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数列-2025年高考数学二轮专题
一、单选题
1．已知数列的前项和为，且满足，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
2．已知为等差数列，为等比数列，其中，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知为等比数列前项和，若，则（ ）
A．5 B．3 C． D．
4．设数列的前n项和，若，则（ ）
A．3059 B．2056 C．1033 D．520
5．某厂家对其软件进行加密升级，现对软件程序中的某序列重新编辑，编辑新序列为，它的第项为.若序列的所有项都是3，且，，则（ ）
A． B． C．3 D．9
6．已知等比数列的公比，前项和为，则对于，下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．记为数列的前项和．下列说法正确的是（ ）
A．数列成等差数列的充要条件是对于任意的正整数，都有
B．数列成等比数列的充分不必要条件是对于任意的正整数，都有
C．已知数列的前项和，则数列是等差数列的充分不必要条件是实数
D．已知数列的前项和，则数列是等比数列的充要条件是
8．已知等差数列中，，公差为函数的最小正周期，则之和为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知数列中，，，，其前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
10．设等比数列的公比为，前项积为前项和为则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，且，则
D．若，且，则数列的前项和为
11．已知在首项为1，公差为的等差数列中，是等比数列的前三项，数列的前项和为，则（ ）
A． B．
C．是公差为3的等差数列 D．
三、填空题
12．已知，“、、成等差数列且、、成等比数列”是“是正三角形”的 条件．
13．已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，若，则实数的取值范围为 ．
14．已知数列满足，且对任意，有递推关系式：，定义数列为，则 .
四、解答题
15．投掷一枚均匀的骰子，每次掷得的点数为1或2时得1分，掷得的点数为3，4，5，6时得2分；独立地重复掷一枚骰子若干次，将每次得分相加的结果作为最终得分.
(1)设投掷2次骰子，最终得分为，求随机变量的分布列与期望；
(2)设最终得分为的概率为，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式.
16．已知正项数列的前项的和为，且.
(1)求，；
(2)证明：是等差数列；
(3)求数列的前项的和.
17．已知数列中，，.
(1)求；
(2)数列满足，设为数列的前项和，证明：.
(3)设，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列.
18．从数列中选取第项，第项，…，第项，并按原顺序构成的新数列称为数列的“连续子列”.已知数列中，，，对，数列的“连续子列”是公比为的等比数列.
(1)求，的值；
(2)求；
(3)证明：.
19．定义：若对任意，，，数列的第项都等于数列的第项，则称数列为数列的“分段反序数列”.已知数列的“分段反序数列”为，数列的前项和为.
(1)若，求，的值；
(2)若，求；
(3)若，证明：数列为常数列.
《数列-2025年高考数学二轮专题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A C C D A A ABD BD
题号 11
答案 ABD
1．B
【分析】根据题设与的递推关系式推导出，再根据求出，逐项求出即可.
【详解】由题意，，则当时，有，
两式相减可得，即.
当时，，因为，所以，
所以.
故选：B.
2．C
【分析】由等差、等比数列概念可得、通项，即可得出答案.
【详解】∵为等差数列且，
∴，
∴，，，
∵为等差数列且，
∴，
∴，，，
∴当时，，当时，，故A、B不正确；
∵，，∴，
故选：C.
3．A
【分析】利用等比数列的通项公式和求和公式来求解即可.
【详解】由等比数列公式可得：，
所以，
故选：A.
4．C
【分析】根据已知可得，构造法得到是首项、公比均为的等比数列，写出通项公式即可求项.
【详解】由题设，则，
所以，则
又，则，
所以是首项、公比均为的等比数列，则，
所以，则.
故选：C
5．C
【分析】根据编辑新序列的概念，推导数列的递推公式，由递推公式结合知道的项，可求的值.
【详解】因为，
设，则，
因为的所有项都是3，所以，设，
所以是以为首项，3为公比的等比数列，所以.
由，；
由，；
由；
由.
又，所以.
所以.
故选：C
6．D
【分析】举反例即可判断ABC，再分类讨论时和时，结合等比数列求和公式即可判断．
【详解】令，，，，，A错；
，B错；
，C错；
一般情况，时，，，，
，此时；
时，，
左边，
右边左边，D对；
故选：D．
7．A
【分析】由等差数列、等比数列的通项，前项和结构，逐项判断即可.
【详解】是等差数列，A选项正确；
若对都成立，满足，但不是等比数列，充分性不成立，B选项错误；
若是等差数列，则，
，因为是等差数列，所以，得
必要性成立，C选项错误；
若，则，当时，，当时，，不适合上式，
不是等比数列，充分性不成立，D选项错误，
故选：A．
8．A
【分析】由辅助角公式化简，确定函数周期，再结合等差数列下标和性质即可求求解.
【详解】函数
，
由题意得等差数列的公差，因此.
故选：A.
9．ABD
【分析】由题意可得、，结合等差数列的定义和通项公式可得，即可判断AB；结合数列的单调性即可判断C；结合放缩法计算即可判断D.
【详解】由，得，
所以数列是以为公差的等差数列，
而，，所以，得，故A正确；
所以，得，故B正确；
令，解得，对于，
为正，且依次递增；
为负，且依次递增，
所以，故C错误；
，故D正确.
故选：ABD
10．BD
【分析】由等比数列的通项公式、下标和的性质及等差、等比数列前项和公式逐个判断即可.
【详解】若，则，由，可得，故A错误；
，故B正确；
对于C，由选项条件可得，，解得或，故C错误；
因为，所以，所以，所以数列的前项和为，故D正确.
故选：BD
11．ABD
【分析】由已知求出等差数列的公差，然后分别计算分析可判断每个选项的正误．
【详解】因为，即，又，所以，
整理得，又因为，解得，故A正确；
由得，所以，所以，故B正确；
所以，所以是首项为1，公差为的等差数列，故C错误；
，即的公比为4，故，故D正确.
故选：ABD.
12．充要
【分析】根据给定条件，利用等差、等比数列的定义，结合正余弦定理及充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】在中，由、、成等差数列，得，而，则，
由、、成等比数列，得，由正弦定理得，
由余弦定理得，即，解得，因此是正三角形；
若是正三角形，则，，
因此、、成等差数列且、、成等比数列，
所以“、、成等差数列且、、成等比数列”是“是正三角形”的充要条件.
故答案为：充要.
13．
【分析】先结合题意由等差和等比数列的基本量法求出两数列的通项进而求出，再构成函数，分析单调性和根即可.
【详解】由题意可得等差数列的公差为，所以，所以，
等比数列的公比为，则，
因为，即，即，
设，
由复合函数的单调性可得在上单调递增，
再由二分法确定当时，，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
14．
【分析】先降标作差得出隔项的递推关系式，再分奇偶得出数列的通项公式即可计算.
【详解】已知，
当时，，
两式作差得，
①当为奇数时，，
因，，则，
所以中的偶数项是以为首项，1为公差的等差数列，
则当为偶数时，；
②当为偶数时，，
所以中的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，
则当为奇数时，，
因为，所以.
故答案为：.
15．(1)分布列见解析，
(2)证明见解析，.
【分析】（1）根据情境求出离散型随机变量的取值，以及相应的概率，写出分布列，根据期望公式求解即可；
（2）根据递推公式，结合等比数列的定义证得为等比数列，再利用累加法和等比数列前n项和公式求得的通项公式．
【详解】（1）由题意投掷1次骰子得分的概率为，投掷1次骰子得分的概率为，
由题意的可能取值为2，3，4，
，，，
故的分布列为：
2 3 4
因此，数学期望.
（2）由题意知，
故，且，，，
故是以为首项，为公比的等比数列，
故，
所以，当时，
，
当时，上式也成立，
综上所述：.
16．(1)，.
(2)证明见解析.
(3).
【分析】（1）利用已知条件，通过代入和，结合正项数列的性质，逐步求解和.
（2）通过递推关系，将用和表示，代入原方程化简，证明的相邻项差为常数.
（3）利用第（2）题的结论，将通项转化为等差数列求和，通过分母有理化简化求和过程.
【详解】（1）由，
令，有，因为，所以.
令，有，即，由，解得.
所以，.
（2）当时，由，代入，
化简得，即，
所以是首项为1，公差为1的等差数列.
（3）由（2）可知.因为是正项数列，所以，从而.
由，
所以.
所以数列的前项的和.
17．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）观察数列递推公式，分析求倒数再利用构造数列可求得是等比数列，再求等比数列通项公式即可求得.
（2）根据求得的通项公式，再用错位相减法求和即可证明.
（3）根据（2）求得，假设中任意不同的三项能构成等差数列，利用等差中项的性质，推出矛盾即可证明.
【详解】（1）在数列中，由，得，
则，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
则，解得.
（2）由（1）知，
，
，
两式相减得，
因为，所以.
（3）由题.
假设数列中存在不同的三项，，（，）构成等差数列，
则，即，
两边同时乘以，得.
因为，，所以，，
则是2的倍数，除以2余1，等式不成立.
所以假设不成立，即数列中任意不同的三项都不能构成等差数列.
18．(1)，
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）依题意对恒成立，代入计算可得；
（2）依题意可得，，再利用累乘法求出，再结合，计算可得；
（3）由（2）知，则，利用裂项相消法计算可得.
【详解】（1）由题意知，，是公比为的等比数列，
对恒成立，又，，
，，又，所以；
（2）因为对恒成立，
所以，，
，
当时也成立，
，
又，
；
（3）由（2）知，
故
，
当时，；
当时，
；
综上可得.
19．(1)，
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据所给定义计算可得；
（2）设数列的前项和为，推导出，再利用等比数列求和公式计算可得；
（3）依题意可得，即可得到，，依次递推，总有和，从而得证.
【详解】（1）因为，且，，所以，
因为，，所以；
（2）设数列的前项和为，
依题意得，
又，
，…，
依次递推：
，
所以，
又，所以.
（3）依题意得，
所以，
，
所以，…，
依次递推，总有和，
由此可知，
当时，，是常数列，
当且时，，是常数列.
又，所以对任意的，是常数列.
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