资源简介

1.3 弧度制4种常见考法归类
课程标准 学习目标
了解弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性． 通过本节课的学习，要求掌握弧度制与角度制的互化，记住特殊角的弧度制，掌握与弧度制相关的弧长公式和面积公式的运用，为后面学习三角函数的相关内容奠定基础.
知识点01度量角的两种制度
角度制 定义 用度作为单位来度量角的单位制
1度的角 周角的为1度的角，记作1°
弧度制 定义 以弧度为单位来度量角的单位制
1弧度的角 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1rad
注：正确理解弧度与角度的概念
区别 (1)定义不同； (2)单位不同：弧度制以“ 弧度”为单位，角度制以“ 度”为单位
联系 (1)不管以“ 弧度”还是以“ 度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值； (2)“ 弧度”与“角度”之间可以相互转化
【即学即练1】下列说法中，错误的是（ ）
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．的角是周角的的角是周角的
C．的角比的角要大
D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关
知识点02　弧度数的计算
1．正角：正角的弧度数是一个正数．
2．负角：负角的弧度数是一个负数．
3．零角：零角的弧度数是0．
4．如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝．
【即学即练2】时间经过4小时，分针转的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
【即学即练3】角为2弧度角的终边在第_______象限．（ ）
A．一 B．二 C．三 D．四
知识点03　角度制与弧度制的换算
角度化弧度 弧度化角度
360°＝2π rad 2π rad＝360°
180°＝π rad π rad＝180°
1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30°
度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数
注：角度制与弧度制换算公式的理解
(1)弧度制、角度制都是角的度量制，它们之间可以进行换算．
(2)用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量度相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量度也不同．
(3)特殊角的度数与弧度数的对应表：
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0
【即学即练4】把化成角度是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练5】（多选）下列转化结果正确的是
A．化成弧度是 B．化成角度是
C．化成弧度是 D．化成角度是
【即学即练6】将改写成的形式是（ ）
A． B． C． D．
知识点04　扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
1．弧长公式：l＝α·R．
2．扇形面积公式：S＝lR＝α·R2
【即学即练7】若某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【即学即练8】半径为10cm，弧长为20cm的扇形中，弧所对的圆心角为（ ）
A．弧度 B．2度 C．2弧度 D．10弧度
【即学即练9】已知扇形面积为，半径是1，则扇形的圆心角是（ ）
A． B．
C． D．
题型一：角度与弧度的换算
例1.（2023·江苏·高一专题练习）将下列各弧度化成角度.
(1)
(2)
(3)
(4)-3
变式1.（2023·全国·高一专题练习）把下列角度与弧度进行互化．
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
【方法技巧与总结】
进行角度制与弧度制的互化的原则和方法
(1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝rad和1 rad＝°进行换算．
(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝°；n°＝n·.
提醒：(1)用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写．
(2)用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数．
(3)度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．
题型二：用弧度制表示角的集合
例2.与终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式1.（2023下·江西赣州·高一校联考期中）已知.
(1)将写成的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求与终边相同的角，满足．
变式2.（2023·全国·高三专题练习）终边在直线上的角的集合为 ．
例3.（2023上·高一课时练习）用弧度制写出终边在阴影部分的角的集合：
(1)
(2)
变式1.如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).
（1）；
（2）
【方法技巧与总结】
(1)用弧度数表示与角α终边相同的角连同角α在内的集合为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}．
(2)用弧度数表示区域角时，先把角度换算成弧度，再写出与区域角的终边相同的角的集合，最后用不等式表示出区域角的集合，对于能合并的应当合并．
题型三：弧长公式和扇形面积公式的应用
例4.已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形所在圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
变式1.（2023上·上海松江·高三校考期中）若一扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的弧长为 .
变式2.（2023·全国·高一专题练习）已知扇形AOB的面积为，圆心角为120°，则该扇形的半径为 ，弧长为 .
变式3.（2023下·山东淄博·高一校联考期中）已知扇形面积，半径是1，则扇形的周长是（ ）
A． B． C． D．
变式4.（2023上·重庆·高三西南大学附中校考期中）已知扇形的圆心角是，半径为，则扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
变式5.如图所示，扇环的两条弧长分别是4和10，两条直边与的长都是3，则此扇环的面积为（ ）
A．84 B．63 C．42 D．21
变式6.（2023上·上海·高三上海市进才中学校考期中）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧和弦所围成的图中阴影部分．若弧田所在扇形的圆心角为，扇形的面积为，则此弧田的面积为 ．

【方法技巧与总结】
弧长公式和扇形面积公式的应用类问题的解决方法：①将角度转化为弧度表示，弧度制的引入使相关的弧长公式、扇形面积公式均得到了简化，因此解决这些问题通常采用弧度制．一般地，在几何图形中研究的角，其范围是(0，2π)；②利用α，l，R，S四个量“知二求二”代入公式．
题型四：扇形中的最值问题
例5.（2023下·高一单元测试）若有一扇形的周长为60 cm，那么扇形的最大面积为 .
变式1.（2023·全国·高三专题练习）若扇形的周长为18，则扇形面积取得最大值时，扇形圆心角的弧度数是 .
变式2.（2023下·上海宝山·高一校考阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l．
(1)若，，求扇形的弧长l；
(2)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角．
变式3.（2023下·湖北宜昌·高一校联考期中）某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度．
(1)求关于的函数解析式；
(2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，的值最大 并求出最大值．
一、单选题
1．（2023上·贵州黔南·高一贵州省瓮安中学校考阶段练习）将化为弧度是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·全国·高一专题练习）若，则角的终边所在的象限是（　　）
A．第四象限 B．第三象限
C．第二象限 D．第一象限
3．（2023上·上海松江·高一校考期末）下列命题中，正确的是（ ）
A．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角
B．若是第一象限的角，则也是第一象限的角
C．若两个角的终边重合，则这两个角相等
D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
4．（2024上·陕西榆林·高一统考期末）如图所示的时钟显示的时刻为，设150分钟后时针与分针的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024上·山西忻州·高一校联考期末）已知某扇形的面积为12，半径为4，则该扇形圆心角（正角）的弧度数为（ ）
A．3 B．2 C． D．
6．（2024上·山东济南·高一统考期末）工艺扇面是中国书画的一种常见表现形式.如图所示，已知扇面展开后形成一个中心角为的扇环，其中扇环的外圆半径为，内圆半径为，某同学准备用布料制作这样一个扇面，若不计损耗，则需要布料（ ）
A． B． C． D．
7．（2024上·福建厦门·高一厦门外国语学校校考阶段练习）已知扇形的周长为4，圆心角为弧度数2，则扇形的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
8．（2024上·青海西宁·高一统考期末）我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，问这块田的面积为多少？（ ）
A．240平方步 B．120平方步 C．80平方步 D．60平方步
9．（2024上·云南·高一统考期末）折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子（如图1），其平面图为如图2的扇形，已知，扇面（曲边四边形的面积是，则（ ）

A． B． C． D．
10．（2024上·湖南湘西·高一统考期末）砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．图（2）是根据一个砖雕（如图（1））所作的扇环形，该扇环可视为将扇形OAB截去同心扇形OCD所得的图形，若，，分别在OA，OB上，，的长度，则该扇环形砖雕的面积为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
11．（2024上·河南新乡·高一统考期末）若某扇形的周长为18，面积为20，则该扇形的半径可能为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．10
12．（2023·全国·高一课堂例题）下列各角中，与角终边相同的角为（ ）
A． B． C． D．
13．（2023上·山东济南·高一山东省实验中学校考阶段练习）下列各组角终边相同的一组是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
14．（2024上·江苏南京·高一统考期末）已知扇形的半径为，弧长为.若其周长的数值为面积的数值的2倍，则下列说法正确的是（ ）
A．该扇形面积的最小值为8
B．当扇形周长最小时，其圆心角为2
C．的最小值为9
D．的最小值为
15．（2024上·吉林长春·高一吉林省实验校考期末）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成．如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，扇形的半径，则
C．若扇面为“美观扇面”，则
D．若扇面为“美观扇面”，半径，则扇形面积为
三、填空题
16．（2023下·辽宁抚顺·高一校联考期中）“密位制”是一种度量角的方法，我国采用的“密位制”是6000密位制，即将一个圆周角分6000等份，每一等份是一个密位，则350密位的对应角的弧度数为 ．
17．（2024上·广东深圳·高一统考期末）如图1，折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨， 纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，其展开的平面图如图2的扇形AOB，其中，，则扇面（曲边四边形ABDC）的面积是 ．
18．（2024上·陕西安康·高一校考期末）若圆心角为的扇形的弦长为，则该扇形弧长为 .
19．（2024上·山东烟台·高一统考期末）已知某扇形的面积为，圆心角的弧度数为，则该扇形的周长为 ．
20．（2024上·重庆·高一重庆南开中学校考期末）南朝乐府民歌《子夜四时歌》之夏歌曰：“叠扇放床上，企想远风来；轻袖佛华妆，窈窕登高台”，中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴．如图所示，展开的折扇可看作是从一个扇形，某艺术节展示活动中，小李同学打算利用一条2米长的紫色丝带围成一个扇形展示框，则该展示框的面积最大值为 ．
四、解答题
21．（2023上·贵州黔东南·高一统考期末）某公园要设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是以点为圆心的两个同心圆，圆弧所在圆的半径（单位：米），圆弧所在圆的半径（单位：米），圆心角．
(1)求弧长；
(2)求花坛的面积．
22．（2023上·广西河池·高一校联考阶段练习）某时钟的分针长，时间从12：00到12：25，求：
(1)分针转过的角的弧度数；
(2)分针扫过的扇形面积；
(3)分针尖端所走过的弧长（取3.14，计算结果精确到0.01）．
23．（2021·高一课时练习）用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合（包括边界，如图7-1-7所示）．
24．（2023上·江苏宿迁·高一校考阶段练习）已知扇形的半径，周长为，
(1)求扇形的面积；
(2)在区间上求出与此扇形的圆心角终边相同的角.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)1.3 弧度制4种常见考法归类
课程标准 学习目标
了解弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性． 通过本节课的学习，要求掌握弧度制与角度制的互化，记住特殊角的弧度制，掌握与弧度制相关的弧长公式和面积公式的运用，为后面学习三角函数的相关内容奠定基础.
知识点01度量角的两种制度
角度制 定义 用度作为单位来度量角的单位制
1度的角 周角的为1度的角，记作1°
弧度制 定义 以弧度为单位来度量角的单位制
1弧度的角 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1rad
注：正确理解弧度与角度的概念
区别 (1)定义不同； (2)单位不同：弧度制以“ 弧度”为单位，角度制以“ 度”为单位
联系 (1)不管以“ 弧度”还是以“ 度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值； (2)“ 弧度”与“角度”之间可以相互转化
【即学即练1】下列说法中，错误的是（ ）
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．的角是周角的的角是周角的
C．的角比的角要大
D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关
【答案】D
【分析】
利用角度和弧度的定义及转化关系分别进行判断即可.
【详解】
根据角度和弧度的概念可知二者都是角的度量单位，
的角是周角的，1rad的角是周角的，故A、B正确；
1rad的角是，故C正确；
无论哪种角的度量方法，角的大小都与圆的半径无关，只与角的始边和终边的位置有关，故D错误.
故选：D
知识点02　弧度数的计算
1．正角：正角的弧度数是一个正数．
2．负角：负角的弧度数是一个负数．
3．零角：零角的弧度数是0．
4．如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝．
【即学即练2】时间经过4小时，分针转的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据分针按顺时针方向转了4圈，求出分针转过的弧度数即可
【详解】
根据分针经过4小时，分针按顺时针方向转了4圈，
所以分针转过的弧度数为
故选：D
【即学即练3】角为2弧度角的终边在第_______象限．（ ）
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】B
【分析】
根据题意得到2弧度，再判断象限即可.
【详解】
2弧度，为第二象限角.
故选：B
知识点03　角度制与弧度制的换算
角度化弧度 弧度化角度
360°＝2π rad 2π rad＝360°
180°＝π rad π rad＝180°
1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30°
度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数
注：角度制与弧度制换算公式的理解
(1)弧度制、角度制都是角的度量制，它们之间可以进行换算．
(2)用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量度相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量度也不同．
(3)特殊角的度数与弧度数的对应表：
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0
【即学即练4】把化成角度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用弧度和角度的关系，即得解
【详解】
由题意，
故选：B
【即学即练5】（多选）下列转化结果正确的是
A．化成弧度是 B．化成角度是
C．化成弧度是 D．化成角度是
【答案】ABD
【分析】
根据弧度与角度的转化,化简即可判断选项.
【详解】
对于A,,正确;
对于B,,正确;
对于C,,错误;
对于D,,正确.
故选ABD
【点睛】
本题考查了弧度与角度的转化,转化过程中注意进制和单位,属于基础题.
【即学即练6】将改写成的形式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
首先根据题意得到，再转化为弧度即可.
【详解】
因为，
所以转化弧度为.
故选：C
知识点04　扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
1．弧长公式：l＝α·R．
2．扇形面积公式：S＝lR＝α·R2
【即学即练7】若某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
首先设出半径，然后利用扇形弧长公式求解即可.
【详解】
设该扇形半径为，
又∵圆心角，弧长，
∴扇形弧长公式可得，，解得，.
故选：B.
【即学即练8】半径为10cm，弧长为20cm的扇形中，弧所对的圆心角为（ ）
A．弧度 B．2度 C．2弧度 D．10弧度
【答案】C
【分析】
利用扇形圆心角的公式求解.
【详解】
设弧所对的圆心角为，则弧度.
故选：C
【即学即练9】已知扇形面积为，半径是1，则扇形的圆心角是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为扇形面积为，半径是1，S=l·r，所以扇形的弧长为，因为l=|α|r ，所以扇形的圆心角为．故选C．
【名师点睛】在应用弧长公式l=|α|r 及扇形面积公式S=l·r时，要注意的单位是“弧度”，而不是“度”，如果已知角是以“度”为单位的，则必须先把它化成以“弧度”为单位后再代入计算．
题型一：角度与弧度的换算
例1.（2023·江苏·高一专题练习）将下列各弧度化成角度.
(1)
(2)
(3)
(4)-3
【答案】(1)-15°
(2)135°
(3)210°
(4)-171°54′
【分析】根据弧度制的定义，可得答案.
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
变式1.（2023·全国·高一专题练习）把下列角度与弧度进行互化．
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）由弧度制和角度值的转化公式解即可得出答案.
【详解】（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
（5）.
（6）.
（7）.
（8）.
（9）
（10）.
【方法技巧与总结】
进行角度制与弧度制的互化的原则和方法
(1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝rad和1 rad＝°进行换算．
(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝°；n°＝n·.
提醒：(1)用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写．
(2)用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数．
(3)度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．
题型二：用弧度制表示角的集合
例2.与终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据角度的表示方法分析判断AB，根据终边相同的角的定义分析判断CD.
【详解】在同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用，所以A，B错误．
与终边相同的角可以写成的形式，
时，，315°换算成弧度制为，所以C错误，D正确．
故选：D．
变式1.（2023下·江西赣州·高一校联考期中）已知.
(1)将写成的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求与终边相同的角，满足．
【答案】(1)，是第四象限角；
(2)或.
【分析】（1）利用，将角度值化为弧度制，并得到所在象限；
（2）由，根据的范围求出的值，从而可求解.
【详解】（1）因为,，
所以.
因为，所以是第四象限角.
（2），
所以与终边相同的角可表示为,
令，解得，
所以.
当时， ；
当时， .
所以或.
变式2.（2023·全国·高三专题练习）终边在直线上的角的集合为 ．
【答案】
【分析】由任意角与弧度制的定义求解，
【详解】由题意得与轴的夹角为，
故终边在直线上的角的集合为，
故答案为：
例3.（2023上·高一课时练习）用弧度制写出终边在阴影部分的角的集合：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】首先找到对应边界的终边表示的角，再写成集合形式.
【详解】（1）边界对应射线所在终边的角分别为，，
所以终边在阴影部分的角的集合为.
（2）边界对应射线所在终边的角分别为，，，，
所以终边在阴影部分的角的集合为
变式1.如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).
（1）；
（2）
【答案】（1）；
（2）或.
【分析】
由图①可知，以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为+2kπ(k∈Z)，由此可求出阴影部分内的角的集合；
由图②可知，以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为+2kπ(k∈Z).
不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，由阴影部分内的角的集合为.
【详解】
如题图①，以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为+2kπ(k∈Z)，
所以阴影部分内的角的集合为
；
如题图②，以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为+2kπ(k∈Z).
不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，
则M1=，M2=.
所以阴影部分内的角的集合为
或.
【方法技巧与总结】
(1)用弧度数表示与角α终边相同的角连同角α在内的集合为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}．
(2)用弧度数表示区域角时，先把角度换算成弧度，再写出与区域角的终边相同的角的集合，最后用不等式表示出区域角的集合，对于能合并的应当合并．
题型三：弧长公式和扇形面积公式的应用
例4.已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形所在圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据给定条件利用扇形面积公式直接计算即得.
【详解】
因扇形的圆心角为，则此圆心角的弧度数是，设圆的半径为r，
则由扇形面积公式得：，而，解得，
所以该扇形所在圆的半径为2.
故选：B
变式1.（2023上·上海松江·高三校考期中）若一扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的弧长为 .
【答案】/
【分析】直接根据扇形的弧长公式求解即可．
【详解】，，
故答案为：.
变式2.（2023·全国·高一专题练习）已知扇形AOB的面积为，圆心角为120°，则该扇形的半径为 ，弧长为 .
【答案】 /1.5
【分析】根据扇形的面积公式和弧长公式计算即可.
【详解】设扇形的半径为，
因为扇形AOB的面积为，圆心角为，
由扇形的面积，可得：，解得：，
可得扇形的弧长.
故答案为：；．
变式3.（2023下·山东淄博·高一校联考期中）已知扇形面积，半径是1，则扇形的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，由扇形的面积公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】设扇形的弧长为，由扇形的面积公式可得，，即，所以，
则扇形的周长为.
故选：C
变式4.（2023上·重庆·高三西南大学附中校考期中）已知扇形的圆心角是，半径为，则扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用扇形的面积公式可求得该扇形的面积.
【详解】因为扇形的圆心角是，半径为，则该扇形的面积为.
故选：D.
变式5.如图所示，扇环的两条弧长分别是4和10，两条直边与的长都是3，则此扇环的面积为（ ）
A．84 B．63 C．42 D．21
【答案】D
【分析】
设扇环的圆心角为，小圆弧的半径为，依题意可得且，解得、，进而可得结果.
【详解】
设扇环的圆心角为，小圆弧的半径为，由题可得且，解得，，从而扇环面积.
故选：D．
变式6.（2023上·上海·高三上海市进才中学校考期中）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧和弦所围成的图中阴影部分．若弧田所在扇形的圆心角为，扇形的面积为，则此弧田的面积为 ．

【答案】
【分析】设扇形的半径为，利用扇形的面积公式求出的值，然后利用扇形的面积减去三角形的面积可得出弧田的面积.
【详解】设扇形的半径为，则扇形的面积为，解得，
取的中点，连接，如下图所示：

因为，则，
又因为，则，
所以，，，则，
所以，，
因此，弧田的面积为.
故答案为：.
【方法技巧与总结】
弧长公式和扇形面积公式的应用类问题的解决方法：①将角度转化为弧度表示，弧度制的引入使相关的弧长公式、扇形面积公式均得到了简化，因此解决这些问题通常采用弧度制．一般地，在几何图形中研究的角，其范围是(0，2π)；②利用α，l，R，S四个量“知二求二”代入公式．
题型四：扇形中的最值问题
例5.（2023下·高一单元测试）若有一扇形的周长为60 cm，那么扇形的最大面积为 .
【答案】225
【分析】设扇形的半径为，弧长为，根据扇形的周长、面积和半径、弧长的关系建立二次函数关系，从而求出最大值即可.
【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，扇形的面积为：
，
当时，取得最大值，最大值为，
所以扇形面积的最大值为.
故答案为：225.
变式1.（2023·全国·高三专题练习）若扇形的周长为18，则扇形面积取得最大值时，扇形圆心角的弧度数是 .
【答案】2
【分析】设扇形的半径为，则弧长为，结合面积公式计算面积取得最大值时的取值，再用圆心角公式即可得弧度数.
【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，即，
所以扇形面积，
所以当时，取得最大值为，此时，
所以圆心角为（弧度）.
故答案为：2
变式2.（2023下·上海宝山·高一校考阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l．
(1)若，，求扇形的弧长l；
(2)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角．
【答案】(1)
(2)扇形周长的最小值为，此时
【分析】（1）先将圆心角化为弧度制，再根据弧长公式即可得解；
（2）根据扇形的面积公式求得的关系，再利用基本不等式即可得出答案.
【详解】（1）因为，，
所以扇形的弧长；
（2）由扇形面积，得，
则扇形周长为，
当且仅当，即时，取等号，
此时，，所以，
所以扇形周长的最小值为，此时.
变式3.（2023下·湖北宜昌·高一校联考期中）某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度．
(1)求关于的函数解析式；
(2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，的值最大 并求出最大值．
【答案】(1)；
(2)当时，y的值最大，最大值为．
【分析】(1)根据弧长公式和周长列方程得出关于的函数解析式；
(2)根据面积公式求出关于的函数表达式，根据二次函数性质可得的最大值．
【详解】（1）根据题意，弧的长度为米，弧的长度米，
，
．
（2）依据题意，可知，
化简得：，，
当，．
∴当时，y的值最大，且最大值为．
一、单选题
1．（2023上·贵州黔南·高一贵州省瓮安中学校考阶段练习）将化为弧度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用弧度和角度的互化公式求出答案.
【详解】.
故选：B
2．（2023上·全国·高一专题练习）若，则角的终边所在的象限是（　　）
A．第四象限 B．第三象限
C．第二象限 D．第一象限
【答案】D
【分析】根据各个象限角的范围，再结合条件即可判断出结果.
【详解】因为，所以是第一象限角，
故选：D.
3．（2023上·上海松江·高一校考期末）下列命题中，正确的是（ ）
A．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角
B．若是第一象限的角，则也是第一象限的角
C．若两个角的终边重合，则这两个角相等
D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
【答案】B
【分析】由角度制和弧度制的定义，象限角的概念，判断各选项的正误.
【详解】1弧度的角就是长为半径的弧所对的圆心角，A选项错误；
若是第一象限的角，则是第四象限的角，所以是第一象限的角，B选项正确；
当，时，与终边重合，但两个角不相等，C选项错误；
不论是用角度制还是弧度制度量角，由角度值和弧度值的定义可知度量角与所取圆的半径无关，D选项错误.
故选：B
4．（2024上·陕西榆林·高一统考期末）如图所示的时钟显示的时刻为，设150分钟后时针与分针的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意，根据时钟的特性，结合弧度制的写法，可得答案.
【详解】150分钟后是7：00整，时针指向9，分针指向12，
所以．
故选：B．
5．（2024上·山西忻州·高一校联考期末）已知某扇形的面积为12，半径为4，则该扇形圆心角（正角）的弧度数为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】利用扇形的面积公式计算可得答案.
【详解】设该扇形的圆心角为，则，解得．
故选：C.
6．（2024上·山东济南·高一统考期末）工艺扇面是中国书画的一种常见表现形式.如图所示，已知扇面展开后形成一个中心角为的扇环，其中扇环的外圆半径为，内圆半径为，某同学准备用布料制作这样一个扇面，若不计损耗，则需要布料（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用扇形的面积公式可求出扇环的面积，即可得解.
【详解】由题意可知，扇环的面积为.
故选：C.
7．（2024上·福建厦门·高一厦门外国语学校校考阶段练习）已知扇形的周长为4，圆心角为弧度数2，则扇形的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】设扇形的半径为，弧长为，由扇形的弧长公式结合扇形的周长可求得的值，再利用扇形的面积公式可求得该扇形的面积．
【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，扇形的周长为，可得，所以，，故该扇形的面积为．
故选：A.
8．（2024上·青海西宁·高一统考期末）我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，问这块田的面积为多少？（ ）
A．240平方步 B．120平方步 C．80平方步 D．60平方步
【答案】B
【分析】由已知利用扇形的面积公式即可计算得答案.
【详解】因为扇形田的弧长30步，其所在圆的直径是16步，根据扇形的面积公式可得这块田的面积（平方步）.
故选：B
9．（2024上·云南·高一统考期末）折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子（如图1），其平面图为如图2的扇形，已知，扇面（曲边四边形的面积是，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用扇形的面积公式计算即可.
【详解】设，则扇面的面积.
故选：C
10．（2024上·湖南湘西·高一统考期末）砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．图（2）是根据一个砖雕（如图（1））所作的扇环形，该扇环可视为将扇形OAB截去同心扇形OCD所得的图形，若，，分别在OA，OB上，，的长度，则该扇环形砖雕的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据扇形的弧长公式及面积公式求解即可.
【详解】因为，，
所以，所以,
由扇形面积公式可得扇环形砖雕的面积为：
，
故选：A
二、多选题
11．（2024上·河南新乡·高一统考期末）若某扇形的周长为18，面积为20，则该扇形的半径可能为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．10
【答案】BC
【分析】根据扇形的周长公式和面积公式求解即可.
【详解】设该扇形的半径为，弧长为，则，解得或5.
故选：BC
12．（2023·全国·高一课堂例题）下列各角中，与角终边相同的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】由，，得与终边相同的角为，，逐一判断各选项即可.
【详解】对于A，，，故A正确；
对于B，与终边相同的角为，，当时，，故B正确；
对于C，令，解得，故C错误；
对于D，令，解得，故D错误．
故选：AB.
13．（2023上·山东济南·高一山东省实验中学校考阶段练习）下列各组角终边相同的一组是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】ABD
【分析】根据终边相同角的概念判断即可.
【详解】对于A：因为，所以与终边相同，故A正确；
对于B：，，
所以与的终边相同，故B正确；
对于C：，即的终边与的终边相同，
，，所以与的终边不相同，
即与的终边不相同，故C错误；
对于D：，所以与的终边相同，故D正确；
故选：ABD
14．（2024上·江苏南京·高一统考期末）已知扇形的半径为，弧长为.若其周长的数值为面积的数值的2倍，则下列说法正确的是（ ）
A．该扇形面积的最小值为8
B．当扇形周长最小时，其圆心角为2
C．的最小值为9
D．的最小值为
【答案】BCD
【分析】由题意，知，则，对于选项ABC利用基本不等式可判断，对于选项D利用二次函数可解.
【详解】由题意，知，则，
所以扇形面积
，
当且仅当，即时，等号成立，选项A错误；
扇形周长为
，
当且仅当，即时，等号成立，
此时，圆心角为，选项B正确；
，
当且仅当，即时，等号成立，选项C正确；
,
当时，上式取得最小值为，选项D正确.
故选：BCD.
15．（2024上·吉林长春·高一吉林省实验校考期末）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成．如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，扇形的半径，则
C．若扇面为“美观扇面”，则
D．若扇面为“美观扇面”，半径，则扇形面积为
【答案】ACD
【分析】对于A,利用扇形面积计算公式进行计算即可；对于B，根据条件求得的值，利用公式计算即可；对于C，利用条件建立方程，解出即可；对于D，根据条件求得的值，利用公式计算即可.
【详解】对于A,所在的扇形的圆心角分别为,
所以，故A正确；
对于B，若，则，又，
则，故B错误；
对于C，若，
所以，故C正确；
对于D,若，，又，
所以，
故D正确，
故选：ACD.
三、填空题
16．（2023下·辽宁抚顺·高一校联考期中）“密位制”是一种度量角的方法，我国采用的“密位制”是6000密位制，即将一个圆周角分6000等份，每一等份是一个密位，则350密位的对应角的弧度数为 ．
【答案】
【分析】根据已知条件，结合“密位制”的定义，即可求解．
【详解】一个圆周角分6000等份，每一等份是一个密位，
则350密位的对应角的弧度数为．
故答案为：．
17．（2024上·广东深圳·高一统考期末）如图1，折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨， 纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，其展开的平面图如图2的扇形AOB，其中，，则扇面（曲边四边形ABDC）的面积是 ．
【答案】
【分析】利用扇形面积公式求扇面（曲边四边形ABDC）的面积即可.
【详解】由题设，，则
扇面（曲边四边形ABDC）的面积.
故答案为：
18．（2024上·陕西安康·高一校考期末）若圆心角为的扇形的弦长为，则该扇形弧长为 .
【答案】/
【分析】由条件求扇形的半径，再由弧长公式求扇形的弧长.
【详解】
由已知可得，，
连接圆心与弦的中点，则，
，即扇形的半径为4，
所以圆心角所对的弧长为.
故答案为：.
19．（2024上·山东烟台·高一统考期末）已知某扇形的面积为，圆心角的弧度数为，则该扇形的周长为 ．
【答案】
【分析】设扇形的半径为，弧长为，面积为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可求得该扇形的面积.
【详解】设扇形的半径为，弧长为，面积为，
因为扇形的面积为，圆心角的弧度数为，则，解得，
因此，该扇形的周长为.
故答案为：.
20．（2024上·重庆·高一重庆南开中学校考期末）南朝乐府民歌《子夜四时歌》之夏歌曰：“叠扇放床上，企想远风来；轻袖佛华妆，窈窕登高台”，中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴．如图所示，展开的折扇可看作是从一个扇形，某艺术节展示活动中，小李同学打算利用一条2米长的紫色丝带围成一个扇形展示框，则该展示框的面积最大值为 ．
【答案】/
【分析】设该扇形的半径为，弧长为，面积为，由已知可得，，利用扇形面积公式结合二次函数求最值即可.
【详解】设该扇形的半径为，弧长为，面积为，
由已知，则，，
所以，
所以当时，有最大值.
故答案为：.
四、解答题
21．（2023上·贵州黔东南·高一统考期末）某公园要设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是以点为圆心的两个同心圆，圆弧所在圆的半径（单位：米），圆弧所在圆的半径（单位：米），圆心角．
(1)求弧长；
(2)求花坛的面积．
【答案】(1)米
(2)平方米
【分析】（1）根据弧长公式求解即可.
（2）根据扇形的面积公式，把花坛面积看成两个扇形面积的差即可.
【详解】（1）弧长米
（2）花坛面积 平方米
22．（2023上·广西河池·高一校联考阶段练习）某时钟的分针长，时间从12：00到12：25，求：
(1)分针转过的角的弧度数；
(2)分针扫过的扇形面积；
(3)分针尖端所走过的弧长（取3.14，计算结果精确到0.01）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】时钟的分针转一周是60分钟，转过的弧度是，从12：00到12：25，分针转过的角的弧度就求出来了，再利用扇形面积公式和弧长公式即可求解．
【详解】（1）时钟的分针从12：00到12：25，分针转过的角的弧度是；
（2）分针扫过的扇形面积；
（3）分针尖端所走过的弧长是.
23．（2021·高一课时练习）用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合（包括边界，如图7-1-7所示）．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【分析】将角度化成弧度，结合任意角概念表示出来即可.
【详解】对图（1），可看作范围内的角，结合任意角概念，可表示为；
对图（2），可看作范围内的角，结合任意角概念，可表示为；
对图（3），可看作由的范围角，经过旋转半圈整数倍形成的角，故可表示为．
24．（2023上·江苏宿迁·高一校考阶段练习）已知扇形的半径，周长为，
(1)求扇形的面积；
(2)在区间上求出与此扇形的圆心角终边相同的角.
【答案】(1)
(2)和
【分析】（1）根据扇形周长可求出弧长，利用面积公式即可求解；
（2）利用弧长公式求出圆心角，由终边相同的角即可求.
【详解】（1）设扇形的弧长为，因为，
由题意，扇形的周长为，
所以，
所以扇形的面积为.
（2）由（1）可知，圆心角，
故与终边相同的角的集合为，
中适合的元素有
，，
故在区间[0,4π]上与此扇形的圆心角终边相同的角为和.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑