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数学 拓展模块二
8.5 数学与投资
教学内容 数学与投资
教学目标 了解数学与投资的的密切关系; 认识有关的数学模型在投资方面的应用; 培养学生勇于探索精神、应用意识、创新意识，提升学生数学建模和逻辑推理等核心素养.
教学重难点 重点： 了解数学与投资的的密切关系； 认识有关的数学模型在投资方面的应用. 难点：数学在投资方面的应用.
解决措施 以熟悉的案例导入，感知数学与投资之间的联系，帮助学生体验数学在投资方面的作用，进而引导学生收集数学在投资方面的应用实例，采用研讨性学习、专题活动等方式组织教学，提高学生的动手操作能力.
核心素养 数学在投资方面的应用
教具准备 PPT
教学过程（2课时）
教学环节设计 设计意图 复备
第1课时 （一）创设情境，引入课题 提问1：数学在投资方面的应用表现有哪些？（课前已布置） 引导学生讨论和展示. 教师点评和总结. 创设情境，以讨论和展示的形式，拉近学生的距离，激发学生学习兴趣.
（二）探索研究，掌握新知 【案例8-9】存款问题. 银行年利率为2.25%，一年结息一次，若三年后要得到本利和600元，应存入多少钱？ 讲授新知： 1.货币时间价值的定义和相关符号说明 2.货币的单利公式 3.货币的复利公式 任务1：计算【案例8-9】应存入多少钱？ 引导学生得出结论. 教师点评和总结: 设存入的本金为p，由复利公式移项得 把S=600，r=0.0225和n=3代入，利用计算器计算得 所以应存入561.27元． 4.终值与现值 终值--现有货币（面值p）在n期后的数值，计算公式为． 现值--n期后持有的货币（面值S）现在的价值． 【案例8-10】投资盈亏问题 一处房产价格为21万元，据预测三年后价格将上涨到23万元，某人欲向银行贷款来进行此项投资．设银行贷款利率为5%. 任务2：按复利计算，此项投资能否盈利 引导学生得到结论. 教师点评与总结： 解法一：三年后23万元的现值是 ． 所以现值p小于21万的投资额，不能盈利． 解法二：投资额21万元3年后的终值为 ． 终值大于23万元，即3年后归还银行的本利和超过那时房屋的价值，不能盈利． 5.毛收益、净收益和投资回报率的概念及公式 毛收益：是指投资行为结束时回收，记为． 净收益：是指扣除本金后的收益，记为，且 . 投资回报率：单位投资的净收益，记为，且 . 【案例8-11】投资决策问题 有两套房产，一套报价100万，据评估3年后升值为110万；另一套报价50万，3年后值56万． 任务3：分析【案例8-11】中哪项投资更优？ 引导学生得到结论. 教师总结: 记，分别为两个投资项目的投资额、毛收益和回报率．则投资回报率分别为 ， ． 因为，所以第二项回报率高，优于第一项投资． 案例教学，任务驱动，引导认识数学在投资中的应用，以便作出更优的决策，突破学习重点.
（三）课堂演练，巩固新知 【练习1】P227思考与练习2. 有两套房产，一套报价60万，据评估2年后升值到70万；另一套报价50万，3年后值65万． 任务：请分析哪项投资更优？ 引导学生完成学习任务：教师巡堂指导，同伴督学助学. 教师讲解及点评. 讲练结合，巡堂指导，通过练习突破学习难点.
（四）课堂小结 数学与投资. 巩固新知
布置作业 P227思考与练习1 举一反三
板书设计
教学环节设计 设计意图 复备
第2课时 （一）创设情境，引入课题 【案例8-12】投资组合及风险分析 A，B，C三种股票在过去5年（2015—2019年）的年收益如表8-4所示．假设你在2020年时有一笔资金准备投资这三种股票． 表8-4 股票收益数据 年份收益率ABC201525.00%33.50%28.20%20161.00%18.70%-3.60%201750.30%8.20%19.90%2018-3.50%2.20%10.60%201942.60%35.50%21.80%
请解决以下两个问题： 问题一：若这笔资金按20%、30%、40%的比例投资，计算该投资组合的收益率和风险． 问题二：要求年收益率至少达到20%，那么你应当如何投资确保风险最低？ 引导学生思考. 创设问题情境，案例导入，激发学生学习兴趣.
（二）探索研究，掌握新知 讲授新知： 1.投资组合预期收益概念及公式. ， ． 其中,表示证券的预期收益，表示证券的权重，且，表示证券的数量. 2.资产组合的风险分析 ． 其中,表示协方差,且 ． 3.马克维茨最优投资组合模型 给定收益的条件下，风险最小化模型如下： ， ， ． （2）给定风险的条件下，收益最大化模型如下： ， ， ． 任务1：计算三种股票的年平均收益率. 引导学生得出结论. 教师点评和总结: 三种股票的年平均收益率分别为 ， ， . 任务2：计算三种股票投资组合的年收益率. 引导学生得到结论. 教师点评与总结： 因为三种股票的权重分别为，，. 所以该投资组合的年收益率为 . 任务3：计算三种股票的协方差矩阵和投资组合风险. 引导学生得到结论. 教师点评与总结： . 所以，资产组合的风险（方差）为 . 任务4：建立投资风险最低的模型. 引导学生得到结论. 教师点评与总结： 设三种股票的权重分别为，和，建立投资风险最低的模型为 ， ， . 其中和为已知，由问题一知 ，，. . 任务5：利用Lingo软件求解模型. 引导学生得到结论. 教师点评与总结： 当，，时，此时风险是满足收益为20%时的最优解，即风险. 案例教学，任务驱动，引导认识数学在投资中的应用，以便作出更优的决策，突破学习重点.
（三）课堂小结 投资组合及风险分析. 巩固新知
布置作业 P228思考与练习3 举一反三
板书设计

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