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第十章 二元一次方程组
10.3 实际问题与二元一次方程组
（第2课时）
经历运用二元一次方程组解决实际问题的过程，能分析实际问题中的数量关系，会设未知数，列方程组并求解，得到实际问题的答案，发展模型观念。
数学问题
(二元一次方程组)
实际问题
设未知数
列方程组
解方程组
代入法
加减法
数学问题的解
(二元一次方程组的解)
实际问题的答案
检验
1. 利用二元一次方程组解决实际问题的基本思路。
（消元）
　　2. 列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是什么？
　　（1）审：弄清题中的已知量、未知量，找出题中的相等关系．
　　（2）设：恰当地设未知数．
　　（3）列：根据（1）中的相等关系列方程组．
　　（4）解：正确地解方程组．
　　（5）验：检验解是不是原方程组的解且符合题意．
　　（6）答：答案要完整且单位统一．
例1：据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:2．现要把一块长200 m、宽100 m的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4？
这道题研究的是长方形面积的分割问题，你能画出相应的示意图吗？
作物产量比与种植面积的比有什么关系？
　　甲、乙作物产量比等于甲作物的种植面积与乙作物的种植面积的2倍的比．
例1：据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:2．现要把一块长200 m、宽100 m的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4？
例1：据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:2．现要把一块长200 m、宽100 m的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4？
解：如图，一种划分方案为：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形 AEFD 和长方形 BCFE．
此时设 AE＝x m，EB＝y m，据问题中涉及长度、产量的相等关系，列得方程组
解得
答：过长方形土地的长边上离一端 80 m 处，作
这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地．
较大一块土地种植甲种作物，较小一块土地种植乙种作物．
还有其他设计方案吗？
列二元一次方程组解决有关图形的问题时，常借助数形结合思想，发现各种量之间的关系，找出相等关系，从而列方程组解决问题．
例2：如图，10 块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，每块地砖的长和宽分别是多少？
解：设每块地砖的长为 x cm，宽为 y cm．根据题意，可列方程组
解这个方程组，得
答：每块地砖的长为 48 cm，宽为 12 cm．
60 cm
【知识技能类练习】必做题：
1．如图，在长方形ABCD中放入6个完全相同的小长方形，设小长方形的长为a，宽为b，所标尺寸如图所示，则可得方程组（　　）．
A． B．
C． D．
A
【知识技能类练习】必做题：
2．如图，周长为34 cm的长方形ABCD被分成7个形状大小完全相同的小长方形，则长方形ABCD的面积为______cm2．
70
【知识技能类练习】必做题：
3．在长方形中，放入六个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则每个小长方形的面积为 ．
16
【知识技能类练习】选做题：
4．如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”的高度为23 cm，小红所搭的“小树”的高度为22 cm，设每块A型积木的高为x cm，每块B型积木的高为y cm，则x= ，y= ．
4
5
【综合拓展类练习】
5．小明在拼图时，发现8个大小一样的长方形，恰好可以拼成如左图所示的一个大的长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如右图所示的正方形．但是中间还留下了一个小洞，恰好是边长为的小正方形!你能求出这些长方形的长和宽吗 ．若能，请写出过程；若不能，请说出理由．
解：能求出这些长方形的长和宽，
理由如下：设这些长方形的长和宽分别为，，
根据两个图形可得：，
解得，
答：这些长方形的长和宽分别为，．
实际问题与二元一次方程组
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤
利用二元一次方程组解决实际问题的基本思路
【知识技能类作业】必做题：
1．如图，在长为14 m、宽为10 m的长方形展厅划出三个形状、大小完全一样的小长方形摆放水仙花，则每个小长方形的周长为_________m．
16
【知识技能类作业】必做题：
2．小敏做拼图游戏时发现：8个一样大小的小长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图1所示．小颖看见了，也来试一试，结果拼成了如图2所示的正方形，不过中间留下一个边长恰好为2 cm的小正方形空白，你能算出每个小长方形的长和宽各为多少吗？
解：设小长方形的长为x cm，宽为y cm，
则
解得
答：每个小长方形的长为10 cm，宽为6 cm．
【知识技能类作业】必做题：
3．甲乙两人练习跑步，如果乙先跑10米，甲跑5秒就可追上乙；如果乙先跑2秒，甲跑4秒就可追上乙．设甲的速度为x米/秒，乙的速度为y米/秒，则可列出的方程组为（ ）
A． B．
C． D．
B
【知识技能类作业】选做题：
4．利用两块大小相同的长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图1所示的方式放置，再交换两块木块的位置，按图2所示的方式放置．根据测量的数据，得桌子的高度是（　　）．
A．73 cm B．74 cm
C．75 cm D．76 cm
D
【综合拓展类作业】
5．“洛书”是世界上最古老的一个三阶幻方，它有3行3列，三横行的三个数之和，三竖列的三个数之和，两对角线的三个数之和都相等，其实幻方就是把一些有规律的数填在正方形图内，使每一行、每一列和每一条对角线上各个数之和都相等，如图幻方的值是 ．
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同步探究学案
课题 10.3 实际问题与二元一次方程组（第2课时） 单元 第十章 学科 数学 年级 七年级
学习 目标 经历运用二元一次方程组解决实际问题的过程，能分析实际问题中的数量关系，会设未知数，列方程组并求解，得到实际问题的答案，发展模型观念。
重点 分析较复杂实际问题中的相等关系，利用二元一方程组解决实际问题。
难点 从实际背景中提取数学信息，并转化成数学语言，明确未知数，建立方程组解决实际问题。
探究过程
导入新课 【引入思考】 1. 利用二元一次方程组解决实际问题的基本思路。 2. 列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是什么？
新知探究 本节课来研究： 本节我们继续探究如何用二元一次方程组解决实际问题。 例1：据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:2．现要把一块长200 m、宽100 m的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4？ 解：如图，一种划分方案为：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形 AEFD 和长方形 BCFE． 此时设 AE＝x m，EB＝y m，据问题中涉及长度、产量的相等关系，列得方程组 解这个方程组，得 答：过长方形土地的长边上离一端________处，作这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地．较大一块土地种植________种作物，较小一块土地种植________种作物． 归纳：列二元一次方程组解决有关图形的问题时，常借助数形结合思想，发现各种量之间的关系，找出相等关系，从而列方程组解决问题． 例2：如图，10 块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，每块地砖的长和宽分别是多少？
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图，在长方形ABCD中放入6个完全相同的小长方形，设小长方形的长为a，宽为b，所标尺寸如图所示，则可得方程组（　　）． A．B．C．D． 第1题图 第2题图 第3题图 2．如图，周长为34 cm的长方形ABCD被分成7个形状大小完全相同的小长方形，则长方形ABCD的面积为______cm2． 3．在长方形中，放入六个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则每个小长方形的面积为 ． 选做题： 4．如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”的高度为23 cm，小红所搭的“小树”的高度为22 cm，设每块A型积木的高为x cm，每块B型积木的高为y cm，则x= ，y= ． 【综合拓展类练习】 5．小明在拼图时，发现8个大小一样的长方形，恰好可以拼成如左图所示的一个大的长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如右图所示的正方形．但是中间还留下了一个小洞，恰好是边长为的小正方形!你能求出这些长方形的长和宽吗 ．若能，请写出过程；若不能，请说出理由．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，在长为14 m、宽为10 m的长方形展厅划出三个形状、大小完全一样的小长方形摆放水仙花，则每个小长方形的周长为_________m． 第1题图 第2题图 2．小敏做拼图游戏时发现：8个一样大小的小长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图1所示．小颖看见了，也来试一试，结果拼成了如图2所示的正方形，不过中间留下一个边长恰好为2 cm的小正方形空白，你能算出每个小长方形的长和宽各为多少吗？ 3．甲乙两人练习跑步，如果乙先跑10米，甲跑5秒就可追上乙；如果乙先跑2秒，甲跑4秒就可追上乙．设甲的速度为x米/秒，乙的速度为y米/秒，则可列出的方程组为（ ） A． B． C． D． 选做题： 4．利用两块大小相同的长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图1所示的方式放置，再交换两块木块的位置，按图2所示的方式放置．根据测量的数据，得桌子的高度是（　　）． A．73 cm B．74 cm C．75 cm D．76 cm 【综合拓展类作业】 5．“洛书”是世界上最古老的一个三阶幻方，它有3行3列，三横行的三个数之和，三竖列的三个数之和，两对角线的三个数之和都相等，其实幻方就是把一些有规律的数填在正方形图内，使每一行、每一列和每一条对角线上各个数之和都相等，如图幻方的值是 ．
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分课时教学设计
第八课时《10.3 实际问题与二元一次方程组（第2课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节继续探究实际问题与二元一次方程组，通过学生在实际问题中进行分析，从而提高将实际问题转化为数学模型的能力；在解决实际问题的过程中，使学生感受到数学与现实生活的紧密联系，体会数学在生活中的应用价值，增强学生的数学应用意识。
学习者分析 七年级下册的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了线性方程的解法，能够解决一些简单的一元一次方程问题。然而，对于二元一次方程组的认识和解题能力尚需进一步加强。
教学目标 经历运用二元一次方程组解决实际问题的过程，能分析实际问题中的数量关系，会设未知数，列方程组并求解，得到实际问题的答案，发展模型观念。
教学重点 分析较复杂实际问题中的相等关系，利用二元一方程组解决实际问题。
教学难点 从实际背景中提取数学信息，并转化成数学语言，明确未知数，建立方程组解决实际问题。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 经历运用二元一次方程组解决实际问题的过程，能分析实际问题中的数量关系，会设未知数，列方程组并求解，得到实际问题的答案，发展模型观念。学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2： 问题：1. 利用二元一次方程组解决实际问题的基本思路。 预设： 2. 列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是什么？ 预设：（1）审：弄清题中的已知量、未知量，找出题中的相等关系． （2）设：恰当地设未知数． （3）列：根据（1）中的相等关系列方程组． （4）解：正确地解方程组． （5）验：检验解是不是原方程组的解且符合题意． （6）答：答案要完整且单位统一．学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 通过复习二元一次方程组解决实际问题的基本思路和步骤，为进一步探究用方程组解决实际问题做好铺垫。环节三：新知讲解教师活动3： 例1：据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:2．现要把一块长200 m、宽100 m的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4？ 追问1：这道题研究的是长方形面积的分割问题，你能画出相应的示意图吗？ 预设： 追问2：作物产量比与种植面积的比有什么关系？ 预设：甲、乙作物产量比等于甲作物的种植面积与乙作物的种植面积的2倍的比． 解：如图，一种划分方案为：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形 AEFD 和长方形 BCFE． 此时设 AE＝x m，EB＝y m，据问题中涉及长度、产量的相等关系，列得方程组 解这个方程组，得 答：过长方形土地的长边上离一端 80 m 处，作 这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地． 较大一块土地种植甲种作物，较小一块土地种植乙种作物． 归纳：列二元一次方程组解决有关图形的问题时，常借助数形结合思想，发现各种量之间的关系，找出相等关系，从而列方程组解决问题． 例2：如图，10 块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，每块地砖的长和宽分别是多少？ 解：设每块地砖的长为 x cm，宽为 y cm．根据题意，可列方程组 解这个方程组，得 答：每块地砖的长为 48 cm，宽为 12 cm．学生活动3： 学生在教师的引导下、小组合作探究中完成例题，并派代表行进行板演，讲解，然后认真听教师的点评和讲解，并和老师一起归纳列方程组解决实际问题的一般步骤活动意图说明： 通过例题进一步巩固二元一次方程组解决实际问题的基本思路，体会数学建模思想，掌握列方程组解决实际问题的一般步骤，提高学生的应用能力。环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题：10.3 实际问题与二元一次方程组（第2课时） 一、利用二元一次方程组解决实际问题的基本思路 二、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图，在长方形ABCD中放入6个完全相同的小长方形，设小长方形的长为a，宽为b，所标尺寸如图所示，则可得方程组（　　）． A．B．C．D． 答案：A 2．如图，周长为34 cm的长方形ABCD被分成7个形状大小完全相同的小长方形，则长方形ABCD的面积为______cm2． 答案：70 3．在长方形中，放入六个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则每个小长方形的面积为 ． 答案：16 选做题： 4．如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”的高度为23 cm，小红所搭的“小树”的高度为22 cm，设每块A型积木的高为x cm，每块B型积木的高为y cm，则x= ，y= ． 答案：4，5 【综合拓展类练习】 5．小明在拼图时，发现8个大小一样的长方形，恰好可以拼成如左图所示的一个大的长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如右图所示的正方形．但是中间还留下了一个小洞，恰好是边长为的小正方形!你能求出这些长方形的长和宽吗 ．若能，请写出过程；若不能，请说出理由． 解：能求出这些长方形的长和宽， 理由如下：设这些长方形的长和宽分别为，， 根据两个图形可得：， 解得， 答：这些长方形的长和宽分别为，．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，在长为14 m、宽为10 m的长方形展厅划出三个形状、大小完全一样的小长方形摆放水仙花，则每个小长方形的周长为_________m． 答案：16 2．小敏做拼图游戏时发现：8个一样大小的小长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图1所示．小颖看见了，也来试一试，结果拼成了如图2所示的正方形，不过中间留下一个边长恰好为2 cm的小正方形空白，你能算出每个小长方形的长和宽各为多少吗？ 解：设小长方形的长为x cm，宽为y cm， 则 解得 答：每个小长方形的长为10 cm，宽为6 cm． 3．甲乙两人练习跑步，如果乙先跑10米，甲跑5秒就可追上乙；如果乙先跑2秒，甲跑4秒就可追上乙．设甲的速度为x米/秒，乙的速度为y米/秒，则可列出的方程组为（ ） A． B． C． D． 答案：B 选做题： 4．利用两块大小相同的长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图1所示的方式放置，再交换两块木块的位置，按图2所示的方式放置．根据测量的数据，得桌子的高度是（　　）． A．73 cm B．74 cm C．75 cm D．76 cm 答案：D 【综合拓展类作业】 5．“洛书”是世界上最古老的一个三阶幻方，它有3行3列，三横行的三个数之和，三竖列的三个数之和，两对角线的三个数之和都相等，其实幻方就是把一些有规律的数填在正方形图内，使每一行、每一列和每一条对角线上各个数之和都相等，如图幻方的值是 ． 答案：21
教学反思 本课教学采用启发式教学，强调学生的独思考、探索与合作探究，以提高学生的分析与解决问题的能力。在教学中，根据学生的实际，选取学生熟悉的背景为问题情境，让学生体会数学建模的思想。
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