高中数学北师大版讲义(必修二)第04讲 1.4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质7种常见考法归类(学生版+教师版)

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高中数学北师大版讲义(必修二)第04讲 1.4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质7种常见考法归类(学生版+教师版)

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1.4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质
7种常见考法归类
课程标准 学习目标
借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦)的定义,了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值.借助单位圆的对称性,利用定义推导出诱导公式. 通过本节课的学习,要求掌握三角函数的定义及会求任意角的三个三角函数值,并能准确判断任意角的三角函数值的符号,能够求三角函数的简单性质及诱导公式的应用
知识点01任意角的正弦函数和余弦函数
1.给定任意角α,角α的终边与单位圆的交点为P(u,v),点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的,则v=sin a,u=cos a.
2.利用角的终边上任意一点的坐标定义正、余弦函数
如图所示,在角α终边上任取一点P(x,y),设|OP|=r,则sin α==,cos α==

【即学即练1】已知点是角α的终边与单位圆的交点,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据余弦函数的定义直接进行求解即可.
【解析】因为点是角α的终边与单位圆的交点,
所以 ,
故选:B
【即学即练2】已知角的始边与轴的非负半轴重合,终边经过点,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】
根据三角函数的定义,可直接求解.
【详解】
根据三角函数的定义,角的终边经过点,,
所以.
故选:C
【即学即练3】若角的终边经过点,则_______,______.
【答案】
【分析】
根据,得到,然后利用三角函数定义求解.
【详解】
因为,
所以,
则.
答案:
【即学即练4】在平面直角坐标系中,若角的终边经过点,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】
根据三角函数定义求解即可.
【详解】
角的终边经过点,即,则.
故选:A.
【即学即练5】已知角的终边过点,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】
利用三角函数的定义求解.
【详解】
因为角的终边过点,
所以,
所以,
故选:B
【即学即练6】若,且角的终边经过点,则P点的横坐标x是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根据三角函数的定义列方程求解即可.
【解析】由三角函数的定义可得:

解得,
故选:A
知识点02 正弦函数、余弦函数的基本性质
1.定义域:R.
2.最大(小)值:当α=2k+(k∈Z)时,正弦函数v=sin α取得最大值1;
当α=2k(k∈Z)时,正弦函数v=sin α取得最小值1.
当α=2k(k∈Z)时,余弦函数u=cos α取得最大值1;当α=(2k+1) (k∈Z)时,余弦函数取得最小值1.
3.值域:[1,1].
4.周期性:对任意k∈Z,sin (α+2kπ)=sin a ,α∈R;对任意k∈Z,cos (α+2kπ)=cos a,α∈R,最小正周期为2.
5.单调性:正弦函数在区间(k∈Z) 上单调递增,在区间(k∈Z)上单调递减.余弦函数在区间[2k] (k∈Z) 上单调递增,在区间[] (k∈Z)上单调递减.
【即学即练7】求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合,并分别写出最大值、最小值:
(1);
(2);
(3);
(4).
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
【分析】(1)(2)根据正弦函数的性质计算可得;
(3)(4)根据余弦函数的性质计算可得.
【详解】(1)因为,
当,即,时,函数取得最小值,
当,即,时,函数取得最大值,
即函数取得最大值的的集合为,
函数取得最小值的的集合为;
(2)因为,
当,即,时,函数取得最小值,
当,即,时,函数取得最大值,
即函数取得最大值的的集合为,
函数取得最小值的的集合为;
(3)因为,
当,即,时,函数取得最大值,
当,即,时,函数取得最小值,
即函数取得最小值的的集合为,
函数取得最大值的的集合为;
(4)因为,
当,即,时,函数取得最小值,
当,即,时,函数取得最大值,
即函数取得最小值的的集合为,
函数取得最大值的的集合为;
【即学即练8】已知函数的最小值为,最大值为2,求、的值.
【答案】.
【分析】根据正弦函数的性质求解.
【详解】由题意得,解得.
知识点03 正弦函数值和余弦函数值的符号
注:对三角函数值符号的理解
三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号导出的.从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值.根据三角函数定义知:
(1)正弦值符号取决于纵坐标y的符号;
(2)余弦值的符号取决于横坐标x的符号.
【即学即练9】若,则是( )
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
【答案】C
【分析】根据三角函数在各个象限的正负性求解即可.
【解析】因为,所以在第三象限或第四象限,或终边为y轴非正半轴,
因为,所以在第二象限或第三象限,或终边为y轴非正半轴,
所以是第三象限角.
故选:C
【即学即练10】已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则实数a的取值范围是(  )
A.(-2,3] B.(-2,3)
C.[-2,3) D.[-2,3]
【答案】A
【解析】 ∵cos α≤0,sin α>0,∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上.
∴∴-2【即学即练11】“角是第一或第三象限角”是“”的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】
利用充分条件和必要条件的定义,结合象限角的正弦、余弦的正负情况进行判断即可.
【详解】
角是第一象限角时,,则;若角是第三象限角,,则.故“角是第一或第三象限角”是“”的充分条件.
若,即或,所以角是第一或第三象限角.故“角是第一或第三象限角”是“”的必要条件.
综上,“角是第一或第三象限角”是“”的充要条件.
故选:C.
知识点04 诱导公式
1.特殊角的终边的对称关系
(1)角-α的终边与角α的终边关于x轴对称.
(2)角α±π的终边与角α的终边关于原点对称.
(3)角π-α的终边与角α的终边关于y轴对称.
2. -α、α±π、π-α的诱导公式
-α:sin (-α)=-sinα
cos (-α)=cos α
α+π:sin (α+π)=-sin α
cos (α+π)=-cos α
α-π:sin (α-π)=-sin α
cos (α-π)=-cos α
π-α:sin (π-α)=sin α
cos (π-α)=-cos α
注:①记忆方法:-α、α±π、π-α的三角函数值等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号,概括为“函数名不变,符号看象限”.
②解释:“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名;“符号”是指等号右边是正号还是负号;“看象限”是指假设α是锐角,要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值,如sin(π+α),若α看成锐角,则π+α的终边在第三象限,正弦在第三象限取负值,故sin (π+α)=-sin α.
3.±α与α的诱导公式
sin =cos a,cos =sin a.
sin =cos a,cos =-sin a.
注:(1)记忆口诀:“函数名改变,符号看象限”.
(2)诱导公式是三角变换的基本公式,其中角可以是一个单角,也可以是一个复角,应用时要注意整体把握,灵活变通.
(3)这八组诱导公式可归纳为“k·90 °±α(k∈Z)”的三角函数值与α的三角函数值之间的关系.当k为偶数时得角α的同名三角函数值,当k为奇数时得角α的异名三角函数值,然后在前面加上一个把角α看成锐角时原三角函数值的符号,可简记为“奇变偶不变,符号看象限”.
【即学即练12】已知,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】利用三角函数诱导公式即可求得的值.
【解析】
故选:C
【即学即练13】已知,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】由得,然后利用诱导公式计算即可.
【解析】因为,
所以,
所以

故选:D.
【即学即练14】化简的结果是________.
【答案】0
【分析】
利用诱导公式和辅助角公式化简即可求值.
【详解】
故答案为:0
【点睛】
本题主要考查三角函数的诱导公式和辅助角公式,属于中档题.
题型一:已知角求三角函数值
例1.点P从点出发,绕以坐标原点为圆心的单位圆顺时针旋转到达点Q,则点Q的坐标是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】根据题意得为终边的一个角为, 设,根据三角函数的定义可求出结果.
【解析】根据题意得为终边的一个角为, 设,
根据三角函数的定义可得,,则,,
所以.
故选:C
【方法技巧与总结】
作出角α的终边与单位圆相交,求出交点坐标,利用正、余弦函数的定义求解.
题型二:已知角α终边上一点求三角函数值
例2.已知角的终边与单位圆的交点为,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】根据题意结合任意角三角函数的定义可求出,然后代入求解即可.
【解析】因为角的终边与单位圆的交点为,
所以,所以.
故选:C
变式1.在平面直角坐标系中,若角的终边经过点,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】
利用三角函数的定义可求得的值.
【详解】
由三角函数的定义可得.
故选:B.
变式2.已知角α的终边经过点(–8,–6),则cos α的值为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题设知x=–8,y=–6,所以r=,所以cos α=,故选C.
【名师点睛】利用三角函数的定义,求一个角的三角函数值时,需确定三个量:角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x,纵坐标y,该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上,此时注意“在终边上任取一点”应分两种情况(点所在象限不同)进行分析.
变式3.角的终边落在射线上,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】
可在角终边上取一点,由正弦函数定义得出结论.
【详解】
由题意在终边上取点,则,
所以.
故选:A.
变式4. 是第二象限角,其终边上一点,且,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】
根据三角函数的定义求出的值,再利用三角函数的定义可求得的值.
【详解】
由题意可知,,解得,
因此,.
故选:A.
变式5.已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的非负半轴,且cos θ=-,若点M(x,8)是角θ终边上一点,则x等于( )
A.-12 B.-10 C.-8 D.-6
【答案】D
【分析】
直接利用三角函数的定义的应用求出x的值.
【详解】
角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,且,
若点M(x,8)是角θ终边上一点,
则:x<0,利用三角函数的定义:,
解得:x=-6.
故选:D.
【方法技巧与总结】
已知α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法
(1)先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值.
(2)在α的终边上任选一点P(x,y),P到原点的距离为r(r>0).则sin α=,cos α=. 已知α的终边求α的三角函数值时,用这几个公式更方便.
(3)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
题型三:正弦函数、余弦函数基本性质的应用
例3.下列函数哪些是奇函数?哪些是偶函数?哪些既不是奇函数也不是偶函数?
(1);
(2);
(3);
(4).
【答案】(1)既不是奇函数,又不是偶函数
(2)奇函数
(3)偶函数
(4)偶函数
【分析】先看定义域是否关于原点对称,再利用奇函数和偶函数的定义进行判断.
【详解】(1)定义域为R,
又,且,
故既不是奇函数,又不是偶函数;
(2)的定义域为R,
又,故为奇函数;
(3)定义域为R,
且,故为偶函数;
(4)定义域为R,
且,故为偶函数.
变式1.求下列函数的最小值及取得最小值时自变量x的集合:
(1);
(2).
【答案】(1)最小值为,自变量x的集合为;(2)最小值为1,自变量x的集合为.
【分析】根据正、余弦函数的图象与性质即可求解;
【详解】解:(1)因为,
所以当时,函数取得最小值为,此时自变量x的集合为;
(2)因为,
所以当时,函数取得最小值为1,此时自变量x的集合为,即.
变式2.求下列函数的单调区间:
(1);
(2);
(3);
(4).
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】根据正弦与余弦函数的单调区间逐个分析即可.
【详解】(1)单调性与相同,故其单调增区间为,单调减区间为.
(2)单调性与相反,故其单调增区间为,单调减区间为.
(3)单调性与相同,故其单调增区间为,单调减区间为.
(4)单调性与相反,故其单调增区间为,单调减区间为.
变式3.已知函数的最大值是0,最小值是,求的值.
【答案】或.
【分析】分和两种情况列方程组求解即可
【详解】当时,
解得
当时,
解得
所以或.
变式4.已知函数.
(1)求函数的最小正周期;
(2)当x[0,2π]时,求函数的最大值及取得最大值时的值.
【答案】(1);
(2),.
【分析】(1)根据正弦型函数的周期的性质即可求解;
(2)根据正弦函数的图像性质即可求f(x)在[0,2π]上的最大值.
【详解】(1);
(2)由图象可知,当x[0,2π]时,
在时,.
变式5.比较下列各组数的大小:
(1),;
(2),.
【答案】(1)
(2).
【分析】(1)利用诱导公式得,,由函数在上的单调性,比较余弦值的大小;
(2)由诱导公式得,利用函数在上的单调性,比较正弦值的大小.
【详解】(1),,
因为,而在上单调递减,
所以,即.
(2)因为,而且在上单调递增,
所以,即.
【方法技巧与总结】
对于形如y=a sin x+b的函数性质的研究可借助y=sin x的性质.要清楚a,b对函数y=a sin x+b的影响,若参数不确定还要注意分类讨论.
题型四:正、余弦函数值的符号判断及应用
例4.已知且,则角的终边所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【答案】B
【解析】依据题设及三角函数的定义,可知角终边上的点的横坐标小于零,纵坐标大于零,
所以终边在第二象限,故选B.
变式1.若为第三象限角,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】
根据为第三象限角,得出的范围,从而求出的范围,再根据各象限角的三角函数值的符号即可得出答案.
【详解】
解:因为为第三象限角,则,
所以,
则为第一、第二象限以及y轴正半轴角,则.
故选:D.
变式2.已知角在第二象限,则( )
A., B.,
C., D.,
【答案】B
【分析】根据三角函数在第二象限的符号,即可得出答案.
【解析】因为角在第二象限,所以有,.
故选:B.
变式3.已知,则点在第( )象限
A.一 B.二 C.三 D.四
【答案】D
【分析】首先判断位于第四象限,再根据各象限三角函数的符号特征判断即可.
【解析】因为,所以为第四象限角,
所以,,
所以点位于第四象限;
故选:D
【方法技巧与总结】
一个角的正、余弦函数值的符号取决于这个角的终边所在的象限,可用口诀简记为“一全正,三全负,二正弦,四余弦”(即第一象限角的正、余弦值全为正值,第三象限角的正、余弦值全为负值,第二象限角的正弦值为正,第四象限角的余弦值为正.
题型五:利用诱导公式求值
给角求值
例5.sin585°的值为( )
A.- B.
C.- D.
【答案】A
【解析】sin585°=sin(360°+180°+45°)=sin(180°+45°)=-sin45°=-.故选A.
【名师点睛】①三角式的化简通常先用诱导公式,将角度统一后再用同角三角函数关系式,这可以避免交错使用公式时导致的混乱.②在运用公式时正确判断符号至关重要.③三角函数的化简、求值是三角函数中的基本问题,也是高考常考的问题,要予以重视.
变式1.若,则的值为( )
A.或 B.
C. D.或
【答案】A
【分析】
利用诱导公式得到,再根据余弦函数计算可得;
【详解】,,,或,
,或.故选:A.
给值求值
例6.已知,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根据诱导公式可求出结果.
【解析】 .
故选:A
变式1.已知,,则=______.
【答案】
【分析】根据三角函数的诱导公式和特殊角的三角函数值即可计算.
【解析】,,,
又,,
.
故答案为:.
变式2.已知,则( )
A.± B. C. D.
【答案】D
【分析】由利用诱导公式计算可得.
【解析】因为,所以.
故选:D
变式3.已知,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为,所以,
所以.选B.
变式4.已知,则( )
A.a B.-a
C. D.不确定
【答案】B
【分析】
用诱导公式求解即可.
【详解】
因为,
所以
故选:B
变式5.设,其中a、b、α、β为非零常数.若,则 ________.
【答案】3
【分析】
由结合诱导公式,可得1,可得答案.
【详解】
由,有
=
=.
即.

=+2=3.
故答案为:3.
【点睛】
本题考查利用诱导公式进行化简求值,整体代换的方法,属于中档题.
【方法技巧与总结】
1、利用诱导公式解决给角求值问题的方法
(1)“负化正”,用-α的诱导公式;
(2)“大化小”,用2kπ+α(k∈Z)的诱导公式将角化为0到2π间的角;
(3)“小化锐”用π±α的诱导公式将大于的角转化为锐角;
(4)“锐角求值”.
2、解决条件求值问题的方法
(1)解决条件求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化.
题型六:利用诱导公式化简
例7.已知,则=( )
A.-7 B. C. D.5
【答案】D
【分析】
先通过诱导公式对等式进行化简,进而弦化切求出正切值,然后对所求式子进行弦化切,最后得到答案.
【详解】
由题意,,
则.
故选:D.
变式1.化简__.
【答案】
【分析】依据诱导公式对原式进行化简计算.
【解析】.
故答案为:.
变式2.已知的终边上有一点,则的值为( )
A. B. C. D.4
【答案】C
【分析】根据三角函数的定义及诱导公式化简求值即可.
【解析】因为的终边上有一点,
所以,
所以,
故选:C
【方法技巧与总结】
(1)三角函数式化简的关键是抓住2kπ+α(k∈Z),-α,α±π,π-α这几组的诱导公式,它们的特点都是同名间的关系,不同的是符号的变化.
(2)对于π±α和±α这两套诱导公式,切记运用前一套公式不变名,而运用后一套公式必须变名.
题型七:诱导公式的综合应用
例8.已知.
(1)化简;
(2)若为第四象限角且,求的值;
(3)若,求.
【答案】(1);(2);(3).
【分析】
(1)根据诱导公式化简即可;
(2)由诱导公式得,再代入(1)即可得答案;
(3)代入(1),利用诱导公式化简求值即可.
【详解】
(1).
(2)因为,
所以.
(3)因为,,
所以

变式1.已知.
(1)化简;
(2)若,求的值.
【答案】(1);(2).
【分析】
(1)利用诱导公式化简;
(2)结合同角三角函数的基本关系式求得所求表达式的值.
【详解】
(1)
(2),
两边平方并化简得,
.
【点睛】
本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式,属于中档题.
一、单选题
1.(2024·全国·高三专题练习)的值( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据诱导公式,以及特殊角的三角函数值,即可得答案.
【详解】,
故选:D
2.(2024下·浙江温州·高一浙江省乐清中学校联考开学考试)“”是“是第一象限角”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据象限角、充分和必要条件等知识确定正确答案.
【详解】,
是第一象限角,
所以“”是“是第一象限角”的必要不充分条件.
故选:B
3.(2024上·湖北·高一校联考期末)若是第四象限角,则点在(  )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】B
【分析】根据的符号确定正确答案.
【详解】由于是第四象限角,所以,
所以在第二象限.
故选:B
4.(2024上·江苏南通·高一统考期末)若角的终边经过点,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】由三角函数定义可得、,即可得解.
【详解】由角的终边经过点,故,

故.
故选:C.
5.(2024上·山西吕梁·高一统考期末)已知角的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点,那么等于( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据三角函数的定义可得,进而由诱导公式即可求解.
【详解】根据题意,由三角函数的单位圆定义得:,

故选:D.
6.(2024上·安徽六安·高一六安二中校考期末)如图所示,在平面直角坐标系中,动点、从点出发在单位圆上运动,点按逆时针方向每秒钟转弧度,点按顺时针方向每秒钟转弧度,则、两点在第4次相遇时,点的坐标是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】计算相遇时间,再确定转过的角度,结合三角函数的定义即可求解.
【详解】相遇时间为秒,
故转过的角度为,
其对应的坐标为,即.
故选:C
7.(2024·全国·高三专题练习)若,则( )
A.1 B. C. D.
【答案】C
【分析】根据给定条件,利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即得.
【详解】由,得.
故选:C
8.(2024下·湖北·高一湖北省汉川市第一高级中学校联考开学考试)已知,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】直接利用诱导公式求解即可.
【详解】.
故选:C
9.(2024上·河南·高三专题练习)若,则(  )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】根据诱导公式即可求解.
【详解】因为,.
故选:C.
10.(2024上·湖北武汉·高一校联考期末)若角的终边经过函数(且)的图象上的定点,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】首先得,进一步结合三角函数定义即可求解.
【详解】由题意令,得,而此时,
所以,角的终边经过定点,
所以,
所以.
故选:C.
二、多选题
11.(2024上·四川德阳·高一统考期末)若,则可以为( )
A. B. C. D.
【答案】AD
【分析】根据选项逐个求解正弦值即可判断.
【详解】对于A,,符合题意;对于B,,不合题意;
对于C,,不合题意;对于D,,符合题意;
故选:AD
12.(2024上·河南开封·高一统考期末)下列与的值相等的是( )
A. B.
C. D.
【答案】AD
【分析】借助诱导公式逐个计算即可得.
【详解】,故A正确;
,故B错误;
,故C错误;
,故D正确;
故选:AD.
13.(2024上·河北张家口·高一统考期末)已知,则在直角坐标系中角的终边可能在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】BD
【分析】由同角三角函数的平方关系得,可得,由此得到角的终边可能所在的象限.
【详解】由,
得.
故,所以角可能在第二或第四象限.
故选:BD.
三、填空题
14.(2024上·吉林延边·高一统考期末)若,则 .
【答案】/
【分析】利用换元法,结合三角函数的诱导公式化简求值即可得解.
【详解】因为,
令,则,,
所以.
故答案为:.
15.(2024上·全国·高一专题练习)设,均为实数,若,则的值为 .
【答案】6
【分析】代入,结合诱导公式得到,从而得到.
【详解】因为,
所以,解得,

所以.
故答案为:6
16.(2024下·上海·高一假期作业)化简: .
【答案】
【分析】根据诱导公式化简求值.
【详解】原式=.
故答案为:
17.(2024上·全国·高一专题练习)设,求的值为 .
【答案】/0.5
【分析】利用诱导公式化简,然后代入求值即可.
【详解】因为.

所以.
故答案为:.
四、解答题
18.(2024上·河南郑州·高一统考期末)已知,求的值.
【答案】
【分析】根据诱导公式将条件式化简得代入求解的式子得解.
【详解】由诱导公式可得,,
则.
19.(2024上·山东滨州·高一统考期末)在平面直角坐标系中,已知角的顶点与原点重合,始边与轴的非负半轴重合,它的终边过点.
(1)求的值;
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用三角函数的定义可求得、的值,即可得出的值;
(2)由三角函数的定义求出的值,利用诱导公式结合弦化切可求得所求代数式的值.
【详解】(1)解:设点与原点的距离为,则.
所以,,,
所以,.
(2)解:由条件得.

.
20.(2024下·上海·高一假期作业)如图,已知点的坐标为,将绕坐标原点逆时针旋转至. 求点的坐标.
【答案】
【分析】利用任意角三角函数的定义结合诱导公式处理即可.
【详解】如图,由,在单位圆中满足,.
这样对点,有,
.
所以,点的坐标为.
21.(2024上·湖南张家界·高一统考期末)如图,已知单位圆O与x轴正半轴交于点M,点A,B在单位圆上,其中点A在第一象限,且,记,.
(1)若,求点的坐标;
(2)若点A的坐标为,求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)应用三角函数定义,求角的余弦与正弦值,可得单位圆与终边交点的坐标;
(2)先由点在单位圆上求得,再利用三角函数定义与诱导公式求解.
【详解】(1)∵,
∴,,故点坐标为.
(2)∵点在单位圆上,得,
又∵点位于第一象限,,则,
∴点A的坐标为,即,,
∴,
∴.
22.(2024上·湖北·高一校联考期末)已知角的终边经过点,求:
(1)的值
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据三角函数的定义求得,从而求得正确答案.
(2)利用诱导公式求得正确答案.
【详解】(1)依题意,角的终边经过点,
所以,
所以.
(2)
.
23.(2024上·山东淄博·高一统考期末)已知角的始边与x轴的正半轴重合,终边过定点.
(1)求、的值;
(2)求的值.
【答案】(1);
(2)
【分析】(1)由求出点的值,结合三角函数定义可得;
(2)利用诱导公式化简可得.
【详解】(1)由题意知,因角的终边与轴的正半轴重合,且终边过点,
则点到原点的距离,
则,

(2)
.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)1.4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质
7种常见考法归类
课程标准 学习目标
借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦)的定义,了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值.借助单位圆的对称性,利用定义推导出诱导公式. 通过本节课的学习,要求掌握三角函数的定义及会求任意角的三个三角函数值,并能准确判断任意角的三角函数值的符号,能够求三角函数的简单性质及诱导公式的应用
知识点01任意角的正弦函数和余弦函数
1.给定任意角α,角α的终边与单位圆的交点为P(u,v),点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的,则v=sin a,u=cos a.
2.利用角的终边上任意一点的坐标定义正、余弦函数
如图所示,在角α终边上任取一点P(x,y),设|OP|=r,则sin α==,cos α==

【即学即练1】已知点是角α的终边与单位圆的交点,则( )
A. B. C. D.
【即学即练2】已知角的始边与轴的非负半轴重合,终边经过点,则( )
A. B. C. D.
【即学即练3】若角的终边经过点,则_______,______.
【即学即练4】在平面直角坐标系中,若角的终边经过点,则( )
A. B. C. D.
【即学即练5】已知角的终边过点,则( )
A. B. C. D.
【即学即练6】若,且角的终边经过点,则P点的横坐标x是( )
A. B. C. D.
知识点02 正弦函数、余弦函数的基本性质
1.定义域:R.
2.最大(小)值:当α=2k+(k∈Z)时,正弦函数v=sin α取得最大值1;
当α=2k(k∈Z)时,正弦函数v=sin α取得最小值1.
当α=2k(k∈Z)时,余弦函数u=cos α取得最大值1;当α=(2k+1) (k∈Z)时,余弦函数取得最小值1.
3.值域:[1,1].
4.周期性:对任意k∈Z,sin (α+2kπ)=sin a ,α∈R;对任意k∈Z,cos (α+2kπ)=cos a,α∈R,最小正周期为2.
5.单调性:正弦函数在区间(k∈Z) 上单调递增,在区间(k∈Z)上单调递减.余弦函数在区间[2k] (k∈Z) 上单调递增,在区间[] (k∈Z)上单调递减.
【即学即练7】求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合,并分别写出最大值、最小值:
(1);
(2);
(3);
(4).
【即学即练8】已知函数的最小值为,最大值为2,求、的值.
知识点03 正弦函数值和余弦函数值的符号
注:对三角函数值符号的理解
三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号导出的.从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值.根据三角函数定义知:
(1)正弦值符号取决于纵坐标y的符号;
(2)余弦值的符号取决于横坐标x的符号.
【即学即练9】若,则是( )
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
【即学即练10】已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则实数a的取值范围是(  )
A.(-2,3] B.(-2,3)
C.[-2,3) D.[-2,3]
【即学即练11】“角是第一或第三象限角”是“”的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
知识点04 诱导公式
1.特殊角的终边的对称关系
(1)角-α的终边与角α的终边关于x轴对称.
(2)角α±π的终边与角α的终边关于原点对称.
(3)角π-α的终边与角α的终边关于y轴对称.
2. -α、α±π、π-α的诱导公式
-α:sin (-α)=-sinα
cos (-α)=cos α
α+π:sin (α+π)=-sin α
cos (α+π)=-cos α
α-π:sin (α-π)=-sin α
cos (α-π)=-cos α
π-α:sin (π-α)=sin α
cos (π-α)=-cos α
注:①记忆方法:-α、α±π、π-α的三角函数值等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号,概括为“函数名不变,符号看象限”.
②解释:“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名;“符号”是指等号右边是正号还是负号;“看象限”是指假设α是锐角,要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值,如sin(π+α),若α看成锐角,则π+α的终边在第三象限,正弦在第三象限取负值,故sin (π+α)=-sin α.
3.±α与α的诱导公式
sin =cos a,cos =sin a.
sin =cos a,cos =-sin a.
注:(1)记忆口诀:“函数名改变,符号看象限”.
(2)诱导公式是三角变换的基本公式,其中角可以是一个单角,也可以是一个复角,应用时要注意整体把握,灵活变通.
(3)这八组诱导公式可归纳为“k·90 °±α(k∈Z)”的三角函数值与α的三角函数值之间的关系.当k为偶数时得角α的同名三角函数值,当k为奇数时得角α的异名三角函数值,然后在前面加上一个把角α看成锐角时原三角函数值的符号,可简记为“奇变偶不变,符号看象限”.
【即学即练12】已知,则等于( )
A. B. C. D.
【即学即练13】已知,则( )
A. B. C. D.
【即学即练14】化简的结果是________.
题型一:已知角求三角函数值
例1.点P从点出发,绕以坐标原点为圆心的单位圆顺时针旋转到达点Q,则点Q的坐标是( )
A. B. C. D.
【方法技巧与总结】
作出角α的终边与单位圆相交,求出交点坐标,利用正、余弦函数的定义求解.
题型二:已知角α终边上一点求三角函数值
例2.已知角的终边与单位圆的交点为,则( )
A. B. C. D.
变式1.在平面直角坐标系中,若角的终边经过点,则( )
A. B. C. D.
变式2.已知角α的终边经过点(–8,–6),则cos α的值为( )
A. B.
C. D.
变式3.角的终边落在射线上,则的值为( )
A. B. C. D.
变式4. 是第二象限角,其终边上一点,且,则的值为( )
A. B. C. D.
变式5.已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的非负半轴,且cos θ=-,若点M(x,8)是角θ终边上一点,则x等于( )
A.-12 B.-10 C.-8 D.-6
【方法技巧与总结】
已知α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法
(1)先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值.
(2)在α的终边上任选一点P(x,y),P到原点的距离为r(r>0).则sin α=,cos α=. 已知α的终边求α的三角函数值时,用这几个公式更方便.
(3)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
题型三:正弦函数、余弦函数基本性质的应用
例3.下列函数哪些是奇函数?哪些是偶函数?哪些既不是奇函数也不是偶函数?
(1);
(2);
(3);
(4).
变式1.求下列函数的最小值及取得最小值时自变量x的集合:
(1);
(2).
变式2.求下列函数的单调区间:
(1);
(2);
(3);
(4).
变式3.已知函数的最大值是0,最小值是,求的值.
变式4.已知函数.
(1)求函数的最小正周期;
(2)当x[0,2π]时,求函数的最大值及取得最大值时的值.
变式5.比较下列各组数的大小:
(1),;
(2),.
【方法技巧与总结】
对于形如y=a sin x+b的函数性质的研究可借助y=sin x的性质.要清楚a,b对函数y=a sin x+b的影响,若参数不确定还要注意分类讨论.
题型四:正、余弦函数值的符号判断及应用
例4.已知且,则角的终边所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
变式1.若为第三象限角,则( )
A. B. C. D.
变式2.已知角在第二象限,则( )
A., B.,
C., D.,
变式3.已知,则点在第( )象限
A.一 B.二 C.三 D.四
【方法技巧与总结】
一个角的正、余弦函数值的符号取决于这个角的终边所在的象限,可用口诀简记为“一全正,三全负,二正弦,四余弦”(即第一象限角的正、余弦值全为正值,第三象限角的正、余弦值全为负值,第二象限角的正弦值为正,第四象限角的余弦值为正.
题型五:利用诱导公式求值
给角求值
例5.sin585°的值为( )
A.- B.
C.- D.
变式1.若,则的值为( )
A.或 B.
C. D.或
给值求值
例6.已知,则( )
A. B. C. D.
变式1.已知,,则=______.
变式2.已知,则( )
A.± B. C. D.
变式3.已知,则的值为( )
A. B. C. D.
变式4.已知,则( )
A.a B.-a
C. D.不确定
变式5.设,其中a、b、α、β为非零常数.若,则 ________.
【方法技巧与总结】
1、利用诱导公式解决给角求值问题的方法
(1)“负化正”,用-α的诱导公式;
(2)“大化小”,用2kπ+α(k∈Z)的诱导公式将角化为0到2π间的角;
(3)“小化锐”用π±α的诱导公式将大于的角转化为锐角;
(4)“锐角求值”.
2、解决条件求值问题的方法
(1)解决条件求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化.
题型六:利用诱导公式化简
例7.已知,则=( )
A.-7 B. C. D.5
变式1.化简__.
变式2.已知的终边上有一点,则的值为( )
A. B. C. D.4
【方法技巧与总结】
(1)三角函数式化简的关键是抓住2kπ+α(k∈Z),-α,α±π,π-α这几组的诱导公式,它们的特点都是同名间的关系,不同的是符号的变化.
(2)对于π±α和±α这两套诱导公式,切记运用前一套公式不变名,而运用后一套公式必须变名.
题型七:诱导公式的综合应用
例8.已知.
(1)化简;
(2)若为第四象限角且,求的值;
(3)若,求.
变式1.已知.
(1)化简;
(2)若,求的值.
一、单选题
1.(2024·全国·高三专题练习)的值( )
A. B. C. D.
2.(2024下·浙江温州·高一浙江省乐清中学校联考开学考试)“”是“是第一象限角”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.(2024上·湖北·高一校联考期末)若是第四象限角,则点在(  )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.(2024上·江苏南通·高一统考期末)若角的终边经过点,则( )
A. B. C. D.
5.(2024上·山西吕梁·高一统考期末)已知角的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点,那么等于( )
A. B. C. D.
6.(2024上·安徽六安·高一六安二中校考期末)如图所示,在平面直角坐标系中,动点、从点出发在单位圆上运动,点按逆时针方向每秒钟转弧度,点按顺时针方向每秒钟转弧度,则、两点在第4次相遇时,点的坐标是( )
A. B.
C. D.
7.(2024·全国·高三专题练习)若,则( )
A.1 B. C. D.
8.(2024下·湖北·高一湖北省汉川市第一高级中学校联考开学考试)已知,则( )
A. B. C. D.
9.(2024上·河南·高三专题练习)若,则(  )
A. B. C. D.
10.(2024上·湖北武汉·高一校联考期末)若角的终边经过函数(且)的图象上的定点,则( )
A. B. C. D.
二、多选题
11.(2024上·四川德阳·高一统考期末)若,则可以为( )
A. B. C. D.
12.(2024上·河南开封·高一统考期末)下列与的值相等的是( )
A. B.
C. D.
13.(2024上·河北张家口·高一统考期末)已知,则在直角坐标系中角的终边可能在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
三、填空题
14.(2024上·吉林延边·高一统考期末)若,则 .
15.(2024上·全国·高一专题练习)设,均为实数,若,则的值为 .
16.(2024下·上海·高一假期作业)化简: .
17.(2024上·全国·高一专题练习)设,求的值为 .
四、解答题
18.(2024上·河南郑州·高一统考期末)已知,求的值.
19.(2024上·山东滨州·高一统考期末)在平面直角坐标系中,已知角的顶点与原点重合,始边与轴的非负半轴重合,它的终边过点.
(1)求的值;
(2)求的值.
20.(2024下·上海·高一假期作业)如图,已知点的坐标为,将绕坐标原点逆时针旋转至. 求点的坐标.
21.(2024上·湖南张家界·高一统考期末)如图,已知单位圆O与x轴正半轴交于点M,点A,B在单位圆上,其中点A在第一象限,且,记,.
(1)若,求点的坐标;
(2)若点A的坐标为,求的值.
22.(2024上·湖北·高一校联考期末)已知角的终边经过点,求:
(1)的值
(2)求的值.
23.(2024上·山东淄博·高一统考期末)已知角的始边与x轴的正半轴重合,终边过定点.
(1)求、的值;
(2)求的值.
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