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2.4 平面向量基本定理及坐标表示6种常见考法归类
课程标准 学习目标
(1)理解平面向量基本定理及其意义．能推导平面向量基本定理和运用平面向量基本定理解决某些数学问题． (2)借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示． (3)会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算． (4)能用坐标表示平面向量的共线条件． 1.掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量； 2.能够灵活应用向量定理解决平面几何问题. 3.掌握平面向量的坐标表示，理解点坐标与向量坐标的区别与联系. 4.平面上向量的和、差及数乘运算，会用坐标表示中点坐标. 5.掌握向量平行的坐标表示.
知识点01平面向量基本定理
1．定理：如果e1，e2(如图①所示)是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2(如图②所示)，其中不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基，记为{e1，e2}．
2．正交分解：若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基，在正交基下向量的线性表示称为正交分解．若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为标准正交基．
【即学即练1】下列关于基底的说法正确的序号是(　　)
①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；
②基底中的向量可以是零向量；
③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．
A．①②　　　　　　　　 B．①③
C．②③ D．①②③
【即学即练2】若是平面内向量的一组基，则下面的向量中不能作为一组基的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【即学即练3】如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是(　　)
A．e1与e1＋e2 B．e1－2e2与e1＋2e2
C．e1＋e2与e1－e2 D．e1－2e2与－e1＋2e2
【即学即练4】在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，以b与c作为基底，则＝(　　)
A.b＋c B.c－b C.b－c D.b＋c
知识点02平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为标准正交基．对于坐标平面内的任意向量a，以坐标原点O为起点作＝a(通常称为位置向量)．由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使＝xi＋yj.因此a＝xi＋yj，把(x，y)称为向量a在标准正交基{i，j}下的坐标，记作a＝(x，y)．
注：1.对平面向量坐标的几点认识
(1)设 ＝x＋y(O为坐标原点)，则向量 的坐标(x，y) 就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标就是向量的坐标(x，y).因此，在直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一个有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的．
(2)两向量相等的等价条件是它们对应的坐标相等．
(3)要把点的坐标与向量的坐标区别开来，相等的向量的坐标是相同的，但起点和终点的坐标却可以不同．
2．符号(x，y)的意义
符号(x，y)在直角坐标系中有两重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，为了加以区分，在叙述中，就常说点(x，y)或向量(x，y)．
【即学即练5】下列说法正确的有(　　)
①向量的坐标即此向量终点的坐标；
②位置不同的向量其坐标可能相同；
③一个向量的坐标等于它的终点坐标减去它的起点坐标；
④相等向量的坐标一定相同．
A．1个　　B．2个 C．3个 D．4个
【即学即练6】如图，向量a，b，c的坐标分别是________，________，________.
【即学即练7】已知，若的终点坐标为（3，-6），则的起点坐标为（ ）
A．（-4，-8） B．（-4，8） C．（4，-8） D．（4，8）
【即学即练8】已知，，若，则点的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（3，-1） C．（7，0） D．（1，0）
知识点03平面向量运算的坐标表示
文字叙述 符号表示
加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝(x1－x2，y1－y2)
数乘向量 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)
向量的坐标 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)
注：(1)向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系，即两向量的坐标相同时，两个向量相等，但它们的起点和终点的坐标却不一定相同．例如，若A(3，5)，B(6，8)，C(－5，3)，D(－2，6)，则 ＝(3，3)， ＝(3，3)，显然 ＝，但A，B，C，D各点的坐标都不相同．
(2)运算时，注意向量的起点与终点的顺序不要颠倒．
【即学即练9】已知向量，，则向量（ ）
A． B． C． D．
【即学即练10】设，，，，则（ ）.
A． B． C． D．
【即学即练11】已知向量，则____________
【即学即练12】已知平行四边形ABCD的三个顶点，，的坐标分别是,,,，则向量的坐标是（ ）
A． B． C． D．
知识点04　中点坐标公式
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，M是线段AB的中点，则
【即学即练13】已知，，M是线段的中点，那么向量的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练14】已知，则线段的中点坐标为_______.
知识点05　平面向量平行的坐标表示
a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0．
注：已知＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，
(1)当≠0时，＝λ.
这是几何运算，体现了向量与的长度及方向之间的关系．
(2)x1y2－x2y1＝0.
这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征．
(3)当x2y2≠0时，＝，即两向量的对应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．
【即学即练15】下列各组向量是平行向量的有________．(填序号)
①a＝，b＝(－2，－3)；②a＝(0.5,4)，b＝(－8,64)；
③a＝(2,3)，b＝(3,4)； ④a＝(2,3)，b＝.
【即学即练16】已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)．若(a－c)∥b，则k＝________.
【即学即练17】若点，，三点共线，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
题型一：对平面向量基本定理的理解
例1．（2024高一下·全国·专题练习）下列三种说法：①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．
其中，说法正确的为（ ）
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
变式1．【多选】（2024高一·江苏·专题练习）设，是不共线的两个向量，则下列各组向量能作为一组基底的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
变式2．【多选】（2024高一下·福建福州·阶段练习）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（ ）
A． B．
C． D．
变式3．（2024高一下·福建福州·期末）如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧与总结】
对基的理解
(1)两个向量能否作为一组基，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基，反之，则可作基．
(2)一个平面的基一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则
提醒：一个平面的基不是唯一的，同一个向量用不同的基表示，表达式不一样．
题型二：用基表示平面向量
例2．（2024高三下·山东德州·开学考试）在中，点在直线上，且满足，则（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（2024·广东佛山·模拟预测）在中，，若，线段与交于点，则（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（2024·山西运城·一模）已知所在平面内一点，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
变式3．（2024·福建漳州·模拟预测）在中，是边上一点，且是的中点，记，则（ ）
A． B． C． D．
变式4．（2024·全国·模拟预测）在等腰梯形中，，，点是线段上靠近的三等分点，则（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧与总结】
用基表示向量的两种基本方法
用基表示向量的基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直至用基表示为止；另一种是通过列向量方程(组)，利用基表示向量的唯一性求解．
题型三　平面向量基本定理的应用
（一）利用平面向量基本定理求参数
例3．（2024·湖南·模拟预测）在中，，点满足，若，则的值为 .
变式1．（2024高三下·全国·专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，，，，则 .

变式2．（2024高三下·全国·专题练习）已知平面四边形满足，平面内点E满足，CD与AE交于点M，若，则 .
变式3．（2024高二下·湖南岳阳·开学考试）在平行四边形中，、分别为边、的中点，连接、，交于点.若（），则 .
变式4．（2024高三上·河南·专题练习）已知D，E分别为的边AB，BC上的点，且，，CD与AE相交于点O，若，则 ．
（二）确定两直线交点的位置问题
例4．（2024高一下·江苏·专题练习）如图，在中，点M是BC的中点，点N在AC上，且，AM与BN相交于点P，求与.
变式1．（2024高三·全国·专题练习）如图，在中，若，，过点的直线交直线分别于两点，且，探究之间的关系.

变式2．（2024高一上·辽宁大连·期末）如图，在中，，，AD与BC相交于点M.设，.

(1)试用基底表示向量；
(2)在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M，若，，求的值.
变式3．（2024高一上·辽宁·期末）如图，在中，是上一点，是上一点，且，过点作直线分别交于点.
(1)用向量与表示；
(2)若，求和的值.
【方法技巧与总结】
1．利用平面向量基本定理求参数值的基本思路是利用定理的唯一性，对某一向量用基表示两次然后利用系数相等列方程(组)求解，即对于基{e1，e2}，若a＝xe1＋ye2，且a＝me1＋ne2(x，y，m，n∈R)，则有
2．充分利用平面几何知识对图中的有关点进行精确定位，往往可使问题更便于解决．
3.用向量解决平面几何问题的一般步骤
(1)选取不共线的两个平面向量作为基．
(2)将相关的向量用基向量表示，将几何问题转化为向量问题．
(3)利用向量知识进行向量运算，得向量问题的解．
(4)再将向量问题的解转化为平面几何问题的解．
题型四　平面向量的坐标表示
例5．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，在平面直角坐标系中，，分别为与两个坐标轴正方向同向的单位向量，，是平面内的向量，且A点坐标为，则下列说法正确的是 ．(填序号)

①向量可以表示为；
②只有当的起点在原点时；
③若，则终点A的坐标就是向量的坐标．
变式1．（2024高一下·全国·专题练习）如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量作为基底，若，，则向量的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（2024高一下·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，向量的方向如图所示，且，，，分别计算出它们的坐标．
变式3．（2024高三上·江苏常州·期末）已知扇形的半径为5，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，，，弧的中点为，则（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
在向量的坐标表示中，一定要分清表示向量的有向线段的起点与终点的坐标，同时注意区分点的坐标与向量的坐标写法的不同．
题型五　平面向量的坐标运算
例6．【多选】（2024高一下·全国·专题练习）下列各式不正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
变式1．（2024高一下·全国·专题练习）已知，，求：
(1)；
(2)；
(3).
变式2．（2024高一下·全国·专题练习）已知，若，，求的坐标．
变式3．【多选】（2024高一下·全国·专题练习）已知平面内平行四边形的三个顶点则第四个顶点的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
变式4．（2024高一下·全国·课后作业）已知向量，，若满足，则（　　）
A． B．
C． D．
变式5．（2024高一下·四川自贡·期中）已知点，点在线段的延长线上，且，则点P的坐标是 .
【方法技巧与总结】
1．向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算，另外，解题过程中要注意方程思想的运用．
2．利用向量的坐标运算解题，主要根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解．
题型六　平面向量共线的坐标表示
（一）向量共线的判定与证明
例7．（2024高三上·上海浦东新·阶段练习）设，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充分必要条件D．非充分非必要条件
变式1．（2024高一下·全国·专题练习）下列各组向量中，共线的是（　　）
A．，
B．，
C．，
D．，
变式2．【多选】（2024高一·全国·课后作业）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是（ ）
A． B．
C． D．
变式3．（2024高一下·河南·期中）下列向量中与共线的是（ ）
A． B．
C． D．
（二）利用向量共线的坐标表示求参数
例8．（2024高一下·河南洛阳·阶段练习）已知向量，则“ ”是 “”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
变式1．（2024高一·江苏·专题练习）已知向量，.若与平行，则（　　）
A． B．
C．7 D．
变式2．（2024高一·江苏·专题练习）已知向量，.若，则 ．
变式3．（2024高二上·浙江·期末）已知平面向量，，且，则（ ）
A． B．0 C．1 D．
变式4．（2024高一·全国·专题练面内给定三个向量，且，求实数关于的表达式.
变式5．（2024高三上·江西赣州·阶段练习）已知向量 ，若与共线且同向，则实数λ的值为（ ）
A．2 B．4 C． D．或4
变式6．（2024高一下·湖南岳阳·期末）设，向量，，且，则（ ）
A． B． C．10 D．
（三）三点共线问题
例9．（2024高一·全国·随堂练习）判断下列各组三点是否共线：
(1)，，；
(2)，，；
(3)，，.
变式1．（2024高三上·上海黄浦·开学考试）若三点不能构成三角形，则 .
变式2．（2024高二上·北京丰台·期中）已知，，三点共线，则 .
变式3．（2024高一下·河北邯郸·期中）已知向量，，，若B，C，D三点共线，则（ ）
A．－16 B．16 C． D．
变式4．（2024高一下·江苏无锡·期末）已知点，，，若A，B，C三点共线，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
变式5．（2024高一下·福建漳州·期中）已知向量，.
(1)若与共线，求的值；
(2)若，，且三点共线，求的值.
变式6．（2024高三上·天津河北·期中）设，，，其中，，为坐标原点，若，，三点共线，则 ，的最小值为 .
【方法技巧与总结】
1.向量共线的判定方法
(1)利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b.
(2)利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))直接判断a与b是否平行．
2.根据向量共线的条件求参数问题的两种思路
(1)利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)列方程组求解．
(2)利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0求解．
3.利用向量解决三点共线问题的一般思路：(1)利用三点构造出两个向量，求出唯一确定的实数λ；(2)利用向量运算的坐标表示得出两向量共线，再结合两向量过同一点，可得两向量所在的直线必重合，即三点共线．
一、单选题
1．（2024高一下·河南·期中）设、是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（ ）
A．和 B．与
C．与 D．与
2．（2024·全国·模拟预测）如图，在中，为的中点，，与交于点，若，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高三上·全国·竞赛）平面向量，则（ ）
A．3 B．5 C．7 D．11
4．（2024高一·江苏·专题练习）已知，，三点共线，且，，若点的纵坐标为，则点的横坐标为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024高一下·全国·专题练习）已知向量，，则等于（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024高一下·江苏连云港·阶段练习）如图所示的矩形中，，满足，，G为EF的中点，若，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．2
7．（2024高三上·全国·阶段练习）在平行四边形中，，，若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
8．（2024·全国·模拟预测）在中，，是的中线，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2024高一上·湖南长沙·期末）下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
10．（2024高一下·江苏连云港·期中）如图，中，，点E在线段AC上，AD与BE交于点F，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024高一上·浙江·期末）下列命题中错误的是（ ）
A．已知为平面内两个不共线的向量，则可作为平面的一组基底
B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
C．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大
D．若，则存在唯一实数使得
12．（2024高一下·全国·专题练习）若，是平面内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（ ）
A．可以表示平面内的所有向量
B．对于平面中的任一向量，使的实数，有无数多对
C．，，，均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使
D．若存在实数，，使，则
三、填空题
13．（2024高三·全国·专题练习）已知点，且，则点的坐标是 ．
14．（2024高一下·辽宁·期末）已知四边形的对角线交于点为的中点，若，则 .
15．（2024高一下·全国·专题练习）已知、是两个不共线的向量，，，若与是共线向量，则实数 .
16．（2024高一下·全国·专题练习）已知向量．若非零实数满足，则 .
17．（2024高一下·全国·专题练习）已知向量是一个基底，实数x，y满足，则 .
四、解答题
18．（2024高二上·广东·学业考试）已知向量，，点．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点满足点P，B，D三点共线，求y的值．
19．（2024高一·全国·单元测试）在平行四边形中，．

(1)如图1，如果分别是的中点，试用分别表示.
(2)如图2，如果是与的交点，是的中点，试用表示.
20．（2024高三·全国·专题练习）在平行四边形中，，为的中点，延长交于点，若，求的值.

21．（2024高三上·陕西铜川·期末）如图，在直角梯形中，为上靠近的三等分点，交于．
(1)用和表示；
(2)求证：．
22．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知点是边长为1的正三角形的中心，线段经过点，并绕点转动，分别交边于点，设，其中．
(1)求的值；
(2)求面积的最小值，并指出相应的的值．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.4 平面向量基本定理及坐标表示6种常见考法归类
课程标准 学习目标
(1)理解平面向量基本定理及其意义．能推导平面向量基本定理和运用平面向量基本定理解决某些数学问题． (2)借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示． (3)会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算． (4)能用坐标表示平面向量的共线条件． 1.掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量； 2.能够灵活应用向量定理解决平面几何问题. 3.掌握平面向量的坐标表示，理解点坐标与向量坐标的区别与联系. 4.平面上向量的和、差及数乘运算，会用坐标表示中点坐标. 5.掌握向量平行的坐标表示.
知识点01平面向量基本定理
1．定理：如果e1，e2(如图①所示)是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2(如图②所示)，其中不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基，记为{e1，e2}．
2．正交分解：若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基，在正交基下向量的线性表示称为正交分解．若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为标准正交基．
【即学即练1】下列关于基底的说法正确的序号是(　　)
①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；
②基底中的向量可以是零向量；
③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．
A．①②　　　　　　　　 B．①③
C．②③ D．①②③
【解析】由基底的定义可知①③正确. 故选B.
【即学即练2】若是平面内向量的一组基，则下面的向量中不能作为一组基的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【解析】对于A， ，能作为基底；
对于B，，不能作为基底；
对于C，，能作为基底；
对于D， ，能作为基底；
故选：B.
【即学即练3】如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是(　　)
A．e1与e1＋e2 B．e1－2e2与e1＋2e2
C．e1＋e2与e1－e2 D．e1－2e2与－e1＋2e2
【解析】由e1，e2为不共线向量，可知e1与e1＋e2，e1－2e2与e1＋2e2，e1＋e2与e1－e2必不共线，都可作为平面向量的基底，而e1－2e2＝－(－e1＋2e2)，故e1－2e2与－e1＋2e2共线，不能作为该平面所有向量的基底．故选D.
【即学即练4】在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，以b与c作为基底，则＝(　　)
A.b＋c B.c－b C.b－c D.b＋c
【解析】∵＝2，∴－＝2(－)，∴－c＝2(b－)，∴＝c＋b.故选A.
知识点02平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为标准正交基．对于坐标平面内的任意向量a，以坐标原点O为起点作＝a(通常称为位置向量)．由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使＝xi＋yj.因此a＝xi＋yj，把(x，y)称为向量a在标准正交基{i，j}下的坐标，记作a＝(x，y)．
注：1.对平面向量坐标的几点认识
(1)设 ＝x＋y(O为坐标原点)，则向量 的坐标(x，y) 就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标就是向量的坐标(x，y).因此，在直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一个有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的．
(2)两向量相等的等价条件是它们对应的坐标相等．
(3)要把点的坐标与向量的坐标区别开来，相等的向量的坐标是相同的，但起点和终点的坐标却可以不同．
2．符号(x，y)的意义
符号(x，y)在直角坐标系中有两重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，为了加以区分，在叙述中，就常说点(x，y)或向量(x，y)．
【即学即练5】下列说法正确的有(　　)
①向量的坐标即此向量终点的坐标；
②位置不同的向量其坐标可能相同；
③一个向量的坐标等于它的终点坐标减去它的起点坐标；
④相等向量的坐标一定相同．
A．1个　　B．2个 C．3个 D．4个
【解析】向量的坐标是其终点坐标减去起点坐标，故①错误，②③④正确．故选C.
【即学即练6】如图，向量a，b，c的坐标分别是________，________，________.
【解析】将各向量分别向基底i，j所在直线分解，则a＝－4i＋0j，∴a＝(－4,0)，b＝0i＋6j，
∴b＝(0,6)，c＝－2i－5j，∴c＝(－2，－5)．
答案：(－4,0)　(0,6)　(－2，－5)
【即学即练7】已知，若的终点坐标为（3，-6），则的起点坐标为（ ）
A．（-4，-8） B．（-4，8） C．（4，-8） D．（4，8）
【解析】设的起点坐标为，
的终点坐标为（3，-6），
，
又，
，解得，
的起点坐标为，
故选：C.
【即学即练8】已知，，若，则点的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（3，-1） C．（7，0） D．（1，0）
【解析】设点的坐标为，则，，
因为，即，
所以，解得，所以.
故选：C.
知识点03平面向量运算的坐标表示
文字叙述 符号表示
加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝(x1－x2，y1－y2)
数乘向量 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)
向量的坐标 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)
注：(1)向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系，即两向量的坐标相同时，两个向量相等，但它们的起点和终点的坐标却不一定相同．例如，若A(3，5)，B(6，8)，C(－5，3)，D(－2，6)，则 ＝(3，3)， ＝(3，3)，显然 ＝，但A，B，C，D各点的坐标都不相同．
(2)运算时，注意向量的起点与终点的顺序不要颠倒．
【即学即练9】已知向量，，则向量（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为向量，，所以故选：A.
【即学即练10】设，，，，则（ ）.
A． B． C． D．
【解析】设，则，
因为，
所以，
所以，解得，即，
所以，
所以，
故选：B
【即学即练11】已知向量，则____________
【解析】由题意，
又因为，所以，
故答案为：
【即学即练12】已知平行四边形ABCD的三个顶点，，的坐标分别是,,,，则向量的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【解析】平行四边形的三个顶点，，的坐标分别是,,,，
∴，
,,,，,,,．
,,,．
故选：B．
知识点04　中点坐标公式
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，M是线段AB的中点，则
【即学即练13】已知，，M是线段的中点，那么向量的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由中点坐标公式得，即，所以.故选：A.
【即学即练14】已知，则线段的中点坐标为_______.
【解析】设，则，
所以，解得：，
所以点坐标为，
由中点坐标公式可得：线段的中点坐标为，即，
故答案为：
知识点05　平面向量平行的坐标表示
a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0．
注：已知＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，
(1)当≠0时，＝λ.
这是几何运算，体现了向量与的长度及方向之间的关系．
(2)x1y2－x2y1＝0.
这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征．
(3)当x2y2≠0时，＝，即两向量的对应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．
【即学即练15】下列各组向量是平行向量的有________．(填序号)
①a＝，b＝(－2，－3)；②a＝(0.5,4)，b＝(－8,64)；
③a＝(2,3)，b＝(3,4)； ④a＝(2,3)，b＝.
【解析】①(－3)－(－2)＝－＋＝0，∴a∥b.
②0.5×64－4(－8)＝32＋32＝64≠0，∴a，b不平行．
③2×4－3×3＝8－9＝－1≠0，∴a，b不平行．
④2×2－3＝4＋4＝8≠0，∴a，b不平行．
【即学即练16】已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)．若(a－c)∥b，则k＝________.
【解析】a－c＝(3－k，－6)，∵(a－c)∥b，
∴3(3－k)＋6＝0，解得k＝5.
答案：5
【即学即练17】若点，，三点共线，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解析】因为点，，，
所以，
因为点，，三点共线，
所以共线，
则，
解得，
故选：B
题型一：对平面向量基本定理的理解
例1．（2024高一下·全国·专题练习）下列三种说法：①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．
其中，说法正确的为（ ）
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
【答案】B
【分析】由基底的概念及平面向量基本定理逐一判断即可.
【详解】平面内只要不共线的向量均可作为表示该平面内所有向量的基底，有无数组，①错误，②正确；
由平面向量基本定理可得，平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的，③正确.
故选：B.
变式1．【多选】（2024高一·江苏·专题练习）设，是不共线的两个向量，则下列各组向量能作为一组基底的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】ABD
【分析】
先判断与，与，与不共线，即可判断此三组向量可以分别作为一组基底；
与共线，故此组向量不能作为一组基底.
【详解】
A．设，则无解，所以与不共线，即与能作为一组基底．
B．设，则无解，
所以与不共线，即与能作为一组基底．
C．因为，所以与共线，即与不能作为一组基底．
D．设，则无解，
所以与不共线，即与能作为一组基底．
故选：ABD
变式2．【多选】（2024高一下·福建福州·阶段练习）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】
根据平面向量共线定理以及基底的概念逐一判断即可.
【详解】
对于A，，则为共线向量，不能作为平面向量的基底；
对于B，，则为共线向量，不能作为平面向量的基底；
对于C，，则为共线向量，不能作为平面向量的基底；
对于D，明显不存在实数使，则不共线，可以作为平面向量的基底.
故选：ABC.
变式3．（2024高一下·福建福州·期末）如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用基底的定义求解.
【详解】由题中图形可知：与，与，与共线，不能作为基底向量，
与不共线，可作为基底向量．
故选：B.
【方法技巧与总结】
对基的理解
(1)两个向量能否作为一组基，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基，反之，则可作基．
(2)一个平面的基一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则
提醒：一个平面的基不是唯一的，同一个向量用不同的基表示，表达式不一样．
题型二：用基表示平面向量
例2．（2024高三下·山东德州·开学考试）在中，点在直线上，且满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据画出及点D的位置，再由向量的线性运算即可由表示出.
【详解】因为，
所以

故选：A.
变式1．（2024·广东佛山·模拟预测）在中，，若，线段与交于点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据中线性质得出，再由平面向量线性运算即可求得结果.
【详解】如下图所示：

由可得分别为的中点，
由中线性质可得，
又，所以，
因此.
故选：B
变式2．（2024·山西运城·一模）已知所在平面内一点，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由已知条件结合平面向量的加法可得出关于、的表达式.
【详解】因为，即，即，
解得，
故选：B.
变式3．（2024·福建漳州·模拟预测）在中，是边上一点，且是的中点，记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据平面向量的线性运算法则进行运算即可.
【详解】
，
故选：D．

变式4．（2024·全国·模拟预测）在等腰梯形中，，，点是线段上靠近的三等分点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】通过添设辅助线，借助于三角形和等腰梯形，利用平面向量的加减法将进行转化，最终用来表示即得.
【详解】
如图等腰梯形中，取中点，连接，则,,
于是，
.
故选:D.
【方法技巧与总结】
用基表示向量的两种基本方法
用基表示向量的基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直至用基表示为止；另一种是通过列向量方程(组)，利用基表示向量的唯一性求解．
题型三　平面向量基本定理的应用
（一）利用平面向量基本定理求参数
例3．（2024·湖南·模拟预测）在中，，点满足，若，则的值为 .
【答案】
【分析】根据向量的加减运算即可得出答案.
【详解】由题意可得：
.
所以.
故答案为：.
变式1．（2024高三下·全国·专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，，，，则 .

【答案】
【分析】利用向量的线性运算将用表示，然后根据系数相等求解即可.
【详解】由题意可得，，
所以，所以.
故答案为：.
变式2．（2024高三下·全国·专题练习）已知平面四边形满足，平面内点E满足，CD与AE交于点M，若，则 .
【答案】/
【分析】根据给定条件，利用向量表示结合平面向量基本定理不解即得.
【详解】平面四边形中，，则，又，则，
因此，即，
，
而不共线，所以，.
故答案为：

变式3．（2024高二下·湖南岳阳·开学考试）在平行四边形中，、分别为边、的中点，连接、，交于点.若（），则 .
【答案】/
【分析】延长、相交于点，可得是的中点，由得，根据平面向量线性运算法则计算得到，可求得的值，即可得解.
【详解】延长、相交于点，因为，，
所以是的中点，所以，
因为，所以，所以，
所以
，
又，
所以，故
故答案为：.
变式4．（2024高三上·河南·专题练习）已知D，E分别为的边AB，BC上的点，且，，CD与AE相交于点O，若，则 ．
【答案】/
【分析】取DB的中点F，连接EF，则，，然后利用平面向量基本定理将用表示，再结合可求出，从而可求得结果.
【详解】由题意，为边AB的靠近点的三等分点，为边的中点，
如图，取DB的中点F，连接EF，则，，
所以
，
因为，
所以，，
所以．
故答案为：
（二）确定两直线交点的位置问题
例4．（2024高一下·江苏·专题练习）如图，在中，点M是BC的中点，点N在AC上，且，AM与BN相交于点P，求与.
【答案】，
【分析】设，，则，根据A，P，M和B，P，N分别共线，所以存在实数使得，．根据．解出即可.
【详解】设，
则，
∵，，和，，分别共线，
∴存在实数使得，．
故．
而，由平面向量基本定理，得解得
∴，．
故，．
变式1．（2024高三·全国·专题练习）如图，在中，若，，过点的直线交直线分别于两点，且，探究之间的关系.

【答案】
【分析】根据平面向量的运算可得，又有三点共线知，，根据平面向量的基本定理可得，消去即可求解.
【详解】一方面，,
故.
另一方面，由三点共线知，.
所以，可变为.
消去，得，即.
变式2．（2024高一上·辽宁大连·期末）如图，在中，，，AD与BC相交于点M.设，.

(1)试用基底表示向量；
(2)在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M，若，，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由D，M，A三点共线，设，由C，M，B三点共线，可设，列出方程组，即可求解的值，得到结论；
（2）由E，M，F共线，设，由（1）可求得，化简即可求解.
【详解】（1）因为C，M，B三点共线，D，M，A三点共线，所以设，，
则，，
所以，解得，所以；
（2）因为E，M，F三点共线，所以设，
则，由（1）知，
所以，所以.
变式3．（2024高一上·辽宁·期末）如图，在中，是上一点，是上一点，且，过点作直线分别交于点.
(1)用向量与表示；
(2)若，求和的值.
【答案】(1)
(2)，.
【分析】（1）利用向量的线性运算求解；
（2）设，利用向量的线性运算和平面向量基本定理求解.
【详解】（1）.
（2）因为，所以．设，
，
因为三点共线，
所以，解得，所以.
因为，
，
所以，即.
【方法技巧与总结】
1．利用平面向量基本定理求参数值的基本思路是利用定理的唯一性，对某一向量用基表示两次然后利用系数相等列方程(组)求解，即对于基{e1，e2}，若a＝xe1＋ye2，且a＝me1＋ne2(x，y，m，n∈R)，则有
2．充分利用平面几何知识对图中的有关点进行精确定位，往往可使问题更便于解决．
3.用向量解决平面几何问题的一般步骤
(1)选取不共线的两个平面向量作为基．
(2)将相关的向量用基向量表示，将几何问题转化为向量问题．
(3)利用向量知识进行向量运算，得向量问题的解．
(4)再将向量问题的解转化为平面几何问题的解．
题型四　平面向量的坐标表示
例5．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，在平面直角坐标系中，，分别为与两个坐标轴正方向同向的单位向量，，是平面内的向量，且A点坐标为，则下列说法正确的是 ．(填序号)

①向量可以表示为；
②只有当的起点在原点时；
③若，则终点A的坐标就是向量的坐标．
【答案】①③
【分析】根据向量基本定义和向量坐标化知识一一分析即可.
【详解】由平面向量的基本定理知，有且只有一对实数，，使得，所以①正确．
此时为的坐标，记作，只有当时，，故②错，③正确．
故答案为：①③.
变式1．（2024高一下·全国·专题练习）如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量作为基底，若，，则向量的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用基底法分解向量，再表示成坐标即可.
【详解】由题意得，.
故选：A
变式2．（2024高一下·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，向量的方向如图所示，且，，，分别计算出它们的坐标．
【答案】，，．
【分析】根据向量坐标的定义，以及向量的模和三角函数，即可求解向量的坐标.
【详解】设，，，
则，，
，，
，，
因此，，．
变式3．（2024高三上·江苏常州·期末）已知扇形的半径为5，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，，，弧的中点为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，则，求出，利用同角三角函数关系得到，，求出答案.
【详解】令，则，
，解得，
即，又，
又，解得，，
，即，
所以.
故选：B．
【方法技巧与总结】
在向量的坐标表示中，一定要分清表示向量的有向线段的起点与终点的坐标，同时注意区分点的坐标与向量的坐标写法的不同．
题型五　平面向量的坐标运算
例6．【多选】（2024高一下·全国·专题练习）下列各式不正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】ACD
【分析】
向量加、减法的坐标运算逐项排除可得答案．
【详解】
对于A，若，，则，A错误；
对于B，若，，则，B正确；
对于C，若，，则，C错误；
对于D，若，，则，D错误.
故选：ACD
变式1．（2024高一下·全国·专题练习）已知，，求：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】根据平面向量的坐标的线性运算可得.
【详解】（1）
（2）
（3）
变式2．（2024高一下·全国·专题练习）已知，若，，求的坐标．
【答案】
【分析】通过两个向量等式求得两点坐标，即得的坐标.
【详解】设由 可得：即得：，即．
由可得：即得：，即.
于是.
变式3．【多选】（2024高一下·全国·专题练习）已知平面内平行四边形的三个顶点则第四个顶点的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】分类讨论构成平行四边形的对角线，根据平行四边形对角线互相平分，设，利用线段的中点公式计算即可得的坐标．
【详解】设，若构成的平行四边形为，即为一条对角线，
则由中点也是中点，可得，解得，
所以；
同理可得，若构成以为对角线的平行四边形，则，即；
若构成以为对角线的平行四边形，则，即；
所以第四个顶点的坐标为可以为：或或．
故选：BC．
变式4．（2024高一下·全国·课后作业）已知向量，，若满足，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据向量线性运算的坐标运算直接得解.
【详解】
因为，，且满足，
所以，
故选：A.
变式5．（2024高一下·四川自贡·期中）已知点，点在线段的延长线上，且，则点P的坐标是 .
【答案】
【分析】根据题意转化为，设，结合向量的坐标表示，列出方程组，即可求解.
【详解】因为点，点在线段的延长线上，且，
可得，
设，则，即 ，
解得，即点的坐标为.
故答案为：.
【方法技巧与总结】
1．向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算，另外，解题过程中要注意方程思想的运用．
2．利用向量的坐标运算解题，主要根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解．
题型六　平面向量共线的坐标表示
（一）向量共线的判定与证明
例7．（2024高三上·上海浦东新·阶段练习）设，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充分必要条件D．非充分非必要条件
【答案】A
【分析】
先得到充分性成立，再举出反例得到必要性不成立，得到答案.
【详解】若，则，即，故，充分性成立，
不妨设，此时，但不满足，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分非必要条件.
故选：A
变式1．（2024高一下·全国·专题练习）下列各组向量中，共线的是（　　）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【分析】根据向量共线的充要条件，即可判断选项.
【详解】若两个向量共线，则，
其中只有B选项，满足条件.
故选：B
变式2．【多选】（2024高一·全国·课后作业）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】
判断两个平面向量能否构成平面的基底，只需判断它们是否共线即可，不共线才能作为平面的基底.
【详解】
能作为平面内的基底，须使两向量与不平行，若，则，
故只需判断选项中的两向量的坐标是否满足即得.
对于A选项，因，∴与不平行，故A项正确；
对于B选项，，∴与不平行，故B项正确；
对于C选项，，∴与不平行，故C项正确；
对于D选项，，∴，故D项错误.
故选：ABC.
变式3．（2024高一下·河南·期中）下列向量中与共线的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据共线向量定理判断即可.
【详解】因为，由共线向量定理可知向量与共线.
故选：C.
（二）利用向量共线的坐标表示求参数
例8．（2024高一下·河南洛阳·阶段练习）已知向量，则“ ”是 “”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用向量共线的坐标表示，结合充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】向量，，解得，
所以“ ”是 “”的充分不必要条件.
故选：A
变式1．（2024高一·江苏·专题练习）已知向量，.若与平行，则（　　）
A． B．
C．7 D．
【答案】D
【分析】
根据平面向量的坐标运算和向量共线的充要条件得到方程，解出即可.
【详解】
，
由与平行，可得，解得.
故选：D.
变式2．（2024高一·江苏·专题练习）已知向量，.若，则 ．
【答案】
【分析】
利用平面向量的坐标运算和向量共线得到方程，解出即可.
【详解】
，，
因为，所以，所以.
故答案为：.
变式3．（2024高二上·浙江·期末）已知平面向量，，且，则（ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】A
【分析】首先求出、的坐标，再根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可.
【详解】因为，，
所以，，
因为，所以，解得.
故选：A
变式4．（2024高一·全国·专题练面内给定三个向量，且，求实数关于的表达式.
【答案】
【分析】
由向量坐标的线性运算以及向量平行的充要条件即可列式求解.
【详解】
因为，,
所以，即.
变式5．（2024高三上·江西赣州·阶段练习）已知向量 ，若与共线且同向，则实数λ的值为（ ）
A．2 B．4 C． D．或4
【答案】C
【分析】
通过向量共线且同向，即可求出实数的值并检验即可得解.
【详解】
因为，，且与共线且同向，
所以，解得或，
当时，，则，满足题意；
当时，，则，不满足题意；
综上，.
故选：C．
变式6．（2024高一下·湖南岳阳·期末）设，向量，，且，则（ ）
A． B． C．10 D．
【答案】D
【分析】根据题意，列出方程求得，结合向量的坐标运算，即可求解.
【详解】由向量，，
因为，可得，解得，
所以，所以.
故选：D.
（三）三点共线问题
例9．（2024高一·全国·随堂练习）判断下列各组三点是否共线：
(1)，，；
(2)，，；
(3)，，.
【答案】(1)A，B，C三点不共线.
(2)D，E，F三点共线
(3)G，H，L三点共线
【分析】
根据点的坐标确定向量的坐标，再根据向量共线定理即可判断.
【详解】（1）因为，
所以，所以与不共线，所以A，B，C三点不共线.
（2）因为，所以，
因为直线DE与DF有公共点D，所以D，E，F三点共线.
（3）因为，所以，
因为直线GH与GL有公共点G，所以G，H，L三点共线.
变式1．（2024高三上·上海黄浦·开学考试）若三点不能构成三角形，则 .
【答案】
【分析】
三点不能构成三角形转化为三点共线，利用向量共线的坐标表示求解即可.
【详解】当三点共线，即时，三点不能构成三角形.
由已知得，
，
由得，，解得.
故答案为：.
变式2．（2024高二上·北京丰台·期中）已知，，三点共线，则 .
【答案】/
【分析】由平面向量基本定理可知，若三点共线，则存在唯一的实数使得，利用等量关系计算的值.
【详解】若三点共线，则存在唯一的实数使得，
所以，则，即，则.
故答案为：
变式3．（2024高一下·河北邯郸·期中）已知向量，，，若B，C，D三点共线，则（ ）
A．－16 B．16 C． D．
【答案】A
【分析】先求出和，根据B，C，D三点共线得到，进而列出方程求解.
【详解】由题意得，，
因为B，C，D三点共线，
所以，
则，得.
故选：A.
变式4．（2024高一下·江苏无锡·期末）已知点，，，若A，B，C三点共线，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据向量的线性运算的坐标关系即可求解.
【详解】由题意可知 由于A，B，C三点共线，所以与共线，
所以，
所以,
故选：D
变式5．（2024高一下·福建漳州·期中）已知向量，.
(1)若与共线，求的值；
(2)若，，且三点共线，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根据共线向量的坐标表示可构造方程求得结果；
（2）由三点共线可知共线，由此可构造方程求得结果.
【详解】（1），，又与共线，
，解得：.
（2），，又三点共线，
，解得：.
变式6．（2024高三上·天津河北·期中）设，，，其中，，为坐标原点，若，，三点共线，则 ，的最小值为 .
【答案】 2
【分析】由题意求得，根据三点共线可得向量共线，利用向量共线的条件可得的值，将化为，展开后利用基本不等式即可求得答案.
【详解】由，，可得，
由于，，三点共线，故共线，
所以，即，
则，
当且仅当，结合，即时取等号，
故答案为：2；
【方法技巧与总结】
1.向量共线的判定方法
(1)利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b.
(2)利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))直接判断a与b是否平行．
2.根据向量共线的条件求参数问题的两种思路
(1)利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)列方程组求解．
(2)利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0求解．
3.利用向量解决三点共线问题的一般思路：(1)利用三点构造出两个向量，求出唯一确定的实数λ；(2)利用向量运算的坐标表示得出两向量共线，再结合两向量过同一点，可得两向量所在的直线必重合，即三点共线．
一、单选题
1．（2024高一下·河南·期中）设、是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（ ）
A．和 B．与
C．与 D．与
【答案】C
【分析】判断出哪个选项的两个向量共线即可.
【详解】对于C，共线，不能作为基底，
对于ABD，两组向量都不共线，
故选：C.
2．（2024·全国·模拟预测）如图，在中，为的中点，，与交于点，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由向量共线的性质分别设，，结合条件依次表示出，，对应解出，即可求解.
【详解】设，，
则，
而与不共线，∴，解得，∴.
故选：A.
3．（2024高三上·全国·竞赛）平面向量，则（ ）
A．3 B．5 C．7 D．11
【答案】B
【分析】
根据平面向量数量积的坐标表示及模的坐标表示即可求解.
【详解】因为，所以，
所以.
故选：B
4．（2024高一·江苏·专题练习）已知，，三点共线，且，，若点的纵坐标为，则点的横坐标为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据向量共线定理可得解.
【详解】
设，
因为，，三点共线，所以，
又，，
所以，
所以，
故选：A.
5．（2024高一下·全国·专题练习）已知向量，，则等于（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据向量坐标的加减可得.
【详解】
故选：A
6．（2024高一下·江苏连云港·阶段练习）如图所示的矩形中，，满足，，G为EF的中点，若，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】A
【分析】
以为基底，根据平面向量线性运算即可求解.
【详解】因为，，G为EF的中点，
所以
，
所以，所以.
故选：A
7．（2024高三上·全国·阶段练习）在平行四边形中，，，若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】D
【分析】根据向量的加减运算及数乘运算可得，从而得解.
【详解】，
，
，
，
，
，，．
故选：D．
8．（2024·全国·模拟预测）在中，，是的中线，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用平面向量的减法可得出关于、的表达式.
【详解】如下图所示：

因为，则，可得，
因为为的中线，即点为的中点，
所以，.
故选：B.
二、多选题
9．（2024高一上·湖南长沙·期末）下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】ACD
【分析】分别判断四个选项中的两个向量是否共线得到答案.
【详解】对于A，，，由零向量与任意向量共线，可知两个向量不能作为基底；
对于B，因为，，所以，所以两个向量不共线，可以作为基底；
对于C，因为，，所以，可知两个向量共线，故不可以作为基底；
对于D，由，，得：，可知两个向量共线，故不能作为基底；
故选：ACD
10．（2024高一下·江苏连云港·期中）如图，中，，点E在线段AC上，AD与BE交于点F，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】
由已知可得，进而可得，判断A；设，利用，，共线可求，进而可判断B；根据，利用三角形面积比可判断D；根据向量的线性运算可判断C．
【详解】
对于A：根据，
故，故A正确；
对于B：设，则
，又，
，，三点共线，，
且，，故，故B错误；
对于D：由于，故，
，故D正确；
对于C，
，
，
，故C正确．
故选：ACD．
【点睛】
关键点点睛：本题解决的关键是熟练掌握平面向量的线性运算与基底法，从而得解.
11．（2024高一上·浙江·期末）下列命题中错误的是（ ）
A．已知为平面内两个不共线的向量，则可作为平面的一组基底
B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
C．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大
D．若，则存在唯一实数使得
【答案】BCD
【分析】根据共线向量定理即基底的概念可判定A;根据向量的定义及向量共线的定义可判定B,C,D.
【详解】对于A，因为为平面内两个不共线的向量，
设，,
则，无解，
所以不共线，
则可作为平面的一组基底，故A正确；
对于B,根据共线向量的定义知，方向相反的向量一定是共线向量，
故B错误；
对于C,根据向量的定义知，向量不能比较大小，故C错误；
对于D，当时，满足，
此时任意实数使得，故D错误，
故选：BCD.
12．（2024高一下·全国·专题练习）若，是平面内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（ ）
A．可以表示平面内的所有向量
B．对于平面中的任一向量，使的实数，有无数多对
C．，，，均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使
D．若存在实数，，使，则
【答案】BC
【分析】根据平面向量基本定理结合线性运算分析判断.
【详解】由题意可知：，可以看成一组基底向量，
根据平面向量基本定理可知：A，D正确，B不正确；
对于C，当时，则，
此时任意实数均有，故C不正确；
故选：BC．
三、填空题
13．（2024高三·全国·专题练习）已知点，且，则点的坐标是 ．
【答案】
【分析】利用平面向量的线性运算处理即可.
【详解】如图，连接，

设为坐标原点，建立平面直角坐标系，，
整理得．
故答案为：
14．（2024高一下·辽宁·期末）已知四边形的对角线交于点为的中点，若，则 .
【答案】/0.5
【分析】根据给定条件，利用向量线性运算及共线向量定理的推论求解即得.
【详解】由为的中点，及，得，即，
又四边形的对角线交于点，即点共线，因此，
所以.
故答案为：
15．（2024高一下·全国·专题练习）已知、是两个不共线的向量，，，若与是共线向量，则实数 .
【答案】
【分析】设，则，可得出关于实数、的等式，即可解得实数的值.
【详解】因为、是两个不共线的向量，，，若与是共线向量，
设，则，则，
所以，，解得.
故答案为：.
16．（2024高一下·全国·专题练习）已知向量．若非零实数满足，则 .
【答案】3
【分析】利用平面向量的坐标运算、向量共线的充要条件列式计算即得.
【详解】依题意，，，
而，则，整理得，
且不为0，所以.
故答案为：3
17．（2024高一下·全国·专题练习）已知向量是一个基底，实数x，y满足，则 .
【答案】3
【分析】利用平面的基底不共线得到关于的方程组，解之即可得解.
【详解】因是一个基底，故与不共线，
由平面向量基本定理得，解得，
则.
故答案为：3.
四、解答题
18．（2024高二上·广东·学业考试）已知向量，，点．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点满足点P，B，D三点共线，求y的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量的坐标运算，求得点的坐标，利用中点坐标公式，可得答案；
（2）由点的坐标表示出向量的坐标，利用共线向量的坐标公式建立方程，可得答案.
【详解】（1）设，，，
，
，，
，同理可得，
设BD的中点，
则，，
.
（2），，
三点共线，，
，解得.
19．（2024高一·全国·单元测试）在平行四边形中，．

(1)如图1，如果分别是的中点，试用分别表示.
(2)如图2，如果是与的交点，是的中点，试用表示.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据向量的线性运算结合图形直接表示即可；
（2）根据向量的线性运算结合图形直接表示即可.
【详解】（1）因为分别是的中点，
所以，
.
（2）因为是与的交点，是的中点，
所以，
.
20．（2024高三·全国·专题练习）在平行四边形中，，为的中点，延长交于点，若，求的值.

【答案】
【分析】选为基底，根据三点共线结合向量的加减运算表示出，进而表示出以及，利用向量相等列出方程组，求得参数，即可推出，求得答案.
【详解】选为基底，一方面，由三点共线得，，
另一方面，由三点共线得
，，
由三点共线知，
可得，解得，
所以，.
由
结合，得.
21．（2024高三上·陕西铜川·期末）如图，在直角梯形中，为上靠近的三等分点，交于．
(1)用和表示；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据已知条件可得，，再结合向量的加减法和平面向量基本定理可求得结果；
（2）由题意可得，再结合和三点共线，可求出，从而可证得结论.
【详解】（1），
，
又为上靠近的三等分点，
，
；
（2）交于，，
由（1）知．
．
三点共线，
，解得，
．
即
22．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知点是边长为1的正三角形的中心，线段经过点，并绕点转动，分别交边于点，设，其中．
(1)求的值；
(2)求面积的最小值，并指出相应的的值．
【答案】(1)
(2)时，取得最小值．
【分析】
（1）由正三角形的中心的性质，有，又三点共线，所以；
（2）面积表示为的函数，通过换元和基本不等式，求最小值.
【详解】（1）
延长交与，由是正三角形的中心，得为的中点，
则，
由，，得，
又三点共线，所以，即．
（2）
是边长为1的正三角形，则，
．
由，则，
，，解得，
．
设，则，
则，当且仅当，即时取等号，
所以当，即时，取得最小值．
【点睛】方法点睛：
应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．求算式的限值范围，根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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