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（人教版）七年级
下
11.1.2不等式的性质（第2课时）
不等式与不等式组
第11章
“十一”
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
内容总览
教学目标
1.进一步了解不等式的性质，会用不等式的性质解简单的不等式.
2.学会并准确运用不等式表示数量关系，初步认识不等式的应用价值．
新知导入
不等式的性质：
不等式的性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子) ，不等号的方向不变.如果a＞b，那么a±c＞b±c.
不等式的性质2：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.如果 a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或).
不等式的性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或).
新知讲解
任务：不等式性质的应用
解一元一次方程就是借助等式的性质，将方程逐步化为 x=m（m为常数）的形式.
请简述解一元一次方程的本质：
类似于解一元一次方程，我们该如何解不等式呢？
与解方程类似，解不等式要借助不等式的性质，将不等式逐步化为x>m或x新知讲解
例1 利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集.
(1) x-7＞26； (2) 3x<2x+1；
(3) x ＞50；　　 (4) -4x＞3.　　　　
分析：解不等式，就是要借助不等式的性质使不等式逐步化为 x>m 或 x解未知数为 x 的不等式
化为 x＞a（x≥a）或x＜a（x≤a） （a为常数）的形式
目标
依据：不等式的性质1~3
思路分析：
新知讲解
解：(1)根据不等式的性质1，不等式两边加 7，不等号的方向不变，
所以 x-7+7>26+7，
即 x>33.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示.
(2)根据不等式的性质1，不等式两边减 2x，不等号的方向不变，
所以 3x-2x<2x+1-2x，
即 x<1.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示.
0
33
0
1
新知讲解
解：(3)根据不等式的性质2，不等式两边乘 ，不等号的方向不变，
所以 >50，
即 x>75.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示.
(4)根据不等式的性质3，不等式两边除以 -4，不等号的方向改变，
所以 ，即 x< .
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示.　　
0
75
0
新知讲解
除了含有<，>，≠的不等式，像a≥b或a≤b这样的式子，也经常用来表示两个数量的大小关系，它们也是不等式.
例如：x≥3：x>3或x=3，即x可以取3和大于3的所有值.
符号“≥”读作“大于或等于”也可以说是“不小于”；
符号“≤”读作“小于或等于”，也可以说是“不大于”.
符号“≥” 与“＞”的意思有什么区别 “≤”与“＜”呢
符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号的合写形式.
新知讲解
a≥b或a≤b形式的不等式，具有与前面所说的不等式的性质类似的性质.
例如:如果a≥b，那么-2a≤-2b.
新知讲解
v ≥ 80
v ≤ 100
符号“≥”读作“大于或等于”，也可说是“不小于”.
符号“≤”读作“小于或等于”，也可说是“不大于”.
如图所示的高速公路的限速标志，表示在此道路上行驶的汽车的最低车速应为80 km/h，最高车速应为100 km/h.如果用 v（单位：km/h）表示汽车的速度，则 v 应满足：v ≥ 80且 v ≤ 100，或表示为 80≤v ≤100.
新知讲解
思考
如果汽车所行驶道路的最高限速是120 km/h，那么车速x应满足什么条件
x≤120
新知讲解
例2 如图，一个长方体形状的鱼缸长10 dm，宽3.5 dm，高7 dm.若鱼缸内已有水的高度为1 dm，现准备向鱼缸内继续注水．用V(单位：dm3)表示新注入水的体积，写出V的取值范围并在数轴上表示．
问题中的不等关系是：
已有水的体积与新注入水的体积之和不能超过鱼缸的容积.
新知讲解
解：已有水的体积与新注入水的体积V之和不能超过鱼缸的容积，即
10×3.5×1＋V≤10×3.5×7，
所以V≤210.
又由于新注入水的体积V不能是负数，
因此V的取值范围是0≤V≤210.
在数轴上表示V的取值范围如图所示：
在表示 0 和 210 的点上画实心圆点，表示取值范围包含这两个数.
0
210
新知讲解
不等式性质的应用
1. 利用不等式的性质解不等式，注意性质3的用法.
2. 在数轴上表示不等式的解集，注意界点是空心还是实心的.
3. 根据不等关系列不等式时，注意“不超过”“不多于”“不少于”等关键词的含义.
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1.不等式x＋1≥2的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
2.利用不等式的性质解下列不等式：
（1） 2x－5＜－13；（2） － x＞ ；
（3） －9＋2x≥5x；（4） y＋16≤9y.
解：（1）x＜－4
（2）x＜－
（3）x≤－3
（4）y≥2
3.某校租用55座和53座两种型号的客车接送同学们参加研学活动，若租用55座客车x辆，租用53座客车y辆，则不等式“55x＋53y≥990”表示的实际意义是（　　）
A.两种客车总的载客量不少于990人
B.两种客车总的载客量不超过990人
C.两种客车总的载客量不足990人
D.两种客车总的载客量恰好等于990人
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
A
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
4.若k＜5，则关于x的不等式（k－5）x＞6的解集是 .
x＜ 　
【综合拓展类作业】
课堂练习
5. 某水产品市场管理部门规划建造面积为2400m2的集贸大棚.大棚内设A种类型和B种类型的店面共80间，每间A种类型店面的平均面积为28m2，每间B种类型店面的平均面积为20m2，全部店面的建造面积不能超过大棚总面积的85％，那么A种类型的店面最多能设多少间？
解：设A种类型的店面有x间，则B种类型的店面有（80－x）间.
由题意，得28x＋20（80－x）≤2400×85％，解得x≤55.
答：A种类型的店面最多能设55间.
课堂总结
不等式性质的应用
1. 利用不等式的性质解不等式，注意性质3的用法.
2. 在数轴上表示不等式的解集，注意界点是空心还是实心的.
3. 根据不等关系列不等式时，注意“不超过”“不多于”“不少于”等关键词的含义.
板书设计
不等式性质的应用
1. 利用不等式的性质解不等式，注意性质3的用法.
2. 在数轴上表示不等式的解集，注意界点是空心还是实心的.
3. 根据不等关系列不等式时，注意“不超过”“不多于”“不少于”等关键词的含义.
课题：11.1.2不等式的性质（第2课时）
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1.关于x的不等式－2x＋a≥2的解集如图所示，则a的值是（　 ）
A.0 B.2 C.-2 D.4
A
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
2．利用不等式的性质解不等式，并在数轴上表示其解集：
(1)2x≥x－2；(2)－ x≤－2.
解：（1）x≥－2，其解集在数轴上表示如图所示．
（2）x≥4，其解集在数轴上表示如图所示．
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
3.阳阳从家到学校的路程为2 400 m，他早晨8：00离开家，要在8：30之后8：40之前到学校，如果用x表示他的速度(单位：m/min)，则x的取值范围为( )
A．60≤x<80 B．60≤x≤80
C．60C
4.关于x的一元一次不等式x－1≤m的解集在数轴上的表示如图所示，则m的值为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
B
【综合拓展类作业】
作业布置
5. 某长方体容器长5cm，宽4cm，高12cm.容器内原有水的高度为2cm，现准备继续往里面注水，新注入水的体积为Vcm3，求V的最大值.
解：由于新注入水的体积与原有水的体积的和不能超过容器的容积，即V＋4×5×2≤4×5×12，
∴ V≤200.
∴ V的最大值为200
Thanks!
2
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分课时教学设计
《11.1.2不等式的性质（第2课时）》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课的内容为会利用不等式的性质求出不等式的解集，并能在数轴上表示其解集. 本节课是在学习了不等式的性质的基础上进一步加深巩固对不等式定义及性质的理解。利用不等式的性质解不等式及解集的几何表示.含有≥或≤的不等式，具有同样的性质。在学习的过程中有意识的培养学生动手操作、思考、观察、分析归纳的能力.体会类比思想、数学建模思想的运用.
学习者分析 学生已经学习了不等式的定义、表示方法及基本性质，能用不等式表示简单的数量间的不等关系，初步掌握了运用不等式的基本性质进行不等式的变形。
教学目标 1.进一步了解不等式的性质，会用不等式的性质解简单的不等式. 2.学会并准确运用不等式表示数量关系，初步认识不等式的应用价值．
教学重点 用不等式的性质解简单的不等式．
教学难点 用不等式的性质解决实际问题，在数轴上表示不等式的解集.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 不等式的性质： 不等式的性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子) ，不等号的方向不变.如果a＞b，那么a±c＞b±c. 不等式的性质2：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.如果 a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或). 不等式的性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或).学生活动1： 学生回忆不等式的性质，积极举手回答. 活动意图说明： 回顾之前所学，为进入正课做好知识储备.环节二：不等式性质的应用教师活动2： 请简述解一元一次方程的本质： 解一元一次方程就是借助等式的性质，将方程逐步化为 x=m（m为常数）的形式. 类似于解一元一次方程，我们该如何解不等式呢？ 与解方程类似，解不等式要借助不等式的性质，将不等式逐步化为x>m或xm 或 x26+7， 即 x>33. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示. (2)根据不等式的性质1，不等式两边减 2x，不等号的方向不变， 所以 3x-2x<2x+1-2x， 即 x<1. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示. 解：(3)根据不等式的性质2，不等式两边乘 ，不等号的方向不变， 所以 >50， 即 x>75. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示. (4)根据不等式的性质3，不等式两边除以 -4，不等号的方向改变， 所以 ，即 x< . 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示.　　 除了含有<，>，≠的不等式，像a≥b或a≤b这样的式子，也经常用来表示两个数量的大小关系，它们也是不等式. 例如：x≥3：x>3或x=3，即x可以取3和大于3的所有值. 符号“≥”读作“大于或等于”也可以说是“不小于”； 符号“≤”读作“小于或等于”，也可以说是“不大于”. 符号“≥” 与“＞”的意思有什么区别 “≤”与“＜”呢 符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号的合写形式. a≥b或a≤b形式的不等式，具有与前面所说的不等式的性质类似的性质. 例如:如果a≥b，那么-2a≤-2b. 如图所示的高速公路的限速标志，表示在此道路上行驶的汽车的最低车速应为80 km/h，最高车速应为100 km/h.如果用 v（单位：km/h）表示汽车的速度，则 v 应满足：v ≥ 80且 v ≤ 100，或表示为 80≤v ≤100. v ≥80 符号“≥”读作“大于或等于”，也可说是“不小于”. v≤100 符号“≤”读作“小于或等于”，也可说是“不大于”. 思考:如果汽车所行驶道路的最高限速是120 km/h，那么车速x应满足什么条件 x≤120 例2 如图，一个长方体形状的鱼缸长10 dm，宽3.5 dm，高7 dm.若鱼缸内已有水的高度为1 dm，现准备向鱼缸内继续注水．用V(单位：dm3)表示新注入水的体积，写出V的取值范围并在数轴上表示． 问题中的不等关系是： 已有水的体积与新注入水的体积之和不能超过鱼缸的容积. 解：已有水的体积与新注入水的体积V之和不能超过鱼缸的容积，即 10×3.5×1＋V≤10×3.5×7， 所以V≤210. 又由于新注入水的体积V不能是负数， 因此V的取值范围是0≤V≤210. 在数轴上表示V的取值范围如图所示： 在表示 0 和 210 的点上画实心圆点，表示取值范围包含这两个数. 不等式性质的应用 1. 利用不等式的性质解不等式，注意性质3的用法. 2. 在数轴上表示不等式的解集，注意界点是空心还是实心的. 3. 根据不等关系列不等式时，注意“不超过”“不多于”“不少于”等关键词的含义.学生活动2： 通过分析解方程的本质，类比启发学生对解不等式进行探索。 学生小组合作，分析，尝试完成． 学生自主思考，理解“≤”“≥”与“＜”“＞”在意义上的区别，以及用“≤”“≥”连接的不等式也具有其他性质。 学生分析，解决实际问题。 活动意图说明： 类比解方程的方法引导学生利用不等式的性质解简单的不等式，引入符号“≤”“≥”，为后面学习一元一次不等式的解法做铺垫；引入实际问题，通过问答的形式逐步解决，培养学生实际应用的能力，同时引入含“≥”或“≤”的解集在数轴上的表示方法.
板书设计 课题：11.1.2不等式的性质（第2课时） 不等式性质的应用 1. 利用不等式的性质解不等式，注意性质3的用法. 2. 在数轴上表示不等式的解集，注意界点是空心还是实心的. 3. 根据不等关系列不等式时，注意“不超过”“不多于”“不少于”等关键词的含义.
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.不等式x＋1≥2的解集在数轴上表示正确的是（　A　） 2.利用不等式的性质解下列不等式： （1） 2x－5＜－13；（2） － x＞ ；（3） －9＋2x≥5x；（4） y＋16≤9y. 解：（1）x＜－4（2）x＜－ （3）x≤－3（4）y≥2 选做题： 3.某校租用55座和53座两种型号的客车接送同学们参加研学活动，若租用55座客车x辆，租用53座客车y辆，则不等式“55x＋53y≥990”表示的实际意义是（　A ） A.两种客车总的载客量不少于990人 B.两种客车总的载客量不超过990人 C.两种客车总的载客量不足990人 D.两种客车总的载客量恰好等于990人 4.若k＜5，则关于x的不等式（k－5）x＞6的解集是 x＜ 　 . 【综合拓展类作业】 5. 某水产品市场管理部门规划建造面积为2400m2的集贸大棚.大棚内设A种类型和B种类型的店面共80间，每间A种类型店面的平均面积为28m2，每间B种类型店面的平均面积为20m2，全部店面的建造面积不能超过大棚总面积的85％，那么A种类型的店面最多能设多少间？ 解：设A种类型的店面有x间，则B种类型的店面有（80－x）间. 由题意，得28x＋20（80－x）≤2400×85％，解得x≤55. 答：A种类型的店面最多能设55间.
课堂总结 不等式性质的应用 1. 利用不等式的性质解不等式，注意性质3的用法. 2. 在数轴上表示不等式的解集，注意界点是空心还是实心的. 3. 根据不等关系列不等式时，注意“不超过”“不多于”“不少于”等关键词的含义.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.关于x的不等式－2x＋a≥2的解集如图所示，则a的值是（　A ） A.0 B.2 C.-2 D.4 2．利用不等式的性质解不等式，并在数轴上表示其解集： (1)2x≥x－2；(2)－ x≤－2. 解：（1）x≥－2，其解集在数轴上表示如图所示． （2）x≥4，其解集在数轴上表示如图所示． 选做题： 3.阳阳从家到学校的路程为2 400 m，他早晨8：00离开家，要在8：30之后8：40之前到学校，如果用x表示他的速度(单位：m/min)，则x的取值范围为( C ) A．60≤x<80 B．60≤x≤80 C．60教学反思 本节课是在学生学习了不等式的性质，知道不等式的性质是解不等式的重要依据的基础上，利用不等式的性质将其变形，从而解不等式，巩固学生对不等式性质的理解，体会不等式的性质在解不等式中的运用．教学中对不等式的解集先用式子表示，再用数轴表示，既能加深学生对不等式的解集及解不等式的理解，也为学生后面学习不等式组时用数轴确定其解集做好充分准备.
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学 科 数学 年 级 七年级 设计者
教材版本 人教版 册、章 下册、第11章
课标要求 【内容要求】①结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质。②能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集;会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集。③能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题。【学业要求】结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质;能用不等式的基本性质对不等式进行变形;能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集;会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集;能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的实际问题。建立模型观念。
内容分析 本章主要内容：（1）不等式；（2）一元一次不等式；（3）一元一次不等式组。不等式是表示不等关系的一种重要数学模型，在现实生活中，同类量之间的不等关系比相等关系更为普遍。因此，学习不等式不仅是数学学习的一个重要环节，也为后续解决实际问题打下了基础。
学情分析 学生在学习本单元之前，已经掌握了一元一次方程和二元一次方程组的基本概念和解法，具备了一定的数学基础和逻辑思维能力。然而，不等式的学习要求学生能够从实际问题中抽象出不等关系，这对于部分学生来说可能存在一定的难度。此外，学生在解不等式的过程中，可能会因为对不等式性质的理解不够深入，或者计算基本功不扎实而出现错误。因此，在教学过程中，需要注重巩固学生的基础知识，加强不等式性质的讲解和练习，提高学生的运算能力和逻辑推理能力。
单元目标 教学目标1.了解一元一次不等式及其相关概念，经历“把实际问题抽象为不等式”的过程，能够“列出不等式或不等式组表示问题中的不等关系”，体会不等式是刻画现实世界中不等关系的一种有效的数学模型．2．通过观察、对比和归纳，探索不等式的性质，能利用它们探究一元一次不等式的解法．
3．了解解一元一次不等式的基本目标（使不等式逐步转化为 x＞a 或 x ＜ a 的形式），熟悉解一元一次不等式的一般步骤，掌握一元一次不等式的解法，并能在数轴上表示出解集，体会解法中蕴含的化归思想．
4．了解不等式组及其相关概念，会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集．(二)教学重点、难点教学重点:理解并掌握不等式的性质，正确运用不等式的性质；寻找实际问题中的不等关系，建立数学模型；一元一次不等式组的解集和解法。教学难点：一元一次不等式组解集的理解：弄清列不等式解决实际问题的思想方法：正确理解不等式、不等式解与解集的意义，把不等式的解集正确地表示到数轴上.
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数11.1不等式3课时11.2一元一次不等式3课时11.3一元一次不等式组1课时
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务11.1.1不等式及其解集1.感受生活中存在着大量不等关系，了解不等式的概念.2.理解不等式的解与解集的意义，能把不等式的解集在数轴上表示出来.1.了解不等式的概念.2.理解不等式的解与解集的意义3.能把不等式的解集在数轴上表示出来.任务一：创设情境，引出新课任务二：不等式的概念任务三：不等式的解及不等式的解集11.1.2不等式的性质（第1课时）1.理解并掌握不等式的性质.2.体会探索过程中所应用的归纳和类比方法.1.理解并掌握不等式的性质.2.体会探索过程中所应用的归纳和类比方法.任务一：回忆等式的基本性质及不等式的概念任务二：不等式的性质11.1.2不等式的性质（第2课时）1.进一步了解不等式的性质，会用不等式的性质解简单的不等式.2.学会并准确运用不等式表示数量关系，初步认识不等式的应用价值．1.会用不等式的性质解简单的不等式.2.准确运用不等式表示数量关系，初步认识不等式的应用价值．任务一：回忆不等式的性质任务二：不等式性质的应用11.2.1解一元一次不等式1.理解和掌握一元一次不等式的概念.2.会用不等式的性质熟练地解一元一次不等式.3.通过在数轴上表示一元一次不等式的解集，重点体会数形结合的思想.1.理解和掌握一元一次不等式的概念.2.会用不等式的性质熟练地解一元一次不等式.3.通过在数轴上表示一元一次不等式的解集，重点体会数形结合的思想.任务一：回忆一元一次方程的概念任务二：一元一次不等式的概念任务三：一元一次不等式的解法11.2.2一元一次不等式的应用（第1课时）1.经历运用不等式解决实际问题的过程，总结运用不等式解决实际问题的一般方法．2.经历由实际问题到建立一元一次不等式的数学模型的探索过程，提高分析问题的能力．1.掌握运用不等式解决实际问题的一般方法．2.经历由实际问题到建立一元一次不等式的数学模型的探索过程，提高分析问题的能力．任务一：回忆列一元一次方程解决实际问题的一般步骤任务二：列一元一次不等式解决实际问题11.2.2一元一次不等式的应用（第2课时）会用一元一次不等式解决生活中的利润、方案选择等较复杂问题，进一步体会数学建模思想，提高分析问题，解决问题的能力．会用一元一次不等式解决生活中的利润、方案选择等较复杂问题，进一步体会数学建模思想，提高分析问题，解决问题的能力．任务一：回忆列一元一次不等式解决实际问题的一般步骤任务二：列一元一次不等式解决实际问题11.3一元一次不等式组1.了解一元一次不等式组及其解集的含义.2.掌握一元一次不等式组的解法，会用数轴确定一元一次不等式组的解集，体会数形结合思想.3.能根据实际问题中的数量关系，列出一元一次不等式组解决实际问题，培养应用意识、建立模型观念.1.了解一元一次不等式组及其解集的含义.2.掌握一元一次不等式组的解法，会用数轴确定一元一次不等式组的解集，体会数形结合思想.3.能根据实际问题中的数量关系，列出一元一次不等式组解决实际问题，培养应用意识、建立模型观念.任务一：回忆一元一次不等式的概念及解法任务二：一元一次不等式组的概念任务三：一元一次不等式组的解集任务四：一元一次不等式组的解法
《第11章 》不等式与不等式组 大单元教学设计
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