资源简介

1.7 正切函数10种常见考法归类
课程标准 学习目标
理解正切函数的定义，能画出它的图象，理解正切函数在上的性质． 通过本节课的学习，要求会运用正切函数的图象与性质解决与正切函数有关的周期、奇偶性、单调性及值域等问题.
知识点01正切函数的定义
根据函数的定义，比值是x的函数，称为x的正切函数，记作y＝tan x，其中定义域．
【即学即练1】（2024高一课堂练习）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为的定义域为，
所以由，解得，故选C．
【即学即练2】（2024高一课堂练习）求下列函数的定义域：
（1）函数y＝＋lg(1－tanx)；
（2）函数y＝tan(sinx)．
【解析】（1）要使函数有意义，应满足，∴，
∴，
∴kπ－≤x故函数y＝＋lg(1－tanx)的定义域为[kπ－，kπ＋)k∈Z.
（2）∵对任意x∈R，－1≤sinx≤1，
∴函数y＝tan(sinx)总有意义，
故函数y＝tan(sinx)的定义域为R．
知识点02　正切函数的诱导公式
tan (kπ＋α)＝tan α(k∈Z)
tan (－α)＝－tan α
tan (π＋α)＝tan α
tan (π－α)＝－tan α
tan ＝－
tan ＝．
注：(1)正切函数的诱导公式可以用正、余弦函数诱导公式一样的方法记忆，即“奇变偶不变，符号看象限”．
(2)利用诱导公式求任意角的正切函数值的步骤与求任意角的正弦函数值、余弦函数值的步骤相同，都是依据“负化正，大化小，化为锐角再求值”，即由未知转化为已知的化归思想．
【即学即练3】（2023下·河南驻马店·高一校联考期中）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由正切的诱导公式计算．
【详解】．
故选：C．
【即学即练4】（2023下·山东·高一校联考阶段练习） ．
【答案】－1
【分析】利用诱导公式化简计算即可.
【详解】解：原式
故答案为：.
【即学即练5】（2023下·河北衡水·高一校考开学考试） .
【答案】
【分析】运用诱导公式计算.
【详解】
；
故答案为： .
【即学即练6】（2023上·江苏淮安·高一校考阶段练习）已知，求，的值.
【答案】，或，
【分析】根据三角函数诱导公式和同角三角函数关系直接计算即可.
【详解】因为，
所以，
当时，，
，则；
当时，，
，则；
综上所述，，或，
【即学即练7】（2024上·山西太原·高一统考期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，其终边经过点.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助三角函数的定义计算即可得；
（2）借助辅助角公式计算即可得.
【详解】（1）角终边经过点，，
；
（2）原式.
知识点03 正切函数的图象
利用正切线作出函数的图象（如图）．作法如下：
(1)作直角坐标系，并在y轴左侧作单位圆．
(2)把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线．
(3)描点．（横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线）
(4)连线．
根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，就可以得到正切函数，且的图象，我们把它叫做正切曲线(如图)．
正切曲线是被相互平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成的．
注：如何作正切函数的图象
(1)几何法
就是利用单位圆中的正切线来做出正切函数的图象，该方法作图较为精确，但画图时较烦琐．
(2)“三点两线”法
“三点”是指，(0，0)，；“两线”是指x＝－和x＝. 在“三点”确定的情况下，类似于“五点法”作图，可大致画出正切函数在上的简图，然后向左、右平移(每次平移π个单位长度)即可得到正切曲线．
【即学即练8】（2024高一课堂练习）在内，使成立的x的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】正切函数的图象和性质，结合正切函数的图象，可得使成立的x的取值范围．结合，可得使成立的x的取值范围为，故选：D．
【即学即练9】（2024高一课堂练习）设函数.
（1）求函数f(x)的最小正周期 对称中心；
（2）作出函数f(x)在一个周期内的简图.
【答案】（1）最小正周期，对称中心是；（2）答案见解析.
【分析】
（1）首先根据正切函数的周期公式即可得到函数的周期，再根据正切函数的对称中心即可得到函数的对称中心.
（2）根据函数的解析式得到的图象与轴的交点坐标为，图象上的、两点，再找到两侧相邻的渐近线方程，画出函数的图象即可.
【详解】
（1），，
令，，解得，，
故对称中心为.
（2）令，解得，
令，解得，
令，解得，
令，解得，
令，解得，
所以函数的图象与轴的一个交点坐标为，图象上的点有、两点，
在这个周期内左右两侧相邻的渐近线方程分别为和，从而得到函数在一个周期内的简图(如图).
【点睛】
本题主要考查正切函数的周期和对称中心，同时考查了正切函数的图象，关键点是找出图象上的点用描点法画图象，属于中档题.
【即学即练10】（2024高一课堂练习）作出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象求其最小正周期和单调区间．
【解析】y＝|tanx|＝，其图象如图所示．
由图象可知，函数y＝|tan x|的最小正周期T＝π，
单调增区间的(k∈Z)；单调减区间为(k∈Z)．
【名师点睛】要作出函数y＝|tan x|的图象，可先作出y＝tan x的图象，然后将其在x轴上方的图象保留，而将其在x轴下方的图象翻到上方(即作出其关于x轴对称的图象)，就可得到y＝|tan x|的图象．
知识点04 正切函数的性质
1．周期性
由诱导公式可知，，因此是正切函数的一个周期.
一般地，函数的最小正周期．
2．奇偶性
正切函数的定义域为，关于原点对称，由于
，因此正切函数是奇函数．
3．单调性和值域
单位圆中的正切线如下图所示．
利用单位圆中的正切线研究正切函数的单调性和值域，可得下表：
角x
正切线AT
增函数 增函数
由上表可知正切函数在，上均为增函数，由周期性可知正切函数的增区间为
．此外由其变化趋势可知正切函数的值域为或，因此正切函数没有最值．
【即学即练11】（2024高一课堂练习）函数的周期为__________．
【答案】
【解析】由题得函数的最小正周期为π，
函数就是把函数的图像在x轴上的保持不变，把x轴下方的图像对称地翻折到x轴上方，如图，
所以函数的周期为π．故答案为：π．
【即学即练12】（2024高一课堂练习）函数y＝－tan的单调递减区间为________________．
【答案】　(k∈Z)
【解析】　由－＋kπ<2x－<＋kπ(k∈Z)，得＋所以y＝－tan的单调递减区间为(k∈Z)．
【即学即练13】（2024高一课堂练习）下列点不是函数的图象的一个对称中心的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于函数的图象，令，求得
可得该函数的图象的对称中心为．结合所给的选项，A、C、D都满足.
【即学即练14】（2024高一课堂练习）已知函数y=3tan．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的定义域；
（3）说明此函数的图象是由y=tanx的图象经过怎样的变换得到的？
【答案】（1）；（2）；（3）见解析
【解析】（1）由题意得，函数的最小正周期．
（2）由，得．
所以原函数的定义域为．
（3）把函数图象上所有的点向右平移个单位长度，得函数y=tan的图象，
再将图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得函数y=tan的图象，
最后将图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），得函数y=3tan的图象．
【即学即练15】（2024高一课堂练习）已知函数．
（1）求的定义域；
（2）求的周期；
（3）求的单调递增区间．
【答案】（1）；（2）；（3），（）．
【解析】（1）由，可得：xkπ，即，
∴的定义域为；
（2）周期T，∴的周期为；
（3）由，可得：，．
∴单调增区间为，（）．
题型一：求函数的定义域
例1．（2023上·湖南株洲·高一校考阶段练习）函数的定义域为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据正切函数图象与性质，列出不等式，即可求解.
【详解】根据正切函数的性质，可得函数有意义，则满足，
所以函数的定义域为.
故选：C.
变式1．（2023下·内蒙古包头·高一统考期末）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据正切函数的定义域，利用整体思想，建立不等式，可得答案.
【详解】由题意可得：，解得，
函数的定义域为.
故选：A.
变式2．（2024上·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第十一中学校考期末）求函数的定义域 ．
【答案】
【分析】利用正切函数的定义，列出不等式求解即得.
【详解】函数有意义，则，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：
变式3．（2022上·浙江温州·高一统考期末）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．且
【答案】A
【分析】由题可得，即得.
【详解】由题可得，解得，
∴函数的定义域为.
故选：A.
变式4．（2022上·内蒙古赤峰·高一赤峰二中校考期末）函数的定义域为（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】利用正切函数图像可以得到结果.
【详解】由题意可得：，且，
即，
∴，．
故选：C．
变式5．（2019下·辽宁朝阳·高一校联考阶段练习）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的解析式可知，解即可求解.
【详解】由题意得：，故，
故，
即，.
故选：A
变式6．（2023上·全国·高一专题练习）函数的定义域是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据对数式中真数大于零，列出不等式，从而求解.
【详解】由题意得，
即，
所以，，
所以，，故B项正确.
故选:B.
【方法技巧与总结】
求正切函数定义域的方法
求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义即x≠＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．
题型二：利用正切函数诱导公式求值
例2．（2022下·辽宁·高一东港市第二中学校联考期中）的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用正切函数的诱导公式即可求解.
【详解】解：.
故选：A.
变式1．（2023·全国·高一专题练习） ．
【答案】/
【分析】由三角函数的诱导公式化简即可得出答案.
【详解】由三角函数的诱导公式，可得：
．
故答案为：.
变式2．（2022上·江苏南通·高一江苏省南通中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，点位于第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】D
【分析】运用诱导公式计算出P点坐标的符号就可判断出P点所在的象限.
【详解】 ， ，
在第四象限；
故选：D.
变式3．（2022上·黑龙江鸡西·高一鸡西市第四中学校考期末）下列选项中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式， “负化正，大化小，小到锐角” 思想角度转换，再确定对应对应三角函数值的符号即可.
【详解】解：对于A，
，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：C.
【方法技巧与总结】
给角求值，关键是利用诱导公式将任意角的三角函数值转化为锐角，通常是特殊角的三角函数值．
给值求值时，要注意分析已知角与未知角之间的内在关系，选择恰当的诱导公式求值．
题型三：利用正切函数的诱导公式化简
例3．（2023上·湖北襄阳·高一统考期末）已知，则 .
【答案】6
【分析】利用诱导公式求得的值，然后在所求分式的分子和分母中同时除以，可将所求分式转化为只含的代数式，代值计算即可.
【详解】由诱导公式可得，因此，.
故答案为：6.
变式1．（2023下·高一课时练习）已知，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先由的范围及同角三角函数的平方关系和商数关系得出，再根据诱导公式得出，由两角差的正切公式计算即可．
【详解】因为，
所以，
所以，
所以，
又因为，
所以，
所以，
故选：A．
变式2．（2022下·上海长宁·高一华东政法大学附属中学校考期中）化简： ．
【答案】
【分析】结合诱导公式与同角的商数关系进行化简整理即可.
【详解】
故答案为：.
变式3．（2023·高一单元测试）已知为第三象限角，且．
(1)化简并求；
(2)若，求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用诱导公式化简求得，再代入求值；
（2）先根据诱导公式求得的值，然后根据同角之间的关系求出的值，即可求解.
【详解】（1），
（2）因为，所以，
又因为是第三象限角，所以，
所以.
变式4（2022上·广东广州·高一广州市第九十七中学校考阶段练习）已知．
(1)化简,并求的值;
(2)若,且,求的值．
【答案】(1);
(2)
【分析】(1)先根据诱导公对进行化简,再将代入进算出结果即可;
(2)将代入可求,根据的正负及,可判断正负,从而判断正负,对平方再开方,代入即可得所求.
【详解】（1）解:由题知
,
;
（2）,,
,且,
,
故.
【方法技巧与总结】
用正切函数诱导公式化简、证明的总体原则：
(1)“切化弦”，函数名称尽可能化少．
(2)“大化小”，角尽可能化小．
题型四：正切函数的图象及应用
例4．（2024上·宁夏银川·高一银川二中校考期末）函数（）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数奇偶性排除不符合的两个选项，再根据的符号，即可得符合的函数图象.
【详解】因为函数（）
所以，则函数为偶函数，故排除A，C选项；
又，故排除D选项，故选B符合.
故选：B.
变式1．（2023上·广东·高一校联考期末）若函数的图象与直线没有交点，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正切函数的性质，代入求值.
【详解】函数的图象与直线没有交点．
若函数的图象与直线没有交点，
则，，,，
则的最小值为．
故选：C
变式2．（2023上·河北邢台·高一邢台市第二中学校联考阶段练习）当时，函数与函数的图象的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】C
【分析】作出函数在上的图象与在的图象即可得解.
【详解】作出函数在上的图象与在的图象，如图，
观察图象，得函数与函数的图象的交点个数为2.
故选：C
变式3．（2023·全国·高一随堂练习）方程的实数根个数是 ．
【答案】无数
【分析】作出函数与的图象，借助数形结合的方法即可得解.
【详解】函数的定义域为，
在每个区间是都单调递增，并且函数值集合为R，
在同一坐标系内作出函数与的图象，如图，

观察图象得，函数与的图象有无数个交点，
方程的实数根个数是无数个.
故答案为：无数
变式4．（2023上·全国·高一专题练习）借助函数的图象写出下列不等式或方程的解集：
(1)，；
(2)；
(3)；
(4)；
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】结合的图象，逐个分析不等式或方程的解即可.
【详解】（1）
由图象可知：不等式的解集为；
（2）
由图象可知：的解集为；
（3）
由图象可知：的解集为；
（4）
由图象可知：的解集为.
变式5．（2023·全国·高一随堂练习）在同一平面直角坐标系中，画出函数和，的图象，依据图象回答以下问题：
(1)写出这两个函数图象的交点坐标；
(2)写出使成立的x的取值范围；
(3)写出使成立的x的取值范围；
(4)写出使成立的x的取值范围；
(5)写出使这两个函数有相同的单调性的区间．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)，.
【分析】（1）（2）（3）（4）（5）在同一坐标系内作出两个函数的图象，再依次求出对应问题即可.
【详解】（1）在同一坐标系内，作出函数和，的图象，如图，

由图象知，两个函数的交点坐标为.
（2）由图象知，当或时，，
所以使成立的x的取值范围是.
（3）由图象知，当或或时，，
所以使成立的x的取值范围是.
（4）由图象知，当或时，，
所以使成立的x的取值范围是.
（5）由图象知，当时，两个函数都为增函数，当时，两个函数都为增函数，
所以使这两个函数有相同的单调性的区间是，.
【方法技巧与总结】
解决与正切函数图象有关的问题，必须熟练画出正切函数y＝tan x，x∈的图象，求自变量x的范围时，要注意是否包含端点值，切记正切函数的最小正周期为π.
题型五：正切函数的周期性问题
例5．（2024上·北京大兴·高一统考期末）函数的最小正周期等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用正切函数的周期公式计算即得.
【详解】函数的最小正周期.
故选：A
变式1．（2024上·贵州安顺·高一统考期末）函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正切函数的周期公式求解即可.
【详解】函数的最小正周期为.
故选：B
变式2．（2024上·山东聊城·高一统考期末）下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由三角函数周期性，奇偶性逐一判断每一选项即可求解.
【详解】对于A，是奇函数不满足题意，故A错误；
对于B，若，首先定义域为关于原点对称，
且，所以是偶函数，
又，所以是周期函数，故B正确；
对于C，画出函数的图象如图所示：
由此可知函数不是周期函数，故C错误；
对于D，若，则，所以不是偶函数，故D错误.
故选：B.
变式3．（2024上·河南南阳·高三方城第一高级中学校联考期末）已知是曲线与直线相邻的三个交点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得的最小正周期为1，根据的周期与的周期相等即可求解.
【详解】作出函数的图象如图所示，
不妨设，
可知的最小正周期，
的周期与的周期相等，
所以，解得．
故选:A.
变式4．（2024上·新疆巴音郭楞·高一新疆兵团第二师华山中学校考期末）函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则的值是 ．
【答案】8
【分析】由题知该函数的最小正周期为，利用正切函数的周期公式运算得解.
【详解】由题意知函数的最小正周期为，
∴．
故答案为：8.
变式5．（2023·广东·东莞市东华高级中学校联考一模）已知函数的最小正周期为，则 .
【答案】1
【分析】根据正切函数周期公式求解即可.
【详解】依题意，
整理得，解得.
故答案为：1.
变式6．（2023·宁夏银川·银川一中校考模拟预测）若，（），则（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【分析】是周期为3的周期函数，计算的值，由此能求出的值．
【详解】是周期为3的周期函数，
，，，
．
故选：B．
题型六：正切函数的奇偶性问题
例6．（2023·全国·高一随堂练习）判断下列函数的奇偶性：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)偶函数
(2)偶函数
(3)奇函数
(4)既不是奇函数，也不是偶函数
【分析】利用三角函数的性质与诱导公式，结合函数奇偶性的定义，即可得解.
【详解】（1）因为的定义域为，
又，
所以是偶函数.
（2）因为的定义域为，
又，
所以是偶函数.
（3）因为的定义域为，
又，
所以是奇函数.
（4）因为，
而
所以既不是奇函数，也不是偶函数.
变式1．（2022上·内蒙古赤峰·高一校考期末）函数是（ ）
A．周期为的偶函数 B．周期为的奇函数
C．周期为的偶函数 D．周期为的奇函数
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性、周期性确定正确答案.
【详解】由解得,
的定义域是，的定义域关于原点对称.
，所以是偶函数，
由此排除BD选项.
，所以的一个周期为，A选项正确.
，
所以不是的周期，所以C选项错误.
故选：A
变式2．（2023上·河南郑州·高一河南省实验中学校考阶段练习）已知，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】计算，，计算得到答案.
【详解】，则
.
故.
故选：A
变式3．（2023上·陕西·高三校联考阶段练习）已知函数，且，则（ ）
A． B． C．1 D．4
【答案】A
【分析】根据函数解析式的特点，结合奇函数的性质进行求解即可.
【详解】设，定义域为，关于原点对称，
则，故是奇函数，
从而，即，
即.
故选：A
变式4．（2023·四川达州·统考一模）已知函数，则的值为 .
【答案】
【分析】根据题意，由函数解析式代入计算，即可得到结果.
【详解】因为函数，
则
.
故答案为：
变式5．（2024·全国·模拟预测）若函数为奇函数，则（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【分析】分0在定义域内和0不在定义域内两种情况进行讨论即可求得答案.
【详解】若0在定义域内，由时，得，；
若0不在定义域内，由时，无意义，得．
综上，．
故选：C．
变式6．（2021上·河南开封·高三阶段练习）已知，则“函数的图象关于轴对称”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】求出函数的图象关于轴对称所满足的条件，和进行比较
【详解】关于轴对称，则关于原点对称，故，，故是可以推出，，但，推不出，故函数的图象关于轴对称是的必要不充分条件
故选：B
题型七：正切函数的对称性问题
例7．（2023上·陕西西安·高一统考期末）下列是函数的对称中心的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出函数的对称中心，逐个检验即可得出答案.
【详解】由可得，，
所以，函数的对称中心的是，.
对于A项，由，可得，故A项错误；
对于B项，由，可得，故B项错误；
对于C项，由，可得，故C项错误；
对于D项，由，可得，故D项正确.
故选：D.
变式1．（2024上·贵州毕节·高一统考期末）下列函数中，以点为对称中心的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由三角函数的对称性可知，C正确.
【详解】的对称中心为，A错误；
的对称中心为，B错误；
的对称中心为，C正确；
令，，不恒等于，
的图象不关于成中心对称，D错误，
故选：C．
变式2．（2024上·河北保定·高一统考期末）“”是“函数的图象关于原点中心对称”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据正切函数的性质可判断充分性成立，必要性不成立，即可.
【详解】当时，，
则其图象关于原点对称，故充分性成立，
当函数的图象关于原点中心对称时，
则，不一定成立，
则必要性不成立，
则“”是“函数的图象关于原点中心对称”的充分不必要条件，
故选：B.
变式3．（2024·全国·模拟预测）“函数的图象关于中心对称”是“”的 条件．
【答案】充分必要
【分析】先由函数的图象关于中心对称求得的值，再解方程求得的值，进而得到二者间的逻辑关系.
【详解】函数图象的对称中心为，
所以由“函数y=tanx的图象关于(x0,0)中心对称”等价于“”．
因为等价于，即．
所以“函数的图象关于中心对称”是“”的是充分必要条件．
故答案为：充分必要
变式4．（2024上·广东茂名·高一统考期末）已知函数，其最小正周期为，则的一个对称中心的坐标为 ．
【答案】，（答案不唯一，横坐标只需符合）
【分析】根据的性质，求函数的对称中心只需满足求解即可.
【详解】根据，得，则，
令，即，
所以．
故答案为：（答案不唯一，横坐标只需符合）
变式5．（2024·全国·高一专题练习）已知函数图象的一个对称中心为，则的值为 ．
【答案】或
【分析】由正切函数图象的对称中心求得的表达式，再结合其范围可得．
【详解】由，得．又，则或．
故答案为：或．
变式6．（2023下·湖北荆州·高一校联考期中）已知函数的图象关于点对称，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的对称中心，结合的范围，可得出，.代入，根据两角差的正切公式，即可得出答案.
【详解】因为的图象关于点对称，
所以，
所以.
因为，所以，即，
则.
故选：C.
题型八：正切函数的单调性问题
求函数的单调区间
例8．（2023下·四川眉山·高一仁寿一中校考阶段练习）函数的单调区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】单调区间满足，解得答案.
【详解】函数的单调区间满足：，
解得.
故选：D
变式1．（2023下·四川凉山·高一校联考期中）函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，由正切函数的单调区间，列出不等式，求解即可得到结果.
【详解】令，解得，
所以函数的单调递增区间为.
故选：C
变式2．（2023下·高一单元测试）函数的单调区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用诱导公式化简，再根据正切函数的性质计算可得.
【详解】因为，
令，，解得，，
所以函数的单调递减区间为.
故选：D.
变式3．（2022上·高一课时练习）已知函数，则（ ）
A．增区间为，
B．增区间为，
C．减区间为，
D．减区间为，
【答案】C
【分析】解，即可得出单调递减区间.
【详解】由解得
.
因此，函数的单调递减区间为，.
故选：C.
变式4．（2021下·高一课时练习）已知函数在内是减函数，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正切函数的图象与性质，列出不等式组，即可求解.
【详解】由函数在内是减函数，可得，
由，可得，
则，所以.
故选：B.
变式5．（2022·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）已知函数，若在区间内单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】转化为在区间内单调递增，根据正切函数的单调区间求出的单调递增区间，再根据区间是的单调递增区间的子集列式可求出结果.
【详解】因为在区间内单调递减，所以，在区间内单调递增，
由，，得，，
所以的单调递增区间为，，
依题意得，，
所以，，
所以，，
由得，由得，
所以且，
所以或，
当时，，又，所以，
当时，.
综上所述：.
故选：C.
比较大小
例9．（2024上·湖南·高一校联考期末）三个数，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分别借助三个函数、和的单调性思考问题，借助中间值判断即可.
【详解】函数中，所以函数在上单调递增，
则；
函数中，所以函数在上单调递减，
则；
函数在上单调递增，
则；
所以.
故选：B.
变式1．（2024上·河南开封·高一统考期末）若 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质即可比较大小.
【详解】因为，
所以，
又，，
所以.
故选：A
变式2．（2024上·内蒙古赤峰·高一统考期末）已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用指数函数、对数函数、正切函数的单调性，结合中间值法可得出、、的大小关系.
【详解】因为，，，故.
故选：D.
【方法技巧与总结】
求函数y＝A tan (ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法
①若ω>0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－<ωx＋φ②若ω<0，可利用诱导公式先把y＝A tan (ωx＋φ)转化为y＝A tan [－(－ωx－φ)]＝－A tan (－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．
题型九：正切函数的值域（最值）问题
例10．（2024上·宁夏银川·高一宁夏育才中学校考期末）函数在上的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】利用正切函数的单调性可得在处取得最小值.
【详解】由正切函数的单调性可知，在上为单调递增，
所以其最小值为.
故选：D
变式1．（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）函数，的值域为 .
【答案】
【分析】求出的取值范围，再结合二次函数的基本性质可求得结果.
【详解】令，，
因为函数在上单调递增，当时，，即，
又因为函数在上单调递增，
当时，，
所以，函数，的值域为.
故答案为：.
变式2．（2022下·安徽宿州·高一砀山中学校联考期中）函数，的值域为 ．
【答案】
【分析】由的范围求出的范围，再根据二次函数的性质即可得出答案.
【详解】因为，所以，
，
则当时，，
当时，，
所以函数的值域为.
故答案为：.
变式3．（2021·高一课时练习）已知在区间上的最大值为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出，再根据解方程即可.
【详解】因为，即，
又，所以，所以，
所以，．
故选：A．
变式4．（2023·四川自贡·统考一模）函数在的最大值为7，最小值为3，则ab为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据区间的定义以及的有界性确定的范围，然后再利用正切函数的单调性得到的单调性，再代入相应端点值及对应的最值得到相应的方程，解出即可.
【详解】，，，
根据函数在的最大值为7,最小值为3，
所以，即，根据正切函数在为单调增函数，
则，在上单调减函数，
，，
则，，，，
，
故选：B.
题型十：正切函数图象与性质的综合应用
例11．（2024上·湖北荆州·高一荆州中学校考期末）已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数周期为 B．函数在上为增函数
C．函数是偶函数 D．函数关于点对称
【答案】D
【分析】根据给定的函数，结合正切函数的图象、性质逐项判断即得.
【详解】对于A，由于，，因此，A错误；
对于B，当时，，则函数在区间上是减函数，B错误；
对于C，由于，因此函数是奇函数，不是偶函数，C错误；
对于D，，因此函数的图象关于对称，D正确，
故选：D.
变式1．（2024上·甘肃·高一统考期末）已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在区间上是增函数
C．函数的图象关于直线对称
D．函数是奇函数
【答案】C
【分析】根据给定的函数，结合正切函数的图象、性质逐项判断即得.
【详解】对于A，由于，，因此，A错误；
对于B，当时，，则函数在区间上是减函数，B错误；
对于C，，
因此函数的图象关于直线对称，C正确；
对于D，由于，因此函数是偶函数，不是奇函数，D错误.
故选：C
变式2．（2023上·江苏淮安·高三校考阶段练习）下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．图象关于点成中心对称 B．图象关于直线成轴对称
C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递增
【答案】A
【分析】根据正切函数的对称性、定义域、单调性逐项分析即可.
【详解】当时，，
所以是函数的对称中心，故A正确，B错误；
当时，，
则当时，函数无意义故C错误；
当时，，
则当时，函数无意义故D错误，
故选：A.
变式3．（2023·四川凉山·统考一模）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．图象关于直线对称 B．在上单调递增
C．最小正周期为 D．图象关于点对称
【答案】D
【分析】求出函数的解析式，再逐项判断即可.
【详解】依题意，，由，得，
即函数的定义域为，
对于A，，即函数是奇函数，
不是偶函数，其图象关于直线不对称，A错误；
对于B，0不在函数的定义域内，则函数在上不单调，B错误；
对于C，函数的最小正周期为，C错误；
对于D，，的图象关于点对称，D正确.
故选：D
【方法技巧与总结】
解答正切函数图象与性质问题时应注意的两点
(1)对称性：正切函数图象的对称中心是(k∈Z)，不存在对称轴．
(2)单调性：正切函数在每个(k∈Z)区间内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的．
一、单选题
1．（2024上·四川德阳·高一统考期末），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分段函数解析式特点，代入解析式求解即可.
【详解】.
故选：C
2．（2024上·福建莆田·高一莆田八中校联考期末）对任意且，函数的图象都过定点，且点在角的终边上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据指数函数的图象特点确定的图象所过定点坐标，结合正切函数的定义，即可求得答案.
【详解】对于函数，令，
故的图象过定点，
由于点在角的终边上，则，
故选：B
3．（2024上·河南商丘·高一统考期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据题意分别判断充分性，必要性从而可求解.
【详解】必要性：若，则，，故必要性不满足；
充分性：若，则，故充分性满足；
故“”是“”的充分不必要条件，故A正确.
故选：A.
4．（2024上·河南商丘·高一校考期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据对数函数，指数函数的单调性判断与0，1的大小关系，利用三角函数在各象限的符号依次判断即得.
【详解】，
由是减函数得，即，
因为，所以，
所以．
故选:B．
5．（2024上·山东济宁·高一统考期末）若对任意，方程有解，则实数的取值范围是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】先求方程左侧函数的值域，后解不等式求参数范围即可.
【详解】因为，可知，所以．
又方程有解，所以．
所以，，
故选：A．
6．（2024上·北京丰台·高三统考期末）如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用正切型函数的图象与性质结合分段函数性质即可得到解集.
【详解】设，
令，且，解得，，
令，则，则在上单调递增，
，则，
则当时，，，则满足，即，
当时，，且单调递减，，且单调递增，
则时，，即；时，，即；
综上所述：的解集为，
故选；C.
7．（2024上·湖南衡阳·高三统考期末）下列函数的最小正周期为，且在上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求出各函数的周期和单调区间即可得出结论.
【详解】由题意，
A项，在中，，，最小正周期为，
当单调递增时，，
解得：
∴在上不单调递减，A错误；
B项，在中， ，最小正周期为，
当单调递增时，，
解得：
∴在上不单调递减，B错误；
C项，在中，，周期,
∴函数在即上单调递减，
∴函数在上单调递减，C正确；
D项，在中，，故D错误.
故选：C.
8．（2024上·山东菏泽·高三山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）“函数的图象关于对称”是“，”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用正切函数的性质结合集合间的基本关系判定充分、必要条件即可.
【详解】当函数的图象关于对称时，
有，，得，，
易知 ，
所以“函数的图象关于对称”是“，”的必要不充分条件．
故选：B．
9．（2024上·广西河池·高一统考期末）“的最小正周期为”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据函数的最小正周期求得，再根据充分条件和必要条件的定义即可的解.
【详解】当的最小正周期为时，有，即充分性不成立；
当时，的最小正周期为，即必要性成立；
所以“的最小正周期为”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
10．（2023下·宁夏石嘴山·高二石嘴山市第三中学校考期末）有一个函数的图象如图，其对应的函数解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据给定的函数图象，由函数定义域及函数值的情况判断作答.
【详解】由图象知，函数定义域为，，
对于A选项，定义域为，故A错误；
对于B选项，，当时，，故B错误；
对于C选项，，当时，无意义，故C错误；
对于D，的定义域为，，
且，则的图象关于轴对称，
所以符合题意.
故选：D.
11．（2024上·内蒙古赤峰·高一统考期末）命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据存在量词命题的否定直接得出结果.
【详解】命题“”的否定为“”.
故选：C
12．（2024上·河北沧州·高一泊头市第一中学校考阶段练习）已知定义在上的函数，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造，利用其奇偶性及单调性解不等式即可.
【详解】由，得，
令，则，故为奇函数，
则等价于，
因为在上单调递增，则在上单调递增，
所以，解得，
故选：C．
【点睛】关键点睛：本题的关键是构造，利用其单调性和奇偶性得到不等式组，解出即可.
二、多选题
13．（2024上·山东临沂·高一统考期末）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为 B．的定义域为
C．是增函数 D．
【答案】ABD
【分析】根据正切函数的性质依次求出函数的最小正周期、定义域、单调区间即可求解．
【详解】对A：由，函数的最小正周期为，故A正确；
对B：由，，解得，，
所以的定义域为，故B正确；
对C：，，解得，，
所以函数在，上单调递增，故C错误；
对D：由C知当时，在上单调递增，所以，故D正确；
故选：ABD.
14．（2024上·河北邯郸·高一统考期末）已知函数（，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的定义域为
C．点是函数图象的一个对称中心
D．在上的值域为
【答案】BCD
【分析】根据题意，结合正切函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由图象知，所以函数的最小正周期为，故A不正确；
因为函数的最小正周期，可得，所以，则，，即，，
因为，所以当时，，则，
又因为，所以，则，所以，
由，，可得，，
所以的定义域为，所以B正确；
因为，可得点是函数图象的一个对称中心，所以C正确；
当时，，可得，所以D正确.
故选：BCD．
15．（2024上·全国·高一专题练习）关于函数的性质，下列叙述正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．是偶函数
C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增
【答案】BCD
【分析】根据正切函数图象作出函数的图象，结合图象可得答案.
【详解】做出函数的图象，且函数的定义域为，
由函数的图象可知，最小正周期为π，A错误；
又，所以是定义域上的偶函数，B正确；
根据函数的图象知，的图象关于直线对称，C正确；
根据的图象知，在区间上单调递增，D正确．
故选：BCD．
16．（2024上·山西太原·高一统考期末）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期
B．的定义域为
C．的值域为
D．是奇函数
【答案】BD
【分析】结合正切函数的性质逐项判断即可得.
【详解】对A：由，故的最小正周期，故A错误；
对B：由题意得：，即，
故的定义域为，故B正确；
对C：由，故的值域为，故C错误；
对D：的定义域为，
，
故是奇函数，故D正确.
故选：BD.
17．（2024上·湖北·高一校联考期末）已知函数，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的定义域为
C．函数的图象的对称中心为
D．函数的单调递增区间为
【答案】ABD
【分析】利用整体代入法，由三角函数的周期公式可判断A；由正切函数的定义域可判断B；由正切函数的对称中心可判断C；由正切函数的单调区间可判断D.
【详解】对于A，函数的最小正周期为，A正确；
对于B，由，得,
所以函数的定义域为，B正确；
对于C，由，得,
所以函数的对称中心为，C错误；
对于D，由，得，
所以函数的单调递增区间为，D正确.
故选：ABD
三、填空题
18．（2024上·山东威海·高三统考期末）已知函数在上是增函数，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据正切函数的单调性，结合题意，列出满足的条件，求解即可.
【详解】根据题意，，解得，又，则；
当，，
由题可得，解得；
综上所述，的取值范围是.
故答案为：.
19．（2024上·广东汕头·高一统考期末）当时，使成立的的取值范围为
【答案】
【分析】分类讨论，根据正切函数的单调性及正切函数在各象限的符号求解.
【详解】当时，由单调递增且可知，，
当时，由知，满足，
综上，.
故答案为：
20．（2024下·上海·高一假期作业）若，且，则
【答案】
【分析】根据特殊角的三角函数值以及正切函数的周期性即可求解.
【详解】因为,所以,
由于，所以取，得，
故答案为：
21．（2024上·湖北武汉·高三校联考期末）若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用命题为真命题由正切函数单调性即可求得，可知为假命题时实数的取值范围是.
【详解】若命题“，”是真命题，可得即可；
易知在上单调递增，
所以，可得；
又因为该命题是假命题，所以可得，
即实数的取值范围是.
故答案为：
22．（2024上·云南昆明·高一昆明一中校考期末）已知函数，若，则 .
【答案】
【分析】从函数解析式不难看出前两项构成的函数为奇函数，故可将其设成，证明其奇偶性，再利用奇函数特征代入计算即得.
【详解】令，，由,可得函数为奇函数，
则由得，故.
故答案为：.
四、解答题
23．（2024上·江苏常州·高一统考期末）在平面直角坐标系中，点在角的终边上.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由三角函数定义求得，进而求出，再由即可得出答案；
（2）由同角三角函数的基本关系求解即可.
【详解】（1）点在角的终边上，，
，，
所以，，
所以.
（2）.
24．（2023上·贵州六盘水·高一统考期末）已知函数.
(1)求函数的定义域；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）令，求出定义域；
（2）代入，结合诱导公式求值即可.
【详解】（1）令 ，
解得：，
所以函数的定义域是；
（2）由题知，
所以.
25．（2024下·上海·高一假期作业）求满足下列条件的的集合：
(1)；
(2)；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意画出单位圆与临界值的终边，阴影部分即为满足题意的角的终边.
（2）由题意画出单位圆与临界值的终边，阴影部分即为满足题意的角的终边.
【详解】（1）由，所以，所以角x终边所在区域如图所示，
所以，
所以满足条件的的集合为：；
（2）由，所以，
所以角x终边所在区域如图所示，
所以，
所以，满足条件的的集合为：.
26．（2023上·全国·高一专题练习）已知函数.
(1)求它的最小正周期和单调递减区间；
(2)试比较与的大小.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据正切函数解析式求解最小正周期和单调递减区间；
（2）根据解析式求解函数值比较大小值.
【详解】（1）因为
所以，
由，
，
因为在上单调递增，
所以在上单调递减．
故函数的最小正周期为，单调递减区间为．
（2）,
，
因为，且在上单调递增，
，
所以.
27．（2019下·广东清远·高一校考阶段练习）已知函数，其中.
(1)当时，求函数的最大值和最小值；
(2)求θ的取值范围，使在区间上是单调函数(在指定区间为增函数或减函数称为该区间上的单调函数)．
【答案】(1)最小值，最大值7
(2)
【分析】（1）配方函数的解析式，根据函数图象对称轴可以直接得到函数的最值点，进行计算即可；
（2）根据二次函数的单调区间，列出不等式，解出即可.
【详解】（1）当时，，
∵，
∴当时，的最小值为，
当时，的最大值为7.
（2）因为是关于x的二次函数．
它的图象开口向上，对称轴为，
∵在区间上是单调函数，
∴，或者，
即，或者，
又∵，
∴θ的取值范围是.
28．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知函数的最小正周期为，且．
(1)求函数的解析式；
(2)函数的图象是由函数的图象向左平移个单位长度得到，若，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正切型函数的周期和定点求，即可得函数解析式；
（2）根据三角函数图像变换可得，结合，分析可得，运算求解即可.
【详解】（1）因为，且，解得，
又因为，则，
解得，
且，可得，
所以.
（2）由题意可知：，
因为，
由，即，
可知，解得，
且，所以的最小值为．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)1.7 正切函数10种常见考法归类
课程标准 学习目标
理解正切函数的定义，能画出它的图象，理解正切函数在上的性质． 通过本节课的学习，要求会运用正切函数的图象与性质解决与正切函数有关的周期、奇偶性、单调性及值域等问题.
知识点01正切函数的定义
根据函数的定义，比值是x的函数，称为x的正切函数，记作y＝tan x，其中定义域．
【即学即练1】（2024高一课堂练习）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【即学即练2】（2024高一课堂练习）求下列函数的定义域：
（1）函数y＝＋lg(1－tanx)；
（2）函数y＝tan(sinx)．
知识点02　正切函数的诱导公式
tan (kπ＋α)＝tan α(k∈Z)
tan (－α)＝－tan α
tan (π＋α)＝tan α
tan (π－α)＝－tan α
tan ＝－
tan ＝．
注：(1)正切函数的诱导公式可以用正、余弦函数诱导公式一样的方法记忆，即“奇变偶不变，符号看象限”．
(2)利用诱导公式求任意角的正切函数值的步骤与求任意角的正弦函数值、余弦函数值的步骤相同，都是依据“负化正，大化小，化为锐角再求值”，即由未知转化为已知的化归思想．
【即学即练3】（2023下·河南驻马店·高一校联考期中）（ ）
A． B． C． D．
【即学即练4】（2023下·山东·高一校联考阶段练习） ．
【即学即练5】（2023下·河北衡水·高一校考开学考试） .
【即学即练6】（2023上·江苏淮安·高一校考阶段练习）已知，求，的值.
【即学即练7】（2024上·山西太原·高一统考期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，其终边经过点.
(1)求的值；
(2)求的值.
知识点03 正切函数的图象
利用正切线作出函数的图象（如图）．作法如下：
(1)作直角坐标系，并在y轴左侧作单位圆．
(2)把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线．
(3)描点．（横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线）
(4)连线．
根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，就可以得到正切函数，且的图象，我们把它叫做正切曲线(如图)．
正切曲线是被相互平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成的．
注：如何作正切函数的图象
(1)几何法
就是利用单位圆中的正切线来做出正切函数的图象，该方法作图较为精确，但画图时较烦琐．
(2)“三点两线”法
“三点”是指，(0，0)，；“两线”是指x＝－和x＝. 在“三点”确定的情况下，类似于“五点法”作图，可大致画出正切函数在上的简图，然后向左、右平移(每次平移π个单位长度)即可得到正切曲线．
【即学即练8】（2024高一课堂练习）在内，使成立的x的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【即学即练9】（2024高一课堂练习）设函数.
（1）求函数f(x)的最小正周期 对称中心；
（2）作出函数f(x)在一个周期内的简图.
【即学即练10】（2024高一课堂练习）作出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象求其最小正周期和单调区间．
知识点04正切函数的性质
1．周期性
由诱导公式可知，，因此是正切函数的一个周期.
一般地，函数的最小正周期．
2．奇偶性
正切函数的定义域为，关于原点对称，由于
，因此正切函数是奇函数．
3．单调性和值域
单位圆中的正切线如下图所示．
利用单位圆中的正切线研究正切函数的单调性和值域，可得下表：
角x
正切线AT
增函数 增函数
由上表可知正切函数在，上均为增函数，由周期性可知正切函数的增区间为
．此外由其变化趋势可知正切函数的值域为或，因此正切函数没有最值．
【即学即练11】（2024高一课堂练习）函数的周期为__________．
【即学即练12】（2024高一课堂练习）函数y＝－tan的单调递减区间为________________．
【即学即练13】（2024高一课堂练习）下列点不是函数的图象的一个对称中心的是（　　）
A． B． C． D．
【即学即练14】（2024高一课堂练习）已知函数y=3tan．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的定义域；
（3）说明此函数的图象是由y=tanx的图象经过怎样的变换得到的？
【即学即练15】（2024高一课堂练习）已知函数．
（1）求的定义域；
（2）求的周期；
（3）求的单调递增区间．
题型一：求函数的定义域
例1．（2023上·湖南株洲·高一校考阶段练习）函数的定义域为（　　）
A． B．
C． D．
变式1．（2023下·内蒙古包头·高一统考期末）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（2024上·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第十一中学校考期末）求函数的定义域 ．
变式3．（2022上·浙江温州·高一统考期末）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．且
变式4．（2022上·内蒙古赤峰·高一赤峰二中校考期末）函数的定义域为（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
变式5．（2019下·辽宁朝阳·高一校联考阶段练习）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
变式6．（2023上·全国·高一专题练习）函数的定义域是(　　)
A． B．
C． D．
【方法技巧与总结】
求正切函数定义域的方法
求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义即x≠＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．
题型二：利用正切函数诱导公式求值
例2．（2022下·辽宁·高一东港市第二中学校联考期中）的值为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023·全国·高一专题练习） ．
变式2．（2022上·江苏南通·高一江苏省南通中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，点位于第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
变式3．（2022上·黑龙江鸡西·高一鸡西市第四中学校考期末）下列选项中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧与总结】
给角求值，关键是利用诱导公式将任意角的三角函数值转化为锐角，通常是特殊角的三角函数值．
给值求值时，要注意分析已知角与未知角之间的内在关系，选择恰当的诱导公式求值．
题型三：利用正切函数的诱导公式化简
例3．（2023上·湖北襄阳·高一统考期末）已知，则 .
变式1．（2023下·高一课时练习）已知，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022下·上海长宁·高一华东政法大学附属中学校考期中）化简： ．
变式3．（2023·高一单元测试）已知为第三象限角，且．
(1)化简并求；
(2)若，求的值．
变式4（2022上·广东广州·高一广州市第九十七中学校考阶段练习）已知．
(1)化简,并求的值;
(2)若,且,求的值．
【方法技巧与总结】
用正切函数诱导公式化简、证明的总体原则：
(1)“切化弦”，函数名称尽可能化少．
(2)“大化小”，角尽可能化小．
题型四：正切函数的图象及应用
例4．（2024上·宁夏银川·高一银川二中校考期末）函数（）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（2023上·广东·高一校联考期末）若函数的图象与直线没有交点，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
变式2．（2023上·河北邢台·高一邢台市第二中学校联考阶段练习）当时，函数与函数的图象的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
变式3．（2023·全国·高一随堂练习）方程的实数根个数是 ．
变式4．（2023上·全国·高一专题练习）借助函数的图象写出下列不等式或方程的解集：
(1)，；
(2)；
(3)；
(4)；
变式5．（2023·全国·高一随堂练习）在同一平面直角坐标系中，画出函数和，的图象，依据图象回答以下问题：
(1)写出这两个函数图象的交点坐标；
(2)写出使成立的x的取值范围；
(3)写出使成立的x的取值范围；
(4)写出使成立的x的取值范围；
(5)写出使这两个函数有相同的单调性的区间．
【方法技巧与总结】
解决与正切函数图象有关的问题，必须熟练画出正切函数y＝tan x，x∈的图象，求自变量x的范围时，要注意是否包含端点值，切记正切函数的最小正周期为π.
题型五：正切函数的周期性问题
例5．（2024上·北京大兴·高一统考期末）函数的最小正周期等于（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2024上·贵州安顺·高一统考期末）函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2024上·山东聊城·高一统考期末）下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
变式3．（2024上·河南南阳·高三方城第一高级中学校联考期末）已知是曲线与直线相邻的三个交点，则（ ）
A． B． C． D．
变式4．（2024上·新疆巴音郭楞·高一新疆兵团第二师华山中学校考期末）函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则的值是 ．
变式5．（2023·广东·东莞市东华高级中学校联考一模）已知函数的最小正周期为，则 .
变式6．（2023·宁夏银川·银川一中校考模拟预测）若，（），则（ ）
A． B． C．0 D．
题型六：正切函数的奇偶性问题
例6．（2023·全国·高一随堂练习）判断下列函数的奇偶性：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
变式1．（2022上·内蒙古赤峰·高一校考期末）函数是（ ）
A．周期为的偶函数 B．周期为的奇函数
C．周期为的偶函数 D．周期为的奇函数
变式2．（2023上·河南郑州·高一河南省实验中学校考阶段练习）已知，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
变式3．（2023上·陕西·高三校联考阶段练习）已知函数，且，则（ ）
A． B． C．1 D．4
变式4．（2023·四川达州·统考一模）已知函数，则的值为 .
变式5．（2024·全国·模拟预测）若函数为奇函数，则（ ）
A． B． C．D．
变式6．（2021上·河南开封·高三阶段练习）已知，则“函数的图象关于轴对称”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题型七：正切函数的对称性问题
例7．（2023上·陕西西安·高一统考期末）下列是函数的对称中心的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2024上·贵州毕节·高一统考期末）下列函数中，以点为对称中心的函数是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2024上·河北保定·高一统考期末）“”是“函数的图象关于原点中心对称”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
变式3．（2024·全国·模拟预测）“函数的图象关于中心对称”是“”的 条件．
变式4．（2024上·广东茂名·高一统考期末）已知函数，其最小正周期为，则的一个对称中心的坐标为 ．
变式5．（2024·全国·高一专题练习）已知函数图象的一个对称中心为，则的值为 ．
变式6．（2023下·湖北荆州·高一校联考期中）已知函数的图象关于点对称，则（ ）
A． B． C． D．
题型八：正切函数的单调性问题
求函数的单调区间
例8．（2023下·四川眉山·高一仁寿一中校考阶段练习）函数的单调区间是（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（2023下·四川凉山·高一校联考期中）函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（2023下·高一单元测试）函数的单调区间是（ ）
A． B．
C． D．
变式3．（2022上·高一课时练习）已知函数，则（ ）
A．增区间为，
B．增区间为，
C．减区间为，
D．减区间为，
变式4．（2021下·高一课时练习）已知函数在内是减函数，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
变式5．（2022·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）已知函数，若在区间内单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
比较大小
例9．（2024上·湖南·高一校联考期末）三个数，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（2024上·河南开封·高一统考期末）若 则（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2024上·内蒙古赤峰·高一统考期末）已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧与总结】
求函数y＝A tan (ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法
①若ω>0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－<ωx＋φ②若ω<0，可利用诱导公式先把y＝A tan (ωx＋φ)转化为y＝A tan [－(－ωx－φ)]＝－A tan (－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．
题型九：正切函数的值域（最值）问题
例10．（2024上·宁夏银川·高一宁夏育才中学校考期末）函数在上的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
变式1．（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）函数，的值域为 .
变式2．（2022下·安徽宿州·高一砀山中学校联考期中）函数，的值域为 ．
变式3．（2021·高一课时练习）已知在区间上的最大值为，则（ ）
A． B． C． D．
变式4．（2023·四川自贡·统考一模）函数在的最大值为7，最小值为3，则ab为（ ）
A． B． C． D．
题型十：正切函数图象与性质的综合应用
例11．（2024上·湖北荆州·高一荆州中学校考期末）已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数周期为 B．函数在上为增函数
C．函数是偶函数 D．函数关于点对称
变式1．（2024上·甘肃·高一统考期末）已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在区间上是增函数
C．函数的图象关于直线对称
D．函数是奇函数
变式2．（2023上·江苏淮安·高三校考阶段练习）下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．图象关于点成中心对称 B．图象关于直线成轴对称
C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递增
变式3．（2023·四川凉山·统考一模）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．图象关于直线对称 B．在上单调递增
C．最小正周期为 D．图象关于点对称
【方法技巧与总结】
解答正切函数图象与性质问题时应注意的两点
(1)对称性：正切函数图象的对称中心是(k∈Z)，不存在对称轴．
(2)单调性：正切函数在每个(k∈Z)区间内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的．
一、单选题
1．（2024上·四川德阳·高一统考期末），则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024上·福建莆田·高一莆田八中校联考期末）对任意且，函数的图象都过定点，且点在角的终边上，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024上·河南商丘·高一统考期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（2024上·河南商丘·高一校考期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024上·山东济宁·高一统考期末）若对任意，方程有解，则实数的取值范围是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．（2024上·北京丰台·高三统考期末）如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024上·湖南衡阳·高三统考期末）下列函数的最小正周期为，且在上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024上·山东菏泽·高三山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）“函数的图象关于对称”是“，”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（2024上·广西河池·高一统考期末）“的最小正周期为”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
10．（2023下·宁夏石嘴山·高二石嘴山市第三中学校考期末）有一个函数的图象如图，其对应的函数解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024上·内蒙古赤峰·高一统考期末）命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2024上·河北沧州·高一泊头市第一中学校考阶段练习）已知定义在上的函数，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
13．（2024上·山东临沂·高一统考期末）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为 B．的定义域为
C．是增函数 D．
14．（2024上·河北邯郸·高一统考期末）已知函数（，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的定义域为
C．点是函数图象的一个对称中心
D．在上的值域为
15．（2024上·全国·高一专题练习）关于函数的性质，下列叙述正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．是偶函数
C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增
16．（2024上·山西太原·高一统考期末）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期
B．的定义域为
C．的值域为
D．是奇函数
17．（2024上·湖北·高一校联考期末）已知函数，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的定义域为
C．函数的图象的对称中心为
D．函数的单调递增区间为
三、填空题
18．（2024上·山东威海·高三统考期末）已知函数在上是增函数，则的取值范围是 .
19．（2024上·广东汕头·高一统考期末）当时，使成立的的取值范围为
20．（2024下·上海·高一假期作业）若，且，则
21．（2024上·湖北武汉·高三校联考期末）若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是 ．
22．（2024上·云南昆明·高一昆明一中校考期末）已知函数，若，则 .
四、解答题
23．（2024上·江苏常州·高一统考期末）在平面直角坐标系中，点在角的终边上.
(1)求的值；
(2)求的值.
24．（2023上·贵州六盘水·高一统考期末）已知函数.
(1)求函数的定义域；
(2)求的值.
25．（2024下·上海·高一假期作业）求满足下列条件的的集合：
(1)；
(2)；
26．（2023上·全国·高一专题练习）已知函数.
(1)求它的最小正周期和单调递减区间；
(2)试比较与的大小.
27．（2019下·广东清远·高一校考阶段练习）已知函数，其中.
(1)当时，求函数的最大值和最小值；
(2)求θ的取值范围，使在区间上是单调函数(在指定区间为增函数或减函数称为该区间上的单调函数)．
28．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知函数的最小正周期为，且．
(1)求函数的解析式；
(2)函数的图象是由函数的图象向左平移个单位长度得到，若，求的最小值．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑