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6.5.1直线与平面垂直
课程标准 学习目标
1、了解直线与平面垂直的定义 2、理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直 3、理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题 4、能利用直线与平面垂直的判定定理进行证明. 1、了解直线与平面垂直的定义。 2、掌握直线和平面垂直的判定方法 3、掌握直线和平面垂直的性质，如相交直线垂直、角平分线垂直、垂线段定理等
知识点01 直线与平面垂直的定义
定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法 l⊥α
有关概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足
图示
画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
【即学即练1】（多选）（2024高三·全国·专题练习）(多选)下列命题正确的是（ ）
A．如果一条直线和一个平面内的两条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
B．如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
C．如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
D．如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
【答案】CD
【详解】A中两条直线一定要是两相交直线，如果是两平行直线，结论不成立；B中的无数条直线如果是平行直线，结论也不成立；只有C与D才成立．
【考查意图】
线面垂直的定义和判定
知识点02 直线与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
符号语言 l⊥a，l⊥b，a α，b α，a∩b＝P l⊥α
图形语言
注意：线面垂直判定定理的推论：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．符号语言：a∥b，__a⊥α______ b⊥α，
【即学即练2】（2022高三下·广东·学业考试）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，M，N分别是PA，PB的中点，求证：
(1)平面ABCD；
(2)平面PAD.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据三角形中位线性质和线面平行判定定理可证；
（2）利用线面垂直的性质可知，然后由矩形性质和线面垂直的判定定理可证.
【详解】（1）因为M，N分别是PA，PB的中点,
所以.
又因为平面ABCD，
平面ABCD，
所以平面ABCD.
（2）因为平面ABCD，平面ABCD，
所以，
因为四边形ABCD是矩形，
所以.
又，平面PAD，
所以平面PAD.
知识点03 直线与平面垂直的性质定理
1、线面垂直的性质
（1）如果两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线这个平面. 也垂直于这个平面
（2）过空间中一点，有且只有一条直线与已知平面垂直.
2、直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言 a∥b
图形语言
作用 ①线面垂直 线线平行 ②作平行线
3、直线与平面垂直的性质定理推论：
一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直．
符号语言：a⊥α，__b α___ a⊥b，
如图：
【即学即练3】（2024高一下·全国·专题练习）如图，，垂足分别为.求证：．
【答案】证明见解析
【分析】根据线面垂直的判定定理分别证明平面和平面，即可证明结论.
【详解】证明：∵，，∴，
同理，
∵平面，
∴平面，
又∵，，∴，
∵，平面，
∴平面，
∴.
知识点04 直线与平面所成的角
1、直线与平面所成角定义：平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角。
2、由定义可知：斜线与平面所成角的范围为具体操作方法：
①在直线 上任取一点A（通常都是取特殊点），向平面α引（通常都是找+证明）垂线A0；②连接斜足与垂足MO；
③则斜线与射影MO所成的角△AMO，就是直线与平面所成角.
【即学即练4】（23-24高二上·上海·阶段练习）在正方体中，与平面所成角的大小为 .
【答案】
【分析】找到即为与平面所成角，求出大小.
【详解】由于⊥平面，故即为与平面所成角，
因为，所以，
故与平面所成角为.
故答案为：
【题型一：线面垂直概念辨析】
例1.（23-24高一下·江苏南通·期中）已知空间3条不同的直线m，n，l和平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】C
【分析】ABD可举出反例；C选项，利用线面平行的性质及线面垂直的性质得到答案.
【详解】A选项，若，，则或相交或异面，A错误；
B选项，若，，则或，B错误；
C选项，若，不妨设，则，
又，，则，所以，C正确；
D选项，若，，则，或相交，D错误.
故选：C
变式1-1.（2024·江西景德镇·三模）已知，是空间内两条不同的直线，，，是空间内三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则或
【答案】C
【分析】借助于模型，完成线面关系的推理可得C项正确，可通过举反例或罗列由条件得到的所有结论，进行对A,B,D选项的排除.
【详解】对于A，由，，设，当时，可得，故A错误；
对于B，由，可得或，故B错误；
对于C，如图，设，，在平面作不与重合的直线，使，
因，则，因，，则，因，则，于是，故C正确；
对于D，当，，时，若且，
则可以和平面成任意角度，故D错误.
故选：C.
变式1-2.（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）已知表示两条不同直线，表示平面，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】利用空间中直线、平面的位置关系一一判定选项即可.
【详解】对于A，若，则可能相交、平行或异面，故A错误；
对于B，若，则可能平行，或相交，或垂直，故B错误；
对于C，若，则可能在中，也可能，故C错误；
对于D，由线面垂直的性质定理可知D正确.
故选：D
变式1-3.(多选)（23-24高三下·河北沧州·阶段练习）已知为两个平面，且是两条不重合的直线，则下列结论正确的是（ ）
A．存在，使得
B．存在，使得
C．对任意，存在，使得
D．对任意，存在，使得
【答案】BC
【分析】根据线面垂直与平行的性质与判断逐个选项判断即可.
【详解】对A，只有当时，才能存在，使得，故A错误；
对B，当时，结合线面平行的性质可得，故B正确；
对C，若则原命题成立；若两平面不垂直，则对任意，设，使得为在平面上的射影，存在，使得，此时，故C正确；
对D，当时，在平面上不存在直线使得，故D错误.
故选：BC
【方法技巧与总结】
理解线面垂直的判定定理注意以下几点:
(1)定理可表述为"线线垂直,则线面垂直"
(2)"两条相交直线"是关键词,一定不要忽视这个条件,否则将导致结论错误,即"线不在多,相交就行"
(3)要证明一条直线与一个平面垂直,只需在平面内找到两条相交直线和该直线垂直即可,至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点无关紧要.
(4)线面垂直的判定定理与线面垂直的定义往往在证题过程中要反复交替使用。
【题型二：线面垂直的判定定理】
例2.（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面分别是棱的中点，.
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由平面，证得，再设，结合，得到，结合线面垂直的判定定理，即可证得平而；
（2）求得，得到，结合，即可求解.
【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以，
因为分别是棱的中点，且，
所以，且，
由，可得，且，
可得，
所以，所以，
因为，且平面，所以平而.
（2）解：因为，
且，
所以，所以，
设点到平面的距离为，则，
即，解得，
即点到平面的距离为.
变式2-1.（2024高一下·全国·专题练习）如图，在圆锥中，已知，的直径，点C在上，且，点D为的中点．证明：平面
【答案】证明见解析
【分析】根据圆中直径所对圆周角为直角可得，由三角形中位线的性质可得 ，根据线面垂直的判定定理可得结果.
【详解】证明：连接，则，因为点D为的中点，所以，
因为为的直径，所以，所以，
因为为的中点，D为的中点，所以 ，所以，
因为，平面，
所以平面.
变式2-2.（23-24高一下·安徽六安·期中）如图，在直三棱柱中，点在棱上，点为的中点，且平面平面，，，.
(1)求证：是的中点；
(2)求证：平面；
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）添加辅助线，由平面平面，得到，由为的中点，所以是的中点；
（2）由题意证明出平面，进而证出，由且得出，最后由线面垂直的判定定理证明出结论即可.
【详解】（1）
证明：如图连接，与交于点，为的中点，连接，
因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，
又在中，为的中点，所以是的中点.
（2）因为底面，平面，所以，
又为棱的中点，，所以
因为，、平面，所以平面，
平面，所以，
因为，所以，又，
在和中，，
所以，
即，所以，
又，、平面，所以平面.
变式2-3.（2024高一下·全国·专题练习）如图，四棱锥中，菱形所在的平面，，E是的中点，M是的中点．
(1)求证：平面；
(2)若，求点P到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）利用几何体的结构特征，通过证明和，得证平面；
（2）由，由体积法求点P到平面AMC的距离．
【详解】（1）证明：因为底面为菱形，，所以为正三角形，
因为E是BC的中点，所以，因为，所以，
因为平面，平面，所以，
又因为，平面，
所以平面.
（2）因为，则，，
所以，
设点P到平面AMC的距离为h，即
易知
所以在和中，由余弦定理得，
所以，
在中， ，，
所以，
所以，所以，
即点P到平面AMC的距离为.
【方法技巧与总结】
证明线面垂直的关键是分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直.三角形全等、等腰三角形底边上的中线、梯形的高、菱形和正方形的对角线、三角形中的勾股定理等都是找线垂直的方法.
【题型三：线面垂直证明线线平行】
例3.（2023高三·全国·专题练习）如图，已知正方体的棱长为2． ，分别为与上的点，且，．
求证：；
【答案】证明见解析
【分析】利用线面垂直的判定定理，证明均与平面垂直，进而证明；
【详解】证明：如图，连接，．
∵平面，平面，
∴．
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，平面，
∴平面．
又∵平面，
∴．同理可得，
又∵，平面，
∴平面．
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴．
∵，
∴．
又∵，，平面，
∴平面．
∴．
变式3-1.（2023高三·全国·专题练习）如图（1），在梯形中，且，线段上有一点E，满足，，现将，分别沿，折起，使，，得到如图（2）所示的几何体，求证：
【答案】证明见解析
【分析】在中，求得，结合勾股定理证得，，从而证得平面，再在和中，分别证得和，从而证得平面，即可证得.
【详解】证明：在中，，
所以，，
在中，，，，
由余弦定理得，
所以，所以，
同理可得，在中，，且，
在中，，所以，
因为，，平面，所以平面，
在中，，
在中，，则，
因为，平面，所以平面，
所以.
变式3-2.（2023高三·全国·专题练习）圆柱如图所示，为下底面圆的直径，为上底面圆的直径，底面，证明：面
【答案】证明见解析
【分析】连接，，，可证明四边形为平行四边形，得到，再通过线面平行的判定定理即可证明
【详解】证明：连接，，，可得平面，
∵平面，∴，
∵，∴四边形为平行四边形，∴，∴且，
∴四边形为平行四边形，∴，
∵平面，平面，∴平面
变式3-3.（2022高一·全国·专题练习）在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD．求证：l∥AE．
【答案】证明见解析
【分析】根据线面平行的性质定理将问题转化为证明AE⊥平面PCD，再转化为AE⊥DC，然后再转化为CD⊥平面PAD，最后结合已知可证.
【详解】证明：因为PA⊥平面ABCD，
CD 平面ABCD，
所以PA⊥CD．
又四边形ABCD是矩形，所以CD⊥AD．
因为PA∩AD＝A，PA 平面PAD，AD 平面PAD，
所以CD⊥平面PAD．
又AE 平面PAD，所以AE⊥DC．
因为AE⊥PD，PD∩CD＝D，PD 平面PCD，CD 平面PCD，
所以AE⊥平面PCD．
因为l⊥平面PCD，
所以l∥AE．
【方法技巧与总结】
直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法。
【题型四：线面垂直证明线线垂直】
例4.（23-24高一下·福建莆田·期中）如图，在直三棱柱中，，分别为线段，上的点，且平面．
(1)求证：；
(2)当为的中点，时，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由面即可证明，又因为，再由平行的传递性即可得证；
（2）由题意易证明为的中点，从而可证，再利用直棱柱性质可证明，所以可证明平面，问题即可得证.
【详解】（1）
因为平面，平面，平面平面，
所以，
又在直三棱柱中，，
所以．
（2）因为为的中点，且由（1）问可知，
所以为的中点，
又，所以，
因为三棱柱是直棱柱，
所以平面．
又因为平面，所以．
因为平面，平面，，
所以平面，
因为平面，所以．
变式4-1.（23-24高一下·江苏南通·期中）已知四棱锥中，底面ABCD是梯形，，，，，，M，N分别是PD，BC的中点．求证：
(1)平面PBC；
(2)．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）取的中点，连结，证明四边形是平行四边形，则，再根据线面平行的判定定理即可得证；
（2）连结，证明平面PDN，再根据线面垂直的性质即可得证.
【详解】（1）如图，取的中点，连结，
因为M是PD的中点，
所以，，
又，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
因为平面PBC，平面PBC，
所以平面PBC；
（2）连结，
因为，N是BC的中点，
所以，
在中，，，，
所以，
由条件，所以，
又N是BC的中点，所以，
因为DN，平面PDN，，
所以平面PDN，
因为平面PDN，所以．
变式4-2.（23-24高一下·云南昆明·期中）如图，在直三棱柱中，分别为的中点，侧面为正方形，求证：
(1) 平面；
(2).
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）连接交于点，易证明 ，问题得证；
（2）先利用直棱柱去证明平面，再利用正方形去证明，最后证明平面，问题即可得证.
【详解】（1）
证明：连接交于点，连接，因为侧面是矩形，
所以是的中点，又因为为的中点，所以 ，
又因为面面，
所以 平面.
（2）证明：因为侧面为正方形，分别为的中点，
所以，所以，
又因为，所以，即，
因为为的中点，所以，
又因为直三棱柱，所以平面，又面，
所以，又因为，所以平面，
又面，所以，
又因为，所以平面，
又因为面，所以.
变式4-3.（2024·陕西安康·模拟预测）已知正方体被平面截后所得的几何体如图所示，点E，F分别是棱的中点，且为的重心．
(1)证明:点在平面内；
(2)证明:.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）借助两平行线共面证明即可得；
（2）借助线面垂直的判定定理与性质定理计算即可得.
【详解】（1）连接点与中点，连接，
由为中点，四边形为正方形，故，
由为中点，结合正方体的性质可得，
故，故、、、四点共面，
故点在平面内；
（2）连接点与中点，由，，故，
故，且点在线段上，
由点E，F分别是棱的中点，
结合正方体的性质可得，又，
故，又，故，
又、平面，，
故平面，又平面，
故.
【方法技巧与总结】
性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据。
【题型五：动点探索问题】
例5.（2024高一下·全国·专题练习）如图①，在直角梯形ABCD中，，，，．沿DE将折起到的位置．连接，，M，N分别为，BE的中点，如图②．
(1)求证：．
(2)求证：平面．
(3)在棱上是否存在一点G，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)存在，
【分析】（1）根据折叠过程中AE与DE垂直不变，DE与BE垂直不变，可以推出，，从而平面，即可证明．
（2）通过作辅助线，利用中位线证明线线平行，进而得到平面平面MNH，然后利用面面平行的性质可得
（3）因为平面，即BC垂直平面内任一直线，那么只要在平面内找到一条过点E，且垂直的直线，则这条直线与的交点就是点G，然后利用线面垂直的判定证明即可
【详解】（1）∵在直角梯形ABCD中，，沿DE将折起到的位置，
∴，．
∵，平面，
∴平面，
又平面，∴．
（2）取CD中点H，连接NH，MH，如图．
∵M，N分别为，BE的中点，
∴，．
因为，平面，平面，
所以平面，
因为，平面，平面，
所以平面，
又，NH，平面MNH，平面，平面，
∴平面平面MNH，又平面MNH
∴平面．
（3）取的中点G，连接EG，如图．
在直角梯形ABCD中，，，
所以，又，所以DCBE是矩形，所以，
因为，所以即是折后的，
∴，
由（1）知平面，
又∵，∴平面，
又平面，∴，
又，平面，∴平面．
故棱上存在中点G，使得平面，且此时．
变式5-1.（20-21高一上·河南许昌·期末）如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为.

(1)若是的中点，求异面直线与所成角的正切值；
(2)在（1）的条件下，问在棱上是否存在一点，使侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，是的等分点，靠近点的位置
【分析】
（1）取中点，连接、，由正四棱锥的性质知为所求二面角的平面角，为侧棱与底面所成的角，设，求出的值，即可得解；
（2）延长交于，取的中点，连接、，易得平面，可得平面平面，分析出为正三角形，易证平面，取的中点，连接，可得四边形为平行四边形，从而，可得平面，即可得出结论.
【详解】（1）
连接、，
所以，为异面直线与所成的角.
平面，平面，则，
，，平面，
又平面，.
侧棱与底面所成的角的正切值为，即，
设底面边长为，则，所以，
，所以，.
（2）
延长交于，则为的中点，取的中点，连接、.
因为，为的中点，则，同理可得，
，故平面，
平面，平面平面，
又，，
所以，为正三角形，为的中点，则，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以，平面，
取的中点，连接，

、分别为、的中点，则且，
因为且，、分别为、的中点，则且，
为的中点，则且，故且，
所以，四边形为平行四边形，则，故平面.
因此，是的等分点，靠近点的位置.
变式5-2.（2023高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，，，且，，是的中点．在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【答案】存在，
【分析】由勾股定理求出的长，证明，通过余弦定理和勾股定理证明，又，可得平面.
【详解】存在点，使得平面，此时，证明如下：

连接，为中点，连接，
直角梯形中，，，，，
则，，四边形为平行四边形，有，则，
所以，
又底面，底面，则，
则，，
则，得，
又，，，
由余弦定理得，，
则，，
又，是的中点，则，
，平面，则平面，
故存在点，使得平面，此时．
变式5-3.（22-23高一下·湖南永州·期末）如图，在四棱锥中，平面，正方形的边长为2，E是PA的中点．

(1)求证：平面；
(2)若，线段PC上是否存在一点F，使平面？若存在，求出PF的长度；若不存在，请说明理由．（用坐标法解答不给分）
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）根据线面平行的判断定理，转化为证明线线平行，通过中点，构造中位线，即可证明；
（2）利用垂直关系，转化为证明，，即可说明存在点，再根据等面积法求PF的长度.
【详解】（1）证明：连接交于点，连接OE

四边形是正方形，
点是的中点
又点是的中点，

平面，平面
平面
（2）存在
理由如下：
过点A作AF⊥PC，垂足为点F，由（1）可知

平面，平面

四边形为正方形
又 平面，平面，
平面
又 平面ACP

又 平面，平面BDE，，
平面
，， ，
在中，由等面积法可得

存在点F，使得平面，
【题型六：线面垂直判定定理与性质定理的应用】
例6.（2024·江西南昌·二模）在三棱锥中，平面，，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．，是异面直线， B．，是相交直线，
C．，是异面直线，与不垂直 D．，是相交直线，与不垂直
【答案】A
【分析】先用定理判断，是异面直线，再证明与垂直，连接，即可得到平面，取的中点，连接，，从而得到、，即可证明平面，从而得解．
【详解】显然根据异面直线判定方法：经过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不经过点的直线是异面直线．
下面证明与垂直：
证明：因为平面，平面，
所以，
因为，分别为的中点，连接，
所以，
因为，平面，
所以平面，
如图：取的中点，连接，，
因为平面，所以，
又因为，所以，
因为，
所以，
又因为为的中点，所以，
因为，平面，
所以平面，
又因为平面，所以．
故选：A．
变式6-1.（2024·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，P为线段的中点，Q为线段（包括端点）上一点，则的面积的最大值为（ ）

A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】如图，根据线面垂直的判定定理与性质可得，确定的最大值，即可求解△BCQ面积的最大值.
【详解】取AB的中点E，连接CE，过Q作，垂足为M，
过M作，垂足为N，连接QN，PE，

则，且，点E到BC的距离为.
由直三棱柱的性质知平面ABC，
所以平面ABC，MN，平面ABC，
则，，且，QM，平面QMN，
所以平面QMN，且平面QMN，
则，可知，
当且仅当点Q与点P重合时，等号成立，
所以面积的最大值为.
故选：A.
变式6-2.（2024·四川眉山·三模）如图，该组合体由一个正四棱柱和一个正四棱锥组合而成，已知，则（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
【答案】C
【分析】借助线面平行的判断定理可得平面，即可得A错误，同理可得B错误；借助线面垂直的判定定理可得平面，又，即可得C正确、D错误.
【详解】对A、B：如图，因为，
在平面中有，
所以平面不平行于平面，故A错误；
同理不平行于平面，故B错误；
对C、D：，，
有，所以，
又，,,平面，
所以平面，又因为平面，
所以，又，、平面，
所以平面，故C正确；
又因为，且过一点有且仅有一条直线与平面垂直，
所以不垂直于平面，故D错误.
故选：C.
变式6-3.（2024·安徽安庆·三模）在正方体中，点分别为棱的中点，过点三点作该正方体的截面，则（ ）
A．该截面多边形是四边形
B．该截面多边形与棱的交点是棱的一个三等分点
C．平面
D．平面平面
【答案】B
【分析】将线段向两边延长，分别与棱的延长线，棱的延长线交于，连分别与棱交于，可判断A；利用相似比可得，可判断B；证明平面即可判断C；通过证明平面，可判断D.
【详解】对于A，将线段向两边延长，分别与棱的延长线，棱的延长线交于，
连分别与棱交于，得到截面多边形是五边形，A错误；
对于B，易知和全等且都是等腰直角三角形，所以，
所以，即，点是棱的一个三等分点，B正确；
对于C，因为平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以，同理可证，
因为平面，所以平面，
因为平面与平面相交，所以与平面不垂直，C错误；
对于D，易知，所以，
又 ，所以平面，
结合C结论，所以平面与平面不平行，D错误.
故选：B．
【题型七：直线与平面所成的角】
例7.（2024·四川雅安·三模）如图，在正方体中，已知点为底面的中心，为棱的中点，则下列结论中错误的是（ ）

A． 平面
B．平面
C．异面直线与所成的角等于
D．直线与平面所成的角等于
【答案】D
【分析】根据平行四边形即可得线线平行，进而可判断A，根据，即可判断B,根据异面直线的夹角即可求解C，根据线面角的几何法即可求解D.
【详解】对于A，连接，，交于，则四边形为平行四边形，
所以，因为平面，平面，所以平面，故A正确；
对于B，连接，为底面的中心，为棱的中点，，
由于平面，平面，所以，
又,且都在面内，则平面，
有平面，故，同理可得，
再由平面,平面，则平面，B正确；
对于C，，为异面直线与所成的角所成的角，
△为等边三角形，，故C正确；
对于D，因为平面， 为直线与平面所成的角，
由于，故不等于，故D不正确
故选：D

变式7-1.（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，在正方体中，直线与平面所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
连接，证明平面，则即为直线与平面所成角的平面角，即可得解.
【详解】连接，则，
因为平面，平面，
所以，
又平面，
所以平面，
所以即为直线与平面所成角的平面角，
在等腰直角三角形中，，
所以直线与平面所成的角为.
故选：B.
变式7-2.(多选)（23-24高二下·福建泉州·阶段练习）如图，正方体的棱长为1，为的中点.下列说法正确的是（ ）
A．直线与直线是异面直线
B．在直线上存在点，使平面
C．直线与平面所成角是
D．点到平面的距离是
【答案】BD
【分析】证明与在平面上，可以判断A；连接，，取的中点，连接，证明平面可判断B；连接交于点，连接，由平面，有平面，可判断C和D.
【详解】
对于A，正方体， ，，
四边形是平行四边形， 四点共面，
由图可知直线与直线都在平面中，
直线与直线不可能是异面直线，故A错误；
对于B，连接，，取的中点，连接，
又为的中点，则，
正方体， ，，
四边形是平行四边形， ，
，所以，
正方体， 平面，又平面，
，且，平面，
得平面，则平面，故B正确；
对于C，连接交于点，连接，
由平面，有平面，
则即为直线与平面所成的角，
正方体的棱长为1，所以，
，则，故C错误；
对于D， 由平面知，即为点到平面的距离，，故D正确.
故选：BD.
变式7-3.（2024高一下·全国·专题练习）线段AB的长等于它在平面内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面所成的角为 .
【答案】
【分析】根据线面角的定义得到是AB所在直线与平面所成的角，然后在中可求出结果
【详解】如图，，则BC是AB在平面内的射影，
则，为AB所在直线与平面所成的角．
在中，，
∴，即AB所在直线与平面所成的角为.
故答案为：
一、单选题
1．（2024·福建宁德·三模）设表示两条不同的直线，表示平面，则以下结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】借助空间中线与面的位置关系及线面垂直的性质定理逐项判断即可得.
【详解】对A：若，则可能平行、相交或异面，故A错误；
对B：若，则可能，也可能，故B错误；
对C：若，则可能与相交，也可能，故C错误；
对D：若，由线面垂直的性质定理可得，故D正确.
故选：D.
2．（2024·河北邯郸·二模）已知是两个平面，是两条直线，且，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件、必要条件的定义及线面垂直的性质可得结果.
【详解】用平面代表平面，平面代表平面，
当如图所示时显然m与平面不垂直，
反之，当时，又，根据线面垂直的性质有，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：A.
3．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）在棱长为2的正方体中，为的中点，为线段上的动点，则当时，的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据线面垂直的判定定理与性质证明，利用相似三角形的性质求出，结合勾股定理计算即可求解.
【详解】如图，连接，，，，
当且仅当平面时，，证明如下：
因为平面，由平面，得，
又，平面，
所以平面，由平面，得，
同理：，
又平面，所以平面，
先证充分性：当平面时，则，此时；
再证必要性，当时，
因为，平面，
所以平面，
又平面平面，所以平面与平面是同一个平面，
所以平面，此时；
由，得，
所以，故.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于判断得当时，点的位置，从而得解.
4．（2024·云南曲靖·二模）在三棱锥中，两两垂直，，则直线与平面所成角的正切值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】取的中点，作交于点，由线面垂直的判定定理、性质定理可得就是直线与平面所成角，在中计算可得答案.
【详解】如图所示，取的中点为，连接，作交于点，
因为，且，平面，
所以平面，平面，所以，
因为，点为的中点，所以，
因为，平面，
所以平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面，
所以就是直线与平面所成角，
因为，
所以.
故选：D.
5．（2024高一下·全国·专题练习）如图，在正四棱锥中，分别是的中点，当点在线段上运动时，下列四个结论：
①；②；③平面；④平面.
其中恒成立的为（ ）
A．①③ B．③④ C．①② D．②③④
【答案】A
【分析】连接，证得平面平面，得到平面，设与交于点，证得平面，得到平面，得出，所以①恒成立；对于线段MN上的任意一点P时，②④不一定成立，即可求解.
【详解】如图所示，连接，
因为分别是的中点，所以，
又因为，且平面，平面，
所以平面平面，
因为平面，平面，所以③恒成立；
设与交于点，则为底面正方形的中心，且，
由正四棱锥，可得平面，
因为平面，所以，
又因为，且平面，所以平面，
所以平面，因为平面，所以，所以①恒成立；
对于②④对于线段MN上的任意一点P不一定成立.
故选：A.
6．（23-24高一下·广东河源·期中）在正三棱锥中，顶点在底面的射影为点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用正三棱锥的性质，顶点在底面的射影是底面三角形的中心，然后用勾股定理可解得高.
【详解】正三棱锥中，点在平面的射影是点，即为等边的中心，
已知，可得，
由底面，底面，可得，
则由勾股定理可得高.
故选：D.
7．（23-24高一下·北京·期中）已知点P在棱长为2的正方体表面运动，且，则线段AP的长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出正方体的对角线的中垂面截正方体所得截面多边形，再分段求出的长范围作答．
【详解】点在棱长为2的正方体表面运动，且，
则点的轨迹是线段的中垂面截正方体所得截面多边形，
分别取棱，，，，，的中点，，，，，，
则，
因此四边形均为棱长为的菱形，所以
平面，
因此点，，，，，在线段的中垂面上，点的轨迹是六边形，如图，
当点在线段上时，若点为线段中点，有，
于是点为线段上任意一点，，
当点在线段上时，为钝角，
则，即，
当点在线段上时，，
为钝角，则，即，
当点在线段上时，由，
边上的高为，此时，
由对称性知，当点在折线上时，，
所以线段的长的取值范围是．
故选：D．
【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.
8．（23-24高一下·福建福州·期中）如图，点为正方形的中心，平面，，是线段的中点，则（ ）
A．，且直线是相交直线 B．，且直线是相交直线
C．，且直线是异面直线 D．，且直线是异面直线
【答案】A
【分析】连接，利用正方形中心的性质易得N为中点，所以易证明四点共面，再利用已知的空间关系就可以得证相等关系.
【详解】如图所示：连接，点为正方形的中心，
则经过点，且点为中点，又因为是线段的中点，
所以在中，，所以四点共面，即直线是相交直线；
因为平面，平面，所以，
又因为，所以，
又在正方形中可得：，所以，
同理可证，所以是正三角形，即，
故选：A．
二、多选题
9．（23-24高一下·江苏南通·期中）在棱长为2的正方体中，分别是，，的中点，则下列正确的是（ ）
A．平面
B．平面
C．多面体是棱台
D．平面截正方体所得截面的面积为
【答案】AC
【分析】由线面平行即可判断A；由线面垂直即可判断B；由棱台的定义即可判断C；由平面截正方体所得截面的作图即可判断D．
【详解】对于A，取中点，连接，
由正方体得四边形为平行四边形，所以，
因为点为的中点，所以，又，
所以四边形为平行四边形，所以，所以，
因为平面，平面，所以平面，故A正确；
对于B，取中点，连接，则，所以，
所以，所以，
由正方体得，平面，又平面，
所以，
因为，，平面，，
所以平面，又，所以与平面不垂直，故B错误；
对于C，由正方体得，平面平面，即平面平面，由棱台的定义可知，多面体是棱台，故C正确；
对于D，设直线与直线交于点，连接与交于点，与直线交于点，连接交于点，连接，则五边形即为平面截正方体所得截面，
因为，所以，，
因为，所以，所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以，，
所以，所以，
所以，
因为，，
所以，故D错误；
故选：AC．
10．（2024·浙江·二模）正方体中，，分别为棱和的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．平面
B．平面
C．异面直线与所成角为60°
D．平面截正方体所得截面为等腰梯形
【答案】ACD
【分析】于A，连接，利用三角形中位线证得，结合线面平行判定定理即可判断A；对于B，取中点，连接，设正方体棱长为，根据线段长度结合勾股定理判断与是否垂直，即判断与是否垂直，从而可判断B；对于C，连接，根据正方体的面对角线性质，即可得异面直线与所成角的大小，从而判断C；对于D，连接，确定截面完整图形为四边形，再计算其四边长度与位置关系，即可判断D.
【详解】对于A，如图，连接，因为，分别为棱和的中点，所以，
又平面，平面，所以平面，故A正确；
对于B，如图，取中点，连接，
在正方体中，，所以四边形为平行四边形，
所以，又分别为，中点，则，故，
设正方体棱长为，则，
故，所以不垂直于，故不垂直于，又平面，所以不垂直平面，故B错误；
对于C，如图，连接，
在正方体中，，即为正三角形，
又因为，分别为棱和的中点，所以，故异面直线与所成角即为，故C正确；
对于D，如图，连接，
在正方体中，，所以四边形为平行四边形，
则，又，所以，所以四点共面，
故平面截正方体所得截面为四边形，
设正方体棱长为，则，
所以，又，故截面为四边形为等腰梯形，故D正确.
故选：ACD.
11．（2024高一下·全国·专题练习）如图，如果菱形所在的平面，那么下列结论正确的是（　　）
A． B．与异面
C．与相交 D．
【答案】BD
【分析】由异面直线的判定方法可知A选项错误，B选项正确，C选项错误，而D选项，则需要由已知的线面垂直证明线线垂直，再由菱形的对角线垂直，去证明线面垂直，最后问题可得证.
【详解】
因为平面，平面，，
所以可知MA与BD异面，即A选项错误，B选项正确，C选项错误；
连接AC，因为四边形为菱形，所以.
又因为平面，平面，所以.
又因为平面，平面，所以平面.
又因为平面，所以，即D选项正确，
故选：BD.
三、填空题
12．（23-24高一下·浙江杭州·期中）如图所示，在棱长为的正方体中，点是平面内的动点，满足，则直线与平面所成角正切值的最大值为 .

【答案】
【分析】在正方体上“堆叠”一个与之全等的正方体，连接、，设在平面的射影为，连接，则即为直线与平面所成角，在平面上的射影为，求出点的轨迹，再结合平面几何的性质即可得解．
【详解】如图所示，
在正方体上“堆叠”一个与之全等的正方体，
连接、，易知四边形是菱形，
设在平面的射影为，
由正三棱锥可知，点是△的外心，
，则，
由，得，
所以，再结合，得，
从而的轨迹是（平面上）以为圆心，为半径的圆，记为圆，
同理，在平面（即平面上的射影为的外心，
连接，则在平面上的射影为，
进而即为直线与平面所成角，记，
则，其中为定值，
而对于，由圆的几何知识可知，当运动到线段且与圆相交时，
取得最小值，记相交于Q,易知，
则，
此时取得最大值为．
故答案为：．

【点睛】关键点点睛:本题考查空间中点的轨迹及线面角，关键是确定在平面上的轨迹为圆.
13．（23-24高一下·湖南长沙·期中）在棱长为1的正方体中，点是该正方体表面及其内部的一个动点，且平面，则线段的长的取值范围是 ．
【答案】
【分析】证明平面平面，得点的轨迹，由此可得的最大值为的长，最小值为到平面的距离，求出距离后可得．
【详解】连接，正方体中由与平行且相等得是平行四边形，从而，
又平面，平面，所以平面，同理平面，
又，平面，所以平面平面，
平面，则平面，
所以动点的轨迹形成的区域为的边界及内部，的最大值为即的长，
的最小值为到平面的距离，
连接交于点，连接交于点，，
由平面，平面，得，
又，，平面，所以平面，
而平面，所以，同理，
又因为，平面，所以平面，
同理可证，所以，从而，
故线段的长的取值范围是．
故答案为：．
14．（23-24高一下·安徽六安·期中）如图，在边长为4的正方体中，为的中点，点在正方体的表面上移动，且满足，当在上时， .设点和满足条件的所有点构成的平面图形为，则直线与平面所成角正弦值的取值范围是 .
【答案】 6
【分析】取的中点分别为，连结，再证明平面可得点的运动轨迹为梯形，计算当在上时的值以及当在上时的值，求出与平面夹角的正弦值的范围.
【详解】取的中点分别为，连结，
由于，所以四点共面，且四边形为梯形，
连接，在正方体中， ，，
又平面，所以平面，
又平面，所以，
又，所以
所以故，又，
又平面，所以平面，
又平面，所以
又平面，所以平面，
因为点在正方体表面上移动，所以点的运动轨迹为梯形，
如图所示：因为正方体的边长为，
所以当点在上时，点为的中点，，
在中，,，
所以，由，设到平面的距离为，
则，所以，
而到平面的边的距离最小值为，最大值为.
设与平面夹角为，则当到平面的边的距离最小值为，
此时线面角的最大值为，
当到平面的边的距离最大值为，
此时线面角的最小值为，即.
所以与平面夹角的正弦值范围为.
故答案为：
四、解答题
15．（23-24高一下·宁夏石嘴山·期中）如图，在三棱柱中，平面，是的中点，，．
(1)求证：平面；
(2)求直线与的所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面平行的判断定理，构造线线平行，即可求解；
（2）根据（1）的结果，将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，再根据几何关系判断位置关系已经边长，即可求解.
【详解】（1）证明：连接交于点M，连接MD，
MD为的中位线，故，
平面，不在平面内，
所以平面．
（2）因为平面ABC，D是BC的中点，，，
所以，△ABC为直角三角形，
所以，
因为平面ABC，AC，平面ABC，
所以，，
所以，，
在中，，，，
直线与所成的角为与所成的角，即为，
，.
所以直线与的所成角的余弦值为.
16．（2024高一下·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，，，且，是的中点．

(1)求证：；
(2)求直线与所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，由已知得出，则，即可证明；
（2）把三棱柱补为一个底面为正方形的四棱柱，得出四边形为平行四边形，则，即可求出直线与所成角的余弦值．
【详解】（1）如图所示，连接，
因为在和中，，且，
所以，，
则，所以，又是的中点，所以，
又，
所以．
（2）设，
因为，，所以，
在中，由余弦定理，得，
因为，
所以把三棱柱补为一个底面为正方形的四棱柱，
连接．
因为，
所以四边形为平行四边形，
所以，则就是异面直线与所成的角，
在正方形ABDC中，，则，
所以，所以，
所以在中， ．
.
17．（2024·山东·二模）已知三棱锥中，平面，过点分别作平行于平面的直线交于点．
(1)求证：平面；
(2)若为的中点，，求直线与平面所成角的正切值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）根据给定条件，利用面面平行的判定、性质推理即得.
（2）连接，由线面角的定义，结合直角三角形的边角关系求解即得.
【详解】（1）由平面平面，平面，
得平面平面，而平面，
所以平面．
（2）连接，由平面平面，得，
则是直线在平面内的射影，是直线与平面所成的角，
在中，，则，
由点是的中点，得，在中，，
所以直线与平面所成角的正切值是．
18．（22-23高一下·山西大同·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面， ，分别为的中点.
(1)求证：平面；
(2)设，求与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，证得平面，得到，取的中点，证得，结合，得到，证得平面，得到，再由，利用线面垂直的判定定理，即可证得平面；
（2）不妨设，由是的中点，证得，再由，证得平面，设交于点，过点作，得到为与平面所成的角，结合，即可求解.
【详解】（1）证明：因为平面，且平面，所以，
因为，且，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
取的中点，连接，如图所示，
因为为的中点，所以，
再由为的中位线，可得，所以，
所以垂直于平面内的两条相交直线，所以平面，
又因为平面，所以，
连接，因为，则，
所以，所以为等腰三角形，所以，
因为且平面，所以平面.
（2）解：不妨设，则，
因为，可得，
所以为等腰直角三角形，且,
又因为是的中点，所以，且，
因为，且，平面，所以平面，
设交于点，过点作交于点，则平面，
连接，所以为与平面所成的角，
由，可得，
所以，
又由，可得，
所以，即与平面所成角的正弦值为.
19．（2024·陕西铜川·二模）如图，在四棱锥中.侧面⊥底面，为等边三角形，四边形为正方形，且.

(1)若为的中点，证明：；
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）作出辅助线，得到线线垂直，证明出线面垂直，得到；
（2）证明出⊥平面，求出，根据等体积法求解点到平面的距离.
【详解】（1）取中点，连接，
为等边三角形，，
四边形为正方形，，
，
又平面，
∴⊥平面，
∴

（2）连接，
因为平面⊥底面，平面底面 ，⊥，
所以⊥平面，
因为四边形为正方形，所以⊥，且，
故，
因为，，所以，
由勾股定理得，
设到平面的距离为，
，
即，
解得.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)6.5.1直线与平面垂直
课程标准 学习目标
1、了解直线与平面垂直的定义 2、理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直 3、理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题 4、能利用直线与平面垂直的判定定理进行证明. 1、了解直线与平面垂直的定义。 2、掌握直线和平面垂直的判定方法 3、掌握直线和平面垂直的性质，如相交直线垂直、角平分线垂直、垂线段定理等
知识点01 直线与平面垂直的定义
定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法 l⊥α
有关概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足
图示
画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
【即学即练1】（多选）（2024高三·全国·专题练习）(多选)下列命题正确的是（ ）
A．如果一条直线和一个平面内的两条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
B．如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
C．如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
D．如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
知识点02 直线与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
符号语言 l⊥a，l⊥b，a α，b α，a∩b＝P l⊥α
图形语言
注意：线面垂直判定定理的推论：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．符号语言：a∥b，__a⊥α______ b⊥α，
【即学即练2】（2022高三下·广东·学业考试）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，M，N分别是PA，PB的中点，求证：
(1)平面ABCD；
(2)平面PAD.
知识点03 直线与平面垂直的性质定理
1、线面垂直的性质
（1）如果两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线这个平面. 也垂直于这个平面
（2）过空间中一点，有且只有一条直线与已知平面垂直.
2、直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言 a∥b
图形语言
作用 ①线面垂直 线线平行 ②作平行线
3、直线与平面垂直的性质定理推论：
一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直．
符号语言：a⊥α，__b α___ a⊥b，
如图：
【即学即练3】（2024高一下·全国·专题练习）如图，，垂足分别为.求证：．
知识点04 直线与平面所成的角
1、直线与平面所成角定义：平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角。
2、由定义可知：斜线与平面所成角的范围为具体操作方法：
①在直线 上任取一点A（通常都是取特殊点），向平面α引（通常都是找+证明）垂线A0；②连接斜足与垂足MO；
③则斜线与射影MO所成的角△AMO，就是直线与平面所成角.
【即学即练4】（23-24高二上·上海·阶段练习）在正方体中，与平面所成角的大小为 .
【题型一：线面垂直概念辨析】
例1.（23-24高一下·江苏南通·期中）已知空间3条不同的直线m，n，l和平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
变式1-1.（2024·江西景德镇·三模）已知，是空间内两条不同的直线，，，是空间内三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则或
变式1-2.（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）已知表示两条不同直线，表示平面，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
变式1-3.(多选)（23-24高三下·河北沧州·阶段练习）已知为两个平面，且是两条不重合的直线，则下列结论正确的是（ ）
A．存在，使得
B．存在，使得
C．对任意，存在，使得
D．对任意，存在，使得
【方法技巧与总结】
理解线面垂直的判定定理注意以下几点:
(1)定理可表述为"线线垂直,则线面垂直"
(2)"两条相交直线"是关键词,一定不要忽视这个条件,否则将导致结论错误,即"线不在多,相交就行"
(3)要证明一条直线与一个平面垂直,只需在平面内找到两条相交直线和该直线垂直即可,至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点无关紧要.
(4)线面垂直的判定定理与线面垂直的定义往往在证题过程中要反复交替使用。
【题型二：线面垂直的判定定理】
例2.（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面分别是棱的中点，.
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离.
变式2-1.（2024高一下·全国·专题练习）如图，在圆锥中，已知，的直径，点C在上，且，点D为的中点．证明：平面
变式2-2.（23-24高一下·安徽六安·期中）如图，在直三棱柱中，点在棱上，点为的中点，且平面平面，，，.
(1)求证：是的中点；
(2)求证：平面；
变式2-3.（2024高一下·全国·专题练习）如图，四棱锥中，菱形所在的平面，，E是的中点，M是的中点．
(1)求证：平面；
(2)若，求点P到平面的距离．
【方法技巧与总结】
证明线面垂直的关键是分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直.三角形全等、等腰三角形底边上的中线、梯形的高、菱形和正方形的对角线、三角形中的勾股定理等都是找线垂直的方法.
【题型三：线面垂直证明线线平行】
例3.（2023高三·全国·专题练习）如图，已知正方体的棱长为2． ，分别为与上的点，且，．
求证：；
变式3-1.（2023高三·全国·专题练习）如图（1），在梯形中，且，线段上有一点E，满足，，现将，分别沿，折起，使，，得到如图（2）所示的几何体，求证：
变式3-2.（2023高三·全国·专题练习）圆柱如图所示，为下底面圆的直径，为上底面圆的直径，底面，证明：面
变式3-3.（2022高一·全国·专题练习）在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD．求证：l∥AE．
【方法技巧与总结】
直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法。
【题型四：线面垂直证明线线垂直】
例4.（23-24高一下·福建莆田·期中）如图，在直三棱柱中，，分别为线段，上的点，且平面．
(1)求证：；
(2)当为的中点，时，求证：．
变式4-1.（23-24高一下·江苏南通·期中）已知四棱锥中，底面ABCD是梯形，，，，，，M，N分别是PD，BC的中点．求证：
(1)平面PBC；
(2)．
变式4-2.（23-24高一下·云南昆明·期中）如图，在直三棱柱中，分别为的中点，侧面为正方形，求证：
(1) 平面；
(2).
变式4-3.（2024·陕西安康·模拟预测）已知正方体被平面截后所得的几何体如图所示，点E，F分别是棱的中点，且为的重心．
(1)证明:点在平面内；
(2)证明:.
【方法技巧与总结】
性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据。
【题型五：动点探索问题】
例5.（2024高一下·全国·专题练习）如图①，在直角梯形ABCD中，，，，．沿DE将折起到的位置．连接，，M，N分别为，BE的中点，如图②．
(1)求证：．
(2)求证：平面．
(3)在棱上是否存在一点G，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
变式5-1.（20-21高一上·河南许昌·期末）如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为.

(1)若是的中点，求异面直线与所成角的正切值；
(2)在（1）的条件下，问在棱上是否存在一点，使侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由.
变式5-2.（2023高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，，，且，，是的中点．在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

变式5-3.（22-23高一下·湖南永州·期末）如图，在四棱锥中，平面，正方形的边长为2，E是PA的中点．

(1)求证：平面；
(2)若，线段PC上是否存在一点F，使平面？若存在，求出PF的长度；若不存在，请说明理由．（用坐标法解答不给分）
【题型六：线面垂直判定定理与性质定理的应用】
例6.（2024·江西南昌·二模）在三棱锥中，平面，，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．，是异面直线， B．，是相交直线，
C．，是异面直线，与不垂直 D．，是相交直线，与不垂直
变式6-1.（2024·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，P为线段的中点，Q为线段（包括端点）上一点，则的面积的最大值为（ ）

A． B． C．2 D．
变式6-2.（2024·四川眉山·三模）如图，该组合体由一个正四棱柱和一个正四棱锥组合而成，已知，则（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
变式6-3.（2024·安徽安庆·三模）在正方体中，点分别为棱的中点，过点三点作该正方体的截面，则（ ）
A．该截面多边形是四边形
B．该截面多边形与棱的交点是棱的一个三等分点
C．平面
D．平面平面
【题型七：直线与平面所成的角】
例7.（2024·四川雅安·三模）如图，在正方体中，已知点为底面的中心，为棱的中点，则下列结论中错误的是（ ）

A． 平面
B．平面
C．异面直线与所成的角等于
D．直线与平面所成的角等于
变式7-1.（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，在正方体中，直线与平面所成的角为（ ）
A． B． C． D．
变式7-2.(多选)（23-24高二下·福建泉州·阶段练习）如图，正方体的棱长为1，为的中点.下列说法正确的是（ ）
A．直线与直线是异面直线
B．在直线上存在点，使平面
C．直线与平面所成角是
D．点到平面的距离是
变式7-3.（2024高一下·全国·专题练习）线段AB的长等于它在平面内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面所成的角为 .
一、单选题
1．（2024·福建宁德·三模）设表示两条不同的直线，表示平面，则以下结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．（2024·河北邯郸·二模）已知是两个平面，是两条直线，且，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）在棱长为2的正方体中，为的中点，为线段上的动点，则当时，的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·云南曲靖·二模）在三棱锥中，两两垂直，，则直线与平面所成角的正切值等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一下·全国·专题练习）如图，在正四棱锥中，分别是的中点，当点在线段上运动时，下列四个结论：
①；②；③平面；④平面.
其中恒成立的为（ ）
A．①③ B．③④ C．①② D．②③④
6．（23-24高一下·广东河源·期中）在正三棱锥中，顶点在底面的射影为点，则（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高一下·北京·期中）已知点P在棱长为2的正方体表面运动，且，则线段AP的长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高一下·福建福州·期中）如图，点为正方形的中心，平面，，是线段的中点，则（ ）
A．，且直线是相交直线 B．，且直线是相交直线
C．，且直线是异面直线 D．，且直线是异面直线
二、多选题
9．（23-24高一下·江苏南通·期中）在棱长为2的正方体中，分别是，，的中点，则下列正确的是（ ）
A．平面
B．平面
C．多面体是棱台
D．平面截正方体所得截面的面积为
10．（2024·浙江·二模）正方体中，，分别为棱和的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．平面
B．平面
C．异面直线与所成角为60°
D．平面截正方体所得截面为等腰梯形
11．（2024高一下·全国·专题练习）如图，如果菱形所在的平面，那么下列结论正确的是（　　）
A． B．与异面
C．与相交 D．
三、填空题
12．（23-24高一下·浙江杭州·期中）如图所示，在棱长为的正方体中，点是平面内的动点，满足，则直线与平面所成角正切值的最大值为 .

13．（23-24高一下·湖南长沙·期中）在棱长为1的正方体中，点是该正方体表面及其内部的一个动点，且平面，则线段的长的取值范围是 ．
14．（23-24高一下·安徽六安·期中）如图，在边长为4的正方体中，为的中点，点在正方体的表面上移动，且满足，当在上时， .设点和满足条件的所有点构成的平面图形为，则直线与平面所成角正弦值的取值范围是 .
四、解答题
15．（23-24高一下·宁夏石嘴山·期中）如图，在三棱柱中，平面，是的中点，，．
(1)求证：平面；
(2)求直线与的所成角的余弦值．
16．（2024高一下·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，，，且，是的中点．

(1)求证：；
(2)求直线与所成角的余弦值．
17．（2024·山东·二模）已知三棱锥中，平面，过点分别作平行于平面的直线交于点．
(1)求证：平面；
(2)若为的中点，，求直线与平面所成角的正切值．
18．（22-23高一下·山西大同·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面， ，分别为的中点.
(1)求证：平面；
(2)设，求与平面所成角的正弦值.
19．（2024·陕西铜川·二模）如图，在四棱锥中.侧面⊥底面，为等边三角形，四边形为正方形，且.

(1)若为的中点，证明：；
(2)求点到平面的距离.
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