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第5章：复数章末综合检测卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24高一下·浙江杭州·期中）的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据复数代数形式的乘法运算法则计算可得.
【详解】
.
故选：A
2．（23-24高一下·甘肃白银·期中）复数的实部与虚部之和为（ ）
A． B． C．8 D．6
【答案】B
【分析】化简复数，由复数的定义即可得出答案.
【详解】因为，所以的实部与虚部之和为．
故选：B.
3．（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用复数的模及除法运算求解.
【详解】由得.
故选：B.
4．（23-24高一下·广东广州·期中）i是虚数单位，则的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复数的除法求解，再根据共轭复数的概念求解即可.
【详解】，共轭复数为.
故选：B
5．（23-24高一下·山东枣庄·期中）复数z满足，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】利用待定系数法，结合复数相等的充要条件可得且，即可由模长公式求解.
【详解】设，，
因为复数满足，
即．
可得且，
故．
故选：C．
6．（23-24高一下·浙江宁波·期中）复数，，其中为虚数单位，则复数在复平面内所对应的点在第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】B
【分析】根据复数乘法运算和复数几何意义即可求解.
【详解】由题，
所以复数对应的点的坐标为，故在复平面内复数对应的点在第二象限.
故选：B.
7．（23-24高一下·江苏镇江·期中）已知复数的实部与虚部互为相反数，则的取值不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，可知，结合倍角公式解方程即可.
【详解】由题意，可知，
所以，
解得或，
因为，所以或或.
故选：D
8．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用复数的乘方法则计算出，，，，，发现数列的周期性，利用周期性即可求得所求式的值.
【详解】由，，，，，
故是一个周期数列，最小正周期为4，
且，
则
.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．
B．，
C．若，，则的最小值为2
D．若是关于的方程的根，则
【答案】BCD
【分析】对于A，由的乘方的周期性解出即可；对于B，设分别求出等式两边比较即可；对于C，求出，由，求出最小值即可；对于D，由是关于x的方程的根，则也是关于x的方程的根，由根与系数的关系求出值即可.
【详解】对于A，因为，所以，故A错误；
对于B，设，则，
由，所以，故B正确；
对于C，设，则，
所以，因为，
所以当时，的最小值为2，故C正确；
对于D，是关于x的方程的根，
则也是关于x的方程的根，
故 ，
解得，故D正确.
故选：BCD.
10．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）欧拉公式(其中为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式，下列结论中正确的是（ ）
A．的实部为0
B．在复平面内对应的点位于第二象限
C．
D．的共轭复数为1
【答案】BC
【分析】根据复数实部定义、复数的几何意义、模长的计算和共轭复数定义依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，，所以的实部为，故A错误；
对于B，，在复平面内对应的点为，为第二象限点，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D， ，其共轭复数为，故D错误，
故选：BC.
11．（23-24高一下·广东广州·期中）设是虚数单位，复数，则（ ）
A．复数的实部是，虚部是1 B．复数的实部是1，虚部是
C．复数的共轭复数是 D．复数的模是
【答案】AD
【分析】首先化简复数，再根据复数的相关定义，即可判断选项.
【详解】，
所以复数的实部是，虚部是1，故A正确，B错误；
复数的共轭复数是，复数的模是，故C错误，D正确.
故选：AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（23-24高一下·山西·期中）已知，，为复数，且，则 .
【答案】1
【分析】根据给定条件，利用复数模的性质、共轭复数的性质计算得解.
【详解】令，显然，
则，
，
，
，
由，得，，
所以．
故答案为：1
13．（23-24高一下·河南新乡·期中）已知复数，若为纯虚数，则实数 .
【答案】8
【分析】根据复数的相关概念和四则运算求解.
【详解】因为为纯虚数，
所以且，得.
故答案为：8.
14．（23-24高一下·上海·期中）在平面直角坐标系中，设是坐标原点，向量，将绕点顺时针旋转得到向量，则点的坐标是 ．
【答案】
【分析】易得对应的复数，再由对应的复数是求解.
【详解】解：设向量对应的复数是，则，
所以对应的复数是：
，
，
所以的坐标是，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）已知复数.
(1)若，求；
(2)若，且是纯虚数，求.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）由复数的运算化简即可；
（2）设，由复数的模长和是纯虚数列方程组，解出即可.
【详解】（1）∵复数，
∴.
（2）设，
∵，∴①.
又∵，
∴②，
由①②联立，解得或，
∴或.
16．（23-24高一下·甘肃·期中）当实数取什么值时，复数分别满足下列条件？
(1)实数；
(2)纯虚数；
(3)在复平面内表示的点位于第四象限．
【答案】(1)或
(2)
(3)
【分析】（1）若为实数，可知虚部为0，列式求解即可；
（2）若为纯虚数，可知虚部不为0，实部为0，列式求解即可；
（3）由题意可知虚部小于0，实部大于0，列式求解即可.
【详解】（1）若为实数，则，解得或．
（2）若为纯虚数，则，解得．
（3）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，
则，解得．
17．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）1707年4月15日，欧拉出生在瑞士巴塞尔一个牧师家庭，自幼受父亲的熏陶，喜爱数学.13岁入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位.是十八世纪数学界最杰出的人物之一，数学史上称十八世纪为“欧拉时代”．1735年，他提出公式：复数：（是虚数单位）．已知复数，，．
(1)当时，求的值；
(2)当时，若且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，得到为实数，再利用复数的定义得到关于的方程组，解之即可得解；
（2）根据条件得到，再利用复数相等，即可求出结果.
【详解】（1）因为虚数不能比较大小，所以为实数，
又因为，所以，解得.
（2）当时，，，
所以，
所以由，得，故 ，
又，得到.
18．（23-24高一下·山西·期中）已知，复数，.
(1)若在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围；
(2)设为坐标原点，，在复平面内对应的点分别为，（不与重合），若，求.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）求出，再利用复数的几何意义列出不等式组求解即得.
（2）利用复数的向量表示，结合给定数量积求出，进而求出，，再求出复数的模.
【详解】（1）依题意，，而在复平面内对应的点位于第三象限，
则，解得，
所以m的取值范围为.
（2）依题意，，，
由，得，解得或，
而时，为原点，不符合题意，因此，，，，
所以．
19．（23-24高一下·福建福州·期中）已知复数为虚数单位)，在复平面上对应的点在第四象限，且满足(为的共轭复数)．
(1)求实数的值;
(2)若复数是关于的方程，且的一个复数根，求的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，可得，再由共轭复数及复数乘法计算得解.
（2）利用方程根的意义，结合复数乘方运算、复数相等求解即得.
【详解】（1）依题意，点在第四象限，即，由，得，即，
所以.
（2）由（1）知，，由复数是关于的方程的根，
得，整理得，而，
因此，解得，
所以.
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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24高一下·浙江杭州·期中）的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·甘肃白银·期中）复数的实部与虚部之和为（ ）
A． B． C．8 D．6
3．（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一下·广东广州·期中）i是虚数单位，则的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高一下·山东枣庄·期中）复数z满足，则（ ）
A． B．2 C． D．
6．（23-24高一下·浙江宁波·期中）复数，，其中为虚数单位，则复数在复平面内所对应的点在第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
7．（23-24高一下·江苏镇江·期中）已知复数的实部与虚部互为相反数，则的取值不可能为（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．
B．，
C．若，，则的最小值为2
D．若是关于的方程的根，则
10．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）欧拉公式(其中为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式，下列结论中正确的是（ ）
A．的实部为0
B．在复平面内对应的点位于第二象限
C．
D．的共轭复数为1
11．（23-24高一下·广东广州·期中）设是虚数单位，复数，则（ ）
A．复数的实部是，虚部是1 B．复数的实部是1，虚部是
C．复数的共轭复数是 D．复数的模是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（23-24高一下·山西·期中）已知，，为复数，且，则 .
13．（23-24高一下·河南新乡·期中）已知复数，若为纯虚数，则实数 .
14．（23-24高一下·上海·期中）在平面直角坐标系中，设是坐标原点，向量，将绕点顺时针旋转得到向量，则点的坐标是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）已知复数.
(1)若，求；
(2)若，且是纯虚数，求.
16．（23-24高一下·甘肃·期中）当实数取什么值时，复数分别满足下列条件？
(1)实数；
(2)纯虚数；
(3)在复平面内表示的点位于第四象限．
17．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）1707年4月15日，欧拉出生在瑞士巴塞尔一个牧师家庭，自幼受父亲的熏陶，喜爱数学.13岁入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位.是十八世纪数学界最杰出的人物之一，数学史上称十八世纪为“欧拉时代”．1735年，他提出公式：复数：（是虚数单位）．已知复数，，．
(1)当时，求的值；
(2)当时，若且，求的值．
18．（23-24高一下·山西·期中）已知，复数，.
(1)若在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围；
(2)设为坐标原点，，在复平面内对应的点分别为，（不与重合），若，求.
19．（23-24高一下·福建福州·期中）已知复数为虚数单位)，在复平面上对应的点在第四象限，且满足(为的共轭复数)．
(1)求实数的值;
(2)若复数是关于的方程，且的一个复数根，求的值．
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