资源简介

第九章 轴对称、平移与旋转
9.1 轴对称
第2课时 轴对称的再认识
本节课是华师版七年级下册第九章第一节第二课时的内容，是在学生已经初步认识生活中的轴对称现象、了解轴对称图形和两个图形成轴对称的概念基础上展开的深入学习．通过对线段、角等基本图形轴对称性的研究，进一步揭示轴对称的本质特征，为后续学习等腰三角形、等边三角形等特殊轴对称图形以及利用轴对称进行图案设计、解决实际问题奠定坚实的理论基础．教材以“做一做”“试一试”等活动为载体，引导学生在操作中观察、思考，逐步归纳总结出画轴对称图形对称轴的方法，体现了从直观到抽象、从特殊到一般的认知规律，有助于培养学生的空间观念和逻辑思维能力．
七年级学生正处于从形象思维向抽象思维过渡的关键时期，他们对直观、生动的事物充满兴趣，且在之前的学习中已积累了一定的图形认识经验，对生活中的轴对称现象有一定的感性认识，能够识别简单的轴对称图形．但对于如何准确地画出轴对称图形的对称轴，以及理解轴对称图形对称轴的本质属性，部分学生可能存在困难．在学习过程中，学生更倾向于通过动手实践来获取知识，因此在教学中应多设计操作活动，引导学生自主探究、合作交流，帮助他们将感性认识上升为理性认识．
1．通过折叠的方式认识线段和角等图形的轴对称性，通过探索得到轴对称图形的对称轴的画法．
2．通过画对称轴，掌握基本的作图方法．
3．会用尺规作图作已知线段的垂直平分线和作已知角的平分线．
4．在探究活动中，激发学生对数学的好奇心和求知欲，培养学生勇于探索、敢于创新的精神．
重点：通过画对称轴，掌握基本的作图方法．
难点：会用尺规作图作已知线段的垂直平分线和作已知角的平分线．
复习回顾
1．什么是轴对称图形？
答：如果一个图形沿着某条直线对折后，对折的两部分是完全重合的，那么这个图形就是轴对称图形，这条直线就叫做这个图形的对称轴．
2．什么是两个图形成轴对称？
答：把一个图形沿着某一条直线对折，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点(即两个图形重合时互相重合的点)叫做对称点．
思考：我们已经学会了什么是轴对称图形，那么线段、角是轴对称图形吗？
设计意图：回顾上节课学过的轴对称图形的定义和什么是两个图形成轴对称，为下面的探究问题的出现做好铺垫埋下伏笔．
探究新知
活动一：探究线段的对称性
师生活动：让学生在纸上画一条线段AB，然后将纸对折，使点A与点B重合，观察折痕与线段AB的关系．引导学生思考：“线段是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？学生动手操作，进行对折实验，观察并思考教师提出的问题，与同桌交流讨论，总结线段的轴对称性及对称轴的特点．
问题1：如图，在半透明纸上画出线段AB，对折线段AB，使点A与点B重合，在折痕上任取两点P、Q，然后用直尺画出折痕PQ，直线PQ与线段AB相交点O．
思考：
对折后，线段OA与OB是否重合？∠POA与∠POB是否重合？
直线PQ与线段AB有什么关系？
分析：①线段AB沿直线PQ对折②点A与点B重合
线段AB是轴对称图形，对称轴是直线PQ
（根据轴对称图形的基本特征）
，
直线PQ是线段AB的垂直平分线
总结：线段是轴对称图形，其对称轴就是该线段的垂直平分线．
注意：线段的垂直平分线是直线．
问题2：连接PA，PB，QA，QB，线段PA和PB有什么关系？线段QA和QB呢？
答：，
问题3：由此，你能发现利用尺规作图作线段垂直平分线的方法吗？
如图，已知线段AB，试利用尺规作图，按下列作法准确地作出线段AB的垂直平分线．
答：画法：(1)分别以点A和B为圆心、相同长(大于线段AB长的一半)为半径作弧，两弧分别相交于点P和点Q；
(2)作直线PQ．
直线PQ就是所要求作的线段AB的垂直平分线．
设计意图：通过实际操作，让学生直观感受线段的轴对称性，培养学生的观察能力和动手操作能力，同时引出利用尺规作图作线段垂直平分线的方法．
活动二：探究角的对称性
师生活动：要求学生在半透明的纸上画一个∠AOB，然后将纸对折，使角的两条边完全重合，画出折痕OM．教师提问：“角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？”引导学生观察并总结．最后得出结论：角是轴对称图形，对称轴是它的角平分线所在的直线．学生按照教师要求进行画图和对折操作，观察折痕与角的关系，思考并回答问题，总结角的轴对称性及对称轴．
问题4：如图，在半透明纸上画出∠AOB，对折∠AOB，使角的两边完全重合，然后在折痕（角的内部）上任取一点 P，用直尺画出折痕OP．
思考：射线OP与∠AOB是什么关系？
答：射线OP是∠AOB的角平分线
总结：角是轴对称图形，其对称轴是这个角的平分线所在的直线．
问题5：我们已经能利用尺规作图作出已知线段的垂直平分线，那么如何作出已知角的平分线，从而得到已知角的对称轴呢？
追问1：如图，点N是点M的对称点，线段OM的对应线段是______，线段PN的对应线段是______．
答：ON PM
追问2：由此，你能发现利用尺规作图作角平分线的方法吗？
答：需作的角平分线OP
转化
线段MN的垂直平分线
问题6：如图，已知∠AOB，试利用尺规作图，按下列作法准确地作出∠AOB的平分线．
画法：(1)以点O为圆心、任意长为半径作弧，与角的两边分别交于M、N两点；
(2)分别以M、N为圆心、相同长（大于线段MN长的一半）为半径作弧，在∠AOB内，两弧相交于点P；
(3)作射线OP．
射线OP就是所要求作的∠AOB的平分线．
活动三：探究确定轴对称图形的对称轴
师生活动：展示一些简单的轴对称图形，如等腰三角形、长方形、正方形等，让学生尝试画出它们的对称轴．组织学生小组讨论：“如何准确地画出轴对称图形的对称轴？”引导学生总结画对称轴的方法．学生观察图形，尝试画出对称轴，小组内交流讨论，分享自己的方法和思路，共同总结画对称轴的通用方法．
问题7：如图，两个方格图内的图形都是轴对称图形，请作出它们的对称轴．
答：
问题8：如果没有方格图，且又不能对折时，如何准确作出图形的对称轴呢？连结对称点的线段与对称轴有什么关系
如图，点A和点A 关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
分析：根据线段的对称性，若连结AA ，线段AA 关于其垂直平分线对称，则点A、点A 关于线段AA 的垂直平分线也对称．
答： 画法：(1)连结AA ；
(2)作AA 的垂直平分线l；
直线l就是点A和点A 的对称轴．
用前面的方法试着分别画出如图所示图形的对称轴．
对称轴的画法:
(1)找出轴对称图形的任意一组对称点并连结．
(2)画出对称点所在线段的垂直平分线，则这条线就是它的对称轴．
总结：如果一个图形是轴对称图形，那么连结对称点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴．
设计意图：通过实际画图和讨论，让学生掌握画轴对称图形对称轴的方法，培养学生的合作交流能力和归纳总结能力．
应用新知
【经典例题】
师生活动：学生独立思考作答，教师巡视指导，全班展示交流．
例1 下列说法正确的是（ ）
A．线段有且只有一条对称轴
B．垂直于线段的直线就是线段的对称轴
C．角的对称轴是角的平分线
D．角的平分线所在的直线是角的对称轴
分析：
1．线段的对称轴有两条：一是线段本身所在的直线，二是线段的垂直平分线．
2．角的对称轴是角平分线所在的直线，且只有一条．
答：D
例2 如图，已知A，作．(不写画法，保留作图痕迹)
分析：首先利用角平分线的作法将A平分，进而得出A的平分线；再利用作一角等于已知角的作法得出答案．
答：如图，∠B即为所求．
师生活动：学生回答，教师点评，全班交流．
设计意图：通过例题讲解，让学生学会运用所学知识解决实际问题，加深对线段垂直平分线性质的理解和掌握，通过学生参与活动，激发学生参与课堂教学的热情．
课堂练习
1．平面上的两条相交直线是轴对称图吗？如果是，它有几条对称轴？作图试试看．
解：是轴对称图形，对称轴有两条或四条．
对称轴有两条是两直线夹角的平分线所在的直线．如图(1)．
两条直线垂直相交有四条对称轴，如图(2)．
2．把一张正方形纸对折两次，然后分别剪出下列图形．
解：(1)操作步骤如图①所示．
(2)操作步骤如图②所示．
3．图中的一些虚线，哪些是图形的对称轴，哪些不是？
答：②④⑥是图形的对称轴，①③⑤不是．
4．如图，已知△ABC ，利用尺规作图作出△ABC的边BC上的中线．
解：①作出线段BC的垂直平分线，交线段BC于点O；
②连接AO，线段AO即为△ABC的边BC上的中线．
5．如图，已知△ABC，利用尺规作图作出∠ABC的平分线．
解：作法如下：
师生活动：教师出示练习题，巡视学生的练习情况，及时给予指导和反馈．学生独立完成练习题，遇到问题举手向教师或同学请教．
设计意图：通过练习，巩固学生所学知识，及时发现学生存在的问题并加以解决，提高学生的解题能力．
课堂检测
【限时训练】
1．正方形的对称轴有( 　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
答：D．
2．下列说法正确的是 (　 　)
A．角是轴对称图形，它的平分线就是它的对称轴
B．全等三角形一定能关于某条直线对称
C．直角三角形不是轴对称图形
D．等边三角形有三条对称轴
答：D．
3．如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有(　 　)
A．1条
B．3条
C．5条
D．无数条
答：C．
4．①正方形；②等腰三角形；③长方形；④圆；⑤等边三角形，都是轴对称图形，按对称轴由少到多的顺序排列是(　 )
A．①③②⑤④ B．①②③④⑤
C．②③⑤①④ D．④①⑤③②
答：C．
5．四等分已知线段AB．
分析：先作线段AB的垂直平分线，把线段AB二等分，然后再作这两条线段的垂直平分线即可把线段AB四等分．
解：作法如图：
设计意图：通过课堂检测，查缺补漏，进一步加深对本节课所学内容的理解．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
1．本节课你学到了什么？
2．如果作线段的垂直平分线？
3．如何作角平分线？
4．如何确定图形的对称轴？
答：
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识．
实践作业
找找你身边的轴对称图形，然后说一说如何画出它的对称轴！
在本节课的教学过程中，通过丰富的实例和探究活动，学生对轴对称图形有了更深入的认识，较好地掌握了画对称轴的方法和线段垂直平分线的性质．
本节课采用小组学习模式，在小组讨论之前，留给学生充分独立思考的时间，不让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问．教师对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性，根据不同学生的不同特点注意适当增减内容以保证课堂教学的顺利完成．
在教学中，仍有部分学生在画对称轴时不够准确，对线段垂直平分线性质的应用不够熟练．在今后的教学中，应加强对这部分学生的辅导，增加针对性的练习，帮助学生更好地掌握知识．

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