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2.1从位移、速度、力到向量4种常见考法归类
课程标准 学习目标
(1)通过对力、速度、位移等物理量的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义． (2)理解平面向量的几何表示和基本要素． 1.通过对位移、速度、力的分析，了解平面向量的实际背景； 2.理解向量的概念、基本要素及向量的几何表示. 3.理解零向量和单位向量的概念. 4.理解平行向量、共线向量、相等向量的概念； 5. 能够能够掌握它们之间的联系与区别.
知识点01 向量的相关概念
向量的概念 在数学中，我们把既有大小又有方向的量统称为向量．
有向线段 具有方向和长度的线段称为有向线段．以A为起点，B为终点的有向线段记作 ，线段AB的长度称为有向线段的长度，记作．
向量的模 向量a的大小，记作|a|，又称作向量的模．
零向量 长度为0的向量称为零向量，记作0.
单位向量 模等于1个单位长度的向量，称为单位向量．
共线向量 两个非零向量a，b的方向相同或相反称这两个向量为共线向量或平行向量，记作a∥b 规定：零向量与任一向量共线．
相等向量 长度相等且方向相同的向量称为相等向量．
相反向量 若两个向量的长度相等、方向相反，则称它们互为相反向量．
注：共线向量与平行向量
(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别．
(2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同．
(3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．
【即学即练1】（2024下·全国·高一专题练习）判断下列结论是否正确.
（1）若与都是单位向量，则；( )
（2）方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量；( )
（3）直角坐标平面上的轴，轴都是向量；( )
（4）若与是平行向量，则；( )
（5）若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合；( )
（6）海拔、温度、角度都不是向量. ( )
（7）任何两个向量均不可以比较大小.( )
【答案】 错误 正确 错误 错误 正确 正确 正确
【分析】依据向量定义及表示、相等向量及共线向量定义可判断结果.
【详解】若与都是单位向量，而单位向量方向不一定相同，故不能得到，故（1）错误
方向为南偏西的向量与北偏东的向量是方向相反的向量，因而是共线向量，故（2）正确；
（3）轴与轴有方向但是没有长度，因而轴与轴都不是向量，故（3）错误；
（4）若与是平行向量，则与方向相同或相反，模不一定相等；而相等向量必须长度相等，
方向相同，故不能得到，故（4）错误；
（5）若用有向线段表示的向量与不相等，则终点一定不相同，即点M与N不重合，故（5）正确；
（6）海拔，温度，角度都是数量，只有大小没有方向，不是向量，故（6）正确；
（7）向量有方向和长度两个要素，所以向量不能比较大小，故（7）正确；
故答案为：（1）错误，（2）正确，（3）错误，（4）错误，（5）正确，（6）正确，（7）正确.
【即学即练2】（2024下·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．向量的模是一个正实数
B．若与不共线，则与都是非零向量
C．共线的单位向量必相等
D．两个相等向量的起点、方向、长度必须都相同
【答案】B
【分析】利用平面向量的相关概念逐项分析判断即得.
【详解】向量的模是一个非负实数，如零向量的模是0，A错误；
零向量与任意向量共线，若与不共线，则与都是非零向量， B正确；
共线的单位向量方向可能相同，也可能相反，C错误；
两个向量相等的条件是长度相等、方向相同，与起点无关，D错误．
故选：B
【即学即练3】（2024下·江苏宿迁·高一校考开学考试）在下列判断中，真命题的是 .
①长度为的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线．
【答案】①③⑤
【分析】根据向量的定义及知识即可逐项判断求解.
【详解】对①：由定义知①正确；
对②：由于两个零向量是平行的，但不能确定是否同向，也不能确定是哪个具体方向，故②不正确；
对③：根据定义可知单位向量的长度都为1，故③正确；
对④：单位向量方向可以不同，故④错误；
对⑤：任意向量与零向量都共线，故⑤正确；
故答案为：①③⑤.
【即学即练4】【多选】（2024下·全国·高一专题练习）已知非零向量、，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BD
【分析】利用向量、共线向量、相等向量等概念逐项判断.
【详解】对于A，向量是具有方向的量，
若，则向量与的大小一样，方向不确定，不一定共线，故A错误；
对于B，若，则一定有，故B正确；
对于C，若，则只能说明非零向量、共线，
当、大小不同或方向相反时，都有，故C错误；
对于D，若，则、共线且方向相同，所以，故D正确．
故选：BD．
【即学即练5】（2024下·广东东莞·高一校考开学考试）设点是正方形的中心，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．与共线
【答案】B
【分析】画出图形，结合相等向量与共线向量的定义判断即可.
【详解】如图，

因为，方向相同，长度相等，故，故A正确；
因为，方向不同，故，故B错误；
因为，，三点共线，所以，故C正确；
因为，所以与共线，故D正确.
故选：B
知识点02 向量的表示
1．向量可以用有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．
2．向量可以用字母a，b，c，…表示．印刷用黑体a，书写用.
注：1.理解向量概念应关注三点
(1)向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．
(2)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个因素．
(3)向量与向量之间不能比较大小．
2．相等向量的理解
任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定．
3．向量与有向线段的关系
如果有向线段表示一个向量，通常我们就说向量，但有向线段只是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．
4．向量与数量的区别
(1)向量被赋予了几何意义，即向量是具有方向的，而数量是一个代数量，没有方向；
(2)数量可以比较大小，而向量无法比较大小．即使有||>||也不能说>，特殊地，若向量与是相等向量，记作＝；
(3)0与0不同，虽然|0|＝0，但0是向量，而0是数量．
【即学即练6】（2024下·安徽淮北·高一濉溪县临涣中学校考阶段练习）在如图的方格纸中，画出下列向量．

(1)，点在点的正西方向；
(2)，点在点的北偏西方向；
(3)求出的值．
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析；
(3)3
【分析】（1）根据向量的大小和方向，作向量，
（2）根据向量的大小和方向，作向量，
（3）根据向量的模的定义求.
【详解】（1）因为，点在点的正西方向，故向量的图示如下：

（2）因为，点在点的北偏西方向，故向量的图示如下：

（3）
.
【即学即练7】（2024·高一课时练习）在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量．
(1)，点A在点O北偏西45°方向；
(2)，点B在点O正南方向．
【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.
【分析】(1)根据描述找出终点A即可；
(2)根据描述找出终点B即可.
【详解】(1)∵，点A在点O北偏西45°方向，∴以O为圆心，3为半径作圆与图中正方形对角线OP的交点即为A点：
(2)∵，点B在点O正南方向，∴以O为圆心，图中OQ为半径化圆，圆弧与OR的交点即为B点：
知识点03　向量的夹角
已知两个非零向量a和b，在平面内选一点O，作＝a，＝b，(如图)．
则θ＝∠AOB(0°≤θ≤180°)称为向量a与b的夹角．
当θ＝0°时，a与b同向；
当θ＝180°时，a与b反向；
当θ＝90°时，a与b垂直，记作a⊥b．
规定：零向量可与任一向量垂直．
注：两向量夹角概念的正确理解
(1)由于零向量的方向是任意的，因此，零向量可以与任一向量平行，零向量也可以与任一向量垂直．
(2)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量与向量的夹角，∠BAD才是向量与向量的夹角．
【即学即练8】（2024下·高一课时练习）向量与的夹角的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据两向量的夹角的定义，即可得到答案.
【详解】根据两向量的夹角的定义，可得向量与向量的夹角的范围是，即.
故选：D.
【即学即练9】（2024·高一课时练习）若非零向量，互相垂直，则它们的夹角为．( )
【答案】正确
【分析】根据向量夹角的定义判断即可.
【详解】解：若非零向量，互相垂直，则它们的夹角为，故正确；
故答案为：正确
【即学即练10】（2024下·甘肃兰州·高一统考期末）等边三角形中，与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平面向量夹角的定义可得结果.
【详解】解：延长到，则为与的夹角，所以，与的夹角为．

故选：C．
题型一：向量的相关概念
例1.（2024下·海南儋州·高一校考阶段练习）下列各量中，向量有： ．（填写序号）
①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥加速度．
【答案】③⑤⑥
【分析】根据向量的概念判断即可.
【详解】向量是有大小有方向的量，故符合的有：风力，位移，加速度.
故答案为：③⑤⑥.
例2．（2024上·福建厦门·高三福建省厦门第二中学校考开学考试）下列命题不正确的是（ ）
A．零向量是唯一没有方向的向量
B．零向量的长度等于0
C．若，都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线
D．若，，则
【答案】A
【分析】AB选项，由零向量的定义进行判断；C选项，根据共线向量，单位向量和零向量的定义得到C正确；D选项，根据向量的性质得到D正确.
【详解】A选项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；
B选项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；
C选项，因为与都是单位向量，所以只有当与是相反向量，即与是反向共线时才成立，故C正确；
D选项，由向量相等的定义知D正确.
故选：A
变式1．（2024下·广东东莞·高一校考开学考试）给出下列六个命题：
①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若，则；
③在四边形中，若，则四边形是平行四边形；
④平行四边形中，一定有；
⑤若，，则；
⑥若，，则
其中不正确的命题的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据向量的概念可依次判断各个选项.
【详解】解：①两个向量相等是指大小相等，方向相同，则它们的起点和终点不一定相同，故错误；
②若，方向不同，则 不一定成立；
③在四边形中，若，则且，所以四边形是平行四边形，正确；
④平行四边形中，一定有，正确；
⑤若，，则，正确；
⑥， ，则，取时，与不一定共线，错误．
其中不正确的命题的个数为3.
故选：B.
变式2．（2024上·广东湛江·高二校考开学考试）下列命题正确的个数是（ ）
（1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量；
（3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】（1）由向量的几何表示判断；（2）（3）（4）根据对零向量的规定判断.
【详解】（1）向量可以用有向线段表示，但不能把两者等同，故错误；
（2）根据对零向量的规定零向量是有方向的，是任意的，故错误；
（3）根据对零向量的规定，零向量的方向是任意的，故正确；
（4）根据对零向量的规定，零向量的大小为0，所以零向量的长度为0，故正确．
故选：B
变式3．（2024·全国·高一专题练习）下列说法正确的个数是（ ）
（1）温度、速度、位移、功这些物理量是向量；
（2）零向量没有方向；
（3）向量的模一定是正数；
（4）非零向量的单位向量是唯一的．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】根据零向量与单位向量，向量的定义对各个项逐个判断即可求解．
【详解】对于（1），温度与功没有方向，不是向量，故（1）错误，
对于（2），零向量的方向是任意的，故（2）错误，
对于（3），零向量的模可能为0，不一点是正数，故（3）错误，
对于（4），非零向量的单位向量的方向有两个，故（4）错误，
故选：A．
33．（2024下·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若，则.其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据平面向量的相关概念，逐项判断，即可得到本题答案.
【详解】对于①，由共线向量的定义可知：方向相反的两个向量也是共线向量，故①错误；
对于②，长度相等，方向相同的向量是相等向量，故②正确；
对于③，平行向量的方向相同或相反，不一定方向相同，所以不一定相等，故③错误；
对于④，若，可能只是方向不相同，但模长相等，故④错误.
故选：A
【方法技巧与总结】
与向量相关的概念比较多，为了不致混淆，应牢记各概念的内涵与外延，紧紧抓住各概念的本质．向量的核心为方向和长度，如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任意向量共线．
题型二：向量的几何表示
例3．（2024·高一课时练习）已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向．
【答案】答案见解析.
【分析】根据方向角及飞行距离可作出向量，然后在三角形中求向量的模和方向．
【详解】以为原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立直角坐标系．
由题意知点在第一象限，点在x轴正半轴上，点在第四象限，
向量如图所示，
由已知可得，
为正三角形，所以．
又，，
所以为等腰直角三角形，
所以，．
故向量的模为，方向为东南方向．
变式1．（2024下·高一课时练习）一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛．
（1）试作出向量；
（2）求．
【答案】（1）作图见解析；（2）400（海里）．
【分析】（1）根据题设以为正东方向，过A垂直于向上为正北方向，结合题设画出向量即可.
（2）由题设知，易知为平行四边形，即可求.
【详解】（1）建立如图所示的直角坐标系，向量即为所求．
（2）根据题意，向量与方向相反，故向量，又，
∴在中，，故为平行四边形，
∴，则（海里）．
变式2．（2024·高一课时练习）在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
（1），使||＝4，点A在点O北偏东45°；
（2），使＝4，点B在点A正东；
（3），使＝6，点C在点B北偏东30°.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】（1）由点A在点O北偏东45°处和||＝，可得出点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，可作出向量；
（2）由点B在点A正东方向处，且＝4，得出在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，可作出向量；
（3）由点C在点B北偏东30°处，且＝6，再由勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为≈5.2，作出向量．
【详解】（1）由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如下图所示．
（2）由于点B在点A正东方向处，且＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如下图所示．
（3）由于点C在点B北偏东30°处，且＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如下图所示．
【点睛】本题考查方位角和向量的几何表示，关键在于明确方位角的含义和向量的模，得出向量在横向和纵向的小方格的个数，属于基础题.
变式3．（2024下·高一课时练习）如图所示，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方.
（1）作出向量，，（图中1个单位长度表示100m）；
（2）求向量的模.
【答案】（1）作图见解析（2）
【分析】（1）根据题意直接画图即可；
（2）根据（1）的作图，可以通过平行四边形的性质、勾股定理得到向量的模.
【详解】解：（1）如图，即为所求.
（2）如图，作向量，由题意可知，四边形是平行四边形，
∴.
【点睛】本题考查了在直角坐标系内画出向量，考查了利用勾股定理求向量的模，属于基础题.
【方法技巧与总结】
用有向线段表示向量的步骤
题型三：相等向量、共线向量
例4．（2024·全国·高一课堂例题）已知O为正六边形的中心，在图所标出的向量中：

(1)试找出与共线的向量；
(2)确定与相等的向量；
(3)与相等吗？
【答案】(1)和；
(2)；
(3)不相等.
【分析】（1）（2）（3）根据给定条件，利用正六边形的性质，结合共线向量、相等向量的意义判断作答.
【详解】（1）由O为正六边形的中心，得与共线的向量有和.
（2）由于与长度相等且方向相同，所以.
（3）显然，且，但与的方向相反，所以这两个向量不相等.
变式1．（2024下·高一校考课时练习）如图，O是正六边形ABCDEF的中心.

(1)图中所示的向量中与的模相等的向量有几个
(2)图中所示的向量中与共线的向量有几个
【答案】(1)11
(2)4
【分析】（1）根据平面向量的概念即可得出结论；
（2）由共线向量的概念即可得出结论.
【详解】（1）因为ABCDEF为正六边形，所以中心O到各顶点的距离相等，且均等于正六边形的边长.
因此题图中所示的向量中与 的模相等的向量有，，， ，，，，，，，，共11个.
（2）由题知，图中所示的向量中与 共线的向量有，、、，共4个.
变式2．（2024下·高一校考课时练习）如图，EF，CH将正方形ABCD分成四个单位正方形(边长为1个单位长度).在以图中各点为端点的所有向量中，除向量外，与平行的向量有哪些 与平行且是单位向量的有哪些

【答案】答案见解析
【分析】结合图形，由平行向量的定义及单位向量的定义即可得出结论.
【详解】根据平行向量的定义，由图可知，
与平行的向量有：，，，，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，
其中的单位向量有：，，， ， ， ， ， ， ， ， .
变式3．（2024·高一课时练习）如图所示，四边形为正方形，为平行四边形，

(1)与模长相等的向量有多少个？
(2)写出与相等的向量有哪些？
(3)与共线的向量有哪些？
(4)请列出与相等的向量．
【答案】(1)有9个
(2)，
(3)，，，，，，
(4)
【分析】（1）（2）（3）（4）根据平面几何的性质及相等向量、共线向量的定义判断即可.
【详解】（1）因为四边形为正方形，为平行四边形，
所以，
所以与模长相等的向量有、、、、、、、、共个.
（2）与相等的向量有、.
（3）与共线的向量有，，，，，，.
（4）因为为平行四边形，所以且，
所以与相等的向量为.
变式4．（2024·高一课时练习）如图，为正方形的两条对角线的交点，四边形和四边形都是正方形，在图中所示的向量中.
(1)分别写出与、相等的向量；
(2)写出与共线的向量；
(3)写出与的模相等的向量；
(4)写出与的夹角为的向量；
(5)向量与是否相等？
【答案】(1)，.
(2)，，.
(3)，，，，，，.
(4)，，，
(5)不相等
【分析】（1）根据相等向量的概念，即可得出结果；
（2）根据共线向量的概念，即可得出结果；
（3）根据向量模的概念，即可得出结果；
（4）根据向量垂直的概念，即可得出结果.
（5）根据相等向量的概念，即可得出结果；
【详解】（1）解：依题意，因为是正方形对角线的交点，四边形，都是正方形，
所以，；
由题可得：，；
（2）解：与共线的向量有，，.
（3）解：与的模相等的向量有：，，，，，，.
（4）解：与的夹角为的向量有，，，；
（5）解：向量与不相等，因为它们的方向不相同．
【方法技巧与总结】
(1)寻找共线向量的技巧：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再找同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．
(2)寻找相等向量的技巧：先找模与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线向量．
题型四：向量的夹角
例5．（2024下·江苏淮安·高一校考阶段练习）在锐角中，关于向量夹角的说法，正确的是（ ）
A．与的夹角是锐角 B．与的夹角是锐角
C．与的夹角是锐角 D．与的夹角是钝角
【答案】C
【分析】作出图形，结合向量夹角的定义可得出合适的选项.
【详解】如下图所示：
对于A选项，与的夹角为，为钝角，A错；
对于B选项，与的夹角为，为钝角，B错；
对于CD选项，与的夹角等于，为锐角，C对D错；
故选：C.
变式1．（2024·高一课时练习）已知 ABCD中，∠DAB＝60°，则与的夹角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】C
【分析】利用向量的夹角定义直接得解.
【详解】如图，与的夹角为，
故选：C
变式2．（2024·河北廊坊·校联考三模）在中，，，则向量与的夹角为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】的夹角为的补角，计算出后可得其补角.
【详解】因为，所以，则向量的夹角为，选B.
【点睛】平面向量中，两个向量的夹角是按照“起点归一”来刻画的，这是正确计算向量数量积的关键步骤.
变式3．（2024下·高一课时练习）在中，，，，D是AC的中点，则与的夹角为 ．
【答案】
【分析】根据向量的夹角的定义求解．
【详解】如图， 中，，所以，而，，，所以，是的中点，则，，
所以与的夹角等于．
故答案为：．
变式4．（2024上·安徽·高三校联考期末）正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的U盘，图2中的正八边形窗花．在图3的正八边形中，向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据正八边形形内角公式，以及向量夹角公式在，直接求解.
【详解】因为正八边形的内角和为，
所以与的夹角为．
故选：B
变式5．（2024·全国·高一假期作业）如图，设点O是正六边形ABCDEF的中心，请完成以下问题．
(1)分别写出与、、相等的向量；
(2)分别写出与、、共线的向量；
(3)分别写出与，与的夹角；
(4)分别写出与，与的夹角．
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析；
(3)答案见解析；
(4)答案见解析.
【分析】（1）根据正六边形的性质以及相等向量的概念可得结果；
（2）根据正六边形的性质以及共线向量的概念可得结果；
（3）根据正六边形的性质以及向量夹角的概念可得结果.
（4）根据正六边形的性质以及向量夹角的概念可得结果.
【详解】（1）解：由正六边形的性质可知，与相等的向量有：、、，
与相等的向量有：、、，
与相等的向量有：、、.
（2）解：与共线的向量有：、、、、、、、、，
与共线的向量有、、、、、、、、，
与共线的向量有：、、、、、、、、.
（3）解：与的夹角，与的夹角.
（4）解：与的夹角为，与的夹角.
一、单选题
1．（2024上·黑龙江·高二统考学业考试）下列量中是向量的为（ ）
A．频率 B．拉力 C．体积 D．距离
【答案】B
【分析】根据向量与数量的意义直接判断即可.
【详解】显然频率、体积、距离，它们只有大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向量.
故选：B
2．（2024上·江苏·高二专题练习）判断下列各命题的真假：①向量与平行，则与的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④向量就是有向线段.其中假命题的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据零向量的定义及共线向量的定义判断即可.
【详解】对于①：因为零向量的方向是任意的且零向量与任何向量共线，
故当与中有一个为零向量时，其方向是不确定的，故为假命题；
对于②：两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故为真命题；
对于③：零向量也是向量，故也有方向，只是方向是任意的，故为假命题；
对于④：向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段，故为假命题.
故选：B
3．（2024·全国·高一专题练习）设是单位向量，，，，则四边形是（ ）
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【答案】B
【分析】根据共线向量及菱形知识可得解.
【详解】因为，，
所以，即，
所以，
所以四边形是平行四边形，
因为，即，
所以四边形是菱形.
故选：B
4．（2024下·全国·高一专题练习）下列说法错误的是（ ）
A．
B．，是单位向量，则
C．若，则
D．任一非零向量都可以平行移动
【答案】C
【分析】利用向量的有关概念即可.
【详解】对于A项，因为，所以，故A项正确；
对于B项，由单位向量的定义知，，故B项正确；
对于C项，两个向量不能比较大小，故C项错误；
对于D项，因为非零向量是自由向量，可以自由平行移动，故D项正确．
故选：C．
5．（2024·全国·高一专题练习）若为任一非零向量，的模为1，给出下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用向量的相关概念，逐项判断即得.
【详解】的大小不能确定，A错误；
两个非零向量的方向不确定，B错误；
向量的模是一个非负实数，D错误；
非零向量的模是正实数，C正确．
故选：C
6．（2024·高一课时练习）设点是正三角形的中心，则向量，，是（ ）
A．共起点的向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．相等向量
【答案】B
【分析】利用平面向量的相关概念判断.
【详解】因为点是正三角形的中心，
所以，，是模相等的向量；
向量只有大小与方向两个要素，没有起点之说；
这三个向量方向不同，不是共线向量；
这三个向量方向不同，不是相等向量.
故选：B
7．（2024上·陕西·高一统考期末）如图，在正六边形中，点为其中点，则下列判断错误的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据正六边形的性质逐项判断后可得正确的选项.
【详解】对于A，由正六边形的性质可得四边形为平行四边形，故，故A正确.
对于B，因为，故，故B正确.
对于C，由正六边形的性质可得，故，故C正确.
对于D，因为交于，故不成立，故D错误，
故选：D.
二、多选题
8．（2024·全国·高一专题练习）下列结论中，错误的是（ ）
A．表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同；
B．若，则，不是共线向量；
C．若，则四边形是平行四边形；
D．有向线段就是向量，向量就是有向线段.
【答案】BCD
【详解】对于A，表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同，故A正确；
对于B，若也有可能，长度不等，但方向相同或相反，即共线，故B错误；
对于C，若，则，可以方向不同，所以四边形不一定是平行四边形，故C错误；
对于D，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，故D错误.
故选：BCD.
9．（2024下·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）下列命题中错误的有（ ）
A．起点相同的单位向量，终点必相同；
B．已知向量，则四边形ABCD为平行四边形；
C．若，则；
D．若，则
【答案】AC
【分析】由单位向量的定义、向量共线和相等的条件，判断各选项的结论.
【详解】单位向量的方向不确定，所以起点相同的，终点不一定相同，A选项错误；
四边形ABCD中，，则且，四边形ABCD为平行四边形，B选项正确；
当时，满足，但不能得到，C选项错误；
由向量相等的条件可知，若，则，D选项正确.
故选：AC
10．（2024上·高二课时练习）(多选)下列命题的判断正确的是（ ）
A．若向量与向量共线，则A，B，C，D四点在一条直线上
B．若A，B，C，D四点在一条直线上，则向量与向量共线
C．若A，B，C，D四点不在一条直线上，则向量与向量不共线
D．若向量与向量共线，则A，B，C三点在一条直线上
【答案】BD
【分析】根据给定条件，利用共线向量的意义逐项判断作答.
【详解】对于A，平行四边形中，，满足向量与共线，而四点不共线，A错误；
对于B，四点在一条直线上，则向量与方向相同或相反，即向量与共线，B正确；
对于C，平行四边形中，满足四点不共线，有，即向量与共线，C错误；
对于D，向量与共线，而向量与有公共点，因此三点在一条直线上，D正确.
故选：BD
三、填空题
11．（2024下·广东湛江·高一雷州市第一中学校考阶段练习）下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则．其中错误的是 （填序号）．
【答案】②③④
【分析】由零向量的定义、向量相等的条件、向量共线的条件、向量模的定义，判断各说法是否正确.
【详解】由零向量的定义可知，①正确；
时，不知道两个向量的方向，不能得到或，②错误；
两个向量共线，与模是否相等无关，③错误；
当时，满足，，但不能得到，④错误.
故答案为：②③④
12．（2024·高一课时练习）在如图所示的向量中（小正方形的边长为1），找出存在下列关系的向量：

①共线向量： ；
②方向相反的向量： ；
③模相等的向量： .
【答案】 与，与 与，与
【分析】观察图形，利用共线向量、方向相反向量、模相等的向量的意义判断作答.
【详解】观察图形，，因此与是共线向量，并且方向相反；与是共线向量，并且方向相反，
显然，因此的模相等.
故答案为：与，与；与，与；
13．（2024·高一课时练习）给出下列四个条件：①；②；③与方向相反；④或，其中能使成立的条件是 .
【答案】①③④
【分析】运用向量共线的定义判断即可.
【详解】因为与为相等向量，所以，即①能够使成立；
由于并没有确定与的方向，即②不一定能使成立；
因为当与方向相反时，则，即③能够使成立；
因为零向量与任意向量共线，所以或时，能够成立.
故使成立的条件是①③④.
故答案为：①③④.
14．（2024下·高一课时练习）如图所示，在等腰梯形ABCD中，，对角线AC，BD交于点O，过点O作，交AD于点M，交BC于点N，则在以A，B，C，D，M，O，N为起点或终点的所有有向线段表示的向量中，相等向量有 对.

【答案】2
【分析】根据等腰梯形的性质结合已知条件，可推得，即可得出答案.
【详解】由题意∥AB可知，，所以，所以.
因为，所以，，
所以，，所以.
又M，O，N三点共线，
所以，，故相等向量有2对.
故答案为：2.
四、解答题
15．（2024·高一课时练习）如图所示，平行四边形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A,B,C,D,O}，向量集合且M，N不重合，试求集合T中元素的个数．
【答案】12
【分析】集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段，数出有向线段的条数减去相等向量的个数即为答案.
【详解】由题可知，集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段，共有20个，
即，，，；，，，；
，，，；，，，；
，，，.
由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝.
又集合元素具有互异性，故集合T中的元素共有12个．
16．（2024下·高一课时练习）如图，四边形和四边形都是平行四边形．
(1)写出与向量相等的向量；
(2)写出与向量共线的向量．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据向量相等的概念直接求解；
（2）根据共线向量的概念直接求解即可.
【详解】（1）∵四边形和四边形都是平行四边形，
∴，，
∴.
故与向量相等的向量是，.
（2）由共线向量的条件知，与共线的向量有，，，，，，.
17．（2024·高一课时练习）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，以A，B，C，D，E，F，O七点中的任一点为起点，以与起点不同的另一点为终点的所有向量中，设与向量相等的向量个数为m，与向量的模相等的向量个数为n，求m，n．
【答案】m=3，n=23.
【分析】根据平面向量的几何意义和相等向量、共线向量的概念即可得出结果.
【详解】与方向相同的向量仅有，
又，故；
与向量的模相等的向量有两类：
(1)以O为起点，以正六边形的顶点为终点或是
以正六边形顶点为起点，以O为终点的向量，有(个)；
(2)正六边形的六条边上的向量，有(个)
故.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.1从位移、速度、力到向量4种常见考法归类
课程标准 学习目标
(1)通过对力、速度、位移等物理量的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义． (2)理解平面向量的几何表示和基本要素． 1.通过对位移、速度、力的分析，了解平面向量的实际背景； 2.理解向量的概念、基本要素及向量的几何表示. 3.理解零向量和单位向量的概念. 4.理解平行向量、共线向量、相等向量的概念； 5. 能够能够掌握它们之间的联系与区别.
知识点01 向量的相关概念
向量的概念 在数学中，我们把既有大小又有方向的量统称为向量．
有向线段 具有方向和长度的线段称为有向线段．以A为起点，B为终点的有向线段记作 ，线段AB的长度称为有向线段的长度，记作．
向量的模 向量a的大小，记作|a|，又称作向量的模．
零向量 长度为0的向量称为零向量，记作0.
单位向量 模等于1个单位长度的向量，称为单位向量．
共线向量 两个非零向量a，b的方向相同或相反称这两个向量为共线向量或平行向量，记作a∥b 规定：零向量与任一向量共线．
相等向量 长度相等且方向相同的向量称为相等向量．
相反向量 若两个向量的长度相等、方向相反，则称它们互为相反向量．
注：共线向量与平行向量
(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别．
(2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同．
(3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．
【即学即练1】（2024下·全国·高一专题练习）判断下列结论是否正确.
（1）若与都是单位向量，则；( )
（2）方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量；( )
（3）直角坐标平面上的轴，轴都是向量；( )
（4）若与是平行向量，则；( )
（5）若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合；( )
（6）海拔、温度、角度都不是向量. ( )
（7）任何两个向量均不可以比较大小.( )
【即学即练2】（2024下·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．向量的模是一个正实数
B．若与不共线，则与都是非零向量
C．共线的单位向量必相等
D．两个相等向量的起点、方向、长度必须都相同
【即学即练3】（2024下·江苏宿迁·高一校考开学考试）在下列判断中，真命题的是 .
①长度为的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线．
【即学即练4】【多选】（2024下·全国·高一专题练习）已知非零向量、，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【即学即练5】（2024下·广东东莞·高一校考开学考试）设点是正方形的中心，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．与共线
知识点02 向量的表示
1．向量可以用有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．
2．向量可以用字母a，b，c，…表示．印刷用黑体a，书写用.
注：1.理解向量概念应关注三点
(1)向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．
(2)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个因素．
(3)向量与向量之间不能比较大小．
2．相等向量的理解
任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定．
3．向量与有向线段的关系
如果有向线段表示一个向量，通常我们就说向量，但有向线段只是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．
4．向量与数量的区别
(1)向量被赋予了几何意义，即向量是具有方向的，而数量是一个代数量，没有方向；
(2)数量可以比较大小，而向量无法比较大小．即使有||>||也不能说>，特殊地，若向量与是相等向量，记作＝；
(3)0与0不同，虽然|0|＝0，但0是向量，而0是数量．
【即学即练6】（2024下·安徽淮北·高一濉溪县临涣中学校考阶段练习）在如图的方格纸中，画出下列向量．

(1)，点在点的正西方向；
(2)，点在点的北偏西方向；
(3)求出的值．
【即学即练7】（2024·高一课时练习）在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量．
(1)，点A在点O北偏西45°方向；
(2)，点B在点O正南方向．
知识点03　向量的夹角
已知两个非零向量a和b，在平面内选一点O，作＝a，＝b，(如图)．
则θ＝∠AOB(0°≤θ≤180°)称为向量a与b的夹角．
当θ＝0°时，a与b同向；
当θ＝180°时，a与b反向；
当θ＝90°时，a与b垂直，记作a⊥b．
规定：零向量可与任一向量垂直．
注：两向量夹角概念的正确理解
(1)由于零向量的方向是任意的，因此，零向量可以与任一向量平行，零向量也可以与任一向量垂直．
(2)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量与向量的夹角，∠BAD才是向量与向量的夹角．
【即学即练8】（2024下·高一课时练习）向量与的夹角的范围是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练9】（2024·高一课时练习）若非零向量，互相垂直，则它们的夹角为．( )
【即学即练10】（2024下·甘肃兰州·高一统考期末）等边三角形中，与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
题型一：向量的相关概念
例1.（2024下·海南儋州·高一校考阶段练习）下列各量中，向量有： ．（填写序号）
①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥加速度．
例2．（2024上·福建厦门·高三福建省厦门第二中学校考开学考试）下列命题不正确的是（ ）
A．零向量是唯一没有方向的向量
B．零向量的长度等于0
C．若，都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线
D．若，，则
变式1．（2024下·广东东莞·高一校考开学考试）给出下列六个命题：
①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若，则；
③在四边形中，若，则四边形是平行四边形；
④平行四边形中，一定有；
⑤若，，则；
⑥若，，则
其中不正确的命题的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
变式2．（2024上·广东湛江·高二校考开学考试）下列命题正确的个数是（ ）
（1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量；
（3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0．
A．1 B．2 C．3 D．4
变式3．（2024·全国·高一专题练习）下列说法正确的个数是（ ）
（1）温度、速度、位移、功这些物理量是向量；
（2）零向量没有方向；
（3）向量的模一定是正数；
（4）非零向量的单位向量是唯一的．
A．0 B．1 C．2 D．3
33．（2024下·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若，则.其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【方法技巧与总结】
与向量相关的概念比较多，为了不致混淆，应牢记各概念的内涵与外延，紧紧抓住各概念的本质．向量的核心为方向和长度，如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任意向量共线．
题型二：向量的几何表示
例3．（2024·高一课时练习）已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向．
变式1．（2024下·高一课时练习）一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛．
（1）试作出向量；
（2）求．
变式2．（2024·高一课时练习）在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
（1），使||＝4，点A在点O北偏东45°；
（2），使＝4，点B在点A正东；
（3），使＝6，点C在点B北偏东30°.
变式3．（2024下·高一课时练习）如图所示，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方.
（1）作出向量，，（图中1个单位长度表示100m）；
（2）求向量的模.
【方法技巧与总结】
用有向线段表示向量的步骤
题型三：相等向量、共线向量
例4．（2024·全国·高一课堂例题）已知O为正六边形的中心，在图所标出的向量中：

(1)试找出与共线的向量；
(2)确定与相等的向量；
(3)与相等吗？
变式1．（2024下·高一校考课时练习）如图，O是正六边形ABCDEF的中心.

(1)图中所示的向量中与的模相等的向量有几个
(2)图中所示的向量中与共线的向量有几个
变式2．（2024下·高一校考课时练习）如图，EF，CH将正方形ABCD分成四个单位正方形(边长为1个单位长度).在以图中各点为端点的所有向量中，除向量外，与平行的向量有哪些 与平行且是单位向量的有哪些

变式3．（2024·高一课时练习）如图所示，四边形为正方形，为平行四边形，

(1)与模长相等的向量有多少个？
(2)写出与相等的向量有哪些？
(3)与共线的向量有哪些？
(4)请列出与相等的向量．
变式4．（2024·高一课时练习）如图，为正方形的两条对角线的交点，四边形和四边形都是正方形，在图中所示的向量中.
(1)分别写出与、相等的向量；
(2)写出与共线的向量；
(3)写出与的模相等的向量；
(4)写出与的夹角为的向量；
(5)向量与是否相等？
【方法技巧与总结】
(1)寻找共线向量的技巧：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再找同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．
(2)寻找相等向量的技巧：先找模与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线向量．
题型四：向量的夹角
例5．（2024下·江苏淮安·高一校考阶段练习）在锐角中，关于向量夹角的说法，正确的是（ ）
A．与的夹角是锐角 B．与的夹角是锐角
C．与的夹角是锐角 D．与的夹角是钝角
变式1．（2024·高一课时练习）已知 ABCD中，∠DAB＝60°，则与的夹角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
变式2．（2024·河北廊坊·校联考三模）在中，，，则向量与的夹角为
A． B． C． D．
变式3．（2024下·高一课时练习）在中，，，，D是AC的中点，则与的夹角为 ．
变式4．（2024上·安徽·高三校联考期末）正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的U盘，图2中的正八边形窗花．在图3的正八边形中，向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
变式5．（2024·全国·高一假期作业）如图，设点O是正六边形ABCDEF的中心，请完成以下问题．
(1)分别写出与、、相等的向量；
(2)分别写出与、、共线的向量；
(3)分别写出与，与的夹角；
(4)分别写出与，与的夹角．
一、单选题
1．（2024上·黑龙江·高二统考学业考试）下列量中是向量的为（ ）
A．频率 B．拉力 C．体积 D．距离
2．（2024上·江苏·高二专题练习）判断下列各命题的真假：①向量与平行，则与的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④向量就是有向线段.其中假命题的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2024·全国·高一专题练习）设是单位向量，，，，则四边形是（ ）
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
4．（2024下·全国·高一专题练习）下列说法错误的是（ ）
A．
B．，是单位向量，则
C．若，则
D．任一非零向量都可以平行移动
5．（2024·全国·高一专题练习）若为任一非零向量，的模为1，给出下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·高一课时练习）设点是正三角形的中心，则向量，，是（ ）
A．共起点的向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．相等向量
7．（2024上·陕西·高一统考期末）如图，在正六边形中，点为其中点，则下列判断错误的是（ ）

A． B．
C． D．
二、多选题
8．（2024·全国·高一专题练习）下列结论中，错误的是（ ）
A．表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同；
B．若，则，不是共线向量；
C．若，则四边形是平行四边形；
D．有向线段就是向量，向量就是有向线段.
9．（2024下·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）下列命题中错误的有（ ）
A．起点相同的单位向量，终点必相同；
B．已知向量，则四边形ABCD为平行四边形；
C．若，则；
D．若，则
10．（2024上·高二课时练习）(多选)下列命题的判断正确的是（ ）
A．若向量与向量共线，则A，B，C，D四点在一条直线上
B．若A，B，C，D四点在一条直线上，则向量与向量共线
C．若A，B，C，D四点不在一条直线上，则向量与向量不共线
D．若向量与向量共线，则A，B，C三点在一条直线上
三、填空题11．（2024下·广东湛江·高一雷州市第一中学校考阶段练习）下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则．其中错误的是 （填序号）．
12．（2024·高一课时练习）在如图所示的向量中（小正方形的边长为1），找出存在下列关系的向量：

①共线向量： ；
②方向相反的向量： ；
③模相等的向量： .
13．（2024·高一课时练习）给出下列四个条件：①；②；③与方向相反；④或，其中能使成立的条件是 .
14．（2024下·高一课时练习）如图所示，在等腰梯形ABCD中，，对角线AC，BD交于点O，过点O作，交AD于点M，交BC于点N，则在以A，B，C，D，M，O，N为起点或终点的所有有向线段表示的向量中，相等向量有 对.

四、解答题
15．（2024·高一课时练习）如图所示，平行四边形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A,B,C,D,O}，向量集合且M，N不重合，试求集合T中元素的个数．
16．（2024下·高一课时练习）如图，四边形和四边形都是平行四边形．
(1)写出与向量相等的向量；
(2)写出与向量共线的向量．
17．（2024·高一课时练习）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，以A，B，C，D，E，F，O七点中的任一点为起点，以与起点不同的另一点为终点的所有向量中，设与向量相等的向量个数为m，与向量的模相等的向量个数为n，求m，n．
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