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第十章 二元一次方程组
10.4 三元一次方程组的解法
（第2课时）
经历运用三元一次方程组解决实际问题的过程，能分析实际问题中的数量关系，会设未知数，列方程组并求解，得到实际问题的答案，发展模型观念。
1．如果方程组含有______未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是____，一共有______方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组．
2．解三元一次方程组的基本思路是：通过“______”或“______”进行消元，把“_______”转化为“_______”，使解三元一次方程组转化为解_________________ ，进而再转化为解一元一次方程．
三个
三个
1
三元
二元
代入
加减
二元一次方程组
在解决一些含有三个未知数的问题时，可以考虑列三元一次方程组，通过解方程组获得问题的答案．
例1：在等式 y＝ax2＋bx＋c 中，当 x＝－1 时，y＝0；当 x＝2 时，y＝3；当 x＝5 时，y＝60．求 a，b，c 的值．
分析：把 a，b，c 看作三个未知数，分别把已知的 x，y 值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组．
　　解：根据题意，得三元一次方程组
②－①，得
a＋b＝1； ④
③－①，得
4a＋b＝10． ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
解这个方程组，得
把代入①，得
c＝－5．
因此 a，b，c 的值分别为 3，－2，－5．
例2： 一个三位数，各数位上的数的和为14，百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位上的数的．如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置，那么所得的新数比原数小99．求这个三位数．
分析：把这个三位数各位上的数看成三个未知数，则根据题目中的三个相等关系，可以列三元一次方程组．
各数位上的数的和为14
百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位上的数的
如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置，那么所得的新数比原数小99
解：设这个三位数百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z． 根据题意，列得三元一次方程组
解这个方程组，得
因此这个三位数是473．
数学问题
(三元一次方程组)
实际问题
设未知数
列方程组
解方程组
代入法
加减法
数学问题的解
(三元一次方程组的解)
实际问题的答案
检验
利用三元一次方程组解决实际问题的基本思路。
（消元）
列三元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审：弄清题中的已知量、未知量，找出题中的相等关系．
（2）设：恰当地设未知数．
（3）列：根据（1）中的相等关系列方程组．
（4）解：正确地解方程组．
（5）验：检验解是不是原方程组的解且符合题意．
（6）答：答案要完整且单位统一．
【知识技能类练习】必做题：
1．在等式中，当 =0时 =1 ，当时 =0；当时，则的值为 ．
【知识技能类练习】必做题：
2．李红在做这样一个题目：在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝1时，y＝6；当x＝2时，y＝21；当x＝－1时，y＝0；当x＝－2时，y等于多少？她想：在求y值之前应先求a，b，c的值．你认为她的想法正确吗？请你帮她求出a，b，c的值．
解：她的想法正确．根据题意，得
解得
即a，b，c的值分别为4，3，－1．
【知识技能类练习】必做题：
3．有一个三位数，十位上的数字等于个位上的数字与百位上的数字之和．如果把个位上的数字与百位上的数字交换，那么新数比原来的数大99；如果把个位上的数字移至百位上的数字之前，那么新三位数比原数大63．求原三位数．
解：设原三位数的百位上的数字为x，十位上的数字为y，个位上的数字为z．根据题意，得
解这个方程组，得所以原三位数为374．
【知识技能类练习】选做题：
4．在整式ax2＋bx＋c中，当x＝1，2，3时，整式的值依次是0，3，28．求a，b，c的值．
解：因为在ax2＋bx＋c中，当x＝1，2，3时，整式的值依次是0，3，28，所以
解这个方程组，得
即a，b，c的值分别为11，－30，19．
【综合拓展类练习】
5．幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一行、每一列以及两条对角线上的3个数之和相等，图1是一个已完成的幻方．图2是一个未完成的幻方，其中的值为 ．
三元一次方程组
列三元一次方程组解决实际问题的一般步骤
利用三元一次方程组解决实际问题的基本思路
【知识技能类作业】必做题：
1．对于等式y＝ax2＋bx＋c，当x＝－1时，y＝0；当x＝5时，y＝60；当x＝0时，y＝－5．求a2＋2ab＋c2的值．
解：由题意，得
解这个方程组，得
所以a2＋2ab＋c2＝32＋2×3×(－2)＋(－5)2＝9－12＋25＝22．
【知识技能类作业】必做题：
2．仔细观察图，认真阅读对话：
根据以上对话内容，可知小明买的5元邮票有（　　）．
A．1枚 B．3枚 C．5枚 D．7枚
B
【知识技能类作业】必做题：
3．某学校的篮球的数量比排球的2倍少3，足球与排球的数量之比是2∶3，这三种球共41个，则三种球各有多少个？
解：设篮球有x个，排球有y个，足球有z个．根据题意，得
把①代入③，得3y＋z＝44，所以z＝44－3y．④
把④代入②，得y＝12．把y＝12分别代入①④，得x＝21，z＝8．
所以这个方程组的解为
答：篮球有21个，排球有12个，足球有8个．
【知识技能类作业】选做题：
4．若|x＋2y－5|＋(2y＋3z－13)2＋(3z＋x－10)2＝0，试求x，y，z的值．
解：因为|x＋2y－5|＋(2y＋3z－13)2＋(3z＋x－10)2＝0，
且|x＋2y－5|≥0，(2y＋3z－13)2≥0，(3z＋x－10)2≥0，
所以
解这个方程组，得
即x，y，z的值为1，2，3．
【综合拓展类作业】
5．聪聪是数学爱好者，多次参加“希望之星竞赛”活动．有一天聪聪和妈妈去商场购物，购A，B，C三样商品各3件、2件、1件，共付款315元，而另一位阿姨购A，B，C三样商品各5件、3件、1件，共付款480元，聪聪想了想，说：“我能算出购A，B，C三样商品各1件共多少钱．”请你用所学的知识算一算，相信你一定能算出来
解：设A，B，C三样商品的单价分别是x，y，z元，则
，
得，
购A，B，C三样商品各一件共150元．中小学教育资源及组卷应用平台
同步探究学案
课题 10.4 三元一次方程组的解法（第2课时） 单元 第十章 学科 数学 年级 七年级
学习 目标 经历运用三元一次方程组解决实际问题的过程，能分析实际问题中的数量关系，会设未知数，列方程组并求解，得到实际问题的答案，发展模型观念。
重点 分析实际问题中的相等关系，利用三元一方程组解决实际问题。
难点 从实际背景中提取数学信息，并转化成数学语言，明确未知数，建立方程组解决实际问题。
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．如果方程组含有______未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是____，一共有______方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组． 2．解三元一次方程组的基本思路是：通过“______”或“______”进行消元，把“_______”转化为“_______”，使解三元一次方程组转化为解_________________ ，进而再转化为解一元一次方程．
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助三元一次方程组，解决含有三个未知数的问题。 例1：在等式 y＝ax2＋bx＋c 中，当 x＝－1 时，y＝0；当 x＝2 时，y＝3；当 x＝5 时，y＝60．求 a，b，c 的值． 例2： 一个三位数，各数位上的数的和为14，百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位上的数的．如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置，那么所得的新数比原数小99．求这个三位数． 归纳：利用三元一次方程组解决实际问题的基本思路。 列三元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审：弄清题中的已知量、未知量，找出题中的相等关系． （2）设：恰当地设未知数． （3）列：根据（1）中的相等关系列方程组． （4）解：正确地解方程组． （5）验：检验解是不是原方程组的解且符合题意． （6）答：答案要完整且单位统一．
课堂练习 【知识技能类练习】 1．在等式中，当 =0时 =1 ，当时 =0；当时，则的值为 ． 2．李红在做这样一个题目：在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝1时，y＝6；当x＝2时，y＝21；当x＝－1时，y＝0；当x＝－2时，y等于多少？她想：在求y值之前应先求a，b，c的值．你认为她的想法正确吗？请你帮她求出a，b，c的值． 3．有一个三位数，十位上的数字等于个位上的数字与百位上的数字之和．如果把个位上的数字与百位上的数字交换，那么新数比原来的数大99；如果把个位上的数字移至百位上的数字之前，那么新三位数比原数大63．求原三位数． 选做题： 4．在整式ax2＋bx＋c中，当x＝1，2，3时，整式的值依次是0，3，28．求a，b，c的值． 【综合拓展类练习】 5．幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一行、每一列以及两条对角线上的3个数之和相等，图1是一个已完成的幻方．图2是一个未完成的幻方，其中的值为 ．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．对于等式y＝ax2＋bx＋c，当x＝－1时，y＝0；当x＝5时，y＝60；当x＝0时，y＝－5．求a2＋2ab＋c2的值． 2．仔细观察图，认真阅读对话： 根据以上对话内容，可知小明买的5元邮票有（　　）． A．1枚 B．3枚 C．5枚 D．7枚 3．某学校的篮球的数量比排球的2倍少3，足球与排球的数量之比是2∶3，这三种球共41个，则三种球各有多少个？ 选做题： 4．若|x＋2y－5|＋(2y＋3z－13)2＋(3z＋x－10)2＝0，试求x，y，z的值． 【综合拓展类作业】 5．聪聪是数学爱好者，多次参加“希望之星竞赛”活动．有一天聪聪和妈妈去商场购物，购A，B，C三样商品各3件、2件、1件，共付款315元，而另一位阿姨购A，B，C三样商品各5件、3件、1件，共付款480元，聪聪想了想，说：“我能算出购A，B，C三样商品各1件共多少钱．”请你用所学的知识算一算，相信你一定能算出来
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分课时教学设计
第十一课时《10.4 三元一次方程组的解法（第2课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节内容是探究实际问题与三元一次方程组，通过学生在实际问题中进行分析，从而提高将实际问题转化为数学模型的能力；在解决实际问题的过程中，使学生感受到数学与现实生活的紧密联系，体会数学在生活中的应用价值，增强学生的数学应用意识。
学习者分析 学性已掌握了三元一次方程组的解法，能够利用二元一次方程组解决实际问题。然而，对于三元一次方程组的认识和解题能力尚需进一步加强。
教学目标 经历运用三元一次方程组解决实际问题的过程，能分析实际问题中的数量关系，会设未知数，列方程组并求解，得到实际问题的答案，发展模型观念。
教学重点 分析实际问题中的相等关系，利用三元一方程组解决实际问题。
教学难点 从实际背景中提取数学信息，并转化成数学语言，明确未知数，建立方程组解决实际问题。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 经历运用三元一次方程组解决实际问题的过程，能分析实际问题中的数量关系，会设未知数，列方程组并求解，得到实际问题的答案，发展模型观念。学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2： 问题：1．如果方程组含有______未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是____，一共有______方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组． 2．解三元一次方程组的基本思路是：通过“______”或“______”进行消元，把“_______”转化为“_______”，使解三元一次方程组转化为解_________________ ，进而再转化为解一元一次方程． 答案：1．三个，1，三个 2．代入，加减，三元，二元，二元一次方程组 导入：在解决一些含有三个未知数的问题时，可以考虑列三元一次方程组，通过解方程组获得问题的答案．学生活动2： 学生积极主动回答问题活动意图说明： 通过复习三元一次方程组的相关知识，为探究列方程组解决实际问题做好知识上的铺垫环节三：新知讲解教师活动3： 例1：在等式 y＝ax2＋bx＋c 中，当 x＝－1 时，y＝0；当 x＝2 时，y＝3；当 x＝5 时，y＝60．求 a，b，c 的值． 分析：把 a，b，c 看作三个未知数，分别把已知的 x，y 值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组． 解：根据题意，得三元一次方程组 ②－①，得 a＋b＝1； ④ ③－①，得 4a＋b＝10． ⑤ ④与⑤组成二元一次方程组 解这个方程组，得 把代入①，得 c＝－5． 因此 a，b，c 的值分别为 3，－2，－5． 例2： 一个三位数，各数位上的数的和为14，百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位上的数的．如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置，那么所得的新数比原数小99．求这个三位数． 分析：把这个三位数各位上的数看成三个未知数，则根据题目中的三个相等关系，可以列三元一次方程组． 解：设这个三位数百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z． 根据题意，列得三元一次方程组 解这个方程组，得 因此这个三位数是473． 归纳：利用三元一次方程组解决实际问题的基本思路。 列三元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审：弄清题中的已知量、未知量，找出题中的相等关系． （2）设：恰当地设未知数． （3）列：根据（1）中的相等关系列方程组． （4）解：正确地解方程组． （5）验：检验解是不是原方程组的解且符合题意． （6）答：答案要完整且单位统一．学生活动3： 学生认真读题、理解题意后小组合作探究，班内交流汇报活动意图说明： 通过对例题的探究，让学生体会三元一次方程组解决实际问题的基本思路、数学建模思想，掌握列方程组解决实际问题的一般步骤，提高学生的应用能力。环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题：10.4 三元一次方程组的解法（第2课时） 一、利用三元一次方程组解决实际问题的基本思路 二、列三元一次方程组解决实际问题的一般步骤教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．在等式中，当 =0时 =1 ，当时 =0；当时，则的值为 ． 答案： 2．李红在做这样一个题目：在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝1时，y＝6；当x＝2时，y＝21；当x＝－1时，y＝0；当x＝－2时，y等于多少？她想：在求y值之前应先求a，b，c的值．你认为她的想法正确吗？请你帮她求出a，b，c的值． 解：她的想法正确． 根据题意，得 解得 即a，b，c的值分别为4，3，－1． 3．有一个三位数，十位上的数字等于个位上的数字与百位上的数字之和．如果把个位上的数字与百位上的数字交换，那么新数比原来的数大99；如果把个位上的数字移至百位上的数字之前，那么新三位数比原数大63．求原三位数． 解：设原三位数的百位上的数字为x，十位上的数字为y，个位上的数字为z． 根据题意，得 解这个方程组，得 所以原三位数为374． 选做题： 4．在整式ax2＋bx＋c中，当x＝1，2，3时，整式的值依次是0，3，28．求a，b，c的值． 解：因为在ax2＋bx＋c中，当x＝1，2，3时，整式的值依次是0，3，28， 所以 解这个方程组，得 即a，b，c的值分别为11，－30，19． 【综合拓展类练习】 5．幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一行、每一列以及两条对角线上的3个数之和相等，图1是一个已完成的幻方．图2是一个未完成的幻方，其中的值为 ． 答案：
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．对于等式y＝ax2＋bx＋c，当x＝－1时，y＝0；当x＝5时，y＝60；当x＝0时，y＝－5．求a2＋2ab＋c2的值． 解：由题意，得 解这个方程组，得 所以a2＋2ab＋c2＝32＋2×3×(－2)＋(－5)2＝9－12＋25＝22． 2．仔细观察图，认真阅读对话： 根据以上对话内容，可知小明买的5元邮票有（　　）． A．1枚 B．3枚 C．5枚 D．7枚 答案：B 3．某学校的篮球的数量比排球的2倍少3，足球与排球的数量之比是2∶3，这三种球共41个，则三种球各有多少个？ 解：设篮球有x个，排球有y个，足球有z个． 根据题意，得 把①代入③，得3y＋z＝44， 所以z＝44－3y．④ 把④代入②，得y＝12． 把y＝12分别代入①④，得x＝21，z＝8． 所以这个方程组的解为 答：篮球有21个，排球有12个，足球有8个． 选做题： 4．若|x＋2y－5|＋(2y＋3z－13)2＋(3z＋x－10)2＝0，试求x，y，z的值． 解：因为|x＋2y－5|＋(2y＋3z－13)2＋(3z＋x－10)2＝0，且|x＋2y－5|≥0，(2y＋3z－13)2≥0，(3z＋x－10)2≥0， 所以 解这个方程组，得 即x，y，z的值为1，2，3． 【综合拓展类作业】 5．聪聪是数学爱好者，多次参加“希望之星竞赛”活动．有一天聪聪和妈妈去商场购物，购A，B，C三样商品各3件、2件、1件，共付款315元，而另一位阿姨购A，B，C三样商品各5件、3件、1件，共付款480元，聪聪想了想，说：“我能算出购A，B，C三样商品各1件共多少钱．”请你用所学的知识算一算，相信你一定能算出来 解：设A，B，C三样商品的单价分别是x，y，z元，则 ， 得， 购A，B，C三样商品各一件共150元．
教学反思 本课教学采用启发式教学，强调学生的独思考、探索与合作探究，以提高学生的分析与解决问题的能力，并进一步体会了数学建模的思想。
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