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1.4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质
7种常见考法归类
课程标准 学习目标
借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦)的定义，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值．借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式． 通过本节课的学习，要求掌握三角函数的定义及会求任意角的三个三角函数值，并能准确判断任意角的三角函数值的符号，能够求三角函数的简单性质及诱导公式的应用
知识点01任意角的正弦函数和余弦函数
1．给定任意角α，角α的终边与单位圆的交点为P(u，v)，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的，则v＝sin a，u＝cos a．
2．利用角的终边上任意一点的坐标定义正、余弦函数
如图所示，在角α终边上任取一点P(x，y)，设|OP|＝r，则sin α＝＝，cos α＝＝
．
【即学即练1】已知点是角α的终边与单位圆的交点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据余弦函数的定义直接进行求解即可.
【解析】因为点是角α的终边与单位圆的交点，
所以 ，
故选：B
【即学即练2】已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据三角函数的定义，可直接求解.
【详解】
根据三角函数的定义，角的终边经过点，，
所以.
故选：C
【即学即练3】若角的终边经过点，则_______，______．
【答案】
【分析】
根据，得到，然后利用三角函数定义求解.
【详解】
因为，
所以，
则．
答案：
【即学即练4】在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据三角函数定义求解即可.
【详解】
角的终边经过点，即，则.
故选：A.
【即学即练5】已知角的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用三角函数的定义求解.
【详解】
因为角的终边过点，
所以，
所以，
故选：B
【即学即练6】若，且角的终边经过点，则P点的横坐标x是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角函数的定义列方程求解即可.
【解析】由三角函数的定义可得：
，
解得，
故选：A
知识点02　正弦函数、余弦函数的基本性质
1．定义域：R．
2．最大(小)值：当α＝2k+(k∈Z)时，正弦函数v＝sin α取得最大值1；
当α＝2k(k∈Z)时，正弦函数v＝sin α取得最小值1.
当α＝2k(k∈Z)时，余弦函数u＝cos α取得最大值1；当α＝(2k+1) (k∈Z)时，余弦函数取得最小值1．
3．值域：[1,1]．
4．周期性：对任意k∈Z，sin (α＋2kπ)＝sin a ，α∈R；对任意k∈Z，cos (α＋2kπ)＝cos a，α∈R，最小正周期为2.
5．单调性：正弦函数在区间(k∈Z) 上单调递增，在区间(k∈Z)上单调递减．余弦函数在区间[2k] (k∈Z) 上单调递增，在区间[] (k∈Z)上单调递减．
【即学即练7】求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合，并分别写出最大值、最小值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
【分析】（1）（2）根据正弦函数的性质计算可得；
（3）（4）根据余弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）因为，
当，即，时，函数取得最小值，
当，即，时，函数取得最大值，
即函数取得最大值的的集合为，
函数取得最小值的的集合为；
（2）因为，
当，即，时，函数取得最小值，
当，即，时，函数取得最大值，
即函数取得最大值的的集合为，
函数取得最小值的的集合为；
（3）因为，
当，即，时，函数取得最大值，
当，即，时，函数取得最小值，
即函数取得最小值的的集合为，
函数取得最大值的的集合为；
（4）因为，
当，即，时，函数取得最小值，
当，即，时，函数取得最大值，
即函数取得最小值的的集合为，
函数取得最大值的的集合为；
【即学即练8】已知函数的最小值为，最大值为2，求、的值.
【答案】.
【分析】根据正弦函数的性质求解.
【详解】由题意得，解得.
知识点03　正弦函数值和余弦函数值的符号
注：对三角函数值符号的理解
三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．根据三角函数定义知：
(1)正弦值符号取决于纵坐标y的符号；
(2)余弦值的符号取决于横坐标x的符号．
【即学即练9】若，则是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】C
【分析】根据三角函数在各个象限的正负性求解即可.
【解析】因为，所以在第三象限或第四象限，或终边为y轴非正半轴，
因为，所以在第二象限或第三象限，或终边为y轴非正半轴，
所以是第三象限角.
故选：C
【即学即练10】已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－2,3] B．(－2,3)
C．[－2,3) D．[－2,3]
【答案】A
【解析】　∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．
∴∴－2【即学即练11】“角是第一或第三象限角”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】
利用充分条件和必要条件的定义，结合象限角的正弦、余弦的正负情况进行判断即可.
【详解】
角是第一象限角时，，则；若角是第三象限角，，则.故“角是第一或第三象限角”是“”的充分条件.
若，即或，所以角是第一或第三象限角.故“角是第一或第三象限角”是“”的必要条件.
综上，“角是第一或第三象限角”是“”的充要条件.
故选:C.
知识点04 诱导公式
1.特殊角的终边的对称关系
（1）角－α的终边与角α的终边关于x轴对称．
（2）角α±π的终边与角α的终边关于原点对称．
（3）角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称．
2.　－α、α±π、π－α的诱导公式
－α：sin (－α)＝－sinα
cos (－α)＝cos α
α＋π：sin (α＋π)＝－sin α
cos (α＋π)＝－cos α
α－π：sin (α－π)＝－sin α
cos (α－π)＝－cos α
π－α：sin (π－α)＝sin α
cos (π－α)＝－cos α
注：①记忆方法：－α、α±π、π－α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“函数名不变，符号看象限”．
②解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若α看成锐角，则π＋α的终边在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin (π＋α)＝－sin α.
3.±α与α的诱导公式
sin ＝cos a，cos ＝sin a．
sin ＝cos a，cos ＝-sin a．
注：(1)记忆口诀：“函数名改变，符号看象限”．
(2)诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握，灵活变通．
(3)这八组诱导公式可归纳为“k·90 °±α(k∈Z)”的三角函数值与α的三角函数值之间的关系．当k为偶数时得角α的同名三角函数值，当k为奇数时得角α的异名三角函数值，然后在前面加上一个把角α看成锐角时原三角函数值的符号，可简记为“奇变偶不变，符号看象限”．
【即学即练12】已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用三角函数诱导公式即可求得的值.
【解析】
故选：C
【即学即练13】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由得，然后利用诱导公式计算即可.
【解析】因为，
所以，
所以
，
故选：D.
【即学即练14】化简的结果是________.
【答案】0
【分析】
利用诱导公式和辅助角公式化简即可求值.
【详解】
故答案为：0
【点睛】
本题主要考查三角函数的诱导公式和辅助角公式，属于中档题.
题型一：已知角求三角函数值
例1.点P从点出发，绕以坐标原点为圆心的单位圆顺时针旋转到达点Q，则点Q的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意得为终边的一个角为， 设，根据三角函数的定义可求出结果.
【解析】根据题意得为终边的一个角为， 设，
根据三角函数的定义可得，，则，，
所以.
故选：C
【方法技巧与总结】
作出角α的终边与单位圆相交，求出交点坐标，利用正、余弦函数的定义求解．
题型二：已知角α终边上一点求三角函数值
例2.已知角的终边与单位圆的交点为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意结合任意角三角函数的定义可求出，然后代入求解即可.
【解析】因为角的终边与单位圆的交点为，
所以，所以.
故选：C
变式1.在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用三角函数的定义可求得的值.
【详解】
由三角函数的定义可得.
故选：B.
变式2.已知角α的终边经过点（–8，–6），则cos α的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题设知x=–8，y=–6，所以r=，所以cos α=，故选C.
【名师点睛】利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值时，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r．若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意“在终边上任取一点”应分两种情况（点所在象限不同）进行分析．
变式3.角的终边落在射线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
可在角终边上取一点，由正弦函数定义得出结论．
【详解】
由题意在终边上取点，则，
所以．
故选：A．
变式4. 是第二象限角，其终边上一点，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据三角函数的定义求出的值，再利用三角函数的定义可求得的值.
【详解】
由题意可知，，解得，
因此，.
故选：A.
变式5.已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，且cos θ＝－，若点M(x，8)是角θ终边上一点，则x等于（ ）
A．－12 B．－10 C．－8 D．－6
【答案】D
【分析】
直接利用三角函数的定义的应用求出x的值．
【详解】
角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，且，
若点M（x，8）是角θ终边上一点，
则：x＜0，利用三角函数的定义：，
解得：x=-6．
故选：D．
【方法技巧与总结】
已知α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法
(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．
(2)在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)．则sin α＝，cos α＝. 已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．
(3)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
题型三：正弦函数、余弦函数基本性质的应用
例3.下列函数哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些既不是奇函数也不是偶函数？
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)既不是奇函数，又不是偶函数
(2)奇函数
(3)偶函数
(4)偶函数
【分析】先看定义域是否关于原点对称，再利用奇函数和偶函数的定义进行判断.
【详解】（1）定义域为R，
又，且，
故既不是奇函数，又不是偶函数；
（2）的定义域为R，
又，故为奇函数；
（3）定义域为R，
且，故为偶函数；
（4）定义域为R，
且，故为偶函数.
变式1.求下列函数的最小值及取得最小值时自变量x的集合：
（1）；
（2）.
【答案】（1）最小值为，自变量x的集合为；（2）最小值为1，自变量x的集合为.
【分析】根据正、余弦函数的图象与性质即可求解；
【详解】解：（1）因为，
所以当时，函数取得最小值为，此时自变量x的集合为；
（2）因为，
所以当时，函数取得最小值为1，此时自变量x的集合为，即.
变式2.求下列函数的单调区间：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】根据正弦与余弦函数的单调区间逐个分析即可.
【详解】（1）单调性与相同，故其单调增区间为，单调减区间为.
（2）单调性与相反，故其单调增区间为，单调减区间为.
（3）单调性与相同，故其单调增区间为，单调减区间为.
（4）单调性与相反，故其单调增区间为，单调减区间为.
变式3.已知函数的最大值是0，最小值是，求的值．
【答案】或．
【分析】分和两种情况列方程组求解即可
【详解】当时，
解得
当时，
解得
所以或．
变式4.已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)当x[0,2π]时，求函数的最大值及取得最大值时的值.
【答案】(1)；
(2)，.
【分析】(1)根据正弦型函数的周期的性质即可求解；
(2)根据正弦函数的图像性质即可求f(x)在[0,2π]上的最大值.
【详解】（1）；
（2）由图象可知，当x[0，2π]时，
在时，.
变式5.比较下列各组数的大小：
(1)，；
(2)，.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）利用诱导公式得，，由函数在上的单调性，比较余弦值的大小；
（2）由诱导公式得，利用函数在上的单调性，比较正弦值的大小.
【详解】（1），，
因为，而在上单调递减，
所以，即.
（2）因为，而且在上单调递增，
所以，即.
【方法技巧与总结】
对于形如y＝a sin x＋b的函数性质的研究可借助y＝sin x的性质．要清楚a，b对函数y＝a sin x＋b的影响，若参数不确定还要注意分类讨论．
题型四：正、余弦函数值的符号判断及应用
例4.已知且，则角的终边所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】依据题设及三角函数的定义，可知角终边上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，
所以终边在第二象限，故选B．
变式1.若为第三象限角，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据为第三象限角，得出的范围，从而求出的范围，再根据各象限角的三角函数值的符号即可得出答案.
【详解】
解：因为为第三象限角，则，
所以，
则为第一、第二象限以及y轴正半轴角，则.
故选：D.
变式2.已知角在第二象限，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】根据三角函数在第二象限的符号，即可得出答案.
【解析】因为角在第二象限，所以有，.
故选：B.
变式3.已知，则点在第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】D
【分析】首先判断位于第四象限，再根据各象限三角函数的符号特征判断即可.
【解析】因为，所以为第四象限角，
所以，，
所以点位于第四象限；
故选：D
【方法技巧与总结】
一个角的正、余弦函数值的符号取决于这个角的终边所在的象限，可用口诀简记为“一全正，三全负，二正弦，四余弦”(即第一象限角的正、余弦值全为正值，第三象限角的正、余弦值全为负值，第二象限角的正弦值为正，第四象限角的余弦值为正．
题型五：利用诱导公式求值
给角求值
例5.sin585°的值为（ ）
A．－ B．
C．－ D．
【答案】A
【解析】sin585°=sin（360°+180°+45°）=sin（180°+45°）=－sin45°=－．故选A．
【名师点睛】①三角式的化简通常先用诱导公式，将角度统一后再用同角三角函数关系式，这可以避免交错使用公式时导致的混乱．②在运用公式时正确判断符号至关重要．③三角函数的化简、求值是三角函数中的基本问题，也是高考常考的问题，要予以重视．
变式1.若，则的值为（ ）
A．或 B．
C． D．或
【答案】A
【分析】
利用诱导公式得到，再根据余弦函数计算可得；
【详解】，，，或，
，或.故选：A．
给值求值
例6.已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据诱导公式可求出结果.
【解析】 .
故选：A
变式1.已知，，则=______.
【答案】
【分析】根据三角函数的诱导公式和特殊角的三角函数值即可计算.
【解析】，，，
又，，
.
故答案为：.
变式2.已知，则（ ）
A．± B． C． D．
【答案】D
【分析】由利用诱导公式计算可得.
【解析】因为，所以.
故选：D
变式3.已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
所以．选B．
变式4.已知，则（ ）
A．a B．-a
C． D．不确定
【答案】B
【分析】
用诱导公式求解即可.
【详解】
因为，
所以
故选：B
变式5.设，其中a、b、α、β为非零常数．若，则 ________.
【答案】3
【分析】
由结合诱导公式，可得1，可得答案.
【详解】
由，有
=
=.
即.
又
=+2=3.
故答案为：3.
【点睛】
本题考查利用诱导公式进行化简求值，整体代换的方法，属于中档题.
【方法技巧与总结】
1、利用诱导公式解决给角求值问题的方法
(1)“负化正”，用－α的诱导公式；
(2)“大化小”，用2kπ＋α(k∈Z)的诱导公式将角化为0到2π间的角；
(3)“小化锐”用π±α的诱导公式将大于的角转化为锐角；
(4)“锐角求值”．
2、解决条件求值问题的方法
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
题型六：利用诱导公式化简
例7.已知，则＝（ ）
A．-7 B． C． D．5
【答案】D
【分析】
先通过诱导公式对等式进行化简，进而弦化切求出正切值，然后对所求式子进行弦化切，最后得到答案.
【详解】
由题意，，
则.
故选：D.
变式1.化简__．
【答案】
【分析】依据诱导公式对原式进行化简计算.
【解析】．
故答案为：.
变式2.已知的终边上有一点，则的值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【分析】根据三角函数的定义及诱导公式化简求值即可.
【解析】因为的终边上有一点，
所以，
所以，
故选：C
【方法技巧与总结】
(1)三角函数式化简的关键是抓住2kπ＋α(k∈Z)，－α，α±π，π－α这几组的诱导公式，它们的特点都是同名间的关系，不同的是符号的变化．
(2)对于π±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名．
题型七：诱导公式的综合应用
例8.已知．
（1）化简；
（2）若为第四象限角且，求的值；
（3）若，求．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）根据诱导公式化简即可；
（2）由诱导公式得，再代入（1）即可得答案；
（3）代入（1），利用诱导公式化简求值即可.
【详解】
（1）．
（2）因为，
所以．
（3）因为，，
所以
．
变式1.已知.
（1）化简；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用诱导公式化简；
（2）结合同角三角函数的基本关系式求得所求表达式的值.
【详解】
（1）
（2），
两边平方并化简得，
.
【点睛】
本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，属于中档题.
一、单选题
1．（2024·全国·高三专题练习）的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据诱导公式，以及特殊角的三角函数值，即可得答案.
【详解】，
故选：D
2．（2024下·浙江温州·高一浙江省乐清中学校联考开学考试）“”是“是第一象限角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据象限角、充分和必要条件等知识确定正确答案.
【详解】，
是第一象限角，
所以“”是“是第一象限角”的必要不充分条件.
故选：B
3．（2024上·湖北·高一校联考期末）若是第四象限角，则点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根据的符号确定正确答案.
【详解】由于是第四象限角，所以，
所以在第二象限.
故选：B
4．（2024上·江苏南通·高一统考期末）若角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由三角函数定义可得、，即可得解.
【详解】由角的终边经过点，故，
，
故.
故选：C.
5．（2024上·山西吕梁·高一统考期末）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角函数的定义可得，进而由诱导公式即可求解.
【详解】根据题意，由三角函数的单位圆定义得：，
，
故选：D．
6．（2024上·安徽六安·高一六安二中校考期末）如图所示，在平面直角坐标系中，动点、从点出发在单位圆上运动，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，则、两点在第4次相遇时，点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】计算相遇时间，再确定转过的角度，结合三角函数的定义即可求解.
【详解】相遇时间为秒，
故转过的角度为，
其对应的坐标为，即.
故选：C
7．（2024·全国·高三专题练习）若，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即得.
【详解】由，得.
故选：C
8．（2024下·湖北·高一湖北省汉川市第一高级中学校联考开学考试）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用诱导公式求解即可.
【详解】.
故选：C
9．（2024上·河南·高三专题练习）若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据诱导公式即可求解.
【详解】因为，.
故选:C.
10．（2024上·湖北武汉·高一校联考期末）若角的终边经过函数（且）的图象上的定点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先得，进一步结合三角函数定义即可求解.
【详解】由题意令，得，而此时，
所以，角的终边经过定点，
所以，
所以.
故选：C.
二、多选题
11．（2024上·四川德阳·高一统考期末）若，则可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根据选项逐个求解正弦值即可判断.
【详解】对于A，，符合题意；对于B，，不合题意；
对于C，，不合题意；对于D，，符合题意；
故选：AD
12．（2024上·河南开封·高一统考期末）下列与的值相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】借助诱导公式逐个计算即可得.
【详解】，故A正确；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确；
故选：AD.
13．（2024上·河北张家口·高一统考期末）已知，则在直角坐标系中角的终边可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】BD
【分析】由同角三角函数的平方关系得，可得，由此得到角的终边可能所在的象限.
【详解】由，
得.
故，所以角可能在第二或第四象限.
故选：BD.
三、填空题
14．（2024上·吉林延边·高一统考期末）若，则 .
【答案】/
【分析】利用换元法，结合三角函数的诱导公式化简求值即可得解.
【详解】因为，
令，则，，
所以.
故答案为：.
15．（2024上·全国·高一专题练习）设，均为实数，若，则的值为 ．
【答案】6
【分析】代入，结合诱导公式得到，从而得到.
【详解】因为，
所以，解得，
又
所以.
故答案为：6
16．（2024下·上海·高一假期作业）化简： .
【答案】
【分析】根据诱导公式化简求值.
【详解】原式=.
故答案为：
17．（2024上·全国·高一专题练习）设，求的值为 .
【答案】/0.5
【分析】利用诱导公式化简，然后代入求值即可.
【详解】因为.
，
所以.
故答案为：.
四、解答题
18．（2024上·河南郑州·高一统考期末）已知，求的值．
【答案】
【分析】根据诱导公式将条件式化简得代入求解的式子得解.
【详解】由诱导公式可得，，
则．
19．（2024上·山东滨州·高一统考期末）在平面直角坐标系中，已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角函数的定义可求得、的值，即可得出的值；
（2）由三角函数的定义求出的值，利用诱导公式结合弦化切可求得所求代数式的值.
【详解】（1）解：设点与原点的距离为，则.
所以，，，
所以，.
（2）解：由条件得.
则
.
20．（2024下·上海·高一假期作业）如图，已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至. 求点的坐标.
【答案】
【分析】利用任意角三角函数的定义结合诱导公式处理即可.
【详解】如图，由，在单位圆中满足，.
这样对点，有，
.
所以，点的坐标为.
21．（2024上·湖南张家界·高一统考期末）如图，已知单位圆O与x轴正半轴交于点M，点A，B在单位圆上，其中点A在第一象限，且，记，.
(1)若，求点的坐标；
(2)若点A的坐标为，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）应用三角函数定义，求角的余弦与正弦值，可得单位圆与终边交点的坐标；
（2）先由点在单位圆上求得，再利用三角函数定义与诱导公式求解.
【详解】（1）∵，
∴，，故点坐标为.
（2）∵点在单位圆上，得，
又∵点位于第一象限，，则，
∴点A的坐标为，即，，
∴，
∴.
22．（2024上·湖北·高一校联考期末）已知角的终边经过点，求：
(1)的值
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角函数的定义求得，从而求得正确答案.
（2）利用诱导公式求得正确答案.
【详解】（1）依题意，角的终边经过点，
所以，
所以.
（2）
.
23．（2024上·山东淄博·高一统考期末）已知角的始边与x轴的正半轴重合，终边过定点．
(1)求、的值；
(2)求的值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由求出点的值，结合三角函数定义可得；
（2）利用诱导公式化简可得.
【详解】（1）由题意知，因角的终边与轴的正半轴重合，且终边过点，
则点到原点的距离，
则，
；
（2）
.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)1.4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质
7种常见考法归类
课程标准 学习目标
借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦)的定义，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值．借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式． 通过本节课的学习，要求掌握三角函数的定义及会求任意角的三个三角函数值，并能准确判断任意角的三角函数值的符号，能够求三角函数的简单性质及诱导公式的应用
知识点01任意角的正弦函数和余弦函数
1．给定任意角α，角α的终边与单位圆的交点为P(u，v)，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的，则v＝sin a，u＝cos a．
2．利用角的终边上任意一点的坐标定义正、余弦函数
如图所示，在角α终边上任取一点P(x，y)，设|OP|＝r，则sin α＝＝，cos α＝＝
．
【即学即练1】已知点是角α的终边与单位圆的交点，则（ ）
A． B． C． D．
【即学即练2】已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【即学即练3】若角的终边经过点，则_______，______．
【即学即练4】在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【即学即练5】已知角的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
【即学即练6】若，且角的终边经过点，则P点的横坐标x是（ ）
A． B． C． D．
知识点02　正弦函数、余弦函数的基本性质
1．定义域：R．
2．最大(小)值：当α＝2k+(k∈Z)时，正弦函数v＝sin α取得最大值1；
当α＝2k(k∈Z)时，正弦函数v＝sin α取得最小值1.
当α＝2k(k∈Z)时，余弦函数u＝cos α取得最大值1；当α＝(2k+1) (k∈Z)时，余弦函数取得最小值1．
3．值域：[1,1]．
4．周期性：对任意k∈Z，sin (α＋2kπ)＝sin a ，α∈R；对任意k∈Z，cos (α＋2kπ)＝cos a，α∈R，最小正周期为2.
5．单调性：正弦函数在区间(k∈Z) 上单调递增，在区间(k∈Z)上单调递减．余弦函数在区间[2k] (k∈Z) 上单调递增，在区间[] (k∈Z)上单调递减．
【即学即练7】求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合，并分别写出最大值、最小值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【即学即练8】已知函数的最小值为，最大值为2，求、的值.
知识点03　正弦函数值和余弦函数值的符号
注：对三角函数值符号的理解
三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．根据三角函数定义知：
(1)正弦值符号取决于纵坐标y的符号；
(2)余弦值的符号取决于横坐标x的符号．
【即学即练9】若，则是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【即学即练10】已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－2,3] B．(－2,3)
C．[－2,3) D．[－2,3]
【即学即练11】“角是第一或第三象限角”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
知识点04 诱导公式
1.特殊角的终边的对称关系
（1）角－α的终边与角α的终边关于x轴对称．
（2）角α±π的终边与角α的终边关于原点对称．
（3）角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称．
2.　－α、α±π、π－α的诱导公式
－α：sin (－α)＝－sinα
cos (－α)＝cos α
α＋π：sin (α＋π)＝－sin α
cos (α＋π)＝－cos α
α－π：sin (α－π)＝－sin α
cos (α－π)＝－cos α
π－α：sin (π－α)＝sin α
cos (π－α)＝－cos α
注：①记忆方法：－α、α±π、π－α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“函数名不变，符号看象限”．
②解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若α看成锐角，则π＋α的终边在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin (π＋α)＝－sin α.
3.±α与α的诱导公式
sin ＝cos a，cos ＝sin a．
sin ＝cos a，cos ＝-sin a．
注：(1)记忆口诀：“函数名改变，符号看象限”．
(2)诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握，灵活变通．
(3)这八组诱导公式可归纳为“k·90 °±α(k∈Z)”的三角函数值与α的三角函数值之间的关系．当k为偶数时得角α的同名三角函数值，当k为奇数时得角α的异名三角函数值，然后在前面加上一个把角α看成锐角时原三角函数值的符号，可简记为“奇变偶不变，符号看象限”．
【即学即练12】已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
【即学即练13】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【即学即练14】化简的结果是________.
题型一：已知角求三角函数值
例1.点P从点出发，绕以坐标原点为圆心的单位圆顺时针旋转到达点Q，则点Q的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
作出角α的终边与单位圆相交，求出交点坐标，利用正、余弦函数的定义求解．
题型二：已知角α终边上一点求三角函数值
例2.已知角的终边与单位圆的交点为，则（ ）
A． B． C． D．
变式1.在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
变式2.已知角α的终边经过点（–8，–6），则cos α的值为（ ）
A． B．
C． D．
变式3.角的终边落在射线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
变式4. 是第二象限角，其终边上一点，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
变式5.已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，且cos θ＝－，若点M(x，8)是角θ终边上一点，则x等于（ ）
A．－12 B．－10 C．－8 D．－6
【方法技巧与总结】
已知α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法
(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．
(2)在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)．则sin α＝，cos α＝. 已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．
(3)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
题型三：正弦函数、余弦函数基本性质的应用
例3.下列函数哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些既不是奇函数也不是偶函数？
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
变式1.求下列函数的最小值及取得最小值时自变量x的集合：
（1）；
（2）.
变式2.求下列函数的单调区间：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
变式3.已知函数的最大值是0，最小值是，求的值．
变式4.已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)当x[0,2π]时，求函数的最大值及取得最大值时的值.
变式5.比较下列各组数的大小：
(1)，；
(2)，.
【方法技巧与总结】
对于形如y＝a sin x＋b的函数性质的研究可借助y＝sin x的性质．要清楚a，b对函数y＝a sin x＋b的影响，若参数不确定还要注意分类讨论．
题型四：正、余弦函数值的符号判断及应用
例4.已知且，则角的终边所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
变式1.若为第三象限角，则（ ）
A． B． C． D．
变式2.已知角在第二象限，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
变式3.已知，则点在第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【方法技巧与总结】
一个角的正、余弦函数值的符号取决于这个角的终边所在的象限，可用口诀简记为“一全正，三全负，二正弦，四余弦”(即第一象限角的正、余弦值全为正值，第三象限角的正、余弦值全为负值，第二象限角的正弦值为正，第四象限角的余弦值为正．
题型五：利用诱导公式求值
给角求值
例5.sin585°的值为（ ）
A．－ B．
C．－ D．
变式1.若，则的值为（ ）
A．或 B．
C． D．或
给值求值
例6.已知，则（ ）
A． B． C． D．
变式1.已知，，则=______.
变式2.已知，则（ ）
A．± B． C． D．
变式3.已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
变式4.已知，则（ ）
A．a B．-a
C． D．不确定
变式5.设，其中a、b、α、β为非零常数．若，则 ________.
【方法技巧与总结】
1、利用诱导公式解决给角求值问题的方法
(1)“负化正”，用－α的诱导公式；
(2)“大化小”，用2kπ＋α(k∈Z)的诱导公式将角化为0到2π间的角；
(3)“小化锐”用π±α的诱导公式将大于的角转化为锐角；
(4)“锐角求值”．
2、解决条件求值问题的方法
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
题型六：利用诱导公式化简
例7.已知，则＝（ ）
A．-7 B． C． D．5
变式1.化简__．
变式2.已知的终边上有一点，则的值为（ ）
A． B． C． D．4
【方法技巧与总结】
(1)三角函数式化简的关键是抓住2kπ＋α(k∈Z)，－α，α±π，π－α这几组的诱导公式，它们的特点都是同名间的关系，不同的是符号的变化．
(2)对于π±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名．
题型七：诱导公式的综合应用
例8.已知．
（1）化简；
（2）若为第四象限角且，求的值；
（3）若，求．
变式1.已知.
（1）化简；
（2）若，求的值.
一、单选题
1．（2024·全国·高三专题练习）的值（ ）
A． B． C． D．
2．（2024下·浙江温州·高一浙江省乐清中学校联考开学考试）“”是“是第一象限角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024上·湖北·高一校联考期末）若是第四象限角，则点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2024上·江苏南通·高一统考期末）若角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024上·山西吕梁·高一统考期末）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，那么等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2024上·安徽六安·高一六安二中校考期末）如图所示，在平面直角坐标系中，动点、从点出发在单位圆上运动，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，则、两点在第4次相遇时，点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·全国·高三专题练习）若，则（ ）
A．1 B． C． D．
8．（2024下·湖北·高一湖北省汉川市第一高级中学校联考开学考试）已知，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2024上·河南·高三专题练习）若，则（　　）
A． B． C． D．
10．（2024上·湖北武汉·高一校联考期末）若角的终边经过函数（且）的图象上的定点，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．（2024上·四川德阳·高一统考期末）若，则可以为（ ）
A． B． C． D．
12．（2024上·河南开封·高一统考期末）下列与的值相等的是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2024上·河北张家口·高一统考期末）已知，则在直角坐标系中角的终边可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
三、填空题
14．（2024上·吉林延边·高一统考期末）若，则 .
15．（2024上·全国·高一专题练习）设，均为实数，若，则的值为 ．
16．（2024下·上海·高一假期作业）化简： .
17．（2024上·全国·高一专题练习）设，求的值为 .
四、解答题
18．（2024上·河南郑州·高一统考期末）已知，求的值．
19．（2024上·山东滨州·高一统考期末）在平面直角坐标系中，已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点.
(1)求的值；
(2)求的值.
20．（2024下·上海·高一假期作业）如图，已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至. 求点的坐标.
21．（2024上·湖南张家界·高一统考期末）如图，已知单位圆O与x轴正半轴交于点M，点A，B在单位圆上，其中点A在第一象限，且，记，.
(1)若，求点的坐标；
(2)若点A的坐标为，求的值.
22．（2024上·湖北·高一校联考期末）已知角的终边经过点，求：
(1)的值
(2)求的值.
23．（2024上·山东淄博·高一统考期末）已知角的始边与x轴的正半轴重合，终边过定点．
(1)求、的值；
(2)求的值．
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