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第一章三角函数章末十九种常考题型归类
任意角的概念
1．（20-21高一·全国·课时练习）如图，圆的圆周上一点以为起点按逆时针方向旋转，转一圈，之后从起始位置转过的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出点逆时针方向旋转一分钟转的度数再乘以即可求解.
【详解】因为点以为起点按逆时针方向旋转，转一圈，
所以点逆时针方向旋转一分钟转的度数为，
设之后从起始位置转过的角为，
故选：D．
2．（21-22高一上·新疆昌吉·期末）时针走过1小时30分钟，则分针转过的角度是 .
【答案】
【分析】由题意分针顺时针转过1圈半，结合任意角定义写出转过的角度.
【详解】时针走过1小时30分钟，则分针顺时针转过1圈半，即转过.
故答案为：.
3．（23-24高一上·全国·课时练习）若角α＝30°，把角α逆时针旋转20°得到角β，则β＝ .
【答案】50°
【分析】根据任意角的概念计算可得到结果.
【详解】因为由逆时针旋转得到，所以.
故答案为：
4．（21-22高一·全国·课时练习）在图中从旋转到，，时所成的角度分别是 、 、 ．

【答案】
【分析】根据正角、负角的定义可得.
【详解】由图1所示的角是OA按逆时针方向绕O点旋转至OB而成的，故所成的角；
图2：由于角是OA按顺时针绕O点旋转至而成的，则；
由于角是OA按逆时针绕O点旋转至而成的，则.
故答案为：；；
5．（21-22高一·全国·课时练习）求下列各式的值，并作图说明运算的几何意义．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)30°，图像和几何意义见解析；
(2)－120°，图像和几何意义见解析；
(3)210°，图像和几何意义见解析；
【分析】在平面直角坐标系中，以x轴非负半轴作始边，沿逆时针旋转为正角，加上一个角为终边沿逆时针旋转，减去一个角为终边沿顺时针旋转.
【详解】（1），
在平面直角坐标系中，以x轴非负半轴作始边，沿逆时针旋转为正角，表示90°角的终边沿顺时针旋转60°：
（2），
在平面直角坐标系中，以x轴非负半轴作始边，沿逆时针旋转为正角，表示60°角的终边沿顺时针旋转60°沿顺时针旋转180°：
（3），
在平面直角坐标系中，以x轴非负半轴作始边，沿逆时针旋转为正角，表示－60°角的终边沿逆时针旋转270°：
象限角与轴线角的概念
6．（23-24高一上·浙江台州·期末）角是第 象限角.
【答案】二
【分析】直接由象限角的概念得答案．
【详解】由象限角的定义可知，的角是第二象限角．
故答案为：二.
7．（多选）（23-24高一上·江苏淮安·阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．锐角是第一象限角 B．第二象限角为钝角
C．小于的角一定为锐角 D．角与的终边关于轴对称
【答案】AD
【分析】根据象限角、锐角的定义判断ABC，根据任意角的定义判断D.
【详解】对于A：因为锐角的范围为，终边落在第一象限，故锐角为第一象限角，正确；
对于B：终边落在第二象限的角不一定是钝角，如的角的终边位于第二象限，但不是钝角，错误；
对于C：小于的角不一定是锐角，如的角小于，但不是锐角，错误；
对于D：由角的定义可知，角与的终边关于轴对称，正确；
故选：AD
8．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）“一个角是第二象限角”是“这个角是钝角”的 条件.
【答案】必要不充分条件
【分析】写出第二象限角的范围以及钝角的范围，再按照充分必要条件的定义判断.
【详解】第二象限上的角满足，当时，这个角不是钝角，故不满足充分性，
钝角满足，这个角必在第二象限，满足必要性，
故“一个角在第二象限上”是“这个角为钝角”的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分条件.
9．（21-22高一下·全国·单元测试）若为第二象限角，则的终边所在的象限是（ ）
A．第二象限 B．第一、二象限
C．第一、三象限 D．第二、四象限
【答案】D
【分析】根据给定条件，由的范围求出的范围，再分奇偶作答.
【详解】因为为第二象限角，则，
因此，
而为偶数，当为奇数时，为奇数，则为第四象限角，
当为偶数时，为偶数，则为第二象限角，
所以的终边所在的象限是第二、四象限.
故选：D
10．（2024高一上·全国·专题练习）给出下列四个命题：
①角是第四象限角；
②角是第三象限角；
③是第二象限角；
④角是第一象限角．
其中真命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】利用终边相同的角将角转化在范围内确定象限即可.
【详解】①②显然为真命题；
③为真命题，∵角与角的终边相同，角是第二象限角，∴角是第二象限角；
④为真命题，∵角与角的终边相同，角是第一象限角，∴角是第一象限角．
故真命题有4个．
故选：D．
象限角与集合、终边相同角
11．（23-24高一上·山东枣庄·期末）已知集合钝角，第二象限角，小于的角，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据钝角的范围，即可得出选项C正确，再由第二象限角的范围，即可判断出选项ABD的正误，从而得出结果.
【详解】因为钝角大于，且小于的角，一定是第二象限角，所以，故选项C正确，
又第二象限角的范围为，
不妨取，此时是第二象限角，但，所以选项ABD均错误，
故选：C.
12．（22-23高三上·重庆渝中·阶段练习）已知集合，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】可确定在上集合和集合的关系，然后结合角的周期性得结论．
【详解】在范围，集合含有，集合含有，
由角的周期性变化可知：，
故选：B.
13．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）下列各角中，与角终边重合的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用终边相同的角的集合，即可求解.
【详解】与角终边重合的角的集合是，
当时，.
故选：D
14．（21-22高一下·上海浦东新·期末）下列各组角中两个角终边不相同的一组是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】D
【分析】根据终边相同的角的知识求得正确答案.
【详解】A选项，由于，所以和终边相同.
B选项，由于，所以和终边相同.
C选项，由于，所以和终边相同.
D选项，由于，所以和终边不相同.
故选：D
15．（21-22高一上·全国·课前预习）集合，集合.
(1)求；
(2)若全集为，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先变形集合，再求交集；
（2）先求补集，再求交集.
【详解】（1）解：因为
所以 ；
（2）解：由（1)，知
故
n倍角与n分角
16．（2022高一上·全国·专题练习）角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】由题意知，，，即可得的范围，讨论、、 对应的终边位置即可.
【详解】∵角的终边在第一象限，
∴，，则，，
当时，此时的终边落在第一象限，
当时，此时的终边落在第二象限，
当时，此时的终边落在第三象限，
综上，角的终边不可能落在第四象限，
故选：D.
17．（2021高一下·上海·专题练习）已知为第三象限角，则是第 象限角，是 的角．
【答案】 二、四 第一、二象限或轴的非负半轴上
【分析】求出，，即得解.
【详解】是第三象限角，即，
，
当为偶数时，为第二象限角；当为奇数时，为第四象限角；
而的终边落在第一、二象限或轴的非负半轴上.
故答案为：二、四；第一、二象限或轴的非负半轴上.
18．（22-23高一·全国·课堂例题）若角是第二象限角，试确定角，是第几象限角．
【答案】可能是第三象限角、第四象限角或终边在轴非正半轴上的角；可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角
【分析】
根据象限角的表示方法，得到和的表示，进而判定其象限，得到答案.
【详解】因为是第二象限角，所以，
可得，
所以可能是第三象限角、第四象限角或终边在轴非正半轴上的角．
又由 ，
当时，，此时是第一象限角；
当时，，此时是第二象限角；
当时，，此时是第四象限角．
综上所述，可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角．
19．（多选）（21-22高一上·安徽阜阳·期末）若是第二象限角，则（ ）
A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角
C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角
【答案】AB
【分析】由与关于x轴对称，判断A选项；
由已知得，，再根据不等式的性质可判断B选项；
由是第一象限角判断C选项；
由不等式的性质可得，，由此可判断D选项．
【详解】解：因为与关于x轴对称，而是第二象限角，所以是第三象限角，所以是第一象限角，故A选项正确；
因为是第二象限角，所以，，所以，，故是第一或第三象限角，故B选项正确；
因为是第二象限角，所以是第一象限角，故 C选项错误；
因为是第二象限角，所以，，所以，，所以的终边可能在y轴负半轴上，故D选项错误．
故选：AB.
20．（多选）（21-22高一上·山东·阶段练习）下列结论中不正确的是（ ）
A．终边经过点的角的集合是
B．将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数是
C．若是第一象限角，则是第一象限角，为第一或第二象限角
D．，，则
【答案】BC
【分析】根据角的终边位置判断A，根据角的定义判断B，利用特殊值判断C，根据集合间的包含关系判断D．
【详解】对于选项A：终边经过点的角在第二和第四象限的角平分线上，故角的集合是， 正确；
对于选项B：将表的分针拨快10分钟，按顺时针方向旋转圆周角的六分之一，则分针转过的角的弧度数是， 错误；
对于选项C：若，不是第一象限角，错误；
对于选项D： 而表示的奇数倍，
，而表示 的整数倍，所以，正确．
故选：BC
由图形写出角的范围
21. （22-23高一下·广西钦州·阶段练习）集合中角表示的范围用阴影表示是图中的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】当取偶数时，确定角的终边所在的象限；当取奇数时，确定角的终边所在的象限，再根据选项即可确定结果．
【详解】集合中，
当为偶数时，此集合与表示终边相同的角，位于第一象限；
当为奇数时，此集合与表示终边相同的角，位于第三象限.
所以集合中角表示的范围为选项B中阴影所示.
故选：B.
22. （21-22高一·全国·课时练习）如图所示，终边落在阴影部分的角的取值集合为 ．
【答案】
【分析】由已知，分别表示出射线OA和射线OB终边所表示的角度，然后根据题意表示阴影部分的范围即可.
【详解】终边落在射线OA上的角的集合是，终边落在射线OB上的角的集合是，所以终边落在阴影部分(含射线OA，不含射线OB)的角的集合是.
故答案为：.
23. （21-22高一·全国·课后作业）如图，用弧度制表示终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合：
【答案】
【分析】将角度化为弧度，结合任意角概念表示出来即可.
【详解】因为，，
结合图像可看作范围内的角，结合任意角的概念可表示为
.
故答案为:.
24. （21-22高一·全国·课时练习）如图，写出终边落在阴影部分的角的集合.
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】根据实线表示的边界可取，虚线表示的边界不可取，且按逆时针方向旋转时角度变大分析即可.
【详解】（1）由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合为.
（2）由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合为 .
25. （21-22高一·全国·课时练习）若角的终边与函数的图象相交，则角的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】只有当角的终边与在直线上时，与函数的图象无交点，其余情况一直有交点，结合选项可得答案．
【详解】当角的终边与直线重合时，角的终边与函数的图象无交点.又因为角的终边为射线，
所以，.
故选：C
弧度制与角度制
26. （23-24高一下·江西南昌·阶段练习）是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】B
【分析】化简为，根据终边相同的角的表示，即可判断答案.
【详解】，则与终边相同，为第二象限角，
故选：B
27. （23-24高一下·安徽淮北·阶段练习）时间经过五个小时，时针转过的角为 .
【答案】/
【分析】先确定时针旋转得到的是负角，且每过一个小时转过的角的大小为，计算即得.
【详解】时针旋转是顺时针转，根据规定得到的是负角，每个小时时针转过的角的弧度大小为，故时间经过五个小时，时针转过的角为.
故答案为：.
28. （22-23高一下·山东·阶段练习）若，，则终边所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第一、三象限 C．第二象限 D．第二、四象限
【答案】B
【分析】直接作出其终边所经过的象限图形即可.
【详解】经过第三象限，则反向延长其终边射线经过第一象限，
故经过一三象限，
故选：B.
29. （22-23高一下·湖北·阶段练习）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】选取不同的值，求出交集.
【详解】当时，，当时，或，
当取其他整数时，均不在内，
故.
故选：C
30. （22-23高一下·辽宁抚顺·期中）“密位制”是一种度量角的方法，我国采用的“密位制”是6000密位制，即将一个圆周角分6000等份，每一等份是一个密位，则350密位的对应角的弧度数为 ．
【答案】
【分析】根据已知条件，结合“密位制”的定义，即可求解．
【详解】一个圆周角分6000等份，每一等份是一个密位，
则350密位的对应角的弧度数为．
故答案为：．
弧长与扇形面积
31. （多选）（23-24高一下·江西九江·阶段练习）已知扇形的周长是，面积也是，则扇形的中心角的弧度数可能是（ ）
A． B． C．4 D．或
【答案】AC
【分析】利用扇形的弧长与面积公式建立方程组求解，再利用圆心角公式即可求解.
【详解】设扇形的半径为，弧长为，面积为，圆心角为，则
，解得，或，则或1．
故选：AC．
32. （2024高一下·上海·专题练习）如图，已知长为 ，宽为的长方体木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被小木块挡住，此时长方体木块底面与桌面所成的角为，求点走过的路程为

【答案】
【分析】根据旋转的定义得到第一次是以为旋转中心，以为半径旋转，第二次是以为旋转中心，以为半径旋转，第三次是以为旋转中心，以为半径旋转，根据弧长公式计算后相加即可．
【详解】
第一次是以为旋转中心，以为半径旋转，
此次点走过的路径是，
第二次是以为旋转中心，以为半径旋转，
此次点走过的路径是，
第三次是以为旋转中心，以为半径旋转，
此次点走过的路径是，
点三次共走过的路径是，
故答案为：．
33. （23-24高一下·江苏南通·阶段练习）用一根长度为的绳子围成一个扇形，当扇形面积最大时，其圆心角的弧度数为 ．
【答案】
【分析】根据已知条件及基本不等式，利用弧长公式及扇形的面积公式即可求解.
【详解】设扇形的弧长为，半径为，则，，
则，当且仅当时，等号成立，
所以扇形面积，
当时，扇形面积取得最大为.
所以圆心角的弧度数为.
故答案为:.
34. （23-24高一上·山东临沂·期末）临沂一中校本部19、20班某数学兴趣小组在探究扇形时，发现如下现象：如图所示，⊙B向⊙A靠近的过程，就像月亮被磨弯一样.已知在某一时刻，圆A和圆B处于图1的状态，简化后如图2，， ，.则S阴影= .
【答案】
【分析】阴影部分的面积为的半圆面积减去中圆心角为的弓形面积，利用已知数据计算即可.
【详解】，则为⊙A的直径，连接，如图所示，
，，则为等边三角形，，
的半径为2，的半径为4，
阴影部分的面积为的半圆面积减去中圆心角为的弓形面积，
则阴影部分的面积为.
故答案为：
35. （23-24高一下·河南南阳·阶段练习）玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人.如图1，这是一幅扇形玉雕壁画，其平面图为图2所示的扇形环面（由扇形OCD挖去扇形OAB后构成）.已知该扇形玉雕壁画的周长为320厘米.

(1)若厘米.求该扇形玉雕壁画的曲边的长度；
(2)若.求该扇形玉雕壁画的扇面面积的最大值.
【答案】(1)160厘米；
(2)6400平方厘米.
【分析】（1）由题可得弧与弧的长度关系，结合条件可解；
（2）利用扇形的面积公式，大扇形面积减去小扇形面积，利用基本不等式求最值.
【详解】（1）设弧的长度为厘米，弧的长度为厘米.
因为，所以，所以.
因为厘米，所以厘米.
因为该扇形玉雕壁画的周长为320厘米，所以，
所以，解得，即弧的长度为160厘米.
（2）因为，所以，所以，
则扇形的面积，扇形的面积，
故该扇形玉雕壁画的扇面面积.
因为该扇形玉雕壁画的周长为320厘米，所以
所以，
则，从而，当且仅当时，等号成立，
故，即该扇形玉雕壁画的扇面面积的最大值为6400平方厘米.
三角函数的定义
36. （23-24高一下·河北保定·开学考试）已知角的终边经过点，则角的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出的值，即可得出角的取值.
【详解】由题意得，所以，，故角的值可能为．
故选：A.
37. （2024高一上·全国·专题练习）随着智能手机的普及，手机摄影越来越得到人们的喜爱，要得到美观的照片，构图是很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然、更舒适，“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把画面横、竖各分三部分，以比例1：0.618：1为分隔，4个交叉点即为黄金分割点.如图，分别用A，B，C，D表示黄金分割点，若照片长、宽比例为8：5，设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，结合三角函数的定义，求得的值，代入即可求解.
【详解】根据题意，可得所以，
由三角函数的定义，可得，，，
所以.
故选：B.
38. （23-24高一上·安徽马鞍山·期末）把一条线段分割为两部分，使较长部分的长度与全长的比值等于较短与较长部分的长度的比值，这个比值称为黄金分割比(简称黄金比).黄金比在建筑、艺术和科学等领域中都有广泛应用.我们把顶角为的等腰三角形称为黄金三角形，它满足较短边与较长边的长度之比等于黄金比.由上述信息可求得 .
【答案】
【分析】先根据题意计算黄金比，再利用等腰三角形的性质和三角函数的概念即可求解.
【详解】设把一条长度为线段分割为两部分，较长部分的长度为，较短部分的长度为，
由题意得，即，
令，则，整理得，解得，
又，所以，于是黄金分割比为.
等腰三角形中，，如图：
由题意可得，，又，
所以.
故答案为：.
39. （23-24高一上·福建莆田·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，动点、从点出发在单位圆上运动，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，则、两点在第1804次相遇时，点的坐标是 .
【答案】
【分析】计算相遇时间，再确定转过的角度，得到坐标.
【详解】相遇时间为秒，
故转过的角度为，
故对应坐标为，即.
故答案为：
40. （23-24高一上·上海·期末）若角的终边上有一点，，则的值是 .
【答案】
【分析】利用三角函数的定义求解.
【详解】解：因为角的终边上有一点，
所以，，
所以，
故答案为：
利用象限角判断象限与符号
41. （23-24高一下·江西·阶段练习）已知角的终边经过点，若，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据三角函数定义得到不等式，求出答案.
【详解】由三角函数定义可得在第四象限，
，解得，
故的取值范围是.
故选：B
42. （2024高一·上海·专题练习）已知角是第四象限角，则下列各式中一定为正的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
举反例排除A；利用三角函数在第四象限的正负情况判断BCD.
【详解】因为角是第四象限角，所以，
对于A，取，则，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，则，故D错误.
故选：C.
43. （23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）已知，那么角是（ ）
A．第一或第二象限角 B．第一或第三象限角
C．第三或第四象限角 D．第二或第四象限角
【答案】B
【分析】由三角函数值的符号结合题意即可得出答案.
【详解】因为，所以同为正或同为负，
所以角是第一或第三象限角.
故选：B.
44. （22-23高一上·陕西西安·期末）“且”是“为第三象限角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】求出且时所在象限，再根据充分必要条件的概念判断．
【详解】因为且，由任意角的三角函数可知，为第四象限角，
所以“且”是“为第三象限角”的既不充分也不必要条件，
故选：D.
45. （多选）（2024高一上·全国·专题练习）下列函数值中，符号为负的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】先判断象限，再确定符号.
【详解】∵，∴是第二象限角，则；
∵是第四象限角，∴；
∵是第二象限角，∴，∴；
∵，∴2是第二象限角，∴．
故选：CD．
利用诱导公式求值
46. （23-24高一下·湖北武汉·阶段练习）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式及特殊值即可求解.
【详解】.
故选：B.
47. （23-24高一下·广西南宁·开学考试）已知函数，则（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【答案】D
【分析】依题意可得，再倒序相加即可得解.
【详解】因为，
所以
，
所以
．
所以．
故选：D
48. （23-24高一下·上海闵行·阶段练习）化简： .
【答案】
【分析】
利用诱导公式进行求解即可.
【详解】
.
故答案为：
49. （23-24高一下·江西·开学考试）在平面直角坐标系中，角的终边经过点.
(1)求，的值
(2)求的值.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用任意角的三角函数的定义即可求解；
（2）利用诱导公式化简即可.
【详解】（1）由于角的终边经过点，则，所以，；
（2）由诱导公式化简得：
50. （23-24高一下·河南南阳·阶段练习）如图所示，以轴非负半轴为始边作角，它的终边与单位圆相交于点，已知点坐标为．
(1)求，的值；
(2)求的值．
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）利用点在圆上以及三角函数的定义计算即可；
（2）利用诱导公式化简，然后转化为用表示，代入的值计算即可.
【详解】（1）在单位圆上，且点在第二象限
，
解得．
由三角函数定义可知，
（2）
正余弦函数的定义域与不等式
51. （23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知的定义域是，则的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由函数的定义域，可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】因为的定义域是，
对于函数，有，可得，
解得，
因此，函数的定义域为.
故选：D.
52. （23-24高一下·河北承德·阶段练习）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据给定的函数，列出不等式，再解三角不等式即得.
【详解】函数的意义，则，即，解得，
所以函数的定义域为.
故选：B
53. （23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）已知函数.
(1)填写下表，用“五点法”画出函数在一个周期上的图象；
0 2 0 0
(2)解不等式.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据“五点法”作图的步骤求解即可；
（2）由转化为，由正弦函数图象与性质列出不等式求解即可.
【详解】（1）列表
0
0 2 0 0
描点、连线得到图象如下
（2）由可得，
即，所以，
所以或，，
即或，，
故不等式的解集为.
54. （23-24高一上·湖北荆州·期末）已知函数．
(1)用“五点法”作出函数在上的图象；
(2)解不等式．
【答案】(1)图象见解析
(2)
【分析】（1）利用“五点作图法”即可得解；
（2）利用整体代入法，结合正弦函数的性质即可得解.
【详解】（1）列表
0
0 1 0 0
又当时，，当时，，
描点作图，如图所示：
（2）因为，
所以，，
解得，，
故不等式的解集为.
55. （21-22高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知函数．
(1)求函数图象的对称中心；
(2)若，求不等式的解集．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据图象的对称中心求出图象的对称中心；
（2）将不等式化简为，对分类讨论求解不等式.
【详解】（1）易知图象的对称中心为，
图象的对称中心为．
图象的对称中心为．
（2）不等式，即为．
，即．
当时，显然有（不能同时取等号）恒成立；
当时，由三角函数的单调性知单调递减，
又的解集是；
当时，显然有无解；
当时，由三角函数的单调性知单调递增，
又的解集是．
不等式的解集为．
正余弦函数的奇偶性与参数
56. （23-24高一下·辽宁阜新·阶段练习）已知函数是奇函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用余弦型函数的性质，求出的表达式，再利用诱导公式计算即得.
【详解】由函数是奇函数，得，
则，所以当时，.
故选：B
57. （23-24高一下·上海·阶段练习）已知函数为奇函数，则 .
【答案】
【分析】
根据奇函数的性质，即可求解.
【详解】
由奇函数的性质，可知得 .经检验满足题意
故答案为：
58. （23-24高一上·浙江衢州·期末）已知函数的最大值为，最小值为，则 .
【答案】2
【分析】构造函数利用其奇偶性计算即可.
【详解】易知，
令，
易知定义域为R，且，
即是奇函数，
显然，，
由奇函数的对称性质易知.
故答案为：
59. （2024高一上·全国·专题练习）已知函数，为奇函数，则
【答案】或
【分析】根据题意得到，解出再对赋值即可.
【详解】由题意知，
即.
∵，
∴当时，；
当时，.
故答案为：或.
60. （23-24高一下·上海·阶段练习）函数是奇函数，则实数 .
【答案】/
【分析】根据函数的奇偶性，即可求得，结合，即得答案.
【详解】由题意知函数是奇函数，
则，结合，可得，
故答案为：
三角函数的单调性与比较大小
61. （23-24高二上·甘肃武威·阶段练习）已知函数，则在上的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由正弦函数的单调性以及复合函数单调性即可求解.
【详解】当时，，
所以当，即时，函数单调递增．
故选：B.
62. （多选）（23-24高一下·四川绵阳·阶段练习）下列式子成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据正弦函数、余弦函数的单调性，再结合诱导公式逐项判断即可求解.
【详解】A．由，，又因为，所以，
所以，故A正确；
B．，，因为，
所以，故B错误；
C．由，又因为，所以，故C错误；
D．因为，所以，因为，所以，
所以，故D正确.
故选：AD.
63. （2024高一下·上海·专题练习）设，，，则，，的大小关系为 按由小到大顺序排列
【答案】
【分析】
利用正弦函数的单调性，即可判断，，的大小．
【详解】
由，
，，
当时，单调递增，且，，
则，故．
故答案为．
64. （23-24高一上·广东清远·期末）写出函数在上的一个减区间： .
【答案】（答案不唯一）
【分析】利用余弦函数的单调性求解即可.
【详解】函数的减区间为的增区间，即，
据此只需写内的任何一个非空子集，例如.
故答案为：（答案不唯一）
65. （2023高一上·全国·专题练习）利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
(1)与；
(2)与；
(3)与.
【答案】(1).
(2).
(3).
【分析】（1）利用正弦函数的单调性，比较正弦值的大小；
（2）由诱导公式有，，利用正弦函数的单调性比较大小；
（3）利用诱导公式和余弦函数的单调性比较大小
【详解】（1）由，函数在上单调递增，
所以.
（2），，
由，有，
从而，即.
（3），
，且在上是减函数，
则，即.
三角函数的最值与取值范围
66. （23-24高一下·北京延庆·阶段练习）定义运算则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
依据定义写出的解析式，再由周期性转化为研究一个周期上的值域，先分段求出每段上函数的值域，再求并集即可.
【详解】由题：，
因为都是以为周期的函数，所以也是以为周期的函数，
取研究：
当时，；
当时，；
所以函数的值域为.
故选：B.
67. （22-23高一下·辽宁辽阳·期末）已知函数在上的最小值为，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】根据余弦函数的图象性质判断即可.
【详解】因为，所以．
由于函数在上的最小值为，
则在上的最小值为，又
所以，解得．
故选：C.
68. （23-24高一上·宁夏吴忠·期末）函数的最小值为 ．
【答案】
【分析】配方后根据求最小值即可.
【详解】因为 ，，
所以当时，，故函数的最小值为．
故答案为：
69. （23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知函数，若在上恒成立，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据解析式作出函数图象，根据性质找出的值，结合图象即可得解.
【详解】大致图象如图：
，，．
当时，或．
如上图所示，当时，恒成立．
所以的取值范围为．
故答案为：
70. （23-24高一下·广西·开学考试）已知函数.
(1)求的单调递增区间；
(2)求在上的值域.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）解不等式可求得所求函数的单调递增区间；
（2）先求的取值范围，再结合正弦函数的图象和性质求函数的值域.
【详解】（1）令，
解得，
则的单调递增区间为.
（2）因为，所以，所以.
又因为函数在上单调递增，在上单调递减，
所以：当，即时，
取得最小值；
当，即时，
取得最大值.
故在上的值域为.
由图像确定正弦型函数的解析式
71. （23-24高一下·重庆·阶段练习）已知函数在一个周期内的图象如图所示，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由函数最值求出，由周期求出，由最大值点求出.
【详解】由图象可知，，
，函数最小正周期，则有，
，则，
又，得.
故选：B
72. （23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知函数的图象如图，轴，轴，四边形的面积为，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据函数的图象和条件，分别求出的值，即得解.
【详解】设函数最小正周期为T，根据函数的部分图象知，，
又，解得，
又，又 ；
综上，．
故选：B．
73. （23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）已知函数的一段图象过点，如图所示，则函数（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】通过三个连续零点的值可以求出函数的周期，根据最小正周期公式可以求出的值，将特殊点代入解析式中，可以求出，的值，进而确定函数解析式.
【详解】由图知，，则.
由图知，在取得最大值，且图象经过，故，
所以，故，
又因为，所以，
函数又经过，故，得.
所以函数的表达式为．
故选：D .
74. （多选）（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．图象的对称中心为，
D．直线是图象的一条对称轴
【答案】BC
【分析】利用部分图象，求出的解析式，结合三角函数的性质即可求解.
【详解】对于A，由图象可知，，
又图象过，则，又，则，A错误；
对于B，又图象过，则，故，B正确；
对于C，所以的解析式为，
由，得，
所以图象的对称中心为，，C正确，
对于D，，
所以直线不是图象的一条对称轴，D错误.
故选：BC.
75. （23-24高一下·四川眉山·阶段练习）已知函数 的部分函数图象如图．

(1)求函数的解析式，
(2)求最小正周期、对称中心以及对称轴；
(3)求的最大值和最小值及取的最值时的集合.
【答案】(1)；
(2)最小正周期；对称中心；对称轴；
(3)最大值，；最小值，.
【分析】（1）利用图象求，然后可得，再代点求即可得解析式；
（2）（3）根据正弦函数性质，利用整体代入法求解可得.
【详解】（1）由题意知，，故 ，则，
因为图象过点，所以，
得，即.
因为，所以.
所以.
（2）最小值周期，
由得，
所以，函数的对称中心为.
由得的对称轴为.
（3）函数的最大值和最小值分别为2和.
令，得，
令，得，
所以，当的最大值时的集合为，
当的最小值时的集合为.
正弦型函数的平移与伸缩变换
76. （23-24高一下·江西九江·阶段练习）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移2个单位长度，得到函数的图象，则的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据三角函数的变换规律，即可判断选项.
【详解】的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数，
再将所得图象向左平移2个单位长度，得到函数.
故选：B
77. （21-22高一下·全国·期末）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据给定的变换过程，利用逆变换依次求出对应函数解析式即得.
【详解】依题意，，
将向右平移个单位长度，得到，
再将图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象.
故选：A
78. （多选）（23-24高一下·河北张家口·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度后，函数图像关于y轴对称，则下列说法正确的是（ ）
A．可能等于3 B．的周期可以是
C．一定为奇函数 D．在上单调递减
【答案】BC
【分析】根据已知条件平移后的图像为偶函数，确定的取值，利用 判断A、B两个选项；求出解析式，利用奇函数定义判断函数的奇偶性进而判断C选项；利用换元法令，利用函数 的单调性，判断 的单调性进而判断D选项.
【详解】函数的图象向左平移个单位得：
，因为图像关于y轴对称，
所以为偶函数，所以 解得 ；
若，则，解得，因为，所以不成立，A错误；
若的周期可以是，则，解得，又因为，
即，解得符合，B正确；
，
因为 ，所以
，
令，，
所以，所以一定为奇函数，C正确；
令，则因为，则，所以化为
，在上单调递增，在上单调递减，
所以在上不单调，D错误.
故选：BC
79. （23-24高一下·河南驻马店·阶段练习）已知函数，若将的图象向左平移个单位长度后所得的图象关于y轴对称，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】根据题意写出平移后解析式且关于轴对称，则，，从而可求解.
【详解】由题意得将向左平移个单位后
得，且关于轴对称，
所以，，得，，
又因为，所以当时，有最小值.
故答案为：.
80. （23-24高一下·江西南昌·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，且函数在上单调递增，则函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由三角函数图象的平移变换以及函数图象的对称性，可得，由函数在上单调递增，推出，求得范围，即可求得的值，进而求得函数周期.
【详解】函数的图象向左平移个单位长度后，
得到函数的图象，该图象关于轴对称，
故，即，
由函数在上单调递增，且，
故，解得，故，
结合，可得，
故函数的最小正周期为，
故选：B
正切函数的性质
81. （多选）（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）下列关于函数的说法不正确的是（ ）
A．定义域为 B．最小正周期是
C．图象关于成中心对称 D．在定义域上单调递增
【答案】ABD
【分析】根据正切函数的周期公式、定义域、对称中心、单调性可判断出答案.
【详解】函数的定义域为，A错误；
最小正周期，B错误；
解得，
所以图象的对称中心为点，当时，对称中心为点，C正确；
当时，，当时，，
因为，，
所以由单调性的定义可知，D错误．
综上，ABD符合题意.
故选：ABD.
82. （23-24高一下·陕西·阶段练习）已知函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则 ．
【答案】2
【分析】借助正切函数的对称性与周期计算即可得.
【详解】由题意可得，即，则.
故答案为：2.
83. （23-24高一下·河南驻马店·阶段练习）函数的最小正周期是 .
【答案】/
【分析】由正切函数的图象与性质知，翻折变换后，正切型函数的周期不变，利用最小正周期公式即可算得.
【详解】由正切函数的图象与性质知：与的最小周期均为，
与的图象如图所示，
所以函数与最小正周期也一样，
函数的最小正周期是，
的最小正周期也是．
故答案为：.
84. （23-24高一下·福建莆田·期中）函数，的值域为 ．
【答案】
【分析】首先确定的范围，结合二次函数值域的求法可求得结果.
【详解】当时，，
，
当时，；当时，；
，的值域为.
故答案为：.
85. （23-24高一下·江西南昌·阶段练习）设函数.
(1)求函数的定义域、最小正周期、渐近线及对称中心；
(2)解不等式.
【答案】(1)，，，
(2)
【分析】（1）根据正切函数的性质，采用整体代换的方法，即可求得答案；
（2）结合正切函数的单调性，列出不等式，即可求得答案.
【详解】（1）由题意知函数，
令，则，
故的定义域为，最小正周期为;
令，即，
故渐近线为；
令，
故对称中心为；
（2）由，得，
故，
即不等式的解集为
三角函数的零点问题
86. （23-24高一下·江西南昌·阶段练习）函数的所有零点之和为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】设，转化为与在上交点的横坐标，作出与在的图象，结合图象的对称性，即可求解.
【详解】设，可得，其中，
可得，
则函数的零点，即为与在上交点的横坐标，
画出函数与在的图象，
可得两函数的图象共有7个公共点，且关于原点对称，所以7个零点之和为0，
即，
可得，
可得.
即原函数所有零点之和为.
故选：C.

87. （23-24高一下·江西抚州·阶段练习）设函数的最小正周期为，且在内恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据周期求出，结合的范围及，得到，把看做一个整体，研究在的零点，结合的零点个数，最终列出关于的不等式组，求得的取值范围
【详解】因为，所以，
由，即，得，
当时，，又，则，
因为在的零点为，
且在内恰有3个零点，所以或，
解得，
故选：D
88. （23-24高一下·江西南昌·阶段练习）已知函数在上有两个零点，则t的取值范围是 .
【答案】
【分析】将问题转化为与的交点个数问题，数形结合解决问题.
【详解】由题意可知方程在上有两个根，
作出在上的图像，
由图可知，从而.
故答案为：
89. （23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）已知函数在区间内没有零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意分析可知方程在区间内没有实根，分类讨论的符号，结合正弦函数的性质分析求解.
【详解】令，可得，
可知方程在区间内没有实根，
因为，则，
若，则，则，符合题意；
若，则，
由题意可得，解得；
若，则，
由题意可得，解得；
综上所述：实数的取值范围是.
故答案为：.
90. （23-24高一下·安徽淮北·阶段练习）已知函数，.
(1)若，求实数的值；
(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据，计算求值，即得答案；
（2）令，则可得，即，求出，结合以及正弦函数的单调性，讨论t的取值范围，确定解的个数，即可求得答案.
【详解】（1）由题意知，
故，
∴，∴.
（2）令，因为，故，
则，
由得，
∵在上是增函数，在上是减函数，
且，，，
∴时，有两个值；或时，有一个值，
∴时，，（-1不合题意），函数只有1个零点，
时，，要有2个零点，需有，∴，
时，，要有2个零点，需有，∴，
综上，有两个零点时，的取值范围是.
三角函数的实际应用
91. （23-24高一下·河南南阳·阶段练习）阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减振装置，被称为“镇楼神器”．某阻尼器模型的运动过程可近似看为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系式为，其中，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，，，且，，则在一个周期内阻尼器偏离平衡位置的位移的大小小于的总时间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由三角函数的对称轴与周期的关系知函数的周期为，进而求出，令，解不等式即可得出答案.
【详解】由题意得，．
故函数的周期为，，
可得，位移的大小即，故令，
得，
所以，或，
解得，或，．
故总时间为：
．
综上在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移的大小小于的总时间为．
故选：D．
92. （多选）（23-24高一下·四川内江·阶段练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心距离水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系为.则以下说法正确的有（ ）

A．
B．
C．
D．盛水筒出水后到达最高点的最小时间为
【答案】AD
【分析】由已知可得、、、的值，得到函数解析式，取求得的值，从而得解．
【详解】筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，，
则，故B错误；
振幅为筒车的半径，即，，故A正确；
由题意，时，，，即，
，，故C错误；
，
由，得，，
，，得，．
当时，取最小值为，故D正确．
故选：AD.
93. （多选）（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）某摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（可视为点）．现4号座舱位于圆周最上端，从此时开始计时，旋转时间为分钟．假设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系为，1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为米，则（ ）
A．当时，
B．当时，
C．，
D．若在这段时间内，恰有三次取得最大值，则的取值范围为
【答案】ACD
【分析】
设函数关系的解析式为，根据题意可求得参数，即可得解析式，判断C；将代入，即可判断A，B；求出的表达式，求得其取最大值时，结合题意列出不等式，即可求得范围，判断D.
【详解】设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为（，，），
则，，所以（），
依题意，所以，
当时且在0附近为增函数，所以，故（），
则当时，，A，C正确；
当时，，B错误；
对于D：依题意，，
所以
，
今，，解得，，
所以当，时取得最大值，
由于在这段时间内，恰有三次取得最大值，
故，解得，
所以．故D正确．
故选：ACD．
94. （23-24高一下·全国·课后作业）水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，工作示意图如图．设水车（即圆周）的直径为3m，其中心（即圆心）O到水面的距离，逆时针匀速旋转一圈的时间是，水车边缘上一点P距水面的高度为h（单位：m）．
(1)求h与旋转时间t（单位：s）的函数解析式，并画出这个函数的图象；
(2)当雨季河水上涨或旱季河流水量减少时，所求得的函数解析式中的参数将会发生哪些变化？若水车转速加快或减慢，函数解析式中的参数又会受到怎样的影响？
【答案】(1)，图象见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据给定条件，设出h与t的函数关系式，列表，结合五点法作图；
（2）根据题意结合函数解析式分析判断.
【详解】（1）设点P在水面上时高度h为0，当点P旋转到水面以下时，点P距水面的高度为负值．
过点P向水面作垂线，交水面于点M，PM的长度为点P的高度h，
过水车中心O作PM的垂线，交PM于点N，
设Q为水车与水面交点，．
由已知可知：水车的半径，水车中心到水面的距离，
水车旋转一圈所需的时间为，转速为．
不妨从水车与水面交点Q时开始计时（）．旋转ts水车转动的角的大小为α，
即．
从图中不难看出：
．①
因为，所以．
因此，②
这就是点P距水面的高度h关于时间t的函数解析式．
列表如下：
11.8 31.8 51.8 71.8 91.8
0
1.2 2.7 1.2 1.2
画出函数在区间上的图象（如图）：
（2）雨季河水上涨或旱季河流水量减少，将造成水车中心O与水面距离的改变，导致函数解析式中的参数b发生变化．水面上涨时参数b减小；水面回落时参数b增大．
如果水车转速加快，将使周期T减小，转速减慢则使周期T增大．
95. （22-23高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，某公园摩天轮的半径为40m，圆心距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处．

(1)已知在时刻t（单位：min）时点P距离地面的高度（其中，，，求函数解析式及5min时点P距离地面的高度；
(2)当点P距离地面及以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有多少时间可以看到公园的全貌？
【答案】(1)，70m
(2)0.5min
【分析】（1）根据题意得到振幅，最小正周期，求出，由求出，得到函数解析式，求出；
（2）在（1）的基础上，得到，解不等式，求出，，从而求出答案.
【详解】（1）依题意，，，，则，
所以，
由可得，，，
因为，所以．
故在时刻t时点P距离地面的离度，
因此，
故5min时点P距离地面的高度为70m；
（2）由（1）知 ，其中．
依题意，令，
即，所以，
解得，，
则，，
由，
可知转一圈中有0.5min可以看到公园全貌．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第一章三角函数章末十九种常考题型归类
任意角的概念
1．（20-21高一·全国·课时练习）如图，圆的圆周上一点以为起点按逆时针方向旋转，转一圈，之后从起始位置转过的角是（ ）
A． B． C． D．
2．（21-22高一上·新疆昌吉·期末）时针走过1小时30分钟，则分针转过的角度是 .
3．（23-24高一上·全国·课时练习）若角α＝30°，把角α逆时针旋转20°得到角β，则β＝ .
4．（21-22高一·全国·课时练习）在图中从旋转到，，时所成的角度分别是 、 、 ．

5．（21-22高一·全国·课时练习）求下列各式的值，并作图说明运算的几何意义．
(1)；
(2)；
(3)．
象限角与轴线角的概念
6．（23-24高一上·浙江台州·期末）角是第 象限角.
7．（多选）（23-24高一上·江苏淮安·阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．锐角是第一象限角 B．第二象限角为钝角
C．小于的角一定为锐角 D．角与的终边关于轴对称
8．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）“一个角是第二象限角”是“这个角是钝角”的 条件.
9．（21-22高一下·全国·单元测试）若为第二象限角，则的终边所在的象限是（ ）
A．第二象限 B．第一、二象限
C．第一、三象限 D．第二、四象限
10．（2024高一上·全国·专题练习）给出下列四个命题：
①角是第四象限角；
②角是第三象限角；
③是第二象限角；
④角是第一象限角．
其中真命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
象限角与集合、终边相同角
11．（23-24高一上·山东枣庄·期末）已知集合钝角，第二象限角，小于的角，则（ ）
A． B．
C． D．
12．（22-23高三上·重庆渝中·阶段练习）已知集合，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
13．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）下列各角中，与角终边重合的是（ ）
A． B． C． D．
14．（21-22高一下·上海浦东新·期末）下列各组角中两个角终边不相同的一组是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
15．（21-22高一上·全国·课前预习）集合，集合.
(1)求；
(2)若全集为，求.
n倍角与n分角
16．（2022高一上·全国·专题练习）角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
17．（2021高一下·上海·专题练习）已知为第三象限角，则是第 象限角，是 的角．
18．（22-23高一·全国·课堂例题）若角是第二象限角，试确定角，是第几象限角．
19．（多选）（21-22高一上·安徽阜阳·期末）若是第二象限角，则（ ）
A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角
C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角
20．（多选）（21-22高一上·山东·阶段练习）下列结论中不正确的是（ ）
A．终边经过点的角的集合是
B．将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数是
C．若是第一象限角，则是第一象限角，为第一或第二象限角
D．，，则
由图形写出角的范围
21. （22-23高一下·广西钦州·阶段练习）集合中角表示的范围用阴影表示是图中的（ ）
A． B．
C． D．
22. （21-22高一·全国·课时练习）如图所示，终边落在阴影部分的角的取值集合为 ．
23. （21-22高一·全国·课后作业）如图，用弧度制表示终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合：
24. （21-22高一·全国·课时练习）如图，写出终边落在阴影部分的角的集合.
(1)
(2)
25. （21-22高一·全国·课时练习）若角的终边与函数的图象相交，则角的集合为（ ）
A． B．
C． D．
弧度制与角度制
26. （23-24高一下·江西南昌·阶段练习）是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
27. （23-24高一下·安徽淮北·阶段练习）时间经过五个小时，时针转过的角为 .
28. （22-23高一下·山东·阶段练习）若，，则终边所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第一、三象限 C．第二象限 D．第二、四象限
29. （22-23高一下·湖北·阶段练习）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
30. （22-23高一下·辽宁抚顺·期中）“密位制”是一种度量角的方法，我国采用的“密位制”是6000密位制，即将一个圆周角分6000等份，每一等份是一个密位，则350密位的对应角的弧度数为 ．
弧长与扇形面积
31. （多选）（23-24高一下·江西九江·阶段练习）已知扇形的周长是，面积也是，则扇形的中心角的弧度数可能是（ ）
A． B． C．4 D．或
32. （2024高一下·上海·专题练习）如图，已知长为 ，宽为的长方体木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被小木块挡住，此时长方体木块底面与桌面所成的角为，求点走过的路程为

33. （23-24高一下·江苏南通·阶段练习）用一根长度为的绳子围成一个扇形，当扇形面积最大时，其圆心角的弧度数为 ．
34. （23-24高一上·山东临沂·期末）临沂一中校本部19、20班某数学兴趣小组在探究扇形时，发现如下现象：如图所示，⊙B向⊙A靠近的过程，就像月亮被磨弯一样.已知在某一时刻，圆A和圆B处于图1的状态，简化后如图2，， ，.则S阴影= .
35. （23-24高一下·河南南阳·阶段练习）玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人.如图1，这是一幅扇形玉雕壁画，其平面图为图2所示的扇形环面（由扇形OCD挖去扇形OAB后构成）.已知该扇形玉雕壁画的周长为320厘米.

(1)若厘米.求该扇形玉雕壁画的曲边的长度；
(2)若.求该扇形玉雕壁画的扇面面积的最大值.
三角函数的定义
36. （23-24高一下·河北保定·开学考试）已知角的终边经过点，则角的值可能为（ ）
A． B． C． D．
37. （2024高一上·全国·专题练习）随着智能手机的普及，手机摄影越来越得到人们的喜爱，要得到美观的照片，构图是很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然、更舒适，“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把画面横、竖各分三部分，以比例1：0.618：1为分隔，4个交叉点即为黄金分割点.如图，分别用A，B，C，D表示黄金分割点，若照片长、宽比例为8：5，设，则（ ）
A． B． C． D．
38. （23-24高一上·安徽马鞍山·期末）把一条线段分割为两部分，使较长部分的长度与全长的比值等于较短与较长部分的长度的比值，这个比值称为黄金分割比(简称黄金比).黄金比在建筑、艺术和科学等领域中都有广泛应用.我们把顶角为的等腰三角形称为黄金三角形，它满足较短边与较长边的长度之比等于黄金比.由上述信息可求得 .
39. （23-24高一上·福建莆田·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，动点、从点出发在单位圆上运动，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，则、两点在第1804次相遇时，点的坐标是 .
40. （23-24高一上·上海·期末）若角的终边上有一点，，则的值是 .
利用象限角判断象限与符号
41. （23-24高一下·江西·阶段练习）已知角的终边经过点，若，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
42. （2024高一·上海·专题练习）已知角是第四象限角，则下列各式中一定为正的是（ ）
A． B．
C． D．
43. （23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）已知，那么角是（ ）
A．第一或第二象限角 B．第一或第三象限角
C．第三或第四象限角 D．第二或第四象限角
44. （22-23高一上·陕西西安·期末）“且”是“为第三象限角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
45. （多选）（2024高一上·全国·专题练习）下列函数值中，符号为负的为（ ）
A． B．
C． D．
利用诱导公式求值
46. （23-24高一下·湖北武汉·阶段练习）（ ）
A． B． C． D．
47. （23-24高一下·广西南宁·开学考试）已知函数，则（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
48. （23-24高一下·上海闵行·阶段练习）化简： .
49. （23-24高一下·江西·开学考试）在平面直角坐标系中，角的终边经过点.
(1)求，的值
(2)求的值.
50. （23-24高一下·河南南阳·阶段练习）如图所示，以轴非负半轴为始边作角，它的终边与单位圆相交于点，已知点坐标为．
(1)求，的值；
(2)求的值．
正余弦函数的定义域与不等式
51. （23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知的定义域是，则的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
52. （23-24高一下·河北承德·阶段练习）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
53. （23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）已知函数.
(1)填写下表，用“五点法”画出函数在一个周期上的图象；
0 2 0 0
(2)解不等式.
54. （23-24高一上·湖北荆州·期末）已知函数．
(1)用“五点法”作出函数在上的图象；
(2)解不等式．
55. （21-22高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知函数．
(1)求函数图象的对称中心；
(2)若，求不等式的解集．
正余弦函数的奇偶性与参数
56. （23-24高一下·辽宁阜新·阶段练习）已知函数是奇函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
57. （23-24高一下·上海·阶段练习）已知函数为奇函数，则 .
58. （23-24高一上·浙江衢州·期末）已知函数的最大值为，最小值为，则 .
59. （2024高一上·全国·专题练习）已知函数，为奇函数，则
60. （23-24高一下·上海·阶段练习）函数是奇函数，则实数 .
三角函数的单调性与比较大小
61. （23-24高二上·甘肃武威·阶段练习）已知函数，则在上的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
62. （多选）（23-24高一下·四川绵阳·阶段练习）下列式子成立的有（ ）
A． B．
C． D．
63. （2024高一下·上海·专题练习）设，，，则，，的大小关系为 按由小到大顺序排列
64. （23-24高一上·广东清远·期末）写出函数在上的一个减区间： .
65. （2023高一上·全国·专题练习）利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
(1)与；
(2)与；
(3)与.
三角函数的最值与取值范围
66. （23-24高一下·北京延庆·阶段练习）定义运算则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
67. （22-23高一下·辽宁辽阳·期末）已知函数在上的最小值为，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
68. （23-24高一上·宁夏吴忠·期末）函数的最小值为 ．
69. （23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知函数，若在上恒成立，则的取值范围为 ．
70. （23-24高一下·广西·开学考试）已知函数.
(1)求的单调递增区间；
(2)求在上的值域.
由图像确定正弦型函数的解析式
71. （23-24高一下·重庆·阶段练习）已知函数在一个周期内的图象如图所示，则的值为（ ）

A． B． C． D．
72. （23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知函数的图象如图，轴，轴，四边形的面积为，则（ ）
A．
B．
C．
D．
73. （23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）已知函数的一段图象过点，如图所示，则函数（ ）
A． B．
C． D．
74. （多选）（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．图象的对称中心为，
D．直线是图象的一条对称轴
75. （23-24高一下·四川眉山·阶段练习）已知函数 的部分函数图象如图．

(1)求函数的解析式，
(2)求最小正周期、对称中心以及对称轴；
(3)求的最大值和最小值及取的最值时的集合.
正弦型函数的平移与伸缩变换
76. （23-24高一下·江西九江·阶段练习）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移2个单位长度，得到函数的图象，则的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
77. （21-22高一下·全国·期末）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
78. （多选）（23-24高一下·河北张家口·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度后，函数图像关于y轴对称，则下列说法正确的是（ ）
A．可能等于3 B．的周期可以是
C．一定为奇函数 D．在上单调递减
79. （23-24高一下·河南驻马店·阶段练习）已知函数，若将的图象向左平移个单位长度后所得的图象关于y轴对称，则的最小值为 .
80. （23-24高一下·江西南昌·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，且函数在上单调递增，则函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
正切函数的性质
81. （多选）（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）下列关于函数的说法不正确的是（ ）
A．定义域为 B．最小正周期是
C．图象关于成中心对称 D．在定义域上单调递增
82. （23-24高一下·陕西·阶段练习）已知函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则 ．
83. （23-24高一下·河南驻马店·阶段练习）函数的最小正周期是 .
84. （23-24高一下·福建莆田·期中）函数，的值域为 ．
85. （23-24高一下·江西南昌·阶段练习）设函数.
(1)求函数的定义域、最小正周期、渐近线及对称中心；
(2)解不等式.
三角函数的零点问题
86. （23-24高一下·江西南昌·阶段练习）函数的所有零点之和为（ ）
A．0 B． C． D．
87. （23-24高一下·江西抚州·阶段练习）设函数的最小正周期为，且在内恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
88. （23-24高一下·江西南昌·阶段练习）已知函数在上有两个零点，则t的取值范围是 .
89. （23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）已知函数在区间内没有零点，则实数的取值范围是 ．
90. （23-24高一下·安徽淮北·阶段练习）已知函数，.
(1)若，求实数的值；
(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围.
三角函数的实际应用
91. （23-24高一下·河南南阳·阶段练习）阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减振装置，被称为“镇楼神器”．某阻尼器模型的运动过程可近似看为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系式为，其中，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，，，且，，则在一个周期内阻尼器偏离平衡位置的位移的大小小于的总时间为（ ）
A． B． C． D．
92. （多选）（23-24高一下·四川内江·阶段练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心距离水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系为.则以下说法正确的有（ ）

A．
B．
C．
D．盛水筒出水后到达最高点的最小时间为
93. （多选）（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）某摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（可视为点）．现4号座舱位于圆周最上端，从此时开始计时，旋转时间为分钟．假设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系为，1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为米，则（ ）
A．当时，
B．当时，
C．，
D．若在这段时间内，恰有三次取得最大值，则的取值范围为
94. （23-24高一下·全国·课后作业）水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，工作示意图如图．设水车（即圆周）的直径为3m，其中心（即圆心）O到水面的距离，逆时针匀速旋转一圈的时间是，水车边缘上一点P距水面的高度为h（单位：m）．
(1)求h与旋转时间t（单位：s）的函数解析式，并画出这个函数的图象；
(2)当雨季河水上涨或旱季河流水量减少时，所求得的函数解析式中的参数将会发生哪些变化？若水车转速加快或减慢，函数解析式中的参数又会受到怎样的影响？
95. （22-23高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，某公园摩天轮的半径为40m，圆心距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处．

(1)已知在时刻t（单位：min）时点P距离地面的高度（其中，，，求函数解析式及5min时点P距离地面的高度；
(2)当点P距离地面及以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有多少时间可以看到公园的全貌？
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