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2.2 从位移的合成到向量的加减法6种常见考法归类
课程标准 学习目标
借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义 1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及其运算律； 2.掌握向量加法运算法则，能熟练进行加法运算； 3.掌握数的加法与向量的加法的联系与区别. 4.理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量相减的意义； 5.掌握向量减法的运算及其几何意义，能熟练地进行向量的加减运算； 6.能将向量的减法运算转化为向量的加法运算.
知识点01向量的加法
定义 求两个向量和的运算，称为向量的加法
向量加法的三角形法则 前提 已知两个不共线的向量a，b，在平面内任取一点A.
作法 作＝a，＝b，连接AC
结论 有向线段表示的向量即为a与b的和，记作a+b，即a＋b＝＝．
图形
向量加法的平行四边形法则 前提 已知两个不共线的向量a，b，在平面内任取一点O.
作法 作＝a，＝b，以OA，OB为邻边作 OACB.
结论 以O为起点的向量就是向量a与b的和，即＝a+b．
图形
规定 对于零向量与任一向量a，我们规定a＋0＝0＋a＝a
注：1.在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和；向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量．
2．三角形法则与平行四边形法则的适用条件
　　　 法则 适用条件　 三角形法则 平行四边形法则
两向量位置关系 两向量共线或不共线均可 只适用于两向量不共线的情况
两向量起点、终点的特点 一个向量的终点为另一个向量的起点 两向量起点相同
【即学即练1】如图，已知向量，，求作向量．
【解析】（1）平移，使其起点与起点重合，再应用平行四边形法则，作出，如下图示：
（2）平移，使其终点与起点重合，再以的起点为起点，的终点为终点作，如下图示：
知识点02　向量加法的运算律
1．交换律：a＋b＝b+a
2．结合律：(a＋b)＋c＝a+(b+c）
注：1.当两个向量共线时，向量加法的交换律和结合律也成立．
2．我们可以从位移的物理意义理解向量加法的交换律：
一质点从点A出发，方案①先走过的位移为向量，再走过的位移为向量，方案②先走过的位移为向量，再走过的位移为向量，则方案①②中质点A一定会到达同一终点．
3．多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行，如()＋()＝()＋()；＋＝[＋()]＋()．
【即学即练2】化简：(1)＋； (2)＋＋； (3)＋＋＋＋.
【解析】(1)＋＝＋＝.
(2)＋＋＝＋＋
＝(＋)＋＝＋＝0.
(3)＋＋＋＋＝＋＋＋＋
＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.
【即学即练3】向量﹒化简后等于（ ）
A. B.0 C. D.
【解析】
, 故选D.
【即学即练4】化简下列各式：①；②；③；④．其中结果为的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】对于①：，
对于②：，
对于③：，
对于④：，
所以结果为的个数是，
故选：B
【即学即练5】如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点．
(1)＋＝________；
(2)＋＋＝________；
(3)＋＋＝________；
(4)＋＋＝________.
【解析】(1)　(2)　(3)　(4)
知识点03 向量的减法
1．定义：向量a减向量b等于向量a加上向量b的相反向量，即a－b＝a＋(－b)．
2．几何意义：如图，设＝a，＝b，故a－b＝，则a－b＝a＋(－b)＝＝＝，即a－b表示为从向量b的终点B指向被减向量a的终点A的向量．
【即学即练6】如图，在各小题中，已知，分别求作．
【解析】将的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量，
如图，，
(1) (2)
(3) (4)
【即学即练7】如图，已知向量a，b，c，求作a－b－c．
【解析】如图，以A为起点分别作向量和，使＝a，＝B．连接CB，得向量，再以点C为起点作向量，使＝c．连接DB，得向量.则向量即为所求作的向量a－b－c．
【即学即练8】化简－＋－得(　 　)
A．　　　　B． C．　　　　 D．0
【解析】(1)解法一：－＋－＝－＋＋
＝(＋)＋(－)＝＋＝0．
解法二：－＋－＝＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＝＋＝0．
题型一：向量加法法则的应用
例1．（2024高一下·全国·专题练习）如图，已知下列各组向量，，求作.
(1)；
(2)；
(3)‘
(4)
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)作图见解析
(4)作图见解析
【分析】应用向量的性质，将，作平移处理，使一个向量起点与另一个的起点或终点重合，结合三角形或平行四边形法则画出，注意共线向量只需将一个向量起点平移至另一个向量的终点，再连接两向量的另一个起点和终点即可.
【详解】（1）将的起点移至的终点，即可得，如下图：
（2）将的起点移至的终点，即可得，如下图：
（3）以，为顶点作平行四边形，应用平行四边形法则可得，如下图：
（4）将的起点移至的终点，应用三角形法则可得，如下图：
变式1．（22-23高一·全国·随堂练习）如图，已知向量，，不共线，求作向量．

【答案】详见解析
【分析】向量，，不共线中隐含着向量，，均为非零向量，因为零向量与任何一个向量都是共线的，利用三角形法则或平行四边形法则作图.
【详解】解法一：（三角形法则），如下图所示，作，，
则，再作，则，即.

解法二：（平行四边形法则）因为向量，，不共线，
如下图所示，在平面内任取一点O，作，，
以，为邻边作平行四边形，则对角线，
再作，以，为邻边作平行四边形，则.

变式2．（21-22高一·江苏·课后作业）如图所示，求：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）（2）（3）（4）按照向量加法法则直接计算即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
变式3．（21-22高一下·全国·课前预习）如图，为边长为1的正六边形，O为其几何中心.
(1)化简；
(2)化简；
(3)化简；
(4)求向量的模.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)2
【分析】（1）根据平行四边形法则直接求解即可；
（2）根据，进行求解即可；
（3）根据，结合加法法则求解即可；
（4）根据，结合加法法则求解得，进而得模.
【详解】（1）解：根据向量的平行四边形法则得；
（2）解：根据题意，，所以；
（3）解：因为，所以；
（4）解：因为，所以，
所以
【方法技巧与总结】
用三角形法则求向量和，关键是抓住“首尾相连”，和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点，平行四边形法则注意“共起点”，且两种方法中，第一个向量的起点可任意选取，可在某一个向量上，也可在其它位置．两向量共线时，三角形法则仍适用，平行四边形法则不适用．
题型二：向量的加法运算
例2．（22-23高一下·新疆·期末）化简下列各式:
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）应用向量加法运算律化简即可.
【详解】（1）原式.
（2）原式
变式1．（21-22高一下·全国·课前预习）化简
(1)；
(2) .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）按照向量加法的运算律直接计算即可.
【详解】（1）=
（2）==.
变式2．（2020高一·全国·专题练习）化简：①＋；②＋＋；③＋＋＋＋.
【答案】①；② ；③
【解析】根据加法的三角形运算法则和基本规律首尾相连求解.
【详解】①＋＝+＝；
②＋＋＝＋＋＝；
③＋＋＋＋.=＋＋＋＋＝.
【点睛】本题主要考查平面向量的加法运算，其规律是首尾相连，同时注意加法运算结果是向量，属于中档题.
变式3．（20-21高一下·全国·课时练习）如图，在平行四边形中，O是和的交点.
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
【答案】
【分析】根据向量加法法则计算．
【详解】（1）由平行四边形法则，；
（2）由向量加法的三角形法则，；
（3）由向量加法法则得，；
（4）由向量加法法则得，．
故答案为：；；；．
变式4．（21-22高一·江苏·课后作业）如图所示，四边形ABCD是梯形，AD//BC，则＋＋＝ .
【答案】
【分析】利用向量的加法运算即得.
【详解】＋＋.
故答案为：.
变式5．（2023高一·全国·课时练习）如图所示，点分别为的三边的中点.
求证：
(1)；
(2).
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由向量加法的三角形法则，得到，即可作出证明；.
（2）由向量加法的平行四边形法则，得到，进而作出证明.
【详解】（1）证明：由向量加法的三角形法则，
因为，所以.
（2）证明：由向量加法的平行四边形法则，
因为，
所以
.
变式6．（2018高一下·全国·专题练习）如图，在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC中点．求证：．

【答案】证明见解析
【分析】根据已知可得，.进而根据向量加法的多边形法则表示出，相加即可得出证明.
【详解】因为E，F分别是AD，BC中点，
所以，，.
因为，，
所以，.
【方法技巧与总结】
向量加法运算律的应用原则及注意点
(1)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相接”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．
(2)注意点：①三角形法则强调“首尾相接”，平行四边形法则强调“起点相同”；②向量的和仍是向量；③利用相等向量转化，达到“首尾相连”的目的．
题型三：向量加法的实际应用
例3．（20-21高一·全国·课时练习）一质点从点出发，先向北偏东方向运动了到达点，再从点向正西方向运动了到达点，又从点向西南方向运动了到达点，试画出向量、、以及．
【答案】作图见解析
【分析】根据题意可作出向量、、以及.
【详解】根据题意，、、以及的示意图如下图所示：
变式1．（21-22高一·全国·课时练习）在静水中船的速度是，水流的速度是.如果船从岸边出发，沿垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进方向应指向何处？实际航速为多少？
【答案】船的航行方向与水流方向成，船的实际航速为
【分析】如图所示，表示水流的速度，表示船实际航行的速度，表示船行驶的速度，在中，可得,从而得，，即可得答案.
【详解】解：设表示水流的速度，表示船实际航行的速度，表示船行驶的速度，
则四边形为平行四边形.
所以，，
因为，于是，
所以，，
故船的航行方向与水流方向成，船的实际航速为.
变式2．（21-22高一·全国·课前预习）一架救援直升飞机从地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达地，再由地沿正北方向飞行40 km到达地，求此时直升飞机与地的相对位置.
【答案】直升飞机位于地北偏东30°方向，且距离地km处
【分析】根据向量加法的三角形法则及勾股定理即可求解.
【详解】如图所示，
设，分别是直升飞机的位移，则表示两次位移的合位移，即.
在中，.
在中，，，
即此时直升飞机位于地北偏东30°方向，且距离地km处.
变式3．（22-23高一·全国·课堂例题）如图，无弹性的细绳OA，OB的一端分别固定在A，B处，同样的细绳OC下端系着一个称盘，且使得，试分析OA，OB，OC三根绳子受力的大小，并判断哪根绳受力最大.

【答案】分析答案见解析，OA受力最大
【分析】根据题意利用向量加法的平行四边形法则，画出图形，结合图形利用直角三角形的边角关系得出拉力最大的是OA．
【详解】设OA，OB，OC三根绳子所受的力分别为，，，则.
因为，的合力为，所以.
如图在平行四边形中，

因为，，
所以，，即，.
故细绳OA受力最大.
【方法技巧与总结】
应用向量解决平面几何问题的基本步骤
(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题．
(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题．
(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题．
题型四：向量的加减综合运算
例4．（23-24高一·全国·假期作业）化简
【答案】
【详解】解：
变式1．（21-22高一·全国·课前预习）化简：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量加法和减法的运算法则即可求解；
（2）根据向量加法和减法的运算法则即可求解；
【详解】（1）解：；
（2）解：.
变式2．（22-23高一下·新疆喀什·期中）化简下列各式：
(1)；
(2)；
(3)；
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）（2）（3）按照向量的加法、减法法则计算即得.
【详解】（1）；
（2）；
（3）.
变式3．（2023高一·全国·专题练习）化简：
(1)；
(2)；
(3)．
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)
(2)；
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】由向量的三角形法则求解即可.
【详解】（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
（5）.
（6）.
变式4．（22-23高一·全国·课前预习）化简下列各式：
(1)(＋)＋()；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】根据平面向量线性运算法则及运算律计算可得.
【详解】（1）法一：原式；
法二：原式；
（2）法一：原式
法二：原式
（3）方法一：；
方法二：；
（4）
（5）
【方法技巧与总结】
向量加、减法运算的基本方法
(1)利用相反向量统一成加法(相当于向量求和)；
(2)运用减法公式＝(正用或逆用均可)；
(3)运用辅助点法，利用向量的定义将所有向量转化为以一确定点为起点的向量，使问题转化为有共同起点的向量问题．
题型五：用已知向量表示未知向量
例5．（2024高一下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，，，用、表示向量、.
【答案】，
【分析】根据平面向量加、减法的定义计算可得.
【详解】依题意，.
变式1．（20-21高一·全国·课时练习）如图所示，，，.
(1)用表示；
(2)用表示.
【答案】(1)；
(2).
【分析】利用向量减法与加法的规则即可用表示，用表示
【详解】（1）.
（2）.
变式2．（21-22高一·全国·课前预习）如图所示，四边形是平行四边形，是该平行四边形外一点，且，，，试用向量、、表示向量与.
【答案】，
【分析】利用平面向量的线性运算可得出向量与关于向量、、的表达式.
【详解】解：由平面向量的减法可得，.
变式3．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，解答下列各题：
(1)用表示；
(2)用表示；
(3)用表示；
(4)用表示.
【答案】(1).
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）由向量的加法运算求解即可；
（2）由向量的减法运算和相反向量的定义求解即可；
（3）由向量的加法运算求解即可；
（4）由向量的加法运算和相反向量的定义求解即可；
【详解】（1）因为.
（2）因为.
（3）因为.
（4）因为.
【方法技巧与总结】
解决这类问题时，要根据图形的几何性质，正确运用向量的加法、减法以及共线(相等)向量，要注意向量的方向及运算式中向量之间的关系．当运用三角形法则时，要注意两个向量起点的位置，当两个向量共起点时，可以考虑向量的减法．
常用结论：任意一个非零向量一定可以表示为两个不共线向量的和(差)，即 ＝ ＋ 以及 ＝ －(M，N均是与在同一平面内的任意点)．
题型六：向量加减法的综合应用
例6．（20-21高一·全国·课时练习）证明：当向量，不共线时，
(1)；
(2)．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）设，，以为邻边作一个平行四边形，则在中利用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得答案；
（2）在中，利用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得答案
【详解】（1）
如图所示，设，，且向量，不共线，
以为邻边作一个平行四边形，则，
在中，因为，所以，
因为，所以，
所以.
（2）由（1）向量，不共线，在中，因为，
所以，
因为，所以，
所以．
变式1．（20-21高一下·上海·课时练习）试用向量方法证明：平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和.
【答案】证明见解析
【分析】利用，，两边平方求和，根据向量运算法则证得结论.
【详解】证明：设平行四边形，
即证得结论.
变式2．（23-24高一下·内蒙古通辽·期中）在中，已知，且， ，求，.
【答案】4，.
【分析】由题意可知是边长为4的等边三角形，利用向量加法、减法的几何意义即可求解.
【详解】中，，由于，，
所以是等边三角形，即.
∴.
设中点为，
根据向量和的平行四边形法则，，
所以，.
变式3．（23-24高一·全国·课时练习）若是所在平面内一点，且满足，试判断的形状.
【答案】直角三角形
【分析】由向量的加法法则得出，可得出以、为邻边的平行四边形的两条对角线相等，可判断出平行四边形的形状，从而得出的形状.
【详解】，，，
以、为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，
此平行四边形为矩形，.是直角三角形.
【点睛】本题考查利用和向量和差向量模的关系判断三角形的形状，解题的关键是要弄清楚相应平行四边形的形状，考查推理能力，属于中等题.
变式4．（23-24高一·全国·课时练习）如图，质点A受到力和的作用，已知，与正东北方向的夹角为30°；，与正东方向的夹角为60°，求下列两个向量的大小和方向：
（1）；
（2）.
【答案】（1）大小为N，方向为东偏南15°；（2）大小为N，方向为东偏北75°.
【分析】根据平行四边形法则作出示意图，进而根据平面向量的加法法则和减法法则得到答案.
【详解】根据平行四边形法则作出图形，由题意，四边形是正方形，如图所示.
（1）如图，，
，所以的方向为东偏南15°.
（2）如图，，
，
所以的方向为东偏北75°.
变式5．（23-24一年级·全国·课时练习）如图，在平行四边形中，设, , 则
(1)当,满足什么条件时，与垂直
(2)当,满足什么条件时，
(3)与可能是相等向量吗
(4)当,满足什么条件时，平分与所夹的角
【答案】(1)
(2)
(3)不可能相等
(4)
【分析】根据向量加减法的几何意义，利用平行四边形、矩形、菱形的性质即可得出答案.
【详解】（1）由向量加减法的几何意义可知，，，
当时，，即平行四边形的相邻边长相等，故平行四边形为菱形，而菱形的对角线与互相垂直，所以与互相垂直，
故.
（2）当时，，即平行四边形的对角线长相等，此时平行四边形为矩形，所以，即时，.
（3）不可能相等，
因为平行四边形的对角线方向不同，所以与的方向一定不同，故不可能是相等向量.
（4）当时，由（1）可知平行四边形为菱形，而菱形的对角线会平分，即会平分与所夹的角，
故.
【方法技巧与总结】
(1)平行四边形中有关向量的以下结论，在解题中可以直接使用：①对角线的平方和等于四边的平方和，即＝2(|a|2＋|b|2)；②若|a＋b|＝|a－b|，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形．
(2)一般将向量放在具体的几何图形中，常见的有三角形、四边形(平行四边形、矩形、菱形)及正六边形等．
一、单选题
1．（23-24高一上·河北石家庄·期末）向量 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用向量加法的三角形法则及向量加法的运算律即可求解.
【详解】由，故B正确.
故选：B.
2．（23-24高一下·全国·课前预习）在四边形ABCD中，，则（　 　）
A．ABCD一定是矩形 B．ABCD一定是菱形
C．ABCD一定是正方形 D．ABCD一定是平行四边形
【答案】D
【分析】运用同起点的向量加法的平行四边形法则易得.
【详解】对于同起点的向量的和一般通过作平行四边形得到，由可知，由A，B，C，D构成的四边形一定是平行四边形.
故选：D.
3．（2024高一下·全国·专题练习）如图，已知是的边上的中线，若，，则等于（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】结合图形，用、表示出、和即可.
【详解】因为是的中点，所以.
故选：C
4．（2024高一下·全国·专题练习）如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行300 km，记飞机飞行的路程为，位移为，那么（ ）
A． B．
C． D．与不能比大小
【答案】A
【分析】根据向量的合成即可求解.
【详解】路程是数量，位移是向量，从而，由位移的合成易得，故.
故选：A.
5．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行四边形法则即可求.
【详解】以，为邻边作平行四边形，可知为所作平行四边形的对角线，
故由平行四边形法则可知对应的向量即所求向量．
故选：B
6．（2024高一下·全国·专题练习）下列等式不正确的是( )
①；
②；
③.
A．②③ B．② C．① D．③
【答案】B
【分析】根据向量加法的运算律判断即可.
【详解】对于①，，正确；
对于②，，错误；
对于③，，正确.
故选：B
7．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）已知向量满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量的加法的几何意义求解即得.
【详解】向量满足，则，当且仅当同向时取等号；
，当且仅当反向时取等号，
所以的取值范围是.
故选：B
二、多选题
8．（22-23高一下·河南新乡·阶段练习）化简以下各式，结果为的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据向量的线性运算求解即可.
【详解】对A，，故A正确；
对B，，故B正确；
对C，，故C错误；
对D，，故D正确.
故选：ABD
9．（22-23高一下·广东佛山·阶段练习）若平行四边形的对角线与相交于点O，则下列结论正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】作出图形，根据平行四边形的性质和平面向量的线性运算即可求解.
【详解】作出图形，如图所示：
因为四边形为平行四边形，所以，故选项A错误；
因为四边形为平行四边形，所以为的中点，则，故选项B正确；
因为四边形为平行四边形，所以，故选项C正确；
因为四边形为平行四边形，所以，故选项D正确；
故选：BCD.
10．（22-23高一下·湖南怀化·期中）下列各式中结果一定为零向量的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】利用向量的加法运算，结合零向量的意义逐项计算判断作答.
【详解】对于A，，A是；
对于B，，不一定是零向量，B不是；
对于C，，C是；
对于D，，D是.
故选：ACD
11．（21-22高一·全国·课时练习）在平行四边形中，下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】应用几何图形进行向量加减运算，结合向量的概念、三角形及平行四边形法则，即可判断各项正误.
【详解】在平行四边形ABCD中，如图，
因为，，所以，故A正确；
由向量平行四边形法则可得，故B正确；
因为，故C错误；
因为，故D正确.
故选：ABD.
12．（21-22高一下·江苏盐城·期中）给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）
A．若线段，则向量
B．若向量，则线段
C．若向量与共线，则线段
D．若向量与反向共线，则
【答案】AD
【分析】由线段AC=AB+BC，且点B在线段AC上，即可判断A选项，根据已知条件，结合三角形的性质，即可判断B选项，根据向量共线的性质，即可判断C、D选项.
【详解】对于A项，∵线段AC=AB+BC，
∴点B在线段AC上，
，故选项A正确；
对于B项，在△ABC中，，
但由三角形的性质可知，AC≠AB+BC，故选项B不成立；
对于C项，若向量与反向共线，则AC≠AB+BC，故选项C不成立；
对于D项，∵向量与反向共线，
故选项D正确.
故选：AD.
三、填空题
13．（2024高一下·全国·专题练习）已知、为非零向量，则下列命题中真命题的序号是 .
①若，则与方向相同；②若，则与方向相反；
③若，则与有相等的模；④若，则与方向相同．
【答案】①②④
【分析】利用平面向量的线性运算结合和向量、差向量模的关系可得出结论.
【详解】对于①，若，则与方向相同，①对；
对于②③，若，则与方向相反，②对③错；
对于④，若，则则与方向相同，④对.
故答案为：①②④.
14．（2024高一下·全国·专题练习）如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，，，，则 .

【答案】
【分析】根据几何图形，利用相等向量转化，结合向量的加减运算公式，即可求解.
【详解】由已知，则.
故答案为：
15．（23-24高三上·北京西城·期中）已知，，，，，则 .
【答案】13
【分析】根据向量减法几何意义，向量模的定义，结合勾股定理计算．
【详解】由题意是直角三角形，，
故答案为：13.
16．（2023高三·全国·专题练习）若为非零向量，则不等式中等号成立的条件是 ；不等式中等号成立的条件是 ．
【答案】 向量方向相反 向量方向相同．
【分析】利用平面向量的三角不等式以及等号成立的条件可知，当同向时，有；当反向时，有.
【详解】如果不共线，正好能构成三角形，
分别为此三角形的三条边长，
又三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边，
所以可得；
若共线，则当它们同向时，有；
若共线，则当它们反向时，有；
综上所述，不等式中等号成立的条件是向量方向相反；不等式中等号成立的条件是向量方向相同．
故答案为：向量方向相反，向量方向相同
四、解答题
17．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且，试用向量表示向量.
【答案】
【分析】由平面向量的加法和减法运算求解即可.
【详解】因为四边形ACDE是平行四边形，
所以，，
故.
18．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，，，，试求：.

【答案】2
【分析】利用相等向量转化，再求，再求模.
【详解】作，连结，则，

而，
所以，且，
所以.
19．（22-23高一下·湖北·阶段练习）如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，，，，，用，表示下列各式．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平面向量的加法运算求解即可.
（2）根据平面向量的加法、减法运算求解即可.
【详解】（1）由题知：．
（2）
．
20．（21-22高二·全国·课时练习）如图，已知四面体ABCD，点E，F分别是BC，CD的中点，化简下列表达式，并在图中标出化简后的结果所对应的向量．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】根据向量的加减法法则，直接可求得（1）（2）（3）的答案;
【详解】（1）;
（2）;
（3）.
21．（21-22高一·湖南·课时练习）如图，在五边形ABCDE中，四边形ACDE是平行四边形，且，，，试用，，表示向量，，，及．
【答案】；；；；
【分析】根据平面向量的线性运算结合图形即可得出答案.
【详解】解：由四边形ACDE是平行四边形，且，，，
可得，
，
，
，
.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.2 从位移的合成到向量的加减法6种常见考法归类
课程标准 学习目标
借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义 1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及其运算律； 2.掌握向量加法运算法则，能熟练进行加法运算； 3.掌握数的加法与向量的加法的联系与区别. 4.理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量相减的意义； 5.掌握向量减法的运算及其几何意义，能熟练地进行向量的加减运算； 6.能将向量的减法运算转化为向量的加法运算.
知识点01向量的加法
定义 求两个向量和的运算，称为向量的加法
向量加法的三角形法则 前提 已知两个不共线的向量a，b，在平面内任取一点A.
作法 作＝a，＝b，连接AC
结论 有向线段表示的向量即为a与b的和，记作a+b，即a＋b＝＝．
图形
向量加法的平行四边形法则 前提 已知两个不共线的向量a，b，在平面内任取一点O.
作法 作＝a，＝b，以OA，OB为邻边作 OACB.
结论 以O为起点的向量就是向量a与b的和，即＝a+b．
图形
规定 对于零向量与任一向量a，我们规定a＋0＝0＋a＝a
注：1.在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和；向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量．
2．三角形法则与平行四边形法则的适用条件
　　　 法则 适用条件　 三角形法则 平行四边形法则
两向量位置关系 两向量共线或不共线均可 只适用于两向量不共线的情况
两向量起点、终点的特点 一个向量的终点为另一个向量的起点 两向量起点相同
【即学即练1】如图，已知向量，，求作向量．
知识点02　向量加法的运算律
1．交换律：a＋b＝b+a
2．结合律：(a＋b)＋c＝a+(b+c）
注：1.当两个向量共线时，向量加法的交换律和结合律也成立．
2．我们可以从位移的物理意义理解向量加法的交换律：
一质点从点A出发，方案①先走过的位移为向量，再走过的位移为向量，方案②先走过的位移为向量，再走过的位移为向量，则方案①②中质点A一定会到达同一终点．
3．多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行，如()＋()＝()＋()；＋＝[＋()]＋()．
【即学即练2】化简：(1)＋； (2)＋＋； (3)＋＋＋＋.
【即学即练3】向量﹒化简后等于（ ）
A. B.0 C. D.
【即学即练4】化简下列各式：①；②；③；④．其中结果为的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【即学即练5】如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点．
(1)＋＝________；
(2)＋＋＝________；
(3)＋＋＝________；
(4)＋＋＝________.
知识点03 向量的减法
1．定义：向量a减向量b等于向量a加上向量b的相反向量，即a－b＝a＋(－b)．
2．几何意义：如图，设＝a，＝b，故a－b＝，则a－b＝a＋(－b)＝＝＝，即a－b表示为从向量b的终点B指向被减向量a的终点A的向量．
【即学即练6】如图，在各小题中，已知，分别求作．
【即学即练7】如图，已知向量a，b，c，求作a－b－c．
【即学即练8】化简－＋－得(　 　)
A．　　　　B． C．　　　　 D．0
题型一：向量加法法则的应用
例1．（2024高一下·全国·专题练习）如图，已知下列各组向量，，求作.
(1)；
(2)；
(3)‘
(4)
变式1．（22-23高一·全国·随堂练习）如图，已知向量，，不共线，求作向量．

变式2．（21-22高一·江苏·课后作业）如图所示，求：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
变式3．（21-22高一下·全国·课前预习）如图，为边长为1的正六边形，O为其几何中心.
(1)化简；
(2)化简；
(3)化简；
(4)求向量的模.
【方法技巧与总结】
用三角形法则求向量和，关键是抓住“首尾相连”，和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点，平行四边形法则注意“共起点”，且两种方法中，第一个向量的起点可任意选取，可在某一个向量上，也可在其它位置．两向量共线时，三角形法则仍适用，平行四边形法则不适用．
题型二：向量的加法运算
例2．（22-23高一下·新疆·期末）化简下列各式:
(1)
(2)
变式1．（21-22高一下·全国·课前预习）化简
(1)；
(2) .
变式2．（2020高一·全国·专题练习）化简：①＋；②＋＋；③＋＋＋＋.
变式3．（20-21高一下·全国·课时练习）如图，在平行四边形中，O是和的交点.
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
变式4．（21-22高一·江苏·课后作业）如图所示，四边形ABCD是梯形，AD//BC，则＋＋＝ .
变式5．（2023高一·全国·课时练习）如图所示，点分别为的三边的中点.
求证：
(1)；
(2).
变式6．（2018高一下·全国·专题练习）如图，在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC中点．求证：．

【方法技巧与总结】
向量加法运算律的应用原则及注意点
(1)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相接”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．
(2)注意点：①三角形法则强调“首尾相接”，平行四边形法则强调“起点相同”；②向量的和仍是向量；③利用相等向量转化，达到“首尾相连”的目的．
题型三：向量加法的实际应用
例3．（20-21高一·全国·课时练习）一质点从点出发，先向北偏东方向运动了到达点，再从点向正西方向运动了到达点，又从点向西南方向运动了到达点，试画出向量、、以及．
变式1．（21-22高一·全国·课时练习）在静水中船的速度是，水流的速度是.如果船从岸边出发，沿垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进方向应指向何处？实际航速为多少？
变式2．（21-22高一·全国·课前预习）一架救援直升飞机从地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达地，再由地沿正北方向飞行40 km到达地，求此时直升飞机与地的相对位置.
变式3．（22-23高一·全国·课堂例题）如图，无弹性的细绳OA，OB的一端分别固定在A，B处，同样的细绳OC下端系着一个称盘，且使得，试分析OA，OB，OC三根绳子受力的大小，并判断哪根绳受力最大.

【方法技巧与总结】
应用向量解决平面几何问题的基本步骤
(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题．
(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题．
(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题．
题型四：向量的加减综合运算
例4．（23-24高一·全国·假期作业）化简
变式1．（21-22高一·全国·课前预习）化简：
(1)；
(2).
变式2．（22-23高一下·新疆喀什·期中）化简下列各式：
(1)；
(2)；
(3)；
变式3．（2023高一·全国·专题练习）化简：
(1)；
(2)；
(3)．
(4)；
(5)；
(6)．
变式4．（22-23高一·全国·课前预习）化简下列各式：
(1)(＋)＋()；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)
【方法技巧与总结】
向量加、减法运算的基本方法
(1)利用相反向量统一成加法(相当于向量求和)；
(2)运用减法公式＝(正用或逆用均可)；
(3)运用辅助点法，利用向量的定义将所有向量转化为以一确定点为起点的向量，使问题转化为有共同起点的向量问题．
题型五：用已知向量表示未知向量
例5．（2024高一下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，，，用、表示向量、.
变式1．（20-21高一·全国·课时练习）如图所示，，，.
(1)用表示；
(2)用表示.
变式2．（21-22高一·全国·课前预习）如图所示，四边形是平行四边形，是该平行四边形外一点，且，，，试用向量、、表示向量与.
变式3．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，解答下列各题：
(1)用表示；
(2)用表示；
(3)用表示；
(4)用表示.
【方法技巧与总结】
解决这类问题时，要根据图形的几何性质，正确运用向量的加法、减法以及共线(相等)向量，要注意向量的方向及运算式中向量之间的关系．当运用三角形法则时，要注意两个向量起点的位置，当两个向量共起点时，可以考虑向量的减法．
常用结论：任意一个非零向量一定可以表示为两个不共线向量的和(差)，即 ＝ ＋ 以及 ＝ －(M，N均是与在同一平面内的任意点)．
题型六：向量加减法的综合应用
例6．（20-21高一·全国·课时练习）证明：当向量，不共线时，
(1)；
(2)．
变式1．（20-21高一下·上海·课时练习）试用向量方法证明：平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和.
变式2．（23-24高一下·内蒙古通辽·期中）在中，已知，且， ，求，.
变式3．（23-24高一·全国·课时练习）若是所在平面内一点，且满足，试判断的形状.
变式4．（23-24高一·全国·课时练习）如图，质点A受到力和的作用，已知，与正东北方向的夹角为30°；，与正东方向的夹角为60°，求下列两个向量的大小和方向：
（1）；
（2）.
变式5．（23-24一年级·全国·课时练习）如图，在平行四边形中，设, , 则
(1)当,满足什么条件时，与垂直
(2)当,满足什么条件时，
(3)与可能是相等向量吗
(4)当,满足什么条件时，平分与所夹的角
【方法技巧与总结】
(1)平行四边形中有关向量的以下结论，在解题中可以直接使用：①对角线的平方和等于四边的平方和，即＝2(|a|2＋|b|2)；②若|a＋b|＝|a－b|，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形．
(2)一般将向量放在具体的几何图形中，常见的有三角形、四边形(平行四边形、矩形、菱形)及正六边形等．
一、单选题
1．（23-24高一上·河北石家庄·期末）向量 （ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高一下·全国·课前预习）在四边形ABCD中，，则（　 　）
A．ABCD一定是矩形 B．ABCD一定是菱形
C．ABCD一定是正方形 D．ABCD一定是平行四边形
3．（2024高一下·全国·专题练习）如图，已知是的边上的中线，若，，则等于（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024高一下·全国·专题练习）如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行300 km，记飞机飞行的路程为，位移为，那么（ ）
A． B．
C． D．与不能比大小
5．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一下·全国·专题练习）下列等式不正确的是( )
①；
②；
③.
A．②③ B．② C．① D．③
7．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）已知向量满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．（22-23高一下·河南新乡·阶段练习）化简以下各式，结果为的有（ ）
A． B．
C． D．
9．（22-23高一下·广东佛山·阶段练习）若平行四边形的对角线与相交于点O，则下列结论正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
10．（22-23高一下·湖南怀化·期中）下列各式中结果一定为零向量的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（21-22高一·全国·课时练习）在平行四边形中，下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（21-22高一下·江苏盐城·期中）给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）
A．若线段，则向量
B．若向量，则线段
C．若向量与共线，则线段
D．若向量与反向共线，则
三、填空题
13．（2024高一下·全国·专题练习）已知、为非零向量，则下列命题中真命题的序号是 .
①若，则与方向相同；②若，则与方向相反；
③若，则与有相等的模；④若，则与方向相同．
14．（2024高一下·全国·专题练习）如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，，，，则 .

15．（23-24高三上·北京西城·期中）已知，，，，，则 .
16．（2023高三·全国·专题练习）若为非零向量，则不等式中等号成立的条件是 ；不等式中等号成立的条件是 ．
四、解答题
17．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且，试用向量表示向量.
18．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，，，，试求：.

19．（22-23高一下·湖北·阶段练习）如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，，，，，用，表示下列各式．
(1)；
(2)．
20．（21-22高二·全国·课时练习）如图，已知四面体ABCD，点E，F分别是BC，CD的中点，化简下列表达式，并在图中标出化简后的结果所对应的向量．
(1)；
(2)；
(3)．
21．（21-22高一·湖南·课时练习）如图，在五边形ABCDE中，四边形ACDE是平行四边形，且，，，试用，，表示向量，，，及．
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