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第十章 不等式与不等式组
11.2 一元一次不等式
第1课时 一元一次不等式
一、教学目标
1.了解一元一次不等式的概念.
2.掌握一元一次不等式的解法.
3.能通过类比解一元一次方程的过程，获得解一元一次不等式的思路，即依据一元一次不等式的性质，将一元一次不等式化简为x＞a或x＜a的形式.
4.在依据不等式的性质探究一元一次不等式的解法过程中，加深对化归思想的体会.
二、教学重难点
重点：一元一次不等式的概念和解法．
难点：一元一次不等式的解法和不等式的解集的表示.
三、教学用具
多媒体课件
四、教学过程设计
环节一 复习回顾
【复习导入】
问题：不等式有哪些性质？
不等式基本性质1：不等式的两边都加上（或都减去）同一个数或（同一个整式），不等号的方向不变.
即，如果a＞b，那么a+c＞b+c,且a-c＞b-c.
不等式基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.
即，如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc，.
不等式基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
即，如果a＞b，c＜0，那么 ac＜bc，.
请你运用不等式基本性质把下列不等式化成xm(x≥m)的形式.
（1）x – 4 ＜6；(2)2x ≥ x – 5；(3)，
答案：(1) x＜10；(2) x ≥ – 5 ；(3) x ＞ – 30 .
不等式有多种类型.与学习了方程后重点研究一元一次方程类似，本节我们研究一类简单的不等式，探索它的解法，并用它解决一些实际问题.
设计意图：复习不等式的基本性质1、2和3，为本节课学习解一元一次不等式打下基础.
环节二 探究新知
【思考】
观察下面的不等式：
(1)x–7 ＜26；(2)3x ＜ 2x+1； （3） ； (4)– 4x ＞3.
它们有哪些共同特征？
先根据学生的回答，把关键性的词语写出来：都只含有一个未知数、含有未知数的式子都是整式、未知数的次数是1等.分析完这些不等式的共同特征后，再结合一元一次方程的概念给出一元一次不等式的概念.
总结概念：只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1的不等式，叫作一元一次不等式.
设计意图：引导学生通过思考、探究得到一元一次不等式的概念，同时提高学生的观察、分析、概括和抽象能力.
【做一做】
下列不等式中，哪些是一元一次不等式？
(1) x – 7 = 2；(2) – 2x≤4；(3)2x2 – 7＞2；(4)2x – 1 ＜4x + 13；(5) x＜0；(6)3x = 2y + 1.
根据刚刚总结出的不等式的概念进行判断.
正确答案是：(2)(4)(5).
设计意图：通过做练习，巩固并进一步认识一元一次不等式.
思考：还记得上一节如何解不等式x-7>26吗？
根据不等式的性质1，不等式两边加7，不等号的方向不变，得
x-7+7>26+7，
即 x>26+7.
这一过程相当于把不等式 x-7>26 左边的项“-7”，变号为“+7”后移到右边.这就是说，解不等式时也可以“移项”，即把不等式一边的某项变号后移到另一边，而不等号的方向不变.
【探究】
解下列不等式，并在数轴上表示解集：
(1) 3( x-1)＜x-2；(2)≥
在解不等式之前，先回忆一下解一元一次方程的解题步骤是怎样的？
有分母的先去分母，然后去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为1.
在解第一个不等式之前，先解一下对应的方程式“3( x-1)=x-2”.
对比解方程“3( x-1)=x-2”的过程，解不等式“3( x-1)＜x-2”，具体解题过程观看对应课件的演示.
在解第二个不等式之前，先解一下对应的方程式“=”.
对比解方程“=”的过程，解不等式“≥”，具体解题过程观看对应课件的演示.
提出问题：你能说一说解一元一次不等式的基本步骤吗？
总结：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1.
设计意图：通过解具体的一元一次不等式，引导学生明确不等式的目标后，以化归思想为指导，比较原不等式与最终计算结果的差异，观察、分析解题过程，总结解一元一次不等式的基本步骤.
交流：解一元一次不等式每一步变形的依据是什么？
教师引导学生结合例题的解题过程思考每一步变形的依据.
去分母的依据是不等式的性质2；去括号的依据是去括号法则；移项的依据是不等式的性质1；合并同类项的依据是合并同类项法则；系数化为1的依据是不等式的性质2或3.
设计意图：通过讨论归纳解一元一次不等式的基本步骤每一步变形的依据，提高学生总结、归纳能力.
思考：解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤和依据有什么类似之处
归纳：解一元一次方程，要依据等式的性质，将方程逐步化为x=m的形式;而解一元一次不等式，则要依据不等式的性质，将不等式逐步化为xm(x≥m)的形式.
设计意图：引导学生对比一元一次不等式与一元一次方程的解法，加深其对一元一次不等式解法的理解，体会化归思想和类比思想.
环节三 应用新知
【典型例题】
教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
解下列不等式，并在数轴上表示解集：
(1)2(x+5)＜3(x-5)；(2)＜；
(3)≥1.
分析：解一元一次不等式，则要根据不等式的性质，将不等式逐步化为xm(x≥m)的形式.
解：(1)2(x+5)＜3(x-5)；
去括号，得：2x+10＜3x–15.
移项，得：2x – 3x＜–15– 10.
合并同类项，得： – x＜–25.
系数化为1，得：x＞25.
这个解集在数轴上表示如下图：
(2)＜
去分母，得：3(x-1)＜7(2x+5).
去括号，得：3x-3＜14x+35.
移项，得：3x – 14x＜35+3.
合并同类项，得： –11 x＜38.
系数化为1，得：x＞.
这个解集在数轴上表示如下图：
(3)≥1.
去分母，得：2(x+1)≥3(2x–5)+12.
去括号，得：2x+2≥6x–15+12.
移项，得：2x–6x≥–15+12 – 2.
合并同类项，得： –4 x≥–5.
系数化为1，得：x≤.
这个解集在数轴上表示如下图：
设计意图：通过典型例题的讲解，让学生进一步巩固求解一元一次不等式的过程和步骤.
环节四 课堂练习
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
1.下列不等式中，哪些是一元一次不等式？
(1)4>3; (2) ；(3)3x-21;
(5)3x+2>x-1;(6)5x+3<0;（7）+3<5x-1;(8)x(x-1)<2x
分析：根据一元一次不等式的定义直接判断即可（不等式、只含有一个未知数、未知数的系数是1）.
答案:（4）（5）（6）.
2.解不等式(1)≥(2) 并把解集表示在数轴上.
解：（1）去分母，得：3(x–2)≥2(7–x).
去括号，得：3x–6≥14–2x.
移项，得：3x+2x≥14 + 6.
合并同类项，得： 5x≥20.
系数化为1，得：x≥4.
这个解集在数轴上表示如下图：
（2）去分母，得：5(2x+1) 2(1–2x) –4.
去括号，得：10x+5–2+4x＞–4.
移项，得：10x+4x＞–4+2 –5.
合并同类项，得： 14x＞–7.
系数化为1，得：x＞.
这个解集在数轴上表示如下图：
3.当x或y满足什么条件下，下列关系成立？
(1)2(x+1)大于或等于1；
(2)4x与7的和不小于6；
(3)y与1的差不大于2y与3的差；
(4)3y与7的和的四分之一小于–2.
解析：先根据每个小题的描述列出正确的一元一次不等式，然后按照解一元一次不等式的步骤计算即可.
答案：x≥；x≥–；y≥2；y＜–5.
设计意图：学生通过练习，可以更好地掌握解一元一次不等式的步骤和解题过程，同时进一步提高学生分析问题和解决问题的能力.
环节五 归纳总结
思维导图的形式呈现本节课的主要内容：
设计意图：回顾知识点形成知识体系，养成回顾梳理知识的习惯.

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