资源简介 中小学教育资源及组卷应用平台空间向量与立体几何-2025年高考数学二轮专题一、单选题1.在空间直角坐标系中,点关于平面对称的点的坐标是( )A. B. C. D.2.已知,,,是空间直角坐标系中的四点,是空间中任意一点,则下列说法错误的是( )A.若与关于平面对称,则B.若,则,,,共面C.若,则,,,共面D.若,,三点共线,则3.在空间直角坐标系中,点在坐标平面上的射影的坐标为( )A. B. C. D.4.棱长为1的正方体中,,,为平面上的一动点(包含边界),则周长的最小值为( )(附:平面的截距式方程为:,其中,,分别为平面在,,轴上的截距)A. B. C. D.5.在直棱柱中,,且,N是棱上的一点,且满足,则的最小值为( )A. B.6 C.3 D.6.正四棱锥底面边长与侧棱长均为为空间任一点,且满足,则线段长度的取值范围为( )A. B.C. D.7.已知正方体的棱长为1,点在正方体内(包含表面)运动,若,则动点的轨迹所形成区域的面积是( )A. B. C. D.8.已知直线的方向向量与直线的方向向量,则直线和所成角的余弦值为( )A. B. C. D.二、多选题9.已知正方体棱长为1,设,则下列命题为真命题的是( )A.存在,B.任意,C.任意,三棱锥的外接球表面积小于3πD.存在,的面积等于的面积10.对于空间中一组向量,若存在不全为零的实数使得,则称这组向量线性相关,否则称这组向量线性无关.则( )A.若,,,则,,线性相关B.若,,,则,,线性无关C.若,,线性无关,则,,线性相关D.对于非零向量,,,若存在实数,使得,则,,线性相关11.已知正四棱台上底面的边长为,下底面边长为,且高为,则下列说法正确的有( )A.该四棱台的体积为B.该四棱台的侧面与底面所成角的正切值为C.若为的中点,则平面D.该四棱台的外接球表面积为三、填空题12.如图,在四棱锥中,底面,底面是矩形,,,是的中点,,若点在矩形内,且平面,则 .13.在正四棱锥中,,,设平面与直线交于点,,则 . 14.如图,在棱长为4的正方体中,为的中点,点为线段上一动点,则异面直线与所成角的最小值为 .(结果用反余弦表示)四、解答题15.已知空间四点.(1)求以为邻边的平行四边形面积;(2)若四点共面,求的值;(3)求直线AB和直线CD夹角余弦值的取值范围.16.已知三棱锥中,,,,,点为的中点,点满足,点满足.(1)求的长;(2)求的值.17.如图,在三棱柱中,平面,已知,,.(1)求证:平面;(2)求二面角的余弦值.18.斜四棱柱中,底面为平行四边形,,,,.(1)求四棱柱的体积;(2)求平面与平面的夹角的正切值.19.如图1,在等腰直角三角形中,,、、分别在线段、、上,且,.已知,,沿将折起,使得平面平面,如图2.(1)求证:平面平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值;(3)点在线段上,设直线与直线所成角为,求的最大值.《空间向量与立体几何-2025年高考数学二轮专题》参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C C A D B C B C ABC AB题号 11答案 ACD1.C【分析】根据空间直角坐标系的对称性,即可求解.【详解】由空间直角坐标系,可得点关于平面对称的点的坐标为.故选:C.2.C【分析】利用对称求解判断A;利用共面向量定理及推论判断BC;利用向量共线求解判断D.【详解】对于A,由与关于平面对称,得,,A正确;对于B,由及共面向量定理得共面,B正确;对于C,,则点不共面,C错误;对于D,,由点共线,得,则,解得,,D正确.故选:C3.A【分析】根据点在坐标平面内射影的特点,直接写出答案即可.【详解】由题意得,点的纵坐标,竖坐标不变,横坐标为0,则.故选:A.4.D【分析】根据给定条件,建立空间直角坐标系,求出平面的方程,点关于平面的对称点坐标,结合对称求出最小值.【详解】在棱长为1的正方体中,建立如图所示的空间直角坐标系,则,平面的截距式方程方程为,,设的法向量,则,令,得,令点关于平面的对称点为,则,解得,即,连接交平面于点,则在内,且,因此的周长,当且仅当与重合时取等号,所以周长的最小值为.故选:D5.B【分析】设,,,将向量分别用表示,代入,利用向量数量积的运算律化简,求得,借助于二次函数的性质即可求得的最小值.【详解】 设,,,则,,由,因,,则,代入整理得,,显然,故,因,故当时,取得最大值,此时取得最小值为36,故的最小值为为6.故选:B.6.C【分析】建立空间直角坐标系,根据,可得点在以为球心,以1为半径的球面上,且,从而可得线段长度的取值范围.【详解】取底面正方形中心,中点,连结,以为原点,为轴建立空间直角坐标系,则,设,则,因为,得,所以点在以为球心,以1为半径的球面上,且,则,即线段长度的取值范围为.故选:C 7.B【分析】利用数量积的运算律得,结合数量积的几何意义确定点的轨迹,进而求出面积.【详解】在棱长为1的正方体中,,则,而,由数量积的几何意义知,在上投影的数量为,因此点在与垂直的平面内,且点到该平面的距离为,在正方体中易证平面,点到平面的距离为,取的中点,易得平面平面,则平面,且点到平面的距离为,所以点的轨迹所形成区域为等边,面积为.故选:B8.C【分析】根据直线与直线的夹角与两直线的方向向量的夹角关系,结合向量夹角公式求结论.【详解】设直线与所成的角为,因为,,所以.所以直线和所成角的余弦值为.故选:C.9.ABC【分析】由题设得到为矩形,取,利用三角形相似得到,即可判断A;利用对称性得,根据线面垂直的性质有,再由直角三角形斜边大于直角边,即可判断B;构建空间直角坐标系,若的外接球的球心,半径为,应用空间两点距离公式列方程得到,应用导数求其范围,即可判断C;根据已知得,,即可判断D.【详解】如下图,且,即是平行四边形,由平面,平面,则,同理有,所以为矩形,若时,,又,所以,易得,此时,有,A对;如下图,在平面内,关于对称,又在(不含端点)上运动,所以,又平面,平面,则,所以,即,B对;构建如下图示的空间直角坐标系,则,,,,,若的外接球的球心,半径为,则,由,则,则,所以,则,令,且,则,令,则,所以或时,即在,上单调递增,时,即在上单调递减,又,,,所以,,使,所以或时,即在、上单调递减,或时,即在、上单调递增,由,,故恒成立,故,外接球的表面积,C对;由平面,平面,则,所以,由B分析知,在中上的高,则,由,故,则,所以,D错.故选:ABC10.AB【分析】根据题意,设,由向量相等的条件求,可判断AB;利用反证法判断C;根据条件无法判断,,是否线性相关,判断D.【详解】若,,,根据题意,设,即,所以,解得,取,所以,A正确;若,,,根据题意,设,即,所以,解得,所以,,线性无关,B正确;假设,,线性相关,则存在不全为零的实数使得,则,因为,,线性无关,则,得,与假设矛盾,C错误;对于非零向量,,,若存在实数,使得,即,所以,但不能确定,,是否线性相关,D错误.故选:AB11.ACD【分析】利用台体体积公式可判断A选项;建立空间直角坐标系,利用空间向量法可判断B选项;利用线面平行的判定定理可判断C选项;设出球心的坐标,根据球心到点、的距离相等,可求出球心的坐标,进而可求出球的半径,结合球体表面积公式可判断D选项.【详解】对于A选项,由台体体积公式可知,该正四棱台的体积为,A对;对于B选项,设该正四棱台的上底面和下底面的中心分别为、,则底面,因为四边形为正方形,则,以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系, 则、、,设平面的一个法向量为,,,则,取,则,易知平面的一个法向量为,设该正四棱台的侧面和底面所成角为,则为锐角,且,所以,故,B错;对于C选项,当点为的中点时,易知为的中点,所以,因为平面,平面,故平面,C对;对于D选项,易知该正四棱台外接球球心在直线上,设球的半径为,设点,由可得,解得,故,因此,该四棱台的外接球表面积为,D对.故选:ACD.12.【分析】建立空间直角坐标系,求出平面平面的法向量,设,根据条件有,从而得到,即可求解.【详解】如图,以为坐标原点,,的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系,则,,,,设平面的法向量为则令,得,所以,设,则,又平面,则,所以,解得,,所以.故答案为:.13./【分析】由向量基本定理表达出,根据四点共面,得到方程,求出答案.【详解】,因为,,所以,又,故,即,故,因为平面与直线交于点,所以四点共面,所以,解得. 故答案为:14.【分析】建立空间直角坐标系,求出关键点的坐标,利用异面直线夹角的向量求法将用一元函数进行表示,再对是否为进行分类讨论,求出的最大值,进而找到的最小值即可.【详解】如图,以为原点,建立空间直角坐标系,在棱长为4的正方体中,得到,,,,,,因为为的中点,所以由中点坐标公式得,则,,设,,得到,,即,,,解得,故,则,设异面直线与所成角为,,则,,令,当时,,当时,,令,则可化为,由二次函数性质得在上单调递增,由复合函数性质得在上单调递增,故在上单调递减,则,得到,若异面直线与所成角最小,则最大,此时,故.故答案为:15.(1)12(2)(3)【分析】(1)求出和,进而得到,由面积公式求出答案;(2)由四点共面,设,从而得到方程组,求出的值;(3)设直线和直线的夹角为,利用向量夹角公式求出.【详解】(1),又,,,,四边形的面积为.以为邻边的平行四边形的面积为12.(2)由题意,得,四点共面,存在唯一一对实数使得,,解得:,故的值为.(3),设直线和直线的夹角为,,,故,,因为,所以两直线和的夹角余弦的范围是16.(1)(2)【分析】(1)利用空间的基底表示向量,再利用数量积的运算律求解.(2)由(1)中信息,利用数量积的运算律求解.【详解】(1)在三棱锥中,点为的中点,,,而,,,所以. (2)由,得,所以.17.(1)证明见解析;(2).【分析】(1)由平面,得,又,可得平面;(2)由(1),建立空间直角坐标系,分别求得平面与平面的法向量,结合二面角公式即可求解.【详解】(1)因为平面,平面,所以,又,,平面,所以平面.(2)由(1)可得,,,,所以以为原点,以为轴建立空间直角坐标系,如图所示,因为,,,所以,,则,,,,,,则,,设平面的法向量为,则,即,解得,因为轴平面,所以平面的法向量为设所求二面角为(锐角),则.18.(1)(2)【分析】(1)先根据线段长度和位置关系可得,,进而可得,高,进而可得而四棱柱的体积.(2)取的中点,连接,为平面与平面所成角的一个平面角,利用余弦定理可得.【详解】(1)如图,连接交于,连接,,在中,由余弦定理可得,因,故,即,,故为等边三角形,,由题意,,则,由题意可得,整理可得,得,则为等边三角形,故,又,故为等边三角形,故,又,在中,由余弦定理可得,,因,故平行四边形为菱形,故,又, ,平面,故平面,作,由平面,则,由,平面,则平面,即为斜四棱柱的高,在直角三角形中,,(2)取的中点,连接,由(1)可知为等边三角形,则,,故为平面与平面所成角的一个平面角,在中,由余弦定理可得,19.(1)证明见解析(2)(3)【分析】(1)由条件证明,,根据线面垂直的判定定理即可得平面,再由面面垂直的判定定理即可证明平面平面;(2)建立空间直角坐标系, 求和平面的法向量,再根据线面角公式计算即可;(3)设,求向量,,根据线线角的公式得,再由换元法计算即可.【详解】(1),,,,,又,,,,,又,平面平面,且平面平面,又,平面,平面,平面,,平面,平面,平面,平面平面(2)平面,建立如图所示空间直角坐标系,,,,,,,,,,设平面的法向量为,则,取,,设直线与平面所成的角为,则.(3)设,其中,则,,,所以,令,则,所以,当时,单调递增,故在时,取最大值,此时.21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)21世纪教育网(www.21cnjy.com) 展开更多...... 收起↑ 资源预览