资源简介

2024-2025学年浙教版数学八年级下学期期末复习知识串讲（优等生培优版）
第2章 一元二次方程
（思维导图+知识梳理+易错点拨+20大考点讲练+优选真题难度分层练 共80题）
讲义简介 2
思维导图指引 2
章节知识回顾梳理 2
易错考点点拨汇总 5
易错知识点01：一元二次方程的定义与形式 5
易错知识点02：解法中的易错点 5
易错知识点03：根的判别式与系数关系的误用 6
期末真题考点汇编讲练 6
期末考向一：一元二次方程 6
重点考点讲练01：由一元二次方程的解求参数 6
重点考点讲练02：一元二次方程的解的估算 7
期末考向二：一元二次方程的解法 8
重点考点讲练03：解一元二次方程--直接开平方法 8
重点考点讲练04：解一元二次方程--配方法 11
重点考点讲练05：配方法的应用 14
重点考点讲练06：公式法解一元二次方程 17
重点考点讲练07：因式分解法解一元二次方程 23
重点考点讲练08：换元法解一元二次方程 25
重点考点讲练09：根据判别式判断一元二次方程根的情况 28
重点考点讲练10：根据一元二次方程根的情况求参数 31
期末考向三：一元二次方程的应用 34
重点考点讲练11：传播问题(一元二次方程的应用) 34
重点考点讲练12：增长率问题(一元二次方程的应用) 36
重点考点讲练13：与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 38
重点考点讲练14：数字问题(一元二次方程的应用) 40
重点考点讲练15：营销问题(一元二次方程的应用) 42
重点考点讲练16：动态几何问题(一元二次方程的应用) 44
重点考点讲练17：工程问题(一元二次方程的应用) 48
重点考点讲练18：行程问题(一元二次方程的应用) 50
重点考点讲练19：其他问题(一元二次方程的应用) 52
期末考向四：一元二次方程根与系数的关系 54
重点考点讲练20：一元二次方程的根与系数的关系 54
优选真题难度分层练 57
中档题—夯实基础能力 57
压轴题—强化解题技能 63
同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，全章节知识点梳理，易错点考点点拨，期末真题考点汇编讲练，优选题难度分层训练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！
知识点梳理01：一元二次方程的有关概念
1. 一元二次方程的概念：
　　通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．
2. 一元二次方程的一般式：
　
3.一元二次方程的解：
　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
【易错点剖析】
判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.
对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．
知识点梳理02：一元二次方程的解法
1．基本思想
一元二次方程一元一次方程
2．基本解法
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
【易错点剖析】
解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解
法，再考虑用公式法．
知识点梳理03：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
1.一元二次方程根的判别式
一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即.
（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；
（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；
（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.
2.一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程的两个实数根是，
那么，.
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
【易错点剖析】
1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：
　　(1)不解方程判定方程根的情况；
　　(2)根据参系数的性质确定根的范围；
　　(3)解与根有关的证明题．
2. 一元二次方程根与系数的应用很多：
　　(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；
　　(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；
　　(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．
知识点梳理04：列一元二次方程解应用题
1.列方程解实际问题的三个重要环节：
　　一是整体地、系统地审题；
　　二是把握问题中的等量关系；
　　三是正确求解方程并检验解的合理性.
2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
3.解决应用题的一般步骤：
　　　审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
　　　设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
　　　列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；
　　　解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；
　　　答 (写出答案，切忌答非所问).
4.常见应用题型
　　数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.
【易错点剖析】
　　列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.
易错知识点01：一元二次方程的定义与形式
忽略二次项系数不为零
错误表现：将形如 ax +bx+c=0 的方程默认为一元二次方程，未验证 a≠0
示例：若方程 (k 1)x +3x=0是一元二次方程，需满足 k≠1，否则退化为一次方程。
混淆整式方程与分式方程
错误点：将分母含未知数的方程（如 ）误认为一元二次方程，正确一元二次方程必须是整式方程。
易错知识点02：解法中的易错点
1. 因式分解法（十字相乘）
错误类型：
未将方程整理成标准形式 ax +bx+c=0 直接分解。
分解后漏写解或符号错误（如 (x+2)(x 3)=0的解应为 x=-2 或 x=3 ，误写成 x=2 或 x=-3
示例：解 x 5x+6=0 ，正确分解为 (x 2)(x 3)=0 ，解为 x=2 或 x=3 ，若分解为 (x+2)(x+3)=0 则错误
2. 配方法
常见错误：
配方时未保持方程平衡（如仅给一边加上配方项）。
二次项系数非1时未先化系数为1（如 2x +4x=1需先化为 x +2x=1
示例：解 3x 6x+1=0 正确步骤：
系数化为1：x 2x=；
配方：x 2x+1=→ (x 1) =
3. 公式法
易错点：
求根公式 x=中符号错误（如漏写“-b”或分母未乘2a）=
未计算判别式 Δ=b 4ac 直接求根，可能误判根的情况。
示例：解 x 4x+5=0 ，Δ=( 4) 4×1×5= 4<0 ，方程无实根，若强行代入公式则错误。
易错知识点03：根的判别式与系数关系的误用
忽略判别式的前提条件
错误表现：使用根与系数关系（韦达定理）时，未验证 Δ≥0 导致错误结论。
示例：若方程 x +x+1=0的两根为 x1,x2，直接应用x1+x2= -1 虽代数正确，但实际无实根，讨论无意义
误判根的情况
错误点：认为 Δ>0时两根一定为正或负，忽略实际符号需结合系数分析。
示例：方程 x 5x+6=0 ，Δ=1>0 两根均为正；而 x +5x+6=0，两根均为负。
期末考向一：一元二次方程
重点考点讲练01：由一元二次方程的解求参数
【母题精讲】（20-21九年级上·四川达州·期末）关于x的一元二次方程的一个根为1，则m的值为（　　）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【思路点拨】此题考查了一元二次方程的根，把一元二次方程的根代入方程，解关于m的一元一次方程即可．
【规范解答】解：∵一元二次方程的一个根为1，
∴，
解得，
故选：C．
【训练1】（20-21八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）若一元二次方程的一个根是，则的值为 ．
【答案】
【思路点拨】本题考查了一元二次方程的根．根据一元二次方程的一个根是，把代入方程可得关于的一元一次方程，解方程求出的值．
【规范解答】解：一元二次方程的一个根是，
，
解得：
故答案为： ．
【训练2】（22-23八年级下·北京延庆·期中）若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为 ．
【答案】1
【思路点拨】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出m的值即可．
【规范解答】解：∵关于的一元二次方程的一个根为，
∴，
∴，
故答案为：．
重点考点讲练02：一元二次方程的解的估算
【母题精讲】（23-24九年级上·广东河源·阶段练习）下列表格的对应值判断方程 (,a,b,c为常数）的一个解x的取值范围是（ ）
x
A． B． C． D．
【答案】C
【思路点拨】利用，，而，，则可判断方程 (,a,b,c为常数）的一个解的范围是．
【规范解答】解：，，
，，
时，存在某个x的值，使得，
即方程 (,a,b,c为常数）的一个解的范围是．
故选：C．
【训练1】．（22-23八年级下·安徽六安·期中）根据下表的对应值，试判断一元二次方程 的一个解的取值范围是（　　）
x 1 4
0.06 0.02
A． B．
C． D．
【答案】C
【思路点拨】利用表中数据得到，于是可判断x在范围内取某一个值时，，所以得到一元二次方程的一解的取值范围．
【规范解答】解：∵当时，当时，
∴当x在中取一个值时，，
∴一元二次方程的某一个解的取值范围是．
故答案为：C．
【训练2】（20-21八年级下·山东烟台·期末）观察表格中数据，一元二次方程的一个近似解为（　　　）
x
4.67 4.61 4.56 4.51 4.46 4.41 4.35
A． B． C． D．
【答案】C
【思路点拨】根据表格中的数据，可判断代数式的值为4.61和4.56时，对应x的值为 1.12和 1.11，观察原方程可理解为求代数式的值为4.6时，对应的x的值，由此判断即可．
【规范解答】解：∵x= 1.12时，；x= 1.11时，；
∴时，对应x应满足 1.12∴原方程的近似解为： 1.117．
故选C．
期末考向二：一元二次方程的解法
重点考点讲练03：解一元二次方程--直接开平方法
【母题精讲】（24-25八年级上·广东清远·期末）如图，把两张小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一张面积为的大正方形纸片．
(1)小方形纸片的边长为 ；
(2)在（1）的条件下，设小正方形纸片的边长的值的整数部分为a，小数部分为b，求的值；
(3)若沿此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片a的长宽之比为，且面积为？若能，试求出剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不能，理由见解析
【思路点拨】本题考查算术平方根的应用、无理数的估算、无理数的混合运算和开平方的应用，
（1）先根据小正方形的面积是大正方形面积的一半求得小正方形的面积，进而求得小正方形的边长即可；
（2）结合（1）小方形纸片的边长和二次根式的运算得到小正方形纸片的边长的值的整数部分为，小数部分为，代入代数式计算即可；
（3）设长方形的长和宽分别是和．根据剪出的大长方形的面积列方程求得长方形的长，再与大正方形的边长进行比较即可求解．
【规范解答】（1）解：由题意得，小正方形的面积是大正方形面积的一半，
∴小正方形的面积为，
设小正方形的边长为a，
则，
∴（负值舍去），
故答案为：；
（2）解：由（1）小方形纸片的边长，
∵，且，
∴，
∴小正方形纸片的边长的值的整数部分为，小数部分为，
则；
（3）解：不能，理由如下：
∵长方形的长宽之比为，
∴设长方形的长和宽分别是，．
∴，
，
∵，
，
∴沿着大正方形边的方向不能裁出符合要求的长方形．
【训练1】（21-22八年级下·北京平谷·期末）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【思路点拨】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了直接开平方法．
（1）先移项得到，然后利用直接开平方法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
【规范解答】（1）解：，
，
所以，；
（2）解：，
，
或，
所以，．
【训练2】（23-24八年级下·江西南昌·期末）（1）解方程：
（2）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，请仅用无刻度的直尺，在图中画出满足条件的直线 保留画图痕迹．
【答案】（1），；（2）见解析
【思路点拨】本题考查一元二次方程的解法和无刻度直尺作图，掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键．
（1）利用直接开平法解题即可；
（2）连接交y轴于点G，则点的坐标为，过点与点G的直线即为．
【规范解答】（1）
，
，
或，
，；
（2）如图，直线即为所作；
重点考点讲练04：解一元二次方程--配方法
【母题精讲】（23-24八年级下·四川广安·期末）解方程
(1)
(2)
【答案】(1)，
(2)，
【思路点拨】本题考查了配方法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程，熟练掌握以上方法是解此题的关键．
（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【规范解答】（1）解：，
∴，
∴，即，
∴，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴，．
【训练1】（23-24八年级下·山东威海·期末）一元二次方程配方后可变形为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【思路点拨】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．
【规范解答】解：
故选A．
【训练2】（23-24八年级下·贵州毕节·期末）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．
例1：因式分解：．
解：原式．
例2：若，利用配方法求的最小值
解：．
∵，，
∴当时，有最小值1．
请根据上述阅读材料，解决下列问题：
(1)用配方法因式分解：___________；
(2)若，则的最小值为___________；
(3)已知，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【思路点拨】（1）找到常数项为一次项系数一半的平方，然后整理成完全平方公式，再运用公式法进行分解因式，即可作答；
（2）类比例题求的最小值即可；
（3）根据配方法把等式配成的形式，根据，具有非负性，，即可求出答案．
本题主要考查配方法的运用、公式法分解因式，一个数或整数的平方具有非负性和因式分解法计算与运用，合理利用配方法是解决本题的关键．
【规范解答】（1）解：依题意，，
（2）解：
，
，
的最小值为；
（3）解：，
，
，
又，，，
，，，
，，
重点考点讲练05：配方法的应用
【母题精讲】（24-25八年级上·山东滨州·期末）【阅读材料】
配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 ，配方法在解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题中都有着广泛应用．
例：求代数式的最小值．
解：，
，．
当时，的最小值为1．
【类比探究】
（1）按照上述方法，用配方法求代数式最小值；
【灵活运用】
（2）试说明：无论取何实数，二次根式都有意义．
【答案】（1）5；（2）见解析
【思路点拨】本题考查了配方法的应用、二次根式有意义的条件，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键．
（1）仿照题干所给例子求解即可；
（2）仿照题干所给例子求出当时，的最小值为5，再根据二次根式有意义的条件判断即可得解．
【规范解答】（1）解：，
，
，
当时，的最小值是5；
（2）无论取何实数，二次根式都有意义，理由如下：
，
，
当时，的最小值为5．
又，
无论取何实数，二次根式都有意义．
【训练1】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为．所以5是“完美数”．
解决问题：
（1）已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式______；
（2）已知，则______；
探究问题；
（3）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由；
拓展结论；
（4）已知实数x、y满足，求的最值．
【答案】（1）；（2）；（3）当时，S为“完美数”，理由见解析；（4）
【思路点拨】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键．
（1）把拆成两个整数的平方即可；
（2）利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出与的值，代入计算即可得解；
（3）根据S为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可；
（4）表示出，代入中，配方后利用非负数的性质求出最大值即可．
【规范解答】解：（1）由题意得：；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴；
（3）当时，S为“完美数”，理由如下：
，
∵，为整数，
∴，也是整数，
∴当时，S为“完美数”；
（4）∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，的值最大，为．
【训练2】（23-24八年级下·河北保定·期末）悦悦在学习有关配方的知识时，发现一个有趣的现象：关于x的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或1时，的值均为4：当，即或0时，的值均为7，于是悦悦给出一个定义：关于x的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称，例如关于对称．
请结合悦悦的思考过程，运用此定义解决下列问题：
(1)多项式关于______对称；多项式关于______对称；
(2)若关于x的多项式关于对称，求n的值；
(3)若整式关于对称，求实数a的值．
【答案】(1)1；
(2)
(3)
【思路点拨】本题考查了配方法的应用，能够对多项式进行配方，根据新定义判断出对称轴是解题的关键．
（1）依据题意，读懂题目，仅需配方即可得解；
（2）依据题意，由多项式，又多项式关于对称，从而可以得解；
（3）依据题意，由，进而可以判断得解．
【规范解答】（1）解：由题意，∵，
∴多项式关于对称．
∵，
∴多项式关于对称．
故答案为：1；．
（2）解：由题意，多项式，
∴多项式关于对称．
又多项式关于对称．
，
．
（3）解：由题意：得
，
∴关于对称．
又∵关于对称，
．
重点考点讲练06：公式法解一元二次方程
【母题精讲】（22-23八年级下·重庆九龙坡·期末）解方程：
(1)解一元二次方程：；
(2)解方程：．
【答案】(1)，
(2)，
【思路点拨】本题考查解一元二次方程：
（1）先移项，再利用公式法求解；
（2）利用因式分解法求解．
【规范解答】（1）解：，
整理得：，
，，，
，
，
，．
（2）解：，
，
，
或，
解得，．
【训练1】（23-24八年级下·重庆·期末）在平面直角坐标系中，有如下定义：点与图形上的动点的连线段为，当最大时，，叫点与图形的“远距”点，其长度记为．当最小时，，叫点与图形的“近距”点，其长度记为．其中．若点满足，则点叫点与图形的“中距”点．已知矩形的坐标分别为，，，．
(1)如图1，若，，则 ， ．
(2)如图2，若
①当时，请求出对应的“中距”点的坐标．
②当，则最小值为 ，的最大值为 ．
(3)如图3，若“中距”点在矩形的内部（包括边界），点与矩形的“远距”点的距离为，且，请直接写出的范围（用含式子表示）．
【答案】(1)，
(2)①或；②，
(3)
【思路点拨】（1）将，，代入得出，根据新定义以及勾股定理求得的值，即可求解；
（2）①根据的坐标得出点在上，进而分类讨论，或，根据勾股定理，解方程，即可求解；
②根据在矩形的内部，求得临界值，则在线段上，取的中点，求得的最大值和的最小值，即可求解；
（3）根据题意得出过点，在线段上，过点，根据新定义，由（2）中的位置，即为的位置，根据已知得，，进而勾股定理，即可求解．
【规范解答】（1）解：∵，，
∴，即，
∴，，
依题意，，；
故答案为：，．
（2）∵，
∴，，
∵，
∴点在上，
∵
∴或，
∴①或②；
解①得：（舍去）或，则
解②得：或（舍去），则
∴为的中点或的中点，
∴或
即或
②∵，，，，，．
∴在矩形的内部，
当时，；当时，
如图所示，设，则在线段上，取的中点
∴到的距离最小值为，此时的最大值为，
如图所示，连接，，
∵，
∴，
∴，
则最小值为
故答案为：，．
（3）解：∵，
∴点在上，
当时，，时，
∴过点，在线段上，过点
如图所示，点是的中点，在上，
由（2）可得，
∵，
∴，，
∵，，，，设，
当在点时， ，
解得：或（舍去），
∴，
当在点位置时，，设
∴
解得：或（舍去），
∵，
∴．
【训练2】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）已知关于x的一元二次方程．
(1)当时，解这个方程；
(2)试判断方程根的情况，并说明理由．
【答案】(1)
(2)有两个实数根，理由见解析
【思路点拨】本题考查解一元二次方程，由一元二次方程的判别式判断其根的情况．掌握解一元二次方程的方法和一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．
（1）当时，原方程为，即，再直接解方程即可；
（2）根据方程可求出，即可得出原方程有两个实数根．
【规范解答】（1）解：当时，原方程为，即为，
∴，
∴；
（2）解：由题意可知，，，
∴，
∴原方程有两个实数根．
重点考点讲练07：因式分解法解一元二次方程
【母题精讲】（23-24八年级上·北京东城·期末）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【思路点拨】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键．
（1）运用公式法解答即可；
（2）运用因式分解法解答即可．
【规范解答】（1）解：，
．
．
方程有两个不等的实数根，
即．
（2）解：，
移项，得，
因式分解，得．
于是得，或，
∴
【训练1】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）定义：如果一个一元二次方程有两个解，其中一个是一元一次不等式组的解，而另一个不是，那么称该一元二次方程为该不等式组的“半隐二次方程”．例如：方程的解为，，不等式组的解集为，因为，所以称方程是不等式组的半隐二次方程．
(1)方程是不是不等式组的半隐二次方程？请说明理由；
(2)若关于的一元二次方程是不等式组的半隐二次方程，求的取值范围．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)
【思路点拨】本题考查了解一元二次方程、解一元一次不等式组、新定义、数轴与不等式的解集，理解题意新定义是解题的关键．
（1）先利用因式分解法解一元二次方程，再解一元一次不等式组，根据“半隐二次方程”的定义，分析得出答案即可；
（2）先解一元二次方程，再解不等式组，画出数轴图，根据“半隐二次方程”的定义，得出且，解出答案即可．
【规范解答】（1）解：是，理由如下，
将方程左边因式分解，变形得：，
∴或，
解得：，；
解得：，
∴是不等式组的一个解，不是不等式组的解，
∴方程是不等式组的半隐二次方程；
（2）解：
移项得：，
将方程左边因式分解，提取，变形得：，
∴或，
解得：，；
解得：，
如图，画出数轴图，
∵若关于的一元二次方程是不等式组的半隐二次方程，
∴且，
解得：．
【训练2】（23-24八年级下·安徽六安·期末）已知关于的一元二次方程有实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若该方程有一个根是，求的值及方程的另一个根．
【答案】(1)且
(2)，方程的另一个根是
【思路点拨】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根的意义．
（1）方程有实数根，则，建立关于的不等式，求出的取值范围；
（2）把代入方程求得的数值，进而求出原方程，最后解方程即可求方程的另一个根．
【规范解答】（1）解：关于的一元二次方程有实数根，
，，
且；
（2）当时，，
解 得：，
原方程为，
解得：，，
方程的另一个根是．
重点考点讲练08：换元法解一元二次方程
【母题精讲】（23-24八年级下·山东淄博·期末）解方程：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【思路点拨】本题主要考查了解一元二次方程，掌握换元法成为解题的关键.
（1）先用直接开平方法整体求出，进而求得方程的解；
（2）设，则有，然后用因式分解法求得y，进而完成解答.
【规范解答】（1）解：，
，
所以.
（2）解：设，则有，
，
∴，
∵，
∴.
【训练1】（23-24八年级下·安徽安庆·期末）读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值．
解：设，则原方程变为，整理得，，
∴，∵，∴，
上面这种方法称为“换元法”，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
(1)设，满足等式，求的值；
(2)若四个连续正整数的积为，求这四个连续正整数．
【答案】(1)；
(2)，，，．
【思路点拨】（）由已知等式设，得出，结合可得答案；
（）根据题意设最小数为，列出关系式，进而利用换元法即可求解；
本题考查了解一元二次方程，解题的关键掌握知识点的应用及换元思想．
【规范解答】（1）设，则，
∴，
解得：或，
∵，
∴，
∴，
（2）设最小正整数为，则，
即：，
设，则，解得：，，
∵为正整数，
∴，解得，（舍去），
∴这四个连续正整数为，，，．
【训练2】（23-24八年级下·安徽六安·期末）已知实数，满足，试求的值．
解：设，原方程可化为，即，解得．
∵，∴．上面的这种方法称为“换元法”．
请根据以上阅读材料，解决问题．
（1）若实数，满足，则的值为 ．
（2）若一元二次方程的两根分别为，3，则方程的根是 ．
【答案】
【思路点拨】本题考查解一元二次方程，掌握换元法是解题的关键：
（1）设，将，转化为，求出的值，进而求出的值即可；
（2）根据题意，得到，解方程即可．
【规范解答】解：（1）设，则：，
∵，
∴，
解得：（舍去）或，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）∵一元二次方程的两根分别为，3，
∴则方程的根为或（舍去），
∴，
解得：；
经检验，是原方程的解；
故答案为：．
重点考点讲练09：根据判别式判断一元二次方程根的情况
【母题精讲】（21-22八年级上·上海静安·期末）下列关于的方程说法正确的是（ ）
A．没有实数根
B．有实数根
C．有两个相等的实数根
D．（其中是实数）一定有实数根
【答案】D
【思路点拨】本题主要考查了利用一元二次方程的根的判别式判断根的情况，理解并掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键．关于的一元二次方程，其根的判别式为．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此逐项分析判断即可．
【规范解答】解：A.对于方程，整理可得，
因为，所以该方程有两个不相等的实数根，本选项不符合题意；
B.对于方程，
因为，所以该方程无实数根，本选项不符合题意；
C. 对于方程，
因为，所以该方程无实数根，本选项不符合题意；
D.对于方程，
因为，
又因为是实数，
所以，
所以，即，
所以该方程一定有实数根，本选项符合题意．
故选：D．
【训练1】（21-22八年级下·安徽滁州·期末）如图，四边形是证明勾股定理时用到的图形，a、b、c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
(1)写出一个“勾系一元二次方程”　 ．
(2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根．
(3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且的面积是25，求四边形的周长．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【思路点拨】本题考查了勾股定理，一元二次方程根的定义以及的判别式，掌握一元二次方程的判别式是解题关键．
（1）直接找一组勾股数代入方程即可；
（2）根据一元二次方程根的判别式百合勾股定理，得到，再根据平方的非负性，得出，即可证明结论；
（3）根据一元二次方程的根的定义，得到，由三角形面积公式，得到，再结合勾股定理，得出，，即可求出四边形的周长．
【规范解答】（1）解：3、4、5为勾股数，
令，，，
写出一个“勾系一元二次方程”为，
故答案为：；
（2）证明：，
，
，
，
，
，
关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
（3）解：是“勾系一元二次方程”的一个根，
，
，
的面积是25，
，
，
，
，
，
，
解得：，（舍），
，
四边形的周长为：．
【训练2】（23-24八年级下·安徽滁州·期末）已知关于的方程．
(1)判断此方程根的情况；
(2)若是该方程的一个根，求代数式的值．
【答案】(1)方程有两个不相等的实数根
(2)
【思路点拨】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，熟练掌握“当根的判别式时方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
（1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出，由此得出方程有两个不相等的实数根；
（2）将代入原方程可求出，将其代入代数式中即可得出结论．
【规范解答】（1）解：，
方程有两个不相等的实数根；
（2）解：将代入方程，得，即，
，
．
重点考点讲练10：根据一元二次方程根的情况求参数
【母题精讲】（23-24八年级下·山东淄博·期末）已知关于x的方程．
(1)若该方程有一根为2，求a的值及方程的另一根；
(2)当a为何值时，方程总有两个相等的实数根？求出此时a的值及方程的根．
【答案】(1)，方程的另一根为
(2)当时，；当时，
【思路点拨】此题考查方程的解，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键．
（1）把代入方程，求出a的值，再把a代入原方程，进一步解方程即可；
（2）利用求出a的值，再代入解方程即可．
【规范解答】（1）解：将代入方程，得，
解得：，
将代入原方程得，
解得： ，；
∴，方程的另一根为．
（2）解：∵方程总有两个相等的实数根，
∴，
∴
由得，
解得：或0；
当时，原方程为：，
解得：；
当时，原方程为：，
解得：．
综上，当时，；当时，．
【训练1】（22-23八年级下·山东济南·期末）（1）解方程：；
（2）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．求的取值范围．
【答案】（1），
（2）且
【思路点拨】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的情况与判别式的关系，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．
（1）对方程左边分解因式，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，求解即可；
（2）由一元二次方程有两个不相等的实数根可知，，求解该一元一次不等式并结合即可得出答案．
【规范解答】解：（1），
分解因式，得：，
或，
，；
（2）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
移项，得：，
系数化为，得：，
又，
的取值范围是且．
【训练2】（23-24八年级下·山东淄博·期末）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)已知等腰三角形的底边，若恰好是另外两条腰的长，求这个三角形的周长．
(3)阅读材料：若三边的长分别为a，b，c，那么可以根据秦九韶—海伦公式可得：的面积，其中．
解答问题：请在（2）的条件下，根据“阅读材料”中的信息解答下列问题：

①求等腰三角形的面积；
②如图，若和的角平分线交于点I，请求出的面积．
【答案】(1)
(2)10
(3)①；②
【思路点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、等腰三角形的性质、角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
（1）根据题意可知一元二次方程根的判别式大于或等于0列出不等式求解即可；
（2）根据恰好是等腰的腰长，令，解一元二次方程求得，然后运用三角形的周长公式即可解答；
（3）①由(2)知：的三边长为，代入公式求得面积；②根据角平分线的性质以及的面积看求得，最后根据三角形面积公式求解即可．
【规范解答】（1）解：由题意得：，
解得：．
（2）解：由题意知：恰好是等腰的腰长，
∴，
∵是关于的一元二次方程的两实数根，
∴，
解得：，
∴，
解得，
∵，
∴的周长为：．
（3）解：①由(2)知：的三边长为，
∴，
∴．
②过I分别作，

∵和的角平分线交于点I，
∴，
∴
，
解得，
∴．
期末考向三：一元二次方程的应用
重点考点讲练11：传播问题(一元二次方程的应用)
【母题精讲】（22-23八年级下·辽宁·期末）区教育局要组织辖区内学校进行足球友谊赛，赛制为单循环形式，即每两所学校之间都赛一场，计划安排28场比赛，应邀请多少所学校参加比赛
【答案】应邀请8所学校参加比赛
【思路点拨】设应邀请x所学校参加比赛，根据列一元二次方程，求解即可．
【规范解答】解：设应邀请x所学校参加比赛，
由题意得：，
解得：，（不符合题意舍去），
答：应邀请8所学校参加比赛．
【训练1】（22-23八年级下·重庆沙坪坝·期末）有一个人患流感，经过两轮传染后共有64个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染个人，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路点拨】根据平均一个人传染个人，有一个人患流感，第一轮有人患流感，第二轮共有人，即64人患流感，由此列出方程求解即可．
【规范解答】解：设每轮传染中平均一个人传染个人，第一轮有人患流感，第二轮共有人，根据题意可得：，
整理得：，
故选：D．
【训练2】（21-22八年级下·浙江绍兴·期末）请根据图片内容，回答下列问题：
(1)每轮传染中，平均一个人传染了几个人？
(2)按照这样的速度传染，第三轮将新增多少名感染者（假设每轮传染人数相同）？
【答案】(1)每轮传染中，平均一个人传染了10个人
(2)第三轮将新增1210名感染者
【思路点拨】（1）设平均一个人传染了x个人，第一轮传染了x人，第一轮传染后一共有（1+x）名感染者；第二轮传染时这（1+x）人每人又传染了x人，则第二轮传染了x（1+x）人，列出方程求解即可；
（2）根据（1）中的结果进行计算即可．
【规范解答】（1）解：设平均一个人传染了x个人．
则可列方程：．
解得，（舍去）．
答：每轮传染中，平均一个人传染了10个人．
（2）（名）．
答：按照这样的速度传染，第三轮将新增1210名感染者．
重点考点讲练12：增长率问题(一元二次方程的应用)
【母题精讲】（24-25九年级上·辽宁辽阳·期末）为了加快数字化城市建设，某地计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了300个充电桩，第三个月新建了432个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【思路点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
利用该市第三个月新建智能充电桩个数=该市第一个月新建智能充电桩个数×（1+该市新建智能充电桩个数的月平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【规范解答】解：设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，
根据题意得：．
故选：A．
【训练1】（24-25九年级上·全国·期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【答案】(1)
(2)50元/个
【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据6月份销售量4月份销售量建立方程，解方程即可得；
（2）设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，根据利润（售价进价）销售量建立方程，解方程求出的值，再选择较小的的值即可．
【规范解答】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，
由题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
（2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个．
【训练2】（22-23八年级下·浙江宁波·期末）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．
(1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；
(2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？
【答案】(1)
(2)该款吉祥物售价为50或63元时，月销售利润达8400元
【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为，列方程，求解即可；
（2）设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，列方程，求解即可．
【规范解答】（1）解：设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为；
（2）解：设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：该款吉祥物售价为或63元时，月销售利润达元．
重点考点讲练13：与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
【母题精讲】（24-25九年级上·福建莆田·期末）在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【思路点拨】本题考查的是一元二次方程的运用，根据题意找出等量关系，列出方程式解题的关键．
根据等量关系是挂图的面积等于，而挂图的长和宽分别等于原风景画的长和宽加上两个金色纸边的宽度，通过设未知数，列出方程，即可解答。
【规范解答】解：设金色纸边的宽为，依题意得：


．
故选：B.
【训练1】（22-23九年级下·四川广安·阶段练习）如图，利用一面墙（墙最长可利用），围成一个矩形花园，与墙平行的一边上要预留宽的入口（如图中所示，不用砌墙），现有砌长的墙的材料．
(1)当矩形的长为多少米时，矩形花园的面积为；
(2)能否围成面积为的矩形花园，为什么？
【答案】(1)当矩形的长为25米时，矩形花园的面积为；
(2)不能围成面积为的矩形花园，理由见解析
【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设矩形的长为，则，依题意列出方程，求解方程再检验方程的解是否符合题意，即可解答；
（2）依题意列出方程，求解方程再检验方程的解是否符合题意，即可得出结论．
【规范解答】（1）解：设矩形的长为，则，
由题意得，，
整理得：，
解得：，，
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意；
．
答：当矩形的长为25米时，矩形花园的面积为．
（2）不能围成面积为的矩形花园，理由如下：
设矩形的长为，则，
由题意得，，
整理得：，
解得：，，
当时，，不合题意，舍去；
当时，，不合题意，舍去；
不能围成面积为的矩形花园．
【训练2】（23-24八年级下·全国·期末）如图，某农场准备围建一块矩形菜地．其中一边靠墙（墙的长度不超过），另外三边用长为的篱笆围成．
(1)怎样围才能使矩形菜地的面积为？
(2)能否使所围矩形菜地的面积为？为什么？
【答案】(1)当所围矩形的长为，宽为时，能使矩形的面积为；
(2)不能使所围矩形菜地的面积为，理由见解析
【思路点拨】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
（1）设，则，根据题意列出方程求解即可；
（2）设，则，根据题意列出方程，然后利用判别式求解即可．
【规范解答】（1）设，则，
依题意，得，
解得 ，
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：当所围矩形的长为，宽为时，能使矩形的面积为；
（2）设，则，
依题意，得，
整理，得
∴原方程无实数根，
∴不能使所围矩形菜地的面积为．
重点考点讲练14：数字问题(一元二次方程的应用)
【母题精讲】（22-23八年级下·吉林长春·期末）如图是某月日历表的一部分，在此日历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数（如）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为，则这9个数中最小数为（ ）

A．18 B．13 C．7 D．3
【答案】C
【思路点拨】根据日历上数字规律得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为，以及利用最大数与最小数的积为，求出两数，再利用上下对应数字关系得出其它数即可．
【规范解答】解：根据图象可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为，设最小数为：，则最大数为，根据题意得出：
，
解得：（不合题意舍去），
故最小的三个数为：7，
故选：C．
【训练1】（22-23九年级上·河南商丘·期末）如图，是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．如果圈出的9个数中，最小数x与最大数的积为161，那么根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【思路点拨】根据日历上数字规律得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为161，列出方程即可．
【规范解答】解：根据图表可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为，则最大数为，
根据题意得出：，
故选：B．
【训练2】（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）某足球比赛，要求每两支球队之间都要比赛一场，若共比赛场，则有 支球队参加比赛．
【答案】10
【思路点拨】先列出x支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛x（x-1）场，再根据题意列出方程为x（x-1）=45．
【规范解答】∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，
∴共比赛场数为x（x-1），
∴共比赛了45场，
∴x（x-1）=45，
解得：x1=10，x2=-9（舍去），
故答案为：10.
重点考点讲练15：营销问题(一元二次方程的应用)
【母题精讲】（23-24八年级下·重庆江北·期末）为传承端午文化，2024年的端午节期间全国各地举行了丰富多彩的赛龙舟活动．某商家以每套75元的价格购进一批龙舟训练比赛服装，定价每套120元进行售卖．
(1)经统计，3月份该服装销售量为256件，5月份该服装销售量为400件．求该服装销售量的月平均增长率；
(2)今年端午节在6月份，此段时间龙舟比赛服的销量将有大幅提升，但端午节过后销量又会下滑，为了在6月份端午期间扩大销量减少库存，商家决定对龙舟比赛服进行降价促销．经过调研，在5月份的销售数量基础上每降价5元，销量将提高15件，商家将比赛服的售价定为多少时，才能获得13350元的利润．
【答案】(1)该服装3月份到5月份销售量的月平均增长率为
(2)商家将比赛服的售价定为105元时，才能获得13350元的利润．
【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该服装3月份到5月份销售量的月平均增长率为，根据3月份的销售量为256件，5月份的销售量为400件．列出一元二次方程，解之取其正值即可；
（2）设该服装售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为（件，根据获得13350元的利润，列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可．
【规范解答】（1）设该服装3月份到5月份销售量的月平均增长率为，则5月份的销售量为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：该服装3月份到5月份销售量的月平均增长率为；
（2）设该服装售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为（件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：商家将比赛服的售价定为105元时，才能获得13350元的利润．
【训练1】（23-24八年级下·重庆·期末）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某社区图书室积极推广全社区阅读活动，决定下半年逐月加大图书购置经费的投入．其中七月计划购买甲与乙两种书籍共100本．已知书籍甲的单价是68元，书籍乙的单价是50元，共花费5720元．
(1)请问七月计划购买甲、乙书籍各多少本？
(2)经过比较，图书室工作人员最终决定在新星书城购买书籍甲和乙．书籍甲的单价减少了元，购买数量增加了本．书籍乙的单价不变，购买甲、乙书籍的总数量也不变，总费用比原计划减少了元，请求出的值．
【答案】(1)甲40本，乙60本
(2)6
【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程及一元二次方程的应用，正确理解题意，找出等量关系列方程是解题的关键．
（1）设计划购买书籍甲本，书籍乙本，根据甲乙两种书籍共花费5720元列一元一次方程求解即可；
（2）根据购买甲、乙书籍的总数量也不变，总费用比原计划减少了元，列一元二次方程求解即可得解．
【规范解答】（1）解：设计划购买书籍甲本，书籍乙本．由题得：
解得：
答：计划购买书籍甲40本，书籍乙60本；
（2）解：由题得：
∴
∴（舍），
答：的值为6．
【训练2】（23-24八年级下·山东烟台·期末）每年5月份的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”．康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定降价销售，但每辆轮椅利润不低于180元．全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？
【答案】这天售出了64辆轮椅．
【思路点拨】此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，得出等量关系是解题关键．
设每辆轮椅降价元，利用利润=日销售量×单车利润列方程可求出x的值，根据每辆轮椅利润不低于180元即可得答案．
【规范解答】解：设每辆轮椅降价元，由题意，
得．
解得，．
，
．
（不合题意，舍去）．
（辆）．
所以，这天售出了64辆轮椅．
重点考点讲练16：动态几何问题(一元二次方程的应用)
【母题精讲】（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图，已知长方形的边长，，某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当点到达点时，两点同时停止运动，问：
(1)经过多长时间，的长为？
(2)经过多长时间，的面积等于长方形面积的？
【答案】(1)经过或之后，的长为cm；
(2)秒或秒．
【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
（）设经过后，则，，，然后由勾股定理列出方程，然后解方程即可；
（）设经过秒，由题意得，，，由的面积等于长方形面积的，列出方程，然后解方程即可；
【规范解答】（1）设经过后，则，，，的长为cm，
根据题意，由勾股定理得：，
即，
解得：，，
答：经过或之后，的长为cm；
（2）设经过秒，的面积等于矩形面积的，
由题意得，，，
∵矩形中，，，
∴，，
∴矩形的面积为：，
∴的面积，
整理得：，
解得，，
答：经过秒或秒，的面积等于长方形面积的．
【训练1】（21-22九年级上·内蒙古通辽·期末）如图，在中，，，，点 P 从点A 开始向点 B 以的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 边向点 C 以的速度移动，当 P、Q 两点中有一点到达终点时，则同时停 止运动．
(1)如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，那么经过几秒时，的面积等于？
(2)如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，那么经过几秒时， 的长度等于
【答案】(1)秒
(2)秒
【思路点拨】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，以及勾股定理的应用，熟练掌握一元二次方程的实际应用是解题的关键．
（1）根据题意，用的代数式表示出和的长列出方程即可．
（2）利用勾股定理列出方程即可．
【规范解答】（1）解：设经过秒以后，的面积等于，
由题意可知：，
此时，，
由，
得，
整理得，
解得（舍），
故经过秒时，的面积等于；
（2）解：设经过秒之后，PQ 的长度等于，
由，
得，
解得，．
故经过秒时， 的长度等于．
【训练2】（22-23八年级下·山东济南·期末）如图，在中，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间t秒．

(1)填空：______，______；（用含t的代数式表示）；
(2)当t为几秒时，的长度等于；
(3)是否存在某一时刻t，使四边形的面积等于面积的？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)或
(3)存在，
【思路点拨】（1）根据路程=速度×时间，，，结合已知解答即可．
（2）根据勾股定理，列式计算即可．
（3）根据列式计算即可．
【规范解答】（1）∵，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．
∴，，
∴，
故答案为：，．
（2）∵， ，
，
∴，
整理，得，
解得，
当运动时间为或运动时间为时，的长度等于．
（3）∵， ，
，
∴，
∴，
整理，得，
解得（舍去），
故当运动时间为2秒时，四边形的面积等于面积的．
重点考点讲练17：工程问题(一元二次方程的应用)
【母题精讲】（2021·湖北宜昌·中考真题）随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广．喷灌和滴灌是比漫灌更节水的灌溉方式，喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的和．去年，新丰收公司用各100亩的三块试验田分别采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000吨．
（1）请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？
（2）今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了，漫灌试验田的面积减少了．同时，该公司通过维修灌溉输水管道，使得三种灌溉方式下的每亩用水量都进一步减少了．经测算，今年的灌溉用水量比去年减少，求的值．
（3）节水不仅为了环保，也与经济收益有关系．今年，该公司全部试验田在灌溉输水管道维修方面每亩投入30元，在新增的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经费为每亩100元．在（2）的情况下，若每吨水费为2.5元，请判断，相比去年因用水量减少所节省的水费是否大于今年的以上两项投入之和？
【答案】（1）漫灌方式每亩用水100吨，漫灌、喷灌、滴灌试验田分别用水10000、3000、2000吨；（2）20；（3）节省水费大于两项投入之和
【思路点拨】（1）根据题意，设漫灌方式每亩用水吨，列出方程求解即可；
（2）由（1）结果，结合题意列出方程，求解方程；
（3）分别求出节省的水费，维修费，添加设备费，比较大小即可．
【规范解答】（1）解：设漫灌方式每亩用水吨，则
，
，
漫灌用水：，
喷灌用水：，
滴灌用水：，
答：漫灌方式每亩用水100吨，漫灌、喷灌、滴灌试验田分别用水10000、3000、2000吨．
（2）由题意得，
，
解得（舍去），，所以．
（3）节省水费：元，
维修投入：元，
新增设备：元，
，
答：节省水费大于两项投入之和．
【训练1】（2014·安徽安庆·二模）为了满足铁路交通的快速发展，安庆火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？
【答案】甲队单独完成这项工程需要15个月，乙队单独完成这项工程需要10个月
【思路点拨】设甲队单独完成这项工程需要x个月，则乙队单独完成这项工程需要（x﹣5）个月，根据两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍建立方程求出其解即可．
【规范解答】解：设甲队单独完成这项工程需要x个月，则乙队单独完成这项工程需要（x﹣5）个月，由题意，得
x（x﹣5）=6（x+x﹣5），
解得：x1=2（舍去），x2=15．
∴乙队单独完成这项工程需要15﹣5=10个月
答：甲队单独完成这项工程需要15个月，乙队单独完成这项工程需要10个月．
【训练2】（22-23八年级下·江苏泰州·期末）问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？”
条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多；
（2）原计划每天修建的长度比实际少75米．
在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答．
【答案】选（1）或（2）；选（1）原计划每天修建下水管道的长度为米；选（2）原计划每天修建下水管道的长度为米
【思路点拨】选择（1）时，设原计划每天修建米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验即可得出结论；
选择（2）时，设原计划每天修建盲道米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于y的分式方程，解之经检验即可得出结论；
【规范解答】选（1）或（2）
（1）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米
经检验：是所列方程的解
答：原计划每天修建下水管道的长度为米．
（2）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米
（舍）
经检验：是所列方程的解．
答：原计划每天修建下水管道的长度为米．
重点考点讲练18：行程问题(一元二次方程的应用)
【母题精讲】（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为每秒1.5米，乙的速度为每秒1米，乙一直向东走，甲先向南走10米，后又朝北偏东某个方向走了一段后与乙相遇，则乙走了 米．
【答案】24
【思路点拨】本题一元二次方程的实际应用，勾股定理，设两人走了秒，利用勾股定理列出方程进行求解即可．
【规范解答】解：设两人走了秒，则：乙的路程为米，甲在北偏东某个方向走的路程为：米，
由题意，得：，
解得：或（舍去）；
∴乙的路程为米，
故答案为：24．
【训练1】（22-23八年级下·浙江杭州·期末）已知，一辆汽车在笔直的公路上刹车后，该车的速度米秒与时间秒之间满足一次函数关系，其图象如图所示；

(1)求与之间的函数关系式；
(2)已知汽车在该运动状态下，一段时间内向前滑行的距离等于这段时间内的平均速度乘以时间该运动状态下的平均速度 ，表示这段时间起始时刻的速度，表示这段时间结束时刻的速度．若该车刹车后秒内向前滑行了米，求的值．
【答案】(1)
(2)该车刹车后秒内向前滑行了米
【思路点拨】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意得出，路程等于速度乘以时间，列出一元二次方程，解方程即可求解．
【规范解答】（1）解：将点，代入，
，
解得：，
∴与之间的函数关系式为；
（2）解：依题意，， ，，
则
依题意，，
即
解得：或（舍去）
答：该车刹车后秒内向前滑行了米．
【训练2】（23-24八年级下·安徽六安·期末）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是 ．
【答案】
【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，将其正值代入中即可求出结论．
【规范解答】解：设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，则
依题意得：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去），
∴．
故甲走的步数是．
故答案为：．
重点考点讲练19：其他问题(一元二次方程的应用)
【母题精讲】（23-24八年级下·山东烟台·期末）科研人员在实验室进行某种药液的临床试验，他用一个容器盛满了纯药液4升，第一次倒出若干升后，用水加满，充分混合后，第二次又倒出同样体积的溶液，此时容器里溶液中的纯药液还剩下1升．
(1)每次倒出溶液多少升？
(2)若用水加满再充分混合，则第三次倒出同样体积的溶液后，溶液中的纯药液还剩多少？
【答案】(1)每次倒出溶液2升
(2)纯药液还剩0.5升
【思路点拨】本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键；
（1）设每次倒出溶液x升．根据两次倒出后容器里溶液中的纯药液还剩下1升建立方程求解即可；
（2）由剩下的再减去第三次倒出的即可得到答案；
【规范解答】（1）解：设每次倒出溶液x升．
由题意，得．
整理得．
解得，．
∵不合题意，故舍去．
∴．
所以，每次倒出溶液2升．
（2）解：．
所以，纯药液还剩0.5升．
【训练1】（23-24八年级下·浙江湖州·期末）一次围棋比赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各比赛1局），且参赛者少于15人．小珺和小哲对比赛的总局数进行的统计：
(1)若参赛者共5人，按赛制应该进行几局比赛？
(2)小哲说的有道理吗？请通过计算说明；
(3)他们经过查询，小珺的统计无误，是有一人中途退出比赛，请直接写出报名本次比赛的人数．
【答案】(1)10；
(2)小哲说的有道理，理由见解析；
(3)13．
【思路点拨】本题考查一元二次方程的应用．
（1）由题意，得5个人需比赛的局数为；
（2）小哲说的有道理，理由见详解；
（3）设有一人比赛了场后退出比赛，由题意，整理并求解即可．
【规范解答】（1）解：由题意，得5个人需比赛的局数为；
（2）小哲说的有道理，理由如下：
设有人报名参赛，由题意得，整理得，
解得，不为整数，
∴方程的解不符合实际，小哲说的有道理；
（3）设有一人比赛了场后退出比赛，由题意，
得，整理得，
解得，
当时，，符合题意，
∴共有13名参赛者报名本次比赛．
【训练2】（23-24八年级下·重庆·期末）端午节吃粽子是中国人民的传统习俗．五月初利民副食店购进鲜肉粽、蜜枣粽两种粽子，其中鲜肉粽进价为15元/袋，售价为27元/袋，蜜枣粽进价为10元/袋，售价为19元/袋．利民副食店用660元购进鲜肉粽、蜜枣粽两种粽子共50袋．（注：利润=售价-进价）
(1)求购进鲜肉粽、蜜枣粽各多少袋？
(2)临近端午节，蜜枣粽售完，鲜肉粽还有剩余．副食店决定端午节当天对鲜肉粽降价销售，如果按原价销售，平均每天可售2袋．经调查发现，鲜肉粽每降价1元，平均每天可多售2袋．剩余的鲜肉粽在降价当天全部售完，50袋粽子共获利506元，每袋鲜肉粽应降价多少元？
【答案】(1)购进购进袋鲜肉粽，袋蜜枣粽
(2)每袋鲜肉粽应降价4元
【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
（1）设购进x袋鲜肉粽，y袋蜜枣粽，根据题意列出可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设每袋鲜肉粽应降价元，此时每一袋的利润为：元，则降价当天的销售量为：件，降价之前鲜肉粽的销量为：根据题意得，解方程即可作答．
【规范解答】（1）解：设购进x袋鲜肉粽，y袋蜜枣粽，
根据题意得：，
解得：．
答：购进购进袋鲜肉粽，袋蜜枣粽；
（2）解：设每袋鲜肉粽应降价元，此时每一袋的利润为：元，
则降价当天的销售量为：件，
∴降价之前鲜肉粽的销量为：
根据题意得，
整理得：，
解得：（负值舍去）．
答：每袋鲜肉粽应降价4元．
期末考向四：一元二次方程根与系数的关系
重点考点讲练20：一元二次方程的根与系数的关系
【母题精讲】（21-22九年级上·四川泸州·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求a的取值范围；
(2)若满足，求a的值．
【答案】(1)
(2)
【思路点拨】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数之间的关系，解一元二次方程：
（1）根据方程有两个不相等的实数根得到，列出不等式进行求解即可；
（2）根据根与系数的关系，得到，根据，得到关于的方程进行求解即可．
【规范解答】（1）解：由题意，得：，
解得：；
（2）解：由题意，得：，
∴，
解得：，
∵，
∴．
【训练1】（23-24八年级下·全国·期末）等腰三角形的三边长分别为，，，且关于的一元二次方程的两个根是和，则的值为 ．
【答案】
【思路点拨】本题考查了根与系数的关系、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，分为底边长或腰长两种情况考虑是解题的关键．分为底边长或腰长两种情况考虑：当为底时，由及即可求出、的值，利用三角形的三边关系确定此种情况存在，再利用根与系数的关系找出即可；当为腰时，则、中有一个为，则另一个为，由、、不能围成三角形可排除此种情况．综上即可得出结论．
【规范解答】解：当为底边长时，则，
∵关于的一元二次方程的两个根是和，
∴，，
．
，，能围成三角形，
，
解得：；
当为腰长时，
∵关于的一元二次方程的两个根是和，
∴，
∵为腰长，
∴、中有一个为，
∴另一个为，
，，不能围成三角形，
此种情况不存在．
故答案为：．
【训练2】（21-22八年级下·安徽六安·期末）已知关于的方程．
(1)若方程有两个实数根，求的取值范围；
(2)若方程的一个根为1，求的值及方程的另一个根．
【答案】(1)
(2)，方程的另一个根为
【思路点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据根的判别式得到，解不等式，从而求得的范围；
（2）把代入方程求出的值，设方程的另一根为，根据根与系数的关系列出方程，即可求出方程的另一根．
【规范解答】（1）解：关于的方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，
实数的取值范围为；
（2）解：将代入原方程得：，
解得：，
原方程为，
设方程的另一个根为，
，
，
的值为，方程的另一根为．
中档题—夯实基础能力
1．（24-25八年级上·上海普陀·期末）在下列关于的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【思路点拨】本题考查解一元二次方程，分别求出每个方程的解，进行判断即可．
【规范解答】解：A、，
∴；不符合题意；
B、，
∴；符合题意；
C、，此方程无解；不符合题意；
D、，
∴，
∴；不符合题意；
故选B．
2．（24-25八年级上·福建漳州·期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【思路点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式知识点，解题的关键是明确一元二次方程的根与判别式的关系，当时，方程有两个不相等的实数根．
根据根的判别式列出关于的不等式，求解不等式得到的取值范围．
【规范解答】方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式，
可得，
即，
所以的取值范围是．
故答案选A．
3．（24-25八年级上·上海杨浦·期末）下列方程中，一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【思路点拨】本题考查一元二次方程的识别，根据只含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，进行判断即可．
【规范解答】解：A、是一元一次方程，不符合题意；
B、是分式方程，不符合题意；
C、，化简，得：，方程变为一元一次方程，不符合题意；
D、，化简，得：，是一元二次方程，符合题意；
故选D．
4．（23-24八年级下·山东威海·期末）若m， n是方程的两个根，则 的值为 ．
【答案】
【思路点拨】利用一元二次方程根与系数的关系得出的值，再将代入原方程，结合整体思想即可解决问题．本题主要考查了一元二次方程的解，一元二次方程的根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
【规范解答】解：∵，是方程的两个根，
∴，，
则，
∴．
故答案为：．
5．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）已知一元二次方程的两个实数根为m，n，则 ．
【答案】
【思路点拨】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是：熟练掌握元二次方程根与系数的关系．
【规范解答】解：∵一元二次方程的两个实数根为m，n，
∴，
故答案为：．
6．（22-23八年级下·山东泰安·期末）若用配方法解方程，时，原方程可变形为 ．
【答案】
【思路点拨】本题考查了配方法解一元二次方程，先将常数项移到右边，再将二次项系数化为1，最后方程两边再加上一次项系数的一半的平方即可得解．
【规范解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，即，
故答案为：．
7．（24-25八年级上·四川眉山·期末）阅读理解：我们一起来探究代数式的值，探究一：当时，代数式的值为6，当时，代数式的值为11，可见，代数式的值随x的值的变化而变化．
探究二：把代数式进行变形，如：，可得：当_____时，代数式有最小值，最小值为_____．
请回答下列问题：
(1)请补充完成探究二，直接在横线处填空；
(2)当取何值时，代数式有最大值，最大值为多少
(3)如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个长方形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料，问：当为多少米，围成长方形花园的面积有最大值，最大面积是多少
(4)
【答案】(1)，
(2)，最大值为
(3)时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是
【思路点拨】本题主要考查代数式的运用，配方法求最值，掌握配方法是解题的关键．
（1）根据平方数的非负性，可得，则当时，取得最小值，由此即可求解；
（2）根据材料提示，运用配方法得到代数式，，结合（1）的方法即可求解；
（3）设，则，则有，结合（1）的方法即可求解．
【规范解答】（1）解：∵，则，
∴当时，取得最小值，
∴当时，代数式有最小值，最小值为，
故答案为：，；
（2）解：代数式变形得，
∵，则，
∴当时，取得最大值，最大值为，
∴当时，代数式有最大值，最大值为；
（3）解：四边形是长方形，
∴设，则，
∴，
解得，，
∴，
∵，
∴当时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是，．
8．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位）
(1)若设车棚宽度为，则车棚长度为______m；
(2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽；
(3)若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)自行车车棚的宽为，自行车车棚的长为
(3)不能，理由见解析
【思路点拨】本题考查用代数式表示式，一元二次方程的应用，根的判别式，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题关键．
（1）根据题干条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可得出长边的长；
（2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽，需注意的是一元二次方程的解需满足自行车车棚的长不超过，宽不超过7米；
（3）根据（2）中方法列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，再利用根的判别式判断，即可解题．
【规范解答】（1）解：搭建自行车车棚为矩形，车棚宽度为，左右两侧各开一个的出口，
不锈钢栅栏总长，不锈钢栅栏状如“山”字形，
（），
故答案为：；
（2）解：由（1）可得，车棚面积为：
解得：或，
又距院墙7米处，规划有机动车停车位，
，将代入得：，满足题干条件，
自行车车棚的宽为：，
自行车车棚的长为：；
（3）解：不能，理由如下：
要围成面积为的自行车车棚，则由（1）可得：
，
整理得：，
，
故此方程没有实数根，
不能围成面积为的自行车车棚．
9．（23-24八年级下·全国·期末）解下列方程：
(1)（用配方法）；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【思路点拨】本题考查了一元二次方程的解法．熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
（1）利用配方法求解即可．配方法的核心是在方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方式．
（2）利用因式分解法求解即可．首先将方程化为一般形式，然后通过提取公因式将方程化为两个因式乘积等于0的形式．
【规范解答】（1）解：
移项得：，
配方得：，即，
开平方得：，
所以，．
（2）解：
移项得，
即，
提公因式，得，
所以或，解得，．
10．（20-21八年级下·浙江杭州·期末）某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元． 为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
(1)若降价5元，则平均每天销售数量为 件；
(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
【答案】(1)30
(2)当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元
【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用．
（1）根据平均每天销售量降低的价格，即可求出结论；
（2）设每件商品降价元，则平均每天可销售件，根据总利润每件利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【规范解答】（1）解：（件）．
故答案为：30；
（2）解：设每件商品降价元，则平均每天可销售件，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，．
当时，，
当时，，
．
答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
压轴题—强化解题技能
11．（23-24八年级下·浙江丽水·期末）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则方程的另一个根是（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【思路点拨】本题考查了一元二次方程的解、解一元二次方程，由题意得出，求出的值，从而得出方程为，再利用因式分解法解一元二次方程即可．
【规范解答】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是，
∴，
解得：，
∴方程为，
∴，
∴或，
解得：，，
∴方程的另一个根是，
故选：C．
12．（22-23八年级下·上海·期末）下列命题正确的是（ ）
A．关于的方程：的解是
B．关于的方程：的解是
C．关于的二项方程：（是正整数）总有实数解
D．方程：的解只有两个
【答案】D
【思路点拨】本题考查一元方程，根据一元一次方程的解、一元二次方程根的判别式逐个判断即可．
【规范解答】解：A. 关于的方程：当时，的解是，故原命题不正确；
B. 关于的方程：的解是，故原命题不正确；
C. 关于的二项方程：当，为偶数时，（是正整数）没有实数解，故原命题不正确；
D. 由于方程：的解为，只有两个，故命题正确；
故选D．
13．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）下列方程中，有实数解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路点拨】本题考查了解分式方程，偶次幂和算术平方根的非负性，根据偶次幂和算术平方根的非负性以及解分式方程的方法和步骤逐个判断即可．
【规范解答】解：A、∵，∴，∵，∴该方程无实数解，不符合题意；
B、∵，∴，∵，∴该方程无实数解，不符合题意；
C、，
，
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，故该方程有实数根，符合题意；
D、∵，∴，∵，∴该方程无实数解，不符合题意；
故选：C．
14．（22-23八年级下·浙江丽水·期末）如图，以a，b为边长的矩形面积为，以c为边长的正方形面积为，已知．
（1）当时，则c的值是 ；
（2）若c为整数，，则矩形和正方形的周长之和的值是 ．
【答案】 2 28或
【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意得出一元二次方程是解题的关键．
根据矩形与正方形的面积公式可得，，代入，得出．
（1）将代入，解方程即可求出的值；
（2）由可得．代入，变形得出，根据为整数，求出可能为2或1．再求出的值，进而得到矩形和正方形的周长之和．
【规范解答】解：由题意可得，，
，
．
（1）当时，
，
解得（负值舍去），
即．
故答案为：2；
（2），
．
，
，
，
为整数，
可能取值有：4或1，
可能为2或1．
当时，，解得（负值舍去）；
当时，，解得（负值舍去），
矩形和正方形的周长之和为：
．
当，时，；
当，时，．
故答案为：28或．
15．（22-23八年级下·浙江·期末）如图，直线与反比例函数的图像在第一象限交于点．若，则的值为 ．
【答案】48
【思路点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的综合、两点之间的距离公式、一元二次方程的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．先利用两点之间的距离公式求出点的坐标，再代入计算即可得．
【规范解答】解：由题意，设点的坐标为，
∵，
∴，即，
解得或（舍去），
∴，
将点代入得：，
故答案为：48．
16．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）若方程的有两个相等的实数根，则 ．
【答案】或
【思路点拨】本题考查了根的判别式，根据判别式的意义得到，然后解关于k的方程即可．
【规范解答】解：，
，，，
，
整理得：，即
或，
故答案为：或．
17．（22-23九年级上·广东广州·期末）已知：关于的一元二次方程有两个实数根，．
(1)求实数的取值范围；
(2)若，求的值．
【答案】(1)；
(2)的值为．
【思路点拨】（）计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解；
（）利用根与系数的关系，，然后代入求解即可；
此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键．
【规范解答】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，，
∴，
解得：；
（2）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，，
∴，，
∵，
∴，整理得，
解得：，，
由（）得：，
∴，
∴的值为．
18．（22-23八年级下·广东江门·期末）我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每周的销售量可增加4千克．
(1)若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答：
①每千克茶叶应降价多少元？
②在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
(2)在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元吗？请说明理由．
【答案】(1)①30元或80元②八折
(2)该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元
【思路点拨】本题主要考查了一元二次方程的实际应用：
（1）①设每千克茶叶应降价x元，利用销售量每件利润元列出方程求解即可；②为了让利于顾客因此应下降价80元，求出此时的销售单价即可确定几折．
（2）设每千克茶叶应降价y元，列方程整理后为，代入根的判别式得，方程无解，故不能达到要求．
【规范解答】（1）解：①设每千克茶叶应降价x元．
根据题意，得：，
整理得
解得：．
答：每千克茶叶应降价30元或80元．
②由①可知每千克茶叶可降价30元或80元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价80元．
此时，售价为：元，．
答：该店应按原售价的八折出售．
（2）解：该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元，理由如下：
设每千克茶叶应降价y元．根据题意，得：
,
整理得：，
∵，
∴原方程没有实数根，
即该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元．
19．（23-24九年级上·辽宁铁岭·期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨0.2元/个，则月销售量将减少2个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【答案】(1)月增长率为
(2)该品牌头盔的实际售价应定为每个50元
【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设该品牌头盔的实际售价为y元，根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论．
【规范解答】（1）解： 设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
由题意得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
（2）解：设该品牌头盔的实际售价为y元，
由题意得：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去），
答：该品牌头盔的实际售价应定为每个50元．
20．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知：关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若的两边长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，求m的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)12或3
【思路点拨】本题考查了一元二次方程的根的判别式，勾股定理，公式法解一元二次方程．
（1）先计算出，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）先利用公式法求出方程的解为，，然后分类讨论，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【规范解答】（1）证明： ，
方程有两个不相等的实数根；
（2）解：一元二次方程的解为，即，，
，
不可能是斜边长度，
当是斜边长度时，，解得，
当5是斜边长度时，，
解得或（舍弃负数值），
综合上述，的值为12或3．2024-2025学年浙教版数学八年级下学期期末复习知识串讲（优等生培优版）
第2章 一元二次方程
（思维导图+知识梳理+易错点拨+20大考点讲练+优选真题难度分层练 共80题）
讲义简介 2
思维导图指引 2
章节知识回顾梳理 2
易错考点点拨汇总 5
易错知识点01：一元二次方程的定义与形式 5
易错知识点02：解法中的易错点 5
易错知识点03：根的判别式与系数关系的误用 6
期末真题考点汇编讲练 6
期末考向一：一元二次方程 6
重点考点讲练01：由一元二次方程的解求参数 6
重点考点讲练02：一元二次方程的解的估算 6
期末考向二：一元二次方程的解法 7
重点考点讲练03：解一元二次方程--直接开平方法 7
重点考点讲练04：解一元二次方程--配方法 8
重点考点讲练05：配方法的应用 9
重点考点讲练06：公式法解一元二次方程 11
重点考点讲练07：因式分解法解一元二次方程 12
重点考点讲练08：换元法解一元二次方程 13
重点考点讲练09：根据判别式判断一元二次方程根的情况 14
重点考点讲练10：根据一元二次方程根的情况求参数 15
期末考向三：一元二次方程的应用 16
重点考点讲练11：传播问题(一元二次方程的应用) 16
重点考点讲练12：增长率问题(一元二次方程的应用) 17
重点考点讲练13：与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 18
重点考点讲练14：数字问题(一元二次方程的应用) 19
重点考点讲练15：营销问题(一元二次方程的应用) 20
重点考点讲练16：动态几何问题(一元二次方程的应用) 21
重点考点讲练17：工程问题(一元二次方程的应用) 23
重点考点讲练18：行程问题(一元二次方程的应用) 24
重点考点讲练19：其他问题(一元二次方程的应用) 25
期末考向四：一元二次方程根与系数的关系 26
重点考点讲练20：一元二次方程的根与系数的关系 26
优选真题难度分层练 27
中档题—夯实基础能力 27
压轴题—强化解题技能 29
同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，全章节知识点梳理，易错点考点点拨，期末真题考点汇编讲练，优选题难度分层训练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！
知识点梳理01：一元二次方程的有关概念
1. 一元二次方程的概念：
　　通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．
2. 一元二次方程的一般式：
　
3.一元二次方程的解：
　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
【易错点剖析】
判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.
对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．
知识点梳理02：一元二次方程的解法
1．基本思想
一元二次方程一元一次方程
2．基本解法
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
【易错点剖析】
解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解
法，再考虑用公式法．
知识点梳理03：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
1.一元二次方程根的判别式
一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即.
（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；
（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；
（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.
2.一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程的两个实数根是，
那么，.
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
【易错点剖析】
1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：
　　(1)不解方程判定方程根的情况；
　　(2)根据参系数的性质确定根的范围；
　　(3)解与根有关的证明题．
2. 一元二次方程根与系数的应用很多：
　　(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；
　　(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；
　　(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．
知识点梳理04：列一元二次方程解应用题
1.列方程解实际问题的三个重要环节：
　　一是整体地、系统地审题；
　　二是把握问题中的等量关系；
　　三是正确求解方程并检验解的合理性.
2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
3.解决应用题的一般步骤：
　　　审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
　　　设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
　　　列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；
　　　解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；
　　　答 (写出答案，切忌答非所问).
4.常见应用题型
　　数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.
【易错点剖析】
　　列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.
易错知识点01：一元二次方程的定义与形式
忽略二次项系数不为零
错误表现：将形如 ax +bx+c=0 的方程默认为一元二次方程，未验证 a≠0
示例：若方程 (k 1)x +3x=0是一元二次方程，需满足 k≠1，否则退化为一次方程。
混淆整式方程与分式方程
错误点：将分母含未知数的方程（如 ）误认为一元二次方程，正确一元二次方程必须是整式方程。
易错知识点02：解法中的易错点
1. 因式分解法（十字相乘）
错误类型：
未将方程整理成标准形式 ax +bx+c=0 直接分解。
分解后漏写解或符号错误（如 (x+2)(x 3)=0的解应为 x=-2 或 x=3 ，误写成 x=2 或 x=-3
示例：解 x 5x+6=0 ，正确分解为 (x 2)(x 3)=0 ，解为 x=2 或 x=3 ，若分解为 (x+2)(x+3)=0 则错误
2. 配方法
常见错误：
配方时未保持方程平衡（如仅给一边加上配方项）。
二次项系数非1时未先化系数为1（如 2x +4x=1需先化为 x +2x=1
示例：解 3x 6x+1=0 正确步骤：
系数化为1：x 2x=；
配方：x 2x+1=→ (x 1) =
3. 公式法
易错点：
求根公式 x=中符号错误（如漏写“-b”或分母未乘2a）=
未计算判别式 Δ=b 4ac 直接求根，可能误判根的情况。
示例：解 x 4x+5=0 ，Δ=( 4) 4×1×5= 4<0 ，方程无实根，若强行代入公式则错误。
易错知识点03：根的判别式与系数关系的误用
忽略判别式的前提条件
错误表现：使用根与系数关系（韦达定理）时，未验证 Δ≥0 导致错误结论。
示例：若方程 x +x+1=0的两根为 x1,x2，直接应用x1+x2= -1 虽代数正确，但实际无实根，讨论无意义
误判根的情况
错误点：认为 Δ>0时两根一定为正或负，忽略实际符号需结合系数分析。
示例：方程 x 5x+6=0 ，Δ=1>0 两根均为正；而 x +5x+6=0，两根均为负。
期末考向一：一元二次方程
重点考点讲练01：由一元二次方程的解求参数
【母题精讲】（20-21九年级上·四川达州·期末）关于x的一元二次方程的一个根为1，则m的值为（　　）
A． B． C．1 D．2
【训练1】（20-21八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）若一元二次方程的一个根是，则的值为 ．
【训练2】（22-23八年级下·北京延庆·期中）若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为 ．
重点考点讲练02：一元二次方程的解的估算
【母题精讲】（23-24九年级上·广东河源·阶段练习）下列表格的对应值判断方程 (,a,b,c为常数）的一个解x的取值范围是（ ）
x
A． B． C． D．
【训练1】．（22-23八年级下·安徽六安·期中）根据下表的对应值，试判断一元二次方程 的一个解的取值范围是（　　）
x 1 4
0.06 0.02
A． B．
C． D．
【训练2】（20-21八年级下·山东烟台·期末）观察表格中数据，一元二次方程的一个近似解为（　　　）
x
4.67 4.61 4.56 4.51 4.46 4.41 4.35
A． B． C． D．
期末考向二：一元二次方程的解法
重点考点讲练03：解一元二次方程--直接开平方法
【母题精讲】（24-25八年级上·广东清远·期末）如图，把两张小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一张面积为的大正方形纸片．
(1)小方形纸片的边长为 ；
(2)在（1）的条件下，设小正方形纸片的边长的值的整数部分为a，小数部分为b，求的值；
(3)若沿此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片a的长宽之比为，且面积为？若能，试求出剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由．
【训练1】（21-22八年级下·北京平谷·期末）解方程：
； (2)．
【训练2】（23-24八年级下·江西南昌·期末）（1）解方程：
（2）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，请仅用无刻度的直尺，在图中画出满足条件的直线 保留画图痕迹．
重点考点讲练04：解一元二次方程--配方法
【母题精讲】（23-24八年级下·四川广安·期末）解方程
(2)
【训练1】（23-24八年级下·山东威海·期末）一元二次方程配方后可变形为（ ）
A． B．
C． D．
【训练2】（23-24八年级下·贵州毕节·期末）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．
例1：因式分解：．
解：原式．
例2：若，利用配方法求的最小值
解：．
∵，，
∴当时，有最小值1．
请根据上述阅读材料，解决下列问题：
(1)用配方法因式分解：___________；
(2)若，则的最小值为___________；
(3)已知，求的值．
重点考点讲练05：配方法的应用
【母题精讲】（24-25八年级上·山东滨州·期末）【阅读材料】
配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 ，配方法在解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题中都有着广泛应用．
例：求代数式的最小值．
解：，
，．
当时，的最小值为1．
【类比探究】
（1）按照上述方法，用配方法求代数式最小值；
【灵活运用】
（2）试说明：无论取何实数，二次根式都有意义．
【训练1】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为．所以5是“完美数”．
解决问题：
（1）已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式______；
（2）已知，则______；
探究问题；
（3）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由；
拓展结论；
（4）已知实数x、y满足，求的最值．
【训练2】（23-24八年级下·河北保定·期末）悦悦在学习有关配方的知识时，发现一个有趣的现象：关于x的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或1时，的值均为4：当，即或0时，的值均为7，于是悦悦给出一个定义：关于x的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称，例如关于对称．
请结合悦悦的思考过程，运用此定义解决下列问题：
(1)多项式关于______对称；多项式关于______对称；
(2)若关于x的多项式关于对称，求n的值；
(3)若整式关于对称，求实数a的值．
重点考点讲练06：公式法解一元二次方程
【母题精讲】（22-23八年级下·重庆九龙坡·期末）解方程：
(1)解一元二次方程：；
(2)解方程：．
【训练1】（23-24八年级下·重庆·期末）在平面直角坐标系中，有如下定义：点与图形上的动点的连线段为，当最大时，，叫点与图形的“远距”点，其长度记为．当最小时，，叫点与图形的“近距”点，其长度记为．其中．若点满足，则点叫点与图形的“中距”点．已知矩形的坐标分别为，，，．
(1)如图1，若，，则 ， ．
(2)如图2，若
①当时，请求出对应的“中距”点的坐标．
②当，则最小值为 ，的最大值为 ．
(3)如图3，若“中距”点在矩形的内部（包括边界），点与矩形的“远距”点的距离为，且，请直接写出的范围（用含式子表示）．
【训练2】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）已知关于x的一元二次方程．
(1)当时，解这个方程；
(2)试判断方程根的情况，并说明理由．
重点考点讲练07：因式分解法解一元二次方程
【母题精讲】（23-24八年级上·北京东城·期末）解方程：
； (2)．
【训练1】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）定义：如果一个一元二次方程有两个解，其中一个是一元一次不等式组的解，而另一个不是，那么称该一元二次方程为该不等式组的“半隐二次方程”．例如：方程的解为，，不等式组的解集为，因为，所以称方程是不等式组的半隐二次方程．
(1)方程是不是不等式组的半隐二次方程？请说明理由；
(2)若关于的一元二次方程是不等式组的半隐二次方程，求的取值范围．
【训练2】（23-24八年级下·安徽六安·期末）已知关于的一元二次方程有实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若该方程有一个根是，求的值及方程的另一个根．
重点考点讲练08：换元法解一元二次方程
【母题精讲】（23-24八年级下·山东淄博·期末）解方程：
； (2).
【训练1】（23-24八年级下·安徽安庆·期末）读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值．
解：设，则原方程变为，整理得，，
∴，∵，∴，
上面这种方法称为“换元法”，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
(1)设，满足等式，求的值；
(2)若四个连续正整数的积为，求这四个连续正整数．
【训练2】（23-24八年级下·安徽六安·期末）已知实数，满足，试求的值．
解：设，原方程可化为，即，解得．
∵，∴．上面的这种方法称为“换元法”．
请根据以上阅读材料，解决问题．
（1）若实数，满足，则的值为 ．
（2）若一元二次方程的两根分别为，3，则方程的根是 ．
重点考点讲练09：根据判别式判断一元二次方程根的情况
【母题精讲】（21-22八年级上·上海静安·期末）下列关于的方程说法正确的是（ ）
A．没有实数根
B．有实数根
C．有两个相等的实数根
D．（其中是实数）一定有实数根
【训练1】（21-22八年级下·安徽滁州·期末）如图，四边形是证明勾股定理时用到的图形，a、b、c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
(1)写出一个“勾系一元二次方程”　 ．
(2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根．
(3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且的面积是25，求四边形的周长．
【训练2】（23-24八年级下·安徽滁州·期末）已知关于的方程．
(1)判断此方程根的情况；
(2)若是该方程的一个根，求代数式的值．
重点考点讲练10：根据一元二次方程根的情况求参数
【母题精讲】（23-24八年级下·山东淄博·期末）已知关于x的方程．
(1)若该方程有一根为2，求a的值及方程的另一根；
(2)当a为何值时，方程总有两个相等的实数根？求出此时a的值及方程的根．
【训练1】（22-23八年级下·山东济南·期末）（1）解方程：；
（2）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．求的取值范围．
【训练2】（23-24八年级下·山东淄博·期末）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)已知等腰三角形的底边，若恰好是另外两条腰的长，求这个三角形的周长．
(3)阅读材料：若三边的长分别为a，b，c，那么可以根据秦九韶—海伦公式可得：的面积，其中．
解答问题：请在（2）的条件下，根据“阅读材料”中的信息解答下列问题：

①求等腰三角形的面积；
②如图，若和的角平分线交于点I，请求出的面积．
期末考向三：一元二次方程的应用
重点考点讲练11：传播问题(一元二次方程的应用)
【母题精讲】（22-23八年级下·辽宁·期末）区教育局要组织辖区内学校进行足球友谊赛，赛制为单循环形式，即每两所学校之间都赛一场，计划安排28场比赛，应邀请多少所学校参加比赛
【训练1】（22-23八年级下·重庆沙坪坝·期末）有一个人患流感，经过两轮传染后共有64个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染个人，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【训练2】（21-22八年级下·浙江绍兴·期末）请根据图片内容，回答下列问题：
(1)每轮传染中，平均一个人传染了几个人？
(2)按照这样的速度传染，第三轮将新增多少名感染者（假设每轮传染人数相同）？
重点考点讲练12：增长率问题(一元二次方程的应用)
【母题精讲】（24-25九年级上·辽宁辽阳·期末）为了加快数字化城市建设，某地计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了300个充电桩，第三个月新建了432个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【训练1】（24-25九年级上·全国·期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【训练2】（22-23八年级下·浙江宁波·期末）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．
(1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；
(2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？
重点考点讲练13：与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
【母题精讲】（24-25九年级上·福建莆田·期末）在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【训练1】（22-23九年级下·四川广安·阶段练习）如图，利用一面墙（墙最长可利用），围成一个矩形花园，与墙平行的一边上要预留宽的入口（如图中所示，不用砌墙），现有砌长的墙的材料．
(1)当矩形的长为多少米时，矩形花园的面积为；
(2)能否围成面积为的矩形花园，为什么？
【训练2】（23-24八年级下·全国·期末）如图，某农场准备围建一块矩形菜地．其中一边靠墙（墙的长度不超过），另外三边用长为的篱笆围成．
(1)怎样围才能使矩形菜地的面积为？
(2)能否使所围矩形菜地的面积为？为什么？
重点考点讲练14：数字问题(一元二次方程的应用)
【母题精讲】（22-23八年级下·吉林长春·期末）如图是某月日历表的一部分，在此日历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数（如）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为，则这9个数中最小数为（ ）

A．18 B．13 C．7 D．3
【训练1】（22-23九年级上·河南商丘·期末）如图，是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．如果圈出的9个数中，最小数x与最大数的积为161，那么根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【训练2】（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）某足球比赛，要求每两支球队之间都要比赛一场，若共比赛场，则有 支球队参加比赛．
重点考点讲练15：营销问题(一元二次方程的应用)
【母题精讲】（23-24八年级下·重庆江北·期末）为传承端午文化，2024年的端午节期间全国各地举行了丰富多彩的赛龙舟活动．某商家以每套75元的价格购进一批龙舟训练比赛服装，定价每套120元进行售卖．
(1)经统计，3月份该服装销售量为256件，5月份该服装销售量为400件．求该服装销售量的月平均增长率；
(2)今年端午节在6月份，此段时间龙舟比赛服的销量将有大幅提升，但端午节过后销量又会下滑，为了在6月份端午期间扩大销量减少库存，商家决定对龙舟比赛服进行降价促销．经过调研，在5月份的销售数量基础上每降价5元，销量将提高15件，商家将比赛服的售价定为多少时，才能获得13350元的利润．
【训练1】（23-24八年级下·重庆·期末）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某社区图书室积极推广全社区阅读活动，决定下半年逐月加大图书购置经费的投入．其中七月计划购买甲与乙两种书籍共100本．已知书籍甲的单价是68元，书籍乙的单价是50元，共花费5720元．
(1)请问七月计划购买甲、乙书籍各多少本？
(2)经过比较，图书室工作人员最终决定在新星书城购买书籍甲和乙．书籍甲的单价减少了元，购买数量增加了本．书籍乙的单价不变，购买甲、乙书籍的总数量也不变，总费用比原计划减少了元，请求出的值．
【训练2】（23-24八年级下·山东烟台·期末）每年5月份的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”．康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定降价销售，但每辆轮椅利润不低于180元．全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？
重点考点讲练16：动态几何问题(一元二次方程的应用)
【母题精讲】（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图，已知长方形的边长，，某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当点到达点时，两点同时停止运动，问：
(1)经过多长时间，的长为？
(2)经过多长时间，的面积等于长方形面积的？
【训练1】（21-22九年级上·内蒙古通辽·期末）如图，在中，，，，点 P 从点A 开始向点 B 以的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 边向点 C 以的速度移动，当 P、Q 两点中有一点到达终点时，则同时停 止运动．
(1)如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，那么经过几秒时，的面积等于？
(2)如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，那么经过几秒时， 的长度等于
【训练2】（22-23八年级下·山东济南·期末）如图，在中，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间t秒．

(1)填空：______，______；（用含t的代数式表示）；
(2)当t为几秒时，的长度等于；
(3)是否存在某一时刻t，使四边形的面积等于面积的？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由．
重点考点讲练17：工程问题(一元二次方程的应用)
【母题精讲】（2021·湖北宜昌·中考真题）随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广．喷灌和滴灌是比漫灌更节水的灌溉方式，喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的和．去年，新丰收公司用各100亩的三块试验田分别采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000吨．
（1）请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？
（2）今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了，漫灌试验田的面积减少了．同时，该公司通过维修灌溉输水管道，使得三种灌溉方式下的每亩用水量都进一步减少了．经测算，今年的灌溉用水量比去年减少，求的值．
（3）节水不仅为了环保，也与经济收益有关系．今年，该公司全部试验田在灌溉输水管道维修方面每亩投入30元，在新增的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经费为每亩100元．在（2）的情况下，若每吨水费为2.5元，请判断，相比去年因用水量减少所节省的水费是否大于今年的以上两项投入之和？
【训练1】（2014·安徽安庆·二模）为了满足铁路交通的快速发展，安庆火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？
【训练2】（22-23八年级下·江苏泰州·期末）问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？”
条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多；
（2）原计划每天修建的长度比实际少75米．
在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答．
重点考点讲练18：行程问题(一元二次方程的应用)
【母题精讲】（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为每秒1.5米，乙的速度为每秒1米，乙一直向东走，甲先向南走10米，后又朝北偏东某个方向走了一段后与乙相遇，则乙走了 米．
【训练1】（22-23八年级下·浙江杭州·期末）已知，一辆汽车在笔直的公路上刹车后，该车的速度米秒与时间秒之间满足一次函数关系，其图象如图所示；

(1)求与之间的函数关系式；
(2)已知汽车在该运动状态下，一段时间内向前滑行的距离等于这段时间内的平均速度乘以时间该运动状态下的平均速度 ，表示这段时间起始时刻的速度，表示这段时间结束时刻的速度．若该车刹车后秒内向前滑行了米，求的值．
【训练2】（23-24八年级下·安徽六安·期末）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是 ．
重点考点讲练19：其他问题(一元二次方程的应用)
【母题精讲】（23-24八年级下·山东烟台·期末）科研人员在实验室进行某种药液的临床试验，他用一个容器盛满了纯药液4升，第一次倒出若干升后，用水加满，充分混合后，第二次又倒出同样体积的溶液，此时容器里溶液中的纯药液还剩下1升．
(1)每次倒出溶液多少升？
(2)若用水加满再充分混合，则第三次倒出同样体积的溶液后，溶液中的纯药液还剩多少？
【训练1】（23-24八年级下·浙江湖州·期末）一次围棋比赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各比赛1局），且参赛者少于15人．小珺和小哲对比赛的总局数进行的统计：
(1)若参赛者共5人，按赛制应该进行几局比赛？
(2)小哲说的有道理吗？请通过计算说明；
(3)他们经过查询，小珺的统计无误，是有一人中途退出比赛，请直接写出报名本次比赛的人数．
【训练2】（23-24八年级下·重庆·期末）端午节吃粽子是中国人民的传统习俗．五月初利民副食店购进鲜肉粽、蜜枣粽两种粽子，其中鲜肉粽进价为15元/袋，售价为27元/袋，蜜枣粽进价为10元/袋，售价为19元/袋．利民副食店用660元购进鲜肉粽、蜜枣粽两种粽子共50袋．（注：利润=售价-进价）
(1)求购进鲜肉粽、蜜枣粽各多少袋？
(2)临近端午节，蜜枣粽售完，鲜肉粽还有剩余．副食店决定端午节当天对鲜肉粽降价销售，如果按原价销售，平均每天可售2袋．经调查发现，鲜肉粽每降价1元，平均每天可多售2袋．剩余的鲜肉粽在降价当天全部售完，50袋粽子共获利506元，每袋鲜肉粽应降价多少元？
期末考向四：一元二次方程根与系数的关系
重点考点讲练20：一元二次方程的根与系数的关系
【母题精讲】（21-22九年级上·四川泸州·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求a的取值范围；
(2)若满足，求a的值．
【训练1】（23-24八年级下·全国·期末）等腰三角形的三边长分别为，，，且关于的一元二次方程的两个根是和，则的值为 ．
【训练2】（21-22八年级下·安徽六安·期末）已知关于的方程．
(1)若方程有两个实数根，求的取值范围；
(2)若方程的一个根为1，求的值及方程的另一个根．
中档题—夯实基础能力
1．（24-25八年级上·上海普陀·期末）在下列关于的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25八年级上·福建漳州·期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级上·上海杨浦·期末）下列方程中，一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24八年级下·山东威海·期末）若m， n是方程的两个根，则 的值为 ．
5．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）已知一元二次方程的两个实数根为m，n，则 ．
6．（22-23八年级下·山东泰安·期末）若用配方法解方程，时，原方程可变形为 ．
7．（24-25八年级上·四川眉山·期末）阅读理解：我们一起来探究代数式的值，探究一：当时，代数式的值为6，当时，代数式的值为11，可见，代数式的值随x的值的变化而变化．
探究二：把代数式进行变形，如：，可得：当_____时，代数式有最小值，最小值为_____．
请回答下列问题：
(1)请补充完成探究二，直接在横线处填空；
(2)当取何值时，代数式有最大值，最大值为多少
(3)如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个长方形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料，问：当为多少米，围成长方形花园的面积有最大值，最大面积是多少
(4)
8．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位）
(1)若设车棚宽度为，则车棚长度为______m；
(2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽；
(3)若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
9．（23-24八年级下·全国·期末）解下列方程：
(1)（用配方法）； (2)．
10．（20-21八年级下·浙江杭州·期末）某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元． 为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
(1)若降价5元，则平均每天销售数量为 件；
(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
压轴题—强化解题技能
11．（23-24八年级下·浙江丽水·期末）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则方程的另一个根是（　　）
A． B． C．1 D．
12．（22-23八年级下·上海·期末）下列命题正确的是（ ）
A．关于的方程：的解是
B．关于的方程：的解是
C．关于的二项方程：（是正整数）总有实数解
D．方程：的解只有两个
13．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）下列方程中，有实数解的是（ ）
A． B． C． D．
14．（22-23八年级下·浙江丽水·期末）如图，以a，b为边长的矩形面积为，以c为边长的正方形面积为，已知．
（1）当时，则c的值是 ；
（2）若c为整数，，则矩形和正方形的周长之和的值是 ．
15．（22-23八年级下·浙江·期末）如图，直线与反比例函数的图像在第一象限交于点．若，则的值为 ．
16．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）若方程的有两个相等的实数根，则 ．
17．（22-23九年级上·广东广州·期末）已知：关于的一元二次方程有两个实数根，．
(1)求实数的取值范围；
(2)若，求的值．
18．（22-23八年级下·广东江门·期末）我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每周的销售量可增加4千克．
(1)若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答：
①每千克茶叶应降价多少元？
②在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
(2)在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元吗？请说明理由．
19．（23-24九年级上·辽宁铁岭·期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨0.2元/个，则月销售量将减少2个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
20．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知：关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若的两边长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，求m的值．

展开更多......

收起↑