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第九章 轴对称、平移与旋转
9.1 轴对称
第3课时 作轴对称图形
《作轴对称图形》是初中数学图形与几何领域的重要内容，它建立在学生已初步掌握轴对称图形的概念和性质基础之上，进一步探究如何利用这些知识进行图形的绘制与实际问题的解决，具有承上启下的关键作用．
本节课所学的作轴对称图形方法，是对轴对称知识的深化运用，为后续学习等腰三角形、等边三角形等特殊图形的性质与判定提供了重要的作图工具，更是理解图形变换、函数图象对称性等后续知识的关键前提．
经过前期课程学习，学生已经对轴对称图形有了一定的感性认识，能够识别常见的轴对称图形，如蝴蝶、建筑倒影等，并初步了解轴对称图形的对称轴、对应点等概念．在基本图形绘制方面，学生熟练掌握了用直尺、圆规画线段、角、三角形等简单图形的操作，这些知识与技能为学习作轴对称图形提供了必要的铺垫．
1．理解轴对称图形的概念和性质．
2．已知一个图形和一条直线，能作出这个图形关于这条直线的对称图形．通过操作培养学生的动手能力．
3．能按要求作出简单平面图形关于直线对称的图形，探索作一般的轴对称图形的方法．
4．探究较复杂的轴对称图形的作法．培养学生空间想象和解决实际问题的能力．
重点：能按要求作出简单平面图形关于直线对称的图形，探索作一般的轴对称图形的方法；
难点: 探究较复杂的轴对称图形的作法．培养学生空间想象和解决实际问题的能力．
情境导入
对称现象无处不在，从自然景观到艺术作品，从建筑物到交通标志，甚至日常生活用品，都可以找到对称的例子，对称给我们带来美的享受！
设计意图：结合实际生活情境，借助展示精美轴对称图案，激发学生对数学内在美的感知，将数学从枯燥的符号公式转化为艺术创造源泉，从而提升学习兴趣．
探究新知
活动一：探究已知点的对称点
问题1：你能画出下列图形的对称轴吗？
追问：把图形遮掉左边一半或右边一半后，你能还原出原来的图形来吗？
问题2：如果给出一个图形和一条直线，那么如何作出这个图形关于这条直线的对称图形呢？
师生活动：组织学生进行讨论，并选小组代表发言，其他小组补充．学生总结，老师补充．
答：(1)找出轴对称图形的任意一组对称点并连结．(2)画出对称点所在线段的垂直平分线，则这条线就是它的对称轴．
追问：如图，实线所构成的图形为已知图形，虚线为对称轴，试画出已知图形的轴对称图形．画好之后，你可以通过折叠的方法来验证你画得是否正确．
分析：在格点图中，可以通过找到格点关于对称轴的对称点，作出已知图形的轴对称图形．
(1)需要找到5个关键点，然后顺次连结即可．
(2)需要找到3个关键点，然后顺次连结即可．
答：
设计意图：让学生掌握关键点，初步了解如何去画已知的轴对称图形．
问题3：如果没有上述的格点图辅助，我们该如何做呢？如图，已知点A和直线l，试画出点A关于直线l的对称点A′．
师生活动：组织学生进行讨论，并选小组代表发言，其他小组补充．学生总结，老师补充．
作法：①过点A向直线l画垂线段AO，垂足点O；
②延长AO至OA′，使．则点A′就是点A关于直线l的对称点．
答：如图所示：
设计意图：通过设计观察、操作等，促使学生亲身体验知识的形成过程．增强学生对空间图形的感知，猜想验证培养逻辑推理，助力学生数学思维成长．
活动二：过已知点作出已知直线的垂线
问题4：前面我们已经能利用尺规作图，作已知线段的垂直平分线，作已知角的平分线，那么如何利用尺规作图，过已知点作出已知直线的垂线？
分析：已知点与已知直线可以有两种不同的位置关系：点在直线上；点在直线外．现分别按这两种情况作图．
答：(1)如图，经过已知直线AB上一点C，试利用尺规作图作出直线AB的垂线．
作法：①作平角∠ACB的平分线CP；②反向延长射线CP．直线CP就是所要求作的垂线．
如图所示：
(2)如图，经过已知直线AB外一点C，试利用尺规作图作出直线AB的垂线．
作法：①以点C为圆心、适当长（大于点C到直线AB的距离）为半径作弧，交直线AB于M、N两点；②分别以点M、N为圆心，相同长（大于线段MN长的一半）为半径作弧，两弧相交于点P；③作直线CP．直线CP就是所要求作的垂线．
如图所示：
设计意图：让学生知道已知点与已知直线两种不同的位置关系：点在直线上；点在直线外．
活动三：画已知图形的轴对称图形
问题5：如图，已知△ABC和直线l，作出△ABC关于直线l对称的图形．
分析：（1）分别作出点A、B、C关于直线l的对称点A1、B1和C1；
（2）连结A1B1、B1C1、C1A1．
△A1B1C1就是所要求作的△ABC关于直线l对称的三角形．
答：如图所示：
设计意图：探究作轴对称图形方法时，学生从简单的点对称探究逐步拓展到复杂多边形，在此过程中积累经验，日后面对新的几何探究任务能自主迁移方法．
总结：1．画轴对称图形的依据：
对称轴是对称点连线的垂直平分线，即一对对称点到对称轴的距离相等，所以只要过一个点向对称轴画垂线并截取相等的垂线段便可以得到它的对称点．
2．画轴对称图形的方法步骤：
(1)找出已知图形中的特殊点(如线段的端点、角的顶点、折线的拐点等)；
(2)作出特殊点关于对称轴的对称点；
(3)依次连结各对称点，得到的图形就是所要求作的图形．
应用新知
【经典例题】
例1 如图，分别以∠AOB的两边所在直线为对称轴，画出点C的对称点．
师生活动：学生先独立思考，小组讨论交流，然后教师指定学生回答，然后组织其他的学生进行点评．
分析：过点C作直线OA的垂线，在垂线上截取，C1就是点C关于直线OA的对称点；同理可画出另一个对称点．
答：如图所示：
例2 如图，已知四边形ABCD和直线l，作出四边形ABCD关于直线l对称的图形．
师生活动：学生先独立思考，小组讨论交流，然后教师指定学生回答，然后组织其他的学生进行点评．
答：如图所示：
设计意图：通过例题图形绘制过程，将抽象的数学操作可视化，降低学生理解难度，尤其对于空间想象能力弱的学生，能清晰看到步骤流程，模仿学习．
【课堂练习】
教材练习
1．在图中分别作出点A关于两条直线的对称点A′和A′′．
分析：向两直线作垂线并延长，使AM＝MA′，AN＝NA′′
答：如图所示
2．作出如图所示图形关于直线l的对称图形．
分析：找特殊点，作对称点，依次连接画出图形．
答：如图所示
3．如图，已知△ABC，利用尺规作图作出△ABC的边BC上的高．
分析：经过直线上一点作已知直线的垂线．
答：如图所示
设计意图：通过针对性练习巩固所学，课堂练习即时反馈学习效果，教师据此调整教学节奏
【课堂检测】
1．下列说法中，正确的是( )
A．作一个图形的对称图形只能作一个
B．作一个图形的对称图形能作有限个
C．因为选取对称轴的位置不同，所以作一个图形的对称图形可有无数个
D．不规则的，复杂的图形不存在对称轴
答：C．
2．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，其中点A，A′是一组对称点，AA′交MN于点O，若AA′＝8cm，则 A′O＝____cm，∠A′OM＝____度．
答：4；90．
3．在平面镜里看到其对面墙上电子钟示数如图所示，那么实际时间是_________．
答：5:01．
课堂总结
实践作业
收集生活中的轴对称图形（如建筑、标志、动植物等），拍照或绘制并标注其对称轴．
在教学过程中，要注重学生动手操作环节的引导，通过实际操作让学生深刻理解作轴对称图形的方法．
明确学生应掌握的具体知识点和操作技能，即理解轴对称图形性质并能精准作图，以及运用性质解决几何问题．这是数学学习的基础要求，让学生具备扎实的理论根基与实践能力，以应对后续复杂知识的学习与实际生活中的数学运用场景．

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