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圆与方程专项训练-2025年高考数学二轮专题
一、单选题
1．与曲线和圆都相切的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
2．已知圆和直线的位置关系是（ ）
A．相交、相切或相离 B．相交或相切 C．相交 D．相切
3．已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，是上半圆上的两点（不包括端点），那么与的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．不能确定
5．已知点是圆：内一点，直线是以为中点的弦所在的直线，若直线的方程为，则（ ）
A．且与圆相离 B．且与圆相交
C．且与圆相离 D．且与圆相交
6．已知圆心在轴上的圆过点且与轴相切，则该圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．若直线被圆截得的弦长为，则（ ）
A． B． C．2 D．
8．我们把平面内到定点的距离不大于定点到的距离的倍的动点的集合称为关于的阶亲密点域，记为动点符合．已知，动点符合，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知圆与圆相切，则的取值可以为（ ）
A． B． C．3 D．4
10．已知直线的方程为，圆C的方程为．则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过点
B．直线的方向向量与向量共线
C．若直线与C有公共点，则
D．当时，则直线与圆C所交弦长为
11．定义：表示点到曲线上任意一点的距离的最小值.已知是圆上的动点，圆，则的取值可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
三、填空题
12．过点且斜率为1的直线与抛物线交于A，B两点，已知直线经过抛物线的焦点，则以线段AB为直径的圆的标准方程为 .
13．以抛物线的焦点为圆心，且过点的圆与直线相交于，两点，则 .
14．在平面直角坐标系中，圆交轴于两点，且点在点的左侧，若直线上存在点，使得，则的取值范围为 ．
四、解答题
15．已知圆，直线过点.
(1)若直线与圆相切，求直线的方程；
(2)当直线的斜率存在且与圆相切于点时，求.
16．已知点，圆，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.
(1)求的轨迹方程;
(2)当时，求的方程及的面积.
17．在平面直角坐标系中，设点，若点满足，其中为定点，则称点是点关于点的“相关点”.
(1)已知点，若点是点关于点的“相关点”，且，求的值.
(2)已知圆，点，点是圆上的动点，点是点关于点的“相关点”，若点的轨迹与圆有公共点，求正数的取值范围.
18．已知点在圆上，作垂直于轴，垂足为，点为中点．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)已知，试判断以为直径的圆与圆的位置关系，并说明理由；
(3)过第一象限的点作的垂线，交轴于点，过点作的垂线交直线于点，过点作的切线，切点为，试判断直线是否过定点．若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．
19．在平面直角坐标系内，为坐标原点，动点与定点的距离与到定直线的距离之比为常数.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)已知，，是动点的轨迹上的三点，且圆与直线，都相切，且
（ⅰ）求圆的半径；
（ⅱ）试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
《圆与方程专项训练-2025年高考数学二轮专题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A A A C C A BC ACD
题号 11
答案 ABC
1．C
【分析】根据导数的几何意义得到切线方程，然后根据直线与圆的位置关系列方程得到，构造函数，利用导数分析单调性得到零点个数即可得到切线条数.
【详解】设直线与曲线相切于点，
则的方程为，即．
圆C：，因为与圆相切，所以，
所以，
令，则，
令，得或，
进一步得到在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又当时，，所以在区间上分别有1个零点，
所以这样的切线有3条．
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于根据导数的几何意义和切线的性质得到方程后，将方程的根的个数转化为函数的零点个数，然后分析单调性求零点个数即可.
2．C
【分析】方法一：分析可知直线过定点，且点在圆内，即可得结果；方法二：求圆心到直线的距离，进而判断位置关系.
【详解】圆，即，圆心为，半径为．
方法一：直线，即，可知直线过定点．
且，则点在圆内，所以直线与圆相交；
方法二：圆心到直线的距离为
，
所以直线与圆相交．
故选：C．
3．A
【分析】分析出，确定圆心M的轨迹为椭圆，求出，得到轨迹方程.
【详解】设圆圆心且与圆切于点P，圆圆心与圆切于点Q，
由题意得：，，其中，
所以，
由椭圆定义可知：动圆圆心C的轨迹为以为焦点的椭圆，设，
则，解得：，
故动圆圆心C的轨迹方程为.
故选：A
4．A
【分析】根据导数的几何意义及圆的切线的性质即可得解.
【详解】如图所示，
由导数的几何意义可知与分别表示在上半圆上两点，，作切线的切线斜率，
由半圆可知，当时，切线斜率，当时，切线斜率，
即，
故选：A.
5．A
【分析】根据垂直关系得到的斜率为，等于直线的斜率，故，求出圆心到直线的距离为，得到直线与圆相离.
【详解】直线是以为中点的弦所在的直线，
由垂径定理得，直线，
∵，
的斜率为，
直线的斜率为，
，
其中圆心到直线的距离为，
在圆内，
，
，
直线与圆相离.
故选：A
6．C
【分析】设圆心坐标为，由题意列方程，求出a，即可求得圆心坐标及半径，从而写出该圆的标准方程.
【详解】设圆心坐标为，因为此圆过点且与轴相切，
所以，解得，则圆心为，半径为，
所以该圆的标准方程为.
故选：C
7．C
【分析】由圆方程得出圆心和半径，再由弦长公式以及点到直线距离公式计算可得结果.
【详解】易知圆的圆心为，半径为 ，
设圆心到直线l的距离为d，由弦长公式可得，，
所以圆心到直线的距离，
解得或，又，所以，
故选：C
8．A
【分析】根据题意，可得动点到定点的距离小于等于定点到定点的距离的倍，即，利用两点间的距离公式，可求出，即判断点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆及内部，令，即，令直线的方程为，利用点到直线距离公式可求出点到直线的距离，对直线与圆相交或相切进行分类讨论，可求出的取值范围，即可求出的最大值，即可得解.
【详解】

已知，
因为动点符合，
所以动点到定点的距离不大于定点到定点的距离的倍，
即动点到定点的距离小于等于定点到定点的距离的倍，
所以，
所以1，
即，
所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆及内部，
令，即，
令直线的方程为，
要求的最大值，即为求当直线与圆相交或相切时的最大值，
又点到直线的距离为，
平移直线与圆相切时，点到直线的距离等于圆的半径，
即，即，解得或，
当直线与圆相交时，点到直线的距离大于等于0小于1，
即 ，即，即，解得，
综上所述，可得，即，
所以，即，
故选：A.
9．BC
【分析】根据两圆相外切和相内切两种情况，列式求解.
【详解】若这两个圆外切，则，
两边平方后，解得或3；
若这两个圆内切，则，
解得.
故选：BC
10．ACD
【分析】A令即可；B求出直线的方向向量，再判断与是否共线；C利用圆心到直线的距离；D利用公式即可.
【详解】当时，，则直线恒过定点，故A正确；
直线的方向向量为，若与共线，则，得，
故只有当时才与共线，故B错误；
若直线与C有公共点，且圆的半径，
则圆心到直线的距离，
解得或，故C正确；
当时，圆心到直线的距离，
因圆的半径，则弦长为，故D正确.
故选：ACD
11．ABC
【分析】理解新定义，结合图像即可求解.
【详解】易知两圆的位置关系为内含，
记为坐标原点，圆的半径为1，
结合图像易知，
则.
符合条件的有ABC，
故选：ABC
12．
【分析】根据已知条件先求得直线和抛物线的方程，联立求得交点坐标，然后求得圆心和半径，进而写出标准方程.
【详解】已知直线 过点 且斜率为1，因此其方程为 .
抛物线的方程为 （），其焦点坐标为 .
由于直线 经过抛物线的焦点，代入焦点坐标得到 ，
解得 ，因此抛物线的方程为 ，焦点为 .
将直线方程 代入抛物线方程 得到：,
展开并整理得：,
解得 ，对应的 值为 ，
因此交点 和 的坐标分别为 和 .
以线段 为直径的圆的圆心为 的中点，坐标为：
,
,
,
半径为 ，因此圆的标准方程为：,
故答案为：.
13．
【分析】根据题意写出圆心，再根据圆心与圆上一点的距离为半径写出圆的方程，根据圆截直线的弦长求解即可.
【详解】
抛物线的焦点为，即圆心为，
且圆过点，则，所以圆的方程为.
圆心到直线的距离，
圆截直线的弦长为.
故答案为：.
14．
【分析】先求出点的轨迹方程为，再由直线与圆的位置关系求解的取值范围.
【详解】由题意得，，设，
则由，得，
即，
因为圆与直线有交点，
则，解得．
故的取值范围为．
故答案为：
15．(1)或
(2)
【分析】（1）分斜率存在或不存在两种情况，若不存在，设直线的方程，利用即可；
（2）在中勾股定理即可.
【详解】（1）圆的方程可化为，
则圆的圆心为，半径，
①当直线的斜率不存在，则直线方程为，满足题意；
②当直线的斜率存在时，可设直线的方程是，即，
由圆心到直线l的距离，解得，
此时直线的方程是，
综上，直线的方程是或.
（2）由（1）得直线的方程是，
则,
所以.
16．(1)
(2)，
【分析】（1）根据即可判断求轨迹为以点为圆心，为半径的圆，即可求方程；
（2）数形结合可得，即可求出直线的方程，再计算点到的距离，利用勾股定理计算即可求面积.
【详解】（1）圆的方程可化为，所以圆心为，半径为，
则线段的中点，，
因点为线段的中点，则，
则点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆，
则该圆的方程为，经检验符合题意，
所以的轨迹方程是.
（2）由于，故在线段的垂直平分线上，
又在圆上，所以，
因为直线的斜率为，所以的斜率为，
故的方程为，即，
又，点到的距离为，
所以，
则，故的面积为.

17．(1)
(2)
【分析】（1）利用向量夹角公式和圆的方程来求解的值；
（2）设，根据 “相关点”，则，，得到设，可得结合，得最后根据点的轨迹与圆有公共点，求得的取值范围即可.
【详解】（1）因为，，点是点关于点的 “相关点”，
所以，，
则，即
因为，所以，
又，，则，
两边平方得，即，即，
解得
（2）设，因为在圆：上，所以
点是点关于点的 “相关点”，则，，
所以，
即
设，则，可得
因为，所以，整理得
因为点的轨迹与圆有公共点，所以两圆的圆心距满足.
连不等式前面可化为.
两边同时平方可得，展开得.
可得.
因为，所以，即，即恒成立，所以，
即不等式的解集为.
连不等式后边可化为.
两边同时平方可得，展开得.
移项可得，
又，可得，解得.
因为不等式的解集为，不等式的解集为，
所以原不等式的解集为.
18．(1)
(2)以为直径的圆内切于圆，理由见解析
(3)直线过定点．
【分析】（1）设，，利用相关点法可得动点的轨迹的方程；
（2）由（1）知点为椭圆的上焦点，由已知结合椭圆的定义，可得两圆的圆心距等于半径差，可得两圆内切；
（3）设，则，表示出直线方程，令，可得，表示出直线方程，直线方程，联立可得，设，可得直线和直线方程，又得直线与椭圆相切，由点在直线和直线上，联立可得直线的方程，即可得到直线过定点．
【详解】（1）
依题意，设，，则，
且，即，
又点在圆上，
故，即点的轨迹的方程为．
（2）
由（1）知点为椭圆的上焦点，设其下焦点为，
中点为，以为直径的圆半径为，圆的半径为，
则，即，
所以以为直径的圆内切于圆．
（3）
设，则，，
则直线，
令，得，，
则，即，①
又，②
联立①②得，
解得，
设，
将①式代入椭圆，得，
，直线与椭圆相切．
设，则直线，
由点在直线和直线上，得，
则直线，
直线过定点．
19．(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）为定值
【分析】（1）设点坐标，利用直接法列方程，化简即可；
（2）（i）设点坐标及圆方程，结合圆与直线，都相切，且，可得解；（ii）设点坐标，结合两点在椭圆上，且化简可得解.
【详解】（1）设点，
则点到直线的距离，且，
则，
化简可得，
即点的轨迹方程为；
（2）
（ⅰ）设点，圆的方程为，
因为在动点的轨迹上，所以点满足①，
设过原点且圆相切的直线为，
所以，化简可得 ②，
因为圆与直线，都相切，所以，满足②式，
所以③，
由①可知代入③式可得，即，
所以圆的半径为；
（ⅱ）设，，
因为，两点在动点的轨迹上，
所以，即，
因为，
代入可得，即，
所以
所以为定值.
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