资源简介

长风破浪会有时，直挂云帆济沧海
苏科版七年级下册定义、命题、证明专属讲义
课题 定义、命题、证明
教学内容
【考点1】命题 【考点2】逆命题 【考点3】逆定理 【考点4】举反例 【考点5】证明
考点1：命题 （1）命题：判断一件事情的语句叫做命题； （2）命题的结构：命题由题设和结论两部分组成； （3）命题的形式：可以写成“如果…．．，那么…．”的形式； （4）命题的真假：条件成立，结论也成立的命题是真命题；条件成立，结论不成立的命题是假命题； 题型1：命题的定义：判断一件事情的语句叫做命题。 1.下列语句是命题的是（　　） A．对顶角一定相等吗？ B．人们经常用实验、归纳的方法去发现命题 C．画一个角等于已知角 D．若a＝b，则a2＝b2 2.下列语句中不是命题的是（ ） A．锐角小于钝角 B．作的垂直平分线 C．对顶角不相等 D．三角形的内角和等于 3.给出下列语句：①画一个角等于两个已知角的和；②钝角大于直角；③过点A画直线AB∥CD；④相等且互补的两个角都是直角．其中是命题的是（　　） A．①④ B．②④ C．①② D．②③ 题型2：命题的结构与形式 （1）命题的结构：命题由题设和结论两部分组成； （2）命题的形式：可以写成“如果….，那么….”的形式； 4.命题“内错角相等”是　 　 （填“真”或“假”）命题，把此命题改写成“如果…那么…．”的形式　 　 ． 5.用“如果…那么…”形式将命题“对顶角相等”可以改写成 ． 6.将下列命题改写成“如果…，那么…”的形式． (1)两直线平行，内错角相等； (2)三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和； (3)等腰三角形的两底角相等． 题型3：命题的真假：条件成立，结论也成立的命题是真命题；条件成立，结论不成立的命题是假命题； 7.下列命题是真命题的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．两直线平行，同旁内角相等 C．两点之间线段最短 D．平行于同一直线的两条直线互相垂直 8.下列语句中，是真命题的是（　　） A．两个锐角的和是钝角 B．同旁内角互补 C．过一点作直线a的垂线 D．同角的余角相等 9.下列说法中正确的有（　　） ①同旁内角互补；②从直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到这条直线的距离； ③在同一平面内，不相交的两条线段必平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ⑤过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；⑥三角形的三条高所在的直线交于一点． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10.以下命题是真命题的是（　　） A．对顶角相等 B．两个锐角的和是钝角 C．内错角相等 D．如果ab＝0，则a＝b＝0 11.下列命题中，是真命题的是（　　） A．两条直线被第三条直线所截，所得的内错角相等 B．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 C．两条直线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行 D．两条平行直线被第三条直线所截，一对同旁内角的角平分线互相垂直 12.下列四个命题中，是真命题的是（　　） A．数轴上的点与有理数是一一对应的 B．相等的两个角是对顶角 C．同角的补角相等 D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 考点2：逆命题 （1）互逆命题：两个命题的题设和结论正好相反，这样的两个命题叫做互逆命题； （2）原命题和逆命题：两个互逆的命题，一个称原命题，另一个称为它的逆命题； 题型1：互逆命题：两个命题的题设和结论正好相反，这样的两个命题叫做互逆命题； 13.“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”的逆命题是 　 　 ． 14.命题“如果a＜0，b＜0，那么ab＞0”的逆命题是 　 　 命题． 15.已知命题“如果a＝b，那么|a|＝|b|．” （1）写出此命题的条件和结论； （2）写出此命题的逆命题； （3）判断此命题的逆命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明． 16.写出下列命题的逆命题，并判断此逆命题真假． （1）如果a＞0，b＜0，那么ab＜0； （2）两直线平行，同旁内角互补． 17.【阅读理解】 如果把一个命题（记作p）的题设和结论交换位置，得到另一个命题（记作q），那么这两个命题叫做互逆命题，其中命题p称为原命题，命题q称为原命题的逆命题． 例如：原命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”． 【解决问题】 给出命题p：“如果a＝b，那么|a|＝|b|．” （1）写出命题p的题设和结论，及逆命题q； （2）判断命题q是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明． 考点3：定理：有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 注：定理是真命题，但真命题不一定是定理． 逆定理：如果一个定理的逆命题是真命题，就叫它为这个定理的逆定理； 互逆定理：原定理和它的逆定理是一对互逆定理。 18.下列命题：①同位角相等；②对顶角相等；③两直线平行，同旁内角相等；④两点之间，线段最短．其中真命题是 　 　 （填序号）． 19.有下列四个命题： ①相等的角是对顶角；②两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ③等角的补角相等；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行． 其中真命题为　 　 ． 20.关于命题“如果，那么”，下列判断正确的是（ ） A．该命题及其逆命题都是真命题B．该命题是真命题，其逆命题是假命题 C．该命题是假命题，其逆命题是真命题D．该命题及其逆命题都是假命题 21.命题“在数轴上，表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等”的逆命题是 ． 22.写出命题“垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”的逆命题，并写成“如果…，那么…”的形式 　 　 ． 23.如图，已知AB∥CD，EF，CG分别是∠AEC，∠ECD的平分线． （1）求证：EF∥CG． 证明：因为AB∥CD（已知），所以∠AEC＝∠DCE（　 　 ）． 因为EF平分∠AEC（已知），所以　 　 （　 　 ）． 同理　 　 ．所以∠1＝∠2， 所以EF∥CG（　 　 ）． （2）请说出（1）中用到了哪两个互逆的真命题． 考点4：举反例：举出一个反例来说明命题是假命题； 反例：满足命题的条件，不满足命题的结论的例子。 24.对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，小明想举一个反例说明它是一个假命题，则符合要求的反例可以是（　　） A．a＝3，b＝2 B．a＝2，b＝﹣1 C．a＝﹣2，b＝0 D．a＝0，b＝﹣2 25.对于命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b”能说明该命题为假命题的反例是（　　） A．a＝0，b＝0 B．a＝1，b＝1 C．a＝﹣1，b＝1 D．a＝1，b＝2 26.为说明命题“若m＜n，则m2＜n2”是假命题，下列反例正确的是（　　） A．m＝﹣2，n＝1 B．m＝2，n＝1 C．m＝﹣1，n＝2 D．m＝﹣1，n＝﹣2 27.证明命题“若m＞n，则1”是假命题，所举反例正确的是（　　） A．m＝6，n＝3 B．m＝1，n＝﹣1 C．m＝2，n＝1 D．m＝0.2，n＝0.1 28.判断命题“如果0＜n＜1，那么n2﹣1＞0”是假命题，只需举出一个反例，这个反例可以是　 　 ． 29.请举反例说明命题“对于任意实数x，x2一定大于x”是假命题．你举的反例是x＝　 　 ．（写出一个值即可） 30.已知命题“如果a＝b，那么|a|＝|b|．” （1）写出此命题的条件和结论； （2）写出此命题的逆命题； （3）判断此命题的逆命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明． 考点5：证明 31.如图，已知点E、F分别在AB、CD上，连接EC、BF交AD于点G、H．有以下三个论断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠C，③AB∥CD． （1）请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题； （2）选择（1）中的一个真命题加以证明． 32.如图，有以下三个条件：①AB∥CD；②∠B＝∠D；③∠E＝∠F． （1）从三个条件中选出两个作为题设，另一个作为结论可得到一个命题．请按“ → ”的形式将所有真命题一一书写出来（用序号表示）； （2）从（1）中选择一个真命题进行证明． 33.如图，AB∥CD，∠BAC的平分线与∠ACD的平分线交于点E．填空： ∵AB∥CD，∴∠BAC+①　 　 ＝180°． ∵AE平分∠BAC．∴②　 　 ． ∵CE平分∠ACD．∴③　 　 ． ∴∠1+∠2＝④　 　 °．∴∠E＝180°﹣∠1﹣∠2＝⑤　 　 °． ∴AE⑥　 　 CE． 请用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题：⑦　 　 ． 34.对于任意有理数a，b，规定一种特别的运算“ ”：a b＝a﹣b+ab． 例如，2 5＝2﹣5+2×5＝7． （1）求3 （﹣1）的值； （2）若（﹣4） x＝6，求x的值； （3）试探究这种特别的运算“ ”是否具有交换律？若具有，请说明理由；若不具有，请举一个反例说明． 35.已知∠ABC和∠DEF，请根据下面要求解决相应的问题． （1）如图1，图2所示，当DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P时． ①填空：图1中∠ABC与∠DEF数量关系为 　 　 ； 图2中∠ABC与∠DEF数量关系为 　 　 ； ②请从图1，图2中选择一种情况写出证明过程． ③请用“如果…，那么…”的形式把上述结论表述出来：　 　 ． （2）当DE⊥AB，EF⊥BC，且∠DEF比∠ABC的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数． 36.如图，直线MN、PQ互相平行，一块30°的直角三角板ABC放置在图中，直角顶点C在两条平行线之间，A在MN上方，B在PQ下方．AC、AB分别交MN于点D、E，BC、AB分别交PQ于点FG． （1）若∠ADE＝43°，求∠CFG的度数； （2）点H为线段CA上一点，若 　 　 ，求证：　 　 ． 从①②中选择一个题设，③④中选择一个正确的结论，将序号填在横线上，并证明． ①∠HFC+∠CFG＝180°；②2∠HFC+∠CFG＝180°；③是定值；④是定值． 37.问题情景：如图1，AB∥CD． （1）观察猜想：若∠AEP＝50°，∠CFP＝40°．则∠P的度数为 　 　 ． （2）探究问题：在图1中探究，∠EPF、∠CFP与∠AEP之间有怎样的等量关系？并说明理由． （3）拓展延伸：若将图1变为图2，题设的条件不变，此时∠EPF、∠PFD与∠AEP之间有怎样的等量关系？并说明理由． 38.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O． （1）求证：DO是∠EDF的平分线． （2）若将“DO是∠EDF的平分线”与“AD是∠BAC的平分线”，“DE∥AB”或“DF∥AC”中的任一条件交换，所得命题是真命题吗？若是，请选择一个证明；若不是，请说明理由． 39.探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P．∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？ （1）我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示． ①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为 　 　 ；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为 　 　 ； ②请选择一种情况写出证明过程． ③由①得出如果两个角的两边互相平行，那么这两个角 　 　 ． （2）应用③中的真命题，解决以下问题： 若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的3倍少40°，求这两个角的度数． 40.如图，在三角形ABC中，D，E是AB上的点，F是BC上一点，H，G是AC上的点，FD⊥AB于点D，连接EF，EH，EG．给定三个条件：①EG⊥AB，②∠α＝∠β，③∠C＝∠β+∠EGH． （1）请在上述三个条件中选择其中两个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 　 　 ，结论是 　 　 （填写序号）； （2）证明上述命题． 41．在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，点E在BC的延长线上，射线EA与射线CD相交于点F，∠BAG是△ABC的外角． 有以下三个选项：①CD⊥AB，②∠CFE＝∠CEF，③AF平分∠BAG．从中选两个作为条件，剩下的一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明． 条件 　 　 ，结论 　 　 .（填序号） 证明： 42.（1）如图，DE∥BC，∠1＝∠3，CD⊥AB，试说明FG⊥AB； （2）若把（1）中的题设中的“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题是否为真命题？试说明理由． 【解答】解：（1）∵DE∥BC， ∴∠1＝∠2， ∵∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3， ∴CD∥FG， ∵CD⊥AB， ∴FG⊥AB； （2）把题设中的“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题为真命题，理由如下： ∵FG⊥AB，CD⊥AB， ∴FG∥CD， ∴∠2＝∠3， ∵∠1＝∠3， ∴∠1＝∠2， ∴DE∥BC． 43.阅读下面内容，并解答问题 在学行线的性质后，老师请同学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直． 小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件． 已知：如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．∠BEF的角平分线EG与∠DFE的角平分线FG交于点G． （1）直线EG，FG有何位置关系？请补充结论：求证：“　EG⊥FC　 ”，并写出证明过程； （2）在图1的基础上，分别作∠BEG的角平分线EM与∠DFG的角平分线FM交于点M，得到图2，求∠EMF的度数． （3）如图3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F点O在直线AB，CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的角平分线EP与∠DFO的角平分线FP交于点P，请直接写出∠EOF与∠EPF满足的数量关系，不需证明． 【解答】解：（1）结论：EG⊥FC； 理由：如图1中，∵AB∥CD， ∴∠BEF+∠DFE＝180°， ∵EG平分∠BEF，FG平分∠DFE， ∴，， ∴， 在△EFG中，∠GEF+∠GFE+∠G＝180°， ∴∠G＝180°﹣（∠GEF+∠GFE）＝180°﹣90°＝90°， ∴EG⊥FG． 故答案为：EG⊥FC； （2）如图2中，由（1）得：∠GEF+∠GFE＝90°， ∴∠BEG+∠DFG＝180°﹣90°＝90°， ∵EM平分∠BEG，MF平分∠DFG， ∴， ∴∠MEF+∠MFE＝90°+45°＝135°， ∴∠EMF＝180°﹣135°＝45°， （3）结论：∠EOF＝2∠EPF． 如图3中，∵∠EOF＝180°﹣（∠OEF+∠OFE），∠OEF+∠OFE＝180°﹣（∠BEO+∠DFO）， ∴∠EOF＝∠BEO+∠DFO， 同理可得：∠EPF＝∠BEP+∠DFP， ∵PE平分∠BEO，PF平分∠DFO， ∴∠BEO＝2∠BEP，∠DFO＝2∠DFP， ∴∠EOF＝2∠BEP+2∠DFP＝2∠EPF． 44．已知∠ABC的两边与∠DEF的两边分别垂直，即AB⊥DE，BC⊥EF，垂足分别为点M和N，试探究： （1）如图1，∠B与∠E的关系是 　∠B+∠E＝180°　 ； （2）如图2，写出∠B与∠E的关系，并说明理由； （3）根据上述探究，请归纳概括出一个真命题． 【分析】（1）根据垂直的定义、四边形内角和等于360°解答； （2）根据垂直的定义、对顶角相等解答； （3）综合（1）（2）的结论写出真命题． 【解答】解：（1）∵AB⊥DE，BC⊥EF， ∴∠BME＝90°，∠BNE＝90°， ∴∠B+∠E＝360°﹣90°﹣90°＝180°， 故答案为：∠B+∠E＝180°； （2）∵AB⊥DE，BC⊥EF， ∴∠BME＝90°，∠BNE＝90°， ∵∠BGN＝∠EGM， ∴∠B＝∠E； （3）真命题：如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补．
1.下列语句是命题的是（　　） A．对顶角一定相等吗？ B．人们经常用实验、归纳的方法去发现命题 C．画一个角等于已知角 D．若a＝b，则a2＝b2 【解答】解：A、对顶角一定相等吗？，不是命题，不符合题意； B、人们经常用实验、归纳的方法去发现命题，不是命题，不符合题意； C、画一个角等于已知角，不是命题，不符合题意； D、若a＝b，则a2＝b2，是命题，符合题意； 故选：D． 2.下列语句中不是命题的是（ ） A．锐角小于钝角 B．作的垂直平分线 C．对顶角不相等 D．三角形的内角和等于 【解答】解：A、锐角小于钝角，是命题，不符合题意 作的垂直平分线，不符合命题，符合题意 对顶角不相等，是命题，不符合题意 D、三角形的内角和等于，是命题，不符合题意 故选：B． 3.给出下列语句：①画一个角等于两个已知角的和；②钝角大于直角；③过点A画直线AB∥CD；④相等且互补的两个角都是直角．其中是命题的是（　　） A．①④ B．②④ C．①② D．②③ 【解答】解：①不是判断一件事情的语句，不是命题； ②如果一个角是钝角，那么它就大于直角，是判断一件事情的语句，是命题； ③不是判断一件事情的语句，不是命题； ④如果两个角相等且互补，那么这两个角都是直角，是判断一件事情的语句，是命题； 综上所述，是命题的是②④， 故选：B． 命题“内错角相等”是　假　 （填“真”或“假”）命题，把此命题改写成“如果…那么…．”的形式　如果两个角是内错角，那么这两个角相等。 5.用“如果…那么…”形式将命题“对顶角相等”可以改写成 如果两个角为对顶角，那么这两个角相等 ． 6.将下列命题改写成“如果…，那么…”的形式． (1)两直线平行，内错角相等； (2)三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和； (3)等腰三角形的两底角相等． 【解答】解：（1）如果两直线平行，那么内错角相等 如果一个角是三角形的外角，那么这个角会等于与它不相邻的两个内角之和。 如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等。 7.下列命题是真命题的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．两直线平行，同旁内角相等 C．两点之间线段最短 D．平行于同一直线的两条直线互相垂直 【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，故本选项命题是假命题，不符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补，不一定相等，故本选项命题是假命题，不符合题意； C、两点之间线段最短，是真命题，符合题意； D、平行于同一直线的两条直线互相平行，故本选项命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 8.下列语句中，是真命题的是（　　） A．两个锐角的和是钝角 B．同旁内角互补 C．过一点作直线a的垂线 D．同角的余角相等 【解答】解：A、两个锐角的和不一定是钝角，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C、过一点作直线a的垂线，不是命题，不符合题意； D、同角的余角相等，正确，是真命题，符合题意． 故选：D． 9.下列说法中正确的有（　　） ①同旁内角互补； ②从直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到这条直线的距离； ③在同一平面内，不相交的两条线段必平行； ④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ⑤过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； ⑥三角形的三条高所在的直线交于一点． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解答】解：①两直线平行，同旁内角互补，故本小题命题错误； ②从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到这条直线的距离，故本小题命题错误； ③在同一平面内，不相交的两条直线必平行，故本小题命题错误； ④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本小题命题错误； ⑤过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，命题正确； ⑥三角形的三条高所在的直线交于一点，命题正确； 则说法中正确的有2个， 故选：A． 10.以下命题是真命题的是（　　） A．对顶角相等 B．两个锐角的和是钝角 C．内错角相等 D．如果ab＝0，则a＝b＝0 【解答】解：A、对顶角相等，正确，是真命题，符合题意； B、两个锐角的和不一定是钝角，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C、两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D、如果ab＝0，则a＝0或b＝0，或a＝b＝0，故原命题错误，是假命题，不符合题意． 故选：A． 11.下列命题中，是真命题的是（　　） A．两条直线被第三条直线所截，所得的内错角相等 B．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 C．两条直线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行 D．两条平行直线被第三条直线所截，一对同旁内角的角平分线互相垂直 【解答】解：A、两条平行线被第三条直线所截，所得的内错角相等，故本选项命题是假命题，不符合题意； B、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，故本选项命题是假命题，不符合题意； C、两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行，故本选项命题是假命题，不符合题意； D、两条平行直线被第三条直线所截，一对同旁内角的角平分线互相垂直，是真命题，符合题意； 故选：D． 12.下列四个命题中，是真命题的是（　　） A．数轴上的点与有理数是一一对应的 B．相等的两个角是对顶角 C．同角的补角相等 D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 【解答】解：A、数轴上的点与实数是一一对应的，故本选项命题是假命题，不符合题意； B、相等的两个角不一定是对顶角，故本选项命题是假命题，不符合题意； C、同角的补角相等，是真命题，符合题意； D、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 13.“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”的逆命题是 　如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角　 ． 【解答】解：“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角． 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角． 14.命题“如果a＜0，b＜0，那么ab＞0”的逆命题是 　假　 命题． 【解答】解：“若a＜0，b＜0，则ab＞0”的逆命题是“若ab＞0，则a＜0，b＜0”，是一个假命题． 故答案为：假． 15.已知命题“如果a＝b，那么|a|＝|b|．” （1）写出此命题的条件和结论； （2）写出此命题的逆命题； （3）判断此命题的逆命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明． 【解答】解：（1）此命题的条件为：a＝b， 结论为：|a|＝|b|； （2）此命题的逆命题为：如果|a|＝|b|，那么a＝b； （3）此命题的逆命题是假命题， 当a，b为相反数时，它们的绝对值相等，但本身不相等， 如a＝2，b＝﹣2时，|2|＝|﹣2|，而2≠﹣2． 16.写出下列命题的逆命题，并判断此逆命题真假． （1）如果a＞0，b＜0，那么ab＜0； （2）两直线平行，同旁内角互补． 【解答】解：（1）如果a＞0，b＜0，那么ab＜0，逆命题是如果ab＜0，那么a＞0，b＜0，是假命题； （2）两直线平行，同旁内角互补，逆命题是同旁内角互补，两直线平行．真命题． 17.【阅读理解】 如果把一个命题（记作p）的题设和结论交换位置，得到另一个命题（记作q），那么这两个命题叫做互逆命题，其中命题p称为原命题，命题q称为原命题的逆命题． 例如：原命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”． 【解决问题】 给出命题p：“如果a＝b，那么|a|＝|b|．” （1）写出命题p的题设和结论，及逆命题q； （2）判断命题q是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明． 【解答】解：（1）∵命题p：“如果a＝b，那么|a|＝|b|． ∴a＝b是题设，|a|＝|b|是结论； 逆命题q是：如果|a|＝|b|，那么a＝b． （2）命题q是假命题， 反例：a＝3，b＝﹣3，|3|＝|﹣3|，但是3不等于﹣3． 18.下列命题：①同位角相等；②对顶角相等；③两直线平行，同旁内角相等；④两点之间，线段最短．其中真命题是 　②④　 （填序号）． 【解答】解：两直线平行，同旁内角互补，所以③错误； 对顶角相等，所以②正确； 两点之间的线段最短，所以④正确； 当两直线平行，同位角相等，所以①错误． 故答案为：②④． 19.有下列四个命题： ①相等的角是对顶角； ②两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ③等角的补角相等； ④垂直于同一条直线的两条直线互相平行． 其中真命题为　③　 ． 【解答】解：相等的角不一定是对顶角，所以①错误； 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，所以②错误； 等角的补角相等，所以③正确； 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，所以④错误． 故答案为：③． 20.关于命题“如果，那么”，下列判断正确的是（ ） A．该命题及其逆命题都是真命题 B．该命题是真命题，其逆命题是假命题 C．该命题是假命题，其逆命题是真命题 D．该命题及其逆命题都是假命题 【解答】解：原命题为真命题，其逆命题为假命题，故选B 答案选B 21.命题“在数轴上，表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等”的逆命题是 在数轴上，到原点距离相等的两个点表示的数互为相反数． 22.写出命题“垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”的逆命题，并写成“如果…，那么…”的形式 　如果一个点到一条线段两端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上　 ． 【解答】解：逆命题为：到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上， 故：如果一个点到一条线段两端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上， 故答案为：如果一个点到一条线段两端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上． 23.如图，已知AB∥CD，EF，CG分别是∠AEC，∠ECD的平分线． （1）求证：EF∥CG． 证明：因为AB∥CD（已知）， 所以∠AEC＝∠DCE（　两直线平行，内错角相等　 ）． 因为EF平分∠AEC（已知）， 所以　AEC　 （　角平分线的定义　 ）． 同理　ECD　 ． 所以∠1＝∠2， 所以EF∥CG（　内错角相等，两直线平行　 ）． （2）请说出（1）中用到了哪两个互逆的真命题． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD（已知）， ∴∠AEC＝∠DCE（两直线平行，内错角相等）， ∵EF平分∠AEC（已知）， ∴（角平分线的定义）， 同理， ∴∠1＝∠2， ∴EF∥CG（内错角相等，两直线平行）． （2）（1）中用到的互逆真命题为“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”． 24.对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，小明想举一个反例说明它是一个假命题，则符合要求的反例可以是（　　） A．a＝3，b＝2 B．a＝2，b＝﹣1 C．a＝﹣2，b＝0 D．a＝0，b＝﹣2 【解答】解：A．当a＝3，b＝2时，满足若32＞22，则3＞2， ∴此选项不是符合要求的反例，不符合题意； B．当a＝2，b＝﹣1时，满足若22＞（﹣1）2，则2＞﹣1， ∴此选项不是符合要求的反例，不符合题意； C．当a＝﹣2，b＝0时，若（﹣2）2＞02，则﹣2＜0， ∴此选项是符合要求的反例，符合题意； D．当a＝0，b＝﹣2时，不符合若02＞（﹣2）2， ∴此选项不是符合要求的反例，不符合题意， 故选：C． 25.对于命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b”能说明该命题为假命题的反例是（　　） A．a＝0，b＝0 B．a＝1，b＝1 C．a＝﹣1，b＝1 D．a＝1，b＝2 【解答】解：A、当a＝0，b＝0时，|a|＝|b|，a＝b， 不能说明命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b”是假命题，不符合题意； B、当a＝1，b＝1时，|a|＝|b|，a＝b， 不能说明命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b”是假命题，不符合题意； C、当a＝﹣1，b＝1时，|a|＝|b|，而a≠b， 能说明命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b”是假命题，符合题意； D、当a＝1，b＝2时，|a|≠|b|，a≠b， 不能说明命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b”是假命题，不符合题意； 故选：C． 26.为说明命题“若m＜n，则m2＜n2”是假命题，下列反例正确的是（　　） A．m＝﹣2，n＝1 B．m＝2，n＝1 C．m＝﹣1，n＝2 D．m＝﹣1，n＝﹣2 【解答】解：如果满足条件，不满足结论，即为“若m＜n，则m2＜n2”是假命题，由此可得： A、∵m＝﹣2，n＝1，则满足m＜n，但不满足m2＜n2，故该选项符合题意； B、∵m＝2，n＝1，则不满足m＜n，也不满足m2＜n2，故该选项不符合题意； C、∵m＝﹣1，n＝2，则满足m＜n，但满足m2＜n2，故该选项不符合题意； D、∵m＝﹣1，n＝﹣2，则不满足m＜n，但满足m2＜n2，故该选项不符合题意． 故选：A． 27.证明命题“若m＞n，则1”是假命题，所举反例正确的是（　　） A．m＝6，n＝3 B．m＝1，n＝﹣1 C．m＝2，n＝1 D．m＝0.2，n＝0.1 【解答】解：A、假设m＝6，n＝3，则，不能证明原命题是假命题，不符合题意； B、假设m＝1，n＝﹣1，则，能证明原命题是假命题，符合题意； C、假设m＝2，n＝1，则，不能证明原命题是假命题，不符合题意； D、假设m＝0.2，n＝0.1，则，不能证明原命题是假命题，不符合题意； 故选：B． 28.判断命题“如果0＜n＜1，那么n2﹣1＞0”是假命题，只需举出一个反例，这个反例可以是　（答案不唯一）．　 ． 【解答】解：当n时，符合条件0＜n＜1， 但， ∴命题“如果0＜n＜1，那么n2﹣1＞0”是假命题． 同样当时，也可以判断命题“如果0＜n＜1，那么n2﹣1＞0”是假命题， 故答案为：（答案不唯一）． 29.请举反例说明命题“对于任意实数x，x2一定大于x”是假命题．你举的反例是x＝　0（答案不唯一）　 ．（写出一个值即可） 【解答】解：当x＝0时，x2＝x＝0， ∴该命题是是假命题． 故答案为：0（答案不唯一）． 30.已知命题“如果a＝b，那么|a|＝|b|．” （1）写出此命题的条件和结论； （2）写出此命题的逆命题； （3）判断此命题的逆命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明． 【解答】解：（1）此命题的条件为：a＝b， 结论为：|a|＝|b|； （2）此命题的逆命题为：如果|a|＝|b|，那么a＝b； （3）此命题的逆命题是假命题， 当a，b为相反数时，它们的绝对值相等，但本身不相等， 如a＝2，b＝﹣2时，|2|＝|﹣2|，而2≠﹣2． 31.如图，已知点E、F分别在AB、CD上，连接EC、BF交AD于点G、H．有以下三个论断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠C，③AB∥CD． （1）请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题； （2）选择（1）中的一个真命题加以证明． 【解答】（1）解：选择①②为题设，③为结论，命题为：若∠1＝∠2，∠B＝∠C，则AB∥CD，该命题是真命题； 选择①③为题设，②为结论，命题为：若∠1＝∠2，AB∥CD，则∠B＝∠C，该命题是真命题； 选择②③为题设，①为结论，命题为：若∠B＝∠C，AB∥CD，则∠1＝∠2，该命题是真命题； （2）证明：选择①②为题设，③为结论， 由条件可知∠2＝∠CGD，∴CE∥BF， ∴∠C＝∠BFD，∵∠B＝∠C， ∴∠B＝∠BFD，∴AB∥CD； 选择①③为题设，②为结论， 由条件可知∠2＝∠CGD， ∴CE∥BF，∴∠C＝∠BFD， ∵AB∥CD，∴∠B＝∠BFD， ∴∠B＝∠C； 选择②③为题设，①为结论， 由平行线性质可知∠B＝∠BFD， ∵∠B＝∠C，∴∠C＝∠BFD， ∴CE∥BF，∴∠2＝∠CGD， 又∵∠1＝∠CGD，∴∠1＝∠2． 32.如图，有以下三个条件：①AB∥CD；②∠B＝∠D；③∠E＝∠F． （1）从三个条件中选出两个作为题设，另一个作为结论可得到一个命题．请按“ → ”的形式将所有真命题一一书写出来（用序号表示）； （2）从（1）中选择一个真命题进行证明． 【解答】解：（1）有三个真命题，分别是：①②→③；①③→②；②③→①； （2）选择①②→③， 证明：∵AB∥CD， ∴∠B＝∠DCF， ∵∠B＝∠D， ∴∠D＝∠DCF， ∴DE∥BF， ∴∠E＝∠F； 选择①③→②， 证明：∵AB∥CD， ∴∠DAB+∠D＝180°， ∵∠E＝∠F， ∴DE∥BF， ∴∠DAB+∠B＝180°， ∴∠B＝∠D； 选择②③→①， 证明：∵∠E＝∠F， ∴DE∥BF， ∴∠DAB+∠B＝180°， ∵∠B＝∠D， ∴∠DAB+∠D＝180°， ∴AB∥CD． 33.如图，AB∥CD，∠BAC的平分线与∠ACD的平分线交于点E．填空： ∵AB∥CD， ∴∠BAC+①　∠ACD　 ＝180°． ∵AE平分∠BAC． ∴②　∠BAC　 ． ∵CE平分∠ACD． ∴③　∠ACD　 ． ∴∠1+∠2＝④　90　 °． ∴∠E＝180°﹣∠1﹣∠2＝⑤　90　 °． ∴AE⑥　⊥　 CE． 请用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题：⑦　两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直　 ． 【分析】由平行线的性质推出∠BAC+∠ACD＝180°，由角平分线定义得到∠1∠BAC，∠2∠ACD，因此∠1+∠2＝90°，求出∠E＝180°﹣∠1﹣∠2＝90°，推出AE⊥CE，由证明的条件和结论即可归纳为一个真命题． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠BAC+∠ACD＝180°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠1∠BAC， ∵CE平分∠ACD， ∴∠2∠ACD， ∴∠1+∠2＝90°， ∴∠E＝180°﹣∠1﹣∠2＝90°， ∴AE⊥CE， 用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直． 故答案为：∠ACD；∠BAC；∠ACD；90；90；⊥；两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直． 34.对于任意有理数a，b，规定一种特别的运算“ ”：a b＝a﹣b+ab． 例如，2 5＝2﹣5+2×5＝7． （1）求3 （﹣1）的值； （2）若（﹣4） x＝6，求x的值； （3）试探究这种特别的运算“ ”是否具有交换律？若具有，请说明理由；若不具有，请举一个反例说明． 【解答】解：（1）3 （﹣1）＝3﹣（﹣1）+3×（﹣1）＝3+1﹣3＝1； （2）（﹣4） x＝6， 则﹣4﹣x﹣4x＝6， 解得：x＝﹣2； （3）这种特别的运算“ ”不具有交换律， 例如：2 5＝2﹣5+2×5＝7，5 2＝5﹣2+5×2＝13， ∴2 5≠2 5， ∴这种特别的运算“ ”不具有交换律． 35.已知∠ABC和∠DEF，请根据下面要求解决相应的问题． （1）如图1，图2所示，当DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P时． ①填空：图1中∠ABC与∠DEF数量关系为 　∠ABC＝∠DEF　 ； 图2中∠ABC与∠DEF数量关系为 　∠ABC+∠DEF＝180°　 ； ②请从图1，图2中选择一种情况写出证明过程． ③请用“如果…，那么…”的形式把上述结论表述出来：　如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补　 ． （2）当DE⊥AB，EF⊥BC，且∠DEF比∠ABC的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数． 【解答】解：（1）①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为∠ABC＝∠DEF； 图2中∠ABC与∠DEF数量关系为∠ABC+∠DEF＝180°； 故答案为：∠ABC＝∠DEF，∠ABC+∠DEF＝180°； ②选择图1：∵AB∥DE， ∴∠ABC＝∠BPE（两直线平行，内错角相等）， ∵BC∥EF， ∴∠BPE＝∠DEF（两直线平行，内错角相等）， ∴∠ABC＝∠DEF（等量代换）； 选择图2：∵AB∥DE， ∴∠ABC＝∠BPE（两直线平行，内错角相等）， ∵BC∥EF， ∴∠BPE+∠DEF＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠ABC+∠DEF＝180°， ③用“如果…，那么…”的形式把上述结论表述为：如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补； 故答案为：如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补； （2）当∠DEF与∠ABC如下图所示时， ∵DE⊥AB，EF⊥BC， ∴∠BGE＝∠BHE＝90°， ∴∠ABC+∠DEF＝180°， ∵∠DEF比∠ABC的2倍少30°， ∴∠DEF＝2∠ABC﹣30°，则∠ABC+2∠ABC﹣30＝180°， ∴∠ABC＝70°，则∠DEF＝2×70°﹣30°＝110°， 当∠DEF与∠ABC如下图所示时， ∵DE⊥AB，EF⊥BC， ∴∠BGE＝∠BHO＝90°， ∵∠EOG＝∠BOH ∴∠ABC＝∠DEF， 又∵∠DEF＝2∠ABC﹣30°， ∴∠ABC＝2∠ABC﹣30°， ∴∠ABC＝30°，则∠DEF＝2×30°﹣30°＝30°， 综上：∠ABC＝70°，∠DEF＝110°或∠ABC＝∠DEF＝30°． 36.如图，直线MN、PQ互相平行，一块30°的直角三角板ABC放置在图中，直角顶点C在两条平行线之间，A在MN上方，B在PQ下方．AC、AB分别交MN于点D、E，BC、AB分别交PQ于点FG． （1）若∠ADE＝43°，求∠CFG的度数； （2）点H为线段CA上一点，若 　①（②）　 ，求证：　④（③）　 ． 从①②中选择一个题设，③④中选择一个正确的结论，将序号填在横线上，并证明． ①∠HFC+∠CFG＝180°；②2∠HFC+∠CFG＝180°；③是定值；④是定值． 【解答】解：（1）过C作CK∥MN，如图： ∴∠ACK＝∠ADE＝43°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠KCF＝90°﹣43°＝47°， ∵MN∥PQ， ∴CK∥PQ， ∴∠CFP＝∠KCF＝47°， ∴∠CFF＝180°﹣47°＝133°； （2）当选题设①时，如图： 由（1）知，∠CFP＝90°﹣∠ADE，∠CFG＝90°+∠ADE， ∵∠HFC+∠CFG＝180°， ∴∠HFC＝∠CFP＝90°﹣∠ADE， ∴∠HFG＝∠CFG﹣∠HFC＝2∠ADE， ∴2，为定值，即④正确； 当选题设②时，由①可得：2∠HFC＝90°﹣∠ADE， ∴∠HFC＝45°∠ADE， ∴∠HFG＝∠CFG﹣∠HFC＝45°∠ADE， ∴∠HFG∠ADE＝45°，为定值，即③正确． 故答案为：①（②），④（③）． 37.问题情景：如图1，AB∥CD． （1）观察猜想：若∠AEP＝50°，∠CFP＝40°．则∠P的度数为 　90°　 ． （2）探究问题：在图1中探究，∠EPF、∠CFP与∠AEP之间有怎样的等量关系？并说明理由． （3）拓展延伸：若将图1变为图2，题设的条件不变，此时∠EPF、∠PFD与∠AEP之间有怎样的等量关系？并说明理由． ∵AB∥CD，PQ∥AB， ∴PQ∥AB∥CD， ∴∠QPE＝∠AEP＝50°，∠QPF＝∠CFP＝40°， ∴∠EPF＝∠QPE+∠QPF＝90°， 故答案为：90°； （2）∠EPF＝∠AEP+∠CFP，理由如下： 如图所示，过点P作PQ∥AB， ∵AB∥CD，PQ∥AB， ∴PQ∥AB∥CD， ∴∠QPE＝∠AEP，∠QPF＝∠CFP， ∴∠EPF＝∠QPE+∠QPF＝∠AEP+∠CFP； （3）解：∠EPF+∠AEP+∠PFD＝180°，理由如下： 如图所示，过点P作PQ∥AB， ∵AB∥CD，PQ∥AB， ∴PQ∥AB∥CD， ∴∠QPE＝∠AEP，∠QPF+∠PFD＝180°， ∵∠QPF＝∠EPF+∠QPE， ∴∠QPF＝∠EPF+∠AEP， ∴∠EPF+∠AEP+∠PFD＝180°． 38．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O． （1）求证：DO是∠EDF的平分线． （2）若将“DO是∠EDF的平分线”与“AD是∠BAC的平分线”，“DE∥AB”或“DF∥AC”中的任一条件交换，所得命题是真命题吗？若是，请选择一个证明；若不是，请说明理由． 【解答】（1）证明：∵DE∥AC，DF∥AB， ∴∠FAD＝∠EDA，∠EAD＝∠FDA， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠EAD＝∠FAD， ∴∠EDA＝∠FDA， ∴DO是∠EDF的角平分线； （2）解：选择命题：若DO是∠EDF的平分线，DE∥AB，DF∥AC，则AD是∠CAB的平分线，是真命题， 理由：∵DE∥AB，DF∥AC， ∴∠EDA＝∠DAB，∠EAD＝∠ADF， ∵DO是∠EDF的平分线， ∴∠EDA＝∠ADF， ∴∠EAD＝∠DAB， ∴AD是∠CAB的平分线． 39.探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P．∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？ （1）我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示． ①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为 　互补　 ；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为 　相等　 ； ②请选择一种情况写出证明过程． ③由①得出如果两个角的两边互相平行，那么这两个角 　相等或互补　 ． （2）应用③中的真命题，解决以下问题： 若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的3倍少40°，求这两个角的度数． 【解答】解：（1）①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为：∠ABC+∠DEF＝180°； 图2中∠ABC与∠DEF数量关系为：∠ABC＝∠DEF， 故答案为：互补；相等； ②证明：图1中， ∵BC∥EF， ∴∠DEF＝∠1， ∵AB∥DE， ∴∠ABC+∠1＝180°， ∴∠ABC+∠DEF＝180°； 图2中， ∵BC∥EF， ∴∠BPE＝∠DEF， ∵AB∥DE， ∴∠ABC＝∠BPE， ∴∠ABC＝∠DEF； ③由①得出：如果两个角两边互相平行，那么这两个角相等或互补， 故答案为：相等或互补； （2）设一个角为x°，另一个角为y°， 当两角相等时， ， 解得：； 当两角互补时， ， 解得：， 综上所述，这两个角的度数分别为20°和20°或55°和125°． 40.如图，在三角形ABC中，D，E是AB上的点，F是BC上一点，H，G是AC上的点，FD⊥AB于点D，连接EF，EH，EG．给定三个条件：①EG⊥AB，②∠α＝∠β，③∠C＝∠β+∠EGH． （1）请在上述三个条件中选择其中两个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 　①②　 ，结论是 　③　 （填写序号）； （2）证明上述命题． 【解答】（1）选择的条件是 ①②，结论是 ③； 故答案为：①②，③； （2）证明：由EG⊥AB，FD⊥AB， 得EG∥FD， 得∠DFE＝∠GEF， 由∠α＝∠β， 得∠BFE＝∠HEF， 得EH∥BC， 得∠C＝∠AHE＝∠β+∠EGH． 41.在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，点E在BC的延长线上，射线EA与射线CD相交于点F，∠BAG是△ABC的外角． 有以下三个选项：①CD⊥AB，②∠CFE＝∠CEF，③AF平分∠BAG．从中选两个作为条件，剩下的一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明． 条件 　①②（答案不唯一）　 ，结论 　③（答案不唯一）　 .（填序号） 证明： 【解答】解：由CD⊥AB，∠CFE＝∠CEF可证明AF平分∠BAG， ∴条件为①②，结论为③； 证明：∵CD⊥AB， ∴∠CFE+∠FAD＝90°＝∠CEF+∠CAE， ∵∠CFE＝∠CEF， ∴∠FAD＝∠CAE， ∵∠CAE＝∠GAF， ∴∠FAD＝∠GAF， ∴AF平分∠BAG． 故答案为：①②（答案不唯一），③（答案不唯一）． 42.（1）如图，DE∥BC，∠1＝∠3，CD⊥AB，试说明FG⊥AB； （2）若把（1）中的题设中的“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题是否为真命题？试说明理由． 【解答】解：（1）∵DE∥BC， ∴∠1＝∠2， ∵∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3， ∴CD∥FG， ∵CD⊥AB， ∴FG⊥AB； （2）把题设中的“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题为真命题，理由如下： ∵FG⊥AB，CD⊥AB， ∴FG∥CD， ∴∠2＝∠3， ∵∠1＝∠3， ∴∠1＝∠2， ∴DE∥BC． 43.阅读下面内容，并解答问题 在学行线的性质后，老师请同学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直． 小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件． 已知：如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．∠BEF的角平分线EG与∠DFE的角平分线FG交于点G． （1）直线EG，FG有何位置关系？请补充结论：求证：“　EG⊥FC　 ”，并写出证明过程； （2）在图1的基础上，分别作∠BEG的角平分线EM与∠DFG的角平分线FM交于点M，得到图2，求∠EMF的度数． （3）如图3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F点O在直线AB，CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的角平分线EP与∠DFO的角平分线FP交于点P，请直接写出∠EOF与∠EPF满足的数量关系，不需证明． 【解答】解：（1）结论：EG⊥FC； 理由：如图1中，∵AB∥CD， ∴∠BEF+∠DFE＝180°， ∵EG平分∠BEF，FG平分∠DFE， ∴，， ∴， 在△EFG中，∠GEF+∠GFE+∠G＝180°， ∴∠G＝180°﹣（∠GEF+∠GFE）＝180°﹣90°＝90°， ∴EG⊥FG． 故答案为：EG⊥FC； （2）如图2中，由（1）得：∠GEF+∠GFE＝90°， ∴∠BEG+∠DFG＝180°﹣90°＝90°， ∵EM平分∠BEG，MF平分∠DFG， ∴， ∴∠MEF+∠MFE＝90°+45°＝135°， ∴∠EMF＝180°﹣135°＝45°， （3）结论：∠EOF＝2∠EPF． 如图3中，∵∠EOF＝180°﹣（∠OEF+∠OFE），∠OEF+∠OFE＝180°﹣（∠BEO+∠DFO）， ∴∠EOF＝∠BEO+∠DFO， 同理可得：∠EPF＝∠BEP+∠DFP， ∵PE平分∠BEO，PF平分∠DFO， ∴∠BEO＝2∠BEP，∠DFO＝2∠DFP， ∴∠EOF＝2∠BEP+2∠DFP＝2∠EPF． 44．已知∠ABC的两边与∠DEF的两边分别垂直，即AB⊥DE，BC⊥EF，垂足分别为点M和N，试探究： （1）如图1，∠B与∠E的关系是 　∠B+∠E＝180°　 ； （2）如图2，写出∠B与∠E的关系，并说明理由； （3）根据上述探究，请归纳概括出一个真命题． 【分析】（1）根据垂直的定义、四边形内角和等于360°解答； （2）根据垂直的定义、对顶角相等解答； （3）综合（1）（2）的结论写出真命题． 【解答】解：（1）∵AB⊥DE，BC⊥EF， ∴∠BME＝90°，∠BNE＝90°， ∴∠B+∠E＝360°﹣90°﹣90°＝180°， 故答案为：∠B+∠E＝180°； （2）∵AB⊥DE，BC⊥EF， ∴∠BME＝90°，∠BNE＝90°， ∵∠BGN＝∠EGM， ∴∠B＝∠E； （3）真命题：如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补．

展开更多......

收起↑