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1.8 三角函数的简单应用4种常见考法归类
课程标准 学习目标
会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型． 通过本节课的学习，要求掌握常见的三角函数应用问题的处理方法，了解并掌握数学建模的方法与步骤，能处理与三角函数相结合的数学问题、物理问题及与之相关的其它学科与生产、生活有密切联系的问题.
知识点01函数y＝A sin (ωx＋φ)，A>0，ω>0中各参数的物理意义
【即学即练1】【多选】（2023上·广东东莞·高二校考期中）如图是某质点作简谐运动的部分图象，位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系式是（，，），则（ ）

A．该简谐运动的初相为 B．该简谐运动的周期为3
C．第4秒该质点的位移为 D．当时，位移随着时间的增大而减小
【答案】BD
【分析】先根据函数图象求出函数解析式，结合选项逐个判定即可.
【详解】由图可知，时，，时，，所以,;
因为，所以或；
因为时，，所以，，所以或，；
由图可知周期满足，即，解得，所以，此时；
解析式为，该简谐运动的初相为，周期为，A不正确，B正确；
当时，，位移是，C不正确；
令，当时，，
结合的简图可得，在区间为减函数，D正确.
故选：BD.
知识点02　三角函数模型应用的步骤
三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数值，进而使实际问题得到解决．
步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题．
这里的关键是建立数学模型，一般先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数解析式．
【即学即练2】（2024高一课堂练习）如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，0<φ<π)，则该函数的表达式为________．
【答案】y＝10sin(x＋)＋20
【解析】由题意可知，函数的周期T＝2×(14－6)＝16，∴ω＝＝.
又，∴，∴y＝10sin(x＋φ)＋20.
∴20＝10sin(×10＋φ)＋20，∴sin(＋φ)＝0，∴＋φ＝kπ，k∈Z.
又∵0<φ<π，∴φ＝，∴y＝10sin(x＋)＋20.
【即学即练3】（2023下·贵州遵义·高二校考阶段练习）弹簧振子的振动是简谐振动.下表给出了振子在完成一次全振动的过程中的事件t与位移s之间的测量数据，那么能与这些数据拟合的振动函数的解析式为（ ）
t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
s 0.1 10.3 1.7 20.0 17.7 10.3 0.1
A．， B．
C． D．，
【答案】D
【分析】根据简谐振动的解析式结合三角函数性质运算求解.
【详解】设简谐振动的解析式为，其中
由表格可知：振幅，周期，过点，
由周期，且，可得，
由过点，可得，即，则，
可得，
所以简谐振动的解析式为.
故选：D.
【即学即练4】（2024高一课堂练习）下图是某简谐运动的图像.试根据图像回答下列问题：
（1）写出这个简谐运动的振幅 周期与频率
（2）从点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次往复运动？如果从点算起呢？
（3）写出这个简谐运动的函数表达式.
【答案】(1)振幅为2cm，周期为0.8s,频率为；
(2)如果从O点算起，到曲线上D点，表示完成了一次往复运动；如果从A点算起，到曲线上E点，表示完成了一次往复运动；
(3).
【分析】
(1)从图像中可以直接得到振幅、计算周期和频率；
(2) 从图像中可以看出；
(3)设这个简诺动的函数解析式为从图像得到，即可得到解析式.
【详解】
(1)从图像中可以看出：这个简谐运动的振幅为2cm，周期为0.8s,频率为；
(2)如果从O点算起，到曲线上D点，表示完成了一次往复运动；如果从A点算起，到曲线上E点，表示完成了一次往复运动；
(3)设这个简谐运动的函数解析式为由图像可知：，又由，得：.
所以所求简谐运动的函数解析式为.
【即学即练5】（2024高一课堂练习）在图中，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距离平衡位置最远处时开始计时．则物体对平衡位置的位移x（单位：cm）和时间t（单位：s）之间的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
设，根据振幅确定，根据周期确定，根据确定，即可得出结果.
【详解】
设位移关于时间的函数为，
根据题中条件，可得，周期，故，
由题意可知当时，取得最大值，故，则，
所以.
故选：D．
【点睛】
本题主要考查三角函数的应用，考查由三角函数的性质求参数，属于基础题型.
知识点03　三角函数模型的拟合应用
我们可以利用搜集到的数据，做出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．
三角函数应用模型的三种模式：
（1）给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题；
（2）给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数模型，再解决其他问题；
（3）搜集一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图象，求出可以近似表示变化规律的函数模型，进一步用函数模型来解决问题.
注：解答三角函数应用题应注意四点
(1)三角函数应用题的语言形式多为“文字语言、图形语言、符号语言”并用，阅读理解中要读懂题目所要反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，列出等量或不等量的关系．
(2)在建立变量关系这一关键步骤上，要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言并用的思维方式来打开思想解决问题．
(3)实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门学科的知识才能完成，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助解决问题．
(4)实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要用到计算机或计算器．
【即学即练6】（2024高一课堂练习）已知某海滨浴场的海浪高度是时间t(h)的函数，记作y＝f(t)．下表是某日各时的浪高数据.
t(h) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(m) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b.
（1）根据以上数据，求出函数y＝Acosωt＋b的最小正周期T、振幅A及函数表达式；
（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8时到晚上20时之间，有多长时间可供冲浪者进行运动？
【解析】（1）依题意，得T＝12，A＝＝0.5，b＝＝1，
∴ω＝＝，故y＝cost＋1.
（2）令y＝cost＋1>1，则2kπ－∴12k－3∴从9点到15点适合对冲浪爱好者开放，一共有6个小时．
【名师点睛】解决此类问题的关键在于根据已知数据确定相应的数学模型，然后根据已知条件确定函数解析式中的各个参数，最后利用模型解决实际问题．
【即学即练7】（2023·高一课时练习）某港口水深（米是时间（，单位：小时）的函数，下表是水深数据：
（小时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24
（米 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图象.

(1)试根据数据表和曲线，求出的表达式；
(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）
【答案】(1)
(2)16小时.
【分析】（1）根据图象的最高点和最低点可以求出，由两个最高点的之间的距离可以求出，从而可求函数的表达式；
（2）在当的前提下，解不等式即可.
【详解】（1）根据数据，，
，，，
，
函数的表达式为；
（2）由题意，水深，
即，
，
，，1，
或；
所以，该船在至或至能安全进港，
若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时.
题型一：三角函数模型在物理中的应用
例1.（2024高一课堂练习）电流强度I（单位：安）随时间t（单位：秒）变化的函数I=Asin（ωt＋φ）的图象如图所示，则当t=秒时，电流强度是（ ）
A．－5安 B．5安
C．5安 D．10安
【答案】A
【解析】由题图可知A=10，=－，即T=，所以ω==100π，函数图象过点（0，5）且0<φ<，所以φ=，所以函数为I=10sin，当t=秒时，I=－5安．故选A．
变式1.（2024高一课堂练习）某弹簧振子做简谐振动，其位移函数为，其中表示振动的时间，表示振动的位移，当时，该振子刚好经过平衡位置（平衡位置即位移为0的位置）5次，则在该过程中该振子有（ ）次离平衡位置的距离最远．
A．3 B．2 C．5 D．5或6
【答案】D
【分析】根据题意画出函数的草图，根据函数的图像，得出该振子离平衡位置的距离最远的次数.
【详解】根据题意，画出草图，由图可知，时，该振子离平衡位置的距离最远的次数共5或6次，
故选：D．
变式2.（2023上·江苏南京·高三统考阶段练习）智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为，初相位为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为噪音的声波曲线（其中，，）的振幅为1，
则，周期为，则，初相位为，，
所以噪声的声波曲线的解析式为，
所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为．故选：A.
变式3.（2023上·江苏南京·高三统考阶段练习）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度单位：由关系式确定以为横坐标，为纵坐标，下列说法错误的是（ ）
A．小球在开始振动即时的位置在
B．小球的最高点和最低点与平衡位置的距离均为
C．小球往复运动一次所需时间为
D．每秒钟小球能往复振动次
【答案】D
【解析】对于A,由题意可得当时，，
故小球在开始振动时的位置在；故A正确；
对于B,由解析式可得振幅,故小球的最高点和最低点与平衡位置的距离均为；
故B正确；
对于C,可得函数的周期为，故小球往复运动一次需；故C正确；
对于D,由C可知，，可得频率为（），
即每秒钟小球能往复振动次，故D不正确.故选：D．
变式4.（2024高一课堂练习）弹簧挂着的小球做上下振动，它在时间t(s)内离开平衡位置(静止时的位置)的距离h(cm)由下面的函数关系式表示：.
（1）求小球开始振动的位置；
（2）求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位置；
（3）经过多长时间小球往返振动一次
（4）每秒内小球能往返振动多少次
【解析】（1）令t=0，得，所以开始振动的位置为(0，).
（2）由题意知，当h=3时，，即最高点为;
当h= 3时，t=，即最低点为.
（3）≈3.14，即每经过约3.14 s小球往返振动一次.
（4），即每秒内小球往返振动约0.318次.
【名师点睛】解决此类问题的关键在于明确各个参数的物理意义，易出现的问题是混淆彼此之间的对应关系导致错解.
【方法技巧与总结】
处理物理学问题的策略
(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性．
(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．
题型二：三角函数在生活中的应用
例2.（2024高一课堂练习）如图，某海港一天从的水位高度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数．
（1）求该函数的解析式；
（2）若该海港在水位高度不低于时为轮船最佳进港时间，那么该海港在，轮船最佳进港时间总共多少小时？
【答案】（1），；（2）．
【分析】
（1）由图可得，，，再由周期公式可求出，再把将，代入可求出的值，从而可求得函数的解析式；
（2）由可求出结果
【详解】
（1）由图可知，，．
∵，∴，解得，
∴．
将，代入上式，解得，，
∵，∴，
故该曲线的函数解析式为，．
（2）由题意得，即，解得，，即，．
∵，∴当时，即，
∴该海港在的轮船最佳进港时间总共为．
变式1.【多选】（2023上·湖北恩施·高三校考期中）车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数单位：辆上班高峰期某十字路口的车流量由函数给出，的单位是，则下列时间段中车流量是增加的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】由正弦函数的单调区间结合复合函数单调性逐一代入检验即可得解.
【详解】对于A，当时，，由复合函数单调性可知此时车流量函数单调递增，符合题意；
对于B，当时，，而当时，由复合函数单调性可知此时车流量函数单调递减，不符合题意；
对于C，当时，，由复合函数单调性可知此时车流量函数单调递增，符合题意；
对于D，当时，，而当时，由复合函数单调性可知此时车流量函数单调递减，不符合题意.
故选：AC.
变式2.【多选】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）血压(blood pressure，BP)是指血液在血管内流动时作用于单位面积血管壁的侧压力，它是推动血液在血管内流动的动力．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压．在未使用抗高血压药的前提下，18岁以上成人的收缩压≥140 mmHg或舒张压≥90 mmHg，则说明该成人有高血压．设从未使用抗高血压药的陈华今年45岁，从某天早晨6点开始计算(即早晨6点时，t=0)，他的血压p（t）(mmHg)与经过的时间t（h）满足关系式，则（ ）
A．当天早晨6~7点，陈华的血压逐渐上升
B．当天早晨9点时陈华的血压为125 mmHg
C．当天陈华没有高血压
D．当天陈华的收缩压与舒张压之差为40 mmHg
【答案】ABD
【解析】由已知，选项A，当天早晨6~7点，则t∈[0，1]，t+∈[]，
所以函数p（t）在[0，1]上单调递增，陈华的血压逐渐上升，故该选项正确；
选项B，当t=3时，p（t）=115+20sin=125，
所以当天早晨9点时陈华的血压为125 mmHg，故该选项正确；
选项C、选项D，因为p（t）的最大值为115+20=135，最小值为115-20=95≥90，
所以陈华的收缩压为135 mmHg，舒张压为95 mmHg，
因此陈华有高血压，故选项C错误
且他的收缩压与舒张压之差为40 mmHg，故选项D正确.
故选：ABD.
变式3.（2024高一课堂练习）心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin 160πt，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：
（1）求函数p(t)的周期；
（2）求此人每分钟心跳的次数；
（3）画出函数p(t)的草图；
（4）求出此人的血压在血压计上的读数．
【解析】（1）由于ω＝160π，代入周期公式T＝，可得T＝＝(min)，所以函数p(t)的周期为min．
（2）每分钟心跳的次数即为函数的频率f＝＝80(次)．
（3）列表：
t 0
p(t) 115 140 115 90 115
描点、连线并向左右扩展得到函数p(t)的简图如图所示：
（4）由图可知此人的收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg．
变式4.【多选】（2023上·江苏南京·高二统考期中）声音是由物体的振动产生的声波，一个声音可以是纯音或复合音，复合音由纯音合成，纯音的函数解析式为.设声音的函数为,音的响度与的最大值有关，最大值越大，响度越大；音调与的最小正周期有关，最小正周期越大声音越低沉．假设复合音甲的函数解析式是，纯音乙的函数解析式是，则下列说法正确的有（ ）
A．纯音乙的响度与ω无关
B．纯音乙的音调与ω无关
C．若复合音甲的音调比纯音乙的音调低沉，则
D．复合音甲的响度与纯音乙的响度一样大
【答案】AC
【分析】对于A，判断纯音乙函数的最大值是否为定值即可；对于B，判断纯音乙函数的周期是否为定值即可；对于C，只需复合音甲函数的周期更大即可，列出不等式计算并判断；对于D，可以发现，但不能取等，由此即可判断.
【详解】由题意，
设的最小正周期为，则，
所以，故，故，
当时，有，从而的最小正周期为，
对于A，由于纯音乙的最大值，即其最大值不变，所以纯音乙的响度与ω无关，故A正确；
对于B，对于纯音乙函数而言，其周期满足，所以纯音乙的音调与ω有关，故B错误；
对于C，若复合音甲的音调比纯音乙的音调低沉，则复合音甲函数的周期要更大，即，解得，故C正确；
对于D，，但不能同时取等，
所以，即，所以复合音甲的响度比纯音乙的响度小，故D错误.
故选：AC.
变式5.（2023上·河北衡水·高三校考阶段练习）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．位于山东省潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱．开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面145米，匀速转动一周大约需要30分钟．当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中），则 （m）．
【答案】52
【分析】建立适当的坐标系，结合题意求出相应的参数即可得函数表达式，进一步代入求值即可.
【详解】以摩天轮轮盘圆心为原点，互相垂直的水平、竖直方向分别为轴建立直角坐标系，如图所示：
点为轮盘上距离地面最近的位置，
当时，游客甲坐上摩天轮的座舱，即，所以满足题意,
因为轮盘直径为124，所以，
因为最高点距离地面145米，所以，解得，
而匀速转动一周大约需要30分钟，所以，
所以，.
故答案为：52.
题型三：三角函数在几何中的应用
例3.（2024高一课堂练习）如图所示，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，－），角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为（ ）
【答案】C
【解析】因为P0（，－），所以∠P0Ox=－．因为角速度为1，所以按逆时针旋转时间t后，得∠POP0=t，所以∠POx=t－．由三角函数定义，知点P的纵坐标为2sin，因此d=2．令t=0，则d=2=．当t=时，d=0．故选C．
变式1.（2024高一课堂练习）如图，在扇形OPQ中，半径OP=1，圆心角，C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形.记，求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积.
【答案】时，矩形的面积，最大面积为
【分析】
由题意可得，，从而可得矩形的面积为，再由可得，由此可得时，取得最大值
【详解】
在中，，，
在中，，
所以，
所以，
设矩形的面积为，则
，
由，得，所以当，即时，
，
因此，当时，矩形的面积，最大面积为，
【点睛】
关键点点睛：此题考查三角函数的应用，解题的关键是将四边形的面积表示为，再利用三角函数的性质可求得其最大值，属于中档题
变式2.（2023上·福建福州·高三福建省福州华侨中学校考阶段练习）如图所示，是一声边长为米的正方形地皮，其中是一半径为米的扇形草地，是弧上一点，其余部分都是空地，现开发商想在空地上建造一个有两边分别落在和上的长方形停车场．
(1)设，长方形的面积为S，试建立S关于的函数关系式；
(2)当为多少时，S最大，并求最大值．
【答案】(1)，．
(2)时，面积最大为
【分析】（1）利用三角函数定义，结合图形直接表示即可；
（2）令换元，然后由二次函数性质可解.
【详解】（1）延长交于，设，
则，，
，．
，．
（2）设，
，知，，，
．
当，即时，有最大值．
答：长方形停车场面积的最大值为平方米．
题型四：利用数据建立拟合函数模型
例4.（2023·高一课时练习）海水受日月的引力，在一定的时候发生潮涨潮落，船只一般涨潮时进港卸货，落潮时出港航行，某船吃水深度（船底与水面距离）为米，安全间隙（船底与海底距离）为米，该船在开始卸货，吃水深度以米/小时的速度减少，该港口某季节每天几个时刻的水深如下表所示，若选择（）拟合该港口水深与时间的函数关系，则该船必须停止卸货驶离港口的时间大概控制在（ ）（要考虑船只驶出港口需要一定时间）
时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00
水深（米） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
A．至 B．至
C．至 D．至
【答案】C
【分析】根据题意，求出函数的表达式为，即可得解.
【详解】由题意得，函数的周期为，振幅，所以，
又因为达到最大值，
所以由，可得，
所以，所以函数的表达式为，
令，解得，所以在可安全离港，
故选：C
变式1.（2023下·四川雅安·高一雅安中学校考阶段练习）某企业一天中不同时刻的用电量（万千瓦时）关于时间（小时）的函数近似满足（，，）．如图是函数的部分图象对应凌晨0点）．
(1)根据图象，求，，，的值；
(2)由于当地冬季雾霾严重，从环保的角度，既要控制火力发电厂的排放量，电力供应有限，又要控制企业的排放量，于是需要对各企业实行分时拉闸限电措施．已知该企业某日前半日能分配到的供电量（万千瓦时）与时间（小时）的关系可用线性函数模型（）拟合．当供电量小于该企业的用电量时，企业就必须停产．初步预计这一时刻处在中午11点到12点间，为保证该企业即可提前准备应对停产，又可尽量减少停产时间，请从这个初步预计的时间段开始，用二分法将这一时刻所处的时间段精确到15分钟．
【答案】(1),,,
(2)
【分析】（1）根据函数图象，结合函数的周期，以及最值即可求得参数；
（2）由（1）可得函数解析式，令，判断其单调性，结合零点存在定理，即可判断停产时刻的范围，利用二分法即可求得答案.
【详解】（1）由函数图象知，∴，
，
，代入，得，
则,又,
综上，,,, .
（2）由（1）知,
令，
设，则为该企业的停产时间．
当时，，则在上单调递增，
而（）为减函数，
故在上是单调递增函数．
由，
又，
则，即11点到11点30分之间（大于15分钟），
又，
则，即11点15分到1点30分之间（正好15分钟），
故估计在11点15分到11点30分之间的时间段停产．
变式2.（2023下·江西景德镇·高一统考期中）“八月十八潮，壮观天下无．”——苏轼《观浙江涛》，该诗展现了湖水涨落的壮阔画面，某中学数学兴趣小组进行潮水涨落与时间的关系的数学建模活动，通过实地考察某港口水深y（米）与时间（单位：小时）的关系，经过多次测量筛选，最后得到下表数据：
t（小时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y（米） 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.1
该小组成员通过查阅资料、咨询老师等工作，以及现有知识储备，再依据上述数据描成曲线，经拟合，该曲线可近似地看成函数图象．
(1)试根据数据表和曲线，求出近似函数的表达式；
(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度（船底与水面的距离）为8米，请你运用上面兴趣小组所得数据，结合所学知识，给该船舶公司提供安全进此港时间段的建议．
【答案】(1)；
(2)请在1：00至5：00和13：00至17：00进港是安全的.
【分析】（1）根据数据,画出散点图、连线，结合正弦型函数的性质进行求解即可；
（2）根据正弦型函数的单调性进行求解即可.
【详解】（1）画出散点图，连线如下图所示：
设，根据最大值13，最小值7，可列方程为：，
再由，得，
；
（2）．
∵，
∴，
∴，或
解得，或，
所以请在1：00至5：00和13：00至17：00进港是安全的．
变式3.（2023上·福建福州·高一）下表是某地一年中10天测量得白昼时间统计表（时间近似0.1小时，一年按365天计）．
日期 1月1日 2月28日 3月21日 4月27日 5月6日 6月21日 8月13日 9月20日 10月25日 12月21日
日期位置序号 1 59 80 117 126 172 225 268 298 355
白昼时间（小时） 5.6 10.2 12.4 16.4 17.3 19.4 16.4 12.4 8.5 5.4
（1）以日期在365一天中得位置序号为横坐标，白昼时间为纵坐标，在给定的坐标中，试选用一个形如的函数来近似描述一年中，白昼时间与日期位置序号之间的函数关系；
（2）用（1）中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时．
【答案】（1），，；（2）121（或122）天
【解析】（1）由散点图知白昼时间与日期序号之间的
函数关系式近似，
由图形知函数的最大值为19.4，最小值为5.4，即，，
所以，，又，所以，
当时， ，所以，
所以，，．
（2）因为，所以，
所以，所以，
即，解得，
所以该地区有121（或122）天白昼时间．
【方法技巧与总结】
在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需以下几个步骤
(1)根据原始数据，绘出散点图；
(2)通过散点图，做出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线；
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．
一、单选题
1．（2023上·全国·高一专题练习）甲、乙两人从直径为的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿水池做匀速圆周运动，已知甲的速度是乙的速度的两倍，乙绕水池一周停止运动，若用表示乙在某时刻旋转角的弧度数，表示甲、乙两人的直线距离，则的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意分析，当时两人相遇，再根据距离一定非负，即可得到答案.
【详解】甲的速度是乙的速度的两倍，
由题意知当时，两人相遇，排除A，C，两人的直线距离大于等于零，排除D.
故选：B.
2．（2024上·全国·高一专题练习）某同学用“五点法”画函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）在一个周期内简图时，列表如下：
ωx＋φ 0 π 2π
x
y 0 2 0 －2 0
则有（　　）
A．A＝2，ω＝，φ＝0 B．A＝2，ω＝3，φ＝
C．A＝2，ω＝3，φ＝－ D．A＝1，ω＝2，φ＝－
【答案】C
【分析】利用函数的最值确定A，利用函数的周期确定ω的值，利用函数的特殊点确定φ的值．
【详解】由表格得，，
∴.∴．
当x＝时，，∴．
故选：C.
3．（2022下·四川南充·高一四川省南充高级中学校考开学考试）健康成年人的收缩压和舒张压一般为90~139mmhg和60~89mmhg，心脏跳动时，血压在增加或减小，血压的最大值、最小值分别为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为120/80mmhg为标准值．设某人的血压满足函数式，其中为血压（mmhg），为时间（min）．给出以下结论：
①此人的血压在血压计上的读数为140/90mmhg ②此人的血压在健康范围内
③此人的血压已超过标准值 ④此人的心跳为80次/分
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据所给函数解析式及正弦函数的性质求出的取值范围，即可得到此人的血压在血压计上的读数，从而判断①②③，再计算出最小正周期，即可判断④.
【详解】因为某人的血压满足函数式，
又因为，所以，即，
即此人的血压在血压计上的读数为140/90mmhg，故①正确；
因为收缩压为mmhg，舒张压为mmhg，均超过健康范围，
即此人的血压不在健康范围内，故②错误，③正确；
对于函数，其最小正周期（min），
则此人的心跳为次/分，故④正确；
故选：C
4．（2023上·江苏泰州·高三泰州中学校考阶段练习）一半径为2m的水轮，水轮圆心O距离水面1m；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，且当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．如图所示，建立直角坐标系，将点P距离水面的高度h（单位：m）表示为时间t（单位：s）的函数，记，则（ ）

A．0 B．1 C．3 D．4
【答案】C
【详解】设，由三角函数的性质求解．
【分析】由题意设，则，，则，
当时，，取，
故，，，
故选：C
5．（2024·全国·模拟预测）半径为2m的圆盘边缘上有一个质点M，它的初始位置为．圆盘按逆时针方向做匀速圆周运动，其角速度为．如图，以圆盘圆心O为原点，建立平面直角坐标系，且，则点M的横坐标x关于时间t（单位：s）的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设点M的横坐标x关于时间 （单位： 的函数关系式为，求出的值，时，射线OM可视角的终边，结合三角函数的定义可得出函数解析式．
【详解】设点M的纵坐标关于时间 （单位：的函数关系式为，
由题意可得，，
时，射线可视角的终边，则．
故选：D．
6．（2024上·北京密云·高一统考期末）如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点，其对应的方程为（，其中为不超过的最大整数，）.若该葫芦曲线上一点到轴的距离为，则点到轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将代入解析式得到，得到解析式，代入求出答案.
【详解】将代入中得，
，即，
因为，所以，所以，解得，
故，
当时，.
故选：D
7．（2024上·湖北恩施·高二利川市第一中学校联考期末）如图，这是一半径为的水轮示意图，水轮圆心距离水面，已知水轮每逆时针转动一圈，若当水轮上点从水中浮出时（图中点）开始计时，则（ ）
A．点距离水面的高度与之间的函数关系式为
B．点第一次到达最高点需要
C．在水轮转动的一圈内，有的时间，点距离水面的高度不低于
D．当水轮转动时，点在水面下方，距离水面
【答案】D
【分析】根据条件，写出点的高度和时间的关系式，再逐项判断对错.
【详解】因为从开始计时，所以水轮的高度和时间的函数关系式为：.
当第一次到达最高点，由，即第一次到达最高点需要；
由，，.
即水轮转动的一圈内，有的时间，点距离水面的高低不低于.
当时，.
故选：D
8．（2024上·安徽阜阳·高一统考期末）如图是杭州第19届亚运会的会徽“潮涌”，将其视为一扇面，若的长为的长为，则扇面的面积为（ ）

A．190 B．192 C．380 D．384
【答案】D
【分析】根据题意设，构造方程组，求出，进而求出扇形面积.
【详解】如图，设，由题意可知解得，扇面的面积为.
故选：D.

9．（2024上·江苏连云港·高一统考期末）人的心脏跳动时，血压在增加或减少.若某人的血压满足函数式，其中为血压（单位：），为时间（单位：），则此人每分钟心跳的次数为（ ）
A．50 B．70 C．90 D．130
【答案】B
【分析】根据频率公式进行计算.
【详解】由题意得，此人每分钟心跳的次数为.
故选：B
10．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）水车是古老黄河的文化符号，是我国劳动人民智慧的结晶，是最早的自动灌溉系统．黄河边上的一架水车直径为16米，入水深度4米，为了计算水车的旋转速度，某人给刚出水面的一个水斗（图中点A）做上记号，经过60秒该水斗到达水车最顶端（图中点B），再经过11分20秒，做记号的水斗与水面的距离为n米，则n所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】理解题意，可列出时间x（分钟）后距离水面高度y满足关系，从而可将代入即可得出结论.
【详解】以水面与水车的交线为x轴，过水车轴垂直水面的直线为y轴建立平面直角坐标系，水斗从A转到B，则转过的角为，从点B开始，记水斗经过时间x（分钟）后距离水面高度y满足关系；，又当分钟时，．
故选：B．
11．（2023上·江苏淮安·高三校联考期中）如图，是轮子外边沿上的一点，轮子的半径为0.5（单位：）.若轮子从图中位置向右匀速无滑动滚动，设当滚动的水平距离为（单位：）时，点距离地面的高度为（单位：），则下列说法中正确的是（ ）
A．当时，点恰好位于轮子的最高点
B．，其中
C．当时，点距离地面的高度在下降
D．若，，则的最小值为
【答案】B
【分析】根据条件，求出，再对各个选项逐一分析判断即可得出结果.
【详解】如图，过分别作地平线的垂线，垂足分别为，过作于，记，
又轮子的半径为0.5，则有，得到，
在中，，所以，
故，
对于选项A，当时，，所以选项A错误；
对于选项B，，所以选项B正确；
对于选项C，当时，，又，所以在区间上先减后增，故选项C错误；
对于选项D，由，得到，
由，得到或，，
又，当，时，满足，此时，故选项D错误，
故选：B.
12．（2023·江苏·高一专题练习）如图，质点在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，的角速度大小为，起点为射线与的交点．则当时，动点的纵坐标关于（单位：）的函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依题意可根据圆周运动规律求出动点的纵坐标关于（单位：）的函数，再由整体代换法即可求出单调增区间的表达式.
【详解】根据题意可设，
因为在单位圆上的角速度大小为，起点为射线与的交点，
所以，
所以动点的纵坐标关于（单位：）的函数，
由，得，
又因为，
所以，，，
所以该函数的单调递增区间是，，，.
故选：B
13．（2023上·山东烟台·高一校考期末）如图，直线与单位圆相切于点，射线从出发绕着点逆时针旋转，在此过程中，记，射线经过的单位圆内阴影部分的面积为，则对函数说法正确的是（ ）
A．当时，
B．，使得
C．对，都有
D．对，都有
【答案】D
【分析】根据题设可得且，结合图分析各项的正误.
【详解】如下图(OD与OP重合)，则阴影部分面积，且，
所以，A错；
由图知在旋转过程中阴影面积不断变大，不存在使得，B错；
当，则，C错；
，D对.
故选：D
14．（2024上·陕西榆林·高一统考期末）如图，一个大风车的半径是，每旋转一周，最低点离地面，若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点离地面的距离与时间之间的函数关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】建立平面直角坐标系，结合解直角三角形以及角速度求得P离地面的距离h与时间t之间的函数关系.
【详解】以最低点的切线作为 x轴，最低点作为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
风车上翼片端点P所在位置可由函数，来刻画，而且，
又设P的初始位置在最低点，即，
在中，，所以，
又，，，
则.
故选：A.
二、多选题
15．（2023上·湖北襄阳·高一校考期末）科学研究已经证实：人的智力、情绪和体力分别以33天、28天和23天为周期，均可按进行变化.记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，则（ ）
A．第35天时情绪曲线处于最高点
B．第322天时，情绪曲线E与体力曲线P都处于上升期
C．第46天到第50天时，体力曲线处于上升期
D．情绪曲线E与体力曲线都关于对称
【答案】ACD
【分析】设人的智力曲线、情绪曲线和体力曲线的解析式分别用表示，根据周期求出对应的解析式，然后利用正弦函数的最值、周期性、单调性及对称性可判断各选项.
【详解】设人的智力曲线、情绪曲线和体力曲线的解析式分别用表示，
所以 ，
A项：第天时，，故处于最高点，故A正确；
B项：322除以28余14，322除以23余0，此时情绪曲线处于周期处，所以出于下降期，体力曲线刚好位于起点处，处于上升期，故B错误；
C项：因为，所以，
因为，所以根据正弦函数的性质可得此时单调递增，故处于上升期，故C正确；
D项：因为，，
所以情绪曲线与体力曲线都关于对称，故D正确．
故选：ACD.
16．（2024上·陕西西安·高一统考期末）如图，天津永乐摩天轮有着“天津之眼”的美誉，也是世界上唯一一座建在桥上的摩天轮.以摩天轮某座舱距离地面高度的最小值处为初始位置，摩天轮（匀速转动）的转动时间（单位：分钟）与座舱距离地面的高度（单位：米）的函数关系式为，，，且开始转动5分钟后，座舱距离地面的高度为37.5米，转动10分钟后，座舱距离地面的高度为92.5米，则（ ）
A．
B．该摩天轮转动一圈所用的时间为30分钟
C．
D．该摩天轮座舱距离地面的最大高度为120米
【答案】BCD
【分析】由即可求出，结合周期，即可求解.
【详解】依题知，则，
因为，所以，A错误；
由，则周期为，
则该摩天轮转动一周需30分钟，B正确；
，由，
可得，故座舱距离地面的最大高度为，CD正确.
故选：BCD
17．（2024上·福建泉州·高一统考期末）生物研究小组观察发现，某地区一昆虫种群数量在8月份随时间（单位：日，）的变化近似地满足函数，且在8月1日达到最低数量700，此后逐日增长并在8月7日达到最高数量900，则（ ）
A．
B．
C．8月17日至23日，该地区此昆虫种群数量逐日减少
D．8月份中，该地区此昆虫种群数量不少于850的天数为13天
【答案】AD
【分析】根据题意可得函数最小正周期，即可求得，判断A；结合函数的最值可确定的值，判断B；结合函数的单调性以及周期，可判断C；根据函数最小值求出，可得函数解析式，由题意列出不等式，求得t的范围，结合k的取值，即可判断D.
【详解】不妨设8月1日时为，则设T为最小正周期，则，
即，A正确；
又，B错误；
因为函数的最小正周期为12，所以种群数量从8月13日至19日逐渐增加，
从8月19日至25日逐渐减少，C错误；
由以上分析可知，
当时，y取到最小值100，即，
故，
则，
令，则，
则，即，
故或或，共13天，D正确，
故选：AD
18．（2024上·吉林·高一统考期末）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．已知某港口水深（单位：）与时间（单位：）从时的关系可近似地用函数来表示，函数的图象如图所示，则（ ）
A．
B．函数的图象关于点对称
C．当时，水深度达到
D．已知函数的定义域为，有个零点，则
【答案】ACD
【分析】根据图象的最值求出，再根据图象得到其周期则得到，代入最高点求出，则得到三角函数解析式，则判断A，再结合其对称性即可判断B，代入计算即可判断C，利用整体法和其对称性即可判断D.
【详解】对A，由图知，，，；
的最小正周期，；
，，解得：，
又，，，故A正确；
对B，令，，解得，，当时，，
则，则函数的图象关于点对称，故B错误；
对C，，故C正确；
对D，，则，令，
则，令，则根据图象知两零点关于直线，
则，即，则，则，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用三角函数模型结合图象求出其解析式，再根据其对称性等性质逐项分析即可.
三、填空题
19．（2023下·黑龙江·高一富锦市第一中学校考阶段练习）水车（如图1）是一种圆形灌溉工具，它是古代中国劳动人民充分利用水力发展出来的一种运转机械.根据文献记载，水车大约出现于东汉时期.水车作为中国农耕文化的重要组成部分，体现了中华民族的创造力，为水利研究史提供了见证.图2是一个水车的示意图，它的半径为2m，其中心（即圆心）O距水面1m.如果水车每60s逆时针转1圈，在水车轮边缘上取一点P，我们知道在水车匀速转动时，P点距水面的高度h（单位：m）是一个变量，它是关于时间t（单位：s）的函数.为了方便，不妨从P点位于水车与水面交点Q时开始计时，则我们可以建立函数关系式（其中，，）来反映h随t变化的周期规律.

则 .
【答案】
【分析】根据题意结合正弦函数的性质运算求解.
【详解】由题意可知：点P距水面的高度h的最大值为3，最小值为，
则，解得；
又因为，即，
且，可得；
又因为旋转一周用时秒，即的最小正周期为，
且，可得，所以.
故答案为：.
20．（2024·安徽池州·池州市第一中学校联考模拟预测）筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有多年的历史如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为米的筒车按逆时针方向做每分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心距离水面的高度为米，设筒车上的某个盛水筒的初始位置为点（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，分钟时，该盛水筒距水面距离为，则 .
【答案】3
【分析】由题意得，，，又时，，代入求值，得到，求出函数解析式，求出答案.
【详解】由题意得，又，故，
且，解得，
故，
当时，，即，，
又，解得，
故，
所以
.
故答案为：3
21．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）如图，一根绝对刚性且长度不变 质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏.让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动，沙漏摆动时离开平衡位置的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系，若函数在区间上的最大值为，最小值为，则的最小值为 .

【答案】
【分析】根据题意求得，由区间的区间长度个周期，分区间在同一个单调区间和不同一个单调区间，两种情况讨论，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】由函数的图象，可得，解得，所以，
又由，可得，解得
因为，所以，所以，
由区间的区间长度为，即区间长度为个周期，
当区间在同一个单调区间时，不妨设，可得
则，
因为，可得，当或时，取最小值；
当区间在不同一个单调区间时，不妨设，可得，
此时函数在上先增后减，此时，
不妨设，则
，
.
综上可得，最小值为.
故答案为：.
22．（2023上·江苏淮安·高一统考期末）近年来，淮安市依托地方资源优势，用风能等清洁能源替代传统能源，因地制宜实施新能源项目，在带来了较好经济效益的同时，助力了本地农户增收致富．目前利用风能发电的主要手段是风车发电．如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风车，塔高90米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每6秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点（此时P离地面50米）．设点P转动t（秒）后离地面的距离为S（米），则S关于t的函数关系式为 ，叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于70米的时长为 秒．

【答案】 4
【分析】（1）由题意，根据物理意义，结合三角函数定义得，待定系数即可；
（2）解不等式即得.
【详解】（1）由题意，塔高即风车中心距地面的高度，风车半径，
风车转动一圈为秒，则角速度，
如图，以风车中心为坐标原点，以与地面平行的直线为轴，建立直角坐标系，
设时，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点，设，
以为始边，为终边的角不妨取，
那么经过（秒）后，运动到点，
于是，以为始边，为终边的角为，
由三角函数定义知，
则，
所以.
（2）令，
所以,
所以.
当时，，
所以叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于70米的时长为4秒.
故答案为：；.

四、解答题
23．（2021·高一课时练习）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在ts时相对于平衡位置的高度h（单位：cm）由关系式确定．以t为横坐标，h为纵坐标，画出这个函数在一个周期的闭区间上的图象，并回答下列问题：

(1)小球在开始振动（即）时的位置在哪里？
(2)小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？
(3)经过多少时间小球往复运动一次？
(4)每秒钟小球能往复振动多少次？
【答案】(1)平衡位置上方处
(2)；
(3)秒
(4)次.
【分析】（1）根据函数的解析式，即可作出其一个周期上的图象，令，即可求得小球在开始振动（即）时的位置在哪里.
（2）根据函数的最大值和最小值，即可求得答案；
（3）求出函数的周期，即得答案；
（4）根据函数的频率为周期的倒数，即得答案.
【详解】（1）作出函数在一个周期的闭区间上的图象如图，

当时，即小球在开始振动（即）时的位置在处，即平衡位置上方处；
（2）的最大值为2，最小值为，
则小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是；
（3）由于，故经过小球往复运动一次；
（4）每秒钟小球能往复振动次.
24．（2023·全国·高一随堂练习）某地为发展旅游业，在旅游手册中给出了当地一年每个月的月平均气温表，根据图中提供的数据，试用近似地拟合出月平均气温y（单位：℃）与时间t（单位：月）的函数关系，并求出其周期和振幅，以及气温达到最大值和最小值的时间．（答案不唯一）

【答案】见详解.
【分析】根据三角函数的图象与性质计算即可.
【详解】不妨设，由图象可知时，，当时，，
结合图象可知，，，
又当时，，
不妨令，
故，周期为14，振幅为6，1月取得最小值15，8月取得最大值27.
25．（2024上·海南海口·高一海南中学校考期末）深圳别称“鹏城”，“深圳之光”摩天轮是中国之眼．游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色，摩天轮最高点距离地面高度为120米，转盘直径为110米，当游客坐上“深圳之光”摩天轮的座舱开始计时．开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30分钟．开始转动t分钟后距离地面的高度为米．
(1)经过t分钟后游客距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式；
(2)若游客在距离地面至少92.5米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？
【答案】(1)
(2)分钟
【分析】（1）根据最高、最低点距离地面高度计算出，根据转一周的时间计算出，再结合初始位置计算出，由此可求；
（2）化简，根据，求解出的范围，由此可知结果.
【详解】（1）由题意可知：摩天轮最高点距离地面，最低点距离地面，所以，所以，
又因为转一周大约需要，所以，
所以，
又因为，所以且，所以，
所以；
（2）因为，
令，则，
又因为，所以，
所以，且分钟，
故摩天轮在运行一周的过程中，游客能有分钟最佳视觉效果.
26．（2023·全国·高一随堂练习）某昆虫种群数量1月1日低到700只，其数量随着时间变化逐渐增加，到当年7月1日高达900只，其数量在这两个值之间按正弦曲线规律改变．
(1)求出这种昆虫种群数量y（单位：只）关于时间t（单位：月）的函数解析式；
(2)画出这个函数的图象．
【答案】(1)
(2)图象见解析
【分析】（1）设函数表达式，结合三角函数的最值、最小正周期及特殊点代入即可得解；
（2）根据解析式列表作图即可.
【详解】（1）设，
由题意，解得，且，解得，
又因为当时，取最小值，
所以，即，
可取，所以；
（2）列表：
t 0 1 4 7 10 12
0
y 700 800 900 800
作出函数图象如下：

27．（2024上·广东·高一校联考期末）如图，一个半径为5米的筒车按逆时针每分钟转2圈，筒车的轴心距离水面的高度为2.5米.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：米）（在水面下为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：秒）之间的关系为.
(1)求的值；
(2)5分钟内，盛水筒在水面下的时间累计为多少秒？
【答案】(1)
(2)100
【分析】（1）根据最大值与最小值求出求的值，根据周期求出得值，根据特殊点求出的值；
（2）由（1）得，解三角不等式，即可求得5分钟内，盛水筒在水面下的时间.
【详解】（1）由图可知，的最大值为的最小值为，
则，
.
因为筒车按逆时针每分钟转2圈，所以，
所以.
当时，，所以，则，
因为，所以.
（2）由（1）得，
令，则，得，
则，
解得，
5分钟秒，则令，得，
故5分钟内，盛水筒在水面下的时间累计为秒.
28．（2023·全国·高一课堂例题）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般的早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面给出了某港口在某天几个时刻的水深.
时刻 水深/m 时刻 水深/m 时刻 水深/m
0:00 5.0 9:00 2.5 18:00 5.0
3:00 7.5 12:00 5.0 21:0 2.5
6:00 5.0 15:00 7.5 24:00 5.0
(1)选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出在整点时的水深的近似数值；
(2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m，安全条例规定至少要有1.5m的安全间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？
(3)若船的吃水深度为4m，安全间隙为1.5m，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3m的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
【答案】(1)，答案见解析
(2)该船在0:24至5:36和12:24至17:36期间可以进港
(3)6:42时，该船必须停止卸货，驶向较深的水域.
【分析】（1）考察数据，可选用正弦函数，再利用待定系数法求解；
（2）在涉及三角不等式时，可利用图象求解；
（3）表示出x时刻的吃水深度，结合题意得，利用图像，数形结合，即可求得答案.
【详解】（1）以时间为横坐标，以水深为纵坐标，在平面直角坐标系中作出对应的各点，
根据图象可考虑用函数近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，

则由已知数据结合图象可得，，，，
故.
由表中数据可知在0:00,6:00,9:00,12:00,15:00,18:00,21:00,24:00等时刻的水深分别是
5.0m,7.5m,5.0m,2.5m, 5.0m,7.5m,5.0m,2.5m, 5.0m；
在整点时的水深近似为；1:00，5:00，13:00，17:00为6.3m；
2:00，4:00，14:00，16:00为7.2m；
7:00，11:00，19:00，23:00为3.7m；8:00，10:00，20:00，22:00为2.8m.
（2）由，得，
画出的图象（如图），

由图象可得或.
故该船在0:24至5:36和12:24至17:36期间可以进港.
（3）若，x时刻的吃水深度为，
由，得.
画出和的图象（如上图），
由图象可知当时，即6:42时，该船必须停止卸货，驶向较深的水域.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)1.8 三角函数的简单应用4种常见考法归类
课程标准 学习目标
会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型． 通过本节课的学习，要求掌握常见的三角函数应用问题的处理方法，了解并掌握数学建模的方法与步骤，能处理与三角函数相结合的数学问题、物理问题及与之相关的其它学科与生产、生活有密切联系的问题.
知识点01函数y＝A sin (ωx＋φ)，A>0，ω>0中各参数的物理意义
【即学即练1】【多选】（2023上·广东东莞·高二校考期中）如图是某质点作简谐运动的部分图象，位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系式是（，，），则（ ）

A．该简谐运动的初相为 B．该简谐运动的周期为3
C．第4秒该质点的位移为 D．当时，位移随着时间的增大而减小
知识点02　三角函数模型应用的步骤
三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数值，进而使实际问题得到解决．
步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题．
这里的关键是建立数学模型，一般先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数解析式．
【即学即练2】（2024高一课堂练习）如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，0<φ<π)，则该函数的表达式为________．
【即学即练3】（2023下·贵州遵义·高二校考阶段练习）弹簧振子的振动是简谐振动.下表给出了振子在完成一次全振动的过程中的事件t与位移s之间的测量数据，那么能与这些数据拟合的振动函数的解析式为（ ）
t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
s 0.1 10.3 1.7 20.0 17.7 10.3 0.1
A．， B．
C． D．，
【即学即练4】（2024高一课堂练习）下图是某简谐运动的图像.试根据图像回答下列问题：
（1）写出这个简谐运动的振幅 周期与频率
（2）从点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次往复运动？如果从点算起呢？
（3）写出这个简谐运动的函数表达式.
【即学即练5】（2024高一课堂练习）在图中，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距离平衡位置最远处时开始计时．则物体对平衡位置的位移x（单位：cm）和时间t（单位：s）之间的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
知识点03　三角函数模型的拟合应用
我们可以利用搜集到的数据，做出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．
三角函数应用模型的三种模式：
（1）给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题；
（2）给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数模型，再解决其他问题；
（3）搜集一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图象，求出可以近似表示变化规律的函数模型，进一步用函数模型来解决问题.
注：解答三角函数应用题应注意四点
(1)三角函数应用题的语言形式多为“文字语言、图形语言、符号语言”并用，阅读理解中要读懂题目所要反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，列出等量或不等量的关系．
(2)在建立变量关系这一关键步骤上，要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言并用的思维方式来打开思想解决问题．
(3)实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门学科的知识才能完成，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助解决问题．
(4)实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要用到计算机或计算器．
【即学即练6】（2024高一课堂练习）已知某海滨浴场的海浪高度是时间t(h)的函数，记作y＝f(t)．下表是某日各时的浪高数据.
t(h) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(m) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b.
（1）根据以上数据，求出函数y＝Acosωt＋b的最小正周期T、振幅A及函数表达式；
（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8时到晚上20时之间，有多长时间可供冲浪者进行运动？
【即学即练7】（2023·高一课时练习）某港口水深（米是时间（，单位：小时）的函数，下表是水深数据：
（小时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24
（米 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图象.

(1)试根据数据表和曲线，求出的表达式；
(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）
题型一：三角函数模型在物理中的应用
例1.（2024高一课堂练习）电流强度I（单位：安）随时间t（单位：秒）变化的函数I=Asin（ωt＋φ）的图象如图所示，则当t=秒时，电流强度是（ ）
A．－5安 B．5安
C．5安 D．10安
变式1.（2024高一课堂练习）某弹簧振子做简谐振动，其位移函数为，其中表示振动的时间，表示振动的位移，当时，该振子刚好经过平衡位置（平衡位置即位移为0的位置）5次，则在该过程中该振子有（ ）次离平衡位置的距离最远．
A．3 B．2 C．5 D．5或6
变式2.（2023上·江苏南京·高三统考阶段练习）智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为，初相位为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
变式3.（2023上·江苏南京·高三统考阶段练习）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度单位：由关系式确定以为横坐标，为纵坐标，下列说法错误的是（ ）
A．小球在开始振动即时的位置在
B．小球的最高点和最低点与平衡位置的距离均为
C．小球往复运动一次所需时间为
D．每秒钟小球能往复振动次
变式4.（2024高一课堂练习）弹簧挂着的小球做上下振动，它在时间t(s)内离开平衡位置(静止时的位置)的距离h(cm)由下面的函数关系式表示：.
（1）求小球开始振动的位置；
（2）求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位置；
（3）经过多长时间小球往返振动一次
（4）每秒内小球能往返振动多少次
【方法技巧与总结】
处理物理学问题的策略
(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性．
(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．
题型二：三角函数在生活中的应用
例2.（2024高一课堂练习）如图，某海港一天从的水位高度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数．
（1）求该函数的解析式；
（2）若该海港在水位高度不低于时为轮船最佳进港时间，那么该海港在，轮船最佳进港时间总共多少小时？
变式1.【多选】（2023上·湖北恩施·高三校考期中）车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数单位：辆上班高峰期某十字路口的车流量由函数给出，的单位是，则下列时间段中车流量是增加的是（ ）
A． B． C． D．
变式2.【多选】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）血压(blood pressure，BP)是指血液在血管内流动时作用于单位面积血管壁的侧压力，它是推动血液在血管内流动的动力．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压．在未使用抗高血压药的前提下，18岁以上成人的收缩压≥140 mmHg或舒张压≥90 mmHg，则说明该成人有高血压．设从未使用抗高血压药的陈华今年45岁，从某天早晨6点开始计算(即早晨6点时，t=0)，他的血压p（t）(mmHg)与经过的时间t（h）满足关系式，则（ ）
A．当天早晨6~7点，陈华的血压逐渐上升
B．当天早晨9点时陈华的血压为125 mmHg
C．当天陈华没有高血压
D．当天陈华的收缩压与舒张压之差为40 mmHg
变式3.（2024高一课堂练习）心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin 160πt，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：
（1）求函数p(t)的周期；
（2）求此人每分钟心跳的次数；
（3）画出函数p(t)的草图；
（4）求出此人的血压在血压计上的读数．
变式4.【多选】（2023上·江苏南京·高二统考期中）声音是由物体的振动产生的声波，一个声音可以是纯音或复合音，复合音由纯音合成，纯音的函数解析式为.设声音的函数为,音的响度与的最大值有关，最大值越大，响度越大；音调与的最小正周期有关，最小正周期越大声音越低沉．假设复合音甲的函数解析式是，纯音乙的函数解析式是，则下列说法正确的有（ ）
A．纯音乙的响度与ω无关
B．纯音乙的音调与ω无关
C．若复合音甲的音调比纯音乙的音调低沉，则
D．复合音甲的响度与纯音乙的响度一样大
变式5.（2023上·河北衡水·高三校考阶段练习）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．位于山东省潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱．开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面145米，匀速转动一周大约需要30分钟．当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中），则 （m）．
题型三：三角函数在几何中的应用
例3.（2024高一课堂练习）如图所示，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，－），角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为（ ）
变式1.（2024高一课堂练习）如图，在扇形OPQ中，半径OP=1，圆心角，C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形.记，求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积.
变式2.（2023上·福建福州·高三福建省福州华侨中学校考阶段练习）如图所示，是一声边长为米的正方形地皮，其中是一半径为米的扇形草地，是弧上一点，其余部分都是空地，现开发商想在空地上建造一个有两边分别落在和上的长方形停车场．
(1)设，长方形的面积为S，试建立S关于的函数关系式；
(2)当为多少时，S最大，并求最大值．
题型四：利用数据建立拟合函数模型
例4.（2023·高一课时练习）海水受日月的引力，在一定的时候发生潮涨潮落，船只一般涨潮时进港卸货，落潮时出港航行，某船吃水深度（船底与水面距离）为米，安全间隙（船底与海底距离）为米，该船在开始卸货，吃水深度以米/小时的速度减少，该港口某季节每天几个时刻的水深如下表所示，若选择（）拟合该港口水深与时间的函数关系，则该船必须停止卸货驶离港口的时间大概控制在（ ）（要考虑船只驶出港口需要一定时间）
时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00
水深（米） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
A．至 B．至
C．至 D．至
变式1.（2023下·四川雅安·高一雅安中学校考阶段练习）某企业一天中不同时刻的用电量（万千瓦时）关于时间（小时）的函数近似满足（，，）．如图是函数的部分图象对应凌晨0点）．
(1)根据图象，求，，，的值；
(2)由于当地冬季雾霾严重，从环保的角度，既要控制火力发电厂的排放量，电力供应有限，又要控制企业的排放量，于是需要对各企业实行分时拉闸限电措施．已知该企业某日前半日能分配到的供电量（万千瓦时）与时间（小时）的关系可用线性函数模型（）拟合．当供电量小于该企业的用电量时，企业就必须停产．初步预计这一时刻处在中午11点到12点间，为保证该企业即可提前准备应对停产，又可尽量减少停产时间，请从这个初步预计的时间段开始，用二分法将这一时刻所处的时间段精确到15分钟．
变式2.（2023下·江西景德镇·高一统考期中）“八月十八潮，壮观天下无．”——苏轼《观浙江涛》，该诗展现了湖水涨落的壮阔画面，某中学数学兴趣小组进行潮水涨落与时间的关系的数学建模活动，通过实地考察某港口水深y（米）与时间（单位：小时）的关系，经过多次测量筛选，最后得到下表数据：
t（小时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y（米） 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.1
该小组成员通过查阅资料、咨询老师等工作，以及现有知识储备，再依据上述数据描成曲线，经拟合，该曲线可近似地看成函数图象．
(1)试根据数据表和曲线，求出近似函数的表达式；
(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度（船底与水面的距离）为8米，请你运用上面兴趣小组所得数据，结合所学知识，给该船舶公司提供安全进此港时间段的建议．
变式3.（2023上·福建福州·高一）下表是某地一年中10天测量得白昼时间统计表（时间近似0.1小时，一年按365天计）．
日期 1月1日 2月28日 3月21日 4月27日 5月6日 6月21日 8月13日 9月20日 10月25日 12月21日
日期位置序号 1 59 80 117 126 172 225 268 298 355
白昼时间（小时） 5.6 10.2 12.4 16.4 17.3 19.4 16.4 12.4 8.5 5.4
（1）以日期在365一天中得位置序号为横坐标，白昼时间为纵坐标，在给定的坐标中，试选用一个形如的函数来近似描述一年中，白昼时间与日期位置序号之间的函数关系；
（2）用（1）中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时．
【方法技巧与总结】
在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需以下几个步骤
(1)根据原始数据，绘出散点图；
(2)通过散点图，做出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线；
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．
一、单选题
1．（2023上·全国·高一专题练习）甲、乙两人从直径为的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿水池做匀速圆周运动，已知甲的速度是乙的速度的两倍，乙绕水池一周停止运动，若用表示乙在某时刻旋转角的弧度数，表示甲、乙两人的直线距离，则的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024上·全国·高一专题练习）某同学用“五点法”画函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）在一个周期内简图时，列表如下：
ωx＋φ 0 π 2π
x
y 0 2 0 －2 0
则有（　　）
A．A＝2，ω＝，φ＝0 B．A＝2，ω＝3，φ＝
C．A＝2，ω＝3，φ＝－ D．A＝1，ω＝2，φ＝－
3．（2022下·四川南充·高一四川省南充高级中学校考开学考试）健康成年人的收缩压和舒张压一般为90~139mmhg和60~89mmhg，心脏跳动时，血压在增加或减小，血压的最大值、最小值分别为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为120/80mmhg为标准值．设某人的血压满足函数式，其中为血压（mmhg），为时间（min）．给出以下结论：
①此人的血压在血压计上的读数为140/90mmhg ②此人的血压在健康范围内
③此人的血压已超过标准值 ④此人的心跳为80次/分
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2023上·江苏泰州·高三泰州中学校考阶段练习）一半径为2m的水轮，水轮圆心O距离水面1m；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，且当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．如图所示，建立直角坐标系，将点P距离水面的高度h（单位：m）表示为时间t（单位：s）的函数，记，则（ ）

A．0 B．1 C．3 D．4
5．（2024·全国·模拟预测）半径为2m的圆盘边缘上有一个质点M，它的初始位置为．圆盘按逆时针方向做匀速圆周运动，其角速度为．如图，以圆盘圆心O为原点，建立平面直角坐标系，且，则点M的横坐标x关于时间t（单位：s）的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024上·北京密云·高一统考期末）如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点，其对应的方程为（，其中为不超过的最大整数，）.若该葫芦曲线上一点到轴的距离为，则点到轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024上·湖北恩施·高二利川市第一中学校联考期末）如图，这是一半径为的水轮示意图，水轮圆心距离水面，已知水轮每逆时针转动一圈，若当水轮上点从水中浮出时（图中点）开始计时，则（ ）
A．点距离水面的高度与之间的函数关系式为
B．点第一次到达最高点需要
C．在水轮转动的一圈内，有的时间，点距离水面的高度不低于
D．当水轮转动时，点在水面下方，距离水面
8．（2024上·安徽阜阳·高一统考期末）如图是杭州第19届亚运会的会徽“潮涌”，将其视为一扇面，若的长为的长为，则扇面的面积为（ ）

A．190 B．192 C．380 D．384
9．（2024上·江苏连云港·高一统考期末）人的心脏跳动时，血压在增加或减少.若某人的血压满足函数式，其中为血压（单位：），为时间（单位：），则此人每分钟心跳的次数为（ ）
A．50 B．70 C．90 D．130
10．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）水车是古老黄河的文化符号，是我国劳动人民智慧的结晶，是最早的自动灌溉系统．黄河边上的一架水车直径为16米，入水深度4米，为了计算水车的旋转速度，某人给刚出水面的一个水斗（图中点A）做上记号，经过60秒该水斗到达水车最顶端（图中点B），再经过11分20秒，做记号的水斗与水面的距离为n米，则n所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023上·江苏淮安·高三校联考期中）如图，是轮子外边沿上的一点，轮子的半径为0.5（单位：）.若轮子从图中位置向右匀速无滑动滚动，设当滚动的水平距离为（单位：）时，点距离地面的高度为（单位：），则下列说法中正确的是（ ）
A．当时，点恰好位于轮子的最高点
B．，其中
C．当时，点距离地面的高度在下降
D．若，，则的最小值为
12．（2023·江苏·高一专题练习）如图，质点在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，的角速度大小为，起点为射线与的交点．则当时，动点的纵坐标关于（单位：）的函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
13．（2023上·山东烟台·高一校考期末）如图，直线与单位圆相切于点，射线从出发绕着点逆时针旋转，在此过程中，记，射线经过的单位圆内阴影部分的面积为，则对函数说法正确的是（ ）
A．当时，
B．，使得
C．对，都有
D．对，都有
14．（2024上·陕西榆林·高一统考期末）如图，一个大风车的半径是，每旋转一周，最低点离地面，若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点离地面的距离与时间之间的函数关系是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
15．（2023上·湖北襄阳·高一校考期末）科学研究已经证实：人的智力、情绪和体力分别以33天、28天和23天为周期，均可按进行变化.记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，则（ ）
A．第35天时情绪曲线处于最高点
B．第322天时，情绪曲线E与体力曲线P都处于上升期
C．第46天到第50天时，体力曲线处于上升期
D．情绪曲线E与体力曲线都关于对称
16．（2024上·陕西西安·高一统考期末）如图，天津永乐摩天轮有着“天津之眼”的美誉，也是世界上唯一一座建在桥上的摩天轮.以摩天轮某座舱距离地面高度的最小值处为初始位置，摩天轮（匀速转动）的转动时间（单位：分钟）与座舱距离地面的高度（单位：米）的函数关系式为，，，且开始转动5分钟后，座舱距离地面的高度为37.5米，转动10分钟后，座舱距离地面的高度为92.5米，则（ ）
A．
B．该摩天轮转动一圈所用的时间为30分钟
C．
D．该摩天轮座舱距离地面的最大高度为120米
17．（2024上·福建泉州·高一统考期末）生物研究小组观察发现，某地区一昆虫种群数量在8月份随时间（单位：日，）的变化近似地满足函数，且在8月1日达到最低数量700，此后逐日增长并在8月7日达到最高数量900，则（ ）
A．
B．
C．8月17日至23日，该地区此昆虫种群数量逐日减少
D．8月份中，该地区此昆虫种群数量不少于850的天数为13天
18．（2024上·吉林·高一统考期末）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．已知某港口水深（单位：）与时间（单位：）从时的关系可近似地用函数来表示，函数的图象如图所示，则（ ）
A．
B．函数的图象关于点对称
C．当时，水深度达到
D．已知函数的定义域为，有个零点，则
三、填空题
19．（2023下·黑龙江·高一富锦市第一中学校考阶段练习）水车（如图1）是一种圆形灌溉工具，它是古代中国劳动人民充分利用水力发展出来的一种运转机械.根据文献记载，水车大约出现于东汉时期.水车作为中国农耕文化的重要组成部分，体现了中华民族的创造力，为水利研究史提供了见证.图2是一个水车的示意图，它的半径为2m，其中心（即圆心）O距水面1m.如果水车每60s逆时针转1圈，在水车轮边缘上取一点P，我们知道在水车匀速转动时，P点距水面的高度h（单位：m）是一个变量，它是关于时间t（单位：s）的函数.为了方便，不妨从P点位于水车与水面交点Q时开始计时，则我们可以建立函数关系式（其中，，）来反映h随t变化的周期规律.

则 .
20．（2024·安徽池州·池州市第一中学校联考模拟预测）筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有多年的历史如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为米的筒车按逆时针方向做每分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心距离水面的高度为米，设筒车上的某个盛水筒的初始位置为点（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，分钟时，该盛水筒距水面距离为，则 .
21．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）如图，一根绝对刚性且长度不变 质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏.让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动，沙漏摆动时离开平衡位置的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系，若函数在区间上的最大值为，最小值为，则的最小值为 .

22．（2023上·江苏淮安·高一统考期末）近年来，淮安市依托地方资源优势，用风能等清洁能源替代传统能源，因地制宜实施新能源项目，在带来了较好经济效益的同时，助力了本地农户增收致富．目前利用风能发电的主要手段是风车发电．如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风车，塔高90米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每6秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点（此时P离地面50米）．设点P转动t（秒）后离地面的距离为S（米），则S关于t的函数关系式为 ，叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于70米的时长为 秒．

四、解答题
23．（2021·高一课时练习）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在ts时相对于平衡位置的高度h（单位：cm）由关系式确定．以t为横坐标，h为纵坐标，画出这个函数在一个周期的闭区间上的图象，并回答下列问题：

(1)小球在开始振动（即）时的位置在哪里？
(2)小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？
(3)经过多少时间小球往复运动一次？
(4)每秒钟小球能往复振动多少次？
24．（2023·全国·高一随堂练习）某地为发展旅游业，在旅游手册中给出了当地一年每个月的月平均气温表，根据图中提供的数据，试用近似地拟合出月平均气温y（单位：℃）与时间t（单位：月）的函数关系，并求出其周期和振幅，以及气温达到最大值和最小值的时间．（答案不唯一）

25．（2024上·海南海口·高一海南中学校考期末）深圳别称“鹏城”，“深圳之光”摩天轮是中国之眼．游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色，摩天轮最高点距离地面高度为120米，转盘直径为110米，当游客坐上“深圳之光”摩天轮的座舱开始计时．开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30分钟．开始转动t分钟后距离地面的高度为米．
(1)经过t分钟后游客距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式；
(2)若游客在距离地面至少92.5米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？
26．（2023·全国·高一随堂练习）某昆虫种群数量1月1日低到700只，其数量随着时间变化逐渐增加，到当年7月1日高达900只，其数量在这两个值之间按正弦曲线规律改变．
(1)求出这种昆虫种群数量y（单位：只）关于时间t（单位：月）的函数解析式；
(2)画出这个函数的图象．
27．（2024上·广东·高一校联考期末）如图，一个半径为5米的筒车按逆时针每分钟转2圈，筒车的轴心距离水面的高度为2.5米.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：米）（在水面下为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：秒）之间的关系为.
(1)求的值；
(2)5分钟内，盛水筒在水面下的时间累计为多少秒？
28．（2023·全国·高一课堂例题）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般的早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面给出了某港口在某天几个时刻的水深.
时刻 水深/m 时刻 水深/m 时刻 水深/m
0:00 5.0 9:00 2.5 18:00 5.0
3:00 7.5 12:00 5.0 21:0 2.5
6:00 5.0 15:00 7.5 24:00 5.0
(1)选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出在整点时的水深的近似数值；
(2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m，安全条例规定至少要有1.5m的安全间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？
(3)若船的吃水深度为4m，安全间隙为1.5m，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3m的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
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