人教版(2024版)七下数学 10.4 三元一次方程组的解法(第2课时) 课件(共24张PPT)+教案+同步探究学案

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人教版(2024版)七下数学 10.4 三元一次方程组的解法(第2课时) 课件(共24张PPT)+教案+同步探究学案

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(共24张PPT)
第十章 二元一次方程组
10.4 三元一次方程组的解法
(第2课时)
经历运用三元一次方程组解决实际问题的过程,能分析实际问题中的数量关系,会设未知数,列方程组并求解,得到实际问题的答案,发展模型观念。
1.如果方程组含有______未知数,且含有未知数的式子都是整式,含有未知数的项的次数都是____,一共有______方程,像这样的方程组叫作三元一次方程组.
2.解三元一次方程组的基本思路是:通过“______”或“______”进行消元,把“_______”转化为“_______”,使解三元一次方程组转化为解_________________ ,进而再转化为解一元一次方程.
三个
三个
1
三元
二元
代入
加减
二元一次方程组
在解决一些含有三个未知数的问题时,可以考虑列三元一次方程组,通过解方程组获得问题的答案.
例1:在等式 y=ax2+bx+c 中,当 x=-1 时,y=0;当 x=2 时,y=3;当 x=5 时,y=60.求 a,b,c 的值.
分析:把 a,b,c 看作三个未知数,分别把已知的 x,y 值代入原等式,就可以得到一个三元一次方程组.
  解:根据题意,得三元一次方程组
②-①,得
a+b=1; ④
③-①,得
4a+b=10. ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
解这个方程组,得
把代入①,得
c=-5.
因此 a,b,c 的值分别为 3,-2,-5.
例2: 一个三位数,各数位上的数的和为14,百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位上的数的.如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置,那么所得的新数比原数小99.求这个三位数.
分析:把这个三位数各位上的数看成三个未知数,则根据题目中的三个相等关系,可以列三元一次方程组.
各数位上的数的和为14
百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位上的数的
如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置,那么所得的新数比原数小99
解:设这个三位数百位上的数为x,十位上的数为y,个位上的数为z. 根据题意,列得三元一次方程组
解这个方程组,得
因此这个三位数是473.
数学问题
(三元一次方程组)
实际问题
设未知数
列方程组
解方程组
代入法
加减法
数学问题的解
(三元一次方程组的解)
实际问题的答案
检验
利用三元一次方程组解决实际问题的基本思路。
(消元)
列三元一次方程组解决实际问题的一般步骤:
(1)审:弄清题中的已知量、未知量,找出题中的相等关系.
(2)设:恰当地设未知数.
(3)列:根据(1)中的相等关系列方程组.
(4)解:正确地解方程组.
(5)验:检验解是不是原方程组的解且符合题意.
(6)答:答案要完整且单位统一.
【知识技能类练习】必做题:
1.在等式中,当 =0时 =1 ,当时 =0;当时,则的值为 .
【知识技能类练习】必做题:
2.李红在做这样一个题目:在等式y=ax2+bx+c中,当x=1时,y=6;当x=2时,y=21;当x=-1时,y=0;当x=-2时,y等于多少?她想:在求y值之前应先求a,b,c的值.你认为她的想法正确吗?请你帮她求出a,b,c的值.
解:她的想法正确.根据题意,得
解得
即a,b,c的值分别为4,3,-1.
【知识技能类练习】必做题:
3.有一个三位数,十位上的数字等于个位上的数字与百位上的数字之和.如果把个位上的数字与百位上的数字交换,那么新数比原来的数大99;如果把个位上的数字移至百位上的数字之前,那么新三位数比原数大63.求原三位数.
解:设原三位数的百位上的数字为x,十位上的数字为y,个位上的数字为z.根据题意,得
解这个方程组,得所以原三位数为374.
【知识技能类练习】选做题:
4.在整式ax2+bx+c中,当x=1,2,3时,整式的值依次是0,3,28.求a,b,c的值.
解:因为在ax2+bx+c中,当x=1,2,3时,整式的值依次是0,3,28,所以
解这个方程组,得
即a,b,c的值分别为11,-30,19.
【综合拓展类练习】
5.幻方是一种中国传统游戏,我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格.将9个数填入幻方的空格中,要求每一行、每一列以及两条对角线上的3个数之和相等,图1是一个已完成的幻方.图2是一个未完成的幻方,其中的值为 .
三元一次方程组
列三元一次方程组解决实际问题的一般步骤
利用三元一次方程组解决实际问题的基本思路
【知识技能类作业】必做题:
1.对于等式y=ax2+bx+c,当x=-1时,y=0;当x=5时,y=60;当x=0时,y=-5.求a2+2ab+c2的值.
解:由题意,得
解这个方程组,得
所以a2+2ab+c2=32+2×3×(-2)+(-5)2=9-12+25=22.
【知识技能类作业】必做题:
2.仔细观察图,认真阅读对话:
根据以上对话内容,可知小明买的5元邮票有(  ).
A.1枚 B.3枚 C.5枚 D.7枚
B
【知识技能类作业】必做题:
3.某学校的篮球的数量比排球的2倍少3,足球与排球的数量之比是2∶3,这三种球共41个,则三种球各有多少个?
解:设篮球有x个,排球有y个,足球有z个.根据题意,得
把①代入③,得3y+z=44,所以z=44-3y.④
把④代入②,得y=12.把y=12分别代入①④,得x=21,z=8.
所以这个方程组的解为
答:篮球有21个,排球有12个,足球有8个.
【知识技能类作业】选做题:
4.若|x+2y-5|+(2y+3z-13)2+(3z+x-10)2=0,试求x,y,z的值.
解:因为|x+2y-5|+(2y+3z-13)2+(3z+x-10)2=0,
且|x+2y-5|≥0,(2y+3z-13)2≥0,(3z+x-10)2≥0,
所以
解这个方程组,得
即x,y,z的值为1,2,3.
【综合拓展类作业】
5.聪聪是数学爱好者,多次参加“希望之星竞赛”活动.有一天聪聪和妈妈去商场购物,购A,B,C三样商品各3件、2件、1件,共付款315元,而另一位阿姨购A,B,C三样商品各5件、3件、1件,共付款480元,聪聪想了想,说:“我能算出购A,B,C三样商品各1件共多少钱.”请你用所学的知识算一算,相信你一定能算出来
解:设A,B,C三样商品的单价分别是x,y,z元,则

得,
购A,B,C三样商品各一件共150元.中小学教育资源及组卷应用平台
同步探究学案
课题 10.4 三元一次方程组的解法(第2课时) 单元 第十章 学科 数学 年级 七年级
学习 目标 经历运用三元一次方程组解决实际问题的过程,能分析实际问题中的数量关系,会设未知数,列方程组并求解,得到实际问题的答案,发展模型观念。
重点 分析实际问题中的相等关系,利用三元一方程组解决实际问题。
难点 从实际背景中提取数学信息,并转化成数学语言,明确未知数,建立方程组解决实际问题。
探究过程
导入新课 【引入思考】 1.如果方程组含有______未知数,且含有未知数的式子都是整式,含有未知数的项的次数都是____,一共有______方程,像这样的方程组叫作三元一次方程组. 2.解三元一次方程组的基本思路是:通过“______”或“______”进行消元,把“_______”转化为“_______”,使解三元一次方程组转化为解_________________ ,进而再转化为解一元一次方程.
新知探究 本节课来研究: 本节我们借助三元一次方程组,解决含有三个未知数的问题。 例1:在等式 y=ax2+bx+c 中,当 x=-1 时,y=0;当 x=2 时,y=3;当 x=5 时,y=60.求 a,b,c 的值. 例2: 一个三位数,各数位上的数的和为14,百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位上的数的.如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置,那么所得的新数比原数小99.求这个三位数. 归纳:利用三元一次方程组解决实际问题的基本思路。 列三元一次方程组解决实际问题的一般步骤: (1)审:弄清题中的已知量、未知量,找出题中的相等关系. (2)设:恰当地设未知数. (3)列:根据(1)中的相等关系列方程组. (4)解:正确地解方程组. (5)验:检验解是不是原方程组的解且符合题意. (6)答:答案要完整且单位统一.
课堂练习 【知识技能类练习】 1.在等式中,当 =0时 =1 ,当时 =0;当时,则的值为 . 2.李红在做这样一个题目:在等式y=ax2+bx+c中,当x=1时,y=6;当x=2时,y=21;当x=-1时,y=0;当x=-2时,y等于多少?她想:在求y值之前应先求a,b,c的值.你认为她的想法正确吗?请你帮她求出a,b,c的值. 3.有一个三位数,十位上的数字等于个位上的数字与百位上的数字之和.如果把个位上的数字与百位上的数字交换,那么新数比原来的数大99;如果把个位上的数字移至百位上的数字之前,那么新三位数比原数大63.求原三位数. 选做题: 4.在整式ax2+bx+c中,当x=1,2,3时,整式的值依次是0,3,28.求a,b,c的值. 【综合拓展类练习】 5.幻方是一种中国传统游戏,我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格.将9个数填入幻方的空格中,要求每一行、每一列以及两条对角线上的3个数之和相等,图1是一个已完成的幻方.图2是一个未完成的幻方,其中的值为 .
课堂小结 说一说:今天这节课,你都有哪些收获?
作业设计 【知识技能类作业】 必做题: 1.对于等式y=ax2+bx+c,当x=-1时,y=0;当x=5时,y=60;当x=0时,y=-5.求a2+2ab+c2的值. 2.仔细观察图,认真阅读对话: 根据以上对话内容,可知小明买的5元邮票有(  ). A.1枚 B.3枚 C.5枚 D.7枚 3.某学校的篮球的数量比排球的2倍少3,足球与排球的数量之比是2∶3,这三种球共41个,则三种球各有多少个? 选做题: 4.若|x+2y-5|+(2y+3z-13)2+(3z+x-10)2=0,试求x,y,z的值. 【综合拓展类作业】 5.聪聪是数学爱好者,多次参加“希望之星竞赛”活动.有一天聪聪和妈妈去商场购物,购A,B,C三样商品各3件、2件、1件,共付款315元,而另一位阿姨购A,B,C三样商品各5件、3件、1件,共付款480元,聪聪想了想,说:“我能算出购A,B,C三样商品各1件共多少钱.”请你用所学的知识算一算,相信你一定能算出来
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分课时教学设计
第十一课时《10.4 三元一次方程组的解法(第2课时)》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节内容是探究实际问题与三元一次方程组,通过学生在实际问题中进行分析,从而提高将实际问题转化为数学模型的能力;在解决实际问题的过程中,使学生感受到数学与现实生活的紧密联系,体会数学在生活中的应用价值,增强学生的数学应用意识。
学习者分析 学性已掌握了三元一次方程组的解法,能够利用二元一次方程组解决实际问题。然而,对于三元一次方程组的认识和解题能力尚需进一步加强。
教学目标 经历运用三元一次方程组解决实际问题的过程,能分析实际问题中的数量关系,会设未知数,列方程组并求解,得到实际问题的答案,发展模型观念。
教学重点 分析实际问题中的相等关系,利用三元一方程组解决实际问题。
教学难点 从实际背景中提取数学信息,并转化成数学语言,明确未知数,建立方程组解决实际问题。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一:学习目标教师活动1: 师出示学习目标: 经历运用三元一次方程组解决实际问题的过程,能分析实际问题中的数量关系,会设未知数,列方程组并求解,得到实际问题的答案,发展模型观念。学生活动1: 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明: 明确本节课的学习目标,使教师的教和学生的学有效结合在一起,激发学生的学习动力,提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二:新知导入教师活动2: 问题:1.如果方程组含有______未知数,且含有未知数的式子都是整式,含有未知数的项的次数都是____,一共有______方程,像这样的方程组叫作三元一次方程组. 2.解三元一次方程组的基本思路是:通过“______”或“______”进行消元,把“_______”转化为“_______”,使解三元一次方程组转化为解_________________ ,进而再转化为解一元一次方程. 答案:1.三个,1,三个 2.代入,加减,三元,二元,二元一次方程组 导入:在解决一些含有三个未知数的问题时,可以考虑列三元一次方程组,通过解方程组获得问题的答案.学生活动2: 学生积极主动回答问题活动意图说明: 通过复习三元一次方程组的相关知识,为探究列方程组解决实际问题做好知识上的铺垫环节三:新知讲解教师活动3: 例1:在等式 y=ax2+bx+c 中,当 x=-1 时,y=0;当 x=2 时,y=3;当 x=5 时,y=60.求 a,b,c 的值. 分析:把 a,b,c 看作三个未知数,分别把已知的 x,y 值代入原等式,就可以得到一个三元一次方程组. 解:根据题意,得三元一次方程组 ②-①,得 a+b=1; ④ ③-①,得 4a+b=10. ⑤ ④与⑤组成二元一次方程组 解这个方程组,得 把代入①,得 c=-5. 因此 a,b,c 的值分别为 3,-2,-5. 例2: 一个三位数,各数位上的数的和为14,百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位上的数的.如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置,那么所得的新数比原数小99.求这个三位数. 分析:把这个三位数各位上的数看成三个未知数,则根据题目中的三个相等关系,可以列三元一次方程组. 解:设这个三位数百位上的数为x,十位上的数为y,个位上的数为z. 根据题意,列得三元一次方程组 解这个方程组,得 因此这个三位数是473. 归纳:利用三元一次方程组解决实际问题的基本思路。 列三元一次方程组解决实际问题的一般步骤: (1)审:弄清题中的已知量、未知量,找出题中的相等关系. (2)设:恰当地设未知数. (3)列:根据(1)中的相等关系列方程组. (4)解:正确地解方程组. (5)验:检验解是不是原方程组的解且符合题意. (6)答:答案要完整且单位统一.学生活动3: 学生认真读题、理解题意后小组合作探究,班内交流汇报活动意图说明: 通过对例题的探究,让学生体会三元一次方程组解决实际问题的基本思路、数学建模思想,掌握列方程组解决实际问题的一般步骤,提高学生的应用能力。环节四:课堂小结教师活动4: 问题:本节课你都学习到了哪些知识? 教师通过学生的回答,进行归纳 学生活动4: 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明: 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识,将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系,完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题:10.4 三元一次方程组的解法(第2课时) 一、利用三元一次方程组解决实际问题的基本思路 二、列三元一次方程组解决实际问题的一般步骤教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题: 1.在等式中,当 =0时 =1 ,当时 =0;当时,则的值为 . 答案: 2.李红在做这样一个题目:在等式y=ax2+bx+c中,当x=1时,y=6;当x=2时,y=21;当x=-1时,y=0;当x=-2时,y等于多少?她想:在求y值之前应先求a,b,c的值.你认为她的想法正确吗?请你帮她求出a,b,c的值. 解:她的想法正确. 根据题意,得 解得 即a,b,c的值分别为4,3,-1. 3.有一个三位数,十位上的数字等于个位上的数字与百位上的数字之和.如果把个位上的数字与百位上的数字交换,那么新数比原来的数大99;如果把个位上的数字移至百位上的数字之前,那么新三位数比原数大63.求原三位数. 解:设原三位数的百位上的数字为x,十位上的数字为y,个位上的数字为z. 根据题意,得 解这个方程组,得 所以原三位数为374. 选做题: 4.在整式ax2+bx+c中,当x=1,2,3时,整式的值依次是0,3,28.求a,b,c的值. 解:因为在ax2+bx+c中,当x=1,2,3时,整式的值依次是0,3,28, 所以 解这个方程组,得 即a,b,c的值分别为11,-30,19. 【综合拓展类练习】 5.幻方是一种中国传统游戏,我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格.将9个数填入幻方的空格中,要求每一行、每一列以及两条对角线上的3个数之和相等,图1是一个已完成的幻方.图2是一个未完成的幻方,其中的值为 . 答案:
作业设计 【知识技能类作业】 必做题: 1.对于等式y=ax2+bx+c,当x=-1时,y=0;当x=5时,y=60;当x=0时,y=-5.求a2+2ab+c2的值. 解:由题意,得 解这个方程组,得 所以a2+2ab+c2=32+2×3×(-2)+(-5)2=9-12+25=22. 2.仔细观察图,认真阅读对话: 根据以上对话内容,可知小明买的5元邮票有(  ). A.1枚 B.3枚 C.5枚 D.7枚 答案:B 3.某学校的篮球的数量比排球的2倍少3,足球与排球的数量之比是2∶3,这三种球共41个,则三种球各有多少个? 解:设篮球有x个,排球有y个,足球有z个. 根据题意,得 把①代入③,得3y+z=44, 所以z=44-3y.④ 把④代入②,得y=12. 把y=12分别代入①④,得x=21,z=8. 所以这个方程组的解为 答:篮球有21个,排球有12个,足球有8个. 选做题: 4.若|x+2y-5|+(2y+3z-13)2+(3z+x-10)2=0,试求x,y,z的值. 解:因为|x+2y-5|+(2y+3z-13)2+(3z+x-10)2=0,且|x+2y-5|≥0,(2y+3z-13)2≥0,(3z+x-10)2≥0, 所以 解这个方程组,得 即x,y,z的值为1,2,3. 【综合拓展类作业】 5.聪聪是数学爱好者,多次参加“希望之星竞赛”活动.有一天聪聪和妈妈去商场购物,购A,B,C三样商品各3件、2件、1件,共付款315元,而另一位阿姨购A,B,C三样商品各5件、3件、1件,共付款480元,聪聪想了想,说:“我能算出购A,B,C三样商品各1件共多少钱.”请你用所学的知识算一算,相信你一定能算出来 解:设A,B,C三样商品的单价分别是x,y,z元,则 , 得, 购A,B,C三样商品各一件共150元.
教学反思 本课教学采用启发式教学,强调学生的独思考、探索与合作探究,以提高学生的分析与解决问题的能力,并进一步体会了数学建模的思想。
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