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1.1 周期变化7种常见考法归类
课程标准 学习目标
了解周期性的概念和几何意义 1.了解现实生活中的周期现象，能判断简单的实际问题中的周期. 2.初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性.
知识点01 周期函数
1．周期函数：一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得对任意的，都有且满足，那么函数称作周期函数，非零常数称作这个函数的周期．
2．最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数的最小正周期．若不加特别说明，本书所指周期均为函数的最小正周期．
注：(1)周期函数的周期不是唯一的，如果是函数的周期，那么也一定是它的周期；
(2)只有个别值或只差个别的值满足时，都不能说是的周期．
【即学即练1】【多选】下列函数图象中具有周期性的是（ ）
A． B．
C． D．
【即学即练2】函数满足，那么，它是以为周期的函数吗？
知识点02 抽象函数的周期性
函数周期性问题应牢牢把握周期函数的定义，并掌握一些常见的确定函数周期的条件。
类型 周期函数f(x)满足的条件 周期
常见周期函数模型 |a|
f(x＋a)＝f(x－a) 2|a|
f(x＋a)＝－f(x) 2|a|
f(x＋a)＝－ 2|a|
f(x＋a)＝ 2|a|
4|a|
2|a|
奇偶性与周期性的综合 偶函数，关于直线x＝a对称 2|a|
偶函数，关于对称 4|a|
奇函数，关于对称 2|a|
奇函数，关于直线x＝a对称 4|a|
对称性与周期性的综合 注：双对称必周期，“同二异四” 关于直线x＝a与x＝b对称 2|b－a|
关于点(a,0)与点(b,0)对称 2|b－a|
关于直线x＝a与点(b,0)对称 4|b－a|
【即学即练3】设定义在R上的函数满足，若，则
A． B． C． D．
【即学即练4】已知定义在R上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A． B． C．1 D．9
知识点03 周期性的应用
（1）函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质.
（2）图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行复制粘贴.
（3）单调性：由于间隔kT(k∈Z)的函数图象相同，所以若函数y=f(x)在(a,b)(b-a≤T)上单调增(减),则y=f(x)在(a+kT,b+kT)(k∈Z)上单调增(减).
注：
奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号作用。
【即学即练5】设是定义在R上的函数，对任意的实数有，又当时，，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【即学即练6】函数是在R上的周期为的奇函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【即学即练7】若偶函数对任意都有，且当时，，则 ．
【即学即练8】已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
题型一：周期现象及应用
例1.（2023下·高一校考课时练习）下列现象是周期现象的是（ ）
①日出日落；②潮汐；③海啸；④地震
A．①② B．①②③ C．①②④ D．③④
变式1．（2023下·高一校考课时练习）下列变化中不是周期变化的是（ ）
A．春去春又回 B．太阳东升西落
C．天干地支表示年、月、日的时间顺序 D．某同学每天放学回到家的时间
变式2．（2023·高一课时练习）如果今天是星期三，那么，天后的那一天是（ ）
A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六
变式3．【多选】（2023·高一课时练习）按照规定，奥运会每4年举行一次.2008年夏季奥运会在北京举办，那么下列年份中举办夏季奥运会的应该是（）
A．2023 B．2024 C．2026 D．2032
变式4．（2023下·高一校考课时练习）十字路口处红绿灯亮灭的情况如下：1分钟亮绿灯；接着10秒亮黄灯；再接着1分钟亮红灯；10秒亮黄灯；1分钟亮绿灯；10秒亮黄灯， ……，则某人开始亮绿灯时，过路口，10分钟后又到此路口，此时应该亮 灯．
变式5．（2023·高一课时练习）四个小动物换座位，开始是猴、兔、猫、鼠分别坐在①、②、③、④号位置上(如图)，第1次前后排动物互换位置，第2次左右列互换座位……这样交替进行下去，那么第2023次互换座位后，小兔的位置对应的是（ ）
A．编号① B．编号②
C．编号③ D．编号④
【方法技巧与总结】
一些变化是不是周期变化，其判断的依据是周期变化的特征，即每次都以相同的间隔出现，而且变化是无差别的重复出现．
题型二：周期函数的判断
例2．（2023·高一课时练习）下列函数图像中，不具有周期性的是（ ）
A． B．
C． D．
例3．【多选】（2023上·山东日照·高二统考开学考试）对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如.定义函数，则（ ）
A． B．函数是周期函数
C．方程在仅有一个解 D．函数是增函数
变式1．（2023上·山西晋中·高三校考开学考试）设是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有，当时，．
(1)求证：是周期函数；
(2)当时，求的解析式；
(3)计算．
【方法技巧与总结】
判断周期函数的方法，一般是根据定义。即对函数f(x)，如果存在常数T(T≠0)，使得当x取定义域内的每一个值时，均有f(x+T)=f(x)成立，则称f(x)是周期为T的周期函数。
题型三：利用周期性求函数值
例4．（2023上·湖南株洲·高一校考阶段练习）设函数（）是以为最小正周期的周期函数，且当时，，则 ．
变式1．（2023上·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知定义在上的函数满足，则 .
变式2．（2023上·河北唐山·高三阶段练习）设是定义在R上的周期为3的函数，当时，，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
变式3．（2023下·江西赣州·高一校联考期末）已知定义在上的函数满足，且当时，，则（ ）
A．2 B．0 C．1 D．
变式4．（2024上·河北张家口·高三统考期末）已知定义在R上的函数满足，，且，若，则（ ）
A．0 B． C．2 D．
【方法技巧与总结】
判断函数周期性的三个常用结论
(1)f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，则函数f(x)必为周期函数，2a是它的一个周期．
(2)f(x＋a)＝(a≠0)，则函数f(x)为周期函数，2a是它的一个周期．
(3)f(x＋a)＝－(a≠0)，则函数f(x)为周期函数，2a是它的一个周期．
题型四：利用函数的周期性求函数解析式
例5．（2023·全国·高三对口高考）函数的周期为，且当时，，则，的解析式为 ．
变式1．（2023·全国·高一随堂练习）周期函数的图象如图．

(1)求函数的最小正周期；
(2)写出函数的解析式．
变式2．（2023上·湖南株洲·高一校考阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，且的图象关于直线对称．
(1)证明：是周期函数．
(2)若当时，，求当时，的解析式．
例6．（2023下·河南信阳·高一信阳高中校考期末）设是定义在上的周期为的偶函数，已知时，，则时，的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（2023上·河北·高三校联考阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则当时，（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（2023上·江西·高三宁冈中学校考期中）已知是定义域为的奇函数，且是偶函数，当时，，则当时，的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧与总结】
(1)遇到周期问题，要学会区间转移，将未知区间中的x加减整周期，转化到已知区间，再将含x式子代入已知函数．
(2)遇到周期性＋奇偶性综合问题，可根据条件，求出一个周期上的函数关系．
题型五：周期性与奇偶性的结合
例7．（2023·高一课时练习）已知奇函数y=f(x)(x∈R)，且f(x)=f(x+4)，f(1)=2，则函数f(x)的周期为 ，f(2)+f(3)+f(4)= .
变式1．（2023下·河南·高三阶段练习）已知是周期为2的奇函数，当时，，则的值为 .
变式2．（2023下·高一校考课时练习）已知定义在上的奇函数以为周期，则 ．
变式3．（2023上·广东梅州·高三校考阶段练习）设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有．当时，．
(1)求函数的最小正周期；
(2)计算．
变式4．（2023上·宁夏·高三隆德县中学校考阶段练习）已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（ ）
A．50 B．2 C．0 D．
变式5．【多选】（2023上·湖南衡阳·高一统考期末）奇函数满足，则下列选项正确的是（ ）
A．的一个周期为2 B．
C．为偶函数 D．为奇函数
变式6．【多选】（2023下·安徽·高三合肥市第六中学校联考开学考试）已知为偶函数，且恒成立．当时．则下列四个命题中，正确的是（ ）
A．的周期是 B．的图象关于点对称
C．当时， D．当时，
题型六：周期性与对称性的结合
例8．（2023上·安徽·高三校联考开学考试）已知函数的图象关于直线对称，且对都有当时，.则（ ）
A． B．1 C．2 D．
变式1．（2023上·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习）已知定义在上的函数的图象关于点对称，且满足 ，又，，则 .
题型七：周期性与单调性的结合
例9．（2024上·重庆北碚·高一统考期末）已知定义在上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（2023下·山东青岛·高二校考期末）已知函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数，在上单调递增，则（ ）
A． B．
C． D．
变式2．【多选】（2024上·河南开封·高一统考期末）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且时，单调递增，则下列结论正确的为（ ）
A．是偶函数
B．的图象关于点中心对称
C．
D．
一、单选题
1．（2023下·陕西宝鸡·高一统考期末）下列现象不是周期现象的是（ ）
A．“春去春又回” B．钟表的分针每小时转一圈
C．“哈雷彗星”的运行时间 D．某同学每天上数学课的时间
2．（2023·高一课时练习）探索下图所呈现的规律,判断2 015至2 017箭头的方向是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023下·高一课时练习）设钟摆每经过1.8秒回到原来的位置，在图中钟摆达到最高位置A点时开始计时，经过1分钟后，钟摆的大致位置是（）
A．点A处
B．点B处
C．O、A之间
D．O、B之间
4．（2023·高一课时练习）若近似认为月球绕地球公转与地球绕太阳公转的轨道在同一平面内，且均为正圆，又知这两种转动同向．如图所示，月相变化的周期为天(下图是相继两次满月时，月、地、日相对位置的示意图)．则月球绕地球一周所用的时间为（ ）
A．天 B．天 C．天 D．天
5．（2024上·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数在上所有零点的和为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024上·重庆·高一西南大学附中校考期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024上·云南大理·高一统考期末）已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（ ）
A． B．1 C．5 D．
8．（2023上·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考阶段练习）函数的最小正周期为2，且.当时，，那么在区间上，函数的图象与函数的图象的交点个数是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
9．（2024·安徽淮北·统考一模）已知定义在上奇函数满足，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2023上·云南曲靖·高一校考期末）已知偶函数满足，且当时，．若函数恰有4个零点，则的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
11．（2023上·山东菏泽·高三校考期末）定义在上的函数满足，当时，；当时，，则
（ ）
A． B． C．0 D．
12．（2023上·湖南长沙·高一长郡中学校考期末）设是定义在上的周期为的偶函数，已知当时，，则当 时，的解析式为（ ）
A． B． C． D．
13．（2023·山东·山东省五莲县第一中学校联考模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，当时，，则在上的零点个数为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．21
二、多选题
14．（2024上·四川雅安·高一雅安中学校考阶段练习）已知定义在R上的函数满足，且当时，，则（ ）
A．是周期为2的周期函数
B．当时，
C．的图象与的图象有两个公共点
D．在上单调递增
15．（2023上·湖南·高一衡阳县第一中学校联考阶段练习）已知定义在上的奇函数满足：①；②当时，．下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．当时，
D．方程有个实数根
16．（2023下·吉林长春·高二长春市第十七中学校考期中）定义在上的奇函数满足，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．时，
C．
D．函数有对称轴
17．（2023·全国·模拟预测）已知函数，的定义域均为R，函数为奇函数，为偶函数，为奇函数，的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的一个周期为6
B．函数的一个周期为8
C．若，则
D．若当时，，则当时，
18．（2024上·广东佛山·高一统考期末）已知函数满足：对任意的，都存，且，则（ ）
A．是奇函数 B．
C．的值域为 D．
19．（2024上·河北张家口·高一统考期末）已知定义在上的奇函数满足，且当时，.则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称 B．
C． D．方程有5个不等的实数根
三、填空题
20．（2023下·高一课时练习）如图所示，变量y与时间t(s)的图象如图所示，则时间t至少隔 s时，y＝1会重复出现1次.
21．（2024上·重庆九龙坡·高一统考期末）已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则 ．
22．（2024上·云南昆明·高一统考期末）定义在上的奇函数满足，且，则 ．
23．（2024上·陕西西安·高一高新一中校考阶段练习）已知是定义在上的函数且图象关于点对称，是偶函数，若当时，，则 ．
24．（2024上·云南昆明·高一统考期末）已知函数的定义域为，且，，当时，，则 .
四、解答题
25．（2023上·山东菏泽·高三山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）函数满足，函数的图象关于点对称，求的值.
26．（2023上·云南曲靖·高一校考期末）已知函数是定义在上的奇函数，且．
(1)求的函数值；
(2)证明：为周期函数．
27．（2024上·江苏淮安·高一统考期末）已知是定义在R上的函数，满足：，，且当时，．
(1)求的值；
(2)当时，求的表达式；
(3)若函数在区间（）上的值域为，求的值．
28．（2023·全国·高一随堂练习）函数是周期为2的周期函数，且，．
(1)画出函数在区间上的图象，并求其单调区间、零点、最大值、最小值；
(2)求的值；
(3)求在区间上的解析式，其中．
29．（2023上·上海·高一华师大二附中校考期中）已知定义在全体实数上的函数满足：①是偶函数；②不是常值函数；③对于任何实数，都有．
(1)求和的值；
(2)证明：对于任何实数，都有；
(3)若还满足对有，求的值．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)1.1 周期变化7种常见考法归类
课程标准 学习目标
了解周期性的概念和几何意义 1.了解现实生活中的周期现象，能判断简单的实际问题中的周期. 2.初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性.
知识点01 周期函数
1．周期函数：一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得对任意的，都有且满足，那么函数称作周期函数，非零常数称作这个函数的周期．
2．最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数的最小正周期．若不加特别说明，本书所指周期均为函数的最小正周期．
注：(1)周期函数的周期不是唯一的，如果是函数的周期，那么也一定是它的周期；
(2)只有个别值或只差个别的值满足时，都不能说是的周期．
【即学即练1】【多选】下列函数图象中具有周期性的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】由周期性的定义对选项一一判断即可得出答案.
【详解】抓住周期变化的特点，重复性，可知A、B、D为周期函数.
对于C，图象不重复出现，故不合题意.
故选：ABD.
【即学即练2】函数满足，那么，它是以为周期的函数吗？
【答案】不是
【分析】根据函数周期性的定义可得出结论.
【详解】解：根据题意，函数满足，
但对于且，，
故函数不是以为周期的函数.
知识点02 抽象函数的周期性
函数周期性问题应牢牢把握周期函数的定义，并掌握一些常见的确定函数周期的条件。
类型 周期函数f(x)满足的条件 周期
常见周期函数模型 |a|
f(x＋a)＝f(x－a) 2|a|
f(x＋a)＝－f(x) 2|a|
f(x＋a)＝－ 2|a|
f(x＋a)＝ 2|a|
4|a|
2|a|
奇偶性与周期性的综合 偶函数，关于直线x＝a对称 2|a|
偶函数，关于对称 4|a|
奇函数，关于对称 2|a|
奇函数，关于直线x＝a对称 4|a|
对称性与周期性的综合 注：双对称必周期，“同二异四” 关于直线x＝a与x＝b对称 2|b－a|
关于点(a,0)与点(b,0)对称 2|b－a|
关于直线x＝a与点(b,0)对称 4|b－a|
【即学即练3】设定义在R上的函数满足，若，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先由题意推出函数为周期函数且周期为4，则有，然后由和解得，即可得出答案.
【详解】由题意定义在R上的函数满足，则有，联立解得，则得函数为周期函数且周期为4，则有；又因，则由解得，所以可得.
故选：A.
【点睛】本题考查了函数周期性的判断与求解，考查了函数周期性的应用，属于一般难度的题.
【即学即练4】已知定义在R上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A． B． C．1 D．9
【答案】B
【分析】利用奇函数定义及给定的等式，探求出函数的周期，再利用函数性质及给定函数式求值即得.
【详解】由R上的奇函数满足，得，
于是，即函数是以4为周期的周期函数，而当时，，
所以.
故选：B
知识点03 周期性的应用
（1）函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质.
（2）图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行复制粘贴.
（3）单调性：由于间隔kT(k∈Z)的函数图象相同，所以若函数y=f(x)在(a,b)(b-a≤T)上单调增(减),则y=f(x)在(a+kT,b+kT)(k∈Z)上单调增(减).
注：
奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号作用。
【即学即练5】设是定义在R上的函数，对任意的实数有，又当时，，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】由已知得函数的最小正周期为T=6，再由时，，代入可求得答案.
【详解】因为，所以函数的最小正周期为T=6，所以，
又当时，，所以，所以，
故选：C.
【即学即练6】函数是在R上的周期为的奇函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由函数奇偶性和周期性的概念可得即可得解.
【详解】函数是在R上的周期为的奇函数，
.
故选：C.
【即学即练7】若偶函数对任意都有，且当时，，则 ．
【答案】/0.125
【分析】由题设可得偶函数的周期为6，利用周期性求函数值即可.
【详解】由题设，即偶函数的周期为6，
所以.
故答案为：
【即学即练8】已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出函数的周期，再结合函数的奇偶性求值即得.
【详解】定义在上的奇函数，由，得，
则函数是以4为周期的周期函数，又当时，，
所以.
故选：D
题型一：周期现象及应用
例1.（2023下·高一校考课时练习）下列现象是周期现象的是（ ）
①日出日落；②潮汐；③海啸；④地震
A．①② B．①②③ C．①②④ D．③④
【答案】A
【分析】对四种自然现象一一分析，即可得到答案.
【详解】①每天日出日落，周期为一天；②潮汐是指海水在天体（主要是月球和太阳）引潮力作用下所产生的周期性运动；而③海啸和④地震是随机现象.
故选：A
变式1．（2023下·高一校考课时练习）下列变化中不是周期变化的是（ ）
A．春去春又回 B．太阳东升西落
C．天干地支表示年、月、日的时间顺序 D．某同学每天放学回到家的时间
【答案】D
【分析】根据周期性的规律直接进行判断.
【详解】对于A、B、C都是周期性变化.
对于D，某同学每天放学回到家的时间受各种因素的影响，一般会有少许差别，故D不是周期变化．
故选：D.
变式2．（2023·高一课时练习）如果今天是星期三，那么，天后的那一天是（ ）
A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六
【答案】B
【分析】根据，结合今天为星期三，即可得结果.
【详解】由，所以天后的那一天是星期四.
故选：B
变式3．【多选】（2023·高一课时练习）按照规定，奥运会每4年举行一次.2008年夏季奥运会在北京举办，那么下列年份中举办夏季奥运会的应该是（）
A．2023 B．2024 C．2026 D．2032
【答案】BD
【分析】根据周期性求得正确答案.
【详解】2023=2008+4×2+3，2026=2008+4×4+2.
显然2023，2026不是4的倍数.
2024=2008+4×4，2032=2008+4×6，
显然2024与2032是4的倍数.
故选：BD
变式4．（2023下·高一校考课时练习）十字路口处红绿灯亮灭的情况如下：1分钟亮绿灯；接着10秒亮黄灯；再接着1分钟亮红灯；10秒亮黄灯；1分钟亮绿灯；10秒亮黄灯， ……，则某人开始亮绿灯时，过路口，10分钟后又到此路口，此时应该亮 灯．
【答案】绿
【分析】得到红绿灯的亮灭以秒为一个周期求解.
【详解】解：由题意知：红绿灯的亮灭以秒为一个周期，
因为 ，
所以是绿灯．
故答案为：绿
变式5．（2023·高一课时练习）四个小动物换座位，开始是猴、兔、猫、鼠分别坐在①、②、③、④号位置上(如图)，第1次前后排动物互换位置，第2次左右列互换座位……这样交替进行下去，那么第2023次互换座位后，小兔的位置对应的是（ ）
A．编号① B．编号②
C．编号③ D．编号④
【答案】C
【分析】由题目得出小兔的位置4次一个循环，即可得出第2023次互换座位后，小兔的位置．
【详解】由已知和题图得，小兔自第1次交换位置后座位的编号依次为④→③→①→②→④…，得到每4次一个循环，
因为的余数为2，所以第2023次交换位置后，小兔的位置和第2次交换的位置相同，即编号为③，
故选：C．
【方法技巧与总结】
一些变化是不是周期变化，其判断的依据是周期变化的特征，即每次都以相同的间隔出现，而且变化是无差别的重复出现．
题型二：周期函数的判断
例2．（2023·高一课时练习）下列函数图像中，不具有周期性的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据周期函数图像的特点，即图像具有重复性，即可判断出答案．
【详解】因为C选项中之间的图像在前后都没有重复出现，
所以C选项的函数图像不具有周期性，
故选：C．
例3．【多选】（2023上·山东日照·高二统考开学考试）对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如.定义函数，则（ ）
A． B．函数是周期函数
C．方程在仅有一个解 D．函数是增函数
【答案】BC
【分析】根据定义判断A，利用分段函数形式表示，根据题意画出函数的图像，再依次判断选项B，C，D即可.
【详解】由题意知，画出分段函数的图象，
对选项A，定义可得，故A不正确；
对选项B，由图知函数为周期函数，故B正确；
对选项C，函数与函数在有一个交点，
即方程在仅有一个解，故C正确；
对选项D，由图象可知，所以函数不是增函数，故D不正确.
故选：BC.
变式1．（2023上·山西晋中·高三校考开学考试）设是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有，当时，．
(1)求证：是周期函数；
(2)当时，求的解析式；
(3)计算．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据已知等式，利用赋值法进行证明即可；
（2）根据函数的周期性，结合奇函数的性质进行求解即可；
（3）根据函数的周期性进行求解即可.
【详解】（1），
所以：是以为周期的周期函数；
（2）当时，因为函数是定义在R上的奇函数，
所以，
当时，；
（3），
因为函数的周期为，
所以.
【方法技巧与总结】
判断周期函数的方法，一般是根据定义。即对函数f(x)，如果存在常数T(T≠0)，使得当x取定义域内的每一个值时，均有f(x+T)=f(x)成立，则称f(x)是周期为T的周期函数。
题型三：利用周期性求函数值
例4．（2023上·湖南株洲·高一校考阶段练习）设函数（）是以为最小正周期的周期函数，且当时，，则 ．
【答案】
【分析】利用函数的周期,将自变量的值转化为解析式要求的自变量范围内即可求得.
【详解】因函数的周期为2，故
故答案为：.
变式1．（2023上·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知定义在上的函数满足，则 .
【答案】
【分析】由函数满足，推得函数是以4为周期的周期函数，结合函数的周期，即可求解.
【详解】因为在R上的函数满足，且，
令，有，
又，
所以函数是以4为周期的周期函数，
所以.
故答案为：．
变式2．（2023上·河北唐山·高三阶段练习）设是定义在R上的周期为3的函数，当时，，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】D
【解析】由函数是周期为3的周期函数，得到，结合解析式，即可求解.
【详解】由题意，函数当时，
因为函数是周期为3的周期函数，
所以
故选：D.
变式3．（2023下·江西赣州·高一校联考期末）已知定义在上的函数满足，且当时，，则（ ）
A．2 B．0 C．1 D．
【答案】D
【分析】通过对已知条件的转化，得出函数是周期函数.利用函数周期性转化求值即可.
【详解】因为，所以，且，
则，又可得，，
故，所以函数是周期的周期函数，
．
故选：D．
变式4．（2024上·河北张家口·高三统考期末）已知定义在R上的函数满足，，且，若，则（ ）
A．0 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据题目条件得到是以4为周期的周期函数，并得到，，根据函数的周期求出.
【详解】由，，得，即，
所以，所以，故是以4为周期的周期函数．
又，所以，．
又，所以，
所以，故．
又，所以．
故选：B．
【方法技巧与总结】
判断函数周期性的三个常用结论
(1)f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，则函数f(x)必为周期函数，2a是它的一个周期．
(2)f(x＋a)＝(a≠0)，则函数f(x)为周期函数，2a是它的一个周期．
(3)f(x＋a)＝－(a≠0)，则函数f(x)为周期函数，2a是它的一个周期．
题型四：利用函数的周期性求函数解析式
例5．（2023·全国·高三对口高考）函数的周期为，且当时，，则，的解析式为 ．
【答案】/
【分析】由求出的取值范围，再结合函数的周期性可求得在上的解析式.
【详解】因为函数的周期为，当时，，
且，当时，则，
故当时，.
故答案为：.
变式1．（2023·全国·高一随堂练习）周期函数的图象如图．

(1)求函数的最小正周期；
(2)写出函数的解析式．
【答案】(1)
(2)，，.
【分析】（1）由图象可得出函数的最小正周期；
（2）求出函数在上的解析式，再结合函数周期性的定义可求得函数的解析式.
【详解】（1）解：由图可知，函数的最小正周期为.
（2）解：当时，设，则，即；
当时，设，则，可得，即.
故当时，，
因为函数是以为最小正周期的周期函数，故对任意的，，
对任意的，当时，，
则.
因此，函数的解析式为，，.
变式2．（2023上·湖南株洲·高一校考阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，且的图象关于直线对称．
(1)证明：是周期函数．
(2)若当时，，求当时，的解析式．
【答案】(1)证明见解析
(2)，
【分析】（1）根据对称性与奇偶性得到，即可得证；
（2）当，则，且，即可得解.
【详解】（1）由函数的图象关于直线对称，
所以，即有，
又函数是定义在上的偶函数，有，
所以，
即是周期为的周期函数；
（2）当时，，又是周期为的周期函数，
当，则，
所以，
所以，.
例6．（2023下·河南信阳·高一信阳高中校考期末）设是定义在上的周期为的偶函数，已知时，，则时，的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据已知函数的奇偶性和周期性，结合时，，分别讨论和的两种情况下对应的解析式，综合可得答案.
【详解】是定义在上的周期为的偶函数，时，，
时，， ，
此时，
当时，，，
此时，
所以，
综上可得：时，
故选：C.
变式1．（2023上·河北·高三校联考阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则当时，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性求出时的解析式，再求出函数的周期为4，故得到时，
【详解】由题意知，则，
所以函数是以4为周期的周期函数，又当时，，且是定义在上的奇函数，
所以时，，，
所以当时，，.
故选：B.
变式2．（2023上·江西·高三宁冈中学校考期中）已知是定义域为的奇函数，且是偶函数，当时，，则当时，的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，先分析函数的周期，由此可得，结合已知函数的解析式计算可得答案．
【详解】因为是定义在上的奇函数，为偶函数，
所以，，即，
所以，
所以，可得，
所以的最小正周期为，
又当时，，
当时，则，所以，
又由是周期为的奇函数，
则，
故，.
故选：D．
【方法技巧与总结】
(1)遇到周期问题，要学会区间转移，将未知区间中的x加减整周期，转化到已知区间，再将含x式子代入已知函数．
(2)遇到周期性＋奇偶性综合问题，可根据条件，求出一个周期上的函数关系．
题型五：周期性与奇偶性的结合
例7．（2023·高一课时练习）已知奇函数y=f(x)(x∈R)，且f(x)=f(x+4)，f(1)=2，则函数f(x)的周期为 ，f(2)+f(3)+f(4)= .
【答案】 4
【分析】根据函数的周期性、奇偶性求得正确答案.
【详解】由于的定义域是，且，
所以的周期为.
由于是定义在上的奇函数，所以，
所以，
，
，
由于，所以，
所以.
故答案为：；
变式1．（2023下·河南·高三阶段练习）已知是周期为2的奇函数，当时，，则的值为 .
【答案】
【详解】试题分析：.
考点：函数的周期性与奇偶性.
【思路点晴】本题的主要思路就是将要求的中的转换到区间内，因为已知条件是当时，.由于是周期为的周期函数，故也是周期为的周期函数，所以就有，这样就变成了的形式，在根据是奇函数，有即可就得结果.
变式2．（2023下·高一校考课时练习）已知定义在上的奇函数以为周期，则 ．
【答案】0
【分析】根据奇函数的性质以及周期性，求出即可得到结果.
【详解】∵是上的奇函数，
∴且，
又∵是以为周期的周期函数，
∴，∴，
又∵，∴，
∴，
∴．
故答案为：0.
变式3．（2023上·广东梅州·高三校考阶段练习）设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有．当时，．
(1)求函数的最小正周期；
(2)计算．
【答案】(1)4
(2)0
【分析】（1）根据周期性的定义求得结果结合函数为奇函数以及上的图象即可得函数最小正周期；
（2）利用赋值法并结合函数的周期性求得结果.
【详解】（1），，
是周期为4的周期函数．
又当时，，是定义在上的奇函数，
所以当时，，所以
函数在上的图象如图所示：

由图可得函数在上不具有周期性，
故函数的最小正周期为；
（2）．
又是周期为4的周期函数，
．
．
变式4．（2023上·宁夏·高三隆德县中学校考阶段练习）已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（ ）
A．50 B．2 C．0 D．
【答案】C
【分析】由奇函数和得出函数为周期函数，周期为4，，然后计算出后可得结论．
【详解】由函数是定义域为的奇函数，所以，且，
又由，即，
进而可得，所以函数是以4为周期的周期函数，
又由，可得，
,,
则，
所以.
故选：C.
变式5．【多选】（2023上·湖南衡阳·高一统考期末）奇函数满足，则下列选项正确的是（ ）
A．的一个周期为2 B．
C．为偶函数 D．为奇函数
【答案】ACD
【分析】由得的对称轴为，结合的奇函数性质对选项逐一辨析即可.
【详解】，的对称轴为，
，∴，A正确；
，故，，
关于时称，故，B错误；
，偶函数，C正确；
，为奇函数，D正确，
故选：ACD.
变式6．【多选】（2023下·安徽·高三合肥市第六中学校联考开学考试）已知为偶函数，且恒成立．当时．则下列四个命题中，正确的是（ ）
A．的周期是 B．的图象关于点对称
C．当时， D．当时，
【答案】ACD
【分析】由可以得出函数的周期，判断选项A；由于又是偶函数，可以推出函数的对称性，判断选项B；是偶函数及周期性，判断选项C，D.
【详解】由得，，所以的周期是．A正确．
因为是偶函数，所以就是，即，所以的图象关于直线对称．B不正确．
根据偶函数的对称性，C显然正确．
当时，，则，即；
当时，，则，即．
所以D正确．
故选：ACD．
题型六：周期性与对称性的结合
例8．（2023上·安徽·高三校联考开学考试）已知函数的图象关于直线对称，且对都有当时，.则（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】D
【分析】由已知可得，由此证明函数的周期性，确定其周期，再利用周期性的性质确定.
【详解】函数的图象关于直线对称，
函数的图象关于直线对称，
，
取可得，
∴
又对有，
取可得，
所以.，，
，
，即，
的周期.
故选：D.
变式1．（2023上·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习）已知定义在上的函数的图象关于点对称，且满足 ，又，，则 .
【答案】1
【分析】由可得的周期，进而可得、，结合的图象关于点对称与可得关于对称，进而可求得，从而运用周期性求值即可.
【详解】因为，所以，
所以，即是以3为周期的函数.
所以，，
又的图象关于点对称，所以，
又已知，所以，
所以关于对称，即为偶函数，则，
所以，
所以.
故答案为：1.
题型七：周期性与单调性的结合
例9．（2024上·重庆北碚·高一统考期末）已知定义在上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用函数平移得到是奇函数，再利用对称性和奇偶性得到的周期为8，且在上是增函数，从而利用的性质即可得解.
【详解】因为关于中心对称，
所以对称中心是，故，即是奇函数，
因为是偶函数，所以，则，
所以，因此的周期为8，
所以，，
因为在上是增函数且是奇函数，所以在上是增函数，
所以，则.
故选：C.
变式1．（2023下·山东青岛·高二校考期末）已知函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数，在上单调递增，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】通过周期性奇偶性找到周期性，再由单调性确定函数值大小.
【详解】是偶函数,得，即，
是奇函数，得，即，
，得
由是奇函数，得，
因为在上单调递增，所以
，
所以，
故选：B
【点睛】是函数的对称轴，
是函数 的对称中心.
变式2．【多选】（2024上·河南开封·高一统考期末）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且时，单调递增，则下列结论正确的为（ ）
A．是偶函数
B．的图象关于点中心对称
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据奇偶函数的性质可推出函数的周期，利用替换的思想，结合偶函数的定义可判断A，得出根据中心对称的性质判断B，由为奇函数可得，利用周期，再由函数单调性判断C，根据函数性质转化为判断的符号，利用单调性即可判断D.
【详解】因为为奇函数，
所以，所以，即，
因为为偶函数，所以，
所以，故，即周期为，
由，可得，故函数是偶函数，故A正确；
由可得，因为是偶函数，
所以，所以函数关于成中心对称，故B正确；
由周期可得，而由为奇函数知，即，
又时，单调递增，所以，故C错误；
因为，
且时，单调递增，所以，即，
故D正确.
故选：ABD
一、单选题
1．（2023下·陕西宝鸡·高一统考期末）下列现象不是周期现象的是（ ）
A．“春去春又回” B．钟表的分针每小时转一圈
C．“哈雷彗星”的运行时间 D．某同学每天上数学课的时间
【答案】D
【分析】根据周期现象的定义逐一判断四个选项的正误即可得符合题意的选项.,
【详解】对于A：每隔一年，春天就重复一次，因此“春去春又回”是周期现象；
对于B：分针每隔一小时转一圈，是周期现象；
对于C：天体的运行具有周期性，所以“哈雷彗星”的运行时间是周期现象；
对于D：某同学每天上数学课的时间不固定，并不是隔一段时间就会重复一次，因此不是周期现象，
故选：D.
2．（2023·高一课时练习）探索下图所呈现的规律,判断2 015至2 017箭头的方向是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据探索图所呈现的规律，找出探索图的周期，进而即得.
【详解】观察题图可知每增加4个数字就重复相同的位置，而，
则2 015 至2 017箭头的方向与3至5箭头的方向是相同的.
故选：D.
3．（2023下·高一课时练习）设钟摆每经过1.8秒回到原来的位置，在图中钟摆达到最高位置A点时开始计时，经过1分钟后，钟摆的大致位置是（）
A．点A处
B．点B处
C．O、A之间
D．O、B之间
【答案】D
【分析】根据周期性求得正确答案.
【详解】钟摆的周期T＝1.8秒，1分钟＝(33×1.8＋0.6)秒，
又，所以经过1分钟后，钟摆在O、B之间.
故选：D
4．（2023·高一课时练习）若近似认为月球绕地球公转与地球绕太阳公转的轨道在同一平面内，且均为正圆，又知这两种转动同向．如图所示，月相变化的周期为天(下图是相继两次满月时，月、地、日相对位置的示意图)．则月球绕地球一周所用的时间为（ ）
A．天 B．天 C．天 D．天
【答案】B
【分析】根据所给信息分析即可.
【详解】由题图知，地球从到用时天，月球从月地日一条线重新回到月地日一条线，完成一个周期．
故选：B
5．（2024上·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数在上所有零点的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】推导出函数是周期为的周期函数，且函数的图象关于点对称，作出函数在上的图象以及函数的图象，数形结合可得出结果.
【详解】因为定义在上的奇函数满足，
则，所以，函数是周期为的周期函数，
则，故函数的图象关于点对称，
当时，，
作出函数在上的图象以及函数的图象如下图所示：
由图可知，函数在上的图象与函数的图象共有个交点，
且这个交点有三对点关于点对称，
因此，函数在上所有零点的和为.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题的关键是通过其对称性和奇偶性得到其周期性，再作出两函数图象则得到交点个数.
6．（2024上·重庆·高一西南大学附中校考期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由周期函数转换然后代入表达式求解即可.
【详解】由题意当时，，此时是以4为周期的周期函数，
所以.
故选：C.
7．（2024上·云南大理·高一统考期末）已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（ ）
A． B．1 C．5 D．
【答案】B
【分析】根据已知条件分析出是周期为的周期函数，然后利用周期性可得，结合已知函数值可求结果.
【详解】因为，所以，
又因为是定义域为的奇函数，所以，且,
所以，所以，
所以，所以是周期为的周期函数，
所以，，
因为，所以，
因为，所以，
所以，
故选：B.
8．（2023上·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考阶段练习）函数的最小正周期为2，且.当时，，那么在区间上，函数的图象与函数的图象的交点个数是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】C
【分析】结合函数的性质，在同一个坐标系中作出两个函数的图象，即可判断.
【详解】解：由题意可知，函数周期为2，且为偶函数，函数为偶函数，
在同一个坐标系中作出它们在[-3,4]上的图象如下，可得交点个数为6，
故选：C.
9．（2024·安徽淮北·统考一模）已知定义在上奇函数满足，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知推导出函数的周期， 的范围，利用已知和推导出的关系将所求转化为内求解.
【详解】因为为奇函数且满足.
所以，即，
所以，
所以是周期为4的周期函数.
因为,所以
所以
.
故选：B
10．（2023上·云南曲靖·高一校考期末）已知偶函数满足，且当时，．若函数恰有4个零点，则的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【分析】由已知得出函数的图象关于对称，且是周期为2的周期函数，将函数恰有4个零点，转化为函数与函数的图象有4个交点，画出图象，结合图象即可得出函数的图象经过点，代入求解即可得出答案.
【详解】函数满足，
函数的图象关于对称，
又函数是偶函数，
，
函数是周期为2的周期函数，
且当时，，
函数恰有4个零点，
则函数与函数的图象有4个交点，
作出函数与函数的图象如下：
结合图象可得函数的图象经过点，
即，解得，
故选：A.
11．（2023上·山东菏泽·高三校考期末）定义在上的函数满足，当时，；当时，，则
（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【分析】根据题意，得到函数的一个周期为，得到，结合题意，即可求解.
【详解】由定义在上的函数满足，可得是周期为的周期函数，
又由时，；时，，
则.
故选：D.
12．（2023上·湖南长沙·高一长郡中学校考期末）设是定义在上的周期为的偶函数，已知当时，，则当 时，的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】当时，由可得出的表达式；当时，由函数的周期性和奇偶性可得出.综合可得结果.
【详解】当时，，，
当时，，，
因为函数为偶函数，则，
综上所述，当时，.
故选：C.
13．（2023·山东·山东省五莲县第一中学校联考模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，当时，，则在上的零点个数为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．21
【答案】D
【分析】根据条件，得到函数的周期为，再根据条件得出时，，从而得出，再利用周期性及图像即可求出结果.
【详解】因为，令，得到，
所以，从而有，又函数是定义在上的奇函数，
所以，即，所以函数的周期为，
令，则，又当时，，
所以，得到，
故，又，所以在上的图像如图，
又当时，由，得到，当，由，得到，即，
又，所以，
，，
又由，得到，即，
所以，
再结合图像知，在上的零点个数为21个，
故选：D.
二、多选题
14．（2024上·四川雅安·高一雅安中学校考阶段练习）已知定义在R上的函数满足，且当时，，则（ ）
A．是周期为2的周期函数
B．当时，
C．的图象与的图象有两个公共点
D．在上单调递增
【答案】ACD
【分析】根据已知可得，即可得出A项；根据已知求出时的解析式，进而根据周期性，得出函数在上的解析式，即可判断B项；根据A、B的结论作出函数的图象以及的图象，结合端点处的函数值，结合图象，即可判断C项；先根据解析式，判断得出函数在上单调递增，即可根据周期性，得出D项.
【详解】对于A项，由已知可得，
所以，是周期为2的周期函数，故A正确；
对于B项，，则.
由已知可得，.
又，
所以，.
又的周期为2，所以.
，则，，
所以，.故B错误；
对于C项，由A、B可知，当时，；
当时，，且的周期为2.
作出函数以及的图象，
显然，当时，的图象与的图象没有交点.
又，，，
由图象可知，的图象与的图象有两个公共点，故C项正确；
对于D项，，则，.
又的周期为2，所以在上单调递增.
当时，，显然在上单调递增.
且，
所以，在上单调递增.
根据函数的周期性可知，在上单调递增.故D正确.
故选：ACD.
15．（2023上·湖南·高一衡阳县第一中学校联考阶段练习）已知定义在上的奇函数满足：①；②当时，．下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．当时，
D．方程有个实数根
【答案】ACD
【分析】推导出函数的周期为，结合周期性可判断AB选项；利用周期性和对称性求出函数在上的解析式，可判断C选项；数形结合可判断D选项.
【详解】对AB，因为函数在上为奇函数，故，
因为，即，则，
故，故的周期为，故，故A正确，B错误；
对C，因为是奇函数，所以当时，，
故，则，
当时，，，
故当时，，故C正确；
对D，，即，如下图所示：
由图可知，直线与函数的图象共有个交点，故D正确．
故选：ACD．
16．（2023下·吉林长春·高二长春市第十七中学校考期中）定义在上的奇函数满足，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．时，
C．
D．函数有对称轴
【答案】ACD
【分析】根据函数的性质推导可判断A；结合周期性由时的解析式即可得时的解析式，从而可判断B；根据函数周期性与对称性即可判断C、D.
【详解】因为，所以，
则，所以，故A正确；
又当时，，
则当时，，，故B不正确；
由，可得函数的周期为6，
可得，
又函数是上的奇函数，则，
所以，即，
所以，故C正确；
由A选项知，，又，
则，所以函数有对称轴，故D正确.
故选：ACD.
17．（2023·全国·模拟预测）已知函数，的定义域均为R，函数为奇函数，为偶函数，为奇函数，的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的一个周期为6
B．函数的一个周期为8
C．若，则
D．若当时，，则当时，
【答案】BCD
【分析】A选项：为奇函数，得到，结合因为为偶函数，得到，故的最小正周期为12，A不正确
B选项：关于直线对称，得到，又是奇函数，所以，故，得到的一个周期为8，所以B正确；
C选项：由A选项得，赋值后得到，由为R上的奇函数，得到，结合，得，结合和的最小正周期得到，所以C正确；
D选项：根据的最小正周期和得到，从而求出时的函数解析式．
【详解】A选项：因为为奇函数，所以，
令，得，则．
因为为偶函数，所以，
令，得，所以，
所以，故，
所以函数的周期为12，所以A不正确；
B选项：因为的图象关于直线对称，所以，所以．
又是奇函数，所以，
所以，所以函数的周期为8，所以B正确；
C选项：由A选项得，得，
令，则，所以．
因为为R上的奇函数，所以，
则由，得，
所以，所以C正确．
D选项：因为当时，，所以当时，，
所以．
所以当时，，所以D正确．
故选：BCD.
【点睛】设函数，，，．
（1）若，则函数的周期为2a；
（2）若，则函数的周期为2a；
（3）若，则函数的周期为2a；
（4）若，则函数的周期为2a；
（5）若，则函数的周期为；
（6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为；
（7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为；
（8）若函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期为；
（9）若函数是偶函数，且其图象关于直线对称，则的周期为2a；
（10）若函数是奇函数，且其图象关于直线对称，则的周期为4a．
18．（2024上·广东佛山·高一统考期末）已知函数满足：对任意的，都存，且，则（ ）
A．是奇函数 B．
C．的值域为 D．
【答案】BD
【分析】由题意可得函数是奇函数，且的图象关于对称，进而可求出函数的周期，再逐一分析即可得解.
【详解】因为，所以函数是奇函数，
因为，所以函数的图象关于对称，
对于A，若是奇函数，则，
故，与题意矛盾，所以不是奇函数，故A错误；
对于B，由，得，
所以，所以，故B正确；
对于C，根据题意不能得出函数的单调性，所以无法确定函数的值域，故C错误；
对于D，由B选项可得，所以函数是以为周期的周期函数，
因为是奇函数，所以，则，，
由，可得，
所以，
则，故D正确.
故选：BD.
19．（2024上·河北张家口·高一统考期末）已知定义在上的奇函数满足，且当时，.则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称 B．
C． D．方程有5个不等的实数根
【答案】ABD
【分析】根据题意，利用函数的对称性，结合图像逐项判断即可.
【详解】对于A，令，，则，可知函数满足当时，，即函数的图象关于直线对称，故A正确；
对于BC，方法如下
利用函数图象既关于原点对称又关于直线对称，且当时，.可以将图象拓展如图所示
由图象规律可知B正确；，故C错误；
对于D，的解的个数问题可转化为曲线与图象的交点个数问题如图所示：
所以D正确；
故选：ABD.
三、填空题
20．（2023下·高一课时练习）如图所示，变量y与时间t(s)的图象如图所示，则时间t至少隔 s时，y＝1会重复出现1次.
【答案】2
【分析】根据图象即可求解.
【详解】由图象可知：，所以至少隔2时，会重复出现1次，
故答案为：2.
21．（2024上·重庆九龙坡·高一统考期末）已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则 ．
【答案】/
【分析】先判断出的周期，然后得到，再根据奇偶性得到，结合已知函数解析式求解出，则的值可知.
【详解】因为，所以是周期为的周期函数，
所以，
又因为是定义在上的奇函数，
所以，
所以，
故答案为：.
22．（2024上·云南昆明·高一统考期末）定义在上的奇函数满足，且，则 ．
【答案】3
【分析】根据函数的周期性以及奇偶性即可求解.
【详解】由可得为周期函数，且周期为4，
又为上的奇函数，所以，
，
故答案为：3
23．（2024上·陕西西安·高一高新一中校考阶段练习）已知是定义在上的函数且图象关于点对称，是偶函数，若当时，，则 ．
【答案】
【分析】由函数的对称性和奇偶性，得函数的奇偶性和周期性，得函数在时的解析式，求得的值.
【详解】因为函数的图象关于点对称，所以函数的图象关于点对称，所以是定义在上的奇函数，，
又因为函数是偶函数，所以函数的图象关于直线对称，，
所以，函数是一个周期为4的周期函数，
因为时，，所以，，
.
故答案为：-1.
【点睛】函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，可通过代换得到函数的周期性.
24．（2024上·云南昆明·高一统考期末）已知函数的定义域为，且，，当时，，则 .
【答案】
【分析】依题意可得为偶函数且是周期为的周期函数，根据周期性及所给解析式计算可得.
【详解】因为函数的定义域为，且，，
所以为偶函数且是周期为的周期函数，
又当时，，
所以.
故答案为：
四、解答题
25．（2023上·山东菏泽·高三山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）函数满足，函数的图象关于点对称，求的值.
【答案】0
【分析】由条件可得函数是周期为12的周期函数，由周期性得，再由图象平移关系可得的对称性，结合对称性与周期性赋值得与的两个等式，解出即可.
【详解】根据题意，由，
知，
两式相减，得，即是周期为12的周期函数，
由，.
又由的图象关于点对称，
且的图象是由的图象向左平移一个单位长度得到的，
则的图象关于点对称，即是奇函数.
由周期为，可得，
而为奇函数，则，所以，
故.
26．（2023上·云南曲靖·高一校考期末）已知函数是定义在上的奇函数，且．
(1)求的函数值；
(2)证明：为周期函数．
【答案】(1)0
(2)证明见解析
【分析】（1）根据函数是定义在上的奇函数，得到，再由，利用赋值法求解；
（2）由函数是定义在上的奇函数，得到，再由，利用周期函数的定义求解.
【详解】（1）解：因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
又因为，
所以，
则；
（2）因为函数是定义在上的奇函数，
所以，又，
所以，即，
则，
所以是以4为周期的周期函数.
27．（2024上·江苏淮安·高一统考期末）已知是定义在R上的函数，满足：，，且当时，．
(1)求的值；
(2)当时，求的表达式；
(3)若函数在区间（）上的值域为，求的值．
【答案】(1)；
(2)
(3)或或.
【分析】（1）根据抽象函数的对称性和周期性计算即可；
（2）根据奇函数的定义与性质计算即可；
（3）根据二次函数的单调性先确定，再分类讨论计算即可.
【详解】（1）因为，，
所以，
故是奇函数，且为其一个周期，且关于轴对称，
所以；
（2）结合（1）的结论可令，则，
所以；
（3）由（1）（2）可知，
由二次函数单调性可知在上单调递增，且，
所以，则，
若，则，此时，
若，则，此时，
若，则，此时.
故的值为或或.
28．（2023·全国·高一随堂练习）函数是周期为2的周期函数，且，．
(1)画出函数在区间上的图象，并求其单调区间、零点、最大值、最小值；
(2)求的值；
(3)求在区间上的解析式，其中．
【答案】(1)答案见解析；
(2)；
(3)，.
【分析】（1）根据周期性及已知区间解析式画出函数图象，数形结合确定单调区间、零点、最值；
（2）利用周期性求函数值即可；
（3）由，代入已知解析式，根据周期性即可得解析式.
【详解】（1）由的周期性及上解析式，得区间上的图象如下：

由上图知：增区间为，减区间为；
零点为共3个；最大值为1，最小值为0.
（2）由题设.
（3）令且，则，
又，则，即，
综上，在区间上，.
29．（2023上·上海·高一华师大二附中校考期中）已知定义在全体实数上的函数满足：①是偶函数；②不是常值函数；③对于任何实数，都有．
(1)求和的值；
(2)证明：对于任何实数，都有；
(3)若还满足对有，求的值．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）取，代入计算得到，取得到，得到答案.
（2）取，结合函数为偶函数得到，变换得到，得到证明.
（3）根据函数的周期性和奇偶性计算，取和取，得到，根据周期性得到，计算得到答案.
【详解】（1）
取，得到，即；
取得到，
不是常值函数，故；
（2），
取得到，
是偶函数，故，即，
.
（3），为偶函数，
取，则，即；
取，则，即；
故，
，，，
故，
取得到，
取，得到，
，，解得，
.
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