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抛物线问题-2025年高考数学二轮专题
一、单选题
1．若点在以原点为顶点x轴为对称轴的抛物线C上，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．已知过点的直线与抛物线相切，切点为，抛物线的焦点为，则线段的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．已知抛物线的焦点为是上一点，且的面积为1.则（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．下列抛物线中，焦点坐标为的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知不过原点的直线l与抛物线交于A，B两点，且，则弦的中点到y轴距离的最小值为（ ）
A．p B．2p C． D．3p
6．如图1，这是一只古代的青花牡丹纹碗.已知该碗高10cm，口径26cm，底径10cm，该碗的轴截面（不含碗底部分）是抛物线的一部分，如图2，则该抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．已知点在抛物线上，记点到轴，到直线的距离分别为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，阴影部分（含边界）所示的四叶图是由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转，，后所得的三条曲线及围成的，若，则下列说法错误的是（ ）

A．开口向上的抛物线的方程为
B．四叶图上的点到点的距离的最大值为
C．动直线被第一象限的叶子所截得的弦长的最大值为2
D．四叶图的面积小于32
二、多选题
9．斜率为的直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于M、N两点，为抛物线的准线上任意一点.则（ ）
A．
B．以为直径的圆与直线相切
C．为等边三角形，则
D．为抛物线的切线，则
10．如图，抛物线上有一点，点P到原点的距离为4，到准线l的距离为，过点P的直线与x轴交于点A，与抛物线C交于另一点B，且P为线段AB的中点，F是抛物线C的焦点，M是PO的中点，N是抛物线弧PO上的动点，则（ ）
A． B．
C． D．的面积为
11．如图抛物线的顶点为，焦点为，准线为，焦准距为；抛物线的顶点为，焦点也为，准线为，焦准距为．和交于两点，分别过作直线与两准线垂直，垂足分别为，过的直线与封闭曲线交于两点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．四边形的面积为
C．
D．的取值范围为
三、填空题
12．已知点在抛物线上，的焦点为，则 ．
13．已知抛物线的焦点为，双曲线的右焦点为.若线段与双曲线交于点，与抛物线交于点，且，，则双曲线的离心率为 .
14．已知动直线与圆相切，并与圆相交于点，点为抛物线上一动点，为坐标原点，则的取值范围为 .
四、解答题
15．抛物线的焦点为，且过点．
(1)求的方程；
(2)过点的一条直线与交于、两点（在线段之间），且与线段交于点．
①证明：点到和的距离相等；
②若的面积等于的面积，求点的坐标．
16．已知抛物线，焦点F在直线上，又动直线l与C的交点为A，B两点，A，B在x轴同侧，且．
(1)求抛物线C的方程；
(2)证明直线l经过定点；
(3)直线与直线，分别交于M，N，若恒成立，求t的值．
17．已知抛物线：的焦点到其准线的距离为.
(1)求抛物线的方程；
(2)过F的直线与抛物线相交于两点，在处分别作抛物线的切线，两条切线的交点为，证明：.
18．在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与抛物线交于A，B两点，当直线l平行于y轴时，．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l的斜率存在，直线AO与直线相交于点D，过点B且与抛物线C相切的直线交x轴于点E．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）是否存在直线l使得四边形ABDE的面积为？若存在，说明直线l有几条；若不存在，请说明理由．
19．已知抛物线，过抛物线上一点作两条直线分别交抛物线于两点，直线的斜率分别为，且.
(1)求抛物线的方程.
(2)证明：直线过定点.
(3)记直线经过的定点为为直线上一点（异于点），且满足，证明点在某定直线上，并求出该定直线的方程.
《抛物线问题-2025年高考数学二轮专题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C C B B A C BCD BD
题号 11
答案 CD
1．A
【分析】由抛物线的标准方程，代入可得结果.
【详解】由题意可知，抛物线C的方程为，
将代入，可得，故抛物线C的方程为.
故选：A.
2．C
【分析】由题意设出直线方程，联立求得切点坐标，利用两点距离公式，可得答案.
【详解】由题意可得过点的直线的斜率存在且不为零，则可设为，
联立可得，消去可得，
，解得，即，
将代入，解得，则或，
易知，所以，
故选：C
3．C
【分析】由题意可得，设，结合的面积可得，进而求得，再根据抛物线的定义求解即可.
【详解】由题意，，设，
则，则，即，
将代入，得，
根据抛物线的定义，.
故选：C.
4．C
【分析】求出各选项中抛物线的焦点坐标，即可得出答案.
【详解】对于抛物线，，可得，故，
所以，抛物线的焦点坐标为，
同理可知，抛物线的焦点坐标为，抛物线的焦点坐标为，，
抛物线的焦点坐标为.
故选：C.
5．B
【分析】设弦的中点为，抛物线的准线为，焦点为，过点作于点，过点作于点，过点作于点，利用抛物线的定义求得，结合图形得到当直线过点时，取得最小值即可求得答案.
【详解】

如图，设弦的中点为，抛物线的准线为，焦点为，
过点作于点，过点作于点，过点作于点，
则，
连接，则有，当直线过点时取等号，
所以，则，即弦的中点到轴距离的最小值为.
故选：B.
6．B
【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，设出抛物线的标准方程，利用待定系数法求出参数值.
【详解】以该碗轴截面的对称轴为轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图，
设该抛物线的方程为（的单位均为cm），点纵坐标为（单位：cm），
则，，于是，解得，
故该抛物线的焦点到准线的距离为．
故选：B
7．A
【分析】设点到直线的距离为，利用抛物线的定义，得到，即可求解.
【详解】易知抛物线的焦点为，准线方程为，
设点到直线的距离为，
则.

故选：A.
8．C
【分析】由题意可得，可求得逆时针旋转的抛物线方程判断A；与的交点到原点的距离最大，计算可判断B；分别求出抛物线与抛物线斜率为1的切线方程，再求出它们的距离即可判断C；.求出抛物线在点处的切线，求出该切线与x轴及直线所围成三角形面积，再结合对称性即可推理得证.
【详解】对于A，若，则抛物线，
若抛物线绕其顶点逆时针旋转，可得抛物线方程为，
即，开口向上，故A正确；
对于B，由抛物线的性质，可得四叶草关于原点对称，关于，轴，轴对称，
可知与的交点到原点的距离是四叶图上的点到点的距离最大的点，
解方程组可求得，所以，所以四叶图上的点到点的距离的最大值为，故B正确；
对于C，设直线与抛物线相切于点，
由，消去得，由，
得，切点，
设直线与抛物线相切于点，
由，消去得，由，
得，切点，
直线的斜率为，即直线与直线平行或重合，
所以直线被第一象限封闭图形截的弦长最大值为，故C错误.

对于D，抛物线，求导得，
则抛物线在点处的切线斜率为，
抛物线在点处的切线方程为，即，
该切线交轴于点，因此在第一象限的半个草叶的面积必小于，
所以四叶图的面积小于，故D正确.

故选：C.
【点睛】思路点睛：理解题意，结合图形对称性特征，通过曲线方程联立，计算判断，并运用函数的图象单调性情况，有时还需要以直代曲的思想进行估算、判断求解.
9．BCD
【分析】由准线方程求出判断A；利用抛物线的定义，结合圆的切线判断B；设出直线方程，与抛物线方程联立，借助韦达定理求解判断C；利用导数的几何意义求出切线方程求解判断D.
【详解】对于A，抛物线的准线为，则，解得，A错误；
对于B，设，则，
线段的中点到准线的距离为，因此以为直径的圆与直线相切，B正确；
对于C，由（1）知，，设直线方程为，由得，
则，线段的中点，线段中垂线方程为
，则点，，
而，由为等边三角形，
得，即，解得，C正确；
对于D，由求导得，直线的方程为，
则，直线的斜率，
因此，，D正确.
故选：BCD
10．BD
【分析】由题意得到，求得，再结合抛物线的基本性质逐个判断即可.
【详解】依题意，得消去p，整理得，解得（舍去） 或，所以，选项A错误；
抛物线C的方程为，得，因为P为线段AB的中点，点A的纵坐标为0，所以点B的纵坐标为，可得点B的横坐标为8，
于是，所以，选项B正确；
，由题图可知，，选项C错误；
，，选项D正确．
故选：BD．
11．CD
【分析】根据抛物线的定义判断A，以为原点建立平面直角坐标系，得到的方程，求出，代入方程求出，即可求出矩形的面积，从而判断，连接，由定义得到，从而得到，，即可推出，从而判断C，不妨设点在封闭曲线的上部分，设在直线上的射影分别为，当点在抛物线，点在抛物线上时求出，当与重合，点在抛物线上时求出，再求出当点在抛物线，点在抛物线上时的范围，即可判断D.
【详解】设直线与直线分别交于、，由题可知，，
所以，，故A不正确；
如图以为原点建立平面直角坐标系，则，，
所以抛物线的方程为，
连接，由抛物线的定义可知，，又，
所以，所以，代入，可得，
所以，又，故四边形的面积为，故B错误；
连接，因为，所以，，
所以，故，故C正确；
根据抛物线的对称性不妨设点在封闭曲线的上部分，
设在直线上的射影分别为，
当点在抛物线，点在抛物线上时，，
当与重合时，最小，最小值为，
当与重合，点在抛物线上时，因为，
直线，与抛物线的方程为联立，可得，
设，则，所以，所以；
当点在抛物线，点在抛物线上时，设，
与抛物线的方程为联立，可得，
设，则，
则，
当，即时取等号，故此时；
当点在抛物线，点在抛物线上时，根据抛物线的对称性可知，；
综上可得，故D正确．
故选：CD.
12．2
【分析】根据抛物线的定义，利用焦半径公式求解.
【详解】由题意，抛物线的焦点，准线为，
所以点到准线的距离，则.
故答案为：2.
13．
【分析】首先表示出、，再根据向量的坐标运算得到、的坐标，再分别代入双曲线、抛物线方程，即可得到关于、的方程，解得即可.
【详解】抛物线的焦点为，
双曲线的右焦点为，
所以，
因为，所以，
又，所以，
所以，所以，
则，即，所以，
整理得，因为，所以，
所以.
故答案为：
14．
【分析】设线段的中点为，设，则点在圆，根据，进而计算可求得的取值范围.
【详解】设线段的中点为，根据圆的对称性可知点在圆上，
设，则点在圆上，即圆，
圆心为，半径为，
则，
当且仅当点在线段上时，等号成立，
设，则，
设，则，
注意到，故，即，当且仅当时等号成立，
故.因此的取值范围是.
故答案为：.
15．(1)
(2)①证明见解析；②P.
【分析】（1）将点的坐标代入计算，即可得到抛物线方程；
（2）①联立直线与抛物线方程，结合韦达定理代入计算，即可得到，即可证明；②由题意可得点P在线段AF的中垂线上，即可得到结果.
【详解】（1）因为抛物线过点，所以，得：，所以C的方程为：.
（2）①设直线方程为，，，
由得：，则，
，，
又，
，
易知点，所以垂直于轴，
所以，所以点到和的距离相等.
②因为，所以，
故直线PA//FQ，所以，
由①知，所以，
所以点P在线段AF的中垂线上，点的纵坐标为1，代入抛物线方程可得点P.
16．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据题意可得，代入直线运算求解即可；
（2）设直线l的方程为，联立方程可得韦达定理，根据向量的坐标运算或数量积的运算律可得，结合韦达定理运算求解即可；
（3）可得，.方法一：分析可知，结合斜率公式分析求解即可；方法二：根据几何性质分析可知，结合韦达定理运算求解.
【详解】（1）对于抛物线，其焦点坐标，
因为焦点F在直线上，
所以，解得．
所以抛物线C的方程为．
（2）设直线l的方程为，，．
联立，把代入得，
所以，，．
因为A，B在x轴同侧，所以，所以．
方法一：因为，则，，，
所以
，
即．
又因为，，则，
即，解得或（舍去），所以．
所以直线l的方程为，恒过定点．
方法二：因为
，
所以，所以．
又因为，，则，
即，解得或（舍去），所以．
所以直线l的方程为，恒过定点．
（3）方法一：直线方程为，直线的方程为，
则，，
因为，所以直线与直线的斜率相等，即，
可得，即，
因为，则．整理可得，
即，所以；
方法二：直线方程为，直线的方程为，
所以于，，
因为，所以有∽，则．
又因为，，则．
可得．即．
由（2）知，
所以，所以．
17．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由抛物线的方程可得焦点到其准线的距离为，解得，即可得出答案；
（2）设，，，直线方程为，联立抛物线的方程，得关于的一元二次方程，结合韦达定理可得，，利用导数的几何意义可得切线的斜率，写出切线的方程，同理可得，抛物线在点处的切线方程，联立上述两切线方程，解得，，计算，即可得出答案．
【详解】（1）抛物线C的焦点为，准线方程为，
所以焦点F到其准线的距离为，
因为，解得.
所以抛物线C的方程为.
（2）由题意，直线AB的斜率一定存在，设其方程为，
代入抛物线方程，整理得.
设，，，
则，.
函数的导数为，故抛物线在点A处的切线方程为，化简得，
同理，抛物线在点B处的切线方程为，
联立上述两切线方程，解得，，
因为，，
所以，
所以.
18．(1)；
(2)（i）证明见解析；（ii）存在，4条.
【分析】（1）根据已知有点在抛物线上，代入抛物线求参数，即可得方程；
（2）（i）设，，，联立直线与抛物线并应用韦达定理得，，导数的几何意义求点处切线方程，且，进而得到、，易得，即可证；
（ii）连接，由（i）得，则有四边形为平行四边形，再由且，结合已知及导数研究根的个数，即可得.
【详解】（1）当直线轴时，则点在抛物线上，故，
所以抛物线方程为；
（2）（i）由题设，直线的斜率存在且不为0，设，则斜率，
若，，联立，得，
所以，，
由，则，故点处切线斜率为，
所以对应切线方程为，
令，故，
由，令，则，故，
所以，
所以，即，所以；
（ii）连接，由（i）得，，则，
又，所以轴，即四边形为平行四边形，
所以
，
若四边形的面积为，则，整理得，
令且，则，
令，则，故在上单调递增，
又，所以使，
在上，在上单调递减，
在上，在上单调递增，
而，，存在使，
所以在上有两个零点，为和，即在上有2个不同根，
由对称性，四边形的面积为的直线共有4条.
19．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析，
【分析】（1）将点的坐标代入抛物线方程得出，进而得出抛物线；
（2）设， 求出直线的方程为，结合，化简计算可得 ，即可得到结论.
（3）由（2）知，，设，设直线的方程为.代入抛物线联立方程组，将转化为，化简计算可得到结论.
【详解】（1）将点的坐标代入抛物线的方程可得，解得（舍去）或，故抛物线的方程为.
（2）由（1）可知点的坐标，设，
则.
由，得，所以，
.
.所以直线的方程为，
即，整理得.
又，
从而直线的方程为，化简得，
因此直线过定点.
（3）由（2）知，设，易知直线的斜率不为0，
设直线的方程为.由消去.
得.则.
因为.所以.
即，
当时，，化简得，
与直线的斜率不为0矛盾，不合题意；
当时，化简得，
.
即.又.
可得，所以，即，
所以点在直线上.
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