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第二章平面向量及其应用章末十六种常考题型归类
向量的加减法与数乘
1．（23-24高一下·重庆·阶段练习）下列各式中不能化简为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据平面向量加、减运算法则及运算律计算可得.
【详解】对于A：，故A不合题意；
对于B：，故B满足题意；
对于C：，故C不合题意；
对于D：，故D不合题意.
故选：B
2．（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）若，设，则的值为 .
【答案】2
【分析】根据向量的线性运算计算即可.
【详解】因为，所以，
则，
又因为，
所以.
故答案为：.
3．（23-24高一下·安徽·阶段练习）在中，点P在BC上，且，点Q是AC的中点，若，，则 ， ．
【答案】
【分析】根据题意，结合和，利用向量的运算法则，即可求解.
【详解】由向量，，
在中，可得；
在中，可得，
又因为，可得.
故答案为：；.
4．（2024高一·江苏·专题练习）若，其中为已知向量，求未知向量．
【答案】
【分析】
将向量方程展开，合并同类向量，移项后将的系数化为1即得.
【详解】
由可得：，
即，解得：．
5．（多选）（23-24高一下·四川凉山·阶段练习）在中，设，，，,则下列等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】可画出图形，从而得出，再结合模长逐项判断.
【详解】如图，
；
由得，；
选项A，D都正确；
由得，；即
选项B正确，选项C不正确．
故选：ABD．
向量共线与三点共线问题
6．（23-24高一下·福建莆田·期中）已知向量与且则一定共线的三点是（ ）
A．A，C，D三点 B．A，B，C三点
C．A，B，D三点 D．B，C，D三点
【答案】C
【分析】利用向量的线性运算及共线定理即可求解.
【详解】对于A，因为，
所以，
所以,所以A，C，D三点不共线，故A错误；
对于B，因为，
所以,所以A，B，C三点不共线，故B错误；
对于C，因为
所以，
所以，又是与的公共点，
所以A，B，D三点共线，故C正确；
对于D，因为，
所以,所以B，C，D三点不共线，故D错误.
故选：C.
7．（23-24高一下·重庆巴南·阶段练习）已知向量，且，则下列一定共线的三点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用向量的共线来证明三点共线的．
【详解】，
则不存在任何，使得，所以不共线，A选项错误；
则不存在任何，使得，所以不共线，B选项错误；
由向量的加法原理知．
则有，又与有公共点，所以三点共线，C选项正确；
，则不存在任何，使得，所以不共线，D选项错误．
故选：C．
8．（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）已知，是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则 .
【答案】/
【分析】设，，可得出关于实数、的等式，即可解得实数的值.
【详解】因为、是两个不共线的单位向量，，，若与是共线向量，
设，，则，
所以，解得.
故答案为：.
9．（23-24高一下·河北承德·阶段练习）已知，是两个不共线的向量，，，若与共线，则 ．
【答案】/
【分析】
根据给定条件，利用共线向量定理求出即得.
【详解】由向量，不共线，得，由向量与共线，
得，则，所以.
故答案为：
10．（23-24高一下·福建宁德·阶段练习）已知向量，，且，则 .
【答案】
【分析】
根据向量共线得到方程组，解出即可.
【详解】
，所以，
即，，.
故答案为：.
向量的线性表示
11．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）如图，向量，，，则向量可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据平面向量的线性运算求解即可.
【详解】由图可知，
故选：C
12．（23-24高一下·浙江·阶段练习）如图，在中，为靠近点的三等分点，为的中点，设，以向量为基底，则向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量的加减法运算法则运算即可得出答案.
【详解】由图形可知：
.
故选：B.
13．（23-24高一下·甘肃武威·阶段练习）如图，在中，为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】运用平面向量线性运算及共线向量关系即可求解.
【详解】由题意知.
故选：C.
14．（23-24高一下·重庆·阶段练习）如图所示，中，点D是线段的中点，E是线段的靠近A的三等分点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平面向量的线性运算计算可得结果.
【详解】由题意： .
故选：B
15．（多选）（22-23高一下·江苏连云港·期中）如图，中，，点E在线段AC上，AD与BE交于点F，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】由已知可得，进而可得，判断A；设，利用，，共线可求，进而可判断B；根据，利用三角形面积比可判断D；根据向量的线性运算可判断C．
【详解】对于A：根据，
故，故A正确；
对于B：设，则
，又，
，，三点共线，，
且，，故，故B错误；
对于D：由于，故，
，故D正确；
对于C，
，
，
，故C正确．
故选：ACD．
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是熟练掌握平面向量的线性运算与基底法，从而得解.
向量的线性表示与参数
16．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）如图，在中，点为边的点且，点在边上，且，交于点且，则为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，利用和三点共线，分别得到和，列出方程组，求得的值，进而求得的值，从而得解.
【详解】由题意知，点为边的点且，点在边上，且，
因为三点共线，
所以存在实数使得，
又因为三点共线，
所以存在实数使得，
可得，解得，即，
因为，所以.
故选：A.
17．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）在锐角中，为边上的高，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据锐角三角函数及得到，即可得到，再由平面向量线性运算法则及平面向量基本定理求出、，即可得解.
【详解】如图在锐角中，为边上的高，
所以，，又，
所以，所以，则，
所以，
又，所以，所以.
故选：C

18．（23-24高一下·山东·阶段练习）在中，为的重心，满足，则（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】C
【分析】由题意作图，根据重心的几何性质，得到线段的比例关系，利用平面向量的运算，可得答案.
【详解】设相交于点，为的重心，

可得为中点，，
，
所以，
所以.
故选：C.
19．（23-24高一下·福建莆田·阶段练习）在三角形ABC中，D是BC上靠近点C的三等分点，E为AD中点，若则 .
【答案】
【分析】根据向量基本定理得到答案.
【详解】因为E为AD中点，所以，
因为D是BC上靠近点C的三等分点，所以，
所以.
故答案为：
20．（23-24高一下·河南·阶段练习）如图，在直角梯形中，与交于点，点在线段上.

(1)用和表示；
(2)设，求的值；
(3)设，证明：.
【答案】(1)，
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用平面向量的加法运算并根据线段的比例关系可得结论；
（2）由共线定理根据三点共线可得结果；
（3）根据向量等式得出的表达式，再由二次函数性质可证明结论.
【详解】（1）因为，
，
.
（2）由（1）得，
因为三点共线，所以，
解得.
（3）由（1）得，设，
则
又不共线，所以，即.
由，得.
因为函数在上单调递增，
所以当时，，故.
向量的线性表示与最值取值范围问题
21. （23-24高一下·重庆巴南·阶段练习）在矩形中，已知分别是上的点，且满足．若点在线段上运动，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立基底，，则，然后将设，最终表示为，然后得到，进而求出范围．
【详解】矩形中，已知分别是上的点，且满足，

设，则，，
联立，可解得，
因为点在线段上运动，则可设，
，
又，所以，
，
因为，所以．
故选：B．
22. （23-24高一下·湖南·阶段练习）如图，在平行四边形中，点是的中点，点为线段上的一个三等分点，且，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可知，，根据平面向量基本定理，将用线性表示，根据两个向量相等即可求出的值，即可得出答案.
【详解】由题知点为线段上的一个三等分点，所以，
所以
，
因为不共线，所以，故.
故选：D.
23. （23-24高三下·江苏扬州·阶段练习）如图，在△中，为线段上靠近点的三等分点，是线段上一点，过点的直线与边，分别交于点，，设，.

(1)若，，求的值；
(2)若点为线段的中点，求的最小值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据三点共线，用表达，再用表达，结合三点共线，即可由共线定理求得；
（2）用表达，再用表达，根据，待定系数求得关于参数的表达式，利用基本不等式即可求得其最小值.
【详解】（1）由点共线可设，
则，即，
，，，
为线段上靠近点的三等分点，，
由点共线可设，即，
故，解得，故，.
（2） ，，，
故，又为中点，
则，
故，得，
，
当且仅当，即时，等号成立；
故的最小值为.
24. （23-24高一下·福建漳州·阶段练习）在三角形中，，，，为线段上任意一点，交于.

(1)若.
①用，表示；
②若，求的值；
(2)若，求的最小值.
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】（1）①利用向量的几何运算求解；②设，然后用表示，然通过，将也用表示，然后利用系数对应相等列方程组求解；
（2）设，将用表示，然后利用系数对应相等将用表示，然后利用基本不等式求最值.
【详解】（1）①因为，所以，
故在中，；
②因为，，三点共线，设，
所以，
因为，所以，所以
又由①及已知，，所以，
解得；
（2）因为，又，，三点共线，设，
所以，
又因为，所以，
，
当且仅当，即时取得等号，所以的最小值为.
25. （23-24高一下·江西宜春·阶段练习）如图所示，在中，为边上一点，且.过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，两点不重合）.
(1)用，表示；
(2)若，，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得；
（2）依题意可得，根据三点共线的推论得到，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得.
【详解】（1）在中，由，
又，所以，
所以
.
（2）因为，又，，
依题意，，所以，，
所以，又，，三点共线，且在线外，
所以有，
所以，
当且仅当，即时取等号.
向量的坐标表示
26. （23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知，若，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设所求为，根据向量的线性运算以及列方程组即可求解.
【详解】设，则，
若，从而，解得，则.
故选：D.
27. （23-24高一下·河南·阶段练习）已知向量，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量坐标运算直接构造方程求解即可.
【详解】设，则，解得：，，.
故选：C.
28. （23-24高一下·山东枣庄·阶段练习）若向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，结合向量的运算法则，即可求解.
【详解】由向量，可得.
故选：C.
29. （23-24高一下·甘肃武威·阶段练习）已知向量，则与向量平行的单位向量为 .
【答案】或
【分析】利用与向量平行的单位向量为，求解即可
【详解】因为，所以，所以与向量平行的单位向量为或.
故答案为：或
30. （23-24高一下·天津滨海新·阶段练习）已知：点和向量，若，则点B的坐标是 ．
【答案】
【分析】设，利用向量共线的关系，列出方程求解即可.
【详解】设，则，
所以，解得：.
所以点B的坐标是.
故答案为：.
向量共线与坐标
31. （23-24高一下·广东深圳·阶段练习）若向量，则（ ）
A．1 B． C． D．4
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用共线向量的坐标表示求解即得.
【详解】向量，所以，即.
故选：C
32. （23-24高一下·山西大同·阶段练习）已知向量，，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量共线的坐标表示求出参数的值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】因为，，
若，则，解得，
所以由推得出，故充分性成立，
由推不出，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：B
33. （23-24高一下·山东德州·阶段练习）在直角坐标系中，向量，其中，若，三点共线，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】先由题意求得，再利用向量共线的坐标表示列式计算即可得解.
【详解】因为，
所以，，
因为，，三点共线，则共线，
所以，则.
故选：C.
34. （多选）（23-24高一下·全国·期中）下列各组向量中，能作为基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】根据平面共线向量的坐标表示，结合基底的定义依次求解即可.
【详解】对于A，零向量与任意向量共线，则向量与共线，不能作为基底，A不是；
对于B，由，得与不共线，能作为基底，B是；
对于C，由，得与不共线，能作为基底，C是；
D：由，得与不共线，能作为基底，D是.
故选：BCD
35. （23-24高一下·河南郑州·阶段练习）在平面直角坐标系中，，，，若三点能构成三角形，则实数的取值范围满足的集合为
【答案】
【分析】根据不共线求解即可.
【详解】，，由题不共线，即不共线，
则.
故答案为：
向量的数量积
36. （23-24高一下·海南海口·阶段练习）如图，在边长为2的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且，点E为DC的中点，则（ ）

A．1 B．3 C． D．
【答案】D
【分析】根据条件转化向量，再结合向量的运算律，即可求解.
【详解】由题可知，，，
.

故选：D
37. （23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知等边的边长为，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用数量积的定义计算即得.
【详解】等边的边长为1，则，
，
所以.
故选：D
38. （23-24高一下·江苏南通·阶段练习）若向量，，则（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】根据条件，利用向量的坐标运算得出，再利用数量积的坐标运算，即可求出结果.
【详解】因为，，所以，
所以，
故选：A.
39. （23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）在四边形中，分别是边的中点，，，，则 .
【答案】/
【分析】利用图象，结合向量的线性运算法则确定向量的关系，再结合数量积的性质由条件求.
【详解】因为分别是边的中点，
所以，，
又，，
所以，
所以，
所以，
又，，，
所以，，，
所以，
所以，
故答案为：.
40. （23-24高一下·天津静海·阶段练习）在梯形ABCD中，AD∥BC，，，若，则的值为 ．
【答案】0
【分析】由题意，建立平面直角坐标系，求出相关点的坐标，然后利用向量数量积的坐标表示即可求解．
【详解】在梯形中，，，，
则，且，
即，
可得，
建立如图所示的直角坐标系，
则，，，，
由，可得，则，
所以．
故答案为：0．
向量的夹角
41. （2012高一·全国·竞赛）若是非零向量，且满足，则与的夹角是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用得到，再利用平面向量的夹角公式求解.
【详解】解：因为，
所以，
所以，
则，
因为，
所以，
故选：C
42. （23-24高一下·福建莆田·期中）已知，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量的夹角公式即可求解.
【详解】因为，
所以，
又因为，
所以，即与的夹角为.
故选：B.
43. （23-24高一下·山西大同·阶段练习）已知非零向量满足，且向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
【答案】C
【分析】根据题意，由平面向量的数量积定义及运算公式，结合向量的夹角公式代入计算，即可求解.
【详解】因为非零向量满足，且向量在向量上的投影向量为，
可得，
解得，因为，所以.
故选：C.
44. （2024高一·全国·专题练习）已知非零向量满足，则向量夹角的余弦值为 .
【答案】
【分析】由，可得，结合数量积的运算律求出，再根据向量夹角的计算公式求解即可.
【详解】因为且为非零向量，设，则，
又，所以，则，
所以，
设向量的夹角为，则，
即向量夹角的余弦值为.
故答案为：.
45. （23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知，，．
(1)求；
(2)求向量与的夹角．
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）由条件结合数量积的运算律求，再结合关系求；
（2）根据向量的夹角余弦公式求向量与的夹角余弦，再求其夹角.
【详解】（1）因为，，
所以，
解得，．
所以，
所以．
（2）．
设向量与的夹角为，则
．
因为，所以．
向量的模长
46. （23-24高一下·江苏南通·阶段练习）在平行四边形ABCD中，，，F为CD的中点，，且，则为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】借助向量的线性运算，可将转化为，结合题意计算即可得.
【详解】
，
即，
故或（负值舍去）.
故选：B.
47. （23-24高一下·甘肃武威·阶段练习）在平行四边形中，是直线上的一点，且，若，则 .
【答案】3
【分析】将向量进行转化得，从而得解.
【详解】记，又，所以，所以，
解得.
故答案为：3
48. （23-24高一下·广西南宁·开学考试）已知向量，满足，，则 ．
【答案】
【分析】根据数量积的定义求出，再由数量积的运算律计算可得.
【详解】因为，，
所以，
所以.
故答案为：
49. （2024高一下·全国·专题练习）已知向量，，若，则 .
【答案】
【分析】利用共线向量的坐标表示及模的坐标表示计算即得.
【详解】向量，，，则，解得，即，
所以.
故答案为：
50．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知，，，，则 .
【答案】
【分析】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示，垂直关系的坐标表示求解即得.
【详解】由，，得，而，且，
因此，解得，即，所以.
故答案为：
垂直问题
51. （23-24高一下·福建漳州·阶段练习）已知向量，，且，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】利用列方程求解.
【详解】因为，，，
所以，
解得.
故选：A.
52. （21-22高一下·贵州铜仁·阶段练习）已知，是非零向量，且，不共线，，，若向量与互相垂直，则实数的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据互相垂直的向量的性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.
【详解】由向量与互相垂直，且，，
则，解得．
故选：C．
53. （2024高一·江苏·专题练习）已知且向量与互相垂直，则k的值为（ ）
A． B．
C． D．1
【答案】B
【分析】根据向量垂直时数量积为0，结合数量积的运算律，列方程求解，即可求得答案.
【详解】因为向量与互相垂直，
所以．所以，
因为，所以，
所以，解得，
故选：B
54. （2024高一下·全国·专题练习）已知.
(1)设的夹角为θ，求cos θ的值；
(2)若向量与互相垂直，求k的值.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）利用平面向量的夹角公式求解；
（2）根据向量与互相垂直，由求解.
【详解】（1）解：因为，，
设的夹角为θ，
所以；
（2）因为向量与互相垂直，
所以，即，即，
解得.
55. （23-24高一下·甘肃武威·阶段练习）已知向量，且.
(1)求的值；
(2)求向量与的夹角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用平面向量垂直的坐标公式计算即可.
（2）运用平面向量夹角公式计算即可.
【详解】（1）因为，，
所以，解得.
故的值为3.
（2）由（1）知，，
所以，
所以，
所以.
故与的夹角的余弦值为.
钝角、锐角问题
56. （23-24高一下·山东德州·阶段练习）已知，与的夹角为，若向量与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意当且仅当且与不反向才满足题意，由此解不等式组即可求解.
【详解】已知，与的夹角为，则，
由题意，
，又时，与反向，
，且
故选：C.
57. （23-24高一下·江苏·阶段练习）已知，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】依题意可得且与不共线（同向），根据数量积的坐标表示及向量共线的坐标表示得到不等式组，解得即可.
【详解】因为，且与的夹角为锐角，
所以且与不共线（同向），
所以，解得且，
所以的取值范围为.
故答案为：
58. （20-21高一·江苏·课后作业）已知，，若与的夹角为钝角，求的取值范围．
【答案】
【分析】转化为并去掉两向量共线反方向的情况.
【详解】因为与的夹角为钝角，所以且与不共线（反向），
则，解得，
当时，，解得，此时两向量共线且方向相反，
所以，
所以的取值范围是．
59. （23-24高一下·福建三明·阶段练习）设是不共线的单位向量，且与的夹角的余弦值为.
(1)求；
(2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据数量积的运算律以及模长公式即可求解，
（2）根据数量积以及向量共线即可求解.
【详解】（1）因为，
所以
所以，
（2）因为与的夹角为锐角，
所以且与不共线，
当与共线时，设，即，
因为与不共线，所以，解得，
因此当与不共线时，，
由，得，
即，解得，
所以且，即实数的取值范围为
60. （23-24高一下·河南三门峡·阶段练习）已知向量，，，．
(1)求的最小值及相应的t值；
(2)若与夹角为钝角，求实数t的取值范围．
【答案】(1)最小值为，
(2)
【分析】（1）利用向量线性运算的坐标运算和数量积的坐标运算，表示出，由二次函数的性质求最小值；
（2）若与夹角为钝角，则数量积为负且向量不共线，解不等式即可.
【详解】（1）∵，，，
∴，
∴，
当且仅当时取等号，
即的最小值为，此时；
（2）∵，，
若与共线，∴．
解之可得，此时二者反向.
若与夹角为钝角，则，得且．
所以实数t的取值范围.
投影问题
61. （23-24高三下·江苏扬州·阶段练习）已知的外接圆圆心为，，，则在上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据条件作图可得为等边三角形，根据投影向量的概念求解即可.
【详解】因为，
所以外接圆圆心为的中点，即为外接圆的直径，如图，
又，所以为等边三角形，
则，故，
所以向量在向量上的投影向量为
．
故选：D．
62. （23-24高一下·四川绵阳·阶段练习）已知，与的夹角为，设与同向的单位向量为，则在上的投影向量为 .
【答案】
【分析】根据条件，利用投影向量的定义，即可求出结果.
【详解】因为，与的夹角为，
所以在上的投影向量为，
故答案为：.
63. （23-24高一下·山西大同·阶段练习）已知为不共线的平面向量，，若，则在方向上的投影向量为 ．
【答案】
【分析】根据向量的加减运算以及数量积的运算律求出，结合投影向量的公式即可求得答案.
【详解】由题意知平面向量满足，，
则，即，
可得，整理得，
所以在方向上的投影向量为.
故答案为：.
64. （23-24高一下·吉林·阶段练习）已知，为单位向量，它们的夹角为，则向量在向量上的投影向量为 ．
【答案】
【分析】利用投影向量的定义计算即可得出结果.
【详解】根据题意可得向量在向量上的投影向量为.
故答案为：
65. （21-22高一下·江苏徐州·期中）已知向量，甲乙丙丁四位同学通过运算得到如下结果：
甲：与反向的单位向量为；
乙：与垂直的单位向量为；
丙：在向量上的投影向量为；
丁：在向量上的投影向量为．
其中有且只有一个人计算错误，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】依次分析甲乙丙丁中有且仅有一个人计算错的情况，可知丙错，甲乙丁正确符合要求，计算出，即可得解.
【详解】若甲错误，则乙丙丁正确，由垂直于单位向量，
解得，又由在向量上的投影向量为得到，
在向量上的投影向量为，得到，
此时，不满足，所以不成立；
若乙错误，则甲丙丁正确，与反向的单位向量为，可得，
此时垂直于单位向量，不满足要求；
若丙错误，则甲乙丁正确，由甲乙可得到，由丁：在向量上的投影向量为，可得，此时满足要求，得，；
若丁错误，则甲乙丙正确，由甲乙可得到，由丙可得，
不满足要求.
故选：D
三角形的形状问题
66. （23-24高一下·江苏南京·阶段练习）P是所在平面上一点，满足，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】B
【分析】根据向量的加减运算可得，两边平方后结合数量积的性质，即可推得答案.
【详解】由，可得，
即，即，
将等式两边平方，化简得，∴，
即，因此，是直角三角形，
故选：B．
67. （22-23高一下·河北石家庄·期中）在中，若，则的形状是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用向量运算律计算判断即得.
【详解】在中，由，得，
即，因此，即，
所以是等腰三角形.
故选：C
68. （22-23高一下·山东菏泽·阶段练习）在中，，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
【答案】D
【分析】
由，可得，分析即得解.
【详解】由题意，
，又，
为锐角，但另外两角不能确定，故的形状不能确定.
故选：D.
69. （22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）在中，若，则的形状是 .
【答案】等腰三角形
【分析】
根据向量的数量积运算性质求解.
【详解】，
，即，
为等腰三角形.
故答案为：等腰三角形
70. （21-22高一·全国·课前预习）在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不确定
【答案】B
【分析】由相等向量，向量的减法运算求解即可.
【详解】因为，所以四边形ABCD是平行四边形，
又因为，即，
所以平行四边形ABCD是矩形.
故选：B.
四心问题
71. （23-24高一下·河南·阶段练习）设是所在平面内一定点，是平面内一动点，若，则点是的（ ）
A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心
【答案】A
【分析】利用向量的加减法法则计算化简，再运用向量垂直的充要条件进行判断即得.
【详解】由题意可得，则，故点是的垂心.
故选：A.
72. （多选）（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．若，则为的重心
B．若为的外心，满足，则是的垂心
C．若是所在平面上一定点，动点满足，，则直线一定经过的外心
D．若，则为的外心
【答案】ABD
【分析】对于A：设为中点，通过判断；对于B；通过证明来判断；对于C：通过来判断；对于D：通过来判断.
【详解】对于A：设为中点，
则，则三点共线，即点在边的中线上，同理，点也在边的中线上，所以为的重心，A正确；

对于B：由已知，即，因为，所以，即点在边的高上，同理点在边的高上，所以是的垂心，B正确；

对于C：，，，分别是向量方向上的单位向量，设向量方向上的单位向量分别为，
则，即，又菱形的几何特征可得直线一定经过的内心，C错误；
对于D：由得，即点在边的垂直平分线上，同理，点在边的垂直平分线上，即点为的外心，D正确；

故选：ABD.
73. （23-24高一下·河北沧州·阶段练习）已知平面内三点不共线，且点满足，则是的 心.（填“重”或“垂”或“内”或“外”）
【答案】垂
【分析】由条件等式移项后，逆用数量积的分配律将其化简成，即得，同理可得另外两个垂直关系，即得点为其垂心.
【详解】因为，同理，故为的垂心.
故答案为：垂.
74. （多选）（23-24高一下·山东临沂·阶段练习）在中，下列命题正确的是（ ）
A．
B．点为内的一点，，则
C．点为内的一点，且，则为等腰三角形
D．，则为锐角三角形
【答案】BC
【分析】根据向量减法判断A，根据向量的加法及中线的向量表示可得，即可判断B，
根据向量的和差运算化简可得中线也为高线判断C，根据向量判断A为锐角判断D选项.
【详解】由向量减法知，故A错误；
设中点分别为，则，
即，如图，

由，，所以，
所以，故B正确；
设为边上的中点，因为，
所以，所以，如图，

所以，故为等腰三角形，故C正确；
在中，不共线，当时，可得，即为锐角，但是不能保证三角形为锐角三角形，故D错误.
故选：BC
75. （多选）（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）设点在所在平面内，且点分别为该三角形的重心 垂心 外心和内心，则下列结论正确的是（ ）
A．若且，则；
B．；
C．若，则为等腰三角形；
D．若，则.
【答案】ACD
【分析】对A，化简可得，再两边平方化简即可；对B，取的中点，根据重心的性质化简判断即可；对C，根据条件推导即可；对D，根据垂心的性质推导可得，再设，根据可得，同理可得，再根据向量的夹角公式求解即可.
【详解】对A，若且，则，
两边同时平方可得：，
所以，即，故A错误；
对B，取的中点，因为是的重心，有，
所以，，，
又因为，所以，故B错误；
对C，因为为的内心，，
故
，即，
故点的轨迹为过的垂线，即的中垂线，
则是以为底边的等腰三角形，故C正确；
对D，因为为的垂心，则，即，
即，则，
同理，，所以，
设，
因为，所以，
即，则，
，即，
则，
，，故D正确.
故选：ACD
正余弦定理的应用
76. （23-24高一下·山西运城·阶段练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】利用正弦定理求解.
【详解】解：由正弦定理，
得，
故选：B
77. （23-24高一下·山西运城·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则 ．
【答案】1
【分析】利用余弦定理即可求解.
【详解】由余弦定理得.
故答案为：.
78. （23-24高一下·湖北宜昌·阶段练习）已知为的边上一点，，，，则 ．

【答案】/
【分析】由已知可得，则，设，然后在中利用余弦定理可求出，再在中，利用正弦定理可求得结果
【详解】因为，所以，
所以由，得，
所以．
设，则，，
在中，由余弦定理得，
即，解得．
所以，．
在中，由正弦定理得，
故．
故答案为：
79. （23-24高一下·山西大同·阶段练习）已知在中，角的对边分别为且．
(1)求；
(2)求的大小及的面积．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）利用正弦定理将角化边即可；
（2）利用余弦定理及面积公式计算可得.
【详解】（1）由正弦定理，又，
所以，又，所以.
（2）由余弦定理，
又，所以，
所以.
80. （23-24高一下·陕西西安·阶段练习）如图所示，在平面四边形中，，

(1)求的值.
(2)若为锐角，，求角.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理直接可求；
（2）由正弦定理求出，再根据为锐角，确定角即可.
【详解】（1）在种，由余弦定理可得
（2）在中，由正弦定理可得，因为为锐角，所以
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第二章平面向量及其应用章末十六种常考题型归类
向量的加减法与数乘
1．（23-24高一下·重庆·阶段练习）下列各式中不能化简为的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）若，设，则的值为 .
3．（23-24高一下·安徽·阶段练习）在中，点P在BC上，且，点Q是AC的中点，若，，则 ， ．
4．（2024高一·江苏·专题练习）若，其中为已知向量，求未知向量．
5．（多选）（23-24高一下·四川凉山·阶段练习）在中，设，，，,则下列等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
向量共线与三点共线问题
6．（23-24高一下·福建莆田·期中）已知向量与且则一定共线的三点是（ ）
A．A，C，D三点 B．A，B，C三点
C．A，B，D三点 D．B，C，D三点
7．（23-24高一下·重庆巴南·阶段练习）已知向量，且，则下列一定共线的三点是（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）已知，是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则 .
9．（23-24高一下·河北承德·阶段练习）已知，是两个不共线的向量，，，若与共线，则 ．
10．（23-24高一下·福建宁德·阶段练习）已知向量，，且，则 .
向量的线性表示
11．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）如图，向量，，，则向量可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
12．（23-24高一下·浙江·阶段练习）如图，在中，为靠近点的三等分点，为的中点，设，以向量为基底，则向量（ ）
A． B． C． D．
13．（23-24高一下·甘肃武威·阶段练习）如图，在中，为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
14．（23-24高一下·重庆·阶段练习）如图所示，中，点D是线段的中点，E是线段的靠近A的三等分点，则（ ）
A． B． C． D．
15．（多选）（22-23高一下·江苏连云港·期中）如图，中，，点E在线段AC上，AD与BE交于点F，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
向量的线性表示与参数
16．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）如图，在中，点为边的点且，点在边上，且，交于点且，则为（ ）

A． B． C． D．
17．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）在锐角中，为边上的高，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
18．（23-24高一下·山东·阶段练习）在中，为的重心，满足，则（ ）
A． B． C．0 D．
19．（23-24高一下·福建莆田·阶段练习）在三角形ABC中，D是BC上靠近点C的三等分点，E为AD中点，若则 .
20．（23-24高一下·河南·阶段练习）如图，在直角梯形中，与交于点，点在线段上.

(1)用和表示；
(2)设，求的值；
(3)设，证明：.
向量的线性表示与最值取值范围问题
21. （23-24高一下·重庆巴南·阶段练习）在矩形中，已知分别是上的点，且满足．若点在线段上运动，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
22. （23-24高一下·湖南·阶段练习）如图，在平行四边形中，点是的中点，点为线段上的一个三等分点，且，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
23. （23-24高三下·江苏扬州·阶段练习）如图，在△中，为线段上靠近点的三等分点，是线段上一点，过点的直线与边，分别交于点，，设，.

(1)若，，求的值；
(2)若点为线段的中点，求的最小值.
24. （23-24高一下·福建漳州·阶段练习）在三角形中，，，，为线段上任意一点，交于.

(1)若.
①用，表示；
②若，求的值；
(2)若，求的最小值.
25. （23-24高一下·江西宜春·阶段练习）如图所示，在中，为边上一点，且.过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，两点不重合）.
(1)用，表示；
(2)若，，求的最小值.
向量的坐标表示
26. （23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知，若，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
27. （23-24高一下·河南·阶段练习）已知向量，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
28. （23-24高一下·山东枣庄·阶段练习）若向量，则（ ）
A． B． C． D．
29. （23-24高一下·甘肃武威·阶段练习）已知向量，则与向量平行的单位向量为 .
30. （23-24高一下·天津滨海新·阶段练习）已知：点和向量，若，则点B的坐标是 ．
向量共线与坐标
31. （23-24高一下·广东深圳·阶段练习）若向量，则（ ）
A．1 B． C． D．4
32. （23-24高一下·山西大同·阶段练习）已知向量，，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
33. （23-24高一下·山东德州·阶段练习）在直角坐标系中，向量，其中，若，三点共线，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．2
34. （多选）（23-24高一下·全国·期中）下列各组向量中，能作为基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
35. （23-24高一下·河南郑州·阶段练习）在平面直角坐标系中，，，，若三点能构成三角形，则实数的取值范围满足的集合为
向量的数量积
36. （23-24高一下·海南海口·阶段练习）如图，在边长为2的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且，点E为DC的中点，则（ ）

A．1 B．3 C． D．
37. （23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知等边的边长为，那么（ ）
A． B． C． D．
38. （23-24高一下·江苏南通·阶段练习）若向量，，则（ ）
A．3 B．2 C． D．
39. （23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）在四边形中，分别是边的中点，，，，则 .
40. （23-24高一下·天津静海·阶段练习）在梯形ABCD中，AD∥BC，，，若，则的值为 ．
向量的夹角
41. （2012高一·全国·竞赛）若是非零向量，且满足，则与的夹角是（ ）．
A． B． C． D．
42. （23-24高一下·福建莆田·期中）已知，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
43. （23-24高一下·山西大同·阶段练习）已知非零向量满足，且向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
44. （2024高一·全国·专题练习）已知非零向量满足，则向量夹角的余弦值为 .
45. （23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知，，．
(1)求；
(2)求向量与的夹角．
向量的模长
46. （23-24高一下·江苏南通·阶段练习）在平行四边形ABCD中，，，F为CD的中点，，且，则为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
47. （23-24高一下·甘肃武威·阶段练习）在平行四边形中，是直线上的一点，且，若，则 .
48. （23-24高一下·广西南宁·开学考试）已知向量，满足，，则 ．
49. （2024高一下·全国·专题练习）已知向量，，若，则 .
50．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知，，，，则 .
垂直问题
51. （23-24高一下·福建漳州·阶段练习）已知向量，，且，则（ ）
A． B．2 C． D．
52. （21-22高一下·贵州铜仁·阶段练习）已知，是非零向量，且，不共线，，，若向量与互相垂直，则实数的值为（ ）
A． B．
C． D．
53. （2024高一·江苏·专题练习）已知且向量与互相垂直，则k的值为（ ）
A． B．
C． D．1
54. （2024高一下·全国·专题练习）已知.
(1)设的夹角为θ，求cos θ的值；
(2)若向量与互相垂直，求k的值.
55. （23-24高一下·甘肃武威·阶段练习）已知向量，且.
(1)求的值；
(2)求向量与的夹角的余弦值.
钝角、锐角问题
56. （23-24高一下·山东德州·阶段练习）已知，与的夹角为，若向量与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
57. （23-24高一下·江苏·阶段练习）已知，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为 ．
58. （20-21高一·江苏·课后作业）已知，，若与的夹角为钝角，求的取值范围．
59. （23-24高一下·福建三明·阶段练习）设是不共线的单位向量，且与的夹角的余弦值为.
(1)求；
(2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
60. （23-24高一下·河南三门峡·阶段练习）已知向量，，，．
(1)求的最小值及相应的t值；
(2)若与夹角为钝角，求实数t的取值范围．
投影问题
61. （23-24高三下·江苏扬州·阶段练习）已知的外接圆圆心为，，，则在上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
62. （23-24高一下·四川绵阳·阶段练习）已知，与的夹角为，设与同向的单位向量为，则在上的投影向量为 .
63. （23-24高一下·山西大同·阶段练习）已知为不共线的平面向量，，若，则在方向上的投影向量为 ．
64. （23-24高一下·吉林·阶段练习）已知，为单位向量，它们的夹角为，则向量在向量上的投影向量为 ．
65. （21-22高一下·江苏徐州·期中）已知向量，甲乙丙丁四位同学通过运算得到如下结果：
甲：与反向的单位向量为；
乙：与垂直的单位向量为；
丙：在向量上的投影向量为；
丁：在向量上的投影向量为．
其中有且只有一个人计算错误，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
三角形的形状问题
66. （23-24高一下·江苏南京·阶段练习）P是所在平面上一点，满足，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
67. （22-23高一下·河北石家庄·期中）在中，若，则的形状是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
68. （22-23高一下·山东菏泽·阶段练习）在中，，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
69. （22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）在中，若，则的形状是 .
70. （21-22高一·全国·课前预习）在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不确定
四心问题
71. （23-24高一下·河南·阶段练习）设是所在平面内一定点，是平面内一动点，若，则点是的（ ）
A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心
72. （多选）（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．若，则为的重心
B．若为的外心，满足，则是的垂心
C．若是所在平面上一定点，动点满足，，则直线一定经过的外心
D．若，则为的外心
73. （23-24高一下·河北沧州·阶段练习）已知平面内三点不共线，且点满足，则是的 心.（填“重”或“垂”或“内”或“外”）
74. （多选）（23-24高一下·山东临沂·阶段练习）在中，下列命题正确的是（ ）
A．
B．点为内的一点，，则
C．点为内的一点，且，则为等腰三角形
D．，则为锐角三角形
75. （多选）（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）设点在所在平面内，且点分别为该三角形的重心 垂心 外心和内心，则下列结论正确的是（ ）
A．若且，则；
B．；
C．若，则为等腰三角形；
D．若，则.
正余弦定理的应用
76. （23-24高一下·山西运城·阶段练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A． B． C． D．2
77. （23-24高一下·山西运城·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则 ．
78. （23-24高一下·湖北宜昌·阶段练习）已知为的边上一点，，，，则 ．

79. （23-24高一下·山西大同·阶段练习）已知在中，角的对边分别为且．
(1)求；
(2)求的大小及的面积．
80. （23-24高一下·陕西西安·阶段练习）如图所示，在平面四边形中，，

(1)求的值.
(2)若为锐角，，求角.
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