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2024-2025学年浙教版数学八年级下学期期末复习知识串讲（优等生培优版）
第6章 反比例函数
（思维导图+知识梳理+易错点拨+10大考点讲练+优选真题难度分层练 共50题）
讲义简介 2
思维导图指引 2
章节知识回顾梳理 3
知识点梳理01：反比例函数的概念 3
知识点梳理02：反比例函数解析式的确定 3
知识点梳理03：反比例函数的图象和性质 3
知识点梳理04：应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点 5
易错考点点拨汇总 5
易错知识点01：反比例函数定义理解偏差 5
易错知识点02：图像与性质应用错误 6
易错知识点03：几何意义（k的几何意义）应用失误 6
易错知识点04：综合应用与实际问题误区 6
易错知识点05：典型压轴题易错点 7
期末真题考点汇编讲练 7
期末考向一：反比例函数 7
重点考点讲练01：求反比例函数值 7
重点考点讲练02：求反比例函数解析式 9
期末考向二：反比例函数的图象和性质 12
重点考点讲练03：已知比例系数求特殊图形的面积 12
重点考点讲练04：根据图形面积求比例系数（解析式) 16
重点考点讲练05：反比例函数与几何综合 18
重点考点讲练06：一次函数与反比例函数图象综合判断 26
重点考点讲练07：一次函数与反比例函数的交点问题 32
重点考点讲练08：一次函数与反比例函数的实际应用 37
重点考点讲练09：一次函数与反比例函数的其他综合应用 41
期末考向三：反比例函数的应用 47
重点考点讲练10：实际问题与反比例函数 47
优选真题难度分层练 52
中档题—夯实基础能力 52
压轴题—强化解题技能 59
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知识点梳理01：反比例函数的概念
一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.
要点诠释：在中，自变量的取值范围是， ()可以写成()的形式，也可以写成的形式.
知识点梳理02：反比例函数解析式的确定
反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式.
知识点梳理03：反比例函数的图象和性质
1.反比例函数的图象
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与轴、轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．
【细节剖析】
观察反比例函数的图象可得：和的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．
①的图象是轴对称图形，对称轴为两条直线；
②的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；
③(k≠0)在同一坐标系中的图象关于轴对称，也关于轴对称.
注：正比例函数与反比例函数，
当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称.
2.反比例函数的性质
（1）图象位置与反比例函数性质
　　当时，同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小；当时，异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大.
（2）若点()在反比例函数的图象上，则点（）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称.
（3）正比例函数与反比例函数的性质比较
　 正比例函数 反比例函数
解析式
图 像 直线 有两个分支组成的曲线（双曲线）
位 置 ，一、三象限；
，二、四象限 ，一、三象限
，二、四象限
增减性 ，随的增大而增大
，随的增大而减小 ，在每个象限，随的增大而减小
，在每个象限，随的增大而增大
（4）反比例函数y＝中的意义
①过双曲线(≠0) 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.
②过双曲线(≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.
知识点梳理04：应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点
　1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题.
2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围.
易错知识点01：反比例函数定义理解偏差
忽略隐含条件
易错点：未明确反比例函数形式为 （），或误认为形如 或 的式子均为反比例函数。
示例：函数 不是反比例函数，因分母含变量 的平移项。
对策：严格对照定义，判断函数是否符合 且 。
混淆比例系数与函数值
易错点：将函数图像上某点的坐标直接代入解析式时，未正确解方程求 。
示例：若点 在反比例函数图像上，则 ，而非 。
对策：牢记 ，通过坐标乘积求解。
易错知识点02：图像与性质应用错误
图像分布与 的符号混淆
易错点：误判 时图像分布在一、三象限， 时分布在二、四象限。
示例：函数 的图像在第二、四象限，而非第一、三象限。
对策：结合 的符号口诀“正一三，负二四”记忆。
对称性理解不透
易错点：忽略反比例函数图像关于原点中心对称，也关于直线 或 对称。
示例：若点 在图像上，则 必在图像上，但可能误认为 或 也在图像上。
对策：通过代数验证对称点坐标是否满足 。
易错知识点03：几何意义（k的几何意义）应用失误
面积计算错误
易错点：误认为图像上任意矩形或三角形的面积均与 相关。
示例：由双曲线上一点 向坐标轴作垂线，形成的矩形面积为 ，但若垂线非垂直于坐标轴，则面积不成立。
对策：明确只有当矩形的边平行于坐标轴时，面积才为 。
动点问题中的面积变化误判
易错点：误认为动点在双曲线上移动时，相关几何图形（如四边形）的面积会发生变化。
示例：双曲线 上动点 与坐标轴围成的矩形面积恒为 ，但若涉及其他动点组合图形，需重新计算。
对策：优先利用 的几何意义分析静态面积，动态问题需结合函数关系推导。
易错知识点04：综合应用与实际问题误区
忽略实际意义限制
易错点：在解决实际问题（如物理中的电阻、速度问题）时，未考虑自变量 的实际取值范围（如 ）。
示例：若 表示时间与速度的关系，解集应为 ，但可能遗漏限制条件导致错误。
对策：明确实际问题中变量的物理意义及取值范围的隐含限制。
与一次函数结合时联立错误
易错点：联立反比例函数与一次函数求交点时，漏解或未验证解的合理性。
示例：解方程 时，可能忽略二次方程的判别式是否非负，导致虚根。
对策：联立后整理为二次方程，通过判别式判断实数解的存在性。
易错知识点05：典型压轴题易错点
几何变换中的函数关系分析
易错点：旋转、平移后的图形与原反比例函数图像结合时，未正确推导新函数解析式。
示例：将双曲线 绕原点旋转90°后，解析式变为 ，而非直接交换 与 。
对策：通过坐标变换公式（如旋转矩阵）重新计算新函数关系。
动态几何中的函数模型构建
易错点：未将动点轨迹与反比例函数结合，导致模型错误。
示例：等腰直角三角形顶点在双曲线上运动时，需利用几何性质（如全等、相似）建立变量关系。
对策：先分析几何图形的恒等条件，再结合反比例函数特性列方程。
期末考向一：反比例函数
重点考点讲练01：求反比例函数值
【母题精讲】（22-23八年级上·上海长宁·期末）已知点、点在同一个反比例函数的图象上，则点A与点B的距离为 ．
【答案】
【思路点拨】本题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数图象和性质，图象上的点的坐标特征，是解决问题的关键．
设反比例函数解析式为，把、点代入，得，求出m的值，而后运用两点间的距离公式计算即可．
【规范解答】设反比例函数为，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【训练1】（22-23八年级下·江苏连云港·期末）已知与成反比例函数关系，且当时，．
(1)求与之间的函数表达式；
(2)当时，求的值．
【答案】(1) ；
(2)．
【思路点拨】（1）设该函数的解析式为 ，再把当时，代入可得的值，进而可得函数的解析式；
（2）把代入（）中的函数解析式可得答案．
【规范解答】（1）解：∵与成反比例函数关系，
∴设该函数的解析式为 ，
∵当时，
∴ ，，
∴与之间的函数表达式为： ；
（2）解：当时， ．
【训练2】（22-23八年级下·江苏连云港·期末）已知与y=x-3相交于点，则的值为 ．
【答案】-3
【思路点拨】利用反比例函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征可得出，，进而可得出，，再将其代入中即可求出结论．
【规范解答】∵与相交于点，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：-3．
重点考点讲练02：求反比例函数解析式
【母题精讲】（22-23八年级下·浙江·期末）如图，反比例函数的图像经过点．
(1)求点的坐标．
(2)若点先向左平移个单位，再向下平移个单位，仍落在该反比例函数的图像上，求的值．
【答案】(1)；
(2)
【思路点拨】（1）待定系数法求反比例函数解析式，代入点A，求a；
（2）将点A平移后所得点的坐标代入函数解析式求m．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式和点的平移变化．主要利用求m的值， 要注意m的取值范围．
【规范解答】（1）解：把点代入得：，
，
（2）解：将点先向左平移个单位，再向下平移个单位后得点：，把点代入，得：，
解得：（舍），或，
．
【训练1】（23-24八年级下·重庆黔江·期末）如图，的直角边在轴上，，边交轴于点，点在反比例函数第一象限的图象上，所在直线的解析式为，其中点，．
(1)求反比例函数和所在直线的解析式；
(2)将的边直角边沿着轴正方向平移个单位长度得到线段，线段与反比例函数的图象交于点，问当为何值时，四边形是平行四边形？
【答案】(1)，
(2)
【思路点拨】此题考查了反比例函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、图形的平移、平行四边形的判定和性质等知识，数形结合是解题的关键．
（1）先求出所在直线的解析式为，再求出点，由点在反比例函数第一象限的图象上即可得到反比例函数的解析式；
（2）求出，由平移的性质得到，，得到当时，四边形是平行四边形，求得点的纵坐标为，则利用求出的值即可．
【规范解答】（1）解：∵直线经过点，
∴，
∴，
∴所在直线的解析式为，
∵，，
∴点C的横坐标是1，当时，，
∴，
∵点在反比例函数第一象限的图象上，
∴；
∴反比例函数的解析式为.
（2）当时，，
∴，
由平移的性质得到，，
由题意得，
∴当时，四边形是平行四边形，
由（1）知反比例函数的解析式为，
点在反比例函数第一象限的图象上，点的横坐标为，
点的纵坐标为，
，
解得，
即当为2时，四边形是平行四边形．
【训练2】（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图所示：直线与轴相交于点B，A是直线上一点，过点A，B分别作轴、y轴的平行线交于点C，已知点C恰好在反比例函数 的图像上，若点A的横坐标为点B横坐标的一半．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)直接写出B点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【思路点拨】本题考查了反比例函数图像与一次函数图像上点的坐标特征，设点C的坐标为，导出点A、B坐标并将其代入直线解析式即可得出答案，熟练掌握坐标与函数解析式的关系是解题的关键．
【规范解答】（1）解：设点C的坐标为，则点，
∵点A的横坐标为点B横坐标的一半，则，
∵、在直线的图像上，
∴，
解得，
∴反比例函数的解析式为：；
（2）解：∵，
∴．
期末考向二：反比例函数的图象和性质
重点考点讲练03：已知比例系数求特殊图形的面积
【母题精讲】（22-23八年级下·江苏泰州·期末）如图，点是反比例函数图象上的一点，作轴于点，轴于点，点、分别是、上的点，且的面积为，的面积为，则的面积为 ．
【答案】
【思路点拨】设点的坐标为，利用面积将线段和用含有、的代数式表示出来，进而将线段和也用的代数式表示出，利用面积公式即可求出．
本题考查了反比例函数中值的几何意义，，图象上点的坐标之积等于．
【规范解答】解：设点的坐标为，则，，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【训练1】（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，四边形是面积为4的正方形，函数的图象经过点．
(1)的值为______．
(2)将正方形分别沿直线，翻折，得到正方形，正方形．设线段，分别与函数的图象交于点，，连接，，．
①求的面积；
②在轴上是否存在点，使为直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)4
(2)①；②存在，点的坐标为或
【思路点拨】（1）根据坐标与图形、正方形的性质得到点B坐标，然后代入求解即可；
（2）①根据轴对称性质和反比例函数图象上点的坐标特征求得点E、F的坐标，再根据反比例函数比例系数k的几何意义得到，则有，进而求解即可；
②设，分三种情况：若、若、若，利用两点坐标距离公式和勾股定理列方程，然后解方程即可求解．
【规范解答】（1）解：∵四边形是面积为4的正方形，
∴，则,
将代入中，得；
（2）解：①根据翻折性质，得，
∴点E的横坐标为4，点F的纵坐标为4，
∵点E、F在函数的图象上，
∴当时，，当，，
∴，，
过F作轴于H，则，
∴；
②存在．设，
∴，
，
，
∵为直角三角形，
∴分三种情况：
若，则，
∴，解得，
∴；
若，则，
∴，即，
∵，
∴该方程无解，即P不存在；
若，则，
∴，解得，
∴，
综上，满足条件的点的坐标为或．
【训练2】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图， 和 都是等腰直角三角形， ，反比例函数 在第一象限的图象经过点 ，则 与 的面积之差为 ．
【答案】
【思路点拨】本题考查了反比例函数系数的几何意义，等腰三角形的性质，面积公式，平方差公式，根据和都是等腰直角三角形可得出、，设，，则点的坐标为，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求出，再根据三角形的面积即可得出与的面积之差，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【规范解答】∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
设，，
则点的坐标为，
∵反比例函数在第一象限的图象经过点，
∴，
∴，
故答案为：．
重点考点讲练04：根据图形面积求比例系数（解析式)
【母题精讲】（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，四边形为矩形，点在第四象限，点关于的对称点为点，且，都在函数的图象上，轴于点，的延长线交轴于点，当矩形的面积为时，则的值为 ．
【答案】
【思路点拨】本题考查了矩形性质，轴对称性质，反比例函数的“”的几何含义等知识，解决问题的关键是学会利用面积法解决问题．如图，连接，．首先证明，推出，推出，即可求解．
【规范解答】解：如图，连接，．
四边形为矩形，
，
由对称的性质可得：，
，
，
与的边上的高相等，
，
．
，
故答案为：．
【训练1】（23-24八年级下·山西晋城·期末）如图、点在反比例函数的图象上，轴，的面积为5，则的值为（ ）
A．5 B． C．10 D．
【答案】D
【思路点拨】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，由的面积为5可得，再结合图象经过的是第四象限，从而可以确定k值．
【规范解答】解：∵，
∴，即，则
∵图象经过第四象限，
∴，
∴
故选：D．
【训练2】（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作轴于点B，点P在x轴上，，四边形的面积为12，则这个反比例函数的表达式为 ．
【答案】
【思路点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，反比例函数k的几何意义，求反比例函数的解析式，先设这个反比例函数的表达式为，再通过证明四边形是平行四边形，并利用平行四边形的性质及反比例函数的性质得出k的值，即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【规范解答】设这个反比例函数的表达式为，
∵轴于点B，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵反比例函数图象位于第二象限，
∴，
∴反比例函数的表达式为，
故答案为：．
重点考点讲练05：反比例函数与几何综合
【母题精讲】（22-23八年级下·山西临汾·期末）如图，一次函数与反比例函数的图像交于A、B两点，且A点坐标为，又与坐标轴分别交于M、N两点，且M的坐标为．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)已知的面积为3，求点B的坐标；
(3)平面内是否存在一点P，使得以点P、A、O、B为顶点的四边形是平行四边形若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，在请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在．，，
【思路点拨】（1）先求出一次函数解析式，再把代入求出m，然后再求反比例函数解析式；
（2）先求出，设，然后利用的面积为3列方程求解即可；
（3）设，然后分3种情况利用平行四边形的对角线互相平分，结合中点坐标公式求解即可．
【规范解答】（1）把代入，得，
∴，
把代入，得，
解得，
∴把代入，得，
∴；
（2）当时，，
∴，
∴，
∴，
设，
∵的面积为3，
∴，
∴，
∴；
（3）设，
当为对角线时，由题意，得
，，
∴，
∴，
当为对角线时，由题意，得
，，
∴，
∴，
当为对角线时，由题意，得
，，
∴，
∴，
综上可知，P点的坐标为，，．
【训练1】（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，在x轴的正半轴上依次截取…，过点分别作x轴的垂线与反比例函数 （）的图象相交于点连接分别与 …，交于点，……，得，四边形，四边形 ，四边形 ，并设其面积分别为 …，以此类推．

(1)求；
(2)直接写出及的值．
【答案】(1)
(2)，
【思路点拨】本题考查的是反比例函数综合题．
（1）设，利用反比例函数的定义求出，，，，利用梯形的面积公式计算即可；
（2）结合（1）得到，按此规律，可得．
【规范解答】（1）解： ，，，是反比例函数的图象上的点，
设，
，，，，
，
；
（2）解：由（1）可得，
，
，
，
，
．
【训练2】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图1，点A是反比例函数的图象上一动点，连接并延长交反比例函数于点B，设与x轴正半轴的夹角为，
(1)①若，则______；②若，则______；
(2)小红同学在数学老师的指导下，证明了命题“无论如何变化，的值始终不变”为真命题．如图2，点E、F在，点G在上，O、F、G在同一条直线上，仅用无刻度的直尺在的图象上作点H，使得；
(3)如图3，过点B作x轴、y轴的垂线分别交于点C、D；
①试说明的面积为定值，并求出该值；
②若，连接并延长交x轴于点E，求∠DCE的度数．
【答案】(1)；
(2)见解析
(3)①说明见解析；；②
【思路点拨】（1）过点A作轴于点E，轴于点F，当，设，，求出，，得出；当，设，，得出，，求出，即可得出答案；
（2）连接并延长，交的图象于一点，该点即为所求；
（3）①设点，则，，得出，，根据，即可得出结论；
②根据，得出，求出，得出，，，求出直线的解析式为：，得出，求出，
，，根据勾股定理逆定理判断为直角三角形，即可得出答案．
【规范解答】（1）解：过点A作轴于点E，轴于点F，如图所示：
则，
∵，
∴和为等腰直角三角形，
∴，，
∴设，，
∵点A在反比例函数，点B在反比例函数上，
∴，
解得：，负值舍去，，负值舍去，
∴，，
∴，，
∴；
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
设，，
∵点A在反比例函数，点B在反比例函数上，
∴，
解得：，，
，
∴；
（2）解：如图，连接并延长，交的图象于一点，该点即为点H；
连接，，
∵“无论如何变化，的值始终不变”为真命题，
∴根据解析（1）可知：，
∴，
∴，，
∴、分别为，的中点，
∴为的中位线，
∴；
（3）解：①设点，则，，
∴，，
∴，
∴的面积为定值．
②∵，
∴，
解得：，
∴，，，
∴根据解析（1）可知：此时，
即，
∴，
设直线的解析式为：，
把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴，
∵，
，，
∴，
∴为直角三角形，．
重点考点讲练06：一次函数与反比例函数图象综合判断
【母题精讲】（23-24八年级上·上海·期末）已知函数中，在每个象限内，的值随的值增大而增大，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图像是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【思路点拨】本题主要考查了反比例函数图象的性质与正比例函数图象的性质，首先根据反比例函数图象的性质判断出k的范围，再确定其所在象限，进而确定正比例函数图象所在象限，即可得到答案．
【规范解答】解：∵函数中，在每个象限内，y随x的增大而增大，
∴，
∴双曲线在第二、四象限，
∴函数的图象经过第一、三象限，
故选：A．
【训练1】（23-24八年级下·江苏淮安·期末）“数形结合”是一种重要的数学思想，八上教材中，我们曾用函数观点看方程，也就是利用一次函数的图象求解二元一次方程组．类似的，学习了一次函数和反比例函数之后，我们也可以将方程的解的研究转化为已学函数图象交点的问题…
(1)将方程的解转化为和这两个函数图像的交点问题，结合图象可以判断这个方程有 个实数解；
(2)方程的解也可以转化为一次函数和反比例函数的图象交点问题．请直接写出一对符合要求的表达式 和 ，结合图象可以判断方程有 个解；
(3)利用“数形结合”，仿照上述方法，不解方程，借助平面直角坐标系，判断方程的解的个数；
(4)请根据的取值情况写出满足方程（均为非0常数）的的个数．
【答案】(1)2
(2)，，0
(3)图象见解析，方程的解的个数为1；
(4)同号时，方程（均为非0常数）的的个数为2个．异号时，方程（均为非0常数）的的个数为0个．
【思路点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，画函数图象，数形结合是本题的最大特点．
（1）在同一直角坐标系中画出两个函数的图象即可得到答案；
（2）方程两边除以x，变为，则可表示成一个一次函数与一个反比例函数的交点问题，从而可写出符合要求的表达式，在同一直角坐标系中画出两个函数的图象即可得到答案；
（3）把变形为：，这样方程的解的个数可转化为两个函数的交点个数问题，借助函数图象即可解决；
（4）分两种情况进行分析解答即可．
【规范解答】（1）在同一坐标系中，和这两个函数图象如下，有两个交点，
∴方程有2个实数解；
故答案为：2
（2）解：
方程两边除以x，得：，
即，
∴令，，
则方程的解转化为一次函数和反比例函数的图象交点问题．结合图象可以判断方程有0个解；
故答案为：，，0
（3）解：把变形为：，
设，，
方程的解的个数可转化为两个函数，，的图象的交点个数问题，
画出两个函数的图象如下：
观察图象知，两个函数，的图象的交点只有1个，表明方程只有1个解．
（4）∵，均为非0常数
∴，
当时，，即同号时，方程（均为非0常数）的的个数为2个．
当时，即异号时，方程（均为非0常数）的的个数为0个．
综上可知，同号时，方程（均为非0常数）的的个数为2个．异号时，方程（均为非0常数）的的个数为0个．
【训练2】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了和的图象，两个函数图象交于两点，在线段上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图象于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究的长度与点P的横坐标之间的关系，小华进行了以下探究：

【探索发现】
（1）设点P的横坐标为x，则点P的纵坐标为________，点Q的纵坐标为________；（用x的代数式表示）
若设的长度为y，则y与x之间的函数关系式为________（）；
（2）为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表、描点、连线的方法绘制函数的图像：
①列表：
x 1 2 3 4 6 9
y 0 4 m 0
表中________；
②描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点；
③连线：请在图2中画出该函数的图像．观察函数图像，发现：当_______时，y的最大值为_______．
【迁移应用】
利用（2）中的发现，解决问题：
（3）已知某矩形的一组邻边长分别为m，n，且该矩形的周长W与n存在函数关系，求m取最大值时矩形的对角线长．
【答案】（1），，；（2）①；②见解析；③3，10；（3）
【思路点拨】（1）根据题意，点P的横坐标为x，由点P在的图象上即可得出纵坐标，点Q在的图象上即可得出纵坐标，的长度为y，根据的长等于纵坐标之差求解即可；
（2）①根据表格数据将代入（1）中函数，即可求得的值；
②根据表格数据描点即可；
③根据函数图象直接求解即可
（3）由题意可知，，代入得：，即，根据（2）的结论求得最大值，进而求得对角线的长度．
【规范解答】解：（1）点P的横坐标为x，
点P的纵坐标为，点Q的纵坐标为，
的长度为y，
；
（2）①当；
②如图所示；

③当时，y有最大值为10；
（3）由题意可知，，
代入得：，即，
由（2）可知，当时，y取最大值为10．
当时，m的取最大值为，
此时矩形的对角线长为：．
重点考点讲练07：一次函数与反比例函数的交点问题
【母题精讲】（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，交反比例函数的图象于点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)如图2，点在反比例函数图象上，点E为在直线上一动点，点F为x轴上一动点，求的最小值；
(3)在（2）的条件下，若点M在反比例函数图象上，点N在x轴上，是否存在以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【思路点拨】（1）求直线的解析式，得到点C的坐标，代入，求出反比例函数的解析式；
（2）先求出，作点D关于x轴的对称点，则，由垂线段最短可知，过点作于点E，交x轴于点F，此时最小，连接，求出，即点E与点B重合，利用勾股定理求出，得到的最小值是；
（3）设，点，分三种情况①若以为对角线时，②若以为对角线时，③若以为对角线时，根据平行四边形的性质列方程组求出m的值．
【规范解答】（1）解：设直线的解析式为，
，
解得，
∴直线的解析式为，
将代入，得，
∴，
∴，
将代入，
得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）∵点在反比例函数图象上，
∴，
解得，
∴，
作点D关于x轴的对称点，则，
由垂线段最短可知，过点作于点E，交x轴于点F，
此时最小，
连接，
∵，
∴轴，，
∵，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，即点E与点B重合，
∴，
∴的最小值是；
（3）由题意设，点，
∵，
∴①若以为对角线时，则，解得，
∴；
②若以为对角线时，则，解得（舍去）；
③若以为对角线时，则，解得，
∴（舍去）
综上，．
【训练1】（23-24八年级下·浙江·期末）在平面直角坐标系中，设函数（m是实数），，已知函数与的图象都经过点和点．
(1)求函数，的解析式与点的坐标．
(2)当时，请直接写出自变量x的取值范围．
(3)已知点和点在函数的图象上，且，设，当时，求的取值范围．
【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为，
(2)时，自变量的取值范围为或；
(3)．
【思路点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．
（1）将点坐标代入一次函数求出值得到点坐标，得到反比例函数解析式，再联立方程组得到点坐标即可；
（2）由两个函数性质及交点坐标直接写出不等式的解集即可；
（3）根据题意先推出，再推出，，两者结合可得的取值范围．
【规范解答】（1）解：函数经过点，
，
解得：，
，
点在反比例函数图象上，
，
反比例函数解析式为，一次函数解析式为．
联立方程组，解得，，
；
（2）解：由两个函数的性质及交点坐标可知：
当时，自变量的取值范围为或；
（3）解：点和点在函数的图象上，
，，
，
，，
，
，
，
．
的取值范围为．
【训练2】（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，直线（为常数）与双曲线（为常数）相交于，两点．
(1)求直线的解析式；
(2)请直接写出关于的不等式的解集．
【答案】(1)；
(2)或．
【思路点拨】（）将点代入反比例函数，求得，将点代入，得出，进而待定系数法求解析式即可求解；
（）根据函数图象即可求解；
本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
【规范解答】（1）将点代入反比例函数，
∴，
∴，
将点代入，
∴，
将，代入，得
，
解得：，
∴解析式为：；
（2）根据图象可知，，，
当时，或．
重点考点讲练08：一次函数与反比例函数的实际应用
【母题精讲】（22-23八年级下·四川乐山·期末）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示．

(1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；
(2)问血液中药物浓度不低于2微克/毫升的持续时间多少小时？
【答案】(1)血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为，下降阶段的函数关系式为．
(2)15小时
【思路点拨】（1）设出解析式，利用待定系数法求解析式，并写出自变量的取值范围即可；
（2）根据题意得出在两个函数中的自变量的值，即可找出取值范围．
【规范解答】（1）解：当时，设直线解析式为：，
将代入得：，解得：，
故直线解析式为：；
当时，设反比例函数解析式为： ，
将代入得： ，解得：a=32，
故反比例函数解析式为： ；
所以血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为，
下降阶段的函数关系式为．
（2）解：如图：由题意：，解得：；，，
∴
∴血液中药物浓度不低于2微克/毫升的持续时间为15小时．

【训练1】（22-23九年级上·山东济南·阶段练习）某品牌饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热（此过程中水温y℃与开机时间x分满足一次函数关系），当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降（此过程中水温y℃与开机时间x分成反比例关系），当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热，…，重复上述程序（如图所示），
(1)分别求出和时的函数关系式，并求出t的值；
(2)两次加热之间，水温保持不低于40℃有多长时间？
(3)开机后50分钟时，求水的温度是多少℃？
【答案】(1)当和时的函数关系式为；；
(2)两次加热之间，水温保持不低于40℃的时间有18分钟
(3)开机后50分钟时，水的温度是80℃
【思路点拨】（1）分别用待定系数法求解即可；把代入所求反比例函数解析式中即可求得t的值；
（2）在中，令，得；在中，令，得，即可得两次加热之间水温保持不低于40℃的时间；
（3）由，当时，，即开机后50分钟时，水的温度．
【规范解答】（1）当时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系为：，
依据题意，得，解得，
故此函数解析式为：；
当时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为：
依据题意，得：，即，故，
当时，，解得：；
（2）当时，，
解得：；
当时，，
解得：；
则两次加热之间，水温保持不低于40℃的时间为（分）．
（3）∵，
∴当时，，
答：开机后50分钟时，水的温度是80℃.
【训练2】（21-22八年级下·山东烟台·期末）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点和，与轴交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式．
(2)在轴上求一点，当的面积为3时，则点的坐标为______．
(3)将直线向下平移2个单位后得到直线，当函数值时，求的取值范围．
【答案】(1)，
(2)或
(3)或
【思路点拨】（1）将点A坐标代入反比例函数可求得反比例函数解析式，进而求得点B坐标，进而把A、B坐标代入一次函数解析式可求得一次函数的解析式．
（2）首先求得直线AB与x轴的交点P的坐标，设点N坐标为（0，n），进而可确定和三角形的底和高，再根据三角形面积求得点N的坐标即可；
（3）由题意可得直线的解析式，然后根据图像可进行求解．
【规范解答】（1）解：∵过点，
∴，
即反比例函数解析式为，
当时，，即，
∵过和，
可得，解得，
∴一次函数解析式为；
（2）如下图，设点P为一次函数与x轴的交点，
当时，有，
∴点P的坐标为（-1，0），
设点N的坐标为（n，0），则，
∵
，
∴，
解得或，
∴点N的坐标为或．
故答案为：或；
（3）如图，设与的图像交于、两点，
∵向下平移两个单位得，且，
∴，
将直线解析式与反比例函数解析式联立，
得，解得或，
∴，，
在A、两点之间或B、两点之间时，存在，
∴当函数值时，的取值范围为或．
重点考点讲练09：一次函数与反比例函数的其他综合应用
【母题精讲】（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点，，与x轴交于点C，与轴交于点
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)点M在x轴上，若，求点M的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
【思路点拨】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数，一次函数与三角形面积问题，熟练求出是解题的关键．
（1）设反比例函数解析式为，将代入，根据待定系数法，即可得到反比例函数解析式，将代入求得的反比例函数，解得a的值，得到B点坐标，最后根据待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）求出点C的坐标，根据求出，分两种情况：M在O点左侧；M点在O点右侧，根据三角形面积公式即可解答．
【规范解答】（1）解：设反比例函数解析式为，
将代入，可得，解得，
反比例函数的解析式为，
把代入，可得，
解得，
，
设一次函数的解析式为，
将，代入，
可得，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）解：当时，可得，
解得，
，
，
，
，
，
，
M在O点左侧时，；
M点在O点右侧时，，
综上，M点的坐标为或．
【训练1】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，设函数(是实数)．，已知函数与的图象都经过点和点B．
(1)求函数，的解析式与B点的坐标．
(2)当时，请直接写出自变量x的取值范围．
(3)已知点和点在函数的图象上，且，设 ，当时，求P的取值范围．
【答案】(1)，，
(2)或．
(3)
【思路点拨】本题考查了一次函数和反比例函数，待定系数法求解析式，不等式的性质，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想是解题的关键．
（1）根据函数与的图象都经过点和点B，先将代入，求出，即可得到，，将代入，可求得，联立，的解析式，解方程即可求得B点的坐标；
（2）画出函数，的图象，当，即当函数的图象在函数的图象上时，所对应的自变量的取值范围，数形结合即可得到自变量x的取值范围；
（3）由点和点在函数的图象上，得到，，利用，结合，求出，，利用不等式的性质即可求出P的取值范围．
【规范解答】（1）解： 函数与的图象都经过点，
，解得，
点，,
将点代入得，
，解得，
，
函数，的解析式分别为：，．
联立，得，
，
解得，或，
B点的坐标为．
（2）解：画出函数，的图象，如图所示，
，即当函数的图象在函数的图象上时，所对应的自变量的取值范围，
或．
故当时，自变量x的取值范围是：或．
（3）解： 和点在函数的图象上，
，，
，，
，即，当时，
，
由得，，
由得，，
，
，
则，
，
，
P的取值范围是．
【训练2】（23-24八年级下·浙江金华·期末）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式．
(2)点在轴负半轴上，连接，过点作，交的图像于点，且，连接．求四边形的面积．
【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为
(2)
【思路点拨】本题考查了一次函数和反比例函数的图象与性质、求一次函数和反比例函数解析式、平行四边形的判定与性质、坐标与图形，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象与性质、数形结合是解题的关键．
（1）把代入求解，得出反比例函数的表达式，求出，把、代入求解，得出一次函数的表达即可；
（2）连接，交轴于点，根据一次函数的表达式，求出，得出，根据，，证明四边形是平行四边形，得出，根据点在轴负半轴上，结合图形与坐标，，，得出点的纵坐标，的边上的高，的边上的高，求出点的纵坐标，代入求出，求出点的横坐标，得出，根据求出，根据计算，得出，根据四边形的面积，计算求出面积即可．
【规范解答】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，
∴把代入得：，
解得：，
∴反比例函数的表达式为，
∴把代入得：，
解得：，
∴，
把、代入得：，
解得：，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：如图，连接，交轴于点，
∵一次函数的表达式为，
∴当时，，
解得：，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵点在轴负半轴上，由（1）得：，，
∴点的纵坐标，的边上的高，的边上的高，
∴点的纵坐标，
∵点在反比例函数上，
∴当时，，
解得：，
∴，
∴点的横坐标，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积．
期末考向三：反比例函数的应用
重点考点讲练10：实际问题与反比例函数
【母题精讲】（23-24八年级下·浙江杭州·期末）某学校准备修建一个面积为的矩形花圃，设矩形花圃的一边长为，相邻的另一边长为．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)若矩形的一边长x满足，求另一边长y的取值范围；
(3)杭杭在实践后得到如下结论：在面积为的情况下，不存在周长为的矩形．请判断他的说法是否正确，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)杭杭的说法正确，理由见解答
【思路点拨】本题考查了反比例函数的应用、分式方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出关于的函数表达式；（2）利用反比例函数的性质，找出的取值范围；（3）找准等量关系，正确列出分式方程．
（1）由矩形花圃的面积为，可得出，变形后即可得出结论；
（2）由，利用反比例函数的性质，可得出当时，随的增大而减小，再结合，可求出的取值范围，再结合，即可得出结论；
（3）假设存在周长为的矩形，利用矩形的周长公式，可得出关于的分式方程，整理后可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即杭杭的说法正确．
【规范解答】（1）解：根据题意得：，
；
（2）解：∵，
∴当时，随的增大而减小，
，
，即，
又∵，
；
（3）解：杭杭的说法正确，理由如下：
假设存在周长为的矩形，
根据题意得：，即，
整理得：，
，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，即杭杭的说法正确．
【训练1】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）在温度不变的条件下，一定量的气体的压强与它的体积成反比例．已知当时，．
(1)求p与V的函数表达式；
(2)当p不超过时，直接写出V的取值范围．
【答案】(1)
(2)不小于
【思路点拨】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是：
（1）根据反比例的定义求V与p的函数表达式即可；
（2）根据函数关系代入求值，然后根据反比例函数的增减性求解即可．
【规范解答】（1）解：设，
把，代入，得，
解得，
∴p与V的函数表达式为；
（2）解：当时，，
解得，
∵在第一象限，p随V的增大而减小，
又p不超过，
∴V不小于．
【训练2】（23-24八年级下·江苏南京·期末）【项目式学习】探索凸透镜成像的奥秘
【项目背景】某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律．
【项目素材】
素材一：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点．
素材二：设物距为u、像距为v和焦距为f，小明在研究的过程中发现了物距u、像距v和焦距f之间在成实像时存在着关系：．
图① 图② 图③
【项目任务】根据项目素材解决问题：
(1)小明先取物距，然后画出光路图（如图①），其中为物体，O为凸透镜的光心，入射光线 光轴，折射光线经过焦点，为所成的像．根据光路图①可知，当时，物体经凸透镜折射后成________（填“放大”或“缩小”或“等大”）的倒立实像；
(2)小明又取物距．
①当时，________（用含有f的代数式表示）；
②当时，物体经凸透镜折射后成________（填“放大”或“缩小”或“等大”）的倒立实像，请仿照图①的方法，在图②中画光路图，并用三角形全等的知识解释；
(3)实际生活中，一个固定的凸透镜焦距f为定值．当时，请解答下列问题：
①请直接写出y与u之间的函数表达式，并在图③中画出函数v的图像；
②试说明：．
【答案】(1)放大
(2)①；②等大，图见详解
(3)①，图见详解②见详解
【思路点拨】本题考查了函数解析式、反比例函数，全等三角形的判定与性质，作图，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）依题意，代入，化简得，再与比较，即可作答．
（2）①把代入，得出，
②则结合全等三角形的判定与性质，即，得出，即可作答．
（3）①结合当时，且，化简得，描点连线，在图③中画出函数v的图像,即可作答．
②∵，，则，所以，即可作答．
【规范解答】（1）解：∵，
把代入
∴
得出
∴
∴物体经凸透镜折射后成放大的倒立实像，
故答案为：放大；
（2）解：①∵小明在研究的过程中发现了物距u、像距v和焦距f之间在成实像时存在着关系：，且
∴把代入
得
∴
故答案为：；
②当时，在图②中画光路图，如图所示：
∴物体经凸透镜折射后成等大的倒立实像，理由如下：
即
∵
∴
∴
即当时，物体经凸透镜折射后成等大的倒立实像，
（3）解：①实际生活中，一个固定的凸透镜焦距f为定值．当时，且
∴y与u之间的函数表达式
解：依题意，列表：
描点连线，在图③中画出函数v的图像，如图所示：
②∵，
∴
∴
∴
中档题—夯实基础能力
1．（22-23八年级下·重庆北碚·期末）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，则下列说法正确的是（　　）
A．正比例函数与反比例函数都随x的增大而增大
B．两个函数图象的另一交点坐标为
C．当或时，
D．反比例函数的解析式是
【答案】C
【思路点拨】由题意可求正比例函数解析式和反比例函数解析式，根据正比例函数和反比例函数的性质可判断求解．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练运用反比例函数与一次函数的性质解决问题是本题的关键．
【规范解答】解：正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，
正比例函数，反比例函数，
两个函数图象的另一个交点为，
正比例函数中，随的增大而增大，反比例函数中，在每个象限内随的增大而减小，
当或时，，
、、选项说法错误；选项C说法正确．
故选：C．
2．（23-24八年级下·黑龙江大庆·期末）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【思路点拨】本题主要考查了反比例函数的概念，解题的关键是掌握反比例函数的定义．根据反比例函数的概念形如（k为常数）的函数称为反比例函数进行分析即可．
【规范解答】解：A、是一次函数，不是反比例函数，选项A不符合题意；
B、是反比例函数，选项B符合题意；
C、不是反比例函数，选项C不符合题意；
D、不是反比例函数，选项D不符合题意；
故选：B．
3．（22-23八年级上·上海长宁·期末）在函数的图象上有三点，，，已知，那么下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【思路点拨】本题考查反比例函数的图象与性质，判断出反比例函数在每个象限的增减性，进而可得到答案．
【规范解答】解：∵，
∴函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
又∵，
∴．
故选：A．
4．（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图，点A是反比例函数的图像上一点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，若点C是x轴上一点，，则k的值为 ．
【答案】6
【思路点拨】本题考查了反比例函数系数的几何意义，明确三角形的面积是解题的关键．根据已知条件得到三角形的面积，由于三角形的面积，得到，即可得到结论．
【规范解答】解：如图，连接；
轴，
，
三角形的面积，
，
，
，
．
故答案为：6
5．（23-24八年级下·福建泉州·期末）在反比例函数中，当时， ．
【答案】/0.5
【思路点拨】本题考查了反比例函数的定义，将代入反比例函数中，解出即可．由已知函数解析式和函数值求相应的自变量的值．
【规范解答】解：当时，．
故答案为：．
6．（23-24八年级下·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，若，则把点与称为一对互换点．已知点M，N是互换点，问M，N两点能否都在一个反比例函数的图象上？答： ．（填“一定”或“不一定”）
【答案】不一定
【思路点拨】此题考查了反比例函数图象的性质，根据题意设，则，分情况讨论点M，N的位置即可判断，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键
【规范解答】解：设，则，
当时，点M在y轴上，此时点M，N不在一个反比例函数的图象上；
当，M，N两点能在一个反比例函数的图象上，
故答案为：不一定
7．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）公元前3世纪，古希腊学者阿基米德发现了著名的“杠杆原理”．杠杆平衡时，阻力阻力臂动力动力臂．几位同学玩撬石头的游戏，已知阻力（石头重量）和阻力臂分别为和．
(1)设动力臂为，动力为，求出与的函数表达式；
(2)若小明使用的力量，他该选择动力臂为多少米的撬棍正好能撬动这块大石头？
【答案】(1)
(2)
【思路点拨】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数是解题的关键．
（1）根据动力动力臂阻力阻力臂，可得出与l的 数关系式；
（2）将代入可求出即可．
【规范解答】（1）解：，则；
（2）解：当时，，则．
8．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与y轴交于点C，连接，．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)请根据图象直接写出不等式的解集．
【答案】(1)，
(2)9
(3)或
【思路点拨】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数解析式以及一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点，一次函数与反比例函数交点的问题．
（1）用待定系数法分别求出反比例函数解析式以及一次函数的解析式即可．
（2）先求出点C的坐标，再根据三角形的面积公式计算即可．
（3）分析出不等式的解集即一次函数图像在反比例函数图像的上面，结合函数图像根据交点坐标即可得出答案．
【规范解答】（1）解：∵点，在
∴，
∴反比例函数的解析式为：，
∴，
解得：，
∴，
把，代入，
得，
解得：，
∴一次函数的解析式为：
（2）另，则，
∴，
∴
（3）不等式的解集即一次函数图像在反比例函数图像的上面，
根据函数图像以及两函数交点可知：
当或时，不等式．
9．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）自1997年以来，我国铁路一共经历了六次大提速．2004年第五次提速后，一列客车从A地开往B地，以的平均速度行驶需要5 h，2007年又经历了第六次提速．
(1)设第六次提速后该路段的平均速度为v，全程运行的时间为t，请写出t与v之间的函数表达式；
(2)如果第六次提速后该路段的平均速度为，那么提速后全程运行需要多长时间？
(3)如果全程运行时间控制在内，那么提速后的平均速度至少应为多少？
【答案】(1)
(2)
(3)
【思路点拨】本题考查反比例函数应用，根据题目给定条件正确列出有关量的函数表达式，是解答关键．
（1）根据路程、速度、时间之间的关系列出t与v之间的函数表达式即可；
（2）把代入到（1）得到的函数表达式全程运行时间；
（3）把代入到（1）得到的函数表达式得到提速后的平均速度，再根据题意判定速度范围即可．
【规范解答】（1）解：
∴
（2）当时，
答：提速后全程运行3h．
（3）当时，
由函数增减性可知，速度至少为．
10．（23-24八年级下·江苏南京·期末）如图，一次函数与反比例函数图象的两个交点的横坐标分别为，．
(1)方程的解是______，不等式的解集是_______；
(2)在图中用直尺和圆规作出一次函数的图象；
(3)直接写出的解集．
【答案】(1)或，或
(2)见详解
(3)或
【思路点拨】（1）根据两个函数图象交点的横坐标结合图象解答即可；
（2）根据与之间是平移关系，是向下平移个单位，画出图象即可；
（3）根据图象：结合一次函数以及反比例函数的性质，得出图象成中心对称图形，再结合图象性质，直接写出不等式解集即可．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握反比例函数图象的对称性质是关键．
【规范解答】（1）解： 两个函数图象交点的横坐标分别为，，
方程的解是：，，
不等式的解集是：或．
故答案为：，；或．
（2）解：作图如下：
（3）解：依题意，
上图成中心对称图形，一次函数与反比例函数的交点的横坐标为
∴结合图象：不等式的解集为：或．
压轴题—强化解题技能
11．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）在直角坐标系中，设反比例函数，其中．若点均在该函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【思路点拨】此题考查了反比例函数的性质，利用反比例函数的增减性即可得出结论．
【规范解答】解：∵，
∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，
∴在每一象限内y随x的增大而减小，
∵点在反比例函数的图象上，且，
∴，
∴，
故选：B．
12．（23-24八年级下·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，已知，，，若函数的图象与的边有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，先求出函数的图象经过点、时的值，结合题意即可得出答案．
【规范解答】解：当函数的图象经过点时，；
当函数的图象经过点时，；
∵函数的图象与的边有公共点，
∴，
故选：C．
13．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形在第一象限内，边与轴平行，点的纵坐标分别为、，反比例函数的图象经过两点，则菱形的面积为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【思路点拨】本题考查了反比例函数图象上的点，菱形的性质，过点作轴于，过点作于，轴于，则四边形为矩形，再根据点，点得，，，，，，，进而可得出，然后根据菱形的面积公式可得出答案．
【规范解答】解：过点作轴于，过点作于，轴于，如下图所示：
则四边形为矩形，
，，
点、的纵坐标分别为、，反比例函数的图象经过、两点，
点，点，
，，，，
，，
，
在中，由勾股定理得：
四边形为菱形，
，，
．
故选：A．
14．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，已知一次函数的图象与反比例函数（）的图象相交于点A与点B，若点A的坐标为，则点B的坐标为 ．
【答案】
【思路点拨】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，待定系数法求函数的解析式，掌握求交点坐标的方法是解题的关键．
利用待定系数法求得两直线的解析式，然后联立成方程组，解方程组即可求得点的坐标．
【规范解答】解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，
，，
解得：，，
一次函数解析式为：，反比例函数解析式为；
解方程组，得或，
，
故答案为：．
15．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，平面直角坐标系中有一个由个边长为的正方形所组成的图形，反比例函数的图象与图形外侧两个交点记为点，点，若线段把该图形分成面积为的两部分，则的值为 ．
【答案】或
【思路点拨】本题考查了反比例函数与几何综合，根据图形面积求比例系数，解一元一次方程等．根据题意可得线段把该图形分成面积为和的两部分，得出点的纵坐标为，点的纵坐标为，代入反比例解析式求出点和点的坐标，得出，，，求出梯形的面积，再加上个小正方形的面积，可得出线段的左侧部分图形的面积，据此列出关于的方程，解方程即可．
【规范解答】解：如图：
∵线段把该图形分成面积为的两部分，且图形的总面积是，
∴线段把该图形分成面积为和的两部分，
根据题意可得点的纵坐标为，点的纵坐标为，
∵反比例函数的图象与图形外侧两个交点记为点，点，
故，，
则，，，
故梯形的面积为：，
即或，
解得：或．
故答案为：或．
16．（23-24八年级下·浙江温州·期末）如图，在矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，D，E为的三等分点，作矩形使点G落在上，反比例函数（）的图象同时经过点D，F．若矩形的面积为3，则k的值为 ．
【答案】6
【思路点拨】本题考查了矩形和反比例函数，熟练掌握矩形的性质和反比例函数的性质是解题的关键．过点作轴，过点作轴，设矩形的长为，宽为，矩形的长为，结合D，E为的三等分点，可得，，根据反比例函数（）的图象同时经过点D，F，将，代入，可得，再利用矩形的面积为3，即，代入即可求解．
【规范解答】解：过点作轴，过点作轴，如图，
设矩形的长为，宽为，矩形的长为，
D，E为的三等分点，
，
，，
，，在反比例函数（）的图象上，
，，
，
整理得，
又矩形的面积为3，即，
，
．
故答案为：6．
17．（23-24八年级下·四川乐山·期末）如下图所示，已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两个点．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)当时，根据图象直接写出满足时x的取值范围．
【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为
(2)
【思路点拨】本题考查一次函数与反比例函数的有关知识，学会用待定系数法求函数解析式，掌握由图象根据要求确定自变量的取值范围的方法．
（1）根据待定系数法即可解决．
（2）不等式的解集在图象上是直线在上面的部分，根据图象即可写出．
【规范解答】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两个点．
∴把、代入得，
，
解得，，
∴一次函数解析式为；
把代入，得，
解得，，
所以，反比例函数的解析式为
（2）解：由图象得：x的取值范围是．
18．（22-23八年级下·福建泉州·期末）如图，、是双曲线上两点，且．
(1)求双曲线的表达式；
(2)若点C的坐标为时，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【思路点拨】本题考查反比例函数的图象及性质，待定系数法求解析式，三角形的面积．
（1）根据两点都在反比例函数图象上得到，再结合求出两个函数值，得到两点坐标即可求出k值；
（2）先求出直线解析式，进而直线与y轴的交点D坐标，根据代入数据计算即可．
【规范解答】（1）解：∵、是双曲线上两点，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：设直线解析式为，
∵点，在该直线上，
∴，解得，
∴直线解析式为，
令，则，
∴直线与y轴的交点为，
∵，
∴，
∴．
19．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于、两点．
(1)求的值；
(2)当时，的取值范围是__________；
(3)当时，的取值范围是__________；
(4)若轴上存在点，使得的面积为，求点的坐标．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)或；
(4)或．
【思路点拨】（）把代入可得，把代入即可求得；
（）根据点与点关于原点对称，即可得到的坐标，观察函数图象即可求解；
（）根据图象即可求解；
（）根据即可求得，求得或；
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【规范解答】（1）把代入可得，
∴，
把代入，得，
∴；
（2）∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，
∴关于原点对称，，
由图象可知，当或时，，
故答案为：或；
（3）由正比例函数与反比例函数的对称性可知，
由图象可知，当或时，，
∴当时，的取值范围是或，
故答案为:或；
（4）∵的面积为，
∴，
∴，
∴或．
20．（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点．
(1)求点A的坐标和反比例函数的表达式．
(2)请用无刻度的直尺和圆规，作出线段的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(3)线段的垂直平分线交x轴于点D，求线段的长．
【答案】(1)，
(2)详见解析
(3)
【思路点拨】（1）根据点在正比例函数的图像上求出的值，再将点的坐标代入反比例函数的解析式即可求出的值；
（2）利用基本作图作的垂直平分线即可；
（3）如图，过点作轴于点，连接，设点，根据垂直平分线的性质可得，根据勾股定理可得，继而得到关于的方程，求解可得点的坐标，即可得解．
【规范解答】（1）解：∵点在正比例函数的图象上，
∴，
∴点A的坐标为，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，解得，
∴反比例函数的表达式为．
（2）解：如图1，直线即为所求．
（3）解：如图，过点A作轴于点E，连接，设点．
∵是的垂直平分线，
∴．
∵点，
∴，．
∵，
∴，
解得，
∴点，
∴．2024-2025学年浙教版数学八年级下学期期末复习知识串讲（优等生培优版）
第6章 反比例函数
（思维导图+知识梳理+易错点拨+10大考点讲练+优选真题难度分层练 共50题）
讲义简介 2
思维导图指引 2
章节知识回顾梳理 3
知识点梳理01：反比例函数的概念 3
知识点梳理02：反比例函数解析式的确定 3
知识点梳理03：反比例函数的图象和性质 3
知识点梳理04：应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点 5
易错考点点拨汇总 5
易错知识点01：反比例函数定义理解偏差 5
易错知识点02：图像与性质应用错误 6
易错知识点03：几何意义（k的几何意义）应用失误 6
易错知识点04：综合应用与实际问题误区 6
易错知识点05：典型压轴题易错点 7
期末真题考点汇编讲练 7
期末考向一：反比例函数 7
重点考点讲练01：求反比例函数值 7
重点考点讲练02：求反比例函数解析式 8
期末考向二：反比例函数的图象和性质 9
重点考点讲练03：已知比例系数求特殊图形的面积 9
重点考点讲练04：根据图形面积求比例系数（解析式) 11
重点考点讲练05：反比例函数与几何综合 12
重点考点讲练06：一次函数与反比例函数图象综合判断 15
重点考点讲练07：一次函数与反比例函数的交点问题 17
重点考点讲练08：一次函数与反比例函数的实际应用 19
重点考点讲练09：一次函数与反比例函数的其他综合应用 21
期末考向三：反比例函数的应用 23
重点考点讲练10：实际问题与反比例函数 23
优选真题难度分层练 25
中档题—夯实基础能力 25
压轴题—强化解题技能 28
同学你好，本套讲义针对课本内容同步制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，全章节知识点梳理，易错点考点点拨，期末真题考点汇编讲练，优选题难度分层训练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！
知识点梳理01：反比例函数的概念
一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.
要点诠释：在中，自变量的取值范围是， ()可以写成()的形式，也可以写成的形式.
知识点梳理02：反比例函数解析式的确定
反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式.
知识点梳理03：反比例函数的图象和性质
1.反比例函数的图象
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与轴、轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．
【细节剖析】
观察反比例函数的图象可得：和的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．
①的图象是轴对称图形，对称轴为两条直线；
②的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；
③(k≠0)在同一坐标系中的图象关于轴对称，也关于轴对称.
注：正比例函数与反比例函数，
当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称.
2.反比例函数的性质
（1）图象位置与反比例函数性质
　　当时，同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小；当时，异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大.
（2）若点()在反比例函数的图象上，则点（）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称.
（3）正比例函数与反比例函数的性质比较
　 正比例函数 反比例函数
解析式
图 像 直线 有两个分支组成的曲线（双曲线）
位 置 ，一、三象限；
，二、四象限 ，一、三象限
，二、四象限
增减性 ，随的增大而增大
，随的增大而减小 ，在每个象限，随的增大而减小
，在每个象限，随的增大而增大
（4）反比例函数y＝中的意义
①过双曲线(≠0) 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.
②过双曲线(≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.
知识点梳理04：应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点
　1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题.
2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围.
易错知识点01：反比例函数定义理解偏差
忽略隐含条件
易错点：未明确反比例函数形式为 （），或误认为形如 或 的式子均为反比例函数。
示例：函数 不是反比例函数，因分母含变量 的平移项。
对策：严格对照定义，判断函数是否符合 且 。
混淆比例系数与函数值
易错点：将函数图像上某点的坐标直接代入解析式时，未正确解方程求 。
示例：若点 在反比例函数图像上，则 ，而非 。
对策：牢记 ，通过坐标乘积求解。
易错知识点02：图像与性质应用错误
图像分布与 的符号混淆
易错点：误判 时图像分布在一、三象限， 时分布在二、四象限。
示例：函数 的图像在第二、四象限，而非第一、三象限。
对策：结合 的符号口诀“正一三，负二四”记忆。
对称性理解不透
易错点：忽略反比例函数图像关于原点中心对称，也关于直线 或 对称。
示例：若点 在图像上，则 必在图像上，但可能误认为 或 也在图像上。
对策：通过代数验证对称点坐标是否满足 。
易错知识点03：几何意义（k的几何意义）应用失误
面积计算错误
易错点：误认为图像上任意矩形或三角形的面积均与 相关。
示例：由双曲线上一点 向坐标轴作垂线，形成的矩形面积为 ，但若垂线非垂直于坐标轴，则面积不成立。
对策：明确只有当矩形的边平行于坐标轴时，面积才为 。
动点问题中的面积变化误判
易错点：误认为动点在双曲线上移动时，相关几何图形（如四边形）的面积会发生变化。
示例：双曲线 上动点 与坐标轴围成的矩形面积恒为 ，但若涉及其他动点组合图形，需重新计算。
对策：优先利用 的几何意义分析静态面积，动态问题需结合函数关系推导。
易错知识点04：综合应用与实际问题误区
忽略实际意义限制
易错点：在解决实际问题（如物理中的电阻、速度问题）时，未考虑自变量 的实际取值范围（如 ）。
示例：若 表示时间与速度的关系，解集应为 ，但可能遗漏限制条件导致错误。
对策：明确实际问题中变量的物理意义及取值范围的隐含限制。
与一次函数结合时联立错误
易错点：联立反比例函数与一次函数求交点时，漏解或未验证解的合理性。
示例：解方程 时，可能忽略二次方程的判别式是否非负，导致虚根。
对策：联立后整理为二次方程，通过判别式判断实数解的存在性。
易错知识点05：典型压轴题易错点
几何变换中的函数关系分析
易错点：旋转、平移后的图形与原反比例函数图像结合时，未正确推导新函数解析式。
示例：将双曲线 绕原点旋转90°后，解析式变为 ，而非直接交换 与 。
对策：通过坐标变换公式（如旋转矩阵）重新计算新函数关系。
动态几何中的函数模型构建
易错点：未将动点轨迹与反比例函数结合，导致模型错误。
示例：等腰直角三角形顶点在双曲线上运动时，需利用几何性质（如全等、相似）建立变量关系。
对策：先分析几何图形的恒等条件，再结合反比例函数特性列方程。
期末考向一：反比例函数
重点考点讲练01：求反比例函数值
【母题精讲】（22-23八年级上·上海长宁·期末）已知点、点在同一个反比例函数的图象上，则点A与点B的距离为 ．
【训练1】（22-23八年级下·江苏连云港·期末）已知与成反比例函数关系，且当时，．
(1)求与之间的函数表达式；
(2)当时，求的值．
【训练2】（22-23八年级下·江苏连云港·期末）已知与y=x-3相交于点，则的值为 ．
重点考点讲练02：求反比例函数解析式
【母题精讲】（22-23八年级下·浙江·期末）如图，反比例函数的图像经过点．
(1)求点的坐标．
(2)若点先向左平移个单位，再向下平移个单位，仍落在该反比例函数的图像上，求的值．
【训练1】（23-24八年级下·重庆黔江·期末）如图，的直角边在轴上，，边交轴于点，点在反比例函数第一象限的图象上，所在直线的解析式为，其中点，．
(1)求反比例函数和所在直线的解析式；
(2)将的边直角边沿着轴正方向平移个单位长度得到线段，线段与反比例函数的图象交于点，问当为何值时，四边形是平行四边形？
【训练2】（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图所示：直线与轴相交于点B，A是直线上一点，过点A，B分别作轴、y轴的平行线交于点C，已知点C恰好在反比例函数 的图像上，若点A的横坐标为点B横坐标的一半．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)直接写出B点的坐标．
期末考向二：反比例函数的图象和性质
重点考点讲练03：已知比例系数求特殊图形的面积
【母题精讲】（22-23八年级下·江苏泰州·期末）如图，点是反比例函数图象上的一点，作轴于点，轴于点，点、分别是、上的点，且的面积为，的面积为，则的面积为 ．
【训练1】（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，四边形是面积为4的正方形，函数的图象经过点．
(1)的值为______．
(2)将正方形分别沿直线，翻折，得到正方形，正方形．设线段，分别与函数的图象交于点，，连接，，．
①求的面积；
②在轴上是否存在点，使为直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【训练2】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图， 和 都是等腰直角三角形， ，反比例函数 在第一象限的图象经过点 ，则 与 的面积之差为 ．
重点考点讲练04：根据图形面积求比例系数（解析式)
【母题精讲】（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，四边形为矩形，点在第四象限，点关于的对称点为点，且，都在函数的图象上，轴于点，的延长线交轴于点，当矩形的面积为时，则的值为 ．
【训练1】（23-24八年级下·山西晋城·期末）如图、点在反比例函数的图象上，轴，的面积为5，则的值为（ ）
A．5 B． C．10 D．
【训练2】（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作轴于点B，点P在x轴上，，四边形的面积为12，则这个反比例函数的表达式为 ．
重点考点讲练05：反比例函数与几何综合
【母题精讲】（22-23八年级下·山西临汾·期末）如图，一次函数与反比例函数的图像交于A、B两点，且A点坐标为，又与坐标轴分别交于M、N两点，且M的坐标为．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)已知的面积为3，求点B的坐标；
(3)平面内是否存在一点P，使得以点P、A、O、B为顶点的四边形是平行四边形若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，在请说明理由．
【训练1】（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，在x轴的正半轴上依次截取…，过点分别作x轴的垂线与反比例函数 （）的图象相交于点连接分别与 …，交于点，……，得，四边形，四边形 ，四边形 ，并设其面积分别为 …，以此类推．

(1)求；
(2)直接写出及的值．
【训练2】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图1，点A是反比例函数的图象上一动点，连接并延长交反比例函数于点B，设与x轴正半轴的夹角为，
(1)①若，则______；②若，则______；
(2)小红同学在数学老师的指导下，证明了命题“无论如何变化，的值始终不变”为真命题．如图2，点E、F在，点G在上，O、F、G在同一条直线上，仅用无刻度的直尺在的图象上作点H，使得；
(3)如图3，过点B作x轴、y轴的垂线分别交于点C、D；
①试说明的面积为定值，并求出该值；
②若，连接并延长交x轴于点E，求∠DCE的度数．
重点考点讲练06：一次函数与反比例函数图象综合判断
【母题精讲】（23-24八年级上·上海·期末）已知函数中，在每个象限内，的值随的值增大而增大，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图像是（ ）．
A． B．
C． D．
【训练1】（23-24八年级下·江苏淮安·期末）“数形结合”是一种重要的数学思想，八上教材中，我们曾用函数观点看方程，也就是利用一次函数的图象求解二元一次方程组．类似的，学习了一次函数和反比例函数之后，我们也可以将方程的解的研究转化为已学函数图象交点的问题…
(1)将方程的解转化为和这两个函数图像的交点问题，结合图象可以判断这个方程有 个实数解；
(2)方程的解也可以转化为一次函数和反比例函数的图象交点问题．请直接写出一对符合要求的表达式 和 ，结合图象可以判断方程有 个解；
(3)利用“数形结合”，仿照上述方法，不解方程，借助平面直角坐标系，判断方程的解的个数；
(4)请根据的取值情况写出满足方程（均为非0常数）的的个数．
【训练2】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了和的图象，两个函数图象交于两点，在线段上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图象于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究的长度与点P的横坐标之间的关系，小华进行了以下探究：

【探索发现】
（1）设点P的横坐标为x，则点P的纵坐标为________，点Q的纵坐标为________；（用x的代数式表示）
若设的长度为y，则y与x之间的函数关系式为________（）；
（2）为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表、描点、连线的方法绘制函数的图像：
①列表：
x 1 2 3 4 6 9
y 0 4 m 0
表中________；
②描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点；
③连线：请在图2中画出该函数的图像．观察函数图像，发现：当_______时，y的最大值为_______．
【迁移应用】
利用（2）中的发现，解决问题：
已知某矩形的一组邻边长分别为m，n，且该矩形的周长W与n存在函数关系，求m取最大值时矩形的对角线长．
重点考点讲练07：一次函数与反比例函数的交点问题
【母题精讲】（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，交反比例函数的图象于点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)如图2，点在反比例函数图象上，点E为在直线上一动点，点F为x轴上一动点，求的最小值；
(3)在（2）的条件下，若点M在反比例函数图象上，点N在x轴上，是否存在以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【训练1】（23-24八年级下·浙江·期末）在平面直角坐标系中，设函数（m是实数），，已知函数与的图象都经过点和点．
(1)求函数，的解析式与点的坐标．
(2)当时，请直接写出自变量x的取值范围．
(3)已知点和点在函数的图象上，且，设，当时，求的取值范围．
【训练2】（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，直线（为常数）与双曲线（为常数）相交于，两点．
(1)求直线的解析式；
(2)请直接写出关于的不等式的解集．
重点考点讲练08：一次函数与反比例函数的实际应用
【母题精讲】（22-23八年级下·四川乐山·期末）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示．

(1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；
(2)问血液中药物浓度不低于2微克/毫升的持续时间多少小时？
【训练1】（22-23九年级上·山东济南·阶段练习）某品牌饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热（此过程中水温y℃与开机时间x分满足一次函数关系），当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降（此过程中水温y℃与开机时间x分成反比例关系），当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热，…，重复上述程序（如图所示），
(1)分别求出和时的函数关系式，并求出t的值；
(2)两次加热之间，水温保持不低于40℃有多长时间？
(3)开机后50分钟时，求水的温度是多少℃？
【训练2】（21-22八年级下·山东烟台·期末）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点和，与轴交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式．
(2)在轴上求一点，当的面积为3时，则点的坐标为______．
(3)将直线向下平移2个单位后得到直线，当函数值时，求的取值范围．
重点考点讲练09：一次函数与反比例函数的其他综合应用
【母题精讲】（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点，，与x轴交于点C，与轴交于点
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)点M在x轴上，若，求点M的坐标．
【训练1】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，设函数(是实数)．，已知函数与的图象都经过点和点B．
(1)求函数，的解析式与B点的坐标．
(2)当时，请直接写出自变量x的取值范围．
(3)已知点和点在函数的图象上，且，设 ，当时，求P的取值范围．
【训练2】（23-24八年级下·浙江金华·期末）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式．
(2)点在轴负半轴上，连接，过点作，交的图像于点，且，连接．求四边形的面积．
期末考向三：反比例函数的应用
重点考点讲练10：实际问题与反比例函数
【母题精讲】（23-24八年级下·浙江杭州·期末）某学校准备修建一个面积为的矩形花圃，设矩形花圃的一边长为，相邻的另一边长为．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)若矩形的一边长x满足，求另一边长y的取值范围；
(3)杭杭在实践后得到如下结论：在面积为的情况下，不存在周长为的矩形．请判断他的说法是否正确，并说明理由．
【训练1】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）在温度不变的条件下，一定量的气体的压强与它的体积成反比例．已知当时，．
(1)求p与V的函数表达式；
(2)当p不超过时，直接写出V的取值范围．
【训练2】（23-24八年级下·江苏南京·期末）【项目式学习】探索凸透镜成像的奥秘
【项目背景】某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律．
【项目素材】
素材一：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点．
素材二：设物距为u、像距为v和焦距为f，小明在研究的过程中发现了物距u、像距v和焦距f之间在成实像时存在着关系：．
图① 图② 图③
【项目任务】根据项目素材解决问题：
(1)小明先取物距，然后画出光路图（如图①），其中为物体，O为凸透镜的光心，入射光线 光轴，折射光线经过焦点，为所成的像．根据光路图①可知，当时，物体经凸透镜折射后成________（填“放大”或“缩小”或“等大”）的倒立实像；
(2)小明又取物距．
①当时，________（用含有f的代数式表示）；
②当时，物体经凸透镜折射后成________（填“放大”或“缩小”或“等大”）的倒立实像，请仿照图①的方法，在图②中画光路图，并用三角形全等的知识解释；
(3)实际生活中，一个固定的凸透镜焦距f为定值．当时，请解答下列问题：
①请直接写出y与u之间的函数表达式，并在图③中画出函数v的图像；
②试说明：．
中档题—夯实基础能力
1．（22-23八年级下·重庆北碚·期末）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，则下列说法正确的是（　　）
A．正比例函数与反比例函数都随x的增大而增大
B．两个函数图象的另一交点坐标为
C．当或时，
D．反比例函数的解析式是
2．（23-24八年级下·黑龙江大庆·期末）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23八年级上·上海长宁·期末）在函数的图象上有三点，，，已知，那么下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图，点A是反比例函数的图像上一点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，若点C是x轴上一点，，则k的值为 ．
5．（23-24八年级下·福建泉州·期末）在反比例函数中，当时， ．
6．（23-24八年级下·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，若，则把点与称为一对互换点．已知点M，N是互换点，问M，N两点能否都在一个反比例函数的图象上？答： ．（填“一定”或“不一定”）
7．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）公元前3世纪，古希腊学者阿基米德发现了著名的“杠杆原理”．杠杆平衡时，阻力阻力臂动力动力臂．几位同学玩撬石头的游戏，已知阻力（石头重量）和阻力臂分别为和．
(1)设动力臂为，动力为，求出与的函数表达式；
(2)若小明使用的力量，他该选择动力臂为多少米的撬棍正好能撬动这块大石头？
8．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与y轴交于点C，连接，．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)请根据图象直接写出不等式的解集．
9．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）自1997年以来，我国铁路一共经历了六次大提速．2004年第五次提速后，一列客车从A地开往B地，以的平均速度行驶需要5 h，2007年又经历了第六次提速．
(1)设第六次提速后该路段的平均速度为v，全程运行的时间为t，请写出t与v之间的函数表达式；
(2)如果第六次提速后该路段的平均速度为，那么提速后全程运行需要多长时间？
(3)如果全程运行时间控制在内，那么提速后的平均速度至少应为多少？
10．（23-24八年级下·江苏南京·期末）如图，一次函数与反比例函数图象的两个交点的横坐标分别为，．
(1)方程的解是______，不等式的解集是_______；
(2)在图中用直尺和圆规作出一次函数的图象；
(3)直接写出的解集．
压轴题—强化解题技能
11．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）在直角坐标系中，设反比例函数，其中．若点均在该函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
12．（23-24八年级下·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，已知，，，若函数的图象与的边有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形在第一象限内，边与轴平行，点的纵坐标分别为、，反比例函数的图象经过两点，则菱形的面积为( )
A． B． C． D．
14．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，已知一次函数的图象与反比例函数（）的图象相交于点A与点B，若点A的坐标为，则点B的坐标为 ．
15．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，平面直角坐标系中有一个由个边长为的正方形所组成的图形，反比例函数的图象与图形外侧两个交点记为点，点，若线段把该图形分成面积为的两部分，则的值为 ．
16．（23-24八年级下·浙江温州·期末）如图，在矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，D，E为的三等分点，作矩形使点G落在上，反比例函数（）的图象同时经过点D，F．若矩形的面积为3，则k的值为 ．
17．（23-24八年级下·四川乐山·期末）如下图所示，已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两个点．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)当时，根据图象直接写出满足时x的取值范围．
18．（22-23八年级下·福建泉州·期末）如图，、是双曲线上两点，且．
(1)求双曲线的表达式；
(2)若点C的坐标为时，求的面积．
19．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于、两点．
(1)求的值；
(2)当时，的取值范围是__________；
(3)当时，的取值范围是__________；
(4)若轴上存在点，使得的面积为，求点的坐标．
20．（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点．
(1)求点A的坐标和反比例函数的表达式．
(2)请用无刻度的直尺和圆规，作出线段的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(3)线段的垂直平分线交x轴于点D，求线段的长．

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