资源简介

1.5 正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识
3种常见考法归类
课程标准 学习目标
借助单位圆，能画出正弦、余弦函数的图象，借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质． 三角函数的图象是认识三角函数的窗口，通过本节课的学习要求会作正弦函数、余弦函数的图象的同时，能认识图象与三角函数的密切关系，并能解决与图象有关的三角函数问题.
知识点01正弦函数y＝sin x，x∈R的图象．
在函数y=sin x，的图象上，起关键作用的点有以下五个：,如下表：
x 0
y=sin x 0 1 0 0
描出这五个点后,函数y=sin x，的图象形状就基本上确定了．因此，在精确度要求不高时，我们可以先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线顺次将它们连接起来，就得到函数的简图，这种作图的方法称为五点法作图．
【即学即练1】用五点法作函数y＝2sin x－1的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是（ ）
A．0，，π，，2π B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，，
【答案】A
【分析】
根据五点作图法，确定首先描出的五个点的横坐标.
【详解】
由五点作图法可知，首先描出的五个点的横坐标为：，，，，.
故选：A.
【即学即练2】在[0,2π]内，作出函数y＝3－sin x的图象．
【解析】按五个关键点列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
3－sin x 3 2 3 4 3
描点连线，如图所示．
【即学即练3】试求关于x的不等式
【答案】或.
【分析】
作出正弦函数y＝sin x在[0，2π]上的图象，作出直线y＝和y＝，根据图象得出在[0，2π]上的x的范围，根据正弦函数的周期可得答案.
【详解】
解：作出正弦函数y＝sin x在[0，2π]上的图象，作出直线y＝和y＝，如图所示．
由图可知，在[0，2π]上当所以原不等式的解集为或.
知识点02正弦函数的性质
定义域 R
值域 [－1，1]
周期性 最小正周期2π
奇偶性 奇函数
单调性 在区间(k∈Z)上单调递增， 在区间(k∈Z)上单调递减
最大(小)值 当x＝2kπ＋，k∈Z时，最大值为1； 当x＝2kπ＋，k∈Z时，最小值为－1.
【即学即练4】若函数的定义域为（ ）
A．（）
B．（）
C．（）
D．（）
【答案】B
【分析】
偶次根式，根号下要求大于等于0，得到，利用三角函数的图像判断，即可得到，从而求出定义域.
【详解】
解：要使函数有意义，则，即，
即，，得，，
即函数的定义域为（）.
故选：B
【即学即练5】函数在上是（ ）
A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．先减后增
【答案】B
【分析】整体法得到，数形结合得到函数的单调性.
【解析】，则，
因为在上单调递减，
故在上是减函数.
故选：B
【即学即练6】已知函数，在上单调递增，那么常数的取值范围__________．
【答案】
【分析】先求出，再由不等式解出的范围即可.
【解析】由可得，又，故，
故，解得，故的取值范围为.
故答案为：.
【即学即练7】已知函数，若函数是偶函数，则的最小正值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角函数的奇偶性求参即可.
【解析】由，得，
又函数是偶函数，
所以，
所以当时，取得最小正值.
故选：A.
知识点03　余弦函数y＝cos x，x∈R的图象．
1．利用图象变换作余弦函数的图象
根据诱导公式，由，可知余弦函数的图象可以通过将正弦曲线向左平移个单位长度而得到．如图所示．类似地，我们把余弦函数的图象叫做余弦曲线（cosine curve）．
2．用五点法作余弦函数的图象
与正弦函数的图象一样，在函数的图象上，起关键作用的点有以下五个：
,如下表：
x 0
y=cos x 1 0 0 1
同样，在精确度要求不高时，我们可以先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线顺次将它们连接起来，就得到函数的简图，这种作图的方法也称为五点法作图．
【即学即练8】用“五点法”作函数y＝1－cos x，x∈[0，2π]的图象时，应取的五个关键点分别是______________.
【答案】（0，0），，（π，2），，（2π，0）
【分析】
取一个周期内的五个关键点，即分别令，求出对应的纵坐标即可.
【详解】
因为y＝1－cos x，x∈[0，2π]，则
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
故五个关键点（0，0），，（π，2），，（2π，0）
故答案为：（0，0），，（π，2），，（2π，0）.
【即学即练9】【多选】函数y=1+cosx，的图象与直线y=t（t为常数）的交点可能有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 E.4个
【答案】ABC
【分析】
画出在的图象，即可根据图象得出.
【详解】
画出在的图象如下：
则可得当或时，与的交点个数为0；
当或时，与的交点个数为1；
当时，与的交点个数为2.
故选：ABC.
【即学即练10】已知函数，.
(1)用五点法画函数在上的图像；
(2)解不等式.
【答案】(1)通过列表、描点、连线，作出函数图像；
(2)
【分析】（1）通过列表、描点、连线，作出函数图像；
（2）代入函数解析式，利用余弦函数的图像及性质解三角不等式.
【解析】（1）解：列表如下：
0
1 0 -1 0 1
3 1 -1 1 3
描点，连线即可得到函数在上的图像，如图所示．
（2），则，解得，
所以不等式的为.
【即学即练11】已知集合，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据正弦、余弦函数的性质求出集合、，再根据交集的定义计算可得.
【详解】由，可得，，
所以，
由，可得，，
所以，
所以.
故选：B
知识点04　余弦函数的性质．
函数性质 y＝cos x
定义域 R
值域 [－1，1]
奇偶性 偶函数
单调性 当x∈[2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z)时，函数是递增的； 当x∈[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)时，函数是递减的
周期性 最小正周期是2π
最值 当x＝2kπ(k∈Z)时，y的最大值为1； 当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，y的最小值为－1
对称轴 x＝kπ(k∈Z)
对称中心 (k∈Z)
【即学即练12】函数定义域为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的解析式有意义，得到，即可求解函数的定义域.
【详解】由题意，函数有意义，则满足，即
解得，
所以函数的定义域.
故选：A.
【即学即练13】函数在区间上的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用余弦函数的单调性可求得结果.
【解析】因为函数在上单调递减，在上单调递增，
且，
因此，函数在区间上的最大值是.
故选：D.
【即学即练14】 函数的一个单调递增区间是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据余弦函数的单调性，结合函数的图形，运用数形结合的思想逐项验证选项可得出答案.
【解析】根据题意，作出函数的图像如下：
由图知，函数在区间和单调递增；
在区间和上单调递减.所以选项ABC错误，选项D正确.
故选：D.
【即学即练15】函数的单调递增区间是（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
【答案】B
【分析】根据余弦函数单调性，解不等式得到答案.
【解析】，令，
解得，.
故选：B.
题型一：用五点法作正余弦函数的简图
例1.用“五点法”作函数在上的图象时，应取的五个点依次为___________ ___________ ___________ ___________ ___________.
【答案】
【分析】
根据正弦函数的“五点”，即可代换求出．
【详解】
由的“五点”即可知，函数在上应取的五个点为，，，，．
故答案为：，，，，．
变式1.画出函数y＝1＋cos x，x∈[0,2π]的图象．
【解析】①列表如下：
x 0 π 2π
cos x 1 0 －1 0 1
1＋cos x 2 1 0 1 2
②描点：
③连线：用光滑的曲线依次连接各点，即得所求的图象．
【名师点睛】作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)，x∈[0,2π]的图象时，可用“五点法”作图，其步骤是：①列表，取x＝0、、π、、2π；
②描点；
③用光滑曲线连成图．这是一种基本作图方法，应该熟练掌握．
变式2.已知是实数，则函数的图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据分类讨论，结合的性质可得．
【详解】
由题知，．若，选项C满足；
若，，，其中，，函数周期，选项A满足；若，，，其中，，函数周期，选项B满足；
若，则，且周期为．而选项D不满足以上四种情况，故图象不可能是D．
故选：D．
【方法技巧与总结】
1、用五点法画函数y＝A sin x＋b(A≠0)，x∈[0，2π]的简图的步骤：
(1)列表：
x 0 π 2π
y＝sin x 0 1 0 －1 0
y＝A sin x＋b b A＋b b －A＋b b
(2)描点：在平面直角坐标系中描出(0，b)，，(π，b)，，(2π，b)五个点．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来．
2、作形如y＝a cos x＋b，x∈[0，2π]的图象的步骤
题型二：正余弦函数图象的应用
例2.在内，不等式的解集是（ ）
A．(0，π) B． C． D．
【答案】C
【分析】
先作出正弦图象y＝sin x，，结合的根为 或，即得不等式的解集.
【详解】
画出y＝sin x，的草图如下．
内，令，解得或，
结合图象可知不等式的解集为．
故选：C．
变式1.不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据的图象与性质可得的解集．
【详解】
解：
函数图象如下所示：
，
不等式的解集为：．
故选：．
变式2.使得正确的一个区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
在同一坐标系中作出与的图象即可得出选项.
【详解】
作出与的图象，如图：
由图可知，若，其中满足，
故选：A
例3.根据函数的图像，可得方程的解为（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
【答案】B
【分析】
结合正弦函数的图象和正弦函数的性质即可求出结果.
【详解】
由题意和正弦函数的图象可知，可得（）.
故选: B.
变式1.函数与图像交点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】
作出直线与函数在上的图象，观察图形即可得解.
【详解】
作出函数在上的图象，并作出直线，如图：
观察图形知：函数在上的图象与直线有两个公共点，
所以函数与图像交点的个数为2.
故选：C
变式2.方程log2x＝cosx的实根个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无数个
【答案】B
【分析】
分别作出函数与的图像，根据的图像过点，函数的最大值为1，结合函数图像可得答案.
【详解】
在同一坐标系中分别作出函数与的图像，
由函数的最大值为1，当时，的值为1，
即的图像过点，如图,
根据图像可得：函数与的图像有1个交点
所以方程有1个解.
故选：B
例4.若方程在上有两个不同的实数根，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【分析】先求出时的值域，采用数形结合法可求的范围，进而得解.
【解析】作出，与的大致图像，如图所示：
由图像可知，当，即时,，的图像与的图像有两个交点，
即方程在时有两个不同的实数根.
故答案为:
变式1.函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，求实数的取值范围．
【答案】．
【分析】
将函数写为分段函数的形式，作出其图象，根据图象即可得实数的取值范围.
【详解】
，
其图象如图所示．
若使的图象与直线有且仅有两个不同的交点，
根据图象，可得实数的取值范围是．
【点睛】
本题主要考查了正弦型三角函数的图象，将函数写为分段函数的形式是解题的关键，属于中档题.
例5.函数的定义域是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意得出，然后利用余弦函数的图象解此不等式即可.
【详解】由题意可得，
解得.
故选：D.
【方法技巧与总结】
1、利用正弦曲线求解sin x≥a(≤a)的步骤
(1)作出正弦函数在一个周期内的图象；(2)作直线y＝a与函数图象相交；(3)在一个周期内确定x的取值范围；(4)根据正弦函数周期性确定最终范围．
2、用余弦函数的图象求角的范围时，首先可以作出y＝cos x在一个周期内的图象，然后找出适合条件的角的范围，最后依据周期性，写出所有满足条件的角的范围．
题型三：正余弦函数的基本性质
求周期
例6.下列函数，最小正周期为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据三角函数的性质即可确定最小正周期.
【详解】函数的最小正周期为，故A不符合；
函数，其最小正周期为，故B不符合；
因为函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故C符合；
因为函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故D不符合.
故选：C.
变式1.设是定义域为R且最小正周期为的函数，且有，则（ ）
A． B．
C．0 D．1
【答案】A
【分析】利用给定函数的性质，结合分段函数解析式代入计算作答.
【详解】因为是定义域为R且最小正周期为的函数，且，
所以.
故选：A
变式2.若，是函数两个相邻的最值点，则等于（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】A
【分析】根据最值点可得出函数的周期，再求出即可.
【详解】因为，是函数两个相邻的最值点，
所以，，
故选：A
单调性的应用
例7.已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用对数函数与指数函数、正弦函数的性质即可得解.
【详解】因为，所以，
又，，
所以.
故选：D.
变式1.已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据诱导公式和正弦函数在上的单调性可得大小关系.
【详解】由诱导公式知：，，
在上单调递增，，即.
故选：D.
例8.下列关于函数，的单调性的叙述，正确的是（ ）
A．在上单调递增，在上单调递减
B．在上单调递增，在上单调递减
C．在及上单调递增，在上单调递减
D．在上单调递增，在及上单调递减
【答案】C
【分析】利用正弦函数的单调性，直接分析求解即可.
【详解】解：，
当时，函数y单调递增；当时，函数y单调递减；当时，函数y单调递增．
故只有C正确．
故选：
变式1.函数的严格减区间是 ．
【答案】．
【分析】结合函数的定义域和复合函数的单调性即可求解.
【详解】令，则为增函数，
欲求的减区间，则求的减区间
由题意得定义域为，解得
所以的减区间为
所以函数的严格减区间是.
故答案为：.
例9.若函数在区间单调递减，且最小值为负值，则的值可以是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】分和两种情况讨论，结合余弦函数的单调性求出的范围，即可得解.
【详解】当时，，
由，得，
因为函数在区间单调递减，且最小值为负值，
所以，解得，
当时，由，得，
因为函数在区间单调递减，且最小值为负值，
所以，解得，
综上所述.
故选：A.
变式1.已知，记（）．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】分段写出函数的解析式，并确定其单调减区间，再结合集合的包含关系求解作答即可.
【详解】由题意知，
函数的单调递减区间为，
则或，
由，解得，
而，故需满足，即，此时不存在；
由，解得，
则需满足，即，即，
故，即，
故选：C
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是理解的含义，结合其解析式，求出函数的单调区间，进而转化为集合间的包含关系，列不等式求解即可.
最大(小)值
例10.函数，的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据正弦函数的值域求解即可.
【详解】因为函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数取得最大值，
又当时，，当时，，
所以函数的最小值为，
所以函数，的值域是.
故选：D.
变式1.函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】配方后利用正弦函数的值域和二次函数知识可求出结果.
【详解】函数，
∵，
∴当时，函数取得最小值为，
当时，函数取得最大值为2，
故函数的值域为，
故选：A．
变式2.函数的最大值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】利用平方关系将函数化为关于的二次函数，根据二次函数的性质即可求解.
【详解】由，
因为，
所以当时，取得最大值.
故选：D.
变式3.已知函数在上的值域为，则m的取值范围是______．
【答案】
【分析】先求出，结合的值域即可求出的范围，进而解出m的取值范围.
【解析】因为，所以．因为在上的值域为，
，所以，解得．
故答案为：.
变式4.已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求此时x的值．
【答案】(1)增区间，；减区间，
(2)最大值为，；最小值为，
【分析】（1）将整体代入的单调区间，求出的范围即可；
（2）通过x的范围，求出的范围，然后利用的最值的取值求解即可.
【解析】（1），
令，，得，，
令，，得，，
故函数的单调递增区间为，；
单调递减区间为，；
（2）当时，，
所以当，即时，取得最大值，
当，即时，取得最小值．
奇偶性
例11.下列函数是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先得到函数的定义域，再利用函数的奇偶性得到答案.
【详解】A选项，的定义域为R，
且，故为奇函数，A错误；
B选项，的定义域为R，
且，故为奇函数，B错误；
C选项，的定义域为R，
且，故为偶函数，C正确；
D选项，的定义域为R，
且，故不是偶函数，D错误.
故选：C
变式1.函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是奇函数
【答案】C
【分析】根据函数奇偶性的定义逐项分析即得.
【详解】选项A: 因为的定义域为R，
又，
所以是奇函数，故A错误；
选项B: 因为的定义域为R，
又，
所以是偶函数，故B错误；
选项C: 因为的定义域为R，
又，
所以是奇函数，故C正确；
选项D: 因为的定义域为R，
又，
所以是偶函数，故D错误.
故选：C.
变式2.已知，且，（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，判断函数为奇函数，得到，代入数据结合奇函数性质得到答案.
【详解】设，，
则，故为奇函数，
，，，
.
故选：D
变式3.使函数为偶函数的最小正数φ＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由函数为偶函数，得，由此能求出使函数为偶函数的最小正数φ的值．
【详解】∵函数为偶函数，
∴，
∴使函数为偶函数的最小正数．
故选：B
变式4.已知函数，则是为奇函数的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先代入，化简出，由函数奇偶性定义得到此时为奇函数，充分性成立，再求出必要性不成立，得到答案.
【详解】时，可得，定义域为R，
此时，
故为奇函数，故充分性成立，
而当为奇函数时，得，故不一定为，故必要性不成立，
是为奇函数的充分不必要条件.
故选：B
对称性
例12.函数的图像关于（ ）
A．点对称 B．点对称 C．直线对称 D．直线对称
【答案】A
【分析】根据题意，分别将与代入检验，即可得到结果.
【详解】令，可得，所以图像关于点对称，故A正确，C错误；
令，可得，所以图像不关于点对称，
也不关于直线对称，故BD错误；
故选：A
变式1.函数的图象的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将各项对应自变量代入解析式求函数值，判断是否成立即可.
【详解】时，不是对称轴；
时，不是对称轴；
时，是对称轴；
时，不是对称轴；
故选：C
变式2.若函数，则下列结论不正确的是（ ）
A．的一个周期为
B．的图象关于直线对称
C．的一个零点为
D．在区间上单调递减
【答案】D
【分析】根据余弦型函数图像及性质判断各选项.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，把代入，则，所以关于直线对称，故B正确；
对于C，，把代入，则，故C正确；
对于D，由，，当时，即，单调递增，故D错误.
故选：D.
变式3.若函数对任意实数都有，那么的值等于（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【分析】由得函数图象的对称轴为，即得的值.
【详解】由得函数图象的对称轴为，
因为余弦函数在对称轴取到函数的最值，
所以.
故选：C
【点睛】本题主要考查余弦函数的对称轴和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
【方法技巧与总结】
(1)形如y＝A sin (ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)，可利用T＝求周期．
(2)比较大小：利用诱导公式转化为自变量在同一单调区间上．
(3)求形如：y＝a sin x＋b的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性求解．
(4)判断函数的奇偶性时，必须先检查其定义域是否关于原点对称．如果是，再验证f(－x)是否等于－f(x)或f(x)，进而判断函数的奇偶性；如果不是，那么该函数必为非奇非偶函数．
一、单选题
1．（2022上·湖南长沙·高一周南中学校考期末）下列函数是奇函数且在区间上是增函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】根据题意依次分析选项中函数的奇偶性和单调性即可得答案．
【解答】对于A：是正弦函数且为奇函数，且在区间上是增函数，故A符合题意；
对于B：是指数函数不是奇函数，故B不符合题意；
对于C：是二次函数，且为偶函数不是奇函数，故C不符合题意；
对于D： 是反比例函数且是奇函数，但在区间上是减函数，故D不符合题意.
故选：A．
2．（2024·陕西西安·西安一中校考模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据指数函数的性质判断a的范围，利用指数函数、幂函数以及正弦函数的单调性可比较的大小关系，结合b的范围，即可判断出答案.
【详解】由题意得，
且，
又，故，
故选：C
3．（2024下·湖南长沙·高三长沙一中校考开学考试）函数的图象（ ）
A．关于轴对称 B．关于原点对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用诱导公式及余弦函数性质判断即得.
【详解】函数的定义域为R，，
而函数是偶函数，所以函数的图象关于轴对称.
故选：A
4．（2023下·青海西宁·高一统考开学考试）函数的图象关于原点对称，则的取值可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用三角函数图象的对称性即可得到，，根据条件和选项即可得出答案.
【详解】因为函数的图象关于原点对称，
所以，.
又，结合选项，得的取值可能是.
故选：D
5．（2023下·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）已知函数在区间上至少存在两条对称轴，则的最小值为（ ）
A．6 B．
C． D．
【答案】C
【分析】化简函数，根据题意，结合余弦型函数的性质，列出不等式，即可求解.
【详解】因为函数，
由，可得，
要使得函数在区间上至少存在两条对称轴，
根据余弦型函数的性质，则满足，解得，
所以实数的最小值为.
故选：C.
6．（2024下·甘肃·高三武威第六中学校联考开学考试）函数的单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据余弦函数的单调性及复合函数的性质，列式解得答案.
【详解】，
由题意单调递减，且，
则，解得，，
所以的单调递减区间是.
故选：D.
7．（2022·全国·模拟预测）函数在的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】判断出函数的奇偶性排除两个选项，再由特殊值判断即可.
【详解】∵，
∴为奇函数，其图象关于原点中心对称，故排除C、D选项；
又，故排除A选项.
故选:B.
8．（浙江省湖州市2023-2024学年高一上学期期末数学试题）我们知道，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是．已知某音是由3个不同的纯音合成，其函数为，则（ ）
A． B．的最大值为
C．的最小正周期为 D．在上是增函数
【答案】D
【分析】首先代入，即可判断A；再分别根据函数，，的性质，判断BCD选项.
【详解】A.，故A错误；
B.，当，时，函数取得最大值1，
，当，时，函数取得最大值，
，当，时，函数取得最大值，由，
但三个函数不能同时取得最大值，所以函数的最大值小于，故B错误；
C.的最小正周期为，的最小正周期为，
的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故C错误；
D.，，，
所以函数，，在都是单调递增函数，
则函数在上是增函数，故D正确.
故选：D
9．（2024上·浙江宁波·高一余姚中学校联考期末）已知函数.若为奇函数，为偶函数，且在上没有最小值，则的最大值是（ ）
A．2 B．6 C．10 D．14
【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性求出，再由在上没有最小值，求出答案.
【详解】由题意知，
因为为奇函数，所以，
，
因为为偶函数，所以，
相加得，
又因为，所以，
当代入得，即，
代入得，即，即；
当代入得，即，
代入得，即，即；
因为 在上没有最小值，
设，则，所以，的最大值是6.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是利用奇偶性求出及的表达式；二是利用区间上没有最小值可求的不等关系.
10．（2024上·浙江金华·高一统考期末）若实数，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】构造函数，可得在上为增函数，且为偶函数，再根据结合偶函数性质判断即可.
【详解】设，则为偶函数，
设，则因为在上均为增函数，
故，故，
故在上为增函数，且为偶函数.
又，则，
即，当且仅当时取等号.
故，故.
故选：C
11．（2024上·江苏苏州·高三统考期末）已知函数的最小正周期为，则在区间上的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】由周期公式求得，结合换元法即可求得最大值.
【详解】由题意，解得，所以，
当时，，
所以在区间上的最大值为，当且仅当时等号成立.
故选：C.
12．（2024下·湖南·高三校联考开学考试）已知函数在上单调，且，则的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】根据的单调性、对称性求得的范围以及的一个零点，根据以及图象进行分类讨论，由此求得的可能取值.
【详解】因为在上单调，，
所以，
因为，所以，又，
如下图依次讨论对应为点四种情况，
若，则，满足；
若，则，满足；
由，若，则，满足；
若，则，不满足，其它情况均不符合.
故选：ACD
【点睛】方法点睛：三角函数或，如果函数在某个区间上单调，则这个区间的长度不大于半周期.形如的条件，可以考虑对称性或周期性.形如的条件，可以考虑对称性（零点）.
二、多选题
13．（2024上·福建·高一福建师大附中校考期末）已知函数的最小正周期为，则（ ）
A．
B．是图象的一条对称轴
C．在区间上单调递增
D．在区间上的最小值为
【答案】AB
【分析】利用函数的最小正周期为求出可判断A；代入法可判断B，利用余弦函数的单调性可判断C；根据的范围求出的值域可判断D.
【详解】因为函数的最小正周期为，
所以，可得，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，当时，，因为在单调递减，故C错误；
对于D，当时，，所以，
可得，故D错误.
故选：AB.
14．（2024上·贵州黔东南·高一统考期末）已知函数在上恰有3个零点，则的值可能为（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】BC
【分析】首先求的范围，再结合正弦函数的图象和性质，即可求解.
【详解】由，得，
则，解得，选项中只有5和满足.
故选：BC
15．（2024上·湖南衡阳·高一统考期末）设，已知在上有且仅有5个零点，则下列结论正确的是（ ）
A．在上有且仅有3个最大值点 B．在上有且仅有2个最小值点
C．在上单调递增 D．的取值范围是
【答案】ACD
【分析】将看成整体角，根据题意得，结合正弦函数的图象观察分析求得，且易得在上有且仅有3个最大值点，但最小值点个数不确定，最后由推得，根据求得的判断的范围能确保单调递增即得.
【详解】
设，由，可得，作出的图象如图，要使在上有且仅有5个零点，
须使，解得：，故D项正确；
对于A项，由图可知时，，在此区间上函数有且仅有3个最大值点，故A项正确；
对于B项，由图可知时，，在此区间上，函数的最小值点可能有2个或3个,故B项错误；
对于C项，当时，，由上分析知，则，即，
而此时单调递增，故在上单调递增，故C项正确.
故选：ACD.
16．（2024上·贵州安顺·高一统考期末）设函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的一个零点为 B．的图象关于直线对称
C．是周期函数 D．方程有3个解
【答案】BCD
【分析】对A，代入判断即可；对B，根据判断即可；对C，根据周期函数的定义判断即可；对D，作图分析与的图象交点个数即可.
【详解】对A，，故A错误；
对B，，，
故，故的图象关于直线对称，故B正确；
对C，设，则，故是周期函数，故C正确；
对D，作出与的图象，
当时，，且，，
故在之间两函数图象有1个交点；
当时，，且，又，
故由图可得在之间两函数图象有2个交点；
当时，，，两函数图象无交点；
综上可得有3个解，故D正确.
故选：BCD
17．（2024上·安徽芜湖·高一统考期末）已知函数，则（ ）
A．是周期函数
B．的最小值是
C．的图象至少有一条对称轴
D．在上单调递增
【答案】BCD
【分析】由周期定义判断A,整体和复合函数思想判断BD,对称性质判断C.
【详解】若是周期函数，则存在非零常数, 使得，
化简得，则
或，可知均与x有关，故非零常数不存在，A错误；
令,则，故的最小值是，故B正确；
结合B选项，因为，故的对称轴为，故C正确；
由B易知：在单调递增，且，故单调递增，
由复合函数单调性知在上单调递增，故D正确.
故选:BCD
【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数性质及应用，注意复合函数思想应用判断BD.
三、填空题
18．（2024上·福建龙岩·高一福建省武平县第一中学校联考期末）已知函数且，写出满足条件的的一个值 ．
【答案】（答案不唯一，满足条件即可）
【分析】根据正弦函数的图象求解即可.
【详解】由函数且，
得，
所以或，
所以或，
所以满足条件的可以是.
故答案为：.（答案不唯一，满足条件即可）
19．（2022·全国·高三专题练习）在内，不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】利用余弦函数的性质即可得解.
【详解】因为在上单调递减，且，
所以在上，由，得；
而在上单调递增，且，
所以在上，由，得；
综上，，即.
故答案为：.
20．（2024上·山东济宁·高一统考期末）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】令，结合题意分析可知在上单调递增，结合二次函数性质分析求解.
【详解】因为，，
令，由可知，可得，
又因为函数在上是单调递增函数，
可知在上单调递增，
则，解得：，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：.
21．（2022·全国·高三专题练习）若函数在的图象与直线有两个交点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】将函数写成分段函数的形式，在同一坐标系下画出函数和函数图象，利用数形结合即可判断两函数有两个不同的交点时实数的取值范围.
【详解】依题意，，
画出函数的图象，如图：
由图象知，当，即时，函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
22．（2024下·湖北·高一湖北省汉川市第一高级中学校联考开学考试）若函数在上的值域为，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】依题意可得，令则，结合函数的值域，求出所对应的的值，再结合正弦函数的性质可得.
【详解】因为，，
令，则，因为，
当时，，此时；
令即，解得，
又，，
结合图象可知：，所以的取值范围为.
故答案为：
23．（2024下·河南·高三校联考开学考试）若函数在区间上恰有两个不相等的实数满足，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】借助余弦函数的图象与性质计算即可得.
【详解】由函数的最大值为，最小值为，可得或，
由故有，解得．
故答案为：.
四、解答题
24．（2022下·陕西咸阳·高一咸阳市实验中学校考阶段练习）已知函数．
(1)求的单调递增区间；
(2)求的最大值和取得最大值时相应的值．
【答案】(1)
(2)当时，函数取得最大值2
【分析】（1）根据正弦函数的单调性，利用整体代换法求解；
（2）根据正弦函数的最值，利用整体代换法求解；
【详解】（1）由，
得．
的单调递增区间是．
（2），
当，
即时，函数取得最大值2．
25．（2023下·新疆喀什·高二统考期末）已知函数
(1)求的值和的最小正周期；
(2)求的单调递增区间
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据题意，结合三角函数的诱导公式和周期的计算公式，即可求解；
（2）根据题意，结合正弦型函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：由函数，
可得，
函数的最小正周期为.
（2）解：由函数，
令，解得，
所以函数的单调递增区间为.
26．（2024上·北京平谷·高一统考期末）已知函数．
(1)求的值；
(2)求函数的单调递减区间；
(3)当时，求的最大值与最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)最大值为，最小值为
【分析】（1）根据条件，代入函数中，利用诱导公式及特殊角的三角函数值，即可求出结果；
（2）利用的单调减区间，整体代入即可求出结果；
（3）通过换元，利用的图像，求出在区间上的最值，即可求出结果.
【详解】（1）因为，所以.
（2）由，得到，
所以函数的单调递减区间为.
（3）当，，令，则，
由的图像知，
当时，最小为，当时，最大为，
所以的最大值为，最小值为.
27．（2022下·陕西咸阳·高一咸阳市实验中学校考阶段练习）已知函数．
(1)求函数图象的对称中心；
(2)若，求不等式的解集．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据图象的对称中心求出图象的对称中心；
（2）将不等式化简为，对分类讨论求解不等式.
【详解】（1）易知图象的对称中心为，
图象的对称中心为．
图象的对称中心为．
（2）不等式，即为．
，即．
当时，显然有（不能同时取等号）恒成立；
当时，由三角函数的单调性知单调递减，
又的解集是；
当时，显然有无解；
当时，由三角函数的单调性知单调递增，
又的解集是．
不等式的解集为．
28．（2024下·湖北十堰·高一校考开学考试）已知函数.
(1)求当取得最大值时，的取值集合；
(2)完成下列表格并在给定的坐标系中，画出函数在上的图象.
【答案】(1)
(2)图象见解析
【分析】（1）利用余弦函数性质建立方程，求解即可.
（2）利用列表、描点法作出函数图象.
【详解】（1）由题意，当取得最大值时，有，，
所以，，所以的取值集合为.
（2）列表如下：
x 0
0 0 2
则函数在上的图象，如图：
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)1.5 正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识
3种常见考法归类
课程标准 学习目标
借助单位圆，能画出正弦、余弦函数的图象，借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质． 三角函数的图象是认识三角函数的窗口，通过本节课的学习要求会作正弦函数、余弦函数的图象的同时，能认识图象与三角函数的密切关系，并能解决与图象有关的三角函数问题.
知识点01正弦函数y＝sin x，x∈R的图象．
在函数y=sin x，的图象上，起关键作用的点有以下五个：,如下表：
x 0
y=sin x 0 1 0 0
描出这五个点后,函数y=sin x，的图象形状就基本上确定了．因此，在精确度要求不高时，我们可以先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线顺次将它们连接起来，就得到函数的简图，这种作图的方法称为五点法作图．
【即学即练1】用五点法作函数y＝2sin x－1的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是（ ）
A．0，，π，，2π B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，，
【即学即练2】在[0,2π]内，作出函数y＝3－sin x的图象．
【即学即练3】试求关于x的不等式
知识点02正弦函数的性质
定义域 R
值域 [－1，1]
周期性 最小正周期2π
奇偶性 奇函数
单调性 在区间(k∈Z)上单调递增， 在区间(k∈Z)上单调递减
最大(小)值 当x＝2kπ＋，k∈Z时，最大值为1； 当x＝2kπ＋，k∈Z时，最小值为－1.
【即学即练4】若函数的定义域为（ ）
A．（）
B．（）
C．（）
D．（）
【即学即练5】函数在上是（ ）
A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．先减后增
【即学即练6】已知函数，在上单调递增，那么常数的取值范围__________．
【即学即练7】已知函数，若函数是偶函数，则的最小正值为（ ）
A． B． C． D．
知识点03　余弦函数y＝cos x，x∈R的图象．
1．利用图象变换作余弦函数的图象
根据诱导公式，由，可知余弦函数的图象可以通过将正弦曲线向左平移个单位长度而得到．如图所示．类似地，我们把余弦函数的图象叫做余弦曲线（cosine curve）．
2．用五点法作余弦函数的图象
与正弦函数的图象一样，在函数的图象上，起关键作用的点有以下五个：
,如下表：
x 0
y=cos x 1 0 0 1
同样，在精确度要求不高时，我们可以先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线顺次将它们连接起来，就得到函数的简图，这种作图的方法也称为五点法作图．
【即学即练8】用“五点法”作函数y＝1－cos x，x∈[0，2π]的图象时，应取的五个关键点分别是______________.
【即学即练9】【多选】函数y=1+cosx，的图象与直线y=t（t为常数）的交点可能有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 E.4个
【即学即练10】已知函数，.
(1)用五点法画函数在上的图像；
(2)解不等式.
【即学即练11】已知集合，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点04　余弦函数的性质．
函数性质 y＝cos x
定义域 R
值域 [－1，1]
奇偶性 偶函数
单调性 当x∈[2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z)时，函数是递增的； 当x∈[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)时，函数是递减的
周期性 最小正周期是2π
最值 当x＝2kπ(k∈Z)时，y的最大值为1； 当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，y的最小值为－1
对称轴 x＝kπ(k∈Z)
对称中心 (k∈Z)
【即学即练12】函数定义域为（　　）
A． B．
C． D．
【即学即练13】函数在区间上的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练14】函数的一个单调递增区间是（ ）．
A． B． C． D．
【即学即练15】函数的单调递增区间是（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
题型一：用五点法作正余弦函数的简图
例1.用“五点法”作函数在上的图象时，应取的五个点依次为___________ ___________ ___________ ___________ ___________.
变式1.画出函数y＝1＋cos x，x∈[0,2π]的图象．
变式2.已知是实数，则函数的图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧与总结】
1、用五点法画函数y＝A sin x＋b(A≠0)，x∈[0，2π]的简图的步骤：
(1)列表：
x 0 π 2π
y＝sin x 0 1 0 －1 0
y＝A sin x＋b b A＋b b －A＋b b
(2)描点：在平面直角坐标系中描出(0，b)，，(π，b)，，(2π，b)五个点．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来．
2、作形如y＝a cos x＋b，x∈[0，2π]的图象的步骤
题型二：正余弦函数图象的应用
例2.在内，不等式的解集是（ ）
A．(0，π) B． C． D．
变式1.不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
变式2.使得正确的一个区间是（ ）A． B．
C． D．
例3.根据函数的图像，可得方程的解为（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
变式1.函数与图像交点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
变式2.方程log2x＝cosx的实根个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无数个
例4.若方程在上有两个不同的实数根，则实数的取值范围为___________.
变式1.函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，求实数的取值范围．
例5.函数的定义域是
A． B．
C． D．
【方法技巧与总结】
1、利用正弦曲线求解sin x≥a(≤a)的步骤
(1)作出正弦函数在一个周期内的图象；(2)作直线y＝a与函数图象相交；(3)在一个周期内确定x的取值范围；(4)根据正弦函数周期性确定最终范围．
2、用余弦函数的图象求角的范围时，首先可以作出y＝cos x在一个周期内的图象，然后找出适合条件的角的范围，最后依据周期性，写出所有满足条件的角的范围．
题型三：正余弦函数的基本性质
求周期
例6.下列函数，最小正周期为的是（ ）
A． B．
C． D．
变式1.设是定义域为R且最小正周期为的函数，且有，则（ ）
A． B．
C．0 D．1
变式2.若，是函数两个相邻的最值点，则等于（ ）
A．2 B． C．1 D．
单调性的应用
例7.已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
变式1.已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
例8.下列关于函数，的单调性的叙述，正确的是（ ）
A．在上单调递增，在上单调递减
B．在上单调递增，在上单调递减
C．在及上单调递增，在上单调递减
D．在上单调递增，在及上单调递减
变式1.函数的严格减区间是 ．
例9.若函数在区间单调递减，且最小值为负值，则的值可以是（ ）
A．1 B． C．2 D．
变式1.已知，记（）．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．3 B． C． D．
最大(小)值
例10.函数，的值域是（ ）
A． B．
C． D．
变式1.函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
变式2.函数的最大值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
变式3.已知函数在上的值域为，则m的取值范围是______．
变式4.已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求此时x的值．
奇偶性
例11.下列函数是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
变式1.函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是奇函数
变式2.已知，且，（ ）
A． B． C． D．
变式3.使函数为偶函数的最小正数φ＝（　　）
A． B． C． D．
变式4.已知函数，则是为奇函数的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
对称性
例12.函数的图像关于（ ）
A．点对称 B．点对称 C．直线对称 D．直线对称
变式1.函数的图象的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．
变式2.若函数，则下列结论不正确的是（ ）
A．的一个周期为
B．的图象关于直线对称
C．的一个零点为
D．在区间上单调递减
变式3.若函数对任意实数都有，那么的值等于（ ）
A． B． C． D．不能确定
【方法技巧与总结】
(1)形如y＝A sin (ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)，可利用T＝求周期．
(2)比较大小：利用诱导公式转化为自变量在同一单调区间上．
(3)求形如：y＝a sin x＋b的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性求解．
(4)判断函数的奇偶性时，必须先检查其定义域是否关于原点对称．如果是，再验证f(－x)是否等于－f(x)或f(x)，进而判断函数的奇偶性；如果不是，那么该函数必为非奇非偶函数．
一、单选题
1．（2022上·湖南长沙·高一周南中学校考期末）下列函数是奇函数且在区间上是增函数的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024·陕西西安·西安一中校考模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024下·湖南长沙·高三长沙一中校考开学考试）函数的图象（ ）
A．关于轴对称 B．关于原点对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
4．（2023下·青海西宁·高一统考开学考试）函数的图象关于原点对称，则的取值可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023下·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）已知函数在区间上至少存在两条对称轴，则的最小值为（ ）
A．6 B．
C． D．
6．（2024下·甘肃·高三武威第六中学校联考开学考试）函数的单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·全国·模拟预测）函数在的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．（浙江省湖州市2023-2024学年高一上学期期末数学试题）我们知道，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是．已知某音是由3个不同的纯音合成，其函数为，则（ ）
A． B．的最大值为
C．的最小正周期为 D．在上是增函数
9．（2024上·浙江宁波·高一余姚中学校联考期末）已知函数.若为奇函数，为偶函数，且在上没有最小值，则的最大值是（ ）
A．2 B．6 C．10 D．14
10．（2024上·浙江金华·高一统考期末）若实数，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024上·江苏苏州·高三统考期末）已知函数的最小正周期为，则在区间上的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
12．（2024下·湖南·高三校联考开学考试）已知函数在上单调，且，则的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
13．（2024上·福建·高一福建师大附中校考期末）已知函数的最小正周期为，则（ ）
A．
B．是图象的一条对称轴
C．在区间上单调递增
D．在区间上的最小值为
14．（2024上·贵州黔东南·高一统考期末）已知函数在上恰有3个零点，则的值可能为（ ）
A．4 B．5 C． D．
15．（2024上·湖南衡阳·高一统考期末）设，已知在上有且仅有5个零点，则下列结论正确的是（ ）
A．在上有且仅有3个最大值点 B．在上有且仅有2个最小值点
C．在上单调递增 D．的取值范围是
16．（2024上·贵州安顺·高一统考期末）设函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的一个零点为 B．的图象关于直线对称
C．是周期函数 D．方程有3个解
17．（2024上·安徽芜湖·高一统考期末）已知函数，则（ ）
A．是周期函数
B．的最小值是
C．的图象至少有一条对称轴
D．在上单调递增
三、填空题
18．（2024上·福建龙岩·高一福建省武平县第一中学校联考期末）已知函数且，写出满足条件的的一个值 ．
19．（2022·全国·高三专题练习）在内，不等式的解集是 ．
20．（2024上·山东济宁·高一统考期末）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是 ．
21．（2022·全国·高三专题练习）若函数在的图象与直线有两个交点，则实数的取值范围是 ．
22．（2024下·湖北·高一湖北省汉川市第一高级中学校联考开学考试）若函数在上的值域为，则的取值范围为 ．
23．（2024下·河南·高三校联考开学考试）若函数在区间上恰有两个不相等的实数满足，则实数的取值范围是 ．
四、解答题
24．（2022下·陕西咸阳·高一咸阳市实验中学校考阶段练习）已知函数．
(1)求的单调递增区间；
(2)求的最大值和取得最大值时相应的值．
25．（2023下·新疆喀什·高二统考期末）已知函数
(1)求的值和的最小正周期；
(2)求的单调递增区间
26．（2024上·北京平谷·高一统考期末）已知函数．
(1)求的值；
(2)求函数的单调递减区间；
(3)当时，求的最大值与最小值．
27．（2022下·陕西咸阳·高一咸阳市实验中学校考阶段练习）已知函数．
(1)求函数图象的对称中心；
(2)若，求不等式的解集．
28．（2024下·湖北十堰·高一校考开学考试）已知函数.
(1)求当取得最大值时，的取值集合；
(2)完成下列表格并在给定的坐标系中，画出函数在上的图象.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑