资源简介

1.正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定，这两种量就是成正比例的量，它们的关系就叫作成正比例关系。
2.正比例关系的判断方法：首先判断这两种量是不是相关联的量。再看这两种量相对应的两个数的比值是否一定，比值一定，则这两种相关联的量成正比例，反之，则不成正比例。
3.正比例图像：正比例图像是一条经过原点的直线。从图像中可以直观地看出两种量的变化情况，由一种量的值可以直接找到对应的另一种量的值。
1.反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就是成反比例的量，它们的关系就叫反比例关系。
2.反比例关系的判断方法：(1)两种量是相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。(2)两种量中相对应的两个数的积一定。
1．在外通过测量各种物体的长度及其影子的长度，然后再找出物体长度和影子的比例关系，找出其中的规律。
2．在活动过程中积累数学活动的基本经验，仔细感受解决问题的乐趣，感受数学在实际生活中的应用。
3．以分组的形式，培养自己解决问题的能力以及团队合作精神和创新意识。
易错知识点01：正比例的易错知识点
1. 混淆正比例与正数关系：
易错点：学生可能误以为所有正数之间的关系都是正比例关系。
原因：对正比例关系的本质理解不够深入，只看到了数值的正负，而忽略了比值是否恒定。
解决方法：强调正比例关系的定义，即两个量的比值恒定不变，而不仅仅是两个量都是正数。
2. 忽视比例常数的存在：
易错点：在解决正比例问题时，学生可能忘记或忽视比例常数的存在。
原因：对正比例关系式的理解不够透彻，没有意识到比例常数k在关系式中的重要性。
解决方法：在解题过程中，明确写出比例关系式，并标注出比例常数k，以提醒学生注意。
3. 错误地应用正比例关系：
易错点：学生可能在不适合的情境下错误地应用正比例关系。
原因：对正比例关系的适用条件理解不够清晰，没有准确判断两个量之间是否存在正比例关系。
解决方法：通过实例和练习，加深学生对正比例关系适用条件的理解，学会准确判断两个量之间是否存在正比例关系。
易错知识点02：反比例的易错知识点
1. 混淆反比例与负数关系：
易错点：学生可能误以为所有负数之间的关系都是反比例关系。
原因：对反比例关系的本质理解不够深入，只看到了数值的负号，而忽略了乘积是否恒定。
解决方法：强调反比例关系的定义，即两个量的乘积恒定不变，而不仅仅是两个量都是负数。
2. 忽视反比例关系的图像特征：
易错点：在绘制反比例关系的图像时，学生可能无法准确描绘出双曲线的形状。
原因：对反比例关系图像的理解不够深入，缺乏绘制双曲线的经验。
解决方法：通过实例和练习，引导学生掌握绘制反比例关系图像的方法，并理解双曲线的特征。
3. 错误地判断反比例关系的存在：
易错点：学生可能在不适合的情境下错误地判断两个量之间存在反比例关系。
原因：对反比例关系的适用条件理解不够清晰，没有准确判断两个量之间是否存在反比例关系。
解决方法：通过实例和练习，加深学生对反比例关系适用条件的理解，学会准确判断两个量之间是否存在反比例关系。同时，强调反比例关系与正比例关系的区别，避免混淆。
【考点精讲一】（22-23六年级下·江苏徐州·期末）一条生产线每3分钟自动记录一次生产产品的总数量，下面是生产产品情况的记录。
时间/分 3 6 9 12 …
产品数量/个 51 102 153 204 …
（1）生产产品的时间和产品数量成（ ）比例。
（2）照这样计算，36分钟生产产品多少个？
【答案】（1）正；
（2）612个
【分析】（1）两个相关联的量，若两个量的比值一定，两个量成正比例关系；若两个量的乘积一定，两个量成反比例关系，据此判断即可。
（2）根据表中数据先求出1分钟生产的数量，再乘36即可。
【详解】（1）51÷3＝ 102÷6＝ 153÷9＝ 204÷12＝17
生产产品的时间和产品数量的比值一定，所以生产产品的时间和产品数量成正比例。
（2）51÷3×36
＝17×36
＝612（个）
答：照这样计算，36分钟生产产品612个。
【点睛】本题考查正、反比例的意义与辨识，及正比例的应用。
【考点精讲二】（23-24六年级下·广西桂林·期末）从春蕾小学到某研学基地，不同的交通工具的速度和行驶所需时间如下。
车辆 小客车 中巴车 小轿车 大巴车
平均速度（千米/时） 80 75 90 60
时间（时） 1.5 1.6 2
（1）如果用s表示学校到研学基地的路程，用v表示车辆的平均速度，t表示驶完全程所需的时间。v与t成什么比例关系？写出这个关系式。
（2）春蕾小学部分师生准备下周一早上8：00从学校开车去该研学基地，想在当天上午9：40前到达，开车的平均速度不能低于多少千米/时？
【答案】（1）反比例；s＝vt或者vt＝120
（2）72千米/时
【分析】（1）根据“速度×时间＝路程”可知，路程一定时，速度与时间成反比例关系，据此用字母表示出这个关系式。
（2）根据题意，从早上8：00开车出发，当天上午9：40前到达，用到达时刻减去出发时刻，求出开车的时间；根据速度×时间＝路程（一定），则车辆的平均速度和行驶时间成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。
【详解】（1）80×1.5＝75×1.6＝90×＝60×2＝120（一定）
乘积一定，则车辆的平均速度与时间成反比例关系。
答：v与t成反比例关系，关系式：s＝vt或者vt＝120。
（2）9时40分－8时＝1小时40分
1小时40分＝小时
解：设开车的平均速度不能低于千米/时。
＝80×1.5
＝120
＝120÷
＝120×
＝72
答：开车的平均速度不能低于72千米/时。
【考点精讲三】（23-24六年级下·山西大同·期末）某公司积分兑换话费活动开始了，兑换比例是60∶1（60积分兑换1元话费）。王叔叔兑换了50元话费，他花了多少积分？（用比例知识解答）
【答案】3000积分
【分析】根据题意知道，积分和兑换的话费的比值一定，即积分和兑换的话费成正比例，由此列式解答即可。
【详解】解：他花了x积分。
x∶50＝60∶1
x＝50×60
x＝3000
答：他花了3000积分。
【点睛】解答此题的关键是先判断题中的两种相关联的量成何比例，然后找准对应量，列式解答即可。
【考点精讲四】（23-24六年级下·全国·期末）学校用方砖铺会议室的地面。原来打算用面积0.25平方米的方砖，需要540块。现在改用面积0.36平方米的方砖，需要多少块？
【答案】375块
【分析】由题意可知：每块方砖的面积×方砖的块数＝会议室的面积（一定），所以每块方砖的面积和方砖的块数成反比例关系，设改用面积是0.36平方米的方砖来铺，需要x块，根据每块方砖的面积和方砖的块数成反比例关系列出比例求解即可。
【详解】解：设改用面积是0.36平方米的方砖来铺，需要x块。
0.25×540＝0.36x
0.36x＝135
0.36x÷0.36＝135÷0.36
x＝375
答：需要375块。
一、解答题
1．（23-24六年级下·甘肃平凉·期末）一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行72千米，4小时可以到达。从乙地返回甲地，每小时行48千米，需要多少小时到达？（用比例解）
【答案】6小时
【分析】根据题意可知，甲地与乙地的距离一定；根据速度×时间＝路程（一定），乘积一定，则汽车的速度和行驶的时间成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。
【详解】解：设需要小时到达。
答：需要6小时到达。
2．（23-24六年级下·河南开封·期末）为了绿水蓝天，倡导低碳生活。“共享单车”成为大家的出行工具，李老师从家去图书馆，平均每分钟骑行360米，15分钟可以到达。返回时，由于家中有事，加快了骑行速度，结果提前3分钟到家。李老师返回时平均每分钟骑行多少米？
【答案】450米
【分析】根据题意可知，李老师家与图书馆的距离一定，即速度×时间＝路程（一定），乘积一定，则速度和时间成反比例关系；据此列出反比例方程，并求解。
【详解】解：设李老师返回时平均每分钟骑行米。
（15－3）＝360×15
12＝5400
＝5400÷12
＝450
答：李老师返回时平均每分钟骑行450米。
3．（23-24六年级下·河南三门峡·期末）农具厂生产一批农具，原计划每天生产80台，20天可完成任务。如果每天比原计划多生产25%，需多少天能完成任务？（用比例知识解答）
【答案】16天
【分析】根据题意可知，生产这批农具的台数一定，每天生产的台数与生产的天数成反比例，把原计划每天生产的台数看作单位“1”，实际生产台数是原计划（1＋25%），用原计划每天生产的台数×（1＋25%），求出实际每天生产的台数，设需x天完成任务，原计划每天生产的台数×天数＝实际每天生产的台数×需要的天数，列方程：（1＋25%）×80×x＝80×20，解方程，即可解答。
【详解】解：设需x天能完成任务。
（1＋25%）×80×x＝80×20
1.25×80×x＝1600
100x＝1600
x＝1600÷100
x＝16
答：需16天能完成任务。
4．（23-24六年级下·山西长治·期末）体育王老师要从学校去商场购买4个篮球。他以180米/分的速度从学校骑自行车去A商场，需要15分钟；如果路线不变，他骑电动车去A商场只需要9分钟。他骑电动车的平均速度是多少？（用比例的方法解答）
【答案】300米/分
【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系；
如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
根据题意，先设他骑电动车的平均速度是x，结合速度×时间＝路程（一定），可知王老师的速度与时间成反比例关系，列出比例式为9x＝180×15，求出x即可。
【详解】解：设他骑电动车的平均速度是x。
9x＝180×15
9x÷9＝2700÷9
x＝300
答：他骑电动车的平均速度是300米/分。
5．（23-24六年级下·广东云浮·期末）一个房间铺地砖，如果用面积为16平方分米的方砖铺至少需150块。如果改用边长为5分米的方砖铺，至少需多少块？（用比例知识解答）
【答案】96块
【分析】设至少需x块，根据每块方砖的面积×相应块数＝房间面积（一定），列出反比例算式解答即可。
【详解】解：设至少需x块。
5×5×x＝16×150
25x＝2400
25x÷25＝2400÷25
x＝96
答：至少需96块。
6．（23-24六年级下·四川凉山·期末）某工程队铺一段路，原计划每天铺9.6千米，15天铺完，实际每天铺12千米，实际铺了多少天？（用比例解答）
【答案】12天
【分析】设实际铺了x天，根据每天铺的长度×铺的天数＝总长度（一定），列出反比例算式解答即可。
【详解】解：设实际铺了x天。
12x＝15×9.6
12x＝144
12x÷12＝144÷12
x＝12
答：实际铺了12天。
7．（23-24六年级下·北京东城·期末）3月12日植树节，春光小学组织同学们到实践基地种植一批树苗。如果每行种18棵，恰好可以种40行。如果每行种15棵，这些树苗要种多少行？（用比例的方法解答）
【答案】48行
【分析】根据题意可得：每行树苗的棵数×行数＝这批树苗的总棵数（一定），每行树苗的棵数和行数的积一定，则每行树苗的棵数和行数成反比例关系。据此设这些树苗要种x行，列方程为：15x＝18×40，解出方程即可。
【详解】解：设这些树苗要种x行。
15x＝18×40
15x＝720
15x÷15＝720÷15
x＝48
答：这些树苗要种48行。
8．（23-24六年级下·湖南岳阳·期末）小聪读一本童话书，如果每天读24页，10天可以读完。小聪想提前2天读完，那么平均每天要读多少页？（用比例解）
【答案】30页
【分析】根据题意知道一本书的总页数一定，每天读的页数×读书的天数＝一本书的总页数（一定），所以每天读的页数与读的天数成反比例，由此设出未知数，列出比例解答即可。
【详解】解：设平均每天要读x页。
（10－2）x＝24×10
8x＝240
8x÷8＝240÷8
x＝30
答：平均每天要读30页。
9．（23-24六年级下·江西南昌·期末）王阿姨一家四口打算从长沙来南昌游玩。如果乘高铁来南昌，1.2小时到达。如果选择自驾游来南昌，需要5小时才能到达。王阿姨自驾游时的平均车速是多少？
出行方式 平均速度 时间
乘高铁 300千米/时 1.2小时
自驾游 ？千米/时 5小时
【答案】72千米/时
【分析】长沙到南昌的路程是不变的，速度与时间的乘积是一定的，即速度与时间这两种量成反比例，由此设王阿姨自驾游时的平均车速是x千米/时，列出比例式解答即可。
【详解】解：设王阿姨自驾游时的平均车速是x千米/时。
答：王阿姨自驾游时的平均车速是72千米/时。
10．（23-24六年级下·湖北黄冈·期末）甲乙两个工程队合修一条公路，计划每天修60米，30天修完，实际每天多修20%，实际多少天可以修完？（用比例解）
【答案】25天
【分析】将计划每天修的长度看作单位“1”，实际每天修的是计划的（1＋20%），计划每天修的长度×实际每天修的对应百分率＝实际每天修的长度，设实际x天可以修完，根据每天修的长度×相应天数＝总长度（一定），列出反比例算式解答即可。
【详解】解：设实际x天可以修完。
60×（1＋20%）×x＝60×30
60×1.2×x＝1800
72x＝1800
72x÷72＝1800÷72
x＝25
答：实际25天可以修完。
11．（23-24六年级下·湖北十堰·期末）一辆火车从甲地开往乙地，每小时行200千米，4.8小时可以到达。如果速度提高，可以提前几个小时到达？（用比例解）
【答案】0.8小时
【分析】根据题意知两地间的路程一定，根据路程一定，速度和时间成反比例，据此可列出比例式进行解答。
【详解】解：设可以提前x个小时到达。
200×（1＋）×（4.8－x）＝200×4.8
200××（4.8－x）＝960
240×（4.8－x）＝960
4.8－x＝960÷240
4.8－x＝4
x＝4.8－4
x＝0.8
答：可以提前0.8个小时到达。
12．（23-24六年级下·四川绵阳·期末）爸爸开车从甲地到乙地一共用了3小时，每小时行50千米。原路返回时每小时快了10千米，返回时用了多长时间？（用比例知识解答）
【答案】2.5小时
【分析】根据题意，总路程一定，所以速度乘时间的乘积相等，所以用去时的速度乘上去时用的时间等于返回的速度乘返回用的时间。设返回用时x小时，则返回的速度是（50＋10）千米/时，即要用返回的速度（50＋10）乘上返回的时间x，等于去时的速度乘上去时用的时间，列式解答即可。
【详解】解：设返回时用了x小时的时间。
（50＋10）x＝50×3
60x＝150
60x÷60＝150÷60
x＝2.5
答：返回用了2.5小时。
13．（23-24六年级下·四川泸州·期末）如图，机器上有一对互相咬合的齿轮，大齿轮有20个齿，每分转75转；小齿轮有10个，每分转多少转？（用比例解）
【答案】150转
【分析】因为两个互相咬合的齿轮，在同一时间内转动时，它们转过的齿数是相同的，所以大齿轮的齿数×大齿轮的转速＝小齿轮的齿数×小齿轮的转速，设小齿轮每分钟转x转，然后列比例，解出比例，据此解答。
两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，如果这两个量中相对应的两个数的乘积一定，这两个量就叫做成反比例的量。
【详解】解：设小齿轮每分转x转。
10x＝20×75
10x＝1500
x＝1500÷10
x＝150
答：每分转150转。
14．（23-24六年级下·河南信阳·期末）办公室买进一包白纸，计划每天用30张，可以用20天。由于注意了节约用纸，实际每天少用5张，实际比计划多用多少天？（用比例解）
【答案】4天
【分析】根据题意可知，这包白纸的总张数不变，即每天用纸的张数×用的天数＝这包白纸的总张数（一定），乘积一定，则每天用纸的张数与用的天数成反比例关系，据此列出反比例方程，并求出实际用的天数；最后用计划用的天数减去实际用的天数，即是实际比计划多用的天数。
【详解】解：设实际可以用x天。
（30－5）x＝30×20
25x＝600
x＝600÷25
x＝24
24－20＝4（天）
答：实际比计划多用4天。
15．（23-24六年级下·湖北十堰·期末）张叔叔加工一批零件，计划每小时加工25个，6小时完成，实际工作效率提高20%，实际多少小时可以完成？（用比例知识解答）
【答案】5小时
【分析】已知计划每小时加工25个，实际工作效率提高20%，把计划工作效率看作单位“1”，则实际工作效率是计划的（1＋20%），单位“1”已知，用计划工作效率乘（1＋20%），即是实际工作效率；
根据题意可知，加工这批零件的工作总量不变，即工作效率×工作时间＝工作总量（一定），乘积一定，则工作效率与工作时间成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。
【详解】解：实际x小时可以完成。
25×（1＋20%）×x＝25×6
25×1.2×x＝150
30x＝150
x＝150÷30
x＝5
答：实际5小时可以完成。
16．（23-24六年级下·贵州黔南·期末）随着村民收入水平提高，福福家搬了新家。装修其中一间卧室时，如果用边长30厘米的正方形地砖铺地，需要200块。如果改用边长0.6米的正方形地砖铺地，需要多少块？（用比例解决问题）
【答案】50块
【分析】根据题意可知，每块地砖的面积×块数＝总面积（一定），每块地砖的面积和块数成反比例，先统一单位，据此设如果改用边长0.6米的正方形地砖铺地，需要块，列方程为，然后解出方程即可。
【详解】0.6米＝60厘米
解：设如果改用边长0.6米的正方形地砖铺地，需要块。

答：需要50块。
17．（23-24六年级下·山东济宁·期末）水果萝卜是潍坊特产，为了方便挑选优质萝卜，商家准备建造选萝卜仓库。如果用边长是8分米的方砖给仓库铺地，需要250块，如果改用边长是10分米的方砖，需要多少块？
【答案】160块
【分析】根据题意可知，每块方砖的面积×块数＝仓库地面的面积（一定），乘积一定，则每块方砖的面积与块数成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。
【详解】解：设需要块。
（10×10）＝8×8×250
100＝16000
＝16000÷100
＝160
答：需要160块。
18．（23-24六年级下·新疆乌鲁木齐·期末）小亮半小时能打900个字，照这样的速度，往电脑里输入一篇1500字的文章，小亮需要多长时间？（用比例解题）
【答案】50分钟
【分析】打字速度＝文章字的数量÷打字时间，打字速度不变，则文章字数与打字时间的比值不变，文章字数与打字时间成正比例，据此列出比例方程进行解答即可。
【详解】解：设小亮需要x分钟。
半小时＝30分钟
900∶30＝1500∶x
900x＝1500×30
900x＝45000
900x÷900＝45000÷900
x＝50
答：小亮需要50分钟。
19．（23-24六年级下·河南驻马店·期末）公路队修一条长900千米的公路，8天修了360千米，照这样的速度，还要多少天才能修完？（用比例解）
【答案】12天
【分析】根据题意知道工作效率一定，工作量和工作时间成正比例，由此列出比例解决问题。
【详解】解：设还要x天才能修完。
（900－360）∶x＝360∶8
540∶x＝360∶8
360x＝540×8
360x＝4320
x＝4320÷360
x＝12
答：还要12天才能修完。
20．（23-24六年级下·河南商丘·期末）淘气身高1.4米，测得影长2.1米，同一时刻、同一地点测得一栋楼的影长22.5米，这栋楼的高度是多少米？（用比例解答）
【答案】15米
【分析】物体的高度和它的影长的比值是一定的。即物体的高度和它的影长成正比例。设这栋楼的高度是x米。淘气身高与影长的比为1.4∶2.1，楼的高度与影长的比为x∶22.5，可列出比例：1.4∶2.1＝x∶22.5。再解比例即可。
【详解】解：设这栋楼的高度是x米
1.4∶2.1＝x∶22.5
2.1x＝1.4×22.5
2.1x÷2.1＝31.5÷2.1
x＝31.5÷2.1
x＝15
答：这栋楼的高度是15米。
21．（2024·河南开封·小升初真题）一种蜂蜜水由蜂蜜和水按2∶9的质量比调制而成。如果用280毫升蜂蜜调制这种蜂蜜水，需要准备多少毫升水？（用解比例的方法解决。）
【答案】1260毫升
【分析】将需要准备的水设为未知数，再根据蜂蜜和水的比是2∶9列出比例。将比例改写成一般方程，再将等式两边同时除以2，求出未知数，即需要准备多少毫升水。
【详解】解：设需要准备x毫升水。
280∶x＝2∶9
2x＝280×9
2x＝2520
2x÷2＝2520÷2
x＝1260
答：需要准备1260毫升水。
22．（22-23六年级下·江苏淮安·期末）只列算式，不计算。
某公司接到一批机器生产定单，原计划每天生产50台，12天完成任务。实际每天生产60台，实际多少天完成任务？
【答案】50×12÷60
【分析】根据题意可知，原计划每天生产的台数×天数＝计划生产台数（一定）；原计划每天生产的台数与生产天数成反比例；再用计划生产的台数÷实际每天生产的台数，即可求出实际用的天数。
【详解】50×12÷60
＝600÷60
＝10（天）
答：实际10天完成任务。
23．（23-24六年级下·江苏苏州·期末）运输队运送一批救灾物资到汶川灾区。原计划每小时行60千米，5小时可以到达。由于道路受损严重，实际平均每小时比原计划少行20千米。实际到达灾区需要多少小时？
【答案】7.5小时
【分析】根据路程＝速度×时间；由于路程不变；行驶的速度和时间成反比例；设实际到达灾区需要x小时；列比例：（60－20）x＝60×5，解比例，即可解答。
【详解】解：设设实际到达灾区需要x小时。
（60－20）x＝60×5
40x＝300
x＝300÷40
x＝7.5
答：实际到达灾区需要7.5小时。
24．（23-24六年级下·河南平顶山·期末）李叔叔想开车去武汉旅游，他从某导航软件左下角看到该地图的比例尺是，量得地图上从家到武汉的距离是7.5厘米。已知李叔叔的汽车每行驶100千米耗油7.5升，按这个耗油量，他出发前加满40升汽油，去的途中还需要加油吗？请说说你的理由。（用比例解答）
【答案】不用加油
【分析】根据比例尺可知，图上1厘米的距离表示实际距离60千米，据此用60乘7.5即可求出李叔叔从家到武汉的实际距离。根据题意，汽车行驶的路程÷耗油量＝每升汽油可以显示的路程（一定），则汽车行驶的路程和耗油量的商一定，则汽车行驶的路程和耗油量成正比例关系。设汽车行驶450千米耗油x升，根据比例关系可列出比例：100∶7.5＝450∶x，解出比例求出李叔叔从家到武汉需要多少升汽油，据此判断中途是否需要加油。
【详解】60×7.5＝450（千米）
解：设汽车行驶450千米耗油x升。
100∶7.5＝450∶x
100x＝7.5×450
100x＝3375
100x÷100＝3375÷100
x＝33.75
40＞33.75
答：去的途中不用加油。
25．（23-24六年级下·天津南开·期末）客车和货车分别从甲乙两地相向而行，客车3小时后到达甲乙两地中点，继续行驶，又过了一个小时，货车到达甲乙两地中点，这时货车开始提速，速度比原来提高了20%，当客车到达乙地时，货车行驶了全程的几分之几？
【答案】
【分析】由题意可知，客车3小时后到两地中点，货车小时后到两地中点，根据路程相同，时间和速度成反比，则可知客车和货车原来的速度比是，因货车到达两地中点后，速度比原来提高了20%，则可计算客车和货车后来的速度比是，当客车到达乙地时，可知客车又走了两地路程的，可根据时间相同，路程和速度成正比，利用客车和货车后来的速度比计算货车提速后走了全程的分率，再加上提速前的，即可得解。
【详解】客车和货车原来的速度比：
客车和货车后来的速度比：
答：当客车到达乙地时，货车行驶了全程的。
【点睛】此题关键根据路程相同，时间和速度成反比，求出客车和货车之前及之后的速度比，再根据时间相同，路程和速度成正比，求出货车后来走了全程的分率，再加上之前的。
26．（2024·河南郑州·小升初真题）A、B两地相距2400米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，两人在途中某处相遇后，甲又继续行进18分钟到达B地，乙又继续行进50分钟到达A地，请问：甲比乙每分钟多走多少米？
【答案】20米
【分析】根据题意，设甲、乙从出发到相遇花了分钟。因为甲分钟走的路程与乙花50分钟走的路程相同，甲18分钟走的路程与乙花分钟走的路程相同，根据路程相同时，速度与时间成反比，所以甲、乙的速度比是50∶和∶18，据此列出比例方程，并求出两人的相遇时间。
已知A、B两地相距2400米，甲、乙从出发到相遇用了30分钟，根据速度和＝总路程÷相遇时间，求出甲、乙的速度之和。
由前面可知甲、乙的速度比是50∶30＝5∶3，即甲、乙的速度分别占甲乙速度和的、，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，求出甲、乙的速度，再相减，即可求出甲比乙每分钟多走的米数。
【详解】解：设甲、乙从出发到相遇花了分钟。
50∶＝∶18
2＝50×18
2＝900
＝30
甲、乙的速度和：2400÷30＝80（米/分）
甲、乙的速度比是50∶30＝5∶3；
甲的速度：
80×
＝80×
＝50（米/分）
乙的速度：
80×
＝80×
＝30（米/分）
甲比乙每分钟多走：50－30＝20（米）
答：甲比乙每分钟多走20米。
【点睛】先利用路程相同时，速度与时间成反比，得出甲、乙的速度比，列出比例方程，求出相遇时间；然后根据速度、时间、路程之间的关系，求出两人的速度和；再根据按比分配的解题方法，把比转化成分数，根据分数乘法的意义分别求出甲、乙的速度是解题的关键。
27．（23-24六年级下·湖南常德·期末）一个儿童玩具组装车间要完成一批儿童玩具组装任务，每天组装玩具的个数与需要的天数如下表。
每天组装数量/个 600 750 900 1200 1500
组装天数/天 30 24 20 15 12
（1）如果每天组装数量用p表示，组装天数用t表示，组装玩具总数用s表示，请你用式子表示出三者之间的关系。
（2）如果这批组装任务需要在8天内完成，每天要组装多少个玩具？（用比例解答）
【答案】（1）
（2）2250个
【分析】（1）根据总数量一定，每天组装的数量×需要的天数＝总数量，表示出p、t和组装玩具总数s之间的关系即可。（2）这批任务的数量是一定的，所以p和t成反比例；设每天组装x个玩具，根据每天组装的数量×需要的天数＝总数量，列出反比例方程解答即可。
【详解】（1）p、t和组装玩具总数s之间的关系式：。
（2）解：设每天组装x个玩具。
答：每天要组装2250个玩具。
28．（23-24六年级下·福建龙岩·期末）小丽做一种手工绢花，完成的数量与时间关系如图所示。
（1）小丽做手工绢花的数量与时间成什么比例？请说明理由。
（2）小丽5小时可以做多少个手工绢花？（用比例解）
【答案】（1）正比例；理由见详解
（2）25个
【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。根据题意可知，每小时做绢花的数量不变，小丽做手工绢花的数量和时间成正比例；
（2）设小丽5小时可以做x个手工绢花，2小时做10个绢花，小丽做手工绢花的数量和时间成正比例，列比例：10∶2＝x∶5，解比例，即可解答。
【详解】10÷2＝20÷4＝30÷6＝5（一定）
答：小丽做手工绢花的数量与时间成正比例。做的数量和做的时间成正比例关系。
（2）解：设小丽5小时做x个手工绢花。
10∶2＝x∶5
2x＝10×5
2x＝50
x＝50÷2
x＝25
答：小丽5小时可以做25个手工绢花。
29．（2024·四川成都·小升初真题）金字塔是埃及的著名建筑，其中以现高136.5米的胡夫金字塔最为著名，第一个精确测得其高度的人是数学家泰勒。原来他就是利用了我们这学期学习的比例知识（如图）。小芳和小丽也准备运用这种方法来测量学校旗杆的高度，小芳先测得小丽身高为1.6米，在阳光下影子长度为2.4米，她立刻去测量学校旗杆的影长，测得旗杆影长为12米，那么这根旗杆的实际高度是多少米？
【答案】8米
【分析】根据题意可知，同一时刻，物体的实际高度与影长的比值一定，那么物体的实际高度与影长成正比例关系，据此列出正比例方程，并求解。
【详解】解：设这根旗杆的实际高度是米。
1.6∶2.4＝∶12
2.4＝1.6×12
2.4＝19.2
＝19.2÷2.4
＝8
答：这根旗杆的实际高度是8米。
30．（2022·安徽合肥·小升初真题）84消毒液在生活中广泛应用。下面是某品牌84消毒液说明书。
【药品名称】84消毒液
【规格型号】500mL
【用法用量】见下表
消毒对象 稀释比例（消毒液：水） 消毒时间（分钟） 使用方法
一般物品表面 1∶100 20 浸泡或擦拭
餐饮具 1∶200 20 浸泡或擦拭
白色衣物清洗 1∶250 30 浸泡
……
学校要配制消毒水对班级的课桌面进行消毒，用200mL的消毒液需要用多少L水来配？
【答案】20L
【分析】根据统计表可知，学校要配制消毒液对班级课桌面进行消毒，需要稀释的比例是1∶100；即消毒液与水比成正比例；设用200mL的消毒液需要用水xmL水来配；列比例：1∶100＝200∶x；解比例，即可解答。
【详解】解：设用200mL的消毒液需要用xmL水来配。
1∶100＝200∶x
x＝100×200
x＝20000
20000mL＝20L
答：用200mL的消毒液需要用20L水来配。
【点睛】解答本题的关系判断出消毒液与水成什么比；再根据判断的比例，设出未知数，找出相关的量，列比例，解比例，注意单位名数的换算。1.正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定，这两种量就是成正比例的量，它们的关系就叫作成正比例关系。
2.正比例关系的判断方法：首先判断这两种量是不是相关联的量。再看这两种量相对应的两个数的比值是否一定，比值一定，则这两种相关联的量成正比例，反之，则不成正比例。
3.正比例图像：正比例图像是一条经过原点的直线。从图像中可以直观地看出两种量的变化情况，由一种量的值可以直接找到对应的另一种量的值。
1.反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就是成反比例的量，它们的关系就叫反比例关系。
2.反比例关系的判断方法：(1)两种量是相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。(2)两种量中相对应的两个数的积一定。
1．在外通过测量各种物体的长度及其影子的长度，然后再找出物体长度和影子的比例关系，找出其中的规律。
2．在活动过程中积累数学活动的基本经验，仔细感受解决问题的乐趣，感受数学在实际生活中的应用。
3．以分组的形式，培养自己解决问题的能力以及团队合作精神和创新意识。
易错知识点01：正比例的易错知识点
1. 混淆正比例与正数关系：
易错点：学生可能误以为所有正数之间的关系都是正比例关系。
原因：对正比例关系的本质理解不够深入，只看到了数值的正负，而忽略了比值是否恒定。
解决方法：强调正比例关系的定义，即两个量的比值恒定不变，而不仅仅是两个量都是正数。
2. 忽视比例常数的存在：
易错点：在解决正比例问题时，学生可能忘记或忽视比例常数的存在。
原因：对正比例关系式的理解不够透彻，没有意识到比例常数k在关系式中的重要性。
解决方法：在解题过程中，明确写出比例关系式，并标注出比例常数k，以提醒学生注意。
3. 错误地应用正比例关系：
易错点：学生可能在不适合的情境下错误地应用正比例关系。
原因：对正比例关系的适用条件理解不够清晰，没有准确判断两个量之间是否存在正比例关系。
解决方法：通过实例和练习，加深学生对正比例关系适用条件的理解，学会准确判断两个量之间是否存在正比例关系。
易错知识点02：反比例的易错知识点
1. 混淆反比例与负数关系：
易错点：学生可能误以为所有负数之间的关系都是反比例关系。
原因：对反比例关系的本质理解不够深入，只看到了数值的负号，而忽略了乘积是否恒定。
解决方法：强调反比例关系的定义，即两个量的乘积恒定不变，而不仅仅是两个量都是负数。
2. 忽视反比例关系的图像特征：
易错点：在绘制反比例关系的图像时，学生可能无法准确描绘出双曲线的形状。
原因：对反比例关系图像的理解不够深入，缺乏绘制双曲线的经验。
解决方法：通过实例和练习，引导学生掌握绘制反比例关系图像的方法，并理解双曲线的特征。
3. 错误地判断反比例关系的存在：
易错点：学生可能在不适合的情境下错误地判断两个量之间存在反比例关系。
原因：对反比例关系的适用条件理解不够清晰，没有准确判断两个量之间是否存在反比例关系。
解决方法：通过实例和练习，加深学生对反比例关系适用条件的理解，学会准确判断两个量之间是否存在反比例关系。同时，强调反比例关系与正比例关系的区别，避免混淆。
【考点精讲一】（22-23六年级下·江苏徐州·期末）一条生产线每3分钟自动记录一次生产产品的总数量，下面是生产产品情况的记录。
时间/分 3 6 9 12 …
产品数量/个 51 102 153 204 …
（1）生产产品的时间和产品数量成（ ）比例。
（2）照这样计算，36分钟生产产品多少个？
【答案】（1）正；
（2）612个
【分析】（1）两个相关联的量，若两个量的比值一定，两个量成正比例关系；若两个量的乘积一定，两个量成反比例关系，据此判断即可。
（2）根据表中数据先求出1分钟生产的数量，再乘36即可。
【详解】（1）51÷3＝ 102÷6＝ 153÷9＝ 204÷12＝17
生产产品的时间和产品数量的比值一定，所以生产产品的时间和产品数量成正比例。
（2）51÷3×36
＝17×36
＝612（个）
答：照这样计算，36分钟生产产品612个。
【点睛】本题考查正、反比例的意义与辨识，及正比例的应用。
【考点精讲二】（23-24六年级下·广西桂林·期末）从春蕾小学到某研学基地，不同的交通工具的速度和行驶所需时间如下。
车辆 小客车 中巴车 小轿车 大巴车
平均速度（千米/时） 80 75 90 60
时间（时） 1.5 1.6 2
（1）如果用s表示学校到研学基地的路程，用v表示车辆的平均速度，t表示驶完全程所需的时间。v与t成什么比例关系？写出这个关系式。
（2）春蕾小学部分师生准备下周一早上8：00从学校开车去该研学基地，想在当天上午9：40前到达，开车的平均速度不能低于多少千米/时？
【答案】（1）反比例；s＝vt或者vt＝120
（2）72千米/时
【分析】（1）根据“速度×时间＝路程”可知，路程一定时，速度与时间成反比例关系，据此用字母表示出这个关系式。
（2）根据题意，从早上8：00开车出发，当天上午9：40前到达，用到达时刻减去出发时刻，求出开车的时间；根据速度×时间＝路程（一定），则车辆的平均速度和行驶时间成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。
【详解】（1）80×1.5＝75×1.6＝90×＝60×2＝120（一定）
乘积一定，则车辆的平均速度与时间成反比例关系。
答：v与t成反比例关系，关系式：s＝vt或者vt＝120。
（2）9时40分－8时＝1小时40分
1小时40分＝小时
解：设开车的平均速度不能低于千米/时。
＝80×1.5
＝120
＝120÷
＝120×
＝72
答：开车的平均速度不能低于72千米/时。
【考点精讲三】（23-24六年级下·山西大同·期末）某公司积分兑换话费活动开始了，兑换比例是60∶1（60积分兑换1元话费）。王叔叔兑换了50元话费，他花了多少积分？（用比例知识解答）
【答案】3000积分
【分析】根据题意知道，积分和兑换的话费的比值一定，即积分和兑换的话费成正比例，由此列式解答即可。
【详解】解：他花了x积分。
x∶50＝60∶1
x＝50×60
x＝3000
答：他花了3000积分。
【点睛】解答此题的关键是先判断题中的两种相关联的量成何比例，然后找准对应量，列式解答即可。
【考点精讲四】（23-24六年级下·全国·期末）学校用方砖铺会议室的地面。原来打算用面积0.25平方米的方砖，需要540块。现在改用面积0.36平方米的方砖，需要多少块？
【答案】375块
【分析】由题意可知：每块方砖的面积×方砖的块数＝会议室的面积（一定），所以每块方砖的面积和方砖的块数成反比例关系，设改用面积是0.36平方米的方砖来铺，需要x块，根据每块方砖的面积和方砖的块数成反比例关系列出比例求解即可。
【详解】解：设改用面积是0.36平方米的方砖来铺，需要x块。
0.25×540＝0.36x
0.36x＝135
0.36x÷0.36＝135÷0.36
x＝375
答：需要375块。
一、解答题
1．（23-24六年级下·甘肃平凉·期末）一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行72千米，4小时可以到达。从乙地返回甲地，每小时行48千米，需要多少小时到达？（用比例解）
2．（23-24六年级下·河南开封·期末）为了绿水蓝天，倡导低碳生活。“共享单车”成为大家的出行工具，李老师从家去图书馆，平均每分钟骑行360米，15分钟可以到达。返回时，由于家中有事，加快了骑行速度，结果提前3分钟到家。李老师返回时平均每分钟骑行多少米？
3．（23-24六年级下·河南三门峡·期末）农具厂生产一批农具，原计划每天生产80台，20天可完成任务。如果每天比原计划多生产25%，需多少天能完成任务？（用比例知识解答）
4．（23-24六年级下·山西长治·期末）体育王老师要从学校去商场购买4个篮球。他以180米/分的速度从学校骑自行车去A商场，需要15分钟；如果路线不变，他骑电动车去A商场只需要9分钟。他骑电动车的平均速度是多少？（用比例的方法解答）
5．（23-24六年级下·广东云浮·期末）一个房间铺地砖，如果用面积为16平方分米的方砖铺至少需150块。如果改用边长为5分米的方砖铺，至少需多少块？（用比例知识解答）
6．（23-24六年级下·四川凉山·期末）某工程队铺一段路，原计划每天铺9.6千米，15天铺完，实际每天铺12千米，实际铺了多少天？（用比例解答）
7．（23-24六年级下·北京东城·期末）3月12日植树节，春光小学组织同学们到实践基地种植一批树苗。如果每行种18棵，恰好可以种40行。如果每行种15棵，这些树苗要种多少行？（用比例的方法解答）
8．（23-24六年级下·湖南岳阳·期末）小聪读一本童话书，如果每天读24页，10天可以读完。小聪想提前2天读完，那么平均每天要读多少页？（用比例解）
9．（23-24六年级下·江西南昌·期末）王阿姨一家四口打算从长沙来南昌游玩。如果乘高铁来南昌，1.2小时到达。如果选择自驾游来南昌，需要5小时才能到达。王阿姨自驾游时的平均车速是多少？
出行方式 平均速度 时间
乘高铁 300千米/时 1.2小时
自驾游 ？千米/时 5小时
10．（23-24六年级下·湖北黄冈·期末）甲乙两个工程队合修一条公路，计划每天修60米，30天修完，实际每天多修20%，实际多少天可以修完？（用比例解）
11．（23-24六年级下·湖北十堰·期末）一辆火车从甲地开往乙地，每小时行200千米，4.8小时可以到达。如果速度提高，可以提前几个小时到达？（用比例解）
12．（23-24六年级下·四川绵阳·期末）爸爸开车从甲地到乙地一共用了3小时，每小时行50千米。原路返回时每小时快了10千米，返回时用了多长时间？（用比例知识解答）
13．（23-24六年级下·四川泸州·期末）如图，机器上有一对互相咬合的齿轮，大齿轮有20个齿，每分转75转；小齿轮有10个，每分转多少转？（用比例解）
14．（23-24六年级下·河南信阳·期末）办公室买进一包白纸，计划每天用30张，可以用20天。由于注意了节约用纸，实际每天少用5张，实际比计划多用多少天？（用比例解）
15．（23-24六年级下·湖北十堰·期末）张叔叔加工一批零件，计划每小时加工25个，6小时完成，实际工作效率提高20%，实际多少小时可以完成？（用比例知识解答）
16．（23-24六年级下·贵州黔南·期末）随着村民收入水平提高，福福家搬了新家。装修其中一间卧室时，如果用边长30厘米的正方形地砖铺地，需要200块。如果改用边长0.6米的正方形地砖铺地，需要多少块？（用比例解决问题）
17．（23-24六年级下·山东济宁·期末）水果萝卜是潍坊特产，为了方便挑选优质萝卜，商家准备建造选萝卜仓库。如果用边长是8分米的方砖给仓库铺地，需要250块，如果改用边长是10分米的方砖，需要多少块？
18．（23-24六年级下·新疆乌鲁木齐·期末）小亮半小时能打900个字，照这样的速度，往电脑里输入一篇1500字的文章，小亮需要多长时间？（用比例解题）
19．（23-24六年级下·河南驻马店·期末）公路队修一条长900千米的公路，8天修了360千米，照这样的速度，还要多少天才能修完？（用比例解）
20．（23-24六年级下·河南商丘·期末）淘气身高1.4米，测得影长2.1米，同一时刻、同一地点测得一栋楼的影长22.5米，这栋楼的高度是多少米？（用比例解答）
21．（2024·河南开封·小升初真题）一种蜂蜜水由蜂蜜和水按2∶9的质量比调制而成。如果用280毫升蜂蜜调制这种蜂蜜水，需要准备多少毫升水？（用解比例的方法解决。）
22．（22-23六年级下·江苏淮安·期末）只列算式，不计算。
某公司接到一批机器生产定单，原计划每天生产50台，12天完成任务。实际每天生产60台，实际多少天完成任务？
23．（23-24六年级下·江苏苏州·期末）运输队运送一批救灾物资到汶川灾区。原计划每小时行60千米，5小时可以到达。由于道路受损严重，实际平均每小时比原计划少行20千米。实际到达灾区需要多少小时？
24．（23-24六年级下·河南平顶山·期末）李叔叔想开车去武汉旅游，他从某导航软件左下角看到该地图的比例尺是，量得地图上从家到武汉的距离是7.5厘米。已知李叔叔的汽车每行驶100千米耗油7.5升，按这个耗油量，他出发前加满40升汽油，去的途中还需要加油吗？请说说你的理由。（用比例解答）
25．（23-24六年级下·天津南开·期末）客车和货车分别从甲乙两地相向而行，客车3小时后到达甲乙两地中点，继续行驶，又过了一个小时，货车到达甲乙两地中点，这时货车开始提速，速度比原来提高了20%，当客车到达乙地时，货车行驶了全程的几分之几？
26．（2024·河南郑州·小升初真题）A、B两地相距2400米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，两人在途中某处相遇后，甲又继续行进18分钟到达B地，乙又继续行进50分钟到达A地，请问：甲比乙每分钟多走多少米？
27．（23-24六年级下·湖南常德·期末）一个儿童玩具组装车间要完成一批儿童玩具组装任务，每天组装玩具的个数与需要的天数如下表。
每天组装数量/个 600 750 900 1200 1500
组装天数/天 30 24 20 15 12
（1）如果每天组装数量用p表示，组装天数用t表示，组装玩具总数用s表示，请你用式子表示出三者之间的关系。
（2）如果这批组装任务需要在8天内完成，每天要组装多少个玩具？（用比例解答）
28．（23-24六年级下·福建龙岩·期末）小丽做一种手工绢花，完成的数量与时间关系如图所示。
（1）小丽做手工绢花的数量与时间成什么比例？请说明理由。
（2）小丽5小时可以做多少个手工绢花？（用比例解）
29．（2024·四川成都·小升初真题）金字塔是埃及的著名建筑，其中以现高136.5米的胡夫金字塔最为著名，第一个精确测得其高度的人是数学家泰勒。原来他就是利用了我们这学期学习的比例知识（如图）。小芳和小丽也准备运用这种方法来测量学校旗杆的高度，小芳先测得小丽身高为1.6米，在阳光下影子长度为2.4米，她立刻去测量学校旗杆的影长，测得旗杆影长为12米，那么这根旗杆的实际高度是多少米？
30．（2022·安徽合肥·小升初真题）84消毒液在生活中广泛应用。下面是某品牌84消毒液说明书。
【药品名称】84消毒液
【规格型号】500mL
【用法用量】见下表
消毒对象 稀释比例（消毒液：水） 消毒时间（分钟） 使用方法
一般物品表面 1∶100 20 浸泡或擦拭
餐饮具 1∶200 20 浸泡或擦拭
白色衣物清洗 1∶250 30 浸泡
……
学校要配制消毒水对班级的课桌面进行消毒，用200mL的消毒液需要用多少L水来配？

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