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第五单元数学广角-鸽巢问题(知识清单)
2024-2025学年六年级数学下册人教版
知识梳理
理解关键词“总有”和“至少”
总有：一定有 至少：最少、不少于
常见题型
题型一：基本类型
解题方法：物体数÷鸽巢数=商……余数
至少数=商+1(有余数) 至少数=商(没余数)
1、7个苹果放进2个抽屉，总有一个抽屉里至少有几个苹果
7÷2=3 (个) ……1 (个)
3+1=4(个)
2、将23 支铅笔放进7个铅笔盒，最多的一个铅笔盒里至少有几支铅笔
23÷7=3 (支) ……2 (支)
3+1=4(支)
3、9个苹果放进3个盘中，总有一个盘中至少放几个苹果
9÷3=3(个)
题型二：构造鸽巢
解题方法：根据题意，构造鸽巢，得出鸽巢数量，再用鸽巢原理解答。
1、学校开设了画画、写作、书法3个兴趣班，四年级3 班共40人，每个学生都报名了其中两个兴趣班，那么这个班至少有多少个学生报的兴趣班完全一样
共有画画与写作，画画与书法，写作与书法3 种不同的组合, 也就是构造出3个鸽巢。40÷3=13 (个) ……1 (个)
13+1=14(个)
2、六年一班有 55 个学生，每个学生参加篮球、足球、排球中的一项或两项活动，那么至少多少人参加的活动项目相同
一项活动有3种，两项活动有3种组合，共6个鸽巢
55÷6=9 (个)……1 (个) 9+1=10 (个)
题型三： 求总数。(鸽子数)
解题方法：已知总有一个鸽巢里至少飞进n个鸽子，鸽子总量=鸽笼数量×(n-1)+1
1、圣诞节时圣诞老人给表现最好的 10 个小朋友送礼物，其中收到最多礼物的小朋友至少收到 3 件礼物，那么圣诞老人至少要准备多少件礼物
10× (3-1) +1=21 (件)
2、高老头让儿子小高去买馒头，分给高家庄上下老小40口人，请问小高至少要买多少个馒头，才能保证总有人至少能够分到5个馒头
40× (5-1) +1=161 (个)
3、把一些小蛋糕放进8个盒子里，要保证有一个盒子里至少有6块蛋糕，这些蛋糕至少有多少块
8× (6-1) +1=41(个)
题型四：求鸽巢数量
解题方法：已知总有一个鸽巢里至少飞进n个鸽子，鸽巢数量最多=(鸽子总量-1)÷(n-1)
1、将7支花插入一些花瓶里，要保证至少有一个花瓶里有2枝花，这些花瓶最多有多少个
(7-1) ÷ (2-1) =6 (个)
2、丁老师拿126个小礼物发给班里的所有学生，如果至少有一名学生拿到了 6 个小礼物，那么，李老师班里最多有多少名学生
(126-1) ÷ (6-1) =25 (名)
3、王叔叔要给房间的四壁涂上不同的颜色，可不管怎么涂，总有两面墙壁的颜色是一致的。李叔叔的颜料最多有几种颜色。
(4-1) ÷(2-1)=3(种)
题型五：生日问题。
解题方法：一年有12个月，相当于12个鸽巢，一年365天(平年)，相当于365个鸽巢。
1、15个小朋友中，至少有 ( )个小朋友在同一个月出生
15÷12=1 (个)…… 3 (个) 1+1=2(个)
有26名阿姨在跳广场舞，她们中至少有( )人的属相相同；共12种属相,
26÷12=2 (人) …… 2(人) 2+1=3 (人)
某校有 370 名 2020 年出生的学生，其中至少有几名学生的生日是同一天
2020年是瑞年,366天,370÷366=1(名)……4(名) 1+1=2(名)
题型六：摸球问题。
解题方法：用最不利原则思考问题，从最坏情况计算
1、求同色：所有颜色都拿一轮，再取一个可保证有相同颜色。
2、求不同色：最不利原则，把同一种颜色全部取完，再拿任何一个一定是不同颜色。
3、求某一种颜色：把其他颜色全部取完，再拿一个一定是目标颜色
1、【同色】把红、黄、蓝、白四种颜色的球各10个放到一个袋子里。至少取多少个球，可以保证取到两个颜色相同的球
最坏情况，4种颜色各取了1个，比4种颜色多1个，可保证有两个颜色相同 ， 4+1=5(个)
2【同色】盒子里有红球、蓝球和黄球各 6 个，至少要摸出( )个球一定有3个同色。
最坏情况，3种颜色的球平均取2个，再多取1个，可保证有3个同色, 3×2+1=7 (个)
3、【同色】在扑克牌的红桃、黑桃、方块、梅花各 13张不同点数，共有52张牌，至少从中抽出( )张牌，才能保证其中有2张花色相同的牌。至少从中抽出( )张牌，才能保证其中有2张点数相同的牌。
4种花色，多1张，可保证有2张花色相同，4+1=5(张)13种点数, 多1张, 可保证有2张点数相同, 13+1=14(张)
4、【不同色】一个口袋里装有红、黄、蓝三种材质和大小相同的小球各 6 个，要保证摸出 3 个不同颜色小球，至少要摸出( )个。
最不利情况，把2种颜色全部取完，再多取 1 个，可保证有3个颜色不同, 6×2+1=13(个)
5.【不同色】桌子上有5个黑球、6个白球、7个红球，闭上眼睛取多少个球才能保证三种球都取到
最不利情况，7个红球、6个白球全部取完，再多取1个，可保证3种球都取到。7+6+1=14（个）
巩固训练
㈠、填空。
1.把7只鸽子放进3个鸽笼，总有1个鸽笼至少放进( )只鸽子。
2.26名六年级学生要带领幼儿园的25个小组(共60人)参加课外活动，总有1个小组至少由( )名六年级学生带领。
小明玩掷骰子游戏，要保证掷出的骰子点数一定有3 次相同，
他至少要掷( )次。
4.从1~8这8个自然数中，至少要选出( )个不同的数，才能保证其中一定有两个数成倍数关系。
5.袋子里有红色、白色、蓝色手套各5 只。(不分左、右手，两只同颜色的手套为一副)
(1)要保证拿出的手套中一定有两副是同颜色的，至少要拿出( )只。
(2)要保证拿出的手套中一定有两副是不同颜色的，至少要拿出( )只。
6.明明准备在每个方格中写“数”或“学”字。
(1)如果写3行，那么至少有( )列的写法相同。
(2)如果只写2行，那么至少有( )列的写法相同。
7.(易错题)某校有121名学生参加诗词大赛，每人获得的成绩均为整数，最低分是59分，最高分是98分。若得90分的人数最多，则得90分的至少有( )人。
㈡、选择。
1.跳绳比赛分为男生组和女生组，六(1)班派出3名同学参加跳绳比赛。下面说法正确的是( )。
A.每个组至少有1名六(1)班的同学
B.男生组一定有2名六(1)班的同学
C.总有1个组至少有2名六(1)班的同学
D.以上说法都不正确
2.下面问题可以运用“抽屉原理”解决的是( )。
A.在一条线段的2个端点之间再点上3个点，此时共有多少条线段
B. A 地到B地有2条路，B地到C地有3条路，A地经B地到C地有多少种路线
C.把4名男生分到3个小组做游戏，总有1个小组至少分到几名男生
D.抽屉里有3个红球、4个蓝球，任意摸1个，摸到什么球的可能性大
3.小贤军训参加射击训练，射击5次，成绩是33环，那么他至少有一次射击的成绩不低于( )环。
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
4.一个盒子里装有同样大小的红、黄、蓝、绿4种颜色的球各100个，从中至少取( )个球才能保证有2个球的颜色相同。
A. 4 B. 5 C. 100 D. 101
5.给正方体的6个面涂上3种颜色(每个面涂1种颜色)，不论怎么涂，至少有( )个面涂的颜色相同。
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6.把45个球最多放在( )个盒子里，能保证总有1个盒子里至少放7个球。
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
㈢、数学阅读。
材料一：
“二桃杀三士”最早记载于《晏子春秋》。春秋时期，齐景公手下有三位勇士，分别是公孙接、田开疆、古冶子三人，他们三人勇猛异常，力大无穷，为齐国立下了不少战功。 齐相晏婴想要除去这三人，便请景公将两个桃子赐予他们，让他们论功取桃，结果三人都弃桃自杀。你知道这是为什么吗
将两个桃子赏赐给三位勇士，总有一位勇士分不到桃子，三位勇士之间的争斗便由此产生。晏婴巧妙地利用矛盾，只靠着两个桃子，兵不血刃就除掉了三位勇士，他高超的计谋和智慧让人不由赞叹。“二桃杀三士”这个成语后来多比喻借刀杀人。
材料二：
宋朝时期，费衮在其著作《梁溪漫志》中利用抽屉原理，从数学角度有力地批驳了“算命”的谬论。书中指出：人们常常依据出生的年、月、日、时(八字)来推测贫富贵贱之命，难道同一时刻出生的人命运就相同吗
若把“出生时刻”作为“鸽巢”，则一甲子(60年)中不同的鸽巢有12×360×60=259200(个)。若把“天下之人”作为“鸽子”，则进入同一鸽巢的人必然成百上千，因而结论是“生时同者必不为少矣”。既然出生时刻相同，“八字”也相同，那么“又何贵贱贫富之命不同也”。
1.根据材料一，你能用鸽巢原理解释为什么二桃能杀三士吗
2.根据材料二，回答下面问题。
(1)如果一个班至少有3名同学的生日在同一个月，那么这个班至少有( )名同学。
(2)同学们，你们班一共有多少名同学呢 你能利用鸽巢原理说一说，在你们班至少有几名同学的生日在同一个月吗
参考答案
㈠、1. 3
解析 7÷3=2(只)……1(只),把7 只鸽子平均放进3个鸽笼，每个鸽笼放进 2 只，还剩 1 只。剩余的1 只无论怎么放，总有1个鸽笼至少放进2+1=3只鸽子。
2. 2
解析 26÷25=1(名)……1(名),26名六年级学生平均分为25组，每组1名，还余1名，因此总有1个小组至少由1+1=2名六年级学生带领。
3. 13
解析
“巢”:不同点数 1 2 3 4 5 6
先各掷2次 2 2 2 2 2 2
再掷1次即可
4. 5
解析 总结：找到选出的数中不含倍数关系的数，如2、3、5、7(选法不唯一)，最多先选4个数，再选1个数就一定有两个数成倍数关系。
5. (1)10
解析“一定有两副是同颜色的”，即有 4 只手套是同颜色的。把3种颜色看作3个抽屉，在最不理想的情况下，每个抽屉都放3 只同色手套，再放1只，无论放到哪一个抽屉里，都能够保证有4 只同色手套，即两副同色手套。
(2)8
解析 在最不理想的情况下，如果先拿出5 只相同颜色的手套，再拿出2 只不同颜色的手套，那么只要再拿出1只，无论是什么颜色，都能保证一定有两副不同颜色的手套。
6. (1)2
数 数 数 数 学 学 学 学 ×
数 数 学 学 数 数 学 学 ×
数 学 数 学 数 学 数 学 ×
“巢”:8个 9÷8=1(列)……1(列)
1+1=2(列)
(2)3
数 数 学 学 数 数 学 学 ×
数 学 数 学 数 学 数 学 ×
“巢”:4个 9÷4=2(列)……1(列)
2+1=3(列)
7. 4
解析 最高分是98分，最低分是59分，共有40种成绩，视为 40个抽屉，把121名学生平均分成40份，每份3人，还余1人，得90分的人数最多，所以得90分的至少有3+1=4(人)。
㈡、1. C
解析 六(1)班3名同学分法如下，据此判断。
男生组/名 女生组/名
情况一 3 0
情况二 2 1
情况三 1 2
情况四 0 3
2. C
解析A:
组合问题:4+3+2+1=10(条)
B:
搭配问题:2×3=6(种)
C:
抽屉问题:4÷3=1(名)……1(名)
1+1=2(名)
D: 3 4
红 蓝
可能性问题：摸到蓝球的可能性更大
3. C
解析 33÷5=6(环)……3(环),把此题看成鸽巢问题，把33只鸽子放进5个笼子里，平均每个笼子里放进 6 只鸽子，还剩 3 只鸽子。把剩余的3 只鸽子继续放进5个笼子中的某几个笼子里，至少有(6+1)只鸽子被放进同一个笼子，即至少有一次射击的成绩不低于 7环。
4. B
解析 将 4 种颜色看作 4 个抽屉，要保证有一个抽屉至少有2个球，所取球的个数至少要比抽屉数多1，所以至少取4+1=5个球，才能保证有2个球的颜色相同。
5. A
解析 把 6个面看作 6个苹果，3种颜色视为3个抽屉，将6个苹果平均放进3个抽屉，每个抽屉里放2个，因此不论怎么涂，至少有2个面涂的颜色相同。
6. B
解析 要保证总有1个盒子里至少放7个球，从最不利的情况着手，每个盒子中都先放6个球，45÷6=7(个)……3(个),盒子数为7,剩下3个球无论怎么放，都能保证总有1个盒子里至少放7个球。若再增加盒子的数量，则无法保证。
㈢、1.我们可以把2个桃子看作2个傅巢，3个人看作 3 只鸽子，这样总有一个鸽巢至少有2 只鸽子，也就是说总有一个人没有桃子，导致了个人的斗争。(说法合理即可)
解析 可以把所有情况列举出来，发现总有一个人没有桃子。
公孙接 田开疆 古治子
2 0 0
0 2 0
0 0 2
1 1 0
1 0 1
0 1 1
2, (1)25
解析 这里的“巢”是12 个月，先保证每个月有2名同学，再加1名，总有3名同学的生日在同一个月,2×12+1=25(名)。
(2)示例：我们班一共有40名同学。
40÷12=3(名)……4(名) 3+1=4(名)
答：我们班至少有4 名同学的生日在同一个月。解析 总结：“抽屉”至少放的物体的数量求法是用物体数除以抽屉数，当没有余数时，放的“至少数”就等于商；当有余数时，放的“至少数”就等于商加1。根据班级实际情况解答即可。

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