资源简介

1.2 任意角3种常见考法归类
课程标准 学习目标
了解任意角的概念 通过本节课的学习，要求掌握任意角的概念，并能用集合的形式表示任意角.
知识点01角的概念推广
1．角的概念：平面内一条射线绕着它的端点旋转到终止位置，形成角．
2．角的分类：按逆时针方向旋转形成的角叫正角，按顺时针方向旋转形成的角叫负角．如果一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角．
注：(1)表示角时，箭头的方向代表角的正负，因此箭头不能丢掉；顺时针旋转形成负角常常被忽视；(2)为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简记成“α”．
【即学即练1】（2024·全国·高一课堂例题）时针走过1小时50分钟，则分针转过的角度是__________．
【答案】
【解析】，则，时针都是顺时针旋转，时针走过小时分钟，分针转过的角的度数为，故答案为．
【即学即练2】（2024·全国·高一课堂例题）自行车大链轮有36齿，小链轮有24齿，当大链轮转过一周时，小链轮转过的角度是_____________度．
【答案】–540°
【解析】因为大链轮转过一周时，小链轮转36齿．而小链轮有24齿，故小链轮转周，一周为360°，而大链轮和小链轮转动的方向相反，故小链轮转过的角度为–360°×=540°，故答案为：–540°．
知识点02象限角
在直角坐标系中研究角时，当角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合时，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
象限角 角的表示
第一象限的角 {α|k·360°<α第二象限的角 {α|k·360°+90°<α第三象限的角 {α|k·360°+180°<α第四象限的角 {α|k·360°–90°<α注：轴线角的集合表示
角的终边位置 集合表示
轴的非负半轴
轴的非正半轴
轴上
轴非负半轴
轴非正半轴
轴上
【即学即练3】（2024·全国·高一课堂例题）是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】B
【解析】由于，而位于第二象限，故是第二象限角．故选B．
【即学即练4】（2024·全国·高一课堂例题）下列说法中正确的序号有__________．
①－65°是第四象限角；②225°是第三象限角；
③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．
【答案】①②③④
【解析】由题意，①是第四象限角，是正确的；②是第三象限角，是正确的；
③，其中是第二象限角，所以为第二象限角是正确的；
④，其中是第一象限角是正确的，所以正确的序号为①②③④．
【即学即练5】（2024·全国·高一课堂例题）在，，，，这五个角中，第二象限角有__________个．
【答案】4
【解析】，所以是第二象限角．是第二象限角．是第二象限角．不是第二象限角．是第二象限角，故第二象限角有个．
由①②，得α=15°，β=65°．
【即学即练6】（2024·全国·高一课堂例题）已知θ为第二象限角，那么是（ ）
A. 第一或第二象限角 B. 第一或四象限角
C. 第二或四象限角 D. 第一、二或第四象限角
【答案】D.
【解析】本题是通过给定角的象限情况，来判断此角的整数倍可整分后的角的位置问题.
法一： 已知θ为第二象限角，所以有，
得到，
讨论：，此时位于第一象限；
，此时位于第二象限；
，此时位于第四象限；
法二：可以用单位圆来画分角位于的象限：
由图可知位于一、二、四象限.
【即学即练7】（2024·全国·高一课堂例题）已知α锐角，那么2α是（ ）
A．小于180°的正角 B．第一象限角
C．第二象限角 D．第一或二象限角
【答案】A
【解析】∵α锐角，∴0°<α<90°，∴0°<2α<180°，故选A．
知识点03 终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
注：(1)α为任意角，“k∈Z”这一条件不能漏．
(2)k·360 °与α中间用“＋”连接，k·360 °－α可理解成k·360 °＋(－α)．
(3)当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差360 °的整数倍．终边不同则表示的角一定不同．
【即学即练8】（2024·全国·高一课堂例题）下列各角中与角终边相同的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以与终边相同．故选A．
【即学即练9】（2024·全国·高一课堂例题）在集合中，属于之间的角的集合是__________．
【答案】
【解析】由于，令，得，令，得．令取其它整数值时，得到的角不在之间，故所求角的集合为．
题型一：任意角的概念及应用
例1.（2023上·福建南平·高一武夷山一中校考期中）把分针拨快15分钟，则分针转过的角度为 .
【答案】
【分析】分针拨快15分钟，则分针转过的角度为，计算得到答案.
【详解】分针拨快15分钟，则分针转过的角度为.
故答案为：.
变式1.（2023上·高一课时练习）如图，射线绕顶点逆时针旋转到位置，并在此基础上顺时针旋转120到达位置，则 ．
【答案】．
【分析】由角的定义即可求解.
【详解】由角的定义可得．
故答案为：
变式2.（2023上·高一校考课时练习）已知集合A={| 为锐角}，B={|为小于的角}，C={|为第一象限角}，D={|为小于的正角}，则下列等式中成立的是（ ）
A．A=B B．B=C C．A=C D．A=D
【答案】D
【分析】根据题意，将各个集合化简，即可得到结果.
【详解】因为A={| 为锐角}，
D={|为小于的正角}，
对于集合，小于的角包括零角与负角，
对于集合，C={|为第一象限角}，
所以A=D，
故选：D
【方法技巧与总结】
与角的概念有关问题的解决方法
正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．
题型二：终边相同的角
例2.（2023上·安徽·高二校联考期中）在平面直角坐标系中，下列与角 终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用终边相同的角的定义计算即可.
【详解】由题意可知，所以与 终边相同.
故选：B
变式1.（2023上·广东东莞·高一校考期中）请写出与终边相同的最小正角： .
【答案】
【分析】利用终边相同的角的定义可得出结果.
【详解】因为，故与终边相同的最小正角为.
故答案为：.
变式2.（2023·全国·高一随堂练习）写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式的元素写出来：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
【分析】（1）（2）（3）（4）根据终边相同角的定义可写出满足条件的角的集合，然后解不等式，求出满足条件的整数的值，即可得出满足条件的元素.
【详解】（1）解：与终边相同的角的集合为，
由，可得，
当时，，
当时，，
当时，，
所以，适合不等式的元素为、、.
（2）解：因为，
所以，与终边相同的角的集合为，
由，可得，
当时，，
当时，，
当时，，
所以，适合不等式的元素为、、.
（3）解：因为，
所以，与终边相同的角的集合为，
由，可得、、，
当时，，
当时，，
当时，，
所以，适合不等式的元素为、、.
（4）解：因为，
所以，与终边相同的角的集合为，
由，可得，
当时，，
当时，，
当时，.
所以，适合不等式的元素为、、.
变式3.（2024·全国·高一课堂例题）终边在第二、四象限的角平分线上的角可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
直接利用角所在射线分别求解终边相同角，然后得到结果．
【详解】
解：角的终边在第二象限的角平分线上，可表示为：，，
角的终边在第四象限的角平分线上，可表示为：
，．
故当角的终边在第二、四象限的角平分线上时，可表示为：，．
故选：．
变式4.（2024·全国·高一课堂例题）若角，，（，），则角与的终边的位置关系是（ ）
A．重合 B．关于原点对称
C．关于轴对称 D．关于轴对称
【答案】D
【解析】，所以与终边相同，，所以与终边相同，又，即终边关于轴对称，与终边关于轴对称，故选D．
【方法技巧与总结】
(1)写出终边落在直线上的角的集合的步骤
①写出在[0°，360°)内相应的角；②由终边相同的角的表示方法写出角的集合；③根据条件能合并一定合并，使结果简洁．
(2)终边相同角常用的三个结论
①终边相同的角之间相差360°的整数倍；②终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍；③终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．
题型三：象限角与区域角的表示
象限角的判定
例3.（2024·全国·高一课堂例题）的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】应用终边相同的角即可求解.
【详解】的终边与相同，则终边在第一象限.
故选：A．
变式1.（2023·全国·高一课堂例题）在区间内找出与下列各角终边相同的角，并判定它是第几象限角．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)280°，第四象限角
(2)160°，第二象限角
(3)，第三象限角
【分析】通过角的终边所成角为，分别对各个小问进行化简，并在区间内找出与之终边相同的角，并判定它是第几象限角．
【详解】（1）因为，所以在区间内，与角终边相同的角是280°，它是第四象限角．
（2）因为，所以在区间内，与1600°角终边相同的角是160°，它是第二象限角．
（3）因为，所以在区间内，与角终边相同的角是，它是第三象限角．
变式2.（2024·全国·高一课堂例题）若，，则所在象限是（ ）
A．第一或第三象限 B．第一或第二象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
【答案】A
【分析】对进行赋值即可判断.
【详解】当时，为第一象限角，当时，为第三象限角，
故选：A.
变式3.（2024·全国·高一课堂例题）若α是第四象限角，则180°－α是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】C
【分析】
根据与的对称性，以及与的对称性，即可求出结论.
【详解】
因为与关于轴对称
而是第四象限角，所以是第一象限角，
又与关于原点对称，
所以是第三象限角.
故选：C.
例4.（2023上·天津河东·高三校考阶段练习）若是第二象限角，则是 象限
【答案】第一或第三
【分析】先求出在第二象限时的表示，再求出的表示，最后讨论偶数和奇数的情况，即可得出结论.
【详解】由题可知，第二象限角，
所以，
所以，
当为偶数时，在第一象限；
当为奇数时，在第三象限.
故答案为：第一或第三
变式1，（2024·全国·高一课堂例题）已知角的终边与300°角的终边重合，则的终边不可能在（ ）．
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】
先求得的表达式，进而可得的表达式，对k赋值，分析即可得答案
【详解】
因为角的终边与300°角的终边重合，
所以，所以，
令，，终边位于第二象限；
令，，终边位于第三象限，
令，，终边位于第四象限，
令，，终边位于第二象限
所以的终边不可能在第一象限，
故选：A
区域角的表示
例5.（2023下·四川眉山·高一校考期中）如图，阴影部分表示角的终边所在的位置，试写出角的集合．

【解析】（1）①
；
②．
变式1.（2023下·江西上饶·高一上饶市第一中学校考阶段练习）如图所示，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合为 ．

【答案】．
【分析】写出阴影部分边界处终边相同的角，再表示出阴影部分角的集合.
【详解】由图，阴影部分下侧终边相同的角为，上侧终边相同的角为且，
所以阴影部分（包括边界）的角的集合为.
故答案为：
变式2.（2024·全国·高一课堂例题）写出终边在图中阴影区域(包括边界)内的角的集合.
【答案】(1);
(2);
(3).
【分析】
写出终边在边界上的角，结合图象，利用不等式表示终边在阴影内的角.
【详解】
（1）终边在边界上的角为，，
终边在阴影部分的角满足：，
所求角的集合为
（2）终边落在边界上的角为，，终边落在坐标轴上的角，，
终边落在阴影区域内的角为，
故所求角的集合为，
（3）终边落在边界上的角为，，，
终边在阴影部分的角满足：，
故所求角的集合为
【点睛】
本题主要考查了终边在指定区域的角的表示，终边相同的角，属于中档题.
变式3.（2023上·高一课时练习）已知角的终边在如图所示的阴影区域内，则角的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据图形先求出终边在角的终边所在直线上的角的集合和终边在角的终边所在直线上的角的集合，从而可求出角的取值范围，进而可求得的取值范围
【详解】终边在角的终边所在直线上的角的集合为，
终边在角的终边所在直线上的角的集合为，
因此终边在题图中的阴影区域内的角的取值范围是，
所以角的取值范围是，
故答案为：
【方法技巧与总结】
区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角．其写法可分为三步：
(1)按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
(2)由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°到360°范围内的角α和β，并将该范围内的区域角表示为{x|α(3)起始、终止边界对应角α、β再加上360°的整数倍，即得区域角的范围．
一、单选题
1．（2024上·全国·高一专题练习）给出下列四个命题：
①角是第四象限角；
②角是第三象限角；
③是第二象限角；
④角是第一象限角．
其中真命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】利用终边相同的角将角转化在范围内确定象限即可.
【详解】①②显然为真命题；
③为真命题，∵角与角的终边相同，角是第二象限角，∴角是第二象限角；
④为真命题，∵角与角的终边相同，角是第一象限角，∴角是第一象限角．
故真命题有4个．
故选：D．
2．（2023上·福建泉州·高一福建省德化第一中学校联考阶段练习）若角与角的终边相同，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用终边相同的角的特征即可得解.
【详解】因为角与角的终边相同，
所以，则.
故选：B.
3．（2023上·上海·高一上海市建平中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于的角一定是锐角；②钝角一定是第二象限的角；③终边不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】结合任意角的概念分析即可.
【详解】因为锐角，所以小于的角不一定是锐角，故①不成立；
因为钝角，第二象限角，，所以钝角一定是第二象限角，故②成立；
若两个角的终边不重合，则这两个角一定不相等，故③成立；
例如，，但，故④不成立.
故选：B.
4．（2024上·江苏盐城·高一校联考期末）若角的终边与角的终边关于轴对称，则的终边落在（　　）
A．轴的非负半轴 B．第一象限
C．轴的非负半轴 D．第三象限
【答案】A
【分析】由对称可知，得终边所在位置.
【详解】角的终边与角的终边关于轴对称，则角的终边与角的终边相同，
得，则有，
所以的终边落在轴的非负半轴．
故选：A．
5．（2024上·山西太原·高一统考期末）与角终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由终边相同的角的定义计算即可得.
【详解】与角终边相同的角为，
当时，有，D正确，其他选项检验均不成立.
故选：D.
6．（2024上·河南商丘·高一统考期末）下列与角终边相同的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据终边相同的角的定义列式逐项检验即可.
【详解】与角终边相同的角为，
对于选项A：令，解得，故A错误；
对于选项B：令，解得，故B错误；
对于选项C：令，解得，故C错误；
对于选项D：令，解得，故D正确；
故选：D.
7．（2023上·江苏连云港·高一校考阶段练习）如果是第三象限角，则是（ ）
A．第一象限角 B．第一或第二象限角
C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角
【答案】C
【分析】根据得到，讨论的奇偶性得到答案.
【详解】是第三象限角，则，
故，
当为偶数时，在第三象限；当为奇数时，在第一象限；
故选：C.
8．（2024上·河北唐山·高一统考期末）已知，则是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】C
【分析】，再根据终边相同的角的集合，判断是第几象限角，即可求出结果.
【详解】因为，又是第三象限角，
所以是第三象限角，
故选：C.
9．（2024上·海南省直辖县级单位·高三校考阶段练习）若是第一象限角，则下列各角为第四象限角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意，根据角的定义和象限角的概念可判断各个选项.
【详解】因为是第一象限角，所以是第四象限角，
则是第一象限角，故A错误；是第二象限角，故B错误；
是第四象限角，故C正确；是第一象限角，故D错误.
故选：C.
10．（2024上·山东枣庄·高一统考期末）已知集合钝角，第二象限角，小于的角，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据钝角的范围，即可得出选项C正确，再由第二象限角的范围，即可判断出选项ABD的正误，从而得出结果.
【详解】因为钝角大于，且小于的角，一定是第二象限角，所以，故选项C正确，
又第二象限角的范围为，
不妨取，此时是第二象限角，但，所以选项ABD均错误，
故选：C.
11．（2023上·河北石家庄·高一河北师范大学附属中学校考阶段练习）若角的终边在直线上，则角的取值集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据角的终边在直线上，利用终边相同的角的写法，考虑角的终边的位置的两种情况，即可求出角的集合.
【详解】由题意知角的终边在直线上，
故或，
即或，
故角的取值集合为，
故选：D
二、多选题
12．（2023下·湖南株洲·高一统考开学考试）已知下列各角：①；②；③；④，其中是第二象限角的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】CD
【分析】求出给定的各个角与到间终边相同的角，即可作答.
【详解】对于①，，而是第三象限角，①不是；
对于②，角的终边为x轴非正半轴，②不是；
对于③，，是第二象限角，③是；
对于④，，是第二象限角，④是.
故选：CD
13．（2022上·云南昆明·高一校考期末）已知是第二象限角，则可以是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】AC
【分析】根据是第二象限角，写出的取值范围，再求的取值范围，即可得出是第几象限角.
【详解】因为是第二象限角，即，，
所以，，
当k为偶数时，是第一象限角，
当k为奇数时，是第三象限角．
故选：AC．
14．（2022上·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考阶段练习）如果角与角的终边相同，角与角的终边相同，那么的可能值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】由已知，表示出，再判断各选项．
【详解】角与角的终边相同，，
角与角的终边相同，,
∴，
即与角终边相同，选项AC符合题意.
故选：AC．
15．（2018下·辽宁营口·高一大石桥市第二高级中学阶段练习）与角终边相同的角的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据终边相同的角的定义直接求解即可.
【详解】与终边相同的角可写为：，
，，，
与角终边相同的角的集合为：，A正确；，C正确.
故选：AC.
16．（2023上·河北保定·高一保定一中校联考期中）设为第二象限角，则可能是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】CD
【分析】为第二象限角，得到，得到答案.
【详解】为第二象限角，故，
所以，
所以可能是第三象限角，也可能是第四象限角,或轴的负半轴.
故选：CD
三、填空题
17．（2023下·江西上饶·高一上饶市第一中学校考阶段练习）如图所示，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合为 ．

【答案】．
【分析】写出阴影部分边界处终边相同的角，再表示出阴影部分角的集合.
【详解】由图，阴影部分下侧终边相同的角为，上侧终边相同的角为且，
所以阴影部分（包括边界）的角的集合为.
故答案为：
18．（2023·全国·高一随堂练习）在范围内，与角终边相同的是 ，是第 象限角．
【答案】 一
【分析】根据终边相同的角的定义以及象限角的定义可得出结果.
【详解】因为，
所以，在范围内，与角终边相同的是，它是第一象限角.
故答案为：；一.
19．（2022上·新疆昌吉·高一校考期末）时针走过1小时30分钟，则分钟转过的角度是 .
【答案】
【分析】由题意分针顺时针转过1圈半，结合任意角定义写出转过的角度.
【详解】时针走过1小时30分钟，则分针顺时针转过1圈半，即转过.
故答案为：.
20．（2024上·上海杨浦·高一上海市杨浦高级中学校考期末）2024°角的终边在第 象限.
【答案】三
【分析】根据终边相同的角判断即可.
【详解】且角是第三象限角，
角的终边在第三象限.
故答案为：三.
21．（2023上·高一课时练习）如图，射线绕顶点逆时针旋转到位置，并在此基础上顺时针旋转120到达位置，则 ．
【答案】．
【分析】由角的定义即可求解.
【详解】由角的定义可得．
故答案为：
22．（2023·全国·高一课堂例题）下列所示图形中，的是 ；的是 ．

【答案】 ①④ ②③
【分析】根据角的终边与始边的位置依次去判断即可.
【详解】在①中，与的始边相同，的终边为的始边，与的终边相同，所以；
在②中，与的始边相同，的终边为的始边，与的终边相同，所以；
在③中，与的始边相同，的终边为的始边，与的终边相同，所以；
在④中，与的始边相同，的终边为的始边，与的终边相同，所以.
的是①④；的是②③.
故答案为：①④；②③.
23．（2024上·全国·高一专题练习）若角的终边与角的终边相同，则终边与角的终边相同的钝角为 ．
【答案】
【分析】根据终边相同角的表示方法，求得，结合，列出不等式，求得的值，即可求解.
【详解】因为角的终边与角的终边相同，可得，
则，令，
即，则，
又因为，所以，
所以终边与角的终边相同的钝角为．
故答案为：.
四、解答题
24．（2023·全国·高一随堂练习）在平面直角坐标系中，判断下列各命题的真假：
(1)锐角是第一象限角；
(2)第一象限的角一定是锐角；
(3)钝角是第二象限角；
(4)第二象限的角一定是钝角；
(5)终边相同的角一定相等；
(6)相等的角终边一定相同；
(7)小于的角一定是锐角；
(8)终边与直线重合的角表示为，．
【答案】(1)真
(2)假
(3)真
(4)假
(5)假
(6)真
(7)假
(8)假
【分析】（1）（2）（3）（4）根据象限角的定义判断可得出结论；
（5）（6）（7）（8）根据终边相同的角的定义判断可得出结论.
【详解】（1）解：锐角是第一象限角，该命题为真命题.
（2）解：为第一象限角，但不是锐角，故原命题为假命题.
（3）解：钝角是第二象限角，该命题为真命题.
（4）解：为第二象限角，但不是钝角，故原命题为假命题.
（5）解：和的终边相同，但这两个角不相等，故原命题为假命题.
（6）解：相等的角终边一定相同，故原命题为真命题.
（7）解：不是锐角，故原命题为假命题.
（8）解：若角的终边在射线上，则该角可表示为，，
若角的终边在射线上，则该角可表示为，，
所以，终边与直线重合的角表示为，，
故原命题为假命题.
25．（2023·全国·高一课堂例题）在区间内找出与下列各角终边相同的角，并判定它是第几象限角．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)280°，第四象限角
(2)160°，第二象限角
(3)，第三象限角
【分析】通过角的终边所成角为，分别对各个小问进行化简，并在区间内找出与之终边相同的角，并判定它是第几象限角．
【详解】（1）因为，所以在区间内，与角终边相同的角是280°，它是第四象限角．
（2）因为，所以在区间内，与1600°角终边相同的角是160°，它是第二象限角．
（3）因为，所以在区间内，与角终边相同的角是，它是第三象限角．
26．（2023上·全国·高一专题练习）已知角的顶点与原点重合， 角的始边与x轴的非负半轴重合，请作出下列各角，并指出它们各是哪个象限的角？
(1)420 ；
(2)－75 ；
(3)855 ；
(4)－510
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
【分析】根据任意角在坐标系中的画法画图即可，（画图标准为：角的顶点在原点，始边在轴正半轴，正角逆时针旋转，负角顺时针旋转）进而可判断角所在象限.
【详解】解：
27．（2024上·全国·高一专题练习）（1）写出终边在直线上的角的集合．
（2）写出终边在射线（）与（）上的角的集合．
【答案】（1）；（2），
【分析】（1）终边在直线上的角是与角终边相同角的集合和角终边相同角的集合的并集，求并集得结果；（2）终边在射线（）上的角即与角终边相同角的集合，终边在射线（）上的角即与角终边相同角的集合.
【详解】（1）如图，在范围内，终边在直线上的角为和，因此终边在直线上的角的集合为
.
∴终边在直线上的角的集合为．
（2）终边在射线（）上的角即与角终边相同，集合为，
终边在射线（）上的角即与角终边相同，集合为．
28．（2023·全国·高一随堂练习）已知角α的终边在第四象限，确定下列各角终边所在的象限：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)的终边在第二或第四象限
(2)的终边在第三或第四象限，也可在轴的负半轴上
(3)的终边在第二 第三或第四象限
(4)的终边在第二或三或第四象限，也可在轴的负半轴上
【分析】由为第四象限角可知，根据不等式的性质可得，，，角终边所在区域，对分类讨论可得角终边所在的位置.
【详解】（1）由于为第四象限角，所以，
所以，
当时，，终边在第二象限，
当时，，终边在第四象限，
所以的终边在第二或第四象限；
（2）由（1）得，
所以的终边在第三或第四象限，也可在轴的负半轴上.
（3）由（1）得，
当时，，终边在第二象限，
当时，，终边在第三象限，
当时，，终边在第四象限，
所以的终边在第二 第三或第四象限；
（4）由（1）得，即，
所以的终边在第二或三或第四象限，也可在轴的负半轴上.
29．（2019·高一课时练习）写出终边落在图中阴影区域内的角的集合．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】写出终边在边界上的角，结合图象，利用不等式表示终边在阴影内的角，注意边界的虚实.
【详解】（1）在范围内，图中终边在第二象限的区域边界线所对应的角为，终边在第四象限的区域边界线所对应的角为，
因此，阴影部分区域所表示的集合为；
（2）图中从第四象限到第一象限阴影部分区域表示的角的集合为，
图中从第二象限到第三象限阴影部分区域所表示的角的集合为
，
因此，阴影部分区域所表示角的集合为
.
30．（2023下·河南驻马店·高一校考阶段练习）用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内（不包括边界）的角的集合.

【答案】（1）；（2）
【分析】根据给定的图形，直接写出角的集合表示作答.
【详解】（1）；
（2）
.
31．（2024上·全国·高一专题练习）已知角的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角组成的集合．
【答案】
【分析】先写出边界角，按逆时针方向旋转即可.
【详解】终边在射线OB上的角的集合为，终边在射线OA上的角的集合为，所以角组成的集合为．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)1.2 任意角3种常见考法归类
课程标准 学习目标
了解任意角的概念 通过本节课的学习，要求掌握任意角的概念，并能用集合的形式表示任意角.
知识点01角的概念推广
1．角的概念：平面内一条射线绕着它的端点旋转到终止位置，形成角．
2．角的分类：按逆时针方向旋转形成的角叫正角，按顺时针方向旋转形成的角叫负角．如果一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角．
注：(1)表示角时，箭头的方向代表角的正负，因此箭头不能丢掉；顺时针旋转形成负角常常被忽视；(2)为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简记成“α”．
【即学即练1】（2024·全国·高一课堂例题）时针走过1小时50分钟，则分针转过的角度是__________．
【即学即练2】（2024·全国·高一课堂例题）自行车大链轮有36齿，小链轮有24齿，当大链轮转过一周时，小链轮转过的角度是_____________度．
知识点02象限角
在直角坐标系中研究角时，当角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合时，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
象限角 角的表示
第一象限的角 {α|k·360°<α第二象限的角 {α|k·360°+90°<α第三象限的角 {α|k·360°+180°<α第四象限的角 {α|k·360°–90°<α注：轴线角的集合表示
角的终边位置 集合表示
轴的非负半轴
轴的非正半轴
轴上
轴非负半轴
轴非正半轴
轴上
【即学即练3】（2024·全国·高一课堂例题）是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【即学即练4】（2024·全国·高一课堂例题）下列说法中正确的序号有__________．①－65°是第四象限角；②225°是第三象限角；
③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．
【即学即练5】（2024·全国·高一课堂例题）在，，，，这五个角中，第二象限角有__________个．
【即学即练6】（2024·全国·高一课堂例题）已知θ为第二象限角，那么是（ ）
A. 第一或第二象限角 B. 第一或四象限角
C. 第二或四象限角 D. 第一、二或第四象限角
【即学即练7】（2024·全国·高一课堂例题）已知α锐角，那么2α是（ ）
A．小于180°的正角 B．第一象限角
C．第二象限角 D．第一或二象限角
知识点03 终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
注：(1)α为任意角，“k∈Z”这一条件不能漏．
(2)k·360 °与α中间用“＋”连接，k·360 °－α可理解成k·360 °＋(－α)．
(3)当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差360 °的整数倍．终边不同则表示的角一定不同．
【即学即练8】（2024·全国·高一课堂例题）下列各角中与角终边相同的是（ ）
A． B．
C． D．
【即学即练9】（2024·全国·高一课堂例题）在集合中，属于之间的角的集合是__________．
题型一：任意角的概念及应用
例1.（2023上·福建南平·高一武夷山一中校考期中）把分针拨快15分钟，则分针转过的角度为 .
变式1.（2023上·高一课时练习）如图，射线绕顶点逆时针旋转到位置，并在此基础上顺时针旋转120到达位置，则 ．
变式2.（2023上·高一校考课时练习）已知集合A={| 为锐角}，B={|为小于的角}，C={|为第一象限角}，D={|为小于的正角}，则下列等式中成立的是（ ）
A．A=B B．B=C C．A=C D．A=D
【方法技巧与总结】
与角的概念有关问题的解决方法
正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．
题型二：终边相同的角
例2.（2023上·安徽·高二校联考期中）在平面直角坐标系中，下列与角 终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
变式1.（2023上·广东东莞·高一校考期中）请写出与终边相同的最小正角： .
变式2.（2023·全国·高一随堂练习）写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式的元素写出来：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
变式3.（2024·全国·高一课堂例题）终边在第二、四象限的角平分线上的角可表示为（ ）
A． B．
C． D．
变式4.（2024·全国·高一课堂例题）若角，，（，），则角与的终边的位置关系是（ ）
A．重合 B．关于原点对称
C．关于轴对称 D．关于轴对称
【方法技巧与总结】
(1)写出终边落在直线上的角的集合的步骤
①写出在[0°，360°)内相应的角；②由终边相同的角的表示方法写出角的集合；③根据条件能合并一定合并，使结果简洁．
(2)终边相同角常用的三个结论
①终边相同的角之间相差360°的整数倍；②终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍；③终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．
题型三：象限角与区域角的表示
象限角的判定
例3.（2024·全国·高一课堂例题）的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
变式1.（2023·全国·高一课堂例题）在区间内找出与下列各角终边相同的角，并判定它是第几象限角．
(1)；
(2)；
(3)．
变式2.（2024·全国·高一课堂例题）若，，则所在象限是（ ）
A．第一或第三象限 B．第一或第二象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
变式3.（2024·全国·高一课堂例题）若α是第四象限角，则180°－α是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
例4.（2023上·天津河东·高三校考阶段练习）若是第二象限角，则是 象限
变式1，（2024·全国·高一课堂例题）已知角的终边与300°角的终边重合，则的终边不可能在（ ）．
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
区域角的表示
例5.（2023下·四川眉山·高一校考期中）如图，阴影部分表示角的终边所在的位置，试写出角的集合．

变式1.（2023下·江西上饶·高一上饶市第一中学校考阶段练习）如图所示，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合为 ．

变式2.（2024·全国·高一课堂例题）写出终边在图中阴影区域(包括边界)内的角的集合.
变式3.（2023上·高一课时练习）已知角的终边在如图所示的阴影区域内，则角的取值范围是 ．
【方法技巧与总结】
1.“锐角”“第一象限角”“小于90°的角”三者有何不同？锐角是第一象限角也是小于90°的角，而第一象限角可以是锐角，也可以是大于360°的角，还可以是负角，小于90°的角可以是锐角，也可以是零角或负角．
2.区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角．其写法可分为三步：
(1)按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
(2)由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°到360°范围内的角α和β，并将该范围内的区域角表示为{x|α(3)起始、终止边界对应角α、β再加上360°的整数倍，即得区域角的范围．
一、单选题
1．（2024上·全国·高一专题练习）给出下列四个命题：
①角是第四象限角；
②角是第三象限角；
③是第二象限角；
④角是第一象限角．
其中真命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2023上·福建泉州·高一福建省德化第一中学校联考阶段练习）若角与角的终边相同，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023上·上海·高一上海市建平中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于的角一定是锐角；②钝角一定是第二象限的角；③终边不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2024上·江苏盐城·高一校联考期末）若角的终边与角的终边关于轴对称，则的终边落在（　　）
A．轴的非负半轴 B．第一象限
C．轴的非负半轴 D．第三象限
5．（2024上·山西太原·高一统考期末）与角终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024上·河南商丘·高一统考期末）下列与角终边相同的角为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023上·江苏连云港·高一校考阶段练习）如果是第三象限角，则是（ ）
A．第一象限角 B．第一或第二象限角
C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角
8．（2024上·河北唐山·高一统考期末）已知，则是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
9．（2024上·海南省直辖县级单位·高三校考阶段练习）若是第一象限角，则下列各角为第四象限角的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024上·山东枣庄·高一统考期末）已知集合钝角，第二象限角，小于的角，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（2023上·河北石家庄·高一河北师范大学附属中学校考阶段练习）若角的终边在直线上，则角的取值集合为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
12．（2023下·湖南株洲·高一统考开学考试）已知下列各角：①；②；③；④，其中是第二象限角的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
13．（2022上·云南昆明·高一校考期末）已知是第二象限角，则可以是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
14．（2022上·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考阶段练习）如果角与角的终边相同，角与角的终边相同，那么的可能值为（ ）
A． B． C． D．
15．（2018下·辽宁营口·高一大石桥市第二高级中学阶段练习）与角终边相同的角的集合是（ ）
A． B．
C． D．
16．（2023上·河北保定·高一保定一中校联考期中）设为第二象限角，则可能是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
三、填空题
17．（2023下·江西上饶·高一上饶市第一中学校考阶段练习）如图所示，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合为 ．

18．（2023·全国·高一随堂练习）在范围内，与角终边相同的是 ，是第 象限角．
19．（2022上·新疆昌吉·高一校考期末）时针走过1小时30分钟，则分钟转过的角度是 .
20．（2024上·上海杨浦·高一上海市杨浦高级中学校考期末）2024°角的终边在第 象限.
21．（2023上·高一课时练习）如图，射线绕顶点逆时针旋转到位置，并在此基础上顺时针旋转120到达位置，则 ．
22．（2023·全国·高一课堂例题）下列所示图形中，的是 ；的是 ．

23．（2024上·全国·高一专题练习）若角的终边与角的终边相同，则终边与角的终边相同的钝角为 ．
四、解答题
24．（2023·全国·高一随堂练习）在平面直角坐标系中，判断下列各命题的真假：
(1)锐角是第一象限角；
(2)第一象限的角一定是锐角；
(3)钝角是第二象限角；
(4)第二象限的角一定是钝角；
(5)终边相同的角一定相等；
(6)相等的角终边一定相同；
(7)小于的角一定是锐角；
(8)终边与直线重合的角表示为，．
25．（2023·全国·高一课堂例题）在区间内找出与下列各角终边相同的角，并判定它是第几象限角．
(1)；
(2)；
(3)．
26．（2023上·全国·高一专题练习）已知角的顶点与原点重合， 角的始边与x轴的非负半轴重合，请作出下列各角，并指出它们各是哪个象限的角？
(1)420 ；
(2)－75 ；
(3)855 ；
(4)－510
27．（2024上·全国·高一专题练习）（1）写出终边在直线上的角的集合．
（2）写出终边在射线（）与（）上的角的集合．
28．（2023·全国·高一随堂练习）已知角α的终边在第四象限，确定下列各角终边所在的象限：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
29．（2019·高一课时练习）写出终边落在图中阴影区域内的角的集合．
(1)
(2)
30．（2023下·河南驻马店·高一校考阶段练习）用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内（不包括边界）的角的集合.

31．（2024上·全国·高一专题练习）已知角的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角组成的集合．
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