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第十一章 不等式与不等式组
11.1.2不等式的性质
第2课时
本节课是人教版初中数学七年级下册第十一章第一节的内容.本节课是在学习不等式性质概念基础上展开的，是对不等式知识体系的进一步深化，又是后续学习解不等式等知识的关键基础，在整个代数学习中具有承上启下的重要作用.本节课主要讲的是利用不等式的性质解不等式，让学生会在数轴上表示出来不等式的解集，体会数形结合的思想，最后能够利用不等式解决生活中的一些实际问题.
学生已经掌握了不等式的性质，理解了不等式的基本概念，会比较数的大小，具备了一定的运算能力和逻辑思维能力，这为学习不等式的性质奠定了良好的基础.
七年级学生正处于从形象思维向抽象思维过渡的阶段，具有一定的观察、分析和归纳能力，但对于抽象的数学概念和性质的理解还需要通过具体的实例和操作来辅助.在学习过程中，学生可能会在不等式性质3的应用上出现困难，容易忽略乘以或除以一个负数时不等号方向要改变这一关键要点.
1.能利用不等式的性质解简单的不等式，并会在数轴上表示不等式的解集，体会数形结合思想.
2.知道符号“≥”和“≤”的意义及在数轴上表示不等式的解集时实心圆点与空心圆圈的区别.
3利用不等式的性质解决实际问题,感受数学建模思想．
重点：能利用不等式的性质解简单的不等式，并会在数轴上表示不等式的解集
难点：利用不等式的性质解决实际问题
复习回顾
问题：上节学习了不等式的性质，那么同学们还记得不等式的性质是什么吗？
师生活动：小组形式汇报．
答：1.不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（如果 a＞b，那么 a±c＞b±c.）
2.不等式两边乘 （或除以）同一个正数，不等号的方向不变.(如果， 那么（或)
3.不等式两边乘 （或除以）同一个负数，不等号的方向改变.)如果， 那么（或)．
问题：解方程的依据是是什么？
答：等式的性质.
问题：解方程依据等式的性质，将方程逐步化为x=a为形式．类比解方程，如何解不等式呢？答：解不等式要依据不等式的性质，将不等式逐步化为x>a或x师生活动：小组形式汇报．
设计意图：通过学生对以前学过的不等式的性质的复习，为本节利用不等式的性质解不等式等打下基础.
探究新知
活动一：利用不等式的性质解不等式
问题：利用不等式的性质解下列不等式：
（1）6； （2）x+1；
（3）0 ； （4）.
师提示：解不等式要借助不等式的性质，将不等式逐步化为x>a或x答：
解：(1）根据不等式的性质，不等式两边加，不等号的方向不变，所以，
．
（2）根据不等式的性质1，不等式两边减去2x，不等号的方向不变，所以.
.
根据不等式的性质2，不等式两边乘，不等号的方向不变，所以 .
.
根据不等式的性质3，不等式两边除以 4，不等号的方向改变，所以 ,
.
师生活动：学生先独立思考，指定学生回答，集体交流．
设计意图：在认识不等式性质的基础上，通过4个简单的例题，巩固对不等式性质的理解，体会其在解不等式中的作用.
活动二：在数轴上表示不等式的解集
问题：不等式的解集也可以在数轴上表示，你能在数轴上表示活动一中四个不等式的解集吗？
答：解：（1）x＞33； （2）x＜1;
x＞75； .
师小结：用数轴表示不等式的解集时，若解集不包含“边界点”，则用空心圆圈.大于“边界点”向右画，小于“边界点”向左画.
师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示.
设计意图：通过数轴的直观让学生对不等式的解集进一步加深理解，渗透数形结合思想．培养学生的思考问题，动手操作能力，增加合作交流意识.
活动三：符号“≥”与“≤”的意义
问题：像“a≥b”和“a≤b”也经常用来表示两个数量的大小关系，它们也是不等式.符号“≥”与“＞”的含义有什么区别？“≤”与“＜”呢？
答：“≥”是“＞”与“=”的合写形式，读作“大于或等于”，也可以说是“不小于”.
“≥”比“＞”多了一层相等的含义.
同理“≤”是“＜”与“=”的合写形式，读作“小于或等于”，也可以说是“不大于”.
“≤”比“＜”多了一层相等的含义.
追问：“a≥b”和“a≤b”形式的不等式，是否具有与前面所说的不等式类似的性质呢？
答：若 a≥b，则 a±c≥b±c.
若， ,则（或).
若， ，则（或)．
问题：一辆轿车在一条规定车速不低于80 km/h，且不高于100 km/h的高速公路上行驶，用v（单位：km/h）表示汽车的速度，则v应该满足什么条件呢？
答：应该满足：且，或表示为.
师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示.
设计意图：以一个问题串的形式引导学生自主构建对“不等符号(≥和≤)”的 认识，培养学生自主学习的能力，通过将不等式与生活中的实际例子联系起来，进一步体会数学源于生活并服务于生活.
应用新知
经典例题：
例1 利用不等式的性质解不等式：，并将在数轴上表示解集.
解：
不等式两边除以2，不等号方向不变，所以
解集在数轴上的表示如图所示.
师小结：若解集包含“边界点”，则用实心圆点.
教材例题：
例2 如图，一个长方体形状的鱼缸长10dm，宽3.5dm，高7dm．若鱼缸内已有水的高度为1dm，现准备向鱼缸内继续注水．用V（单位：dm3）表示新注入水的体积，写出V的取值范围并在数轴上表示．
分析：问题中的不等关系是：已有水的体积与新注入水的体积之和不能超过鱼缸的容积.
新注入水的体积不能是负数.
答：解：因为 “已有水的体积＋新注入水的体积鱼缸的容积”，所以，解得．又由于新注入水的体积不能是负数，所以的取值范围是.
在数轴上表示V的取值范围如图所示：
注意：在表示0和210的点上画实心圆点，表示取值范围包含这两个点所对应的数．
师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示．
设计意图：通过例题进一步巩固学生用不等式的性质解不等式的理解和认识.能够利用不等式解决实际问题，进一步体会数学源于生活并服务于生活.
课堂练习
教材练习：
1.关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，写出相应的解集．
答：解：（1）； （2） ； （3）.
2. 利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：
（1）; （2）;
（3） ; （4）.
答：
解：（1）不等式两边乘7，不等号的方向不变，所以，所以.解集在数轴上表示如图所示.
(2)不等式两边减去3x，不等号的方向不变，所以,解得.解集在数轴上表示如图所示.
(3)不等式两边乘7，不等号的方向不变，所以×7，所以.解集在数轴上表示如图所示.
(4)不等式两边除以-8，不等号的方向改变，所以-8x÷(-8)＜10÷(-8)，所以.解集在数轴上表示如图所示.
3.某日北京的最低气温是，最高气温是，用不等式表示这天的气温 （单位：）的变化范围．
答：解：这天的气温t 的变化范围为.
限时训练：
1.如图，表示的取值范围，这个范围是．
A. B. C. D.
答：B
2.不等式的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B. C. D.
答：B
3.用不等式表示下列不等关系：
(1)c的4倍大于或等于8； (2)c的一半小于或等于3；
(3)d与5的差不大于–2； (4)d与5的和不小于0.
解：(1)4c≥8; (2)c≤3; (3)d–5≤–2; (4)d + 5≥0.
4.解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
解：根据不等式的性质1，两边都加上x，不等号方向不变，所以．
根据不等式的性质1，两边都减去14，不等号方向不变，所以．
根据不等式的性质3，两边都除以-2，不等号方向改变，所以，得．
其解集在数轴上表示如图所示.
5.用炸药爆破时，如果导火索燃烧的速度是0.8cm/s，人跑开的速度是每秒4m，为了使点导火索的战士在爆破时能够跑到100m以外(不含100m)的安全区域，这个导火索的长度应大于多少厘米？
答：解：设导火索的长度是 x cm.
根据题意得，解得x＞20.
答：导火索的长度应大于20 cm.
师生活动：学生先独立思考，指定学生回答．
设计意图：通过练习进一步巩固本节课所学的的知识.
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.
1.本节课你学到了什么？
2.如何利用不等式的性质解不等式呢？
3.如何将不等式的解集在数轴上正确的表示出来？
设计意图：通过归纳总结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
实践作业
请同学们利用周末时间，以所给图片为参考，找出在生活中所遇到的表示不等关系的警示牌、提示栏等.表示出相应的不等关系并用数轴表示出来.
通过复习导入的方式，帮助学生回顾了上节课所学的不等式性质，为新知识的学习做好了铺垫.
在利用不等式性质解不等式时，发现学生应用不等式的性质3时，往往存在不改变不等号的方向的情况，要让学生牢记三个性质中性质3的特殊性，同时乘以或除以一个负数时，不等号的方向要改变.通过实例与练习，让学生在实践中不断巩固所学知识，提高了学生运用不等式性质解决问题的能力.
但在教学中，部分学生在不等式性质3的理解和应用上仍有困难，导致这部分学生在后续的学习中仍然存在一些问题.互动环节中，部分学生参与度不高，课堂气氛不够活跃，需要进一步优化教学方法和策略，提高学生的参与度.
在今后的教学中，加强对学生个体差异的关注，对于学习困难的学生，要给予更多的关心和帮助，采用个别辅导、小组互助等方式，帮助他们克服学习困难.同时，丰富课堂教学形式，增加课堂讨论、小组竞赛等活动，激发学生的学习兴趣，提高课堂参与度，让每个学生都能在课堂中有所收获.

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