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2.5 从力的做功到向量的数量积6种常见考法归类
课程标准 学习目标
(1)通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积． (2)通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义． (3)能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角． (4)能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件． 1.理解向量数量积的定义及投影向量； 2.掌握向量积的运算律和运算性质. 3.学会用坐标表示平面向量的数量积，掌握两点之间的距离公式； 4..掌握平面向量的夹角公式； 5.能够用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 6.能够灵活运用向量数量积解决平面几何问题，主要涉及向量长度的计算和向量夹角的计算.
知识点01向量的数量积
1.定义
已知两个非零向量a与b，|a||b|cos θ称为a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角．零向量与任一向量的数量积为0．
2.几何意义
b的长度|b|与a在b方向上的投影数量|a|cos θ的乘积；或a的长度|a|与b在a方向上的投影数量|b|cos θ的乘积．
3.性质
(1)若e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉.
(2)若a，b是非零向量，则a·b＝0 a⊥b.
(3)a·a＝|a|2，即|a|＝．
(4)cos 〈a，b〉＝(|a||b|≠0)．
(5)|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．
4.运算律
交换律：a·b＝b·a
结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c
注：关于向量数量积应注意的问题
(1)若向量与的夹角为θ，θ＝0时，与同向；θ＝π时，与反向；θ＝时，⊥.
(2)求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，需平移．
(3)向量的数量积结果是一个数量，符号由cos θ的符号所决定，而向量的加减法和实数与向量的积的结果仍是向量．
(4)符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替．
【即学即练1】已知向量，满足，，且与的夹角为，则向量等于（ ）
A． B．
C． D．1
【即学即练2】已知向量，满足，，且与的夹角为，则（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【即学即练3】若非零向量，，满足，且，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
【即学即练4】在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝4，则·＝________，·＝________，·＝________.
【即学即练5】在中，，点D在上，，，则（　　）
A．8 B．10 C．12 D．16.
知识点02 平面向量数量积的坐标表示
　
若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．
注：对于·＝||·||·cos θ和·＝x1x2＋y1y2，两者无本质区别，计算时根据已知条件选用即可．可用坐标运算的结果判断cosθ的正负．
【即学即练6】已知，，则=___________.
【即学即练7】设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝(　　)
A．12　　　B．0 C．－3 D．－11
【即学即练8】已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝，则a·b＝________.
【即学即练9】已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x＝(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
知识点03　两个向量垂直的坐标表示
设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b a·b＝0 ．
注：这个结论与∥ x1y2－x2y1＝0不能混淆．可以从平行与垂直的定义理解．设非零向量的起点均为原点O，的终点为A，的终点为B， ＝(x1，y1)， ＝(x2，y2)．若∥，且x1，x2不为0，则kOA ＝kOB，即 ＝，得x2y1－x1y2 ＝0.垂直则是从数量积的角度理解，若⊥，则cos θ ＝0(θ为向量与的夹角)，· ＝0，即x1x2＋y1y2 ＝0.
【即学即练10】已知向量，且，则_______.
【即学即练11】已知向量，，若，则t的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．1或2
【即学即练12】设向量a＝(3,3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________.
知识点04　向量模的坐标表示
1．向量模的坐标表示
若a＝(x，y)，则|a|2＝x2+y2，或|a|＝．
在平面直角坐标系中，若＝a＝(x，y)，
则||＝|a|，即|a|为点A到原点的距离．
2．两点间的距离公式
若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝＝(x2－x1，y2－y1)，||＝．
注：如何准确把握向量的模的坐标表示与两点间的距离公式
(1)向量的长度(或模)是该向量与其自身的数量积的算术平方根，由数量积的坐标公式即可推出向量长度的坐标计算公式；
(2)||即为A，B两点间的距离，||的计算公式与解析几何中两点间的距离公式是完全一致的；
(3)若已知向量的坐标或表示向量的有向线段的起点和终点的坐标，可分别利用上述两个公式求向量的模，它们在本质上是一致的．
3．向量a的单位向量的坐标表示
因为向量a的单位向量a0＝±，
若a＝(x，y)，则|a|＝，所以a0＝±＝．
【即学即练13】已知a＝(1，)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝________.
【即学即练14】设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于(　　)
A. B. C. D.
【即学即练15】已知向量，且，，则（ ）
A．3 B． C． D．
知识点05 两向量夹角余弦的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则cos θ＝＝(|a||b|≠0)．
【即学即练16】已知向量，，则与夹角的大小为_________.
【即学即练17】已知向量，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【即学即练18】设向量，，则与夹角的余弦值为（ ）
A．0 B． C． D．1
【即学即练19】已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：
(1)a与b的夹角为直角；
(2)a与b的夹角为钝角；
(3)a与b的夹角为锐角．
题型一：向量数量积的计算及其几何意义
例1．（2024高一下·江西上饶·阶段练习）在等腰梯形 中，，，则下列各组向量夹角为的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
变式1．（2024高一下·北京顺义·阶段练习）若均为非零向量，则是与共线的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
例2．（2024高一下·河南·阶段练习）已知向量与的夹角为60°，其中，，则（ ）
A．6 B．5 C．3 D．2
变式1．（2024高一下·湖北武汉·阶段练习）在中，，，为的中点，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．0
变式2．（2024高二上·四川成都·开学考试）在中，，M是边的中点，O为的外心，则（ ）
A．8 B． C．16 D．17
变式3．（2024高三上·北京海淀·阶段练习）在中，，，是外接圆的圆心，在线段上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
向量数量积的求法
(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键．
(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．
题型二：求向量的模
例3．（2024高一下·全国·专题练习）已知向量，，若，，与的夹角为，则＝（　　）
A．6 B．
C．3 D．
变式1．（2024高三下·安徽滁州·阶段练习）已知向量满足，则（ ）
A．3 B． C．7 D．
变式2．（2024高三下·四川·期末）已知向量、、满足，，且，则（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2024高三·陕西西安·阶段练习）若向量与的夹角为，，则等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．12
变式4．（2024·全国·模拟预测）已知平面向量，满足，，，则实数k的值为（ ）
A．1 B．3 C．2 D．
变式5．（2024高一下·河南焦作·期中）已知，点在线段上，且的最小值为，则（）的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
【方法技巧与总结】
求向量的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
题型三：向量的夹角与垂直问题
（一）求向量的夹角
例4．（2024高三上·山东烟台·期末）已知，则向量与夹角的大小为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2024高一下·全国·专题练习）已知非零向量 ,满足，且 则的夹角为（ ）
A．45° B．135°
C．60° D．120°
变式2．（2024高三下·重庆·开学考试）已知向量与是非零向量，且满足在上的投影向量为，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2024高三·全国·专题练习）已知向量，满足，，，则（　　）
A． B．
C． D．
变式4．（2024·四川巴中·一模）已知向量，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
（二）已知两向量的夹角求相关参数的值
例5．（2024高三·全国·专题练习）已知，，与的夹角为60°．若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
变式1．（2024高一下·陕西渭南·期末）已知分别是与轴、轴方向相同的单位向量，，，且的夹角为锐角，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（2024高一下·北京海淀·期末）已知向量，是两个单位向量，则“为锐角”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件（ ）
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
变式3．（2024高三上·北京怀柔·阶段练习）已知平面向量，满足，与的夹角为，若与的夹角为钝角，则一个满足条件的的值可以为 ．
变式4．（2024高一下·山东泰安·阶段练习）设两个向量满足．
(1)若，求的夹角；
(2)若的夹角为，向量与的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
变式5．（2024高一下·天津·期末）已知.求：
(1)与的夹角；
(2)；
(3)若与夹角为钝角，求的取值范围.
（三）向量垂直的问题
例6．（2024高一·江苏·专题练习）已知且向量与互相垂直，则k的值为（ ）
A． B．
C． D．1
变式1．（2024高一下·全国·专题练习）已知，，，且与垂直，则 .
变式2．（2024高三上·陕西·阶段练习）已知向量、满足，，与的夹角为，若，则 .
变式3．（2024高一·江苏·专题练习）已知是非零向量，当的模取最小值时，求证：．
变式4．（2024高一·江苏·专题练习）已知两个单位向量的夹角为60°，，若，则t＝ ．
变式5．（2024高二上·全国·阶段练习）已知向量、的夹角为．
(1)求·的值
(2)当时，对于任意的，证明，和都垂直．
【方法技巧与总结】
1、求向量a，b的夹角θ有两步：第一步，利用公式cos θ＝求cos θ；第二步，根据θ∈[0，π]确定θ.而求cos θ有两种情形，一种是求出a·b，|a|，|b|的值；另一种是得到a·b，|a|，|b|之间的关系分别代入公式计算．
2、向量垂直问题的处理思路
解决与垂直相关题目的依据是a⊥b a·b＝0，利用数量积的运算律代入，结合与向量的模、夹角相关的知识解题．
题型四：平面向量数量积的坐标运算
例7．（2024高一下·甘肃张掖·阶段练习）已知，则等于（　　）
A．10 B． C．3 D．
变式1．（2024高三上·青海西宁·期末）已知向量，，则（ ）
A． B．1 C． D．2
变式2．（2024高一下·全国·专题练习）若向量，，，且满足条件，则（ ）
A．6 B．5
C．4 D．3
变式3．（2024高一下·全国·课后作业）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，，则 .
变式4．（2024高一下·江苏·阶段练习）已知向量，，且.
(1)求的值；
(2)求的取值范围；
(3)记函数，若的最小值为，求实数的值.
变式5．（2024高三上·河南·专题练习）已知向量，函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)当时，求函数的最值．
【方法技巧与总结】
向量数量积运算的途径及注意点
(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算．
(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，看到题目中的直角条件要敏锐地产生建系的想法，并写出相应点的坐标求解．
题型五：平面向量共线、垂直的坐标表示的应用
例8．（2024高一上·浙江绍兴·期末）已知向量，，且，则（ ）
A． B．2 C． D．
变式1．（2024高三上·湖南常德·期末）已知向量，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2024·福建漳州·模拟预测）已知向量，向量，向量，若与共线，，则（ ）
A． B．
C． D．
变式3．【多选】（2024高一下·云南红河·开学考试）已知向量，则下列结论正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
变式4．【多选】（2024高三上·浙江金华·期末）设平面向量，，（ ）
A．若，则 B．若，则
C．， D．，使
【方法技巧与总结】
根据向量共线、垂直求参数的值的基本思路
借助两向量平行和垂直的条件求解某参数的值，是向量坐标运算的重要应用之一，具体做法就是先借助a∥b a＝λb(λ∈R，b≠0) x1y2－x2y1＝0或a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))，列关于某参数的方程(或方程组)，然后解之即可．
题型六：平面向量的模与夹角
（一）向量的模
例9．（2024高一下·全国·专题练习）已知向量，，则 .
变式1．（2024高一·江苏·专题练习）已知向量，，且，则（　　）
A． B．5
C． D．
变式2．（2024高三上·全国·阶段练习）已知且，则 ．
变式3．（2024高一下·湖南岳阳·期末）设，向量，，且，则（ ）
A． B． C．10 D．
变式4．（2024高一下·全国·专题练习）设向量，且，则 ， .
变式5．（2024高三·全国·专题练习）在四边形中，，则四边形的面积为（ ）
A． B． C．2 D．15
（二）向量的夹角
例10．（2024高三上·辽宁·期中）已知向量，，，则 （ ）
A． B． C． D．
变式1．（2024高一·江苏·专题练习）已知向量，，则向量，的夹角为（　　）
A． B．
C． D．
变式2．（2024高一下·全国·专题练习）已知菱形中，，点为上一点，且，则的余弦值为 .
变式3．（2024高一下·全国·专题练习）已知向量，，且与夹角的余弦值为，则 .
变式4．（2024高三下·陕西安康·开学考试）已知向量，，，，则（ ）
A． B． C． D．
变式5．（2024高一·江苏·专题练习）已知，，若与的夹角为钝角，求的取值范围．
（三）三角形形状的判断
例11．（2024高一下·山东青岛·期中）在中，，若，则下列结论正确的为（ ）
A．一定为钝角三角形 B．一定不为直角三角形
C．一定为锐角三角形 D．可为任意三角形
变式1．（2024高一下·吉林长春·阶段练习）在中，下列命题正确的个数是（ ）
①；②；③若，则为等腰三角形；④，则为锐角三角形．
A．1 B．2 C．3 D．4
变式2．（2024高一下·山西朔州·期末）在中，下列说法错误的是（ ）
A．“”是“A为直角”的充要条件
B．“”是“A为锐角”的充要条件
C．“”是“是锐角三角形”的充分不必要条件
D．“”是“是钝角三角形”的充分不必要条件
变式3．（2024高三上·山东济南·期末）已知非零向量，满足，且，则为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【方法技巧与总结】
1.求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算
利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2)坐标表示下的运算
若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝.
2.根据向量的夹角求参数：由于两个非零向量a，b的夹角θ满足0≤θ≤π，且cos θ＝，故当θ＝0时，a·b＝|a|·|b|；当0<θ<时，a·b>0且<1；当θ＝时，a·b＝0；当<θ<π时，a·b<0且>－1；当θ＝π时，a·b＝－|a||b|.
3.判断三角形的形状要两判
一判三角形三边所在的向量两两数量积的大小．
二判三角形三边边长的关系．
一、单选题
1．（2024高一下·湖南益阳·阶段练习）已知，，，则向量在向量方向上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知点是边长为2的正三角形的重心，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．（2024高一下·山东滨州·开学考试）已知，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高三上·全国·竞赛）平面向量，则（ ）
A．3 B．5 C．7 D．11
5．（2024高一·全国·专题练习）若O是所在平面内的一点，且满足，则的形状为（　　）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形
6．（2024·四川成都·二模）在中，“”是“是钝角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2024高一·江苏·专题练习）已知平面向量与的夹角为60°，||＝2，||＝4，则|＋4|＝（ ）
A．10 B．2
C．10 D．4
8．（2024高三下·重庆·阶段练习）已知向量，且，则（ ）
A． B．2 C． D．
二、多选题
9．（2024高一上·浙江绍兴·期末）下面给出的关系式中，不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024高一下·湖南长沙·开学考试）已知向量，，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．与向量平行的单位向量仅有 D．向量在向量上的投影向量为
11．（2024高一下·全国·专题练习）已知向量则下列说法正确的是（ ）
A．的相反向量是
B．若，则
C．在上的投影向量为
D．若，则
12．（2024高三下·浙江·开学考试）已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A． B．与的夹角为
C． D．在上的投影向量是
三、填空题
13．（2024高一下·全国·专题练习）已知向量，，若，则 .
14．（2024高一下·广西南宁·开学考试）已知向量，满足，，则 ．
15．（2024高一·江苏·专题练习）已知向量,,若,则 ．
16．（2024高一下·江苏·专题练习）已知，是单位向量，，．若，则与的夹角为 ．
四、解答题
17．（2024高一下·江苏·专题练习）已知向量.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
18．（2024高一下·北京·期中）已知向量 和 ，则 ,, 求：
(1) 的值；
(2) 的值；
(3) 与 的夹角θ的余弦值．
19．（2024高一下·江苏连云港·阶段练习）已知向量，，．
(1)求
(2)若，求实数的值．
20．（2024高一下·全国·专题练习）已知.
(1)设的夹角为θ，求cos θ的值；
(2)若向量与互相垂直，求k的值.
21．（2024高一下·全国·专题练习）已知非零向量，满足，且.
(1)求；
(2)当时，求和向量与的夹角的值．
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课程标准 学习目标
(1)通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积． (2)通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义． (3)能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角． (4)能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件． 1.理解向量数量积的定义及投影向量； 2.掌握向量积的运算律和运算性质. 3.学会用坐标表示平面向量的数量积，掌握两点之间的距离公式； 4..掌握平面向量的夹角公式； 5.能够用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 6.能够灵活运用向量数量积解决平面几何问题，主要涉及向量长度的计算和向量夹角的计算.
知识点01向量的数量积
1.定义
已知两个非零向量a与b，|a||b|cos θ称为a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角．零向量与任一向量的数量积为0．
2.几何意义
b的长度|b|与a在b方向上的投影数量|a|cos θ的乘积；或a的长度|a|与b在a方向上的投影数量|b|cos θ的乘积．
3.性质
(1)若e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉.
(2)若a，b是非零向量，则a·b＝0 a⊥b.
(3)a·a＝|a|2，即|a|＝．
(4)cos 〈a，b〉＝(|a||b|≠0)．
(5)|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．
4.运算律
交换律：a·b＝b·a
结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c
注：关于向量数量积应注意的问题
(1)若向量与的夹角为θ，θ＝0时，与同向；θ＝π时，与反向；θ＝时，⊥.
(2)求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，需平移．
(3)向量的数量积结果是一个数量，符号由cos θ的符号所决定，而向量的加减法和实数与向量的积的结果仍是向量．
(4)符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替．
【即学即练1】已知向量，满足，，且与的夹角为，则向量等于（ ）
A． B．
C． D．1
【解析】由条件可得，故选：D
【即学即练2】已知向量，满足，，且与的夹角为，则（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【解析】由题设，.
故选：B.
【即学即练3】若非零向量，，满足，且，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
【解析】因为非零向量，所以存在实数使得，
又因为，所以，
故选：D．
【即学即练4】在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝4，则·＝________，·＝________，·＝________.
【解析】由题意，得||＝4，||＝4，||＝4，
所以·＝4×4×cos 90°＝0，·＝4×4×cos 135°＝－16，·＝4×4×cos 135°＝－16.
【即学即练5】在中，，点D在上，，，则（　　）
A．8 B．10 C．12 D．16.
【解析】在中，因为，
所以，
所以.
故选：C．
知识点02 平面向量数量积的坐标表示
　
若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．
注：对于·＝||·||·cos θ和·＝x1x2＋y1y2，两者无本质区别，计算时根据已知条件选用即可．可用坐标运算的结果判断cosθ的正负．
【即学即练6】已知，，则=___________.
【解析】由题意可知：
【即学即练7】设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝(　　)
A．12　　　B．0 C．－3 D．－11
【解析】∵a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，∴a＋2b＝(－5,6)，∴(a＋2b)·c＝(－5)×3＋6×2＝－3.
【即学即练8】已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝，则a·b＝________.
【解析】因为a＝(－2，－6)，所以|a|＝ ＝2. 又|b|＝，向量a与b的夹角为60°，
所以a·b＝|a||b|cos 60°＝2××＝10.
答案：10
【即学即练9】已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x＝(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
【解析】由题意可得，8a－b＝(6,3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，∴18＋3x＝30，解得x＝4.
知识点03　两个向量垂直的坐标表示
设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b a·b＝0 ．
注：这个结论与∥ x1y2－x2y1＝0不能混淆．可以从平行与垂直的定义理解．设非零向量的起点均为原点O，的终点为A，的终点为B， ＝(x1，y1)， ＝(x2，y2)．若∥，且x1，x2不为0，则kOA ＝kOB，即 ＝，得x2y1－x1y2 ＝0.垂直则是从数量积的角度理解，若⊥，则cos θ ＝0(θ为向量与的夹角)，· ＝0，即x1x2＋y1y2 ＝0.
【即学即练10】已知向量，且，则_______.
【解析】因为，且，
所以，解得.
故答案为：
【即学即练11】已知向量，，若，则t的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．1或2
【解析】因为向量，，所以，因为，所以，解得：，
故选：A.
【即学即练12】设向量a＝(3,3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________.
【解析】(a＋λb)⊥(a－λb) (a＋λb)·(a－λb)＝a2－λ2b2＝0 18－2λ2＝0 λ＝±3.
答案：±3
知识点04　向量模的坐标表示
1．向量模的坐标表示
若a＝(x，y)，则|a|2＝x2+y2，或|a|＝．
在平面直角坐标系中，若＝a＝(x，y)，
则||＝|a|，即|a|为点A到原点的距离．
2．两点间的距离公式
若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝＝(x2－x1，y2－y1)，||＝．
注：如何准确把握向量的模的坐标表示与两点间的距离公式
(1)向量的长度(或模)是该向量与其自身的数量积的算术平方根，由数量积的坐标公式即可推出向量长度的坐标计算公式；
(2)||即为A，B两点间的距离，||的计算公式与解析几何中两点间的距离公式是完全一致的；
(3)若已知向量的坐标或表示向量的有向线段的起点和终点的坐标，可分别利用上述两个公式求向量的模，它们在本质上是一致的．
3．向量a的单位向量的坐标表示
因为向量a的单位向量a0＝±，
若a＝(x，y)，则|a|＝，所以a0＝±＝．
【即学即练13】已知a＝(1，)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝________.
【解析】因为a＋b＝(－1，)，所以|a＋b|＝＝2.
答案：2
【即学即练14】设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于(　　)
A. B. C. D.
【解析】∵a∥b，∴1×y－2×(－2)＝0，解得y＝－4，从而3a＋b＝(1,2)，|3a＋b|＝.
【即学即练15】已知向量，且，，则（ ）
A．3 B． C． D．
【解析】向量，由得：，即，
由得：，即，于是得，，，
所以.
故选：B
知识点05 两向量夹角余弦的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则cos θ＝＝(|a||b|≠0)．
【即学即练16】已知向量，，则与夹角的大小为_________.
【解析】设与夹角为，则由已知得，
∵，∴.
故答案为：.
【即学即练17】已知向量，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为，所以，
又因为，设 与的夹角为 ， ，
所以 ，即 ，
解得 ，故 ，
故选：A.
【即学即练18】设向量，，则与夹角的余弦值为（ ）
A．0 B． C． D．1
【解析】，则.
故选：B
【即学即练19】已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：
(1)a与b的夹角为直角；
(2)a与b的夹角为钝角；
(3)a与b的夹角为锐角．
【解析】设a与b的夹角为θ，
则a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.
(1)因为a与b的夹角为直角，所以cos θ＝0，
所以a·b＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－.
(2)因为a与b的夹角为钝角，所以cos θ<0且cos θ≠－1，
所以a·b<0且a与b不反向．
由a·b<0得1＋2λ<0，故λ<－，
由a与b共线得λ＝2，故a与b不可能反向．
所以λ的取值范围为.
(3)因为a与b的夹角为锐角，所以cos θ>0，且cos θ≠1，
所以a·b>0且a，b不同向．
由a·b>0，得λ>－，由a与b同向得λ＝2.
所以λ的取值范围为∪(2，＋∞)．
题型一：向量数量积的计算及其几何意义
例1．（2024高一下·江西上饶·阶段练习）在等腰梯形 中，，，则下列各组向量夹角为的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】B
【分析】
根据向量夹角的概念结合等腰梯形的几何性质，即可判断出答案.
【详解】由题意可得与的夹角为，A错误；
如图，作，交与于E，则，
故与的夹角，B正确；
由于，故与的夹角等于与的夹角，
即为，C错误；
与的夹角为，D错误；
故选：B
变式1．（2024高一下·北京顺义·阶段练习）若均为非零向量，则是与共线的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】由，可得，而与共线意味着或，由此即可得解.
【详解】一方面：由，可得，此时与共线;
另一方面：由与共线，可得或，此时有或，
即此时不一定成立.
结合以上两方面有是与共线的充分不必要条件.
故选：A.
例2．（2024高一下·河南·阶段练习）已知向量与的夹角为60°，其中，，则（ ）
A．6 B．5 C．3 D．2
【答案】C
【分析】根据向量数量积公式，即可求解.
【详解】.
故选：C
变式1．（2024高一下·湖北武汉·阶段练习）在中，，，为的中点，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】D
【分析】设，由，根据三角形的面积公式，求得，得，进而得到答案.
【详解】如图所示，因为点为的中点，可得，
设，可得，
解得，所以，所以，所以.
故选：D.

变式2．（2024高二上·四川成都·开学考试）在中，，M是边的中点，O为的外心，则（ ）
A．8 B． C．16 D．17
【答案】B
【分析】
根据题意可将向量数量积转化到向量上去，再代入数据即可计算得出结论.
【详解】
由题意，取的中点为，连接，如下图所示：

易知，；
可得，
又，同理；
所以
故选：B
变式3．（2024高三上·北京海淀·阶段练习）在中，，，是外接圆的圆心，在线段上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设的中点分别为，连接，根据外心的性质可得，，结合三点共线设，进而运算求解即可.
【详解】设的中点分别为，连接，则，
可得，
同理可得，
因为在线段上，设，
则
，
所以的取值范围是.
故选：B.
【点睛】关键点睛：1.对于外心的数量积问题，常借助于外心的性质结合中点分析求解；
2.对于三点共线常结合结论：若三点共线，则，且，分析求解.
【方法技巧与总结】
向量数量积的求法
(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键．
(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．
题型二：求向量的模
例3．（2024高一下·全国·专题练习）已知向量，，若，，与的夹角为，则＝（　　）
A．6 B．
C．3 D．
【答案】A
【分析】由数量积公式结合得出答案.
【详解】∵向量，，与的夹角为，
∴，
∴.
故选：A.
变式1．（2024高三下·安徽滁州·阶段练习）已知向量满足，则（ ）
A．3 B． C．7 D．
【答案】B
【分析】根据平面向量模的运算性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.
【详解】∵向量满足，
，
，
，
.
故选：B
变式2．（2024高三下·四川·期末）已知向量、、满足，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求得的值，再利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.
【详解】因为，，且，
则，可得，
所以，，故.
故选：B.
变式3．（2024高三·陕西西安·阶段练习）若向量与的夹角为，，则等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．12
【答案】C
【分析】根据向量数量积运算化简已知条件，从而求得.
【详解】因为
，
，解得（负根舍去）.
故选：C
变式4．（2024·全国·模拟预测）已知平面向量，满足，，，则实数k的值为（ ）
A．1 B．3 C．2 D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律求解即得.
【详解】将两边同时平方，得，而，，，
因此，即依题意，又，所以.
故选：A
变式5．（2024高一下·河南焦作·期中）已知，点在线段上，且的最小值为，则（）的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】由取得最小值得点为线段的中点，由得，
由配方可得答案.
【详解】当时，取得最小值，因为，
所以此时点为线段的中点，
因为，所以，故，
则，
因为，
故．
故选：B.
【方法技巧与总结】
求向量的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
题型三：向量的夹角与垂直问题
（一）求向量的夹角
例4．（2024高三上·山东烟台·期末）已知，则向量与夹角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用向量的数量积公式，求解即可.
【详解】结合题意：设向量与夹角为，
，
因为，所以，解得.
因为，所以.
故选：B.
变式1．（2024高一下·全国·专题练习）已知非零向量 ,满足，且 则的夹角为（ ）
A．45° B．135°
C．60° D．120°
【答案】B
【分析】
由向量垂直计算得，再利用夹角公式求解.
【详解】根据题意，设的夹角为θ，因为，，
所以,
变形可得,则
.又，
所以θ＝135°.
故选:B.
变式2．（2024高三下·重庆·开学考试）已知向量与是非零向量，且满足在上的投影向量为，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据投影向量、向量数量积等知识求得正确答案.
【详解】设与的夹角为，
在上的投影向量为
所以，
所以，
所以为钝角，且.
故选：A
变式3．（2024高三·全国·专题练习）已知向量，满足，，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
借助向量数量积的计算及夹角公式计算即可得.
【详解】
，
，
故.
故选：D.
变式4．（2024·四川巴中·一模）已知向量，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将平方，求出的值，即可求得以及的值，根据向量的夹角公式，即可求得答案.
【详解】由题意知向量，满足，，，
故，即，
则，
，
故，
故选：A
（二）已知两向量的夹角求相关参数的值
例5．（2024高三·全国·专题练习）已知，，与的夹角为60°．若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
【答案】
【分析】先求得，根据向量的夹角为锐角，得到且，不共线，由此列式来求得的取值范围.
【详解】由题意知，，
∵与的夹角为锐角，∴且，不共线，
假设，共线，则存在实数，使得，
由题知，，不共线，∴，∴，
∴若，不共线，则．
，即，∴，
即，得．
综上，且，
∴的取值范围为．
变式1．（2024高一下·陕西渭南·期末）已知分别是与轴、轴方向相同的单位向量，，，且的夹角为锐角，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由向量夹角为锐角可知且不同向，由此可构造不等式组求得结果.
【详解】的夹角为锐角，且不同向，
，解得：且，
实数的取值范围为.
故选：B.
变式2．（2024高一下·北京海淀·期末）已知向量，是两个单位向量，则“为锐角”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件（ ）
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据向量的夹角得出差向量的模长判断充分条件,举反例判断必有条件即得.
【详解】已知向量，是两个单位向量，设，夹角为，所以，
，
，
“为锐角”是“”的充分条件成立；
时，即时，，，不为锐角，
所以“为锐角”是“”的不必要条件．故A正确．
故选：A.
变式3．（2024高三上·北京怀柔·阶段练习）已知平面向量，满足，与的夹角为，若与的夹角为钝角，则一个满足条件的的值可以为 ．
【答案】（答案不唯一，只要满足即可）
【分析】由题意可得且这两个向量不共线，再结合数量积的运算律及平面向量共线定理即可得解.
【详解】因为，与的夹角为，
所以，
因为与的夹角为钝角，
所以且这两个向量不共线，
，解得，
当时，
存在唯一实数，使得，
所以，所以，
又不共线，所以，
综上所述，，
所以满足条件的的值可以为.
故答案为：.（答案不唯一，只要满足即可）
变式4．（2024高一下·山东泰安·阶段练习）设两个向量满足．
(1)若，求的夹角；
(2)若的夹角为，向量与的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
【答案】(1)
(2)且
【分析】（1）先由可求，再用向量夹角余弦的公式可得，则的夹角可求.
（2）由向量与的夹角为钝角，可得且与不共线，再求解相应不等式即可.
【详解】（1）
又
即
又
（2）的夹角为且
向量与的夹角为钝角
且与不共线
即
解得：且
实数t的取值范围且
变式5．（2024高一下·天津·期末）已知.求：
(1)与的夹角；
(2)；
(3)若与夹角为钝角，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据向量的运算法则，列出方程，求得，即可求解；
（2）根据题意，求得，即可求得的值；
（3）由与夹角为钝角，得到且与不共线，列出不等式组，即可求解.
【详解】（1）因为，
可得，
即，解得，
又因为的取值范围为，可得.
（2）由，且，
可得
所以.
（3）若与夹角为钝角，则满足且与不共线
所以，即，解得，
令，可得，解得，
综上可得且，即求的取值范围.
（三）向量垂直的问题
例6．（2024高一·江苏·专题练习）已知且向量与互相垂直，则k的值为（ ）
A． B．
C． D．1
【答案】B
【分析】
根据向量垂直时数量积为0，结合数量积的运算律，列方程求解，即可求得答案.
【详解】
因为向量与互相垂直，
所以．所以，
因为，所以，
所以，解得，
故选：B
变式1．（2024高一下·全国·专题练习）已知，，，且与垂直，则 .
【答案】
【分析】由平面向量的数量积及向量垂直的充要条件即可求解.
【详解】，
与垂直，
，
∴.
故答案为：.
变式2．（2024高三上·陕西·阶段练习）已知向量、满足，，与的夹角为，若，则 .
【答案】/
【分析】运用平面向量数量积公式计算即可.
【详解】因为，，与的夹角为，
所以.
因为，
所以，
解得.
故答案为：.
变式3．（2024高一·江苏·专题练习）已知是非零向量，当的模取最小值时，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】
根据题意，由平面向量的模长公式，代入计算，即可证明.
【详解】
因为，
所以当时，有最小值．
此时，
所以．
变式4．（2024高一·江苏·专题练习）已知两个单位向量的夹角为60°，，若，则t＝ ．
【答案】2
【分析】
结合，将向量等式两边与作数量积，再利用向量数量积的定义式展开就算即得.
【详解】
将的两边分别与作数量积得：
化简得：，即，解得：
故答案为：2.
变式5．（2024高二上·全国·阶段练习）已知向量、的夹角为．
(1)求·的值
(2)当时，对于任意的，证明，和都垂直．
【答案】(1)2
(2)证明见解析
【分析】（1）根据数量积的定义运算求解；
（2）根据向量垂直结合数量积的运算律运算求解.
【详解】（1）．
（2）当时，，
则，与实数的值无关，
即当时，对于任意的，和都垂直．
【方法技巧与总结】
1、求向量a，b的夹角θ有两步：第一步，利用公式cos θ＝求cos θ；第二步，根据θ∈[0，π]确定θ.而求cos θ有两种情形，一种是求出a·b，|a|，|b|的值；另一种是得到a·b，|a|，|b|之间的关系分别代入公式计算．
2、向量垂直问题的处理思路
解决与垂直相关题目的依据是a⊥b a·b＝0，利用数量积的运算律代入，结合与向量的模、夹角相关的知识解题．
题型四：平面向量数量积的坐标运算
例7．（2024高一下·甘肃张掖·阶段练习）已知，则等于（　　）
A．10 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】
根据题意，利用向量的数量积的坐标运算公式，准确计算即可求解.
【详解】
由向量，可得，
所以.
故选：B.
变式1．（2024高三上·青海西宁·期末）已知向量，，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】
根据向量运算的坐标表示求得正确答案.
【详解】.
故选：A
变式2．（2024高一下·全国·专题练习）若向量，，，且满足条件，则（ ）
A．6 B．5
C．4 D．3
【答案】C
【分析】
代入向量的运算公式，即可求解.
【详解】
因为，，所以，，
则，解得：.
故选：C
变式3．（2024高一下·全国·课后作业）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，，则 .
【答案】
【分析】
建系，根据平面向量的坐标运算求解.
【详解】
建立平面直角坐标系如图所示，则，
因为，则，可得，
所以.
故答案为：.
变式4．（2024高一下·江苏·阶段练习）已知向量，，且.
(1)求的值；
(2)求的取值范围；
(3)记函数，若的最小值为，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用数量积结合两角和的余弦公式求的值；
（2）平方再开方，结合角的范围求的取值范围；
（3）把前面的结果代入，换元后得二次函数，利用对称轴和所得区间的关系讨论得解.
【详解】（1）向量，，
.
（2），
，
，，，
所以的取值范围为.
（3）由（1）（2）可知，函数，
令，则，
，其图像抛物线开口向上，对称轴方程为，
当，即时，最小值为，解得（舍去）；
当，即时，最小值为，解得或（舍去）；
当，即时，最小值为.
综上可知，.
变式5．（2024高三上·河南·专题练习）已知向量，函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)当时，求函数的最值．
【答案】(1)
(2)最大值0，最小值
【分析】（1）根据数量积的定义，两角和的正弦公式，二倍角公式化简函数解析式，再由正弦型函数周期公式求函数周期；
（2）利用不等式性质求的范围，再由正弦函数和一次函数性质求函数的最值．
【详解】（1）由已知得，
，
所以的最小正周期；
（2）当时，，，
则，
当，即时，函数有最大值；
当，即，函数有最小值．
【方法技巧与总结】
向量数量积运算的途径及注意点
(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算．
(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，看到题目中的直角条件要敏锐地产生建系的想法，并写出相应点的坐标求解．
题型五：平面向量共线、垂直的坐标表示的应用
例8．（2024高一上·浙江绍兴·期末）已知向量，，且，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】
由，可得，计算即可得的值.
【详解】由，故，故.
故选：D.
变式1．（2024高三上·湖南常德·期末）已知向量，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意得，即，代入即可求解．
【详解】已知向量，，
若，则，即，
则的值为．
故选：D．
变式2．（2024·福建漳州·模拟预测）已知向量，向量，向量，若与共线，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据向量共线以及垂直的坐标表示，列出关于的方程组，求解即可.
【详解】因为与共线，所以，解得.
又，所以，解得，所以，所以.
故选：C.
变式3．【多选】（2024高一下·云南红河·开学考试）已知向量，则下列结论正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】
利用向量平行与垂直的坐标表示，对选项逐一分析判断即可得解.
【详解】
因为，
对于AB，，则，故A正确，B错误；
对于C，，，
则，则，故C正确；
对于D，，显然，
则，故不成立，故D错误.
故选：AC.
变式4．【多选】（2024高三上·浙江金华·期末）设平面向量，，（ ）
A．若，则 B．若，则
C．， D．，使
【答案】ABC
【分析】
利用向量垂直，平行的充分必要条件得到ABD，利用向量的模长和二次函数得到C即可.
【详解】A：当时，，故A正确；
B：若，，，所以，所以，故B正确；
C：，故C正确；
D：若，则，等式不成立，故D错误.
故选：ABC
【方法技巧与总结】
根据向量共线、垂直求参数的值的基本思路
借助两向量平行和垂直的条件求解某参数的值，是向量坐标运算的重要应用之一，具体做法就是先借助a∥b a＝λb(λ∈R，b≠0) x1y2－x2y1＝0或a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))，列关于某参数的方程(或方程组)，然后解之即可．
题型六：平面向量的模与夹角
（一）向量的模
例9．（2024高一下·全国·专题练习）已知向量，，则 .
【答案】
【分析】根据向量的坐标运算，求得，结合模的坐标运算，即可求解.
【详解】由向量，，所以，
所以.
故答案为：.
变式1．（2024高一·江苏·专题练习）已知向量，，且，则（　　）
A． B．5
C． D．
【答案】B
【分析】
根据向量垂直的坐标运算求出，再根据向量加减的坐标运算和向量模的计算公式即可.
【详解】
由，可得，代入坐标运算可得，解得，
所以，得，
故选：B．
变式2．（2024高三上·全国·阶段练习）已知且，则 ．
【答案】
【分析】由数量积的坐标运算可求得，由此可计算得到所求模长．
【详解】．
故答案为：
变式3．（2024高一下·湖南岳阳·期末）设，向量，，且，则（ ）
A． B． C．10 D．
【答案】D
【分析】根据题意，列出方程求得，结合向量的坐标运算，即可求解.
【详解】由向量，，
因为，可得，解得，
所以，所以.
故选：D.
变式4．（2024高一下·全国·专题练习）设向量，且，则 ， .
【答案】
【分析】由，化简得到，列出方程求得，再由向量模的坐标运算公式，即可求解.
【详解】由向量且，
可得，所以，
则，解得，所以，
所以，则.
故答案为：；.
变式5．（2024高三·全国·专题练习）在四边形中，，则四边形的面积为（ ）
A． B． C．2 D．15
【答案】D
【分析】设相交于点，首先证明四边形对角线互相垂直，从而由即可得解.
【详解】因为，
所以，即四边形对角线互相垂直，
设相交于点，
则
．
故选：D．
（二）向量的夹角
例10．（2024高三上·辽宁·期中）已知向量，，，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平面向量数量积的坐标表示及夹角公式求解即可.
【详解】因为，
所以．
故选：A.
变式1．（2024高一·江苏·专题练习）已知向量，，则向量，的夹角为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据向量线性运算的坐标运算，结合向量夹角公式可得解.
【详解】
由，，可知，
所以，，
且，
设，的夹角为，
则，
又因为，所以，
故选：B.
变式2．（2024高一下·全国·专题练习）已知菱形中，，点为上一点，且，则的余弦值为 .
【答案】
【分析】建立如图平面直角坐标系，利用平面向量的坐标表示和数量积的定义与坐标表示计算即可求解.
【详解】设与交于点，以为坐标原点，
，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系，
如图所示，则，
所以，
有，
则.
故答案为：
变式3．（2024高一下·全国·专题练习）已知向量，，且与夹角的余弦值为，则 .
【答案】1或
【分析】利用数量积运算性质、向量的夹角公式即可得出.
【详解】因为 ，，，
，显然，
故有：，解得或
故答案为：1或.
变式4．（2024高三下·陕西安康·开学考试）已知向量，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量夹角的坐标运算可构造方程求得结果.
【详解】，，，
由得：，，解得：.
故选：C.
变式5．（2024高一·江苏·专题练习）已知，，若与的夹角为钝角，求的取值范围．
【答案】
【分析】
转化为并去掉两向量共线反方向的情况.
【详解】因为与的夹角为钝角，所以且与不共线（反向），
则，解得，
当时，，解得，此时两向量共线反向量，
又与不共线反向，所以，
所以的取值范围是．
（三）三角形形状的判断
例11．（2024高一下·山东青岛·期中）在中，，若，则下列结论正确的为（ ）
A．一定为钝角三角形 B．一定不为直角三角形
C．一定为锐角三角形 D．可为任意三角形
【答案】D
【分析】
根据数量积的概念即可判断为锐角，再利用三角形的定义判断即可.
【详解】因为，所以，所以，
所以为锐角，但是不能确定其它角是否为锐角、直角或钝角，所以不能确定的形状，
故可为任意三角形.
故选：D
变式1．（2024高一下·吉林长春·阶段练习）在中，下列命题正确的个数是（ ）
①；②；③若，则为等腰三角形；④，则为锐角三角形．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
根据向量的运算公式，即可判断选项.
【详解】
①，故①错误；②.故②正确；
③，则，为等腰三角形，故③正确；
④若，只能说明中，角是锐角，不能说明其它角的情况，所以不能判断为锐角三角形，故④错误.
故选：B
变式2．（2024高一下·山西朔州·期末）在中，下列说法错误的是（ ）
A．“”是“A为直角”的充要条件
B．“”是“A为锐角”的充要条件
C．“”是“是锐角三角形”的充分不必要条件
D．“”是“是钝角三角形”的充分不必要条件
【答案】C
【分析】
根据向量的运算法则，以及向量的数量积的概念，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由，可得，
平方可得，解得，
所以，所以为直角，即充分性成立；
若为直角，可得，所以，则，
即，所以必要性也成立，所以A正确；
对于B中，由，可得，可得，
所以为锐角，所以充分性成立，
当为锐角，可得，可得，即，所以必要性也成立，所以B正确；
对于C中，由，可得为锐角，但不一定为锐角三角形，所以充分性不成立，所以C错误；
对于D中，由，可得为钝角，所以为钝角三角形，即充分性成立，
当为钝角三角形，不一定为钝角，即必要性不一定成立，
所以是是钝角三角形的充分不必要条件，所以D正确.
故选：C.
变式3．（2024高三上·山东济南·期末）已知非零向量，满足，且，则为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】D
【分析】由左右互除得出，再由，得出，即可得出答案.
【详解】，
，
，
，
为等腰三角形，
又，
，
，又，所以，
为等边三角形，
故选：D.
【方法技巧与总结】
1.求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算
利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2)坐标表示下的运算
若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝.
2.根据向量的夹角求参数：由于两个非零向量a，b的夹角θ满足0≤θ≤π，且cos θ＝，故当θ＝0时，a·b＝|a|·|b|；当0<θ<时，a·b>0且<1；当θ＝时，a·b＝0；当<θ<π时，a·b<0且>－1；当θ＝π时，a·b＝－|a||b|.
3.判断三角形的形状要两判
一判三角形三边所在的向量两两数量积的大小．
二判三角形三边边长的关系．
一、单选题
1．（2024高一下·湖南益阳·阶段练习）已知，，，则向量在向量方向上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据投影向量定义直接求解即可.
【详解】，，
向量在向量方向上的投影向量为.
故选：D.
2．（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知点是边长为2的正三角形的重心，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】以线段的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，根据题意求得的坐标，结合向量的数量积的坐标运算公式，即可求解.
【详解】如图所示，以线段的中点为坐标原点，以线段所在的直线为轴，线段的垂直的平分线为轴，建立平面直角坐标系，
因为的边长为，可得，
又因为为的重心，可得，所以，
则.
故选：C.
3．（2024高一下·山东滨州·开学考试）已知，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据向量在向量上的投影公式进行计算即可.
【详解】因为向量在向量上的投影向量为：，
故选：C.
4．（2024高三上·全国·竞赛）平面向量，则（ ）
A．3 B．5 C．7 D．11
【答案】B
【分析】
根据平面向量数量积的坐标表示及模的坐标表示即可求解.
【详解】因为，所以，
所以.
故选：B
5．（2024高一·全国·专题练习）若O是所在平面内的一点，且满足，则的形状为（　　）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形
【答案】D
【分析】根据平面向量的线性运算可以得出，进而得到，由此可判断出的形状.
【详解】∵，，
∴，两边平方，化简得∴.
∴为直角三角形.
因为不一定等于，所以不一定为等腰直角三角形.
故选：D.
6．（2024·四川成都·二模）在中，“”是“是钝角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】
由向量减法以及模的运算公式平方可得，结合数量积的几何意义即可得解.
【详解】
“”等价于“”，
所以
从而，显然A，B，C不共线，原条件等价于是钝角.
故选：C．
7．（2024高一·江苏·专题练习）已知平面向量与的夹角为60°，||＝2，||＝4，则|＋4|＝（ ）
A．10 B．2
C．10 D．4
【答案】B
【分析】
利用展开计算即可.
【详解】
.
故选：B.
8．（2024高三下·重庆·阶段练习）已知向量，且，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】利用向量的模及数量积的坐标运算及向量垂直的条件即可求解.
【详解】因为，
所以.
因为，
所以，即，解得.
故选：C.
二、多选题
9．（2024高一上·浙江绍兴·期末）下面给出的关系式中，不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】
根据向量数量积的运算性质求解.
【详解】对A：由可得，而，故A说法正确；
对B：取，则成立，但不一定成立，故B说法错误；
对C：表示与共线的向量，而表示与共线的向量，所以不一定成立，故C说法错误；
对D：，故，故D说法错误.
故选：BCD
10．（2024高一下·湖南长沙·开学考试）已知向量，，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．与向量平行的单位向量仅有 D．向量在向量上的投影向量为
【答案】ABD
【分析】
对A：借助垂直定义计算数量积即可得；对B：借助模长定义计算即可得；对C：与向量平行的单位向量有、；对D：借助投影向量公式计算即可得.
【详解】
对A：，，所以，故A正确；
对B：，所以，故B正确；
对C：，则有、，
即与向量平行的单位向量有、，故C错误；
对D：向量在向量上的投影向量为，
故D正确．
故选：ABD．
11．（2024高一下·全国·专题练习）已知向量则下列说法正确的是（ ）
A．的相反向量是
B．若，则
C．在上的投影向量为
D．若，则
【答案】AC
【分析】
根据相反向量定义以及投影向量的公式计算可以判断AC，计算，由向量垂直以及向量共线的运算法则计算可求出的值，从而判断BD.
【详解】对于A，由相反向量的定义，即可得到的相反向量是，故A正确；
对于B，因为，所以，
又，且，所以，解得，故B错误；
对于C，因为，所以，，
所以在上的投影向量为，故C正确；
对于D，因为，又，且，
所以，解得，故D错误．
故选：AC.
12．（2024高三下·浙江·开学考试）已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A． B．与的夹角为
C． D．在上的投影向量是
【答案】BCD
【分析】
根据平面向量数量积的坐标运算逐项判断.
【详解】对于A：，故A错误.
对于B：，因为，所以，故B正确；
对于C：，则，故C正确；
对于D：在上的投影向量是，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
13．（2024高一下·全国·专题练习）已知向量，，若，则 .
【答案】
【分析】
利用共线向量的坐标表示及模的坐标表示计算即得.
【详解】
向量，，，则，解得，即，
所以.
故答案为：
14．（2024高一下·广西南宁·开学考试）已知向量，满足，，则 ．
【答案】
【分析】
根据数量积的定义求出，再由数量积的运算律计算可得.
【详解】因为，，
所以，
所以.
故答案为：
15．（2024高一·江苏·专题练习）已知向量,,若,则 ．
【答案】1
【分析】
先分别计算出和,利用向量的模的运算求出和,根据等式即可求出的值.
【详解】
因为,,
则,
,
因为,所以,
解得：.
故答案为：.
16．（2024高一下·江苏·专题练习）已知，是单位向量，，．若，则与的夹角为 ．
【答案】
【分析】由，可得，化简得到，利用向量夹角公式即可得到答案.
【详解】因为，，
所以．
所以，设与的夹角为，则，
因为，所以
故答案为：
四、解答题
17．（2024高一下·江苏·专题练习）已知向量.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用得到的坐标，再利用即可求得答案；
（2）根据，展开后可求得的值.
【详解】（1）因为，则，
且，则，
可得即，
所以.
（2）因为，则，且，
可知，所以，
又因为，则，
所以.
18．（2024高一下·北京·期中）已知向量 和 ，则 ,, 求：
(1) 的值；
(2) 的值；
(3) 与 的夹角θ的余弦值．
【答案】(1)；
(2)；
(3) ．
【分析】
（1）（2）根据平面向量的数量积的定义即可求解；
（3）根据平面向量的夹角公式即可求解．
【详解】（1）
∵ ,, .
∴ ；
（2）
∵,
∴ ；
（3）
∵,
∴
19．（2024高一下·江苏连云港·阶段练习）已知向量，，．
(1)求
(2)若，求实数的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根据向量坐标的线性运算，即可求解；
（2）根据向量垂直的坐标表示，即可求解.
【详解】（1）因为，，,
所以
（2），，
因为，
所以，
解得.
20．（2024高一下·全国·专题练习）已知.
(1)设的夹角为θ，求cos θ的值；
(2)若向量与互相垂直，求k的值.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）利用平面向量的夹角公式求解；
（2）根据向量与互相垂直，由求解.
【详解】（1）解：因为，，
设的夹角为θ，
所以；
（2）因为向量与互相垂直，
所以，即，即，
解得.
21．（2024高一下·全国·专题练习）已知非零向量，满足，且.
(1)求；
(2)当时，求和向量与的夹角的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）直接利用平方差公式计算即可；
（2）利用展开求解，然后利用求角.
【详解】（1）由已知得，即，
解得；
（2），
所以，
所以，
又
所以.
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