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(共18张PPT)
2.4.1 向量的坐标表示
知识回顾
1、在 ABCD中，用向量、 表示向量
又因为 = ，所以， = + ．
解 根据向量加法的三角形法则可知， = +．
根据向量加法的平行四边形法则可知， = + ．
2、在 ABCD中，用向量、 表示向量
=
探究新知
p
(1,1)
j
i
如图,在平面直角坐标系中分别取x轴、y轴正方向上的两个
单位向量i、j.以原点O为起点做向量 ,
思考： 与两个单位向量i、j之间有什么关系？
探究新知
o
x
y
j
i
p
(1,1)
1
-1
1
-1
M
N
= i
= j
= i+ j
+
=
向量加法的平行四边形法则
如图,在平面直角坐标系中分别取x轴、y轴正方向上的两个
单位向量i、j.以原点O为起点做向量 ,
思考： 与两个单位向量i、j之间有什么关系？
探究新知
B
j
i
= i+ j
(3,2)
p(1,1)
N
M
A
(-5,3)
= x i+ y j
p(x , y)
=3 i+ 2j
B(3,2)
= - 5 i+ 3j
A(-5,3)
如图,在平面直角坐标系中分别取x轴、y轴正方向上的两个
单位向量i、j.以原点O为起点做向量 ,
思考： 与两个单位向量i、j之间有什么关系？
探究新知
同理可得,
根据向量加法的平行四边形法则,有
归纳总结
以原点O为起点的向量 ，
= x i+ y j
p(x , y)
线性表示
小试牛刀
1、 O为坐标原点，写出下列点A的坐标。
(1) ＝－3i＋4j
(2) ＝－i－j
(3) ＝－3i
(4) ＝ 4 j
A (－ 3，4 )
A (－ 1， － 1 )
A (－ 3，0 )
A ( 0，4 )
小试牛刀
2.已知点A坐标,用x轴和y轴正方向上的单位向量i、j线性表示向量
(1) ＝－2i＋5j
(1) A(－ 2，5 )
(2) A(－ 3， － 4 )
(3) A(－ 1，0 )
(4) A( 0，4 )
(2) ＝－3i － 4j
(3) ＝－i
(4) ＝4j
探究新知
思考：起点、终点不在原点的向量又如何表示？
图中向量以A为起点的向量 ，记点A与点B的坐标分别为
(x1 , y1)
(x2 , y2)
D
A
B
B（x2,y2) O (0,0)
横坐标 － x2
纵坐标 － y2
A（x1,y1) D ( , )
横坐标 － x2
纵坐标 － y2
x1 － x2
y1 － y2
x1 － x2 ) i + (y1 － y2 )j
x2 － x1 ) i + (y2 － y1 ) j
探究新知
思考：起点、终点不在原点的向量又如何表示？
A
B
图中向量以A为起点的向量 ，记点A与点B的坐标分别为
(x1 , y1)
(x2 , y2)
归纳总结
对于平面直角坐标系中的任一向量a,都存在着一对有序实数(x,y ),使得a=xi+yj.
我们把有序实数对称为向量a的坐标.方便起见,
常把向量a用它的坐标( x , y )表示,即a =( x , y ).
前图中，
讲授新知
起点、终点不在原点的向量
起点在原点的向量
等于终点坐标
等于终点坐标 - 起点坐标
例题分析
例1
对应练习
1、已知两点A与B的坐标，求 的坐标.
(1) A( 1 , 5 ) , B( 3 ,1 );
(2) A( 5 , 3 ) , B( 4 , 5 );
(3) A( 2 , 6 ) , B( 3 , 4 );
(4) A( 4 , 3 ) , B( 1 , 6 );
相反
= ( 2, 4 )
= ( 9, 2 )
= ( 1, 10 )
= ( 3, 9 )
= ( 2, 4 )
= ( 9, 2 )
= ( 1, 10 )
= ( 3, 9 )
变式练习
1、设 ＝( 4,6)，且点B的坐标为( 1 , 2 ) ，求点A的坐标 .
解：设点A（x , y )
x = 3
y = 4
1 x =4,
2 y =6
∴ A（ 3 , 4 )
思路：设未知数
建立方程
课堂小结
对于平面直角坐标系中的任一向量a，都存在着一对有序实数(x，y)
使得a＝________. 即a＝________.
xi＋yj
(x，y)
1、向量的坐标表示
3、思想方法
(1) 起点在原点，P(x，y) ， 则 ＝________.
(x，y)
2、向量坐标的求法
(2) 起点终点都不在原点， A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
则 ＝____________________＝________________. ，
(x2－x1)i＋(y2－y1)j
(x2－x1，y2－y1)
类比、建立方程、数形结合
等于终点坐标 - 起点坐标
思维拓展
1 如图所示, ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为(2,3)、( 2,1)、( 1,0),求第四个顶点D 的坐标.高二 年级 班 数学科 教案
课题： 2.4.1 向量的坐标表示 上课时间： 年 月 日
班级： 设计者： 第 1 课时 累计 2 课时
教学内容 本节课内容选自中等职业学校公共基础课程教材，高等教育出版社《拓展模块》上册第2章第4节第1课时《向量的坐标表示》内容。本节内容在教材结构上，起到一个承上启下的重要作用。学生在之前的学习中已掌握一些关于向量概念和线性运算的内容，本节课在平面直角坐标系中进一步帮助学生感知向量的坐标表示，为后面的学习打下基础。
学情分析 首先学生在之前已经掌握一些平面几何的基本知识，并且已经学习了向量的概念、线性运算，为本节课的学习奠定了一定的知识基础，有一定的分析、推理、归纳能力。高中生有较强的好奇心和求知欲，所以在教学过程中，我们可以联系具体实例，将向量知识与坐标系知识联系起来，进一步归纳总结，采用生动有趣的实例来引入向量坐标表示的学习，激发学生学习数学的思考。进一步让学生理解向量与坐标系的综合应用知识形式。
教学目标 素质目标 1、让学生在探索中体验探究的艰辛和成功的乐趣，培养学生坚持不懈的求索精神和合作交流的团队精神，提高学生的数学素养。 2、让学生体会数形结合的数学逻辑，体会从特殊到一般，从一般到特殊的认识规律，提高数学运算和逻辑推理等核心素养．
知识目标 1、了解向量坐标的表示方法， 2、会求向量的坐标，能够区分向量与点的坐标，解决简单题型
能力目标 1.通过经历探究活动，使学生归纳出向量的坐标方法，体会数形结合、从特殊到一般的认识规律，发展学生归纳推理、逻辑思维能力。 2.在解决问题的过程中要形成是数形结合、严谨的思维习惯，加深理解知识要点，增强应用意识。
教学重点 向量的坐标表示，向量坐标的求法
教学难点 掌握向量坐标的求法，以及区分点的坐标，向量坐标的简单运用
教学策略 自主探究法、任务驱动法、合作探究、讲授法、练习法等
设计意图 首先通过联系数轴上的点、平面直角坐标系的点，引导学生思考向量的坐标如何表示？通过平面直角坐标系的点，引发学生思考，由特殊的数字出发，让学生类比，体会由特殊到一般的数学规律，培养学生猜测、归纳、证明等核心素养；师生共同归纳分析以原点为起点的向量的坐标表示方法。进而归纳出原点不在起点的两点的向量坐标表示方法，培养学生数学建模等核心素养；通过例题和练习题、变式题帮助学生熟悉向量的坐标表示和综合应用，查漏补缺，培养学生总结学习过程能力；最后通过布置作业巩固提高，查漏补缺。
教学过程
教学环节 教师主导活动 学生主体活动
课 前 1、回顾知识，向量的加法法则和向量的减法法则 2、预习书本40-41页向量坐标表示内容。 3、可以自主完成书本上的课后习题。 自主预习 思考问题 标注疑问部分
课 中 知识回顾 （2分钟） 1、在 ABCD中，用向量、 表示向量 2、在 ABCD中，用向量、 表示向量 积极思考 回答问题
探索新知 （一） （7分钟） 如图所示，观察点P的坐标 在平面直角坐标系中分别取x轴、y轴上的两个单位向量i、j.以原点O为起点做向量，向量与两个单位向量i、j之间有什么关系呢？ 观察图象，点B的坐标？ 点A的坐标 由特殊到一般 p(x , y) 猜测 证明： 过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为 M、N.由于向量与i共线，并且的模等于| x |，；同理可得，.根据向量加法的平行四边形法则，有 结论： 思考 回答问题 在导学案上作图完成 积极思考 写好结论
小试牛刀 （2分钟） 1、 O为坐标原点，写出下列点A的坐标。 2.已知点A坐标,用x轴和y轴正方向上的单位向量i、j线性表示向量 学生口答 看谁反应快
探索新知 （二） (8分钟） 思考：起点、终点不在原点的向量又如何表示？ 进一步，对于图中所示的以A为起点的向量，记点A 与点B的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)，则有 引导：联系刚刚讲过的以原点为起点的向量 情况一： 有可能有同学说平移，展示平移的过程，带领学生一起讲解。 情况二：利用向量的减法法则 归纳新知识： 因此，对于平面直角坐标系中的任一向量a，都存在着一对有序实数(x,y)，使得a= xi+yj. 我们把有 序实数对称为向量a的坐标. 方便起见，常把向量a用它的坐标(x,y)表示，即a=(x,y). 温馨提示 在上图中，0=(0,0)，i=(1,0)，j=(0,1)； =(x,y)， =(x2-x1, y2-y1). 总结向量坐标的求法
积极思考 动笔画图 写好过程 做好笔记
例题分析 （3分钟） 例 1 已知两点A(-2,3)、B(3,1)，求向量和的坐标. 回答问题 的同时老师板书
对应练习 （5分钟） (1) A( 1 , 5 ) , B( 3 ,1 ); (2) A( 5 , 3 ) , B( 4 , 5 ); (3) A( 2 , 6 ) , B( 3 , 4 ); (4) A( 4 , 3 ) , B(1 , -6 ); 学生自主完成 上台展示
变式练习 （5分钟） 学生上台展示
课堂小结（2分钟） 本节课你有哪些收获？ 教师补充并总结归纳 学生自主发言
思维拓展 (6分钟) 1、如图所示, ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为(2,3)、( 2,1)、( 1,0),求第四个顶点D 的坐标. 引导学生利用多种方法求解 可以利用平行四边形定义求解 也可以利用向量的加法法则 积极思考 小组讨论 合作交流 派代表讲思路
课 后 义务帮扶 查漏补缺 巩固本堂课知识点
作业布置 导学案P28 完成时间 当天
板书设计 向量的坐标表示 一、向量的坐标表示 例题 二、向量坐标的求法 练习 三、数学思想：
教后反思

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