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2.3 从速度的倍数到向量的数乘6种常见考法归类
课程标准 学习目标
(1)通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算及其运算规则，理解其几何意义． (2)了解平面向量的线性运算性质及其几何意义． (3)掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线． 1.理解数乘向量的概念及其几何意义； 2.掌握数乘向量的运算律，能进行简单运算. 3.掌握共线向量基本定理，并会简单应用； 4.掌握直线的向量表示.
知识点01 数乘运算的定义
1．定义：实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa，满足以下条件：
(1)当λ>0时，向量λa与向量a的方向相同；
当λ<0时，向量λa与向量a的方向相反；
当λ＝0时，0a＝0．
(2)|λa|＝|λ||a|，这种运算称为向量的数乘．
2．λa几何意义：
当λ>0时，表示向量a的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的|λ|倍．
当λ<0时，表示向量a的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的|λ|倍．
3．非零向量a的单位向量：±．
【即学即练1】下列算式中，正确的个数为（ ）
①；②；③.
A． B． C． D．
【即学即练2】已知，是实数，，是向量，则下列命题中正确的为（ ）
①；②；
③若，则；④若，则．
A．①④ B．①② C．①③ D．③④
【即学即练3】给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②λ＝0（λ为实数），则λ必为零；③λ，μ为实数，若λ＝μ，则与共线.其中错误的命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【即学即练4】下列说法中，正确的是（ ）
A．λ与的方向不是相同就是相反 B．若，共线，则＝λ
C．若||＝2||，则＝±2 D．若＝±2，则||＝2||
知识点02　数乘运算的运算律
向量的数乘的运算律
设λ，μ为实数，那么
(1)结合律：λ(μa)＝(λμ)a；
(2)第一分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa；
(3)第二分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb．
特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
注：(1)对于非零向量，当λ＝时，λ表示方向上的单位向量．
(2)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算．主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”及“公因式”指的是向量，实数指的是向量的系数．
【即学即练5】计算：（1）；（2）；（3）．
【即学即练6】下列运算正确的个数是（ ）
①；②；③．
A．0 B．1 C．2 D．3
知识点03 共线(平行)向量基本定理
给定一个非零向量b，则对于任意向量a，a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ，使a＝λb．
注：向量共线定理的理解注意点及主要应用
(1)定理中≠不能漏掉. 若＝＝，则实数λ可以是任意实数；若＝，≠，则不存在实数λ，使得＝λ.
(2)这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数t，s，使t＋s＝，则与共线；若两个非零向量与不共线，且t＋s＝，则必有t＝s＝0.
【即学即练7】已知，是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有（ ）
①，；②，；③，．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【即学即练8】设两个非零向量a与b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
知识点04 直线的向量表示
通常可以用＝t表示过点A，B的直线l，其中称为直线l的方向向量．
题型一：向量数乘的定义
例1．（2024高一上·辽宁锦州·期末）“实数”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件
变式1．（2024高一下·全国·课后作业）设是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是（ ）
A．与的方向相反 B．与的方向相同
C． D．
变式2．（2024高二下·北京·学业考试）已知平面内的两个非零向量，满足，则与（ ）
A．相等 B．方向相同 C．垂直 D．方向相反
变式3．（2024高三·新疆·学业考试）已知，与的方向相反，且，则（ ）
A． B． C． D．
题型二：向量的线性运算
例2．（2024高一·全国·课堂例题）计算：
(1)；
(2)．
变式1．（2024高一下·全国·专题练习）等于（　　）
A． B． C． D．
变式2．（2024高一下·全国·课时练习）下列运算正确的个数是（ ）
①；
②；
③.
A．0 B．1 C．2 D．3
变式3．（2024高一下·重庆·阶段练习）如图，在正六边形ABCDEF中， ．
变式4．（2024高一·全国·专题练习）若，则 ．
变式5．（2024高三上·北京朝阳·期中）已知平面内四个不同的点满足，则（ ）
A． B． C．2 D．3
变式6．（2024高三上·河南焦作·期末）已知所在平面内一点满足，则的面积是的面积的（ ）
A．5倍 B．4倍 C．3倍 D．2倍
【方法技巧与总结】
向量线性运算的基本方法
(1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
(2)向量也可以通过列方程组来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．
题型三：用已知向量表示相关向量
例3．（2024高三上·福建龙岩·期中）在中，为的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2024高一上·辽宁大连·期末）如图，在中，，点是的中点，设，则（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（2024高一下·全国·单元测试）如图所示，梯形ABCD中，，且，分别是和的中点，若，，试用表示.

变式3．（2024·全国·模拟预测）在平行四边形ABCD中，点G在AC上，且满足，若，则 .
变式4．（2024高三上·湖南邵阳·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点的三等分点，点F为BE的中点，若，则 ．
【方法技巧与总结】
用已知向量表示其他向量的两种方法
(1)直接法
(2)方程法
当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
题型四：向量共线的判定
例4．（2024高一下·全国·专题练习）判断下列各小题的向量与是否共线.
(1)；
(2)；
(3).
变式1．（2024高一·全国·课时练习）已知，是两个共线的非零向量，且，，则向量与（ ）
A．共线 B．不共线 C．相等 D．不能确定
变式2．（2024高一下·云南楚雄·期中）已知，是平面上的非零向量，则“存在实数，使得”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
变式3．（2024高一下·全国·专题练习）已知为两个不共线的向量，若向量，则下列向量中与向量共线的是（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
向量共线的判定一般是用其判定定理，即是一个非零向量，若存在唯一一个实数λ，使得＝λ，则向量与非零向量共线．解题过程中，需要把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，由此判断共线．
题型五：证明三点共线
例5．（2024高一下·四川资阳·期中）已知，，，则（ ）
A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线
变式1．（2024高一下·广东云浮·阶段练习）已知不共线的向量，且，，，则一定共线的三点是（ ）
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
变式2．（2024高三上·陕西铜川·期末）在中，若，则点（ ）
A．在直线上 B．在直线上 C．在直线上D．为的外心
变式3．（2024高一·全国·课堂例题）已知，，，求证：A，B，C三点共线．
变式4．（2024高一·全国·随堂练习）如图，在中，点M为AB的中点，点N在BD上，.

求证：M，N，C三点共线.
变式5．（2024高一下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，为中点，为上靠近点的三等分点，求证：三点共线．
变式6．（2024高三上·江苏徐州·阶段练习）在中，E为AC的中点，D为边BC上靠近点B的三等分点．
(1)分别用向量，表示向量，；
(2)若点N满足，证明：B，N，E三点共线．
【方法技巧与总结】
三点共线的证明问题及求解思路
1．证明三点共线，通常转化为证明由这三点构成的两个向量共线，向量共线定理是解决向量共线问题的依据．
2．若A，B，C三点共线，则向量在同一直线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线性关系，而向量共线定理是实现线性关系的依据．
题型六：由三点共线求参数的值
例6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知平面向量与不共线，向量，若，则实数的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．或
变式1．（2024高三上·湖北襄阳·期末）已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．2
变式2．（2024高一下·山东滨州·开学考试）已知和是两个不共线的向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2024高三·全国·专题练习）已知向量不共线，且，，若与反向共线，则实数的值为（ ）
A．1 B．－ C．1或－ D．－1或－
变式4．（2024高三上·北京顺义·期中）在中，，是直线上的一点，若则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
变式5．（2024高一上·浙江杭州·期末）设是不共线的两个非零向量．
(1)若，求证：三点共线；
(2)若与共线，求实数k的值．
【方法技巧与总结】
利用向量共线求参数，一种类型是利用向量加法、减法及数乘运算表示出相关向量，从而求得参数，另一种类型是利用三点共线建立方程求解参数．
一、单选题
1．（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知向量，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高二下·宁夏石嘴山·期末）设向量，不平行，向量与平行，则实数（ ）．
A． B． C． D．
3．（2024高一上·辽宁·期末）已知与为非零向量，，若三点共线，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2024高一下·河南省直辖县级单位·阶段练习）如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高三下·上海闵行·阶段练习）已知,是平面内两个非零向量，那么“∥”是“存在，使得”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2024高三上·浙江绍兴·期末）设，为非零向量，，，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．（2024高一下·山东滨州·开学考试）若在三角形中，，，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·全国·模拟预测）如图，在中，为的中点，，与交于点，若，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2024高三·全国·专题练习）在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024高一下·浙江台州·阶段练习）（多选）下列结论中正确的有 （ ）
A．对于实数m和向量，，恒有
B．对于实数m，n和向量，恒有
C．对于实数m和向量，，若，则
D．对于实数m，n和向量，若，则
11．（2024高一上·辽宁丹东·期末）在中，D在边上，，是的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
12．（2024高一下·山东泰安·开学考试）下列各组向量中，一定能推出的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
三、填空题
13．（2024高一下·广东惠州·开学考试）化简： .
14．（2024高一下·全国·专题练习）已知向量，不共线，如果，，，则共线的三个点是 .
15．（2024高一下·全国·专题练习）已知、是两个不共线的向量，，，若与是共线向量，则实数 .
16．（2024高一上·浙江绍兴·期末）已知点为所在平面内一点，若，则点的轨迹必通过的 .（填：内心，外心，垂心，重心）
四、解答题
17．（2024高一·全国·随堂练习）判断下列各小题中的向量，是否共线：
(1)，；
(2)，（其中两个非零向量和不共线）；
(3)，.
18．（2024高一下·全国·专题练习）若向量，满足，，、为已知向量，求向量，．
19．（2024高一下·江苏·专题练习）已知非零向量，不共线．
(1)如果，，，求证：，，三点共线；
(2)欲使和共线，试确定实数的值．
20．（2024高三·全国·专题练习）如图，在中，若，，过点的直线交直线分别于两点，且，探究之间的关系.

21．（2024高一上·北京延庆·期末）如图，在中，，D为中点，E为上一点，且，的延长线与的交点为F.
(1)用向量与表示 和
(2)用向量与表示
(3)求出 的值
22．（2024高一上·辽宁·期末）如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点．
(1)若，求的值；
(2)若，，求的最小值．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.3 从速度的倍数到向量的数乘6种常见考法归类
课程标准 学习目标
(1)通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算及其运算规则，理解其几何意义． (2)了解平面向量的线性运算性质及其几何意义． (3)掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线． 1.理解数乘向量的概念及其几何意义； 2.掌握数乘向量的运算律，能进行简单运算. 3.掌握共线向量基本定理，并会简单应用； 4.掌握直线的向量表示.
知识点01 数乘运算的定义
1．定义：实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa，满足以下条件：
(1)当λ>0时，向量λa与向量a的方向相同；
当λ<0时，向量λa与向量a的方向相反；
当λ＝0时，0a＝0．
(2)|λa|＝|λ||a|，这种运算称为向量的数乘．
2．λa几何意义：
当λ>0时，表示向量a的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的|λ|倍．
当λ<0时，表示向量a的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的|λ|倍．
3．非零向量a的单位向量：±．
【即学即练1】下列算式中，正确的个数为（ ）
①；②；③.
A． B． C． D．
【解析】对于①，，①正确；
对于②，，②正确；
对于③，，③错误.
故选：C.
【即学即练2】已知，是实数，，是向量，则下列命题中正确的为（ ）
①；②；
③若，则；④若，则．
A．①④ B．①② C．①③ D．③④
【解析】对于①：根据数乘向量的法则可得：，故①正确；
对于②：根据数乘向量的法则可得：，故②正确；
对于③：由可得，当m＝0时也成立，所以不能推出，故③错误；
对于④：由可得，当，命题也成立，所以不能推出m＝n. 故④错误；
故选：B
【即学即练3】给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②λ＝0（λ为实数），则λ必为零；③λ，μ为实数，若λ＝μ，则与共线.其中错误的命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点.
②错误，当＝0时，不论λ为何值，λ＝0.
③错误，当λ＝μ＝0时，λ＝μ＝，此时，与可以是任意向量.
故错误的命题有3个.
故选；D
【即学即练4】下列说法中，正确的是（ ）
A．λ与的方向不是相同就是相反 B．若，共线，则＝λ
C．若||＝2||，则＝±2 D．若＝±2，则||＝2||
【解析】A. 当时，结论不成立；
B. 当时，结论不成立；
C. 当||＝2||，与2不一定共线；
D. 因为＝±2，所以||＝2||，故正确；
故选：D
知识点02　数乘运算的运算律
向量的数乘的运算律
设λ，μ为实数，那么
(1)结合律：λ(μa)＝(λμ)a；
(2)第一分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa；
(3)第二分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb．
特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
注：(1)对于非零向量，当λ＝时，λ表示方向上的单位向量．
(2)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算．主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”及“公因式”指的是向量，实数指的是向量的系数．
【即学即练5】计算：（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式．
【即学即练6】下列运算正确的个数是（ ）
①；②；③．
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】①，由数乘运算知正确；
②，由向量的运算律知正确；
③，向量的加法，减法和数乘运算结果是向量，故错误.
故选：C
知识点03 共线(平行)向量基本定理
给定一个非零向量b，则对于任意向量a，a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ，使a＝λb．
注：向量共线定理的理解注意点及主要应用
(1)定理中≠不能漏掉. 若＝＝，则实数λ可以是任意实数；若＝，≠，则不存在实数λ，使得＝λ.
(2)这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数t，s，使t＋s＝，则与共线；若两个非零向量与不共线，且t＋s＝，则必有t＝s＝0.
【即学即练7】已知，是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有（ ）
①，；②，；③，．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【解析】对于①，，，故两向量共线；
对于②，，，故两向量共线；
对于③，，
假设存在
，因为，是不共线向量，
故得到无解.
故选：A.
【即学即练8】设两个非零向量a与b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
【解析】(1)证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5，
∴，共线，又它们有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
(2)∵ka＋b与a＋kb共线，
∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.
又a，b是两个不共线的非零向量，
∴∴k2－1＝0.∴k＝±1.
知识点04 直线的向量表示
通常可以用＝t表示过点A，B的直线l，其中称为直线l的方向向量．
题型一：向量数乘的定义
例1．（2024高一上·辽宁锦州·期末）“实数”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据“”与“”的互相推出情况判断出结果.
【详解】当时，显然成立，
当时，此时不一定成立，例如时可取任意实数，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
变式1．（2024高一下·全国·课后作业）设是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是（ ）
A．与的方向相反 B．与的方向相同
C． D．
【答案】B
【分析】由平面向量的基本概念及数乘运算一一判定即可.
【详解】对于A，当时，与的方向相同，当时，与的方向相反，故A不正确；对于B，显然，即B正确；
对于C，，由于与1的大小不确定，故与的大小关系不确定，故C不正确；
对于D，是向量，而表示长度，两者不能比较大小，故D不正确．
故选：B
变式2．（2024高二下·北京·学业考试）已知平面内的两个非零向量，满足，则与（ ）
A．相等 B．方向相同 C．垂直 D．方向相反
【答案】D
【分析】根据向量的共线及模的关系确定选项即可.
【详解】因为两个非零向量，满足，
所以为共线反向向量，且模不相等，
所以ABC错误，D正确.
故选：D
变式3．（2024高三·新疆·学业考试）已知，与的方向相反，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】确定方向和大小关系即可得答案.
【详解】由，得，
又与的方向相反，所以.
故选：C.
题型二：向量的线性运算
例2．（2024高一·全国·课堂例题）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）应用向量的运算律化简即可.
【详解】（1）原式．
（2）原式.
变式1．（2024高一下·全国·专题练习）等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的运算法则，准确运算，即可求解.
【详解】根据向量的运算法则，可得.
故选：B.
变式2．（2024高一下·全国·课时练习）下列运算正确的个数是（ ）
①；
②；
③.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】利用平面向量的线性运算逐个选项分析求解即可.
【详解】根据向量数乘运算和加减运算规律知①②正确；
在③中，，显然该运算错误.
所以运算正确的个数为2.
故选：C
变式3．（2024高一下·重庆·阶段练习）如图，在正六边形ABCDEF中， ．
【答案】
【分析】根据正六边形的性质与平面向量运算即可得答案.
【详解】由题意，根据正六边形的性质
.
故答案为：
变式4．（2024高一·全国·专题练习）若，则 ．
【答案】
【分析】根据向量的线性运算求得结果.
【详解】因为，
所以，
所以，所以，
故答案为：.
变式5．（2024高三上·北京朝阳·期中）已知平面内四个不同的点满足，则（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【分析】将条件变形，得到的关系，进而可得的值.
【详解】,
,
即,
.
故选：D.
变式6．（2024高三上·河南焦作·期末）已知所在平面内一点满足，则的面积是的面积的（ ）
A．5倍 B．4倍 C．3倍 D．2倍
【答案】A
【分析】利用平面向量的线性运算计算即可．
【详解】设的中点为，因为，
所以，所以，
所以点是线段的五等分点，
所以,
所以的面积是的面积的5倍．
故选：A.
【方法技巧与总结】
向量线性运算的基本方法
(1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
(2)向量也可以通过列方程组来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．
题型三：用已知向量表示相关向量
例3．（2024高三上·福建龙岩·期中）在中，为的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平面向量的线性运算计算即可.
【详解】
.
故选：A.
变式1．（2024高一上·辽宁大连·期末）如图，在中，，点是的中点，设，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据平面向量线性运算的几何意义，结合平面向量基本定理进行求解即可.
【详解】因为即，点为的中点，
所以，
所以.
故选：D.
变式2．（2024高一下·全国·单元测试）如图所示，梯形ABCD中，，且，分别是和的中点，若，，试用表示.

【答案】.
【分析】连接，则四边形是平行四边形，再根据平面向量的线性运算求解即可.
【详解】解析：如图所示，连接，则四边形是平行四边形.

则，
,
.
变式3．（2024·全国·模拟预测）在平行四边形ABCD中，点G在AC上，且满足，若，则 .
【答案】1
【分析】利用向量线性运算求得，与题干对照即可求解.
【详解】，则，，
所以.
故答案为：1
变式4．（2024高三上·湖南邵阳·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点的三等分点，点F为BE的中点，若，则 ．
【答案】
【分析】利用平面向量的线性运算计算即可.
【详解】
，
所以，，.
故答案为：.
【方法技巧与总结】
用已知向量表示其他向量的两种方法
(1)直接法
(2)方程法
当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
题型四：向量共线的判定
例4．（2024高一下·全国·专题练习）判断下列各小题的向量与是否共线.
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)共线
(2)共线
(3)不共线
【分析】根据题意，结合向量的共线定理，逐项判定，即可求解.
【详解】（1）解：由向量，可得，所以向量与共线.
（2）解：由向量，可得，所以向量与共线.
（3）解：由向量，
设，即，可得，此时方程组无解，
所以向量与不共线.
变式1．（2024高一·全国·课时练习）已知，是两个共线的非零向量，且，，则向量与（ ）
A．共线 B．不共线 C．相等 D．不能确定
【答案】A
【分析】根据共线向量定理判断可得答案.
【详解】因为，是两个共线的非零向量，所以存在实数，使得，
则，，
所以与共线，与共线，又，
所以与共线，故A正确，BD错误.
当，即时，，
当，即时，，
故C错误.
故选：A
变式2．（2024高一下·云南楚雄·期中）已知，是平面上的非零向量，则“存在实数，使得”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分性必要性的定义，结合向量共线的结论进行判断.
【详解】因为分别表示与方向相同的单位向量，所以由可知，方向相同；
“存在实数，使得”即共线，包含方向相同或方向相反两种情况．
所以，“存在实数，使得”不能推出是“”；
“” 可以推出“存在实数，使得”，
所以“存在实数，使得”是“”的必要不充分条件．
故选：B.
变式3．（2024高一下·全国·专题练习）已知为两个不共线的向量，若向量，则下列向量中与向量共线的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量线性运算表示，然后利用共线向量基本定理求解即可.
【详解】因为向量，，所以．
又，所以与共线．
故选：B．
【方法技巧与总结】
向量共线的判定一般是用其判定定理，即是一个非零向量，若存在唯一一个实数λ，使得＝λ，则向量与非零向量共线．解题过程中，需要把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，由此判断共线．
题型五：证明三点共线
例5．（2024高一下·四川资阳·期中）已知，，，则（ ）
A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线
【答案】A
【分析】利用向量共线定理即可判断各选项.
【详解】对于A，，
又，所以，则与共线，
又与有公共点B，所以A、B、D三点共线，A正确；
对于B，令，即，所以，不存在，
所以与不共线，即A，B，C三点不共线，B错误；
对于C，令，即，所以，不存在，
所以与不共线，即B，C，D三点不共线，C错误；
对于D，，
令，即，所以，不存在，
所以与不共线，即A，C，D三点不共线，D错误.
故选：A．
变式1．（2024高一下·广东云浮·阶段练习）已知不共线的向量，且，，，则一定共线的三点是（ ）
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
【答案】A
【分析】利用向量的共线定理一一判断即可.
【详解】对A，,
所以，则三点共线，A正确；
对B，,
则不存在任何，使得，所以不共线,B错误；
对C，,
则不存在任何，使得，所以不共线，C错误；
对D，,
则不存在任何，使得，所以不共线，D错误；
故选:A.
变式2．（2024高三上·陕西铜川·期末）在中，若，则点（ ）
A．在直线上 B．在直线上 C．在直线上D．为的外心
【答案】A
【分析】根据向量的减法法则将已知条件化简，再利用向量共线定理可得结论.
【详解】因为，
所以，
所以和共线，
因为和有公共端点，
所以三点共线，
所以点在直线上，
故选：A
变式3．（2024高一·全国·课堂例题）已知，，，求证：A，B，C三点共线．
【答案】证明见解析
【分析】分别用，表示和，根据和的关系即可证明.
【详解】证明:因为，
，
所以，
因此，A，B，C三点共线．
变式4．（2024高一·全国·随堂练习）如图，在中，点M为AB的中点，点N在BD上，.

求证：M，N，C三点共线.
【答案】证明见解析
【分析】利用向量证明三点共线.
【详解】设，
则
所以，
又因为有公共起点C，所以M，N，C三点共线.
变式5．（2024高一下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，为中点，为上靠近点的三等分点，求证：三点共线．
【答案】证明见解析
【分析】根据三点共线要求，证明即可.
【详解】∵，
∴．
∵是上靠近点的三等分点，
∴．
∵在平行四边形中，，
∴．①
∵为的中点，∴．②
由①②可得．
由向量共线定理知．又∵与有公共点，
∴三点共线．
变式6．（2024高三上·江苏徐州·阶段练习）在中，E为AC的中点，D为边BC上靠近点B的三等分点．
(1)分别用向量，表示向量，；
(2)若点N满足，证明：B，N，E三点共线．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）根据几何图形进行线性运算即可；
（2）利用向量共线定理即可证明.
【详解】（1）因为E为AC的中点，D为边BC上靠近点B的三等分点，
所以 ，
则，
.
（2）因为，所以，
则，
所以，即，所以，
又因为有公共点，
所以，，三点共线.

【方法技巧与总结】
三点共线的证明问题及求解思路
1．证明三点共线，通常转化为证明由这三点构成的两个向量共线，向量共线定理是解决向量共线问题的依据．
2．若A，B，C三点共线，则向量在同一直线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线性关系，而向量共线定理是实现线性关系的依据．
题型六：由三点共线求参数的值
例6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知平面向量与不共线，向量，若，则实数的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．或
【答案】C
【分析】根据平面共线定理，由向量平行，求得满足满足的方程，求解即可.
【详解】由，且均不为零向量，则，
可得，则，
整理得，解得或．
故选：C．
变式1．（2024高三上·湖北襄阳·期末）已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用平面向量基本定理求解即得.
【详解】向量不共线，则，由共线，得，，
于是，则且，解得，
所以实数的值为.
故选：C
变式2．（2024高一下·山东滨州·开学考试）已知和是两个不共线的向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三点共线可得，列出方程组即可得解.
【详解】因为，
且，，三点共线，
所以存在实数，使得，即，
则，解得.
故选：B
变式3．（2024高三·全国·专题练习）已知向量不共线，且，，若与反向共线，则实数的值为（ ）
A．1 B．－ C．1或－ D．－1或－
【答案】B
【分析】因为与反向共线，所以，建立等量关系，求解即可.
【详解】因为与反向共线，所以，
即，因为向量不共线，
所以，解得：或，因为且，所以.
故选：B
变式4．（2024高三上·北京顺义·期中）在中，，是直线上的一点，若则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依题意可得，根据平面向量共线定理的推论及平面向量基本定理计算可得.
【详解】因为，所以，
又是直线上的一点，所以，
又，
所以，所以.
故选：B
变式5．（2024高一上·浙江杭州·期末）设是不共线的两个非零向量．
(1)若，求证：三点共线；
(2)若与共线，求实数k的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可.
（2）由共线性质求出参数即可.
【详解】（1）由，
得,
,
所以，且有公共点B，
所以三点共线.
（2）由与共线，
则存在实数，使得，
即，又是不共线的两个非零向量，
因此，解得，或，
实数k的值是
【方法技巧与总结】
利用向量共线求参数，一种类型是利用向量加法、减法及数乘运算表示出相关向量，从而求得参数，另一种类型是利用三点共线建立方程求解参数．
一、单选题
1．（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知向量，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】直接由向量的线性运算即可求解.
【详解】由题意.
故选：D.
2．（2024高二下·宁夏石嘴山·期末）设向量，不平行，向量与平行，则实数（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用向量共线列式计算即得.
【详解】由向量与平行，得，而向量不平行，
于是，所以.
故选：A
3．（2024高一上·辽宁·期末）已知与为非零向量，，若三点共线，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据三点共线可得向量共线，由此结合向量的相等列式求解，即得答案.
【详解】由题意知，三点共线，故,
且共线，
故不妨设，则，
所以，解得，
故选：D
4．（2024高一下·河南省直辖县级单位·阶段练习）如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】确定，得到，根据计算得到答案.
【详解】，故，则，
又是上一点，所以，解得.
故选：A.
5．（2024高三下·上海闵行·阶段练习）已知,是平面内两个非零向量，那么“∥”是“存在，使得”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据向量的模长关系以及共线，即可结合必要不充分条件进行判断.
【详解】若∥，则则存在唯一的实数μ≠0，使得
故 ，
而 ，
存在λ 使得成立，
所以“∥”是“存在，使得 ”的充分条件，
若且 ，则与方向相同,故此时∥，
所以“∥”是“存在， 使得 的必要条件，
故∥”是“存在，使得| 的充分必要条件，
故选: C
6．（2024高三上·浙江绍兴·期末）设，为非零向量，，，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【分析】A中，举例说明选项A错误；B中，当时，，但与不一定平行，可判断选项B错误；C中，两边平方得出，可判断与共线，从而判断C正确；D中，两边平方得出，不能得出,可判断D错误.
【详解】对于A，当，时，满足，但，选项A错误；
对于B，当时，，则与不一定平行，选项B错误；
对于C，由，
则，即，
所以，所以与同向，即，选项C正确；
对于D，若，则，所以，不能得出，选项D错误．
故选：C
7．（2024高一下·山东滨州·开学考试）若在三角形中，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据图形，由向量的线性运算及减法运算求解即可.
【详解】如图，
因为，，
所以，
所以，
故选：A
8．（2024·全国·模拟预测）如图，在中，为的中点，，与交于点，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由向量共线的性质分别设，，结合条件依次表示出，，对应解出，即可求解.
【详解】设，，
则，
而与不共线，∴，解得，∴.
故选：A.
二、多选题
9．（2024高三·全国·专题练习）在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】利用三角形相似得出点E的位置，由平面向量的加法法则逐一判断选项即可.
【详解】
由，可得，又，N是线段OD的中点，
∴，∴，∴D错误；
∵，∴C正确；
∵，
∴A正确，B错误．
故选：AC．
10．（2024高一下·浙江台州·阶段练习）（多选）下列结论中正确的有 （ ）
A．对于实数m和向量，，恒有
B．对于实数m，n和向量，恒有
C．对于实数m和向量，，若，则
D．对于实数m，n和向量，若，则
【答案】AB
【分析】根据平面向量的数乘运算一一判定选项即可.
【详解】由数乘向量运算律，得A，B均正确；
对于C，若m＝0，则，未必一定有，错误；
对于D，若，由，未必一定有，错误．
故选：AB．
11．（2024高一上·辽宁丹东·期末）在中，D在边上，，是的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据平面向量的线性运算可得答案.
【详解】对于选项A: 由向量得减法法则可知，故A错误;
对于选项B：,故B正确;
对于选项C：,
而，所以，
故C正确;
对于选项D：,故D正确.
故选：BCD.
12．（2024高一下·山东泰安·开学考试）下列各组向量中，一定能推出的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】ABC
【分析】根据共线向量定理，即可判断选项.
【详解】A.，即，故A正确；
B. ，即，故B正确；
C. ，，则，故C正确；
D. ，，只有当或，此时，否则，所以向量不平行，故D错误.
故选：ABC
三、填空题
13．（2024高一下·广东惠州·开学考试）化简： .
【答案】
【分析】利用向量的线性运算即可得解.
【详解】
.
故答案为：.
14．（2024高一下·全国·专题练习）已知向量，不共线，如果，，，则共线的三个点是 .
【答案】，，
【分析】
利用共线向量的充要条件化简求解即可.
【详解】
因为，
所以，共线，且有公共点，所以，，三点共线.
故答案为：，，
15．（2024高一下·全国·专题练习）已知、是两个不共线的向量，，，若与是共线向量，则实数 .
【答案】
【分析】设，则，可得出关于实数、的等式，即可解得实数的值.
【详解】因为、是两个不共线的向量，，，若与是共线向量，
设，则，则，
所以，，解得.
故答案为：.
16．（2024高一上·浙江绍兴·期末）已知点为所在平面内一点，若，则点的轨迹必通过的 .（填：内心，外心，垂心，重心）
【答案】外心
【分析】为的中点，由，得，则点的轨迹必通过的外心.
【详解】点为所在平面内一点，若，
设为的中点，，
则有，所以，
所以动点在线段的中垂线上，则点的轨迹必通过的外心.
故答案为：外心
四、解答题
17．（2024高一·全国·随堂练习）判断下列各小题中的向量，是否共线：
(1)，；
(2)，（其中两个非零向量和不共线）；
(3)，.
【答案】(1)共线；
(2)共线；
(3)共线.
【分析】用向量共线定理判断.
【详解】（1），，所以，
所以，共线.
（2），,
所以，所以，共线.
（3）因为，，
所以，
所以.
所以，共线.
18．（2024高一下·全国·专题练习）若向量，满足，，、为已知向量，求向量，．
【答案】，
【分析】根据，，列方程组求解.
【详解】解：由方程组，
解得，.
19．（2024高一下·江苏·专题练习）已知非零向量，不共线．
(1)如果，，，求证：，，三点共线；
(2)欲使和共线，试确定实数的值．
【答案】(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）根据平面向量基本定理用，分别表示出，，有，且都过点，进而可证，，三点共线；
（2）根据已知条件有，求得，解出即可.
【详解】（1）证明：因为，，
所以，共线，且有公共点，所以，，三点共线.
（2）因为与共线，所以存在实数，使，
则，又由于向量，不共线，只能有，
解得：
20．（2024高三·全国·专题练习）如图，在中，若，，过点的直线交直线分别于两点，且，探究之间的关系.

【答案】
【分析】根据平面向量的运算可得，又有三点共线知，，根据平面向量的基本定理可得，消去即可求解.
【详解】一方面，,
故.
另一方面，由三点共线知，.
所以，可变为.
消去，得，即.
21．（2024高一上·北京延庆·期末）如图，在中，，D为中点，E为上一点，且，的延长线与的交点为F.
(1)用向量与表示 和
(2)用向量与表示
(3)求出 的值
【答案】(1)，；
(2)
(3)
【分析】（1）（2）由向量的线性运算法则求解；
（3）设，求得，再利用向量共线可得结论．
【详解】（1）是中点，
，
；
（2），则，
；
（3）设，则，，
又向量共线，而不共线，
所以，解得．
22．（2024高一上·辽宁·期末）如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点．
(1)若，求的值；
(2)若，，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意根据向量的线性运算法则得到，，再根据三点共线，求得即可求解.
（2）根据题意得到，，结合三点共线得到，利用基本不等式“1”的妙用即可求解.
【详解】（1）因为，
所以，
因为是线段的中点，所以，
又因为，设，则有，
因为三点共线，所以，解得，即，
所以．
（2）因为， ，
由（1）可知，，所以，
因为三点共线，所以，即，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为．
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