＝2×52＝50.
3.利用完全平方公式因式分解在数学中的应用，请回答下列问题：
因式分解：______；
填空：当______时，代数式；
阅读如下材料，完成下列问题：
对于二次三项式求最值问题，有如下示例：
因为，所以，所以，当时，原式的最小值为．则代数式的最小值是______；
解：原式，
故答案为：；
，
，
，
，
当时，代数式．
故答案为：；
，
，
，
代数式的最小值是．
故答案为：；
教材例题
例3.把下列各式分解因式
(1)
(2)
(3)
解： (1)
(2) =
(3)
例4. 分解因式
分析：把看作一个整体，多项式就是一个关于的完全平方式。
解
师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示，规范书写格式．
设计意图：通过典型例题巩固新知，让学生学会解题格式并思考过程，同时让学生领会公式法分解因式时需注意的事项．
课堂练习
1.分解因式
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
解：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
2.下列多项式中，哪些是完全平方式？将完全平方式进行因式分解。
(1)
(2) 2n2-4+4mn
(3)
(4)9p2-24pq+16q5
解：（1）原式=
（2）不是完全平方式（因末项为 ）
（3）原式=
（4）不是完全平方式（因末项为 ，非平方项）
3.分解因式
(1)
(2)
解：（1）原式=
（2）原式=
师生活动：学生先独立思考，再小组交流，完善过程，学生代表板演做题的过程，然后给大家讲解，教师再总结提升．
设计意图：让学生用所学知识解决问题，加深学生对公式法因式分解的应用和理解，进一步掌握解题技巧，激发学生兴趣．
课堂检测
1.下列式子为完全平方式的是( )
A. a2+2a+b2 B. a2+2a+2 C. a2-2+b2 D. a2+2a+1.
2.分解因式x2-2x+1的最终结果是( )
A.x(x-2)+1 B. (x+1) (x-2) C. (x-1)2 D. (x+1)2
3.分解因式后结果是-(x-y)2的多项式是( )
A.-x2+2xy-y2 B. x2-2xy-y2 C. x2-2xy+y2 D. -x2-2xy-y2
4.下列分解因式错误的是( )
A. x2-y2= (x+y) (x-y) B. x2+6x+9= (x+3)2
C. x2+xy=x (x+y) D. x2+y2= (x+y)2
5.若x2- 2(k+1)x+4是完全平方式，则k的值为( )
A.1或-3 B. -1或3 C.±1 D.±3
6.已知，则代数式的值为（ ）
A．2020 B．2024 C．2021 D．2034
7.已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足：，求的取值范围．
答案：1.D 2.C 3. A 4.D 5. A 6.D
7.解：∵，
∴，
∴，
∴a-2=0，b-5=0，
解得a=2，b=5，
∵的三边长a、b、c都是正整数，5-2∴3师生活动：学生先独立思考再作答．
设计意图：学生通过做题，明白运算的顺序，正确解答，提高学生解决问题的能力．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
1．本节课你学到了什么？
2．公式法因式分解的事项有哪些？
设计意图：在教师的引导下，学生自主归纳，使学生对所学知识及时纳入学生的认知结构．
课堂上大部分学生表现出较高的积极性，主动参与提问、讨论和练习环节．但仍有少数学生较为被动，等待教师讲解，缺乏主动探索精神．后续需关注这部分学生，通过个别辅导、鼓励参与等方式激发他们的学习热情．学生在对公式的理解和运用能力上存在较大差异．部分学习能力较强的学生能够迅速掌握公式本质，灵活应对各种题型；而部分基础薄弱的学生对公式的记忆和理解存在困难，在简单题目上也频繁出错．在今后的教学中，要注重分层教学，针对不同层次学生设计不同难度的任务，满足多样化的学习需求．

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