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2025年全国中学生数学奥林匹克（广西赛区）选拔赛试题
一、填空题（每小题10分，共80分.）
1.
1和千2
已知虚数z使得名=，
是实数，则z=▲
2.若1og(x+2y)+10g5(x-2y)=1,则x-y的最小值是
的展开式中x4的系数是
、(用具体数字作答)
4.
已知△ABC的外心为O,且4OA+3OB+2OC=0,则cos∠ABC=▲
5.数列a,满足a,=行且对一-切自然数n都有a=+a,则
2025
1
的整数部分
n=0 a +1
是
6.一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为
7.直线兰+上=1与稀圆兰+上=1相交于小B两点，点P在该椭圈上，且满足AP4B的
54
2516
面积等于9，这样的P点的个数是
8.设Z.为全体正整数集，A={n|n∈Z.,n3且ny4},B={nin∈Z,nlS},C=AUB.
将C中的元素从小到大排列得到数列{an}，则a2o2s=▲
二、解答题(9、10每小题15分，11、12每小题20分，共70分.)
9.在七个数字1,2,3,4,5,6,7的所有排列中，求至少有两个相邻数字不互质的概率.
10.已知f()=(x-1)2，g()=4(x-1);数列{a.}满足(an1-a)g(a)+f(a)=0,其
中a1=2;数列亿n}满足bn=3f(an)-g(an1).求bn的最大值与最小值.
11.在Rt△ABC的斜边AB上取一点D,使得△ACD和△BCD
的内切圆半径相等.求证：CD2=SMBc
12.已知a,b,c是正实数，求证：
a+b+c
c之11T之a+b-cb+c-ac+a-
q +-
2+e2
2025年全国中学生数学奥林匹克（广西赛区）选拔赛
试题参考答案
一、填空题（每小题10分，共80分.）
2
2
提示：
e2+0=;《0+5+1=z,+=0-)小.
1+32=3,
由+2,1-2为实数，：为虚数可知1-2=0.
于是3=(2+101+z)52=(2+101+),1+2+22=0.故1=32=-1.
因此，：=-+5或者：=-15，
2
2
22
25
2
提示：由log(x+2y)+log,(x-2y)=1可得1x-4|y2=5,1x>2
令ux,1yl,kx-yl,则2-42=5，k>0.方程(t+k)2-4r2=5,即
3-2+5-k)=0有正实数解.故A=42-125-k)≥0,4k2≥15，k之
2
当=时1=店，42正.图此时-的最小值为
2
6
3
3.264
4
_x+2少，所以展开式中x的系数是C品·2=264，
6
提示：因为x++4
4.10
提示：不妨设△4BC的外接圆半径为1.由40A+30B+20元=0得40A=-30B-20元，
1610if=910f+41ocf+120B.0c,故08.0c-}
同理可得01.0C:60丽01=名
.BA.BC=04-0B)OC-OB)=04.0C-04.0B-OB.OC+0B.OB
1

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