资源简介

1.1二次函数
教学目标
从实际情境中让学生经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。
理解二次函数的概念,掌握二次函数的标准形式。
会建立简单的二次函数的模型,并能根据实际问题确定自变量的取值范围。
会用待定系数法求二次函数的表达式。
重点难点
重点：二次函数的概念和表达式
难点：用适当的函数解析式表示实际问题中两个变量之间的函数关系。即建立函数模型。
案例一
教学过程
环节一：情境导入
问题1：
（1）一辆汽车前灯电路的电压保持不变。可选用什么数学模型来刻画灯泡的电阻和通过的电流强度之间的关系？
（2）汽车油箱中原有油60升，如果行驶中每小时用油6升，可选用什么数学模型来刻画油箱中的油量和行驶时间之间关系？
我们可以用一次函数、反比例函数表示两个变量之间的变化规律，函数是解决实际问题的重要的数学工具.
【设计意图】通过学生熟悉的情境让学生体验函数来源于生活;许多实际问题可以建立函数模型用函数解决.
问题2：我们已经学过了哪几种类型的函数？我们学习了一次函数、反比例函数的哪些内容？
师生活动：回忆函数的定义，图象和性质，并回顾一次函数的研究程序：
定义 图象 性质 应用．
【设计意图】通过对已学函数内容的回顾、复习，挖掘已学两类函数的相同点及差异，为类比学习二次函数打好铺垫.
问题3：下列问题中两个变量之间的关系是否是一次函数和反比例函数？
一个长方形温室的周长为120m，则占地面积y（m2）和其中一条边长x（m）之间的关系是什么？y=x(60-x)=-x2+60x
他们之间的关系既不是一次函数也不是反比例函数，哪可以用哪一种函数来表示呢？
【设计意图】让学生感受生活中存在一些两个变量之间的关系不能用一次函数或者反比例函数来表示，需要用另外的函数表示，引出本章要学习的另一类函数模型.
环节二、探究新知
1.问题1：请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个变量y与x之间的关系.
（1）圆的面积 y (cm2)与圆的半径 x (cm).
（2）x个人参加某项活动，每两个人握一次手，这x个人握手的总次数y.
（3）某工厂1月份的产值为20万元，平均每月产值的增长率为x，该工厂第一季度的产值y（万元）
师生活动：1、先学生个体探究，尝试写出y与x之间的函数解析式.2、请学生写出三个问题的函数解析式并进行化简.
2.问题2：上述三个函数解析式和问题3的函数解析式具有哪些共同的特征？
让学生充分发表意见，提出各自的看法.
(1)y=πx2 (2) (3)y=20(1+x)2=20x2+40x+20 （4）y=x(60-x)=-x2+60x
整理得到特征：
（1）右边都是关于自变量的整式.
（2）自变量的最高次都是二次.即都是关于自变量的二次多项式.等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.
3.类比一次函数归纳二次函数的定义.
定义：我们把形如y=ax +bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.
称a为二次项系数， b为一次项系数，c为常数项.
请说出上述四个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项.
【设计意图】让学生经历从实际情境中建立函数关系，体验用数学方法描述两个变量之间的关系，通过对函数表达式特征的分析，对一次函数的定义的回顾迁移，引导学生类比归纳出二次函数的定义.
4.概念剖析
问题：在二次函数y=ax +bx+c（a≠0)中
（1）常量和变量分别是什么？
（2）自变量x的取值范围是什么？
【设计意图】进一步体验巩固函数关系是表示两个变量之间的关系，当a,b,c确定时函数关系就确定了.当自变量没有实际意义时确定自变量的取值范围只需使代数式有意义即可.
概念巩固
（1）下列函数中，哪些是二次函数？若是请指出它的二次项系数，一次项系数，常数项.
① ② y=2x-3 ③ y=x(1-x) ④ ⑤y =(x-1)(x+3) ⑥y=(x-5)2-x2
问题:判断一个函数是否二次函数的关键是什么呢？
关键是右边是否是关于自变量的二次整式
追问：二次函数的表达式中，a≠0？b、c可否为0？
a≠0,b、c可以为0.
由此得到二次函数三种特殊形式：(1)y=ax2 (2) y=ax2+bx (3) y=ax2+c
（2）关于x的函数y=ax +bx+c（其中 a、b、c 是常数 ），当 a、b、c 满足什么条件时，
①它是二次函数；
②它是一次函数；
③它是正比例函数。
答案：a≠0; a=0且b≠0; a=0，c=0且b≠0
【设计意图】通过辨析，加深对概念的理解。通过对系数的讨论确定已学函数类型，建构三种函数定义的知识网络.
环节三、例题讲解
1.会建立简单的二次函数的模型，能根据实际问题确定自变量的取值范围，并能根据自变量求对应的函数值.
例题1、如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）。设AE=BF=CG=DH=x(cm) ,四边形EFGH的面积为y(cm2),求：
y关于x 的函数解析式和自变量x的取值范围.
当x分别为0.25，0.5，1，1.5，1.75时，对应的四边形EFGH的面积，并列表表示.
师生活动：
1.第（1）小题，学生独立分析思考，尝试写出函数解析式，并求自变量的取值范围.
对于第一个问题可以用多种方法解答，比如：
求差法：四边形EFGH的面积=正方形ABCD的面积-直角三角形AEH的面积的4倍.
直接法：先证明四边形EFGH是正方形，再运用勾股定理求出EH2.
对于自变量的取值范围，引导学生要根据实际问题中自变量的实际意义来确定.
第（2）小题，分5个组分别求解并完成列表表示.
解：(1)由题意0y=
(2)当x=0.25cm时,y=2×0.252-4×0.25+4=3.125(cm2)
依次计算可得：x=0.5cm时,y=2.5(cm2); x=1cm时,y=2(cm2)
x=1.5cm时,y=2.5(cm2);x=1.75cm时,y=3.125(cm2)
列表如下：
x(cm) 0.25 0.5 1 1.5 1.75
y(cm) 3.125 2.5 2 2.5 3.125
问题：观察表格，你发现了什么？表中的数据有什么特点？
可以发现当x分别为0.25，0.5，1，1.5，1.75时,y的值由大变小再变大；当x=0.25和 x=1.75时,y的值是相等的，x=0.5和x=1.5时,y的值也是相等的；x=1时y的值最小；还可以发现.
追问：函数的表达式有三种，一种是解析式法，一种就是这里的表格法，还有一种是什么？（图像法）
我们如果把表格中的x,y进行描点，连线，可以发现它的图像不是直线，在接下来的几节课中我们就会利用图像重点研究二次函数的性质.
【设计意图】通过实例进一步巩固加深对概念的理解，初步感知二次函数的特征（性质）.
2.会用待定系数法求二次函数的解析式。
例题2、已知二次函数y=x +bx+c，当x=1时，函数值是4；当x=2时，函数值是-5.求这个二次函数的表达式.
分析：问题1：要确定二次函数y=x +bx+c中的a、b、c，需要几个条件？ .
需要3个条件，由于题目中二次项系数a是已知的，因此求二次函数的表达式只要求出一次项系数b和常数项c的值即可.
问题2：b，c的值如何求呢？
因为当x=1时，函数值是4；当x=2时，函数值是-5，只要把这两组对应值代入函数关系式，就可以得到关于b,c的二元一次方程组，求解即可求出b,c的值.
解：把x=1，y=4和x=2，y=-5分别代入函数y=x +bx+c,得
解这个方程组，得
∴所求二次函数的表达式是y=x -12x+15
教师板书示范,再反思归纳.
对于已知的每组对应值满足函数关系式,带入后得到方程（组），一对对应值可以确定一个待定系数.
用待定系数法确定二次函数的表达式的步骤：
(1)设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c；
(2)已知三对x，y的值，代入表达式，得到关于a，b，c的方程组；
(3)通过解方程组确定二次函数的系数．
一元二次方程和二次函数具有一定的关系：方程ax2＋bx＋c=0可以看成是函数y= ax2＋bx＋c中y=0时得到的.
【设计意图】通过实例进一步巩固加深对概念的理解，求二次函数表达式的策略是把函数问题转化为方程问题.方法是待定系数法.
环节四：巩固练习
1．若y＝(m2＋m)是二次函数，求m的值．
2.已知二次函数y=ax +bx+c，当x=2时，函数值是3；当x=-2时，函数值是2,当x=4时，函数值也是2.求这个二次函数的表达式.
3.如图，在长200米，宽80米的矩形广场内修建等宽的十字形道路，剩余部分为绿地，请写出绿地面积y（m ）与路宽x（m）之间的函数表达式.
答案与解析：
1.根据二次函数的定义，只要满足m2＋m≠0，且m2－m＝2，
y＝(m2＋m)就是二次函数．
解：由题意得
解，得
∴m＝2．
故若y＝(m2＋m)是二次函数，则m的值等于2．
2.解：把x=2，y=3和x=-2，y=2，x=4，y=2,分别代入函数y=ax +bx+c,得
解这个方程组，得
∴所求二次函数的表达式是
3.y=(200-x)(80-x)=x -280x+16000（0＜x＜80）
设计意图：第1题是针对二次函数概念的巩固练习；通过这题使学生深刻理解，看一个函数是否为二次函数的关键是看二次项系数是否为0，再就一定要注意自变量的最高指数是2
。第2题是针对例2设计的变式练习，巩固用待定系数法来确定二次函数的表达式。第2题是针对例1设计的变式练习.
课堂总结
问题：本节课我们学习了什么？根据以往函数学习的经验，接下来我们要研究什么？怎么研究？
学生活动：回忆、反思、交流
教师活动：指导、启发、总结
今天我们认识了一种新的函数—二次函数，学习了它的定义.知道了如何运用二次函数分析解决一些实际问题，确定自变量的取值范围.学会了一个方法：用待定系数法求简单的二次函数解析式.
【设计意图】用框图的形式总结本节课的全过程，能够及时总结本节课的知识点和思想方法，使学生及时建立知识结构，让学生巩固课堂所学知识，掌握思想方法。
布置作业
配套作业本1.1
案例二
教学过程
环节一：回顾引入
问题：矩形ABCD周长为12，边AB长为x，BC长为y.
当矩形变化时，y是x的函数吗？
师生活动：一起交流得到y=6-x,y是x的一次函数.
追问1：一次函数是如何研究的？
从实际问题中，找到两个变量，如果它们存在一定的依赖关系，就得到一个函数，得到它的表达式，然后画出函数图象，通过直观观察，总结出函数的性质，最终又回到实际问题.所以数学来源于生活，也必将应用于生活.
追问2：上题中，当矩形变化时，面积s是x的函数吗？
师生活动：一起交流得到s=x（6-x）=-x2+6x.面积s是x的函数,但不是一次函数.这就是我们今天要学习的一种新的函数.
【设计意图】由一个非常简单的一次函数的实际问题引出，引导学生回忆一次函数的研究过程，为后面用类比的方法学习二次函数进行铺垫。通过追问引出课题，感受数学来源于生活．
环节二：探究新知
1.问题1：分析下列变化过程，并用函数表达式表示两个变量之间的关系.
（1）圆的面积S与半径r.
（2）某企业今年第一季度的产值为 80 万元，预计产值的季平均增长率为 x. 第三季度的产值为 y 万元.
（3）某水果店销售一种水果的成本价是5元/千克.在销售中发现，当这种水果的价格定为 7元/千克，每天可以卖出160千克.在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出 20 千克.若设这种水果的单价提高了 x 元/千克,该水果店每天销售这种水果所获得的利润用 y 表示.
师生活动:上面问题完成后让学生先分组交流然后展示，订正答案.
通过师生共同探讨，得到了以下3个关系式：
(1)S=πr2 (2) (3)y=(2+x)(160-20x)=-20x2+120x+320
【设计意图】让学生经历从实际情境中建立函数关系，体验用数学方法描述两个变量之间的关系.
2.属性归纳：
问题2：显然，这3个从实际问题中抽象出新形式的函数和前面矩形面积关于边长的函数.一样。既然这类函数有丰富的现实情景，就有研究这类函数的必要.那么这类函数有何共同特征？可以与一次函数、反比例函数、一元二次方程等相比.
师生活动：学生参与定义二次函数的活动———形成二次函数的概念.
让学生充分发表意见，依次从变量的个数角度来归纳，从表示自变量的字母的次数角度来归纳，从代数式的类型角度来归纳，类比一次函数及一元二次方程的概念来归纳.
发现它们都可以表示为y=ax +bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)的形式.
共同特征：
1.等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；
2. a，b，c 为常数，且 a≠0；
3.等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项；
4. x的取值范围可以是任意实数，遇到实际问题时，自变量的取值范围还有考虑实际问题是否有意义.
3.归纳二次函数的定义：我们把形如y=ax +bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.称a为二次项系数， b为一次项系数，c为常数项.
4.概念巩固
问题3：请说出上述四个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项.
（1）S=πr2
二次项系数是π、一次项系数是0，常数项是0.
（2）
二次项系数是80、一次项系数是160，常数项是80.
（3）y=(2+x)(160-20x)=-20x2+120x+320
二次项系数是-20、一次项系数是120，常数项是320.
（4）s=x（6-x）=-x2+6x.
二次项系数是-1、一次项系数是6，常数项是0.
【设计意图】通过对函数表达式特征的分析，对一次函数的定义的回顾迁移，引导学生类比归纳出二次函数的定义.
5.概念辨析
（1）下列函数中，哪些是二次函数？若是请指出它的二次项系数，一次项系数，常数项.
① ② y=2x-3 ③ y=x(1-x) ④ ⑤y =(x-1)(x+3) ⑥y=(x-5)2-x2
分析:判断一个函数是否二次函数的关键是什么？
关键是右边是否是关于自变量的二次整式
追问：二次函数的表达式中，a≠0？b、c可否为0？
a≠0,b、c可以为0.
由此得到二次函数三种特殊形式：(1)y=ax2 (2) y=ax2+bx (3) y=ax2+c
（2）关于x的函数y=ax +bx+c（其中 a、b、c 是常数 ），当 a、b、c 满足什么条件时，
①它是二次函数；
②它是一次函数；
③它是正比例函数。
答案：a≠0; a=0且b≠0; a=0，c=0且b≠0
【设计意图】通过辨析，加深对概念的理解。通过对系数的讨论确定已学函数类型，建构三种函数定义的知识网络.
回顾小结
问题4：获得二次函数概念经历了哪几个步骤？
师生活动：交流讨论得到：根据条件列出函数关系式→观察所列函数关系式的个体特征→归纳所列函数关系式的共同特征→ 抽象这类函数关系式的本质特征→定义与表示这类函数.
教师小结：这个思维过程具有普适性，其蕴含的抽象思想、归纳思想、符号表示思想等是数学中的重要思想.
追问：二次函数与一元二次方程有何区别？
二次函数刻画的是变量之间的变化关系，一元二次方程刻画的是常量之间的相等关系.二次函数的一般形式是y=ax +bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)，而一元二次方程的一般形式是
ax +bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0).它们都是描述现实世界数量关系的重要数学模型.
【设计意图】通过小结，加深对二次函数概念的理解。厘清二次函数与一元二次方程的不同.
环节三：例题讲解
1.会建立简单的二次函数的模型，能根据实际问题确定自变量的取值范围，并能根据自变量求对应的函数值.
例题1、矩形ABCD周长为12，边AB长为x，面积为S.
（1）当矩形变化时，求面积S关于x 的函数解析式和自变量x的取值范围.
（2）当x分别为1，2，3，4，5时，对应的矩形ABCD的面积，并列表表示.
师生活动：
1.第（1）小题，学生独立分析思考，函数解析式前面已经完成，这里主要是求自变量的取值范围.引导学生要根据实际问题中自变量的实际意义来确定.
2.第（2）小题，分5个组分别求解并完成列表表示.
解：(1) S=x(6-x)==-x2+6x
由题意边长都是正数，故AB>0且BC>0，因此x>0且6-x>0，解得0(2)当x=1时, S=-x2+6x=-1×12+6×1=5
依次计算可得：x=2时,S=8; x=3时,S=9
x=4时,S=8; x=5时,S=5
列表如下：
x 1 2 3 4 5
S 5 8 9 8 5
问题：观察表格，你发现了什么？表中的数据有什么特点？
可以发现当x分别为1，2，3，4，5时,y的值由大变小再变大；当x=1和 x=5时,S的值是相等的，x=2和x=4时,S的值也是相等的；x=3时S的值最大；还可以发现.
追问：函数的表达式有三种，一种是解析式法，一种就是这里的表格法，还有一种是什么？（图像法）
我们如果把表格中的x,y进行描点，连线，可以发现它的图像不是直线，在接下来的几节课中我们就会利用图像重点研究二次函数的性质.
【设计意图】通过实例进一步巩固加深对概念的理解，初步感知二次函数的特征（性质）。
2.会用待定系数法求二次函数的解析式.
例题2、已知二次函数y=x +bx+c，当x=1时，函数值是4；当x=2时，函数值是-5.求这个二次函数的表达式.
分析：
问题1：要求二次函数的表达式就是求什么？
题目中二次项系数a是已知的，因此求二次函数的表达式只要求出一次项系数b和常数项c的值即可.
问题2：b,c的值如何求呢？
因为当x=1时，函数值是4；当x=2时，函数值是-5，只要把这两组对应值代入函数关系式，就可以得到关于b,c的二元一次方程组，求解即可求出b,c的值.
解：把x=1，y=4和x=2，y=-5分别代入函数y=x +bx+c,得
解这个方程组，得
∴所求二次函数的表达式是y=x -12x+15
教师板书示范,再反思归纳.
1.对于已知的每组对应值满足函数关系式,带入后得到方程（组），一对对应值可以确定一个待定系数.
2.用待定系数法确定二次函数的表达式的步骤：
(1)设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c；
(2)已知三对x，y的值，代入表达式，得到关于a，b，c的方程组；
(3)通过解方程组确定二次函数的系数．
3.一元二次方程和二次函数具有一定的关系：方程ax2＋bx＋c=0可以看成是函数y= ax2＋bx＋c中y=0时得到的.
【设计意图】通过实例进一步巩固加深对概念的理解，求二次函数表达式的策略是把函数问题转化为方程问题.方法是待定系数法.
环节四：巩固练习
1．若y＝(m2＋m)是二次函数，求m的值．
2.已知二次函数y=ax +bx+c，当x=2时，函数值是3；当x=-2时，函数值是2,当x=4时，函数值也是2.求这个二次函数的表达式.
3.如图，在长200米，宽80米的矩形广场内修建等宽的十字形道路，剩余部分为绿地，请写出绿地面积y（m ）与路宽x（m）之间的函数表达式.
答案与解析：
1.根据二次函数的定义，只要满足m2＋m≠0，且m2－m＝2，
y＝(m2＋m)就是二次函数．
解：由题意得
解，得
∴m＝2．
故若y＝(m2＋m)是二次函数，则m的值等于2．
2.解：把x=2，y=3和x=-2，y=2，x=4，y=2,分别代入函数y=ax +bx+c,得
解这个方程组，得
∴所求二次函数的表达式是
3.y=(200-x)(80-x)=x -280x+16000（0＜x＜80）
【设计意图】第1题是针对二次函数概念的巩固练习；通过这题使学生深刻理解，看一个函数是否为二次函数的关键是看二次项系数是否为0，再就一定要注意自变量的最高指数是2
。第2题是针对例2设计的变式练习，巩固用待定系数法来确定二次函数的表达式。第2题是针对例1设计的变式练习.
课堂总结
问题：（1）本节课研究了哪些内容？ 我们是怎样研究的？
（2）何谓二次函数？定义二次函数经历了哪几个步骤？
（3）二次函数与一元二次方程有何区别？ 求二次函数表达式有何经验？
（4）你在学习过程中有何感触？ 你认为还应该研究什么？
今天我们认识了一种新的函数—二次函数，学习了它的定义.知道了二次函数可以看成是从现实生活中抽象出来的，又可以看成是从函数概念中演绎出来的，还可以看成是从变量角度看二次整式的结果.它的本质特征是解析式具有y=ax +bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)的形式.二次函数与一元二次方程的区别是：二次函数刻画的是变量之间的变化关系，一元二次方程刻画的是常量之间的相等关系.求二次函数的表达式有两种题型：一是问题没有告诉函数关系是二次函数，可用列式法求表达式；二是问题告诉了函数关系是二次函数，可用待定系数法求表达式. 由于二次函数与一次函数有许多相似之处，所以研究二次函数的内容与方法可与研究一次函数的内容与方法类比.
【设计意图】用框图的形式总结本节课的全过程，能够及时总结本节课的知识点和思想方法，使学生及时建立知识结构，让学生巩固课堂所学知识，掌握思想方法。
布置作业
配套作业本1.1
教学点评
本节课主要内容是二次函数的概念，二次函数是初中数学代数的重点和难点，本节课作为二次函数内容教学的起始课，必须为学生今后学习二次函数的概念、性质、表达、应用奠定扎实基础。 函数本身就是较抽象的内容，学生不易理解，类比一次函数，可以让学生有参照，找到熟悉感，从而对学好本章内容树立信心. 在教学中，教师的关注点应是学生对二次函数与一次函数之间关系的理解及类比思想的掌握与应用. 类比思想是初中阶段的重要思想，笼统地来说，解决一切新的问题都是在已知问题和已知方法的前提和基础上进行的. 因此， 两个案例都在教学中渗透了类比思想，尤其是概念的类比，让学生学会知识的迁移，在此基础上学会方法的类比，让学生感知解决问题的基本思路，提高学习效率.
案例一根据“课标要求”和教材的意图，以有代表性的实际问题为载体，从学生已有的知识与经验出发，运用教师价值引导与学生自主建构相结合的适度开放的方式，引导学生经历完整的认知过程.
案例二在“定义二次函数”的教学中，既有“观察→归纳→抽象→定义→巩固”的过程，以获得二次函数概念，又有获得概念之后的反思，以感悟获得二次函数概念的思维过程和所蕴含的归纳思想、符号表示思想等及二次函数与一元二次方程的区别.在“尝试概念应用”的教学中，既有“分析→列式→求解”的过程，以解决给定的求函数表达式问题，又有解决问题之后的反思，以积累求函数表达式和自变量取值范围的数学活动经验.这体现了过程教育和以学为中心思想，也遵循了处于归纳层次的概念教学的基本规范.
备课资料
知识拓展
二次函数y= ax2＋bx＋c的二次项系数a、一次项系数b和常数项c：
(1)a决定抛物线的开口方向和大小，a与b决定抛物线对称轴的位置，c决定抛物线与y轴交点的位置.
|a|相同的抛物线全等；a, b同号，抛物线的对称轴(或顶点)即直线在y轴左侧， a, b异号,抛物线的对称轴(或顶点)即直线在y轴右侧，当b=0时，抛物线的对称轴为y轴；当c>0时，抛物线与、轴交于正半轴，当c<0时，抛物线与y轴交于负半轴，当c = 0 时，抛物线与y轴交点为原点，c相同的抛物线均过点(0, c).
a, b相同的抛物线是以顶点为动点的且沿对称轴平移而得到的一组抛物线系.
(2)一元二次方程与二次函数紧密相关.二次方程是二次函数的特殊形式，即把y= ax2＋bx＋c中的y视为一个常数，则二次函数y= ax2＋bx＋c可视为关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c-y=0. 特别地，令y=0,可得图象与x轴交点坐标(x1,0) (x2, 0)，得二次函数的交点式
y=a(x—x1)(x—x2),其中,当 b2—4ac>0 时，抛物线与x轴有两个交
点；当b2—4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点(顶点)；当b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点.
(3)二次项系数a相同的二次函数图象可通过平移互相转化；a互为相反数的二次函数图象， 一个可通过以x轴为对称轴作变换而得到另一个.
合作探究
探究点1 通过对实际问题情境的分析确定确定二次函数的解析式
知识讲解 运用二次函数解决实际问题，首先要用二次函数表示问题中变量之间的关系，然后根据实际问题确定自变量的取值范围，根据自变量求对应的函数值.
典例剖析
例1 已知：如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S米2．则S与x的函数关系式　 　；自变量的取值范围　 　．
解析 由题可知，花圃的宽AB为x米，则BC为（24﹣3x）米．
这时面积S＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x．
∵0＜24﹣3x≤10得≤x＜8，
解题技巧：可先用篱笆的长表示出BC的长，然后根据矩形的面积＝长×宽，得出S与x的函数关系式．
答案： S＝﹣3x2+24x，≤x＜8．
方法归纳：根据已知条件列出二次函数式是解题的关键．在求题中自变量的取值范围时，题目中的补充条件不要丢掉．
类题突破 用长为20米的篱笆，一面靠墙（墙的长度是10米），围成一个长方形花圃，如图，设AB边的长为x米，花圃的面积为y平方米，写出y与x的函数关系式及函数的自变量范围　 　．
点拨:由于靠墙的一边不需要篱笆，即篱笆只用做三方，AB＝x，则BC＝20﹣2x，用矩形面积公式可表示函数式；但0＜BC≤10．
答案解：根据已知得，AB＝x，则BC＝20﹣2x，
所以，矩形面积y＝x（20﹣2x），即y＝﹣2x2+20x；
由于墙的长度是10米，故0＜20﹣2x≤10，解得5≤x＜10．
探究点2 用待定系数法求二次函数的解析式.
知识讲解 待定系数法:一种求未知数的方法。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法.
典例剖析
例2 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）．
求该二次函数的表达式.
解析 :把点A、B、C代入抛物线解析式y＝ax2+bx+c利用待定系数法求解即可；
解题技巧：对于已知的每组对应值满足函数关系式,带入后得到方程（组），一对对应值可以确定一个待定系数.
答案：解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3），
∴，
解得，
所以抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x+3；
方法归纳：用待定系数法求二次函数的解析式步骤:
(1)设二次函数的解析式;
(2)根据已知条件,得到关于待定系数的方程组，
(3)解方程组,求出待定系数的值,从而写出函数的解析式
类题突破:28．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，2）和（﹣1，﹣6）两点，则a+c＝　 　．
点拨:把两点的坐标代入二次函数的解析式，通过把两个方程相加，得出2a+2c＝﹣4，即可得出a+c的值．
答案:解：把点（1，2）和（﹣1，﹣6）分别代入y＝ax2+bx+c（a≠0）得：
相加得：2a+2c＝﹣4，则a+c＝﹣2；
故答案为：﹣2．

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