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第4章：三角恒等变换章末综合测试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接由两角和的正弦公式即可求解.
【详解】.
故选：B.
2．（23-24高一下·山东济宁·阶段练习）已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用齐次式法计算即得.
【详解】由，得.
故选：A
3．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知为第二象限角，则的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】先根据角所在象限得到，，进而化简求值．
【详解】是第二象限角，
，，故．
故选：B．
4．（23-24高三下·广东·阶段练习）已知角的始边与轴非负半轴重合，终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据三角函数的定义结合二倍角的余弦公式求解即可.
【详解】因为角的始边与轴非负半轴重合，终边过点，
所以，
所以.
故选：D.
5．（23-24高一上·广东深圳·期末）如图，有三个相同的正方形相接，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
设正方体边长为1，由图可得，结合两角和的正切公式计算即可求解.
【详解】
设正方体边长为1，由图可得，
则且，
所以.
故选：B.
6．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据诱导公式及二倍角余弦公式可得结果.
【详解】
，
故选：D.
7．（23-24高一下·广西·阶段练习）在中，角的对边分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对条件依次运用余弦定理和正弦定理，将其化成，化弦为切同时进行拆角化成，依题意进行组合相加即得.
【详解】由和余弦定理可得，即，
由正弦定理，，
则,即,
于是有①，②，由①+②可得：.
故选：A.
8．（23-24高一下·山东·阶段练习）定义平面向量的正弦积（其中为，的夹角）.已知中，，则此三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
【答案】A
【分析】利用给定的定义，结合正弦定理、二倍角的正弦公式化简判断即得.
【详解】在中，由，得，
则，由正弦定理得，
即，
而，因此，
又，于是，
所以是等腰三角形.
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（22-23高一下·辽宁朝阳·期中）下列四个式子中，计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】利用诱导公式和两角和与差的正切、正弦公式一一判断即可.
【详解】对A，由诱导公式可知，，故A错误；
对B，，故B正确；
对C，，故C错误；
对D，，故D正确.
故选：BD.
10．（22-23高一下·吉林长春·阶段练习）密位制是度量角的一种方法，把一个周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“0—07”，478密位写成“4—78”．若，则角可取的值用密位制表示正确的是（ ）
A．12—50 B．2—50
C．13—50 D．32—50
【答案】ABD
【分析】先利用题给条件求得角的值，再将各选项的密位制角转化为弧度制的角即可得到正确选项.
【详解】因为，
即，
即，所以，
所以，，或，，
解得，或，．
对于A，密位制12—50对应的角为，符合题意；
对于B，密位制2—50对应的角为，符合题意；
对于C，密位制13—50对应的角为，不符合题意；
对于D，密位制32—50对应的角为，符合题意．
故选：ABD．
11．（23-24高一下·浙江·阶段练习）如图，直线与的边分别相交于点，设，则（ ）
A．的面积 B．
C． D．
【答案】AD
【分析】A选项，由正弦定理和面积公式求出A正确；B选项，，由正弦定理得到B错误；CD选项，利用向量加法法则得到，进而由数量积的运算法则得到答案.
【详解】A选项，由正弦定理得，即，
的面积，A正确；
B选项，因为，所以，
由正弦定理得，B错误；
CD选项，因为，所以，
即，
故，
即，
所以，C错误，D正确，
故选：AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（23-24高一上·上海宝山·期末）已知，，则角的终边在第
象限.
【答案】三
【分析】
根据，，得到角的终边在第三象限.
【详解】，，
故角的终边在第三象限.
故答案为：三
13．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知函数的对称中心是，则 ．
【答案】
【分析】利用辅助角公式，结合三角函数的性质可得，进而求得，从而代入求解即可得解.
【详解】因为，其中，
又的对称中心是知，则两个相邻的对称中心相距，
故的最小正周期，即，则，
所以，解得，
故.
故答案为：.
14．（2024高一下·全国·专题练习）圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根呈南北方向的水平长尺（称为“圭”）和一根直立于圭面的标杆（称为“表”），如图．成语有云：“立竿见影”，《周髀算经》里记载的二十四节气就是通过圭表测量日影长度来确定的．利用圭表测得某市在每年夏至日的早上8：00和中午13：00的太阳高度角分别为（）和（）．设表高为1米，则影差 米（参考数据：，）
【答案】2.232
【分析】
由正弦定理和三角函数得到，利用正弦和差公式得到，求出（米）.
【详解】
在中，（米）．
在中，由正弦定理，得，
即，
所以（米）．
因为，
且，
所以，所以（米）．
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（21-22高一上·云南文山·期末）已知，
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据平方关系求出，再根据二倍角的正弦公式即可得解；
（2）根据二倍角的余弦公式计算即可.
【详解】（1）因为，，所以，
所以；
（2）.
16．（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）如图，在平面坐标系中，第二象限角的终边与单位圆交于点，且点的纵坐标为．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由的纵坐标计算出，再由，算出，即可得；
（2）将、代入即可得.
【详解】（1）由题知，
因为，所以．
又为第二象限角，所以，
可得．
（2）.
17．（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知函数．
(1)求函数的解析式，并求其图象的对称轴方程；
(2)求函数在上的单调递增区间．
【答案】(1)，对称轴方程为；
(2)和
【分析】（1）直接对的表达式进行三角恒等变换即可求出解析式，进而得到其图象的对称轴方程；
（2）先考虑的单调递增区间，然后令属于该区间即可解得的单调区间.
【详解】（1），
由，解得；
所以，函数的图象的对称轴方程为；
（2）（2）当时，有，要使单调递增，
则需要，或，
解得，或；
故函数在上的单调递增区间为和．
18．（21-22高一下·全国·期末）已知函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)若关于的方程在上有实根，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由函数图象得到、，即可求出，再由函数经过点，即可求出，从而得解；
（2）依题意利用两角差的余弦公式得到，由的取值范围求出的范围，从而求出的范围，即可求出参数的范围.
【详解】（1）由图知，，
∴，又∵，∴，解得.
又由图知函数经过点，∴，
∵，∴，∴.
（2）∵，，
∴，
∴.
∵，∴，∴，
∴，
∴，即实数的取值范围为.
19．（23-24高一下·四川绵阳·阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为，P，Q分别为边AB，DA上的动点，设，且.
(1)求的值；
(2)求的面积最小值；
(3)，求实数的取值范围.
【答案】(1)4
(2)
(3)
【分析】（1）在直角三角形中，由正切函数定义表示出，再由勾股定理求得，然后结合两角和的正切公式化简可得结论；
（2）用表示出的面积，然后利用三角恒等变换，正弦函数的性质，不等式的性质得最小值；
（3）根据不等式性质得，由数量积的运算求得，转化不等式为，然后再分离参数，利用基本不等式转化为关于的不等式，解之可得．
【详解】（1），，
，
又，
，
，
故的值为4.
（2）
又
，
，，
∴时， ；
（3），
，
，
又
，
，时得，
， ，
（时等号成立），
，．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第4章：三角恒等变换章末综合测试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·山东济宁·阶段练习）已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知为第二象限角，则的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
4．（23-24高三下·广东·阶段练习）已知角的始边与轴非负半轴重合，终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高一上·广东深圳·期末）如图，有三个相同的正方形相接，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高一下·广西·阶段练习）在中，角的对边分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高一下·山东·阶段练习）定义平面向量的正弦积（其中为，的夹角）.已知中，，则此三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（22-23高一下·辽宁朝阳·期中）下列四个式子中，计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（22-23高一下·吉林长春·阶段练习）密位制是度量角的一种方法，把一个周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“0—07”，478密位写成“4—78”．若，则角可取的值用密位制表示正确的是（ ）
A．12—50 B．2—50
C．13—50 D．32—50
11．（23-24高一下·浙江·阶段练习）如图，直线与的边分别相交于点，设，则（ ）
A．的面积 B．
C． D．
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（23-24高一上·上海宝山·期末）已知，，则角的终边在第
象限.
13．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知函数的对称中心是，则 ．
14．（2024高一下·全国·专题练习）圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根呈南北方向的水平长尺（称为“圭”）和一根直立于圭面的标杆（称为“表”），如图．成语有云：“立竿见影”，《周髀算经》里记载的二十四节气就是通过圭表测量日影长度来确定的．利用圭表测得某市在每年夏至日的早上8：00和中午13：00的太阳高度角分别为（）和（）．设表高为1米，则影差 米（参考数据：，）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（21-22高一上·云南文山·期末）已知，
(1)求的值；
(2)求的值．
16．（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）如图，在平面坐标系中，第二象限角的终边与单位圆交于点，且点的纵坐标为．
(1)求的值；
(2)求的值．
17．（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知函数．
(1)求函数的解析式，并求其图象的对称轴方程；
(2)求函数在上的单调递增区间．
18．（21-22高一下·全国·期末）已知函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)若关于的方程在上有实根，求实数的取值范围.
19．（23-24高一下·四川绵阳·阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为，P，Q分别为边AB，DA上的动点，设，且.
(1)求的值；
(2)求的面积最小值；
(3)，求实数的取值范围.
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