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5.3复数的三角形式
课程标准 学习目标
理解复数的代数形式化为三角形式;复数的三角形式的运算法则和运算律的应用复数的代数形式化为三角形式; 2、掌握复数的三角形式的运算法则和运算律的应用 1、掌握复数的三角形式,并能与代数形式进行相互转化: 2、掌握复数的三角形式的运算法则和运算律并能熟练应用
知识点01 复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值
1、复数的代数形式：z=a＋bi（a，b ∈R）
2、复数的三角形式
定义：一般地，如果非零复数z=a＋bi（a，b ∈R）在复平面内对应点为Z（a，b），且r为向量的模，θ是以x轴的非负半轴为始边，射线0Z为终边的一个角，则r=|z|=，a=rcosθ，b=rsinθ，从而z=a＋bi=r（cosθ＋isinθ）称为非零复数z=a＋bi的三角形式，其中θ为z的辐角
注意：任何一个复数z=a＋bi都可以表示成r（cosθ＋isinθ）的形式，其中r 是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线0Z）为终边的角，叫做复数z=a＋bi的辐角，r（cosθ＋isinθ）叫做复数z=a＋bi 的三角表示式，简称三角形式.
3、复数的辐角
定义：设复数z=a＋bi的对应向量为，以x轴的非负半轴为始边，向量 所在的射线（起点为0）为终边的角θ，叫做复数z的辐角，记作Argz.其中，r为向量的模，cosθ=，sinθ=.
注意：根据辐角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍其中在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz.
例如：复数i的辐角是”+2kπ，其中k可以取任何整数，辐角的主值argz=
注意：①当a∈R时,arga=0,arg(-a)=π, arg ai=arg(-ai)=
②因为复数0对应零向量,而零向量的方向是任意的,所以复数0的辐角是任意的
【即学即练1】（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）复数的辐角主值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据复数的辐角主值的定义进行求解.
【详解】因为，
所以的辐角主值为.
故选：C
知识点02 复数代数形式和三角形式的互化
1、复数三角形式定义：以三角形式表示的复数z=r（cosθ＋isinθ），只要计算出三角函数值，应用a=rcosθ，b=rsinθ，就可以转化成代数形式；反之，以代数形式表示的复数z=a＋bi≠0，若限定辐角取辐角的主值，只要应用r=，r=0，cosθ=，sinθ=计算出模及辐角的主值，就可以转化成三角形式.
2、三角形式下复数相等:
每一个不为零的复数有唯一的模与辐角的主值并且由它的辐角的模与主值唯一确定.因此两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等。
注意：z=a＋bi（a，b ∈R）z=r（cosθ＋isinθ）
3、复数的三角形式z=r（cosθ＋isinθ）的条件：
①r>0
②中间用加号连接
③cosθ在前，sinθ在后
④θ在前后一致，可为任意值
可简记为：模非负、角相同、余弦前、加号连，此四个条件缺一不可.
【即学即练2】（2024高一下·全国·专题练习）把下列复数的代数形式化成三角形式：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】借助复数的三角表示的定义计算即可得.
【详解】（1），由对应的点在第一象限，且，
故，即；
（2），由对应的点在第四象限，且，
故，即.
知识点03 复数三角形式的乘除法
设,,
1、复数的乘法：=[cos(+)]+isin(+)
2、复数的乘方：==[],这个公式叫做棣美弗公式.
3、复数乘法的几何意义：设，对应的向量分别为，，将绕原点逆时针旋转θ2，再将的模变为原来的r2倍，如果所得向量为，则对应的复数即为.
特殊地，因为复数i=cos+isin即模为1，辐角为，所以一个复数与i相乘，从向量的角度说，就相当于把这个复数对应的向量绕原点沿逆时针旋转
4、复数除法与几何意义：
①复数倒数的三角形式表示：
设复数,则,由可知：
,
②复数的除法：.
=.
也就是说，对于两个复数，来说，（≠0）
还是复数，它的模是的模除以的模，它的辐角是的辐角减去的辐角.
③两个复数相除的几何意义：
设，（≠0）对应的向量分别为，，将绕原点顺时针旋转θ2，再将的模变为原来的
倍，如果所得向量为，则对应的复数即为.
特殊地，因为i=cos+isin即模为1，辐角为，所以一个复数除以i，从向量的角度说，就相当于把这个复数对应的向量绕原点沿顺时针旋转
5、复数三角形式的开方：
,k=0,1,2,...,n-1
【即学即练3】（23-24高一下·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】根据题意，结合复数的的三角形式的运算法则，准确运算，即可求解.
【详解】（1）解：根据复数的的三角形式的运算法则，
可得：
.
（2）解：根据复数的的三角形式的运算法则，
可得：
.
【题型一：复数的辐角主值】
例1．（21-22高一·全国·课前预习）复数1＋i的辐角主值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将代数形式化为三角形式，即可得结果.
【详解】由，故辐角主值为.
故选：C
变式1-1．（22-23高一下·陕西·期中）欧拉是十八世纪伟大的数学家，他巧妙地把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数和联系在一起，得到公式，这个公式被誉为“数学的天桥”，若，则称为复数的辐角主值．根据该公式，可得的辐角主值为 ．
【答案】
【分析】根据欧拉公式与复数的相关概念求解即可.
【详解】因为，所以，所以的辐角主值为．
故答案为:.
变式1-2．（22-23高一下·上海杨浦·期末）已知为虚数单位，，则的辐角主值为 .
【答案】
【分析】
根据复数的三角表示分析求解.
【详解】因为，
所以的辐角主值为.
故答案为：.
变式1-3．（21-22高一·全国·课后作业）复数的辐角主值是 ．
【答案】
【分析】根据复数三角形式的概念即可求解.
【详解】，
故其辐角主值是.
故答案为：.
【方法技巧与总结】
适合于[0，2π）的辐角的值称为辐角主值，除0外每个复数有且仅有一个辐角主值，一般先用复数z 对应的点Z（a，b）确定角所在的象限，再由tan θ=确定在[0，2π）内的角θ，即为argz.
【题型二：复数三角形式的判断】
例2．（2024高一下·全国·专题练习）下列复数是不是复数的三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式．
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)不是；
(2)是
(3)不是，
【分析】
（1）（2）（3）根据复数的三角形式的要求一一判断每个小题中的复数表示是否为复数形式，即可求得答案.
【详解】（1）不是复数的三角形形式，
，
即的三角形式为；
（2）是复数的三角形式；
（3）不是复数的三角形式，
，
即的三角形式为.
变式2-1．（22-23高一·全国·课后作业）是不是复数的三角形式？如果不是，将它表示成三角形式．
【答案】不是三角形式，三角形式表示为.
【分析】根据三角形式的定义判断，再根据三角形式的结构确定辐角主值即可求解.
【详解】因为三角形式是形如的形式，
所以不是三角形式，
因为，
且，
所以，
即复数的三角形式为.
变式2-2．（21-22高一·湖南·课后作业）下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)不是三角形式，化为三角形式为；
(2)不是三角形式，化为三角形式为；
(3)不是三角形式，化为三角形式为；
(4)是三角形式.
【分析】直接利用复数的三角形式求解即可.
【详解】（1）不是三角形式，
，
其中，故三角形式为 ；
（2）不是三角形式，
，
其中，故三角形式为 ；
（3）不是三角形式，
，
，故三角形式为 ；
（4）是三角形式.
变式2-3．（2022高一·全国·专题练习）下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式．
(1)；
(2)；
(3)z3＝ －2(cos θ＋isin θ)．
【答案】(1)是三角形式．
(2)不是三角形式，
(3)不是三角形式，z3＝2[cos(π＋θ)＋isin (π＋θ)]．
【分析】(1) 由复数的三角形式的特征判断即可；
(2) 由复数的三角形式的特征判断，求出复数的模和辐角可得答案；
(3) 由复数的三角形式的特征判断，求出复数的模和辐角可得答案.
【详解】（1）解：符合三角形式的结构特征，是三角形式．
（2）解：由“加号连”知，不是三角形式．
，
模，.复数对应的点在第三象限，所以取，
所以；
（3）解：由“模非负”知，不是三角形式．
复平面上的点Z1(－2cos θ，－2sin θ)在第三象限(假定θ为锐角)，余弦“－cos θ”已在前，不需要变换三角函数名称，因此可用诱导公式“π＋θ”将θ变换到第三象限．
所以z3＝－2(cos θ＋isin θ)＝2[cos(π＋θ)＋isin (π＋θ)]．
【方法技巧与总结】
复数的三角形式z=r（cosθ＋isinθ）条件：
①r>0
②中间用加号连接
③cosθ在前，sinθ在后
④θ在前后一致，可为任意值
可简记为：模非负、角相同、余弦前、加号连，此四个条件缺一不可
【题型三：复数代数形式化为三角形式】
例3．（2024高一下·全国·专题练习）把下列复数表示成三角形式：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）（2）根据复数的三角形式直接得到答案.
【详解】（1）；
（2）.
变式3-1．（2024高一下·全国·专题练习）画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)作图见解析，
(2)作图见解析，
(3)作图见解析，
(4)作图见解析，
【分析】
（1）（2）（3）（4）根据复数的模长公式求解模长，即可根据复数所对应的点所在的象限求解角，即可由三角表示求解.
【详解】（1）
复数对应的向量如图所示，
则
因为与对应的点在x轴，
所以
于是
（2）
复数对应的向量如图所示，
则
因为与对应的点在y轴，
所以
于是
（3）
复数对应的向量如图所示，
则
因为与对应的点在第一象限，
所以
于是
（4）
复数对应的向量如图所示，
则
因为与对应的点在第三象限，
所以
于是
变式3-2．（21-22高一·全国·课后作业）把下列复数表示成三角形式．
(1)；
(2)
(3)；
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】
根据复数的三角表示公式，可得答案.
【详解】（1） ，
其中，故三角形式为 ；
（2）由，则，，
显然复数对应的点在第三象限，所以的辐角，
所以.
（3） ，
其中，故三角形式为 ；
（4）因为，所以，复数对应的点在轴的负半轴上，取，
所以.
变式3-3．（21-22高一·全国·课后作业）把下列复数表示成三角形式，并画出与之对应的向量．
(1)6；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)，图见详解
(2)，图见详解
(3)，图见详解
(4)，图见详解
【分析】对（1）（2）（3）（4）中的复数，先画出图像，结合图像求得辐角主值和模，从而求得其三角形式.
【详解】（1）设复数的模为，辐角主值为．
6对应的向量如下图中，
∵，，，又，
∴，∴．
（2）设复数的模为，辐角主值为．
对应的向量如下图中，
∵，，，
又，∴，
∴．
（3）设复数的模为，辐角主值为．
对应的向量如下图中，
∵，，，
又，∴，
∴．
（4）设复数的模为，辐角主值为．
对应的向量如下图中，
∵，，，
又，
∴，
∴．
【方法技巧与总结】
将复数的代数形式转化为三角形式的
步骤：
（1）先求复数的模；（2）决定辐角所在的象限；（3）根据象限求出辐角；（4）求得复数的三角形式.
【题型四：复数三角形式化为代数形式】
例4．（22-23高一·全国·随堂练习）把下列复数表示成代数形式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】由诱导公式及特殊角的三角函数化简即可.
【详解】（1）；
（2）.
变式4-1．（23-24高一下·全国·课后作业）分别指出下列复数的模和辐角的主值，并将复数表示成代数形式．
(1)；
(2)
【答案】(1)4，，
(2)2，，
【分析】根据复数的相关概念即可求得模和辐角主值，化简计算即可求得复数的代数形式.
【详解】（1）的模为4，辐角主值为，
；
（2），
故的模为2，辐角主值为，
.
变式4-2．（2024高一下·全国·专题练习）将下列复数的三角形式化成代数形式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）（2）利用复数的三角形式与代数形式的互化，准确计算，即可求解.
【详解】（1）解：由复数.
（2）解：由复数
变式4-3．（2024高一下·江苏·专题练习）把下列复数的三角形式化为代数形式：
(1)；
(2).
【答案】(1)－6
(2)
【分析】
运用特殊角的三角函数值计算即可.
【详解】（1）.
（2）.
【方法技巧与总结】
将复数的三角形式化为复数代数形式的
方法是：复数三角形式z=r（cos A＋isin A），代数形式为z=x+yi，对应实部等于实部，虚部等于虚部，即x=rcos A，y=rsin A.
【题型五：复数乘除法的三角形式】
例5．（21-22高一·全国·课前预习）计算(cos＋isin)÷＝ ．
【答案】
【分析】根据复数除法的几何意义即可得结果.
【详解】由复数除法的几何意义知：(cos＋isin)÷＝ .
故答案为：
变式5-1．（22-23高一·全国·课堂例题）计算下列各式，并把结果化成代数形式：
(1)，
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）根据复数的三角形式运算法则即可得到答案.
【详解】（1）原式
．
（2）原式
．
变式5-2．（2024高一下·江苏·专题练习）化简下列各式：
(1) ；
(2)
【答案】(1)
(2)1
【分析】
利用复数三角形式的乘法除法法则，化简求值.
【详解】（1）
；
（2）
.
变式5-3．（2023高一下·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2).
【答案】(1)6；
(2).
【分析】（1）（2）根据复数三角形式的乘法运算结合条件即得.
【详解】（1）
；
（2）
.
【方法技巧与总结】
乘法法则简记为：模数相乘，幅角相加
除法法则简记为：模数相除，幅角相减
【题型六：复数乘方的三角形式】
例6．（2023·广东·模拟预测）棣莫弗公式（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667－1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，已知复数，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用棣莫弗公式及三角函数的特殊值，结合三角函数的诱导公式即可求解.
【详解】依题意知，，
由棣莫弗公式，得 ，
所以.
故选：C.
变式6-1．（2023·湖北恩施·模拟预测）任意一个复数都可以表示成三角形式，即．棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667－1754年）创立的，指的是：设两个复数，，则，已知复数，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】
将化为三角形式，根据棣莫弗定理可求得的值，即可求得答案.
【详解】由题意可得，
故，
所以
.
故选：B
变式6-2．（2023·江苏南通·模拟预测）任何一个复数都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．则（ ）
A．1 B． C． D．i
【答案】B
【分析】现将复数 表示为三角形式，再利用棣莫弗定理求解.
【详解】，
；
故选：B．
变式6-3．（22-23高一·全国·课后作业）设，则 ．
【答案】
【分析】将复数表示成三角形式，利用复数三角形式的乘方法则可化简.
【详解】因为，
所以，.
故答案为：.
【方法技巧与总结】
乘方：
开方：
一、单选题
1．（23-24高一下·湖北武汉·期中）设复数对应的向量分别为为坐标原点，且，若把绕原点顺时针旋转，把绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把化为复数的三角形式，根据复数对应的向量旋转所得向量，求解即可.
【详解】由已知得，
所以绕原点顺时针旋转得
，
由绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合得，
所以.
故选：B.
2．（23-24高一下·浙江·期中）法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，（，）则．设，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意化简即可得解.
【详解】根据题意，由，
可得
.
故虚部为.
故选：C
3．（2024高一下·全国·专题练习）复数，将复数z对应向量按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数为（ ）
A． B．
C．1 D．
【答案】A
【分析】由复数的除法运算得，进一步由复数乘法的几何意义即可运算求解.
【详解】，又将复数z对应的向量按逆时针方向旋转，
∴旋转后的向量对应的复数为.
故选：A.
4．（2024高一下·全国·专题练习）（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据复数的四则运算求解即可.
【详解】，
由于，
所以， .
故选：A.
5．（2024高一下·全国·专题练习）设复数的辐角的主值是，则的辐角的主值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据复数的除法运算及复数的辐角的主值的定义即可得解.
【详解】
因为，
所以的辐角的主值为.
故选：D.
6．（2024高一下·全国·专题练习）将代数形式的复数改写成三角形式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意，结合复数的三角形式的表示方法，即可求解.
【详解】
因为复数在复平面内所对应的点在虚轴正半轴上，可得，
所以，所以.
故选：D.
7．（2024·内蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】由棣莫弗公式化简结合复数的几何意义即可得出答案.
【详解】，
在复平面内所对应的点为，在第二象限.
故选：B.
8．（22-23高一下·辽宁葫芦岛·期末）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）
A．复数为实数 B．对应的点位于第二象限
C． D．的最大值为1
【答案】C
【分析】由，逐一分析四个选项得答案．
【详解】由，
可得，是纯虚数，故A错误；
，对应的点的坐标为，位于第一象限，故B错误；
，
，故C正确；
，
，
的最大值为3，故错误．
故选：C．
二、多选题
9．（2024高一下·全国·专题练习）已知复数z对应的向量为，复数对应的向量为，复数对应的向量为，则下列说法正确的是（ ）
A．将的模扩大为原来的2倍，再逆时针旋转可得到
B．将的模扩大为原来的2倍，再顺时针旋转可得到
C．将的模缩小为原来的，再逆时针旋转可得到
D．将的模缩小为原来的，再顺时针旋转可得到
【答案】AD
【分析】
根据题意，化简得到，，结合选项，即可求解.
【详解】
因为，
，
所以，将的模扩大为原来的2倍，再逆时针旋转可得到，将的模缩小为原来的，再顺时针旋转可得到.
故选：AD.
10．（2024高一下·全国·专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．复数的辐角的主值为
B．复数的辐角的主值为
C．复数的代数形式为
D．复数的三角形式为
【答案】AC
【分析】
根据辐角主值的定义可判断AB的正误，根据代数形式和三角形式的转化规则可判断CD的正误.
【详解】对于A，因为，故的辐角的主值为，故A正确；
对于B，而，故的辐角的主值不是，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故，故D错误.
故选：AC.
11．（22-23高三上·湖南长沙·阶段练习）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式（为虚数单位），这个公式在复变函数中有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，据此公式，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据题设中的公式和复数运算法则，逐项计算后可得正确的选项.
【详解】对于A，当时，因为，所以，故选项A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，由，，所以,得出，故选项C正确；
对于D，由C选项的分析得，推不出，故选项D错误.
故选：ABC.
三、填空题
12．（2022春·广西钦州·高一校考期末）arg＝________．
【答案】##
【分析】将复数转化为三角形式，结合辐角的范围，即可得结果.
【详解】由，而，
所以arg＝.
故答案为：
13．（2024高一下·全国·专题练习）任意复数（，为虚数单位）都可以的形式，其中，该形式为复数的三角形式，其中称为复数的辐角主值.若复数，则的辐角主值为 ．
【答案】/
【分析】把复数代为代数形式再化为三角形式后可得辐角主值．
【详解】，
所以辐角主值为．
故答案为：.
14．（2024高一下·全国·专题练习） (用代数形式表示)．
【答案】
【分析】
由复数除法的三角表示运算即可求解.
【详解】
.
故答案为：.
四、解答题
15．（23-24高一下·重庆·期中）我们知道复数有三角形式，，其中为复数的模，为辐角主值.由复数的三角形式可得出，若，，则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍.
已知圆半径为1，圆的内接正方形的四个顶点均在圆上运动，建立如图所示坐标系，设点所对应的复数为，点所对应的复数为，点所对应的复数为，点所对应的复数为.
(1)若，求出，；
(2)如图，若，以为边作等边，且在上方.
（ⅰ）求线段长度的最小值；
（ⅱ）若（，），求的取值范围.
【答案】(1)，
(2)①1；②
【分析】（1）由题意，根据复数的乘法运算即可求解；
（2）（ⅰ）解法一：设，根据三角恒等变换化简和复数的乘法计算求出，进而表示的坐标，结合模长公式计算即可；解法二：连接，设，，求出，进而，利用换元法化简计算即可求解；
（ⅱ）设，则D，利用向量的线性运算和三角恒等变换化简可得，进而求解.
【详解】（1），
.
（2）（ⅰ）解法一：设，，
所表示的复数为，所表示的复数为
有，
，
故，
得
，
其中，故线段长度的最小值为1.
解法二：连接，设，，
由可得，则，
当时，
化简得，令，.
则
.
同理可得：当时，
（ⅱ）设，则，即点坐标为，
此时，，.
由（，）得：
，
即，解得，
故，
，其中，
可得.
【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
16．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知：
①任何一个复数都可以表示成的形式．其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式．
②被称为欧拉公式，是复数的指数形式．
③方程（为正整数）有个不同的复数根．
(1)设，求；
(2)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合；
(3)复数，求．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据给定的定义，转化为复数的三角形式求解即得.
（2）设，利用指数运算，结合定义求得，进而求出得解.
（3）利用给定的定义求出方程根的形式，再借助方程根的意义列出等式，赋值计算即得.
【详解】（1）依题意，，
所以.
（2）设，则，
因此，，解得，
由终边相同的角的意义，取，则对应的依次为，
因此对应的依次为，
所以所求的集合是.
（3）当时，，，
则，，
因此关于的方程的根为，
则，
又，
由此可得，
则，
令，得，而为奇数，
所以.
17．（2024高一下·全国·专题练习）计算下列各式，并用三角形式表示：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
根据复数三角形式的乘法公式和乘方公式计算即可.
【详解】（1）原式
（2）原式
（3）原式.
18．（22-23高一下·福建三明·阶段练习）在复平面内，O为坐标原点，复数是关于x的方程的一个根.
(1)求实数m，n的值；
(2)若复数，，，所对应的点分别为A，B，C，记的面积为，的面积为，求.
【答案】(1)，
(2)2
【分析】（1）把代入方程，然后根据复数相等即得；或由题可知也是方程的根，根据韦达定理计算得到答案；
（2）根据复数的除法运算结合条件可得，，，进而可得，即得；或根据复数的三角形式及几何意义可得，进而即得.
【详解】（1）解法一：依题意，，
整理得，
于是，有，
解得，；
解法二：依题意，是方程的另一个根，
于是，有，
解得，；
（2）由（1）知，因为，
所以，
所以，，，
从而，，，
可知，所以.
解法二：由（1）知，因为，
所以，
可知，
所以.
19．（22-23高一·全国·课后作业）已知复数z满足，且是纯虚数．
(1)求z；
(2)求z的辐角主值．
【答案】(1)
(2)当时，的辐角主值为；当时，的辐角主值为．
【分析】
(1)设，，由条件列方程求即可，(2)根据辐角主值的定义求解.
【详解】（1）设，，因为，所以，所以，故，
所以，
又是纯虚数， 所以，所以，
所以
（2）设复数的辐角主值为，则，
当时，，所以，，，所以，故复数的辐角主值为；
当时，，所以，，，所以，故复数的辐角主值为.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)5.3复数的三角形式
课程标准 学习目标
理解复数的代数形式化为三角形式;复数的三角形式的运算法则和运算律的应用复数的代数形式化为三角形式; 2、掌握复数的三角形式的运算法则和运算律的应用 1、掌握复数的三角形式,并能与代数形式进行相互转化: 2、掌握复数的三角形式的运算法则和运算律并能熟练应用
知识点01 复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值
1、复数的代数形式：z=a＋bi（a，b ∈R）
2、复数的三角形式
定义：一般地，如果非零复数z=a＋bi（a，b ∈R）在复平面内对应点为Z（a，b），且r为向量的模，θ是以x轴的非负半轴为始边，射线0Z为终边的一个角，则r=|z|=，a=rcosθ，b=rsinθ，从而z=a＋bi=r（cosθ＋isinθ）称为非零复数z=a＋bi的三角形式，其中θ为z的辐角
注意：任何一个复数z=a＋bi都可以表示成r（cosθ＋isinθ）的形式，其中r 是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线0Z）为终边的角，叫做复数z=a＋bi的辐角，r（cosθ＋isinθ）叫做复数z=a＋bi 的三角表示式，简称三角形式.
3、复数的辐角
定义：设复数z=a＋bi的对应向量为，以x轴的非负半轴为始边，向量 所在的射线（起点为0）为终边的角θ，叫做复数z的辐角，记作Argz.其中，r为向量的模，cosθ=，sinθ=.
注意：根据辐角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍其中在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz.
例如：复数i的辐角是”+2kπ，其中k可以取任何整数，辐角的主值argz=
注意：①当a∈R时,arga=0,arg(-a)=π, arg ai=arg(-ai)=
②因为复数0对应零向量,而零向量的方向是任意的,所以复数0的辐角是任意的
【即学即练1】（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）复数的辐角主值为（ ）
A． B． C． D．
知识点02 复数代数形式和三角形式的互化
1、复数三角形式定义：以三角形式表示的复数z=r（cosθ＋isinθ），只要计算出三角函数值，应用a=rcosθ，b=rsinθ，就可以转化成代数形式；反之，以代数形式表示的复数z=a＋bi≠0，若限定辐角取辐角的主值，只要应用r=，r=0，cosθ=，sinθ=计算出模及辐角的主值，就可以转化成三角形式.
2、三角形式下复数相等:
每一个不为零的复数有唯一的模与辐角的主值并且由它的辐角的模与主值唯一确定.因此两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等。
注意：z=a＋bi（a，b ∈R）z=r（cosθ＋isinθ）
3、复数的三角形式z=r（cosθ＋isinθ）的条件：
①r>0
②中间用加号连接
③cosθ在前，sinθ在后
④θ在前后一致，可为任意值
可简记为：模非负、角相同、余弦前、加号连，此四个条件缺一不可.
【即学即练2】（2024高一下·全国·专题练习）把下列复数的代数形式化成三角形式：
(1)；
(2).
知识点03 复数三角形式的乘除法
设,,
1、复数的乘法：=[cos(+)]+isin(+)
2、复数的乘方：==[],这个公式叫做棣美弗公式.
3、复数乘法的几何意义：设，对应的向量分别为，，将绕原点逆时针旋转θ2，再将的模变为原来的r2倍，如果所得向量为，则对应的复数即为.
特殊地，因为复数i=cos+isin即模为1，辐角为，所以一个复数与i相乘，从向量的角度说，就相当于把这个复数对应的向量绕原点沿逆时针旋转
4、复数除法与几何意义：
①复数倒数的三角形式表示：
设复数,则,由可知：
,
②复数的除法：.
=.
也就是说，对于两个复数，来说，（≠0）
还是复数，它的模是的模除以的模，它的辐角是的辐角减去的辐角.
③两个复数相除的几何意义：
设，（≠0）对应的向量分别为，，将绕原点顺时针旋转θ2，再将的模变为原来的
倍，如果所得向量为，则对应的复数即为.
特殊地，因为i=cos+isin即模为1，辐角为，所以一个复数除以i，从向量的角度说，就相当于把这个复数对应的向量绕原点沿顺时针旋转
5、复数三角形式的开方：
,k=0,1,2,...,n-1
【即学即练3】（23-24高一下·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2).
【题型一：复数的辐角主值】
例1．（21-22高一·全国·课前预习）复数1＋i的辐角主值为（ ）
A． B． C． D．
变式1-1．（22-23高一下·陕西·期中）欧拉是十八世纪伟大的数学家，他巧妙地把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数和联系在一起，得到公式，这个公式被誉为“数学的天桥”，若，则称为复数的辐角主值．根据该公式，可得的辐角主值为 ．
变式1-2．（22-23高一下·上海杨浦·期末）已知为虚数单位，，则的辐角主值为 .
变式1-3．（21-22高一·全国·课后作业）复数的辐角主值是 ．
【方法技巧与总结】
适合于[0，2π）的辐角的值称为辐角主值，除0外每个复数有且仅有一个辐角主值，一般先用复数z 对应的点Z（a，b）确定角所在的象限，再由tan θ=确定在[0，2π）内的角θ，即为argz.
【题型二：复数三角形式的判断】
例2．（2024高一下·全国·专题练习）下列复数是不是复数的三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式．
(1)；
(2)；
(3).
变式2-1．（22-23高一·全国·课后作业）是不是复数的三角形式？如果不是，将它表示成三角形式．
变式2-2．（21-22高一·湖南·课后作业）下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
变式2-3．（2022高一·全国·专题练习）下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式．
(1)；
(2)；
(3)z3＝ －2(cos θ＋isin θ)．
【方法技巧与总结】
复数的三角形式z=r（cosθ＋isinθ）条件：
①r>0
②中间用加号连接
③cosθ在前，sinθ在后
④θ在前后一致，可为任意值
可简记为：模非负、角相同、余弦前、加号连，此四个条件缺一不可
【题型三：复数代数形式化为三角形式】
例3．（2024高一下·全国·专题练习）把下列复数表示成三角形式：
(1)；
(2).
变式3-1．（2024高一下·全国·专题练习）画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
变式3-2．（21-22高一·全国·课后作业）把下列复数表示成三角形式．
(1)；
(2)
(3)；
(4)
变式3-3．（21-22高一·全国·课后作业）把下列复数表示成三角形式，并画出与之对应的向量．
(1)6；
(2)；
(3)；
(4)．
【方法技巧与总结】
将复数的代数形式转化为三角形式的
步骤：
（1）先求复数的模；（2）决定辐角所在的象限；（3）根据象限求出辐角；（4）求得复数的三角形式.
【题型四：复数三角形式化为代数形式】
例4．（22-23高一·全国·随堂练习）把下列复数表示成代数形式：
(1)；
(2)．
变式4-1．（23-24高一下·全国·课后作业）分别指出下列复数的模和辐角的主值，并将复数表示成代数形式．
(1)；
(2)
变式4-2．（2024高一下·全国·专题练习）将下列复数的三角形式化成代数形式：
(1)；
(2)．
变式4-3．（2024高一下·江苏·专题练习）把下列复数的三角形式化为代数形式：
(1)；
(2).
【方法技巧与总结】
将复数的三角形式化为复数代数形式的
方法是：复数三角形式z=r（cos A＋isin A），代数形式为z=x+yi，对应实部等于实部，虚部等于虚部，即x=rcos A，y=rsin A.
【题型五：复数乘除法的三角形式】
例5．（21-22高一·全国·课前预习）计算(cos＋isin)÷＝ ．
变式5-1．（22-23高一·全国·课堂例题）计算下列各式，并把结果化成代数形式：
(1)，
(2)．
变式5-2．（2024高一下·江苏·专题练习）化简下列各式：
(1) ；
(2)
变式5-3．（2023高一下·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2).
【方法技巧与总结】
乘法法则简记为：模数相乘，幅角相加
除法法则简记为：模数相除，幅角相减
【题型六：复数乘方的三角形式】
例6．（2023·广东·模拟预测）棣莫弗公式（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667－1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，已知复数，则的值是（ ）
A． B． C． D．
变式6-1．（2023·湖北恩施·模拟预测）任意一个复数都可以表示成三角形式，即．棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667－1754年）创立的，指的是：设两个复数，，则，已知复数，则（ ）
A． B． C． D．1
变式6-2．（2023·江苏南通·模拟预测）任何一个复数都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．则（ ）
A．1 B． C． D．i
变式6-3．（22-23高一·全国·课后作业）设，则 ．
【方法技巧与总结】
乘方：
开方：
一、单选题
1．（23-24高一下·湖北武汉·期中）设复数对应的向量分别为为坐标原点，且，若把绕原点顺时针旋转，把绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·浙江·期中）法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，（，）则．设，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高一下·全国·专题练习）复数，将复数z对应向量按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数为（ ）
A． B．
C．1 D．
4．（2024高一下·全国·专题练习）（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024高一下·全国·专题练习）设复数的辐角的主值是，则的辐角的主值为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高一下·全国·专题练习）将代数形式的复数改写成三角形式为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024·内蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（22-23高一下·辽宁葫芦岛·期末）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）
A．复数为实数 B．对应的点位于第二象限
C． D．的最大值为1
二、多选题
9．（2024高一下·全国·专题练习）已知复数z对应的向量为，复数对应的向量为，复数对应的向量为，则下列说法正确的是（ ）
A．将的模扩大为原来的2倍，再逆时针旋转可得到
B．将的模扩大为原来的2倍，再顺时针旋转可得到
C．将的模缩小为原来的，再逆时针旋转可得到
D．将的模缩小为原来的，再顺时针旋转可得到
10．（2024高一下·全国·专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．复数的辐角的主值为
B．复数的辐角的主值为
C．复数的代数形式为
D．复数的三角形式为
11．（22-23高三上·湖南长沙·阶段练习）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式（为虚数单位），这个公式在复变函数中有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，据此公式，则有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．（2022春·广西钦州·高一校考期末）arg＝________．
13．（2024高一下·全国·专题练习）任意复数（，为虚数单位）都可以的形式，其中，该形式为复数的三角形式，其中称为复数的辐角主值.若复数，则的辐角主值为 ．
14．（2024高一下·全国·专题练习） (用代数形式表示)．
四、解答题
15．（23-24高一下·重庆·期中）我们知道复数有三角形式，，其中为复数的模，为辐角主值.由复数的三角形式可得出，若，，则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍.
已知圆半径为1，圆的内接正方形的四个顶点均在圆上运动，建立如图所示坐标系，设点所对应的复数为，点所对应的复数为，点所对应的复数为，点所对应的复数为.
(1)若，求出，；
(2)如图，若，以为边作等边，且在上方.
（ⅰ）求线段长度的最小值；
（ⅱ）若（，），求的取值范围.
16．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知：
①任何一个复数都可以表示成的形式．其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式．
②被称为欧拉公式，是复数的指数形式．
③方程（为正整数）有个不同的复数根．
(1)设，求；
(2)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合；
(3)复数，求．
17．（2024高一下·全国·专题练习）计算下列各式，并用三角形式表示：
(1)；
(2)；
(3).
18．（22-23高一下·福建三明·阶段练习）在复平面内，O为坐标原点，复数是关于x的方程的一个根.
(1)求实数m，n的值；
(2)若复数，，，所对应的点分别为A，B，C，记的面积为，的面积为，求.
19．（22-23高一·全国·课后作业）已知复数z满足，且是纯虚数．
(1)求z；
(2)求z的辐角主值．
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