资源简介

第2章：平面向量及其应用章末综合测试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24高一下·天津滨海新·阶段练习）已知：，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·安徽合肥·阶段练习）已知，用，表示，则等于（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高一下·山西大同·阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．零向量没有方向 B．共线向量一定是相等向量
C．若向量同向，且，则 D．单位向量的模都相等
4．（23-24高一下·广西·阶段练习）若是两个单位向量，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（22-23高一下·江苏连云港·期中）在中，，，，则角B的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）设，为直线l上的两个不同的点，则，我们把与向量垂直的非零向量称为直线l的法向量．如果直线l经过点P（1，2），且它的一个法向量是（3，-1），则点A（3，2）到直线l的距离为（ ）
A．2 B． C． D．
7．（23-24高一下·重庆·阶段练习）碧津塔是著名景点·某同学为了浏量碧津塔的高，他在山下A处测得塔尖D的仰角为，再沿方向前进24.4米到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为，塔底点E的仰角为，那么碧津塔高约为（，）（ ）
A．37.54 B．38.23 C．39.53 D．40.52
8．（23-24高一下·山东·阶段练习）某课外兴趣小组研究发现，人们曾用三角测量法对珠穆朗玛峰高度进行测量，其方法为：首先在同一水平面上选定两个点并测量两点间的距离，然后分别测量其中一个点相对另一点以及珠峰顶点的张角，再在其中一点处测量珠峰顶点的仰角，最后计算得到珠峰高度．该兴趣小组运用这一方法测量学校旗杆的高度，已知该旗杆（C在水平面）垂直于水平面，水平面上两点的距离为，测得，其中，在点处测得旗杆顶点的仰角为，则该旗杆的高度为（单位：）（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（22-23高一下·宁夏银川·期末）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1船八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论正确的有（ ）

A． B．
C． D．
10．（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．若在坐标系中，，则下列结论正确的是（ ）

A． B．
C． D．与的夹角的余弦值为
11．（23-24高一下·山东烟台·阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，则有.设是锐角内的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的有（ ）
A．若，则为的重心
B．若，则
C．若，，，则
D．若为的垂心，则
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知等边三角形ABC边长为4，则在方向上的数量投影为 ．
13．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知向量，是平面内的一组基底，，，．若B，C，D三点共线，则λ＝
14．（21-22高一下·全国·期末）如图，在梯形中，，点是的中点，点在线段上，若，则的值为 .

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（23-24高一下·山东临沂·阶段练习）已知向量与的夹角，且，．
(1)求，；
(2)求在方向上的投影向量的模．
16．（23-24高一下·天津滨海新·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，．
(1)求角A的大小；
(2)求的值；
(3)求的面积.
17．（23-24高一下·江苏连云港·阶段练习）在平面四边形中，，.
(1)求长度；
(2)求.
18．（23-24高一下·湖北·阶段练习）如图，A，B是单位圆上的相异两定点（O为圆心），且．点C（与B不重合）为单位圆上的动点，线段AC交线段OB于点M．
(1)当，求的值；
(2)设（），（），
①用t来表示；
②已知的面积，记，求函数的值域．
19．（23-24高一上·北京延庆·期末）已知函数① ②. 从这两个函数中选择一个、并完成以下问题.
(1)求的解：
(2)在x轴上取两点和，设线段的中点为C，过点A，B，C分别作x轴的垂线，与函数的图象交于，线段 中点为M.
（i）求
（ii）判断 与的大小.并说明理由.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第2章：平面向量及其应用章末综合测试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24高一下·天津滨海新·阶段练习）已知：，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意结合向量的坐标运算求解.
【详解】因为，，且，
所以.
故选：D.
2．（23-24高一下·安徽合肥·阶段练习）已知，用，表示，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据向量减法，将用表示，然后整理可得.
【详解】因为，
所以，整理得.
故选：C
3．（23-24高一下·山西大同·阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．零向量没有方向 B．共线向量一定是相等向量
C．若向量同向，且，则 D．单位向量的模都相等
【答案】D
【分析】利用向量、零向量、单位向量及共线向量的定义，逐一对各个选项分析判断，即可得出结果.
【详解】对于选项A，由零向量的定义知，零向量方向任意，所以选项A错误，
对于选项B，当共线向量方向相反时，它们肯定不是相等向量，所以选项B错误，
对于选项C，向量不能比较大小，所以选项C错误，
对于选项D，单位向量的模长均为1个单位长，所以选项D正确，
故选：D.
4．（23-24高一下·广西·阶段练习）若是两个单位向量，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据单位向量模为1，但方向不确定，夹角不确定，即可对选项一一判断.
【详解】对于A项，因是两个单位向量，方向不确定，故A项错误；
对于B项，因，故，即，故B项错误；
对于C项，因的夹角不确定，故不能恒成立，故C项错误；
对于D项，由B项可知，D项正确.
故选：D.
5．（22-23高一下·江苏连云港·期中）在中，，，，则角B的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正弦定理即可求解.
【详解】在中，，，，
由正定理得：，
由于，所以
故选：A
6．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）设，为直线l上的两个不同的点，则，我们把与向量垂直的非零向量称为直线l的法向量．如果直线l经过点P（1，2），且它的一个法向量是（3，-1），则点A（3，2）到直线l的距离为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，求得和直线的一个法向量为，结合距离公式，即可求解.
【详解】由点和，可得，
又由直线的一个法向量为，
所以点到直线的距离为.
故选：B.
7．（23-24高一下·重庆·阶段练习）碧津塔是著名景点·某同学为了浏量碧津塔的高，他在山下A处测得塔尖D的仰角为，再沿方向前进24.4米到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为，塔底点E的仰角为，那么碧津塔高约为（，）（ ）
A．37.54 B．38.23 C．39.53 D．40.52
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出，再结合直角三角形边角关系求解即得.
【详解】在中，，则，，
由正弦定理得，则，
在中，，则，
在中，，则，又，
因此，，
所以碧津塔高约为38.23米.
故选：B
8．（23-24高一下·山东·阶段练习）某课外兴趣小组研究发现，人们曾用三角测量法对珠穆朗玛峰高度进行测量，其方法为：首先在同一水平面上选定两个点并测量两点间的距离，然后分别测量其中一个点相对另一点以及珠峰顶点的张角，再在其中一点处测量珠峰顶点的仰角，最后计算得到珠峰高度．该兴趣小组运用这一方法测量学校旗杆的高度，已知该旗杆（C在水平面）垂直于水平面，水平面上两点的距离为，测得，其中，在点处测得旗杆顶点的仰角为，则该旗杆的高度为（单位：）（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】B
【分析】作出示意图，在中解出，在中解出.
【详解】
在中，，，，
因为，
所以，
在中，.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（22-23高一下·宁夏银川·期末）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1船八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论正确的有（ ）

A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据平面向量数量积的定义求解.
【详解】由正八边形的几何性质知：每个中心角为，，D正确；
，A正确；
与是方向相反的向量，B错误；
，C正确；
故选：ACD.
10．（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．若在坐标系中，，则下列结论正确的是（ ）

A． B．
C． D．与的夹角的余弦值为
【答案】ABD
【分析】
根据题意，利用向量的新定义，结合向量的数量积、向量的夹角公式和向量模的计算公式，逐项计算，即可求解.
【详解】由向量分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量且，
可得，
因为，
对于A中，由，所以A正确；
对于B中，由，所以B正确；
对于C中，由，所以C不正确；
对于D中，由，可得且，
所以，所以D正确.
故选：ABD.
11．（23-24高一下·山东烟台·阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，则有.设是锐角内的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的有（ ）
A．若，则为的重心
B．若，则
C．若，，，则
D．若为的垂心，则
【答案】ABD
【分析】对于A，假设为的中点，连接，由已知得在中线上，同理可得在其它中线上，即可判断；对于选项B，利用奔驰定理可直接得出B正确；对于C，根据奔驰定理可得，再利用三角形面积公式可求得，即可计算出，可得C错误；选项D，由垂心的性质、向量数量积的运算律，得到，结合三角形面积公式及角的互补关系得结论.
【详解】对于A：如下图所示，
假设为的中点，连接，则，故共线，即在中线上，
同理可得在另外两边的中线上，故O为的重心，即A正确；
对于B：由奔驰定理O是内的一点，的面积分别为，
则有可知，
若，可得，即B正确；
对于C：由，可知，
又，所以，
由可得；
所以，即C错误；
对于D：由四边形内角和可知，，
则，
同理，
因为O为的垂心，则，
所以，
同理得，，
则，
令，
由，
则，
同理：，
，
综上，，
根据奔驰定理得，即D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：利用向量数量积定义、运算律和垂心性质得到向量模的比例，结合三角形面积公式和奔驰定理判断结论即可.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知等边三角形ABC边长为4，则在方向上的数量投影为 ．
【答案】2
【分析】
根据题意结合数量投影的定义分析求解.
【详解】由题意可知：在方向上的数量投影为.
故答案为：2.
13．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知向量，是平面内的一组基底，，，．若B，C，D三点共线，则λ＝
【答案】4
【分析】根据向量共线即可求解.
【详解】,
,
由于B，C，D三点共线，所以与共线，
因此,
故答案为：4
14．（21-22高一下·全国·期末）如图，在梯形中，，点是的中点，点在线段上，若，则的值为 .

【答案】/
【分析】利用向量运算得，然后利用三点共线列方程求解即可.
【详解】由题意得，，
因为，D，F三点共线，所以，解得.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（23-24高一下·山东临沂·阶段练习）已知向量与的夹角，且，．
(1)求，；
(2)求在方向上的投影向量的模．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据数量积的运算公式即可求解，向量的模，结合数量积公式，可解得；(2)利用向量投影公式计算模.
【详解】（1）由已知，得．
；
（2），
在方向上的投影向量的模为．
16．（23-24高一下·天津滨海新·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，．
(1)求角A的大小；
(2)求的值；
(3)求的面积.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用余弦定理求解出的值，则A可求；
（2）利用正弦定理可直接求解出的值；
（3）利用三角形的面积公式运算求解.
【详解】（1）在中，根据余弦定理得，，
且，所以.
（2）在中，根据正弦定理，
可得.
（3）由（1）可得：的面积为.
17．（23-24高一下·江苏连云港·阶段练习）在平面四边形中，，.
(1)求长度；
(2)求.
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）由数量积的定义求出，即可得到为等边三角形，即可得解；
（2）设 ，在中由余弦定理求出，再由及数量积的定义求出，即可得到为等腰直角三角形且，最后由余弦定理计算可得.
【详解】（1）由，，
所以，又，所以，所以为等边三角形，
所以，即的长度为.
（2）设 ，
在中，由余弦定理知，，
即，所以，
由，解得或（舍去），
所以，即为等腰直角三角形且，所以，
在中，由余弦定理知，
，所以，
18．（23-24高一下·湖北·阶段练习）如图，A，B是单位圆上的相异两定点（O为圆心），且．点C（与B不重合）为单位圆上的动点，线段AC交线段OB于点M．
(1)当，求的值；
(2)设（），（），
①用t来表示；
②已知的面积，记，求函数的值域．
【答案】(1)；
(2)①；②．
【分析】（1）利用向量的数量积运算法则，结合转化法即可求解；
（2）①利用向量的线性运算及向量的模公式即可求解；
②根据已知条件及①的结论，利用换元后借助于对勾函数的性质即可求解.
【详解】（1）由题意知，，
，
．
（2）①设（），
则，
故，
由可得，，
即，
整理得；
②由，故，则
（），
令，则，
故，
由双勾函数的性质知，在上是减函数，则，
则，故的值域为．
19．（23-24高一上·北京延庆·期末）已知函数① ②. 从这两个函数中选择一个、并完成以下问题.
(1)求的解：
(2)在x轴上取两点和，设线段的中点为C，过点A，B，C分别作x轴的垂线，与函数的图象交于，线段 中点为M.
（i）求
（ii）判断 与的大小.并说明理由.
【答案】(1)选择函数 ；选择函数 ；
(2)（i）选择函数 ；选择函数 ；（ii），理由见解析
【分析】（1）根据解析式代入运算求解；
（2）根据题意，求出的坐标，根据向量模的坐标公式运算判断.
【详解】（1）选择①，.
选择②，.
（2）选择①，线段的中点为C为，分别为，，，线段中点M 为 ，
；

所以，
所以 即.
选择②，线段的中点为C为，分别为，，,
线段中点M 为，
；
，又
，
所以 即.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑