资源简介

一元二次方程的解法
【单元内容和内容解析】
1.内容解析
一元二次方程是初中阶段学习的第三种方程，尽管一元二次方程的解法同一元一次方程、二元一次方程组的解法有所不同，但在解法的归纳上，三者都用了转化的思想，将困难的方程转化为熟悉的方程，因此一元二次方程的解法的学习模式可以从的基本模型入手，通过题型的变化，从一般到特殊进行延伸与拓展。同时，由于一元二次方程和根式与因式分解的内容连接紧密，我们在探究方程的解的同时，回顾平方式、开平方等知识内容，逐步走向知识的融会贯通。
2.方法解析
从框图可知，一元二次方程的解建立在平方式和平方根的基础上，这样决定了一元二次方程的教学价值有三个．一、传承融合了代数知识，将计算融入实际应用当中；二、解方程的方法具有普遍性，整个过程进一步强化了数学中的转化思想，训练了学生自主解决问题的能力；三、从特殊的方程归纳出所需要的结论，要求学生具有一定的观察力和总结能力。因此包含的主要方法有：归纳、转化思想等。
【单元目标和目标解析】
1．目标：
（1）体会转化思想的学习与操练，能够将一元二次方程转化为易解的模型。
（2）经历一元二次方程从特殊到普遍的变化，体会配方法的不变性。
（3）通过一元二次方程相关题目的变形，熟练掌握运用已知方法和知识解决新类型问题。
2．目标解析：
达成目标（1）的标志是：能够对形如，的方程进行变形，使其成为开方即可解答的方程，能够判断所给出的变形是否正确。
达成目标（2）的标志是：能够熟练梳理一元二次方程配方法的探究过程，能够解答应用换元法、整体法或其他方法的题目。
达成目标（3）的标志是：熟练解出一元二次方程，能够依据现有知识进行拓展，解决其他类型的问题；对转化思想有清晰的认知，熟练运用该方法解决新的问题。
【单元教学问题诊断分析】
具备的基础（知识、能力）
学生在七年级已经学习了代数式和平方根的相关知识，熟悉代数式的运算与平方式的特征，还学习了完全平方公式和平方差公式，对代数式的判断有一定的知识基础和研究经验。
与本课目标的差距分析（知识、能力）
学生过往学习的知识是独立的，碎片化的，而在一元二次方程的解法中要求学生串联知识，并根据不同的方程的实际情况进行判断和调整，如何将陌生的方程转化为熟悉的等式，如何归纳繁多的种类，是我们目标达成的重要环节。
可能存在的问题（问题、障碍）
学生可能已经先行地学习过一元二次方程解法的公式而忽略了公式得出的过程，从而忽略了数学学习中转化思想的重要性，缺少了体验环节；也可能由于前序知识的不扎实，导致在融合应用的过程中出现基础性错误，导致推导一元二次方程的解的过程中体验的不连贯性。
应对策略（过程、方法）
避免提出如何解方程的问题，从细节入手询问学生的思考方式与角度；在提问上避免常规问题，反其道而行，要求学生展示计算过程与细节。深入体会转化过程，使学生从中体会到数学的美妙，达到沉浸式学习的目的。
对于单元整体来说，存在的障碍主要有以下几点：1.分类后不同一元二次方程解决办法的归纳总结；2.转化思想的应用。
基于以上分析，确定本单元的教学难点：
基础知识回顾的全面进行
从特殊到普遍的归纳
不同问题中的不变性
具体问题的综合应用
【单元教学过程设计】
一元二次方程的解法
（1）复习回顾
问题：在过去的学习中，我们接触了许多与平方、立方根相关的知识，同学们能不能帮助老师一起回忆一下这些知识点呢？
师生活动：学生会从较多的方面提到相关知识，包括平方、平方根的计算，平方式的特点等，从中筛选出有利于课堂的知识，引导学生将注意点落在平方式和平方根的计算上，对平方式的特点和平方根的两种情况做强调，帮助学生回忆相关知识点。
【设计意图】回顾平方式和平方根的知识点，为引出方程的基本模型作铺垫。
（2）探索新知
环节一：
问题：接下来再请各位同学写一个简单的一元二次方程，并尝试着用我们一起回忆的开平方的方法去解决它。有没有同学愿意分享一下自己的方程和解决办法呢？
师生活动：引导学生自己探究简单一元二次方程的解法，由于只学习了“什么是一元二次方程”，结合教师的问题学生比较容易写出如下的方程来：，，等。
追问：有没有同学写了一个一元二次方程却发现好像以自己目前的能力没有办法解答的？
【设计意图】通过学生的自主探索，发现不同类型的一元二次方程，并区分出对于目前水平的学生来说容易得出解和不容易直接得出解的一元二次方程，通过引导和分类筛选出可以作为基本模型的一元二次方程，并引导学生思考余下的一元二次方程是否有解，如果有该如何去解。
环节二：
问题：我们先来看两个基本的一元二次方程，，，请同学们思考它们是否有解，解又是多少呢？
师生活动：学生判断第一个方程有解，解是1或-1，第二个方程无解，第三个方程有解，解是0之后提问学生这三个方程有什么区别，导致这三个方程解的情况不一样的关键点是什么？
【设计意图】只有非负数才能进行开方的运算，且0开方后只有一个结果，而正数开方后有两个结果，将开方的知识点和一元二次方程进行联系，带领学生初步体会一元二次方程的解。
追问：大家进一步思考，我们能归纳出形如（c是常数）这样的一元二次方程的解吗？那么，（a，c是常数，）这样的呢？
师生活动：学生分析后得到对于（c是常数）这样的一元二次方程，只需要判断的正负，如果结果为正，则一元二次方程有两个解，分别为，；如果结果为零，则方程只有一个解，0；如果结果为负，则方程无解。
【设计意图】引导学生归纳简单一元二次方程的解的规律。
环节三：
问题：接下来我们看看刚才筛选出的难解的一元二次方程，看看有没有办法将它转化为我们已经归纳出解法的一元二次方程。
师生活动：邀请学生分享解题思路，会有学生将移项，面对发现无法开方。
追问：如果想要开方必须是常数，那么怎么样才能让方程的左边也变成平方式的形式呢？
【设计意图】引导学生思考稍复杂的一元二次方程的解法，通过试错将方程转化为上一环节中归纳出解法结论的方程模型中去。
追问：对于（b，c为常数）这样的一元二次方程，在解答的过程中有几个步骤？我们怎么将等式左边的内容变成我们想要的平方式呢？
师生活动：结合课堂开始回顾的平方式的知识，将一个不完整的平方式补完的知识应用到方程中。面对用字母表示常系数的方程，大部分学生没有办法直接给出方法，通过具体数据的举例协助学生进行归纳整理。
追问：当我们方程的系数发生变化，成为（a，b，c为常数，）时，该怎么样去解这一个一元二次方程呢？
师生活动：学生能够回答出等式两边同时除以a，回到我们上一步归纳结论的方程模型中去。
【设计意图】对于逐步复杂的一元二次方程，在解决问题的过程中将转化的思想进行贯彻，每一次难度的加大都需要回到熟悉的模型中去，通过学生自己的探究来达到解决问题的目的。
环节四：
问题：经过这节课的学习，有没有同学愿意说说我们用了什么方法去解决未知的难题？能不能自己在草稿纸上重新梳理一遍本堂课的探索过程呢？
师生活动：学生先自己思考回顾课堂，自己总结出“将未知问题转化为已知问题”的中心想法。通过学生在草稿纸上进行梳理的过程，检验学生知识点的到位程度。教师挑选个别同学的总结进行展示。教师总结利用配方法解决一元二次方程的过程，帮助学生由浅入深理解转化思想，为下一节课讲述公式法解决一元二次方程做好铺垫。
【设计意图】回顾课堂知识内容，检验学生知识落实情况，体验转化思想。
（3）应用新知
问题：通过这节课的学习，我们先小试身手一下。
师生活动：邀请学生陈述配方法的步骤，并回答例题。
例1：用配方法解方程x2+2x﹣1＝0时，配方结果正确的是（　　）
A．（x+2）2＝2 B．（x+1）2＝2 C．（x+2）2＝3 D．（x+1）2＝3
师生活动：学生思考后，进行回答，分析理由，教师及时点评.
【设计意图】巩固利用配方法解决一元二次方程的基本方法。
例2：下列方程中，无实数根的是（ ）
A．x2+2x+5=0 B．x2-x-2=0
C．2x2+x-10=0 D．2x2-x-1=0
师生活动：师生共同讨论分析每一个选项给出的方程。
【设计意图】指导学生关注不同题型背后考察的相同知识点。
例3：方程的解为（ ）
A． B．
C． D．
师生活动：邀请学生陈述自己的做题思路，学生可能回答将方程展开整理后按照配方法进行解答。
追问：有没有更快速的方法来解决这道题呢？
师生活动：引导学生观察方程的特点，对开方的两种结果作进一步陈述。通过板演说明为什么该方程的解不是四个，给学生留下足够的思考空间。
【设计意图】通过追问，培养学生分析问题、解决问题和探索的能力。
（4）课题小结
问题：
我们是通过什么方法去解决一元二次方程的解这一问题的。
你能完整陈述利用配方法解决一元二次方程的过程吗？
对于一元二次方程，思考一下有没有更好的解决方法呢？
师生活动：通过问题串，师生共同回顾本节课的主要内容.
【设计意图】结合转化思想，让学生从整体视角进一步体会研究问题的一般方法，学会发现知识之间的联系，为后续学习提高基础．
（5）作业布置
A组：4题
B组：5题
【单元目标检测设计】
A组
1．用配方法解方程，方程应变形为（ ）
A． B．
C． D．
2．用配方法解下列方程，配方正确的是（ ）.
A．可化为 B．可化为
C．可化为 D．可化为
3．解方程：x2﹣4x﹣12=0．
4．一元二次方程，用配方法解该方程，配方后的方程为（ ）
A． B．
C． D．
B组
1．对于任意实数，多项式的值是一个（ ）
A．正数 B．负数 C．非负数 D．不能确定
2．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣1
3．已知关于x的方程x2－2x－m＝0没有实数根，试判断关于x的方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0的根的情况．
4．解方程：．
5．已知(a+b)2-2(a+b)-3=0，则a+b=_______________.

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