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第六章立体几何初步章末二十种常考题型归类
斜二测画法
1．（23-24高一上·吉林长春·期中）一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（ ）
A．18 B． C． D．12
2．（23-24高一下·福建莆田·期中）如图，正方形OABC边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为（ ）

A． B． C． D．
3．（23-24高一下·河北邢台·期中）如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，若，且，则原图形中边上的高为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一下·河北沧州·期中）如图，的斜二测画法的直观图是腰长为的等腰直角三角形，轴经过的中点，则（ ）
A．6 B． C．12 D．
5．（23-24高一下·天津北辰·期中）一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图所示， ，则原平面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
几何体的表面积与体积问题
6．（23-24高一下·安徽·期中）已知一个圆锥的高为6，底面半径为3，现在用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，得到一个高为2的圆台，则这个圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高一下·河南郑州·期中）西流湖公园今年春天成为了网红打卡地，公园里不仅有美丽的景色，各种亭台楼阁也是各有特色.十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，图1中的角楼的顶部即为十字歇山顶．其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2）．这两个直三棱柱有一个公共侧面．在底面中，若，，则该几何体的体积为（ ）
A．88 B． C．64 D．
8．（23-24高一下·北京房山·期中）如图是一个圆柱与圆锥的组合体的直观图（圆锥的底面与圆柱的上底面重合），已知圆锥的高为，圆柱的高为2，底面半径为1，则该组合体的体积为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·全国·模拟预测）现将一个高为4，体积为的圆柱削成一个空间几何体ABCD，其中棱AB，CD分别为圆柱上、下底面上相互垂直的两条直径，则被削去部分的体积为 ．
10．（2024·全国·模拟预测）已知圆台的上、下底面圆的半径分别为，，过圆台的母线上靠近下底面的三等分点作截面，将圆台分为上、下两部分．若上、下两个圆台的侧面积相等，则 ．
外接球与内切球问题
11．（2024·湖南·二模）如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
12．（23-24高三上·浙江宁波·期末）在四面体中，，，且，则该四面体的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
13．（22-23高一下·山西大同·阶段练习）各棱长都相等的四面体的内切球和外接球的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
14．（23-24高三上·河南周口·期末）正三棱锥的内切球的半径为，外接球的半径为. 若，则的最小值为 .
15．（23-24高一下·湖南衡阳·期中）已知三棱锥三条侧棱，，两两互相垂直，且，，分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为 ．
空间共面问题
16．（22-23高一下·江苏苏州·阶段练习）设平面平面，点，点是的中点，当分别在平面内运动时，那么所有的动点C（ ）
A．不共面
B．当且仅当A，B分别在两条直线上移动时才共面
C．当且仅当A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D．共面
17.（多选）（21-22高三上·山东青岛·开学考试）在三棱柱中，、、、分别为线段、、、的中点，下列说法正确的是（ ）
A．、、、四点共面 B．平面平面
C．直线与异面 D．直线与平面平行
18．（23-24高一下·广西南宁·期中）已知正方体中，，点M，N分别是线段，的中点．
(1)求点M到平面的距离；
(2)判断，M，B，N四点是否共面，若是，请证明；若不是，请说明理由．
19．（22-23高一下·湖南衡阳·期中）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，E，F分别为CD，PB的中点．

(1)求证：EF∥平面PAD．
(2)在线段PC上是否存在一点Q使得A，E，Q，F四点共面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
20．（22-23高一下·四川绵阳·阶段练习）如图，已知正方体的棱长为分别为的中点.

(1)已知点满足，求证四点共面；
(2)求三棱柱的表面积.
空间共线问题
21．（21-22高二上·上海浦东新·阶段练习）如图，在正方体中，为棱的中点．设与平面的交点为，则（ ）
A．三点 共线，且
B．三点不共线，且
C．三点共线，且
D．三点不共线，且
22．（22-23高三·全国·课后作业）在空间四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，若EF∩GH＝P，则点P（ ）
A．一定在直线BD上 B．一定在直线AC上
C．既在直线AC上也在直线BD上 D．既不在直线AC上也不在直线BD上
23．（23-24高一下·陕西西安·期中）在直三棱柱中，，侧棱长为3，侧面积为.

(1)求三棱锥的体积;
(2)若点D、E分别在三棱柱的棱上，且，线段的延长线与平面交于三点，证明：共线.
24．（2023高三·全国·专题练习）如图，在空间四边形中， 分别在上，与交于点，求证：三点共线.

25．（22-23高一·全国·课后作业）如图，在长方体中，，截面．
(1)求证：B、P、三点共线；
(2)若，，，求DP的长．
空间共点问题
26．（22-23高一下·山东威海·期末）在空间四边形中，若，分别为，的中点，，，且，，则（ ）
A．直线与平行 B．直线，，相交于一点
C．直线与异面 D．直线，，相交于一点
27．（23-24高一下·湖南衡阳·期中）如图，在正四棱台中，M，N，P，Q分别为棱AB，BC，，上的点．已知，，，，正四棱台的高为6．

(1)证明：直线MQ，，NP相交于同一点．
(2)求正四棱台挖去三棱台后所得几何体的体积．
28．（22-23高一下·陕西西安·期中）（1）已知直线，直线与，都相交，求证：过，，有且只有一个平面；
（2）如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且.求证：直线，，相交于一点.

29．（22-23高一下·安徽合肥·期中）在四面体中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且．求证：

(1)，，，四点共面；
(2)直线，，相交于一点．
30．（22-23高一下·陕西·期中）已知分别是正方体中和的中点.
(1)证明：四点共面.
(2)证明：三条直线交于一点.
截面问题
31．（22-23高一下·广东广州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，N是的中点，过B、D、N的平面截该正方体所得截面的面积为（ ）

A． B． C． D．
32．（22-23高一下·黑龙江大庆·期末）在正三棱柱中，，，，，平面CMN截三棱柱所得截面的周长是（ ）

A． B．
C． D．
33．（22-23高一下·重庆渝中·期中）正方体的棱长为2，P为中点，过A，P，三点的平面截正方体为两部分，则截面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
34．（22-23高一下·河北邯郸·期中）在正方体中，，E为棱上一点，且，则，E，C三点所在的平面截正方体所得截面的周长为 .
35．（23-24高一下·河北廊坊·阶段练习）如图，在正方体中，棱长为2，是线段的中点，平面过点、C、E.
(1)画出平面截正方体所得的截面，并说明原因；
(2)求（1）中截面多边形的面积；
(3)平面截正方体，把正方体分为两部分，求比较小的部分与比较大的部分的体积的比值.
交线问题
36．（23-24高二上·广东·期末）如图，在棱长为6的正方体中，分别是棱的中点，过三点的平面与正方体各个面所得交线围成的平面图形的周长为 .
37．（21-22高一·湖南·课后作业）如图，在长方体，P为棱的中点，画出由，，P三点所确定的平面与长方体表面的交线．

38．（22-23高一下·辽宁·期末）如图，直四棱柱的底面为正方形，为的中点．
(1)请在直四棱柱中，画出经过三点的截面并写出作法（无需证明）．
(2)求截面的面积．
39．（21-22高一下·山东青岛·期中）如图所示，正方体的棱长为a．
(1)过正方体的顶点A，B，截下一个三棱锥，求正方体剩余部分的体积；
(2)若M，N分别是棱AB，BC的中点，请画出过，M，N三点的平面与正方体表面的交线（保留作图痕迹，画出交线，无需说明理由），并求出交线围成的多边形的周长；
(3)设正方体外接球的球心为O，求三棱锥的体积．
40．（22-23高三·全国·课后作业）如图，正方体的棱长为4cm，分别是和的中点．
(1)画出过点的平面与平面及平面的两条交线；
(2)设过的平面与交于点P，求PM+PN的值．
异面直线问题
41．（23-24高二上·重庆·期末）在正方体中，点是棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
42．（22-23高一下·河北·阶段练习）在直三棱柱中，，，过点作直线与和所成的角均为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
43．（2024高一下·全国·专题练习）如图，在长方体中，，，异面直线与所成角的余弦值为，则该长方体外接球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
44. （多选）（22-23高一下·福建漳州·期末）正方体中，为底面的中心，则（ ）
A．直线与所成的角等于
B．直线与所成的角等于
C．直线与是异面直线
D．直线与所成的角等于
45. （22-23高一·全国·课后作业）已知S是矩形所在平面外一点，，，与所成角大小为，与所成角大小为，，分别求直线与的距离及与的距离．
直线与平面所成角问题
46．（2023·全国·模拟预测）在长方体中，已知与所成的角为，与平面所成的角为，则下列结论错误的是（ ）
A． B．与平面所成的角为
C．平面 D．与平面所成的角为
47．（22-23高一下·陕西宝鸡·期末）在正方体中，直线和平面所成角为（ ）
A． B． C． D．
48．（22-23高一下·江苏南通·阶段练习）已知正四面体的棱长为，点M为平面ABC内的动点，设直线SM与平面ABC所成的角为，若，则点M的轨迹所形成平面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
49．（多选）（22-23高一下·湖北武汉·期末）若正四棱柱的底面棱长为4，侧棱长为3，且为棱的靠近点的三等分点，点在正方形的边界及其内部运动，且满足与底面的所成角，则下列结论正确的是（ ）

A．点所在区域面积为
B．有且仅有一个点使得
C．四面体的体积取值范围为
D．线段长度最小值为
50．（23-24高一下·河南开封·期中）在三棱锥中，已知平面OAB，，，与平面所成的角为，与平面所成的角为，则 ．（用角度表示）
平行与垂直的概念辨析
51．（23-24高一下·河南郑州·期中）设是空间中的一个平面，是三条不同的直线，则下列说法对的是（ ）
A．若，，，，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，，则
52．（23-24高一下·河南新乡·阶段练习）已知，，是空间中不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若与异面，则至多有一条与，都垂直
C．若，，，则一定平行于和
D．若，，，则存在同时垂直，
53．（2024·贵州·模拟预测）设m、n为空间中两条不同直线，、为空间中两个不同平面，下列命题中正确的为（ ）
A．若m上有两个点到平面的距离相等，则
B．若，，则“”是“”的既不充分也不必要条件
C．若，，，则
D．若m、n是异面直线，，，，，则
54．（多选）（23-24高一下·宁夏石嘴山·期中）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，有下列四个命题：
①若 则；
②若 则；
③若， 则；
④若 则.
其中正确命题的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
55．（23-24高一下·浙江杭州·期中）下列命题正确的是 .（填序号）
①若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行；
②垂直于同一条直线的两直线平行；
③两个平面互相垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，必垂直与另一个平面；
④过两个点与已知平面的垂直的平面可能不存在；
⑤过两条异面直线外任一点有且只有一条直线与这两条异面直线都垂直；
⑥到一个四面体的四个顶点的距离都相等的平面有7个.
线面平行的判定
56．（23-24高一下·浙江·期中）如图，正边长为分别是边的中点，现沿着将折起，得到四棱锥，点为中点．
(1)求证：平面
(2)若，求四棱锥的表面积．
(3)过的平面分别与棱相交于点，记与的面积分别为、，若，求的值．
57．（23-24高一下·广东广州·期中）如图，在直三棱柱中，，D是BC边的中点，．
(1)求直三棱柱的体积；
(2)求证：面．
(3)一只小虫从点沿直三棱柱表面爬到点D，求小虫爬行的最短距离．
58．（2024·陕西西安·二模）如图，在直三棱柱中，，，M，N，P分别为，AC，BC的中点．
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积．
59．（2024高三·全国·专题练习）在直三棱柱中，，，，D是的中点.

(1)求证：平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
60. （22-23高一下·全国·期末）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2，E F G分别为PC PD BC的中点.

(1)求证：PA平面EFG；
(2)求三棱锥P﹣EFG的体积.
线面平行的性质
61．（22-23高一下·新疆·阶段练习）如图，四边形为长方形，平面，，点 分别为的中点，设平面平面．

(1)证明：平面；
(2)证明：；
(3)求三棱锥的体积．
62．（22-23高一下·广西河池·阶段练习）如图所示，在多面体中，四边形，，ABCD均为边长为2的正方形，E为的中点，过，D，E的平面交于点F．

(1)证明：；
(2)求三棱锥的体积．
63．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在四棱锥中，//平面PAD，，，，点N是AD的中点．求证：

(1)//；
(2)求异面直线PA与NC所成角余弦值．
64．（2023高一·全国·专题练习）如图，在五面体中，平面平面，四边形为直角梯形，其中，，，，．求证：．
65．（22-23高一下·北京朝阳·期中）如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点．

(1)求证：；
(2)求证：平面；
面面平行的判定
66．（23-24高一下·广东广州·期中）由直四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形ABCD为平行四边形，O为AC与BD的交点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)设平面与底面ABCD的交线为l，求证：.
67．（2023高三·全国·专题练习）如图，在正方体中，E，F分别为，中点，G，H分别为，中点，O为平面中心．证明：平面‖平面；
68．（2023高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，，的中点．证明：平面平面；
69．（2024高三·全国·专题练习）如图，在多面体中，是正方形，，，，为棱的中点．求证：平面平面.
70．（23-24高二上·四川南充·阶段练习）如图，已知点P是正方形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．

(1)求证：平面PAD；
(2)若PB中点为Q，求证：平面平面PAD．
面面平行的性质
71．（2023·广西柳州·模拟预测）阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体．如图，四棱锥P－ABCD就是阳马结构，PD⊥平面ABCD，且，，．
(1)证明：平面；
(2)若，求三棱锥的体积．
72．（2023高一下·全国·专题练习）如图，平面，平面，，，，.求证：.
73．（19-20高一·浙江杭州·期末）如图，点S是所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且．求证：平面．

74．（19-20高二下·湖南岳阳·期中）如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，二面角A－CD－F为60°，，CD⊥DE，AD＝2，DE＝DC＝3，CF＝6．

(1)求证：平面ADE；
(2)求直线AC与平面CDEF所成角的正弦值
75．（22-23高一下·黑龙江鹤岗·期末）如图，在三棱锥中，底面，.点、、分别为棱、、的中点，是线段的中点，，.

(1)求证：平面；
(2)求点到直线的距离；
线面垂直的判定
76．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）如图（1），已知菱形中，，沿对角线将其翻折，使，设此时的中点为，如图（2）.
图1 图2
(1)求证：点是点在平面上的射影；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
77．（23-24高一下·福建福州·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，E是的中点．
(1)证明：平面；
(2)若直线与平面所成的角和与平面所成的角相等，求四棱锥的体积．
78．（22-23高二下·天津红桥·期末）如图，六棱锥的底面是边长为1的正六边形，平面，.
(1)求证：直线平面；
(2)求证：直线平面；
(3)求直线与平面所的成角.
79．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，四边形是菱形，，是棱上的动点.证明：平面.
80．（23-24高二上·上海长宁·期末）如图，已知正四棱柱，
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面
线面垂直的性质
81．（20-21高一·全国·课后作业）如图，已知正方体A1C．
(1)求证：A1C⊥B1D1；
(2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C．
82．（2022高三·全国·专题练习）如图，在多面体中四边形是正方形，平面，平面，.证明：平面平面.
83．（20-21高一下·全国·课后作业）如图所示，在三棱锥中，平面，是侧面上的一点，过作平面的垂线，其中，证明：平面．
84．（2021高三·全国·专题练习）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，PC⊥平面ABCD，PB＝PD，点Q是棱PC上异于P，C的一点．
（1）求证：BD⊥AC；
（2）过点Q和AD的平面截四棱锥得到截面ADQF(点F在棱PB上)，求证：QF∥BC.
85．（20-21高一上·陕西延安·期末）如图所示，为的直径，C为上一点，平面，于E，于F.求证：平面.
面面垂直的判定与性质
86．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在四棱柱中，是边长为2的菱形，且，侧面底面为中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求三棱锥的体积.
87．（23-24高一下·浙江宁波·期中）如图，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点．
(1)求圆柱的侧面积和体积；
(2)证明：平面平面；
(3)若是的中点，点在线段上，求的最小值．
88．（23-24高一下·浙江杭州·期中）如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，.
(1)证明：平面平面；
(2)若，与平面的夹角为，求二面角的正弦值.
89．（23-24高一下·河南·期中）如图1，在矩形中，，是与的交点，将沿BE折起到图2中的位置，得到四棱锥.
图1 图2
(1)证明：平面平面；
(2)若，求三棱锥的体积的最大值.
90．（2024·全国·模拟预测）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，四边形为矩形，平面平面，为线段的中点，且.

(1)求证：平面；
(2)若，，直线与平面所成的角为，求点E到平面的距离.
动点探索问题
91．（2024高一下·全国·专题练习）如图，将边长为的正方形沿对角线折起使得点到点的位置，连接，为的中点.
(1)若平面平面，求点到平面的距离；
(2)不考虑点与点重合的位置，若二面角的余弦值为，求的长度.
92．（23-24高一下·浙江宁波·期中）如图，在正方体中，，点E在棱上，且.
(1)求三棱锥的体积；
(2)在线段上是否存在点F，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
(3)求二面角的余弦值.
93．（23-24高一下·浙江宁波·期中）如图，在四面体中，，分别是的中点.
(1)求证：；
(2)在上能否找到一点，使平面？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由；
(3)若平面平面，且，求直线与平面所成角的正切值.
94．（23-24高一下·重庆·期中）如图所示正四棱锥中，，，为侧棱上的点，且，为侧棱的中点．
(1)求正四棱锥的表面积；
(2)证明：平面；
(3)侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由．
95．（23-24高一下·湖南邵阳·期中）知正方体中，、分别为对角线、上的点，且
(1)求证：平面；
(2)若是上的点，的值为多少时，能使平面平面？请给出证明.
二面角问题
96．（2024高一下·全国·专题练习）如图①梯形ABCD中，，，，且，将梯形沿BE折叠得到图②，使平面平面BCDE，CE与BD相交于O，点P在AB上，且，R是CD的中点，过O，P，R三点的平面交AC于Q．
(1)证明：Q是AC的中点；
(2)证明：平面BEQ；
(3)M是AB上一点，已知二面角为45°，求的值．
97．（19-20高一·全国·课后作业）如图，在矩形中，，，E为的中点，把和分别沿AE，DE折起，使点B与点C重合于点P．
(1)求证：平面⊥平面；
(2)求二面角的大小．
98．（22-23高一下·河南商丘·期末）如图，在四棱锥中，底面是菱形.

(1)若点是的中点，证明：平面；
(2)若，，且平面平面，求二面角的正弦值.
99．（22-23高一下·新疆伊犁·期末）如图：已知直三棱柱中，交于点O，，.

(1)求证：；
(2)求二面角的正切值.
100．（22-23高一下·广东云浮·阶段练习）如图，四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为菱形，且有，，，E为PC中点．
(1)证明：平面BED；
(2)求二面角的平面角的正弦值．
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斜二测画法
1．（23-24高一上·吉林长春·期中）一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（ ）
A．18 B． C． D．12
【答案】C
【分析】根据题意可得四边形的面积为，结合直观图与原图面积之间的关系分析求解.
【详解】由题意可知：，且，则，
可知四边形的面积为，
所以四边形的面积为.
故选：C.
2．（23-24高一下·福建莆田·期中）如图，正方形OABC边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把直观图还原成原来的图形，则原图形是平行四边形，根据斜二测画法法则求得原图形的面积.
【详解】由斜二测画法知：对应原图中，且，
且为平行四边形，如下图示，

所以原图形的面积为.
故选：D
3．（23-24高一下·河北邢台·期中）如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，若，且，则原图形中边上的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，由三角形面积公式求出的长，结合斜二测画法可得原图中的长.
【详解】画出平面直角坐标系，在轴上取，即，
在图①中，过作轴，交轴于，在轴上取，
过点作轴，并使，
连接，则即为原来的图形，如图②所示：
原图形中，于点，
则BD为原图形中边上的高，且，
在直观图③中作于点，则的面积，
在直角三角形中，，
所以，
故原图形中AC边上的高为．
故选：D．
4．（23-24高一下·河北沧州·期中）如图，的斜二测画法的直观图是腰长为的等腰直角三角形，轴经过的中点，则（ ）
A．6 B． C．12 D．
【答案】D
【分析】先将直角坐标系中的原图作出，再比对直观图与原图直接求出即可.
【详解】
由题意得的原图如图所示，其中D为的中点，且，
，
所以，故.
故选：D.
5．（23-24高一下·天津北辰·期中）一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图所示， ，则原平面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】在直观图中求出的长，再还原平面图，即可求出相应的线段的长度，从而求出面积.
【详解】如图，在直观图中过点，作交于点，
因为 ，
所以，，即
将直观图还原为平面图如下：
则，，，
所以.
故选：A
几何体的表面积与体积问题
6．（23-24高一下·安徽·期中）已知一个圆锥的高为6，底面半径为3，现在用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，得到一个高为2的圆台，则这个圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设截面圆的半径为，由相似比可求出，再由圆台的体积公式求解即可.
【详解】设截面圆的半径为，如下图，
由可得：，解得：，
所以截面圆的面积为，底面圆的面积为，

从而圆台的体积为.
故选：B.
7．（23-24高一下·河南郑州·期中）西流湖公园今年春天成为了网红打卡地，公园里不仅有美丽的景色，各种亭台楼阁也是各有特色.十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，图1中的角楼的顶部即为十字歇山顶．其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2）．这两个直三棱柱有一个公共侧面．在底面中，若，，则该几何体的体积为（ ）
A．88 B． C．64 D．
【答案】C
【分析】根据题意，得到几何体为直三棱柱和两个三棱锥，结合柱体和锥体的体积公式，准确计算，即可求解.
【详解】如图所示，几何体为直三棱柱和两个三棱锥构成的几何体，
设直三棱柱的底面的面积为，高为，
因为，可得，
且，
所以几何体的体积为 .
故选：C.
8．（23-24高一下·北京房山·期中）如图是一个圆柱与圆锥的组合体的直观图（圆锥的底面与圆柱的上底面重合），已知圆锥的高为，圆柱的高为2，底面半径为1，则该组合体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由圆柱的体积和圆锥的体积公式求解即可.
【详解】该组合体的体积为圆柱的体积加上圆锥的体积，即
，
故选：C.
9．（2024·全国·模拟预测）现将一个高为4，体积为的圆柱削成一个空间几何体ABCD，其中棱AB，CD分别为圆柱上、下底面上相互垂直的两条直径，则被削去部分的体积为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用锥体体积公式求出空间几何体的体积，即可求出削去部分的体积.
【详解】如图所示，
设圆柱的底面半径为r，则由，解得，
设圆柱上、下底面的圆心分别为，O，则，
又，，平面，于是平面，
因此空间几何体的体积为，
所以被削去部分的体积为.
故答案为：
10．（2024·全国·模拟预测）已知圆台的上、下底面圆的半径分别为，，过圆台的母线上靠近下底面的三等分点作截面，将圆台分为上、下两部分．若上、下两个圆台的侧面积相等，则 ．
【答案】/
【分析】根据题意结合梯形中位线有，再根据圆台的侧面积公式列出方程即可求解.
【详解】设上部分圆台的侧面积为，母线长为，下部分圆台的侧面积为，母线长为，
过圆台的母线上的三等分点作截面，设截面半径分别为，，圆台的轴截面如图，
则，解得，则，
，因为，
所以，所以，所以．
故答案为：
外接球与内切球问题
11．（2024·湖南·二模）如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将四面体补形成长方体，长方体的长 宽 高分别为、、，长方体的外接球即为四面体的外接球，而长方体外接球的直径即为其体对角线，求出外接球的直径，即可求出外接球的表面积.
【详解】将四面体补形成长方体，长方体的长 宽 高分别为、、，
四面体的外接球即为长方体的外接球，
而长方体的外接球的直径等于长方体的体对角线长，设外接球的半径为，
故，所以外接球表面积为.
故选：B.
12．（23-24高三上·浙江宁波·期末）在四面体中，，，且，则该四面体的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题设条件作出四面体的高，通过相关条件推理计算分别求出，最后在直角梯形，利用勾股定理列出方程即可求得外接球半径.
【详解】
如图，作平面，连接，易得因，平面，
所以平面，平面，故,
由题可得，，则.
不妨设，则有①，
在中，由余弦定理，，在中，②，
将两式相减化简即得：，.
取线段中点，过点作平面，其中点为外接球的球心，设外接球半径为，
由余弦定理求得，
在直角梯形中，，由计算可得：，则该四面体的外接球表面积为.
故选：B.
【点睛】
方法点睛：本题主要考查四面体的外接球的表面积，属于中档题.
求解多面体的外接球的主要方法有：
（1）构造模型法:即寻找适合题意的长方体，正方体，圆柱等几何体，借助于这些几何体迅速求得外接球半径；
（2）建立直角梯形或直角三角形法：即先找到底面多边形的外心，作出外接球球心，借助于题设中的条件得到多面体的高，构成直角梯形或直角三角形来求解.
13．（22-23高一下·山西大同·阶段练习）各棱长都相等的四面体的内切球和外接球的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用正四面体的结构特征及其内切球、外接球半径关系、空间几何体的体积公式计算即可.
【详解】易知正四面体的内切球球心与外接球球心重合，
设正四面体的内切球半径为r，外接球半径为R，四面体各面面积为S，
则由四面体的体积得，
所以四面体的内切球和外接球的体积之比为，
故选:A.
14．（23-24高三上·河南周口·期末）正三棱锥的内切球的半径为，外接球的半径为. 若，则的最小值为 .
【答案】3
【分析】
设正三棱锥的高为h，从而求得棱锥的表面积，结合棱锥的体积求出，进而求得，即可得的表达式，利用换元，结合基本不等式，即可求得答案.
【详解】设正三棱锥的高为h，设E为的中点，O为底面中心，O在上，
，则，侧面上高为，
则正三棱锥的表面积为，
则正三棱锥的体积为，
即，故，
又，则，则，
故，
令，则，
则
，
当且仅当，即，时取等号，
故的最小值为3，
故答案为：3
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于根据正三棱锥的几何特征，结合棱锥体积求出外接球半径以及内切球半径的表达式，从而可得的表达式，利用换元，结合基本不等式即可求解.
15．（23-24高一下·湖南衡阳·期中）已知三棱锥三条侧棱，，两两互相垂直，且，，分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为 ．
【答案】
【分析】采用补形法得正方体，作出图形，找出内切球，外接球球心，由几何关系知：两点间距离的最小值为，易求外接圆半径，结合等体积法可求出内切圆半径和，进而得解.
【详解】由已知将该三棱锥补成正方体，如图所示.
设三棱锥内切球球心为，外接球球心为，内切球与平面的切点为，
易知：三点均在上，且平面，
设内切球的半径为，外接球的半径为，则.
又，，
所以，
由等体积法：，
即，解得，
由等体积法：，
即，解得，
将几何体沿截面切开，得到如下截面图：大圆为外接球最大截面，小圆为内切球最大截面，
∴两点间距离的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：根据题设将三棱锥补成正方体，进而确定内切球，外接球球心，结合等体积法求内切圆半径及，即可得的长度的最小值.
空间共面问题
16．（22-23高一下·江苏苏州·阶段练习）设平面平面，点，点是的中点，当分别在平面内运动时，那么所有的动点C（ ）
A．不共面
B．当且仅当A，B分别在两条直线上移动时才共面
C．当且仅当A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D．共面
【答案】D
【分析】
利用点线面的位置关系可知，动点C形成的轨迹是平行于（或）的平面即可得出结论.
【详解】根据题意可知，点应在过的中点且平行于（或）的平面内，
因此当分别在平面内运动时，所有的动点C共面.
故选：D
17.（多选）（21-22高三上·山东青岛·开学考试）在三棱柱中，、、、分别为线段、、、的中点，下列说法正确的是（ ）
A．、、、四点共面 B．平面平面
C．直线与异面 D．直线与平面平行
【答案】ABC
【分析】证明出，可判断A选项；利用面面平行的判定定理可判断B选项；利用线线的位置关系可判断C选项；利用线面平行的性质可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为且，、分别为、的中点，
则且，所以，四边形为平行四边形，则，
因为、分别为、的中点，所以，，，
故、、、四点共面，A对；
对于B选项，连接、，
、分别为、的中点，则，
平面，平面，平面，
因为四边形为平行四边形，则，，则，
平面，平面，平面，
，平面平面，B对；
对于C选项，由图可知不与相交，
若，又因为，则，这与矛盾，
故与异面，C对；
对于D选项，延长、交于点，连接交于点，连接，
若平面，平面，平面平面，，
事实上，与相交，故假设不成立，D错.
故选：ABC.
18．（23-24高一下·广西南宁·期中）已知正方体中，，点M，N分别是线段，的中点．
(1)求点M到平面的距离；
(2)判断，M，B，N四点是否共面，若是，请证明；若不是，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)是，证明见详解.
【分析】（1）由即可求解；
（2）利用三角形中位线性质证明，然后证明为平行四边形，即可得，再由直线平行的传递性可证.
【详解】（1）记点M到平面的距离为h，
易知为正三角形，且，所以，
又，
所以，
因为，所以，即，
解得，即点M到平面的距离为.
（2），M，B，N四点共面，证明如下：
连接，
因为M，N分别是线段，的中点，
所以，
由正方体性质可知，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，所以，
所以，M，B，N四点共面.
19．（22-23高一下·湖南衡阳·期中）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，E，F分别为CD，PB的中点．

(1)求证：EF∥平面PAD．
(2)在线段PC上是否存在一点Q使得A，E，Q，F四点共面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在点符合题意，且此时
【分析】（1）取的中点，连接，可证得四边形为平行四边形，可得∥，再由线面平行的判定理可证得结论；
（2）取的中点，连接交于，在上取点，使，连接，则四点共面，然后证明即可.
【详解】（1）证明：取的中点，连接，
因为分别为的中点，
所以∥，，
因为四边形为平行四边形，
所以∥，，
因为为的中点，
所以，
所以∥，，
所以四边形为平行四边形，
所以∥，
因为平面，平面，
所以∥平面，
（2）存在点符合题意，且此时，
取的中点，连接交于，在上取点，使，连接，则四点共面，
证明如下：
因为在平行四边形中，分别为的中点，
所以∥，，
所以四边形为平行四边形，
所以∥，
因为为的中点，所以点为的重心，且，
因为，
所以∥，
因为∥，
所以∥，
所以和确定一个平面，
因为在直线上，
所以，
所以四点共面，
所以在线段PC上存在一点Q使得A，E，Q，F四点共面.

20．（22-23高一下·四川绵阳·阶段练习）如图，已知正方体的棱长为分别为的中点.

(1)已知点满足，求证四点共面；
(2)求三棱柱的表面积.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用正方体的结构特征，结合平行公理、平面基本事实推理作答.
（2）求出三棱柱各个面的面积作答.
【详解】（1）在正方体中，取中点，连接，如图，

因为是的中点，则，即四边形是平行四边形，
则有， 由，知为的中点，而为中点，于是，即有，
所以四点共面.
（2）显然三棱柱是直三棱柱，，
上下两个底面的面积和为，
侧面积，
所以三棱柱的表面积.
空间共线问题
21．（21-22高二上·上海浦东新·阶段练习）如图，在正方体中，为棱的中点．设与平面的交点为，则（ ）
A．三点 共线，且
B．三点不共线，且
C．三点共线，且
D．三点不共线，且
【答案】A
【分析】利用平面基本事实证明点O在直线 上，再借助正方体性质说明可得线段比例式，即可求得答案.
【详解】在正方体中，连接 ，如图，
，故共面，
连接 ，平面平面，
因为M为棱 的中点，则平面，
而平面，即平面，又，则平面，
因AM与平面 的交点为O，则平面，
于是得，即三点共线，
由，为棱的中点，可得且，故 于是得，即 ，
所以三点共线，且.
故选：A
22．（22-23高三·全国·课后作业）在空间四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，若EF∩GH＝P，则点P（ ）
A．一定在直线BD上 B．一定在直线AC上
C．既在直线AC上也在直线BD上 D．既不在直线AC上也不在直线BD上
【答案】B
【分析】由题意可得P∈平面ABC，P∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD＝AC，则P∈AC，可得答案．
【详解】如图，
∵EF 平面ABC，GH 平面ACD，EF∩GH＝P，
∴P∈平面ABC，P∈平面ACD，
又平面ABC∩平面ACD＝AC，
∴P∈AC，即点P一定在直线AC上．
故选：B．
23．（23-24高一下·陕西西安·期中）在直三棱柱中，，侧棱长为3，侧面积为.

(1)求三棱锥的体积;
(2)若点D、E分别在三棱柱的棱上，且，线段的延长线与平面交于三点，证明：共线.
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用三棱柱的侧面积公式先计算三棱柱底面各棱长，再由三棱锥的体积公式及等体积法计算即可；
（2）利用空间中直线、平面的位置关系证明即可.
【详解】（1）由题意知，
所以该三棱柱的侧面积为，
又，直三棱柱中，
且平面，
所以平面，
又，所以平面，
故三棱锥的体积为；
（2）由基本事实的推论知两条相交直线共面，所以平面，
又平面，所以平面，
而平面，平面平面，
所以，即共线.
24．（2023高三·全国·专题练习）如图，在空间四边形中， 分别在上，与交于点，求证：三点共线.

【答案】证明见解析
【分析】由基本事实3，证明点在两平面的交线上即可.
【详解】 平面，
平面，同理，平面.
是平面与平面的公共点.
又平面平面，
,三点共线.

25．（22-23高一·全国·课后作业）如图，在长方体中，，截面．
(1)求证：B、P、三点共线；
(2)若，，，求DP的长．
【答案】(1)见解析；
(2).
【分析】（1）证明出点在平面与平面的交线上即可；
（2）由（1）推理出点为与交点，利用三角形重心的特点即可得到答案.
【详解】（1）平面，
所以平面，又平面,
平面平面，所以,
即三点共线.
（2）连接，再连接，交于点，由（1）及，
则点为与交点，
，四边形为平行四边形，
是中点，又是的中点,
所以点是的重心,所以 ,
又因为,所以,
所以.
空间共点问题
26．（22-23高一下·山东威海·期末）在空间四边形中，若，分别为，的中点，，，且，，则（ ）
A．直线与平行 B．直线，，相交于一点
C．直线与异面 D．直线，，相交于一点
【答案】B
【分析】首先利用相似三角形证明且，再利用中位线定理证明且，从而得到四边形为梯形，且，是梯形的两腰，设，交于一点，利用平面的性质证明是直线，，的公共点即可．
【详解】因为，，且，
所以，所以且，
因为，分别为，的中点，所以且，
所以且，故四边形为梯形，且，是梯形的两腰，
所以，交于一点，设交点为，则，，
又因为平面，且平面，
所以平面，且平面，
又平面平面，
所以，
所以点是直线，，的公共点，
故直线、、相交于一点．

故选：B
27．（23-24高一下·湖南衡阳·期中）如图，在正四棱台中，M，N，P，Q分别为棱AB，BC，，上的点．已知，，，，正四棱台的高为6．

(1)证明：直线MQ，，NP相交于同一点．
(2)求正四棱台挖去三棱台后所得几何体的体积．
【答案】(1)证明见解析；
(2)105.
【分析】（1）作出辅助线，设MQ的延长线与的延长线交于点E，NP的延长线与的延长线交于点F．根据棱台性质得到，点E，F重合，从而证明出结论；
（2）求出正四棱台的体积和三棱台的体积，相减后得到答案.
【详解】（1）证明：在正四棱台中，因为，，，，
所以四边形，均为梯形，则直线MQ与必相交，NP与必相交．
延长MQ，，NP，设MQ的延长线与的延长线交于点E，NP的延长线与的延长线交于点F．
在正四棱台中，，，

则，，
得，所以点E，F重合，
即直线MQ，，NP相交于同一点．
（2）正四棱台的体积为．
由题意可得三棱台的高为6，
则三棱台的体积为．
故所求几何体的体积为．
28．（22-23高一下·陕西西安·期中）（1）已知直线，直线与，都相交，求证：过，，有且只有一个平面；
（2）如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且.求证：直线，，相交于一点.

【答案】证明过程见解析
【分析】
（1）设两平行直线确定的平面为，从而得到，，直线，即平面，证明出结论；
（2）作出辅助线，得到，且，得到四边形为梯形，与交于一点，再证明点在直线上，证明出结论.
【详解】（1）证明：设直线与，分别交于点，
如图1，

因为，所以确定一个平面，记为平面，
因为点直线，点直线，所以，，
所以直线，即平面，所以过，，有且只有一个平面；
（2）在空间四边形中，连接，
因为分别为的中点，则，且，
又由，则，且，
故，且，故四边形为梯形，与交于一点，
设与交于点，如图2，

由于平面，点在平面内，同理点在平面内，
又因为平面平面，
所以点在直线上，
故直线相交于一点.
29．（22-23高一下·安徽合肥·期中）在四面体中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且．求证：

(1)，，，四点共面；
(2)直线，，相交于一点．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据基本事实的推论证明即可；
（2）根据基本事实3证明即可.
【详解】（1）

连接，，
在三角形中，，所以，
∵，分别是边，的中点，
∴，
∴，，，，四点共面.
（2）∵，为中点，
∴与不平行，
∵平面，
∴与相交，
设，
∵，平面，
∴平面，同理平面，
∵平面平面，
∴，
∴直线，，相交于一点.
30．（22-23高一下·陕西·期中）已知分别是正方体中和的中点.
(1)证明：四点共面.
(2)证明：三条直线交于一点.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）通过证明，得到四点共面.
（2）设和交于点P，证明点P在平面与平面的交线上.
【详解】（1）连接，因为是正方体，
分别是和的中点，所以.
又，所以四边形为平行四边形，
所以，所以，
所以四点共面.
（2）由（1）知，且，
所以和必交于一点.
设，
因为平面，所以平面.
因为平面，所以平面.
又平面平面，所以，
所以交于一点.
截面问题
31．（22-23高一下·广东广州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，N是的中点，过B、D、N的平面截该正方体所得截面的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，取的中点，连接，然后利用平面的性质可得过B、D、N的平面截该正方体所得截面为梯形，从而可求出截面的面积.
【详解】连接，取的中点，连接，
因为是的中点，所以∥，，
因为∥，，所以∥，，
所以过B、D、N的平面截该正方体所得截面为梯形，
连接交于，连接交于，连接，
因为，
所以，所以梯形为等腰梯形，
所以，
所以梯形的面积为，
故选：B

32．（22-23高一下·黑龙江大庆·期末）在正三棱柱中，，，，，平面CMN截三棱柱所得截面的周长是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】首先作出截面，再根据几何关系求边长，即可求解周长.
【详解】如图1，延长与交于点，连结，与交于点，
连结，则四边形为所求截面，
其中，，

如图2，，所以，即，

如图1，若，则，所以，
即点是的中点，
所以，
中，，
所以，
所以四边形的周长为.
故选：B
33．（22-23高一下·重庆渝中·期中）正方体的棱长为2，P为中点，过A，P，三点的平面截正方体为两部分，则截面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取中点，连接，得到截面为四边形，再根据梯形的面积公式即可求解.
【详解】

如图，截面为四边形，
取中点，连接，则，且.
因为,且，所以四边形是平行四边形，
则，，
所以，且，又
所以截面为等腰梯形，且上底长为，下底长为，腰长为，
所以截面的面积为.
故选：C
34．（22-23高一下·河北邯郸·期中）在正方体中，，E为棱上一点，且，则，E，C三点所在的平面截正方体所得截面的周长为 .
【答案】
【分析】在上取靠近D的四等分点，连接CF易得，故，E，C三点所组成的平面截正方体的截面为，进而易求其周长.
【详解】如图，在上取，连接CF，，在上取，连接GF，BG.因为，，所以四边形BCFG为平行四边形，所以，易得，则，，E，C三点所组成的平面截正方体的截面为，由题意得，，所以周长为.

故答案为：
35．（23-24高一下·河北廊坊·阶段练习）如图，在正方体中，棱长为2，是线段的中点，平面过点、C、E.
(1)画出平面截正方体所得的截面，并说明原因；
(2)求（1）中截面多边形的面积；
(3)平面截正方体，把正方体分为两部分，求比较小的部分与比较大的部分的体积的比值.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)
【分析】（1）取的中点，连接、、，利用平行线的传递性可证得，可知、、、四点共面，再由于、、三点不共线，可得出面即为平面截正方体所得的截面；
（2）分析可知，四边形为等腰梯形，求出该等腰梯形的高，利用梯形的面积公式可求得截面面积；
（3）利用台体的体积公式可求得三棱台的体积，并求出剩余部分几何体的体积，由此可得结果.
【详解】（1）如下图，取的中点，连接、、.
因为是的中点，所以.
在正方体中，，，
所以四边形是平行四边形，所以，所以，
所以、、、四点共面.
因为、、三点不共线，所以、、、四点共面于平面，
所以面即为平面截正方体所得的截面.
（2）由（1）可知，截面为梯形，，
，，
同理可得，
如下图所示：
分别过点、在平面内作，，垂足分别为点、，
则，，，
所以，，则，
因为，，，则四边形为矩形，
所以，，则，
所以，，
所以，梯形的面积为.
（3）多面体为三棱台，，
，该棱台的高为，
所以，该棱台的体积为
，
故剩余部分的体积为.
故比较小的那部分与比较大的那部分的体积的比值为.
交线问题
36．（23-24高二上·广东·期末）如图，在棱长为6的正方体中，分别是棱的中点，过三点的平面与正方体各个面所得交线围成的平面图形的周长为 .
【答案】
【分析】根据给定条件，利用平面的基本事实作出截面，再求出截面多边形周长.
【详解】直线与直线分别交于点，连接分别交于是，连接，
则五边形是过三点的平面截正方体所得截面，如图，
显然，，则，
，，而，
所以五边形的周长为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.
37．（21-22高一·湖南·课后作业）如图，在长方体，P为棱的中点，画出由，，P三点所确定的平面与长方体表面的交线．

【答案】画图见解析
【分析】画平面与长方体不同的表面的交线，只需找到两平面的两个公共点，两点确定交线即可.
【详解】如图，由于P是上的点，所以平面，且平面，
所以平面平面=，
同理，平面平面=，平面平面=，
所以平面与长方体表面的交线是，，.
作法：连接，，，它们就是平面与长方体表面的交线（如图）．

38．（22-23高一下·辽宁·期末）如图，直四棱柱的底面为正方形，为的中点．
(1)请在直四棱柱中，画出经过三点的截面并写出作法（无需证明）．
(2)求截面的面积．
【答案】(1)图形见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，连接、、、，则四边形即为所求；
（2）依题意可得四边形为菱形，连接，，求出，，即可得解.
【详解】（1）取的中点，连接、、、，
则四边形即为过点、和的平面截直四棱柱所得截面；
取的中点，连接、，因为为的中点，为直四棱柱，底面为正方形，
所以且，且，所以且，
所以为平行四边形，所以，
又且，所以为平行四边形，所以，
所以，即、、、四点共面.
（2）在直四棱柱中，，、分别为、的中点，
所以，
所以四边形为菱形，连接，，则，
又，，
所以.
39．（21-22高一下·山东青岛·期中）如图所示，正方体的棱长为a．
(1)过正方体的顶点A，B，截下一个三棱锥，求正方体剩余部分的体积；
(2)若M，N分别是棱AB，BC的中点，请画出过，M，N三点的平面与正方体表面的交线（保留作图痕迹，画出交线，无需说明理由），并求出交线围成的多边形的周长；
(3)设正方体外接球的球心为O，求三棱锥的体积．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用等体积法求出三棱锥的体积，再用正方体体积减去即可；
（2）根据点、线、面的位置关系作出图形，再利用三角形相似等知识点则可求出相关线段长；
（3）根据（1）中三棱锥的体积以及正方体和正三棱锥的性质即可求出三棱锥的高，再利用棱锥的体积公式即可.
【详解】（1）因为正方体，所以平面，
则为三棱锥的高，，，
则，
则正方体剩余部分的体积为.
（2）画直线交，延长线分别为点，
再分别连接，分别交于点，
顺次连接，五边形即为交线围成的多边形，
易得，，则为等腰直角三角形，
则，根据∽，，
则，则，，
同理可得，，而，
则五边形的周长为.
（3）
连接，易知的中点即为正方体外接球的球心点，
且，
易得三棱锥为正三棱锥，
而三棱锥的顶点在底面上的投影即为等边三角形的中心点，
且点均在直线上，
由（1）得，
即，解得，
而，所以
所以，
则.
40．（22-23高三·全国·课后作业）如图，正方体的棱长为4cm，分别是和的中点．
(1)画出过点的平面与平面及平面的两条交线；
(2)设过的平面与交于点P，求PM+PN的值．
【答案】(1)图象见解析；
(2)
【分析】（1）由平面的性质，作出过点的平面与正方体的截面，即可求出；
（2）利用三角形相似分别求出，即可求得.
【详解】（1）如图所示，连接并延长交的延长线于点，连接交于点，交延长线于点，连接交于点，连接，则即为所求作的截面．
如图示：平面与平面的交线为，平面与平面的交线为.
（2）由N为的中点，易得，所以，
因为，所以，得，
所以，，，
所以，．
所以．
异面直线问题
41．（23-24高二上·重庆·期末）在正方体中，点是棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】通过平行关系将异面直线夹角转化为相交直线夹角，结合等腰三角形性质求解正弦值即可.
【详解】如图所示，取中点，连接，取中点，连接，
则，
所以四边形是平行四边形，所以，
所以或其补角是异面直线与所成角，
设正方体棱长为2，则，
在等腰中，是中点，所以，
所以，
即异面直线与所成角的正弦值为.
故选：C
42．（22-23高一下·河北·阶段练习）在直三棱柱中，，，过点作直线与和所成的角均为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】计算异面直线和所成的角，则的最小值为异面直线和所成角的一半．
【详解】依题意，直三棱柱是正方体的一半，如图所示，

，为异面直线和所成角，
又， 是等边三角形，，
过C作直线的平行线，则当与的角平分线重合时，取得最小值．
故选：C
43．（2024高一下·全国·专题练习）如图，在长方体中，，，异面直线与所成角的余弦值为，则该长方体外接球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】连接与交于点，取中点，连接，则，则为异面直线与所成角（或补角），设，在中利用余弦定理求出，最后求出长方体的体对角线即为外接球的直径，从而求出外接球的表面积.
【详解】连接与交于点，则为中点，
取中点，连接，则，
为异面直线与所成角（或补角），
设，，，则， ，
在中，由余弦定理得，
若，则，解得（负值已舍去），
若，则，方程无解，
所以，
所以长方体的对角线长为，
所以长方体的外接球的半径，
所以长方体外接球的表面积.
故选：B
44. （多选）（22-23高一下·福建漳州·期末）正方体中，为底面的中心，则（ ）
A．直线与所成的角等于
B．直线与所成的角等于
C．直线与是异面直线
D．直线与所成的角等于
【答案】BD
【分析】根据异面所成角的定义与计算方法，结合正方体的几何结构特征，逐项判定、求解，即可求解.
【详解】对于A中，在正方体中，，
所以异面直线与所成的角，即为直线与所成的角，
在等腰直角，可得，
即异面直线与所成的角为，所以A不正确；，
对于B中，在正方体中，可得，
所以异面直线与所成的角，即为直线与所成的角，
在等边，可得，
即异面直线与所成的角为，所以B正确；，
对于C中，在正方体中，由为底面的中心，
可得平面，且平面，
所以直线与不是异面直线，所以C错误；
对于D中，在正方体中，因为为正方形，可得，
又由平面，平面，所以，
因为且平面，所以平面，
又因为平面，所以，所以D正确.
故选：BD.

45. （22-23高一·全国·课后作业）已知S是矩形所在平面外一点，，，与所成角大小为，与所成角大小为，，分别求直线与的距离及与的距离．
【答案】，
【分析】根据异面直线所成的角，平行线的性质得，，，，从而求得的长，再由异面直线的距离定义证得公垂线，从而得结论．
【详解】∵,，，∴，
因为与所成角大小为，而，则，
因为与所成角大小为，而，则，
，则，，，
又是矩形，
所以线段是直线与的公垂线段，线段是与的公垂线线段，
所以直线与的距离是，与的距离是．
直线与平面所成角问题
46．（2023·全国·模拟预测）在长方体中，已知与所成的角为，与平面所成的角为，则下列结论错误的是（ ）
A． B．与平面所成的角为
C．平面 D．与平面所成的角为
【答案】C
【分析】设，求得，得到和，证得平面，得到，可判定A正确；由与平面所成的角为，可判定B不正确；由与平面所成的角为，可判定D不正确，证得，可得判定C正确．
【详解】如图所示，连接，
设，因为与AD的夹角为60°，即，，所以，
又因为与平面ABCD所成的角为30°，即，，
所以，故长方体的左、右侧面为正方形，所以，
又因为平面，平面，所以，
而，所以平面，
又因为平面，所以，所以A不符合题意．
在长方体中，可得平面，
所以与平面所成的角为，所以B不符合题意．
在长方体中，得到，
所以与平面所成的角为，所以D不符合题意．
若平面，则，则，与已知矛盾，所以C符合题意．
故选：C．
47．（22-23高一下·陕西宝鸡·期末）在正方体中，直线和平面所成角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接交于点，连接，即可得到平面，则为直线和平面所成的角，再由锐角三角函数计算可得.
【详解】连接交于点，连接，则，
又平面，平面，所以
又，平面，所以平面，
则为直线和平面所成的角，
又平面，所以，所以，
则，即直线和平面所成角为.
故选：A
48．（22-23高一下·江苏南通·阶段练习）已知正四面体的棱长为，点M为平面ABC内的动点，设直线SM与平面ABC所成的角为，若，则点M的轨迹所形成平面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在正四面体中，过顶点作下底面的垂线，垂足O即为下底面中心，然后可得出线面角，根据其正弦值的范围，求出线段的范围，进而求出的范围，则点的轨迹所形成的平面图形为一个半径为1的圆面，从而可求出其面积.
【详解】在正四面体中，顶点在底面的投影为正的中心，即平面，
因为正四面体的棱长为，所以，
所以，
因为直线SM与平面ABC所成的角为，所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆面，
所以点M的轨迹所形成平面图形的面积为，
故选：B

49．（多选）（22-23高一下·湖北武汉·期末）若正四棱柱的底面棱长为4，侧棱长为3，且为棱的靠近点的三等分点，点在正方形的边界及其内部运动，且满足与底面的所成角，则下列结论正确的是（ ）

A．点所在区域面积为
B．有且仅有一个点使得
C．四面体的体积取值范围为
D．线段长度最小值为
【答案】AC
【分析】A选项，根据题意得到所在区域为以A为圆心，1为半径的圆在正方形内部部分（包含边界弧长），得到区域面积；B选项，寻找到不止一个点使得；C选项，根据P点不同位置求出点P到平面的距离最大值及最小值，求出最大体积和最小体积； D选项，结合P的所在区域及三角形两边之和大于第三边求出长度最小值.
【详解】A.由线面角的定义可知，，即，
故点所在区域为以A为圆心，1为半径的圆在正方形内部部分（包含边界弧长），即圆的，面积为，A正确；
如图，设点的轨迹与交于点，
B.不妨点P与点F重合，此时，
由余弦定理得：，则
同理可得：，故不止一个点使得，B错误；
C.如图，平面，平面，所以，
且，，平面，所以平面，
平面，所以平面平面，
且平面平面，
因为，平面，平面,
所以平面,所以点到平面的距离相等，
如图，当点在点处时，此时点P到平面的距离最大，最大距离为，
此时四面体的体积为，
当P与点F重合时，此时点P到平面的距离最小，最小距离为，
因为△BFK∽△BAH，所以，所以最小体积为，

故四面体的体积取值范围为，C正确；

D.当PC取最小值时，线段长度最小，
由三角形两边之和大于第三边知：当A，P，C三点共线时，PC取得最小值，即，
则，D错误
故选：AC
50．（23-24高一下·河南开封·期中）在三棱锥中，已知平面OAB，，，与平面所成的角为，与平面所成的角为，则 ．（用角度表示）
【答案】
【详解】因为平面OAB，
所以在平面上的投影为，
所以与平面所成的角的平面角为。
所以，是直角三角形，，又，
所以，
因为平面OAB，
所以在平面上的投影为，
所以与平面所成的角的平面角为。
所以，是直角三角形，，又，
所以，又，
所以在中，，所以．
故答案为：.

平行与垂直的概念辨析
51．（23-24高一下·河南郑州·期中）设是空间中的一个平面，是三条不同的直线，则下列说法对的是（ ）
A．若，，，，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，，则
【答案】D
【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由，，，，只有直线与相交时，可得，所以A不正确；
对于B中，由，，，则与平行、相交或异面，所以B错误；
对于C中，由，，，则，所以C错误；
对于D中，由，，可得，又因为，所以，所以D正确.
故选：D.
52．（23-24高一下·河南新乡·阶段练习）已知，，是空间中不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若与异面，则至多有一条与，都垂直
C．若，，，则一定平行于和
D．若，，，则存在同时垂直，
【答案】D
【分析】借助正方体模型，可依次判定选项.
【详解】在正方体中，
对于A，令，，，符合题意，但是，故A错误；
对于 B，令，，两直线异面，
在正方体中与平行的直线与异面直线都垂直，故B错误；
对于C，令为平面，为平面，，，
符合，，，但平面，故C错误；
对于D，令为平面，为平面，，，
符合，，，则，故D正确.
故选：D.
53．（2024·贵州·模拟预测）设m、n为空间中两条不同直线，、为空间中两个不同平面，下列命题中正确的为（ ）
A．若m上有两个点到平面的距离相等，则
B．若，，则“”是“”的既不充分也不必要条件
C．若，，，则
D．若m、n是异面直线，，，，，则
【答案】D
【分析】对于A，m与可以相交，直线m上关于交点对称的两点到平面的距离相等；对于B，C，根据面面垂直的判定及性质进行判断；对于D，根据面面平行的判定定理进行判断.
【详解】对于A，当直线m与相交时，直线m上关于交点对称的两点到平面的距离相等，故A错误；
对于B，若，，，则，又，所以；当时，，当时，，可以相交，所以“”是“”的充分不必要条件，故B错误；
对于C，若，，，m与n位置关系不固定，可以是各自平面内的任意直线，故C错误；
对于D，若m、n是异面直线，，，，，则在直线任取一点，过直线与点确定平面，，又，则，，，所以，又， ，所以，故D正确.
故选：D.
54．（多选）（23-24高一下·宁夏石嘴山·期中）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，有下列四个命题：
①若 则；
②若 则；
③若， 则；
④若 则.
其中正确命题的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】BC
【分析】根据线面，面面平行或垂直的位置关系，即可判断选项.
【详解】①没说明直线垂直于两平面的交线，所以不能判断，故①错误；
②根据面面平行的性质定理，若 ，则，故②正确；
③垂直于同一条直线的两个平面平行，所以若，则，
若，则，故③正确；
④若，则平行或相交，若，则或相交或，故④错误.
故选：BC
55．（23-24高一下·浙江杭州·期中）下列命题正确的是 .（填序号）
①若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行；
②垂直于同一条直线的两直线平行；
③两个平面互相垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，必垂直与另一个平面；
④过两个点与已知平面的垂直的平面可能不存在；
⑤过两条异面直线外任一点有且只有一条直线与这两条异面直线都垂直；
⑥到一个四面体的四个顶点的距离都相等的平面有7个.
【答案】①⑤⑥
【分析】根据题意，由直线与直线，直线与平面的位置关系，依次分析6个命题，即可判断．
【详解】对于①：
如图，，平面平面，所以，同理，所以，
又因为，所以，
又，所以，所以，
若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行，故①正确；
对于②：垂直于同一条直线的两条直线相交、平行或异面，故②错误；
对于③：根据面面垂直的性质定理可知，两个平面互相垂直，过一个平面内任意一点（不在交线上）作交线的垂线，必垂直与另一个平面，
当该点在交线上时，作交线的垂线，得不到该直线与另一个平面垂直，故③错误；
对于④：分3种情况讨论：若两点确定的直线在已知平面内，则过两点与一个已知平面垂直的平面有且只有一个；
若两点确定的直线不在平面内，但与已知平面不垂直，则过两点与一个已知平面垂直的平面有一个，
若两点确定的直线不在平面内且与已知平面垂直，则过两点与一个已知平面垂直的平面有无数个，
综上，过两点与一个已知平面垂直的平面有一个或无数个，一定存在，故④错误；
对于⑤：设直线、异面，过直线上一点作直线，
使得且，如下图所示：
设直线、确定平面，过空间中任意一点，有且只有一条直线，使得，
因为、，则，，又因为，则，
故过两条异面直线外任一点有且只有一条直线与这两条异面直线都垂直，故⑤正确；
对于⑥：到一个四面体的四个顶点的距离相等的平面，可以看作是与一个四面体四个顶点距离相等的平面，
可以是与两条对棱平行，这样的平面有3个，
也可以是与一个底面平行，与另一个顶点距离相等，这样的面有4个，
则到一个四面体的四个顶点的距离都相等的平面有7个，⑥正确．
故答案为：①⑤⑥
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是正确理解空间中线线、线面、面面的位置关系，利用反例及适度的数形结合是有效且快速的处理方法.
线面平行的判定
56．（23-24高一下·浙江·期中）如图，正边长为分别是边的中点，现沿着将折起，得到四棱锥，点为中点．
(1)求证：平面
(2)若，求四棱锥的表面积．
(3)过的平面分别与棱相交于点，记与的面积分别为、，若，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）取中点，连，利用中位线定理证明四边形是平行四边形，即可得到，结合线面平行的判定定理即可得证；
（2）通过勾股定理逆定理证明，，结合三角形面积公式即可运算求解；
（3）由题意得，，从而可将面积比转换为线段比的平方即可运算求解.
【详解】（1）取中点，连，
因为点为中点，
，且，
同时因为分别是边的中点，
，且，
四边形是平行四边形，
，
又平面平面，
平面.
（2），
，
，
根据对称性有，而，
所以，
所以，
所以，
而，
四棱锥的面积.
（3）
由（1）知平面，
平面平面
，，
又，，.
57．（23-24高一下·广东广州·期中）如图，在直三棱柱中，，D是BC边的中点，．
(1)求直三棱柱的体积；
(2)求证：面．
(3)一只小虫从点沿直三棱柱表面爬到点D，求小虫爬行的最短距离．
【答案】(1)144；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）根据给定条件，求出，再利用柱体体积公式计算得解.
（2）连接，借助三角形中位线，利用线面平行的判定推理即得.
（3）分情况把点及点所在的几何体表面展开置于同一平面，求出两点间的距离并比较得解.
【详解】（1）在直三棱柱中，由，得，
由，得，，
所以直三棱柱的体积.
（2）连接，连接，由矩形，得是的中点，而D是BC边的中点，
则，又平面，平面，
所以平面.
（3）当小虫从点沿爬到点D，把矩形与置于同一平面内，如图，
连接，过作于，交于点，
由，得，，，
，则，
因此；
当小虫从点沿正方形爬到点D，把正方形与置于同一平面内，
或把正方形与矩形置于同一平面内，如图，
在左图中，取中点，连，显然共线，则，，
而，因此，
在右图中，，；
当小虫从点沿矩形爬到点D，把矩形与置于同一平面内，
或把矩形与矩形置于同一平面内，如图，
在左图中，取中点，连，显然共线，则，，
而，因此，
在右图中，，，
显然，
所以小虫爬行的最短距离.
58．（2024·陕西西安·二模）如图，在直三棱柱中，，，M，N，P分别为，AC，BC的中点．
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过构造平行四边形，找到线线平行，利用线面平行的判定定理即可证明；
（2）转换顶点并结合椎体的体积公式即可证明.
【详解】（1）∵直三棱柱中，为的中点，
所以，且，
因为，分别，的中点，
∴，，
，，
∴四边形为平行四边形，∴，
又∵平面，平面，
故平面.
（2）因为直三棱柱，则平面平面，
因为平面，则点到底面的距离即为点到底面的距离，
又因为底面，则点到底面的距离即为长，
又因为N，P分别为AC，BC的中点，且，
则.
59．（2024高三·全国·专题练习）在直三棱柱中，，，，D是的中点.

(1)求证：平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，设与的交点为，连接，由线面平行的判定定理，即可证明；
（2）由条件可得为直线与所成的角，结合余弦定理，代入计算，即可得到结果．
【详解】（1）设与的交点为，连接,
∵为直三棱柱，且，则四边形为正方形，
∴为的中点，又D是的中点，
∴，又平面，平面，
∴平面．
（2）由（1）可知，，
∴为直线与所成的角（或其补角），
在中，，
由余弦定理可得，
即异面直线与所成角的余弦值为为．

60. （22-23高一下·全国·期末）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2，E F G分别为PC PD BC的中点.

(1)求证：PA平面EFG；
(2)求三棱锥P﹣EFG的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，连接，，说明不在平面，在平面，证明平行平面内的直线即可证明平面；
（2）利用转化法，求出底面面积和高，求三棱锥的体积．
【详解】（1）如图，取的中点，连接，，
，分别为，的中点，．
，分别为，的中点，
．．，，，四点共面
，分别为，的中点，
．
平面，平面，
平面．
（2）平面，平面，
．
为正方形，．，平面,
平面．
，，
．
，

线面平行的性质
61．（22-23高一下·新疆·阶段练习）如图，四边形为长方形，平面，，点 分别为的中点，设平面平面．

(1)证明：平面；
(2)证明：；
(3)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）取的中点，连接，根据题意证得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面；
（2）由平面，结合线面平行的性质定理，即可证得；
（3）利用等体积转化为，即可求解.
【详解】（1）证明：取的中点，连接，
因为点分别为的中点，所以且，
又因为四边形为长方形，所以且，
所以且，所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面.
（2）证明：由平面，
因为平面，且平面平面，
所以.
（3）解：由平面，则点到平面的距离等于到平面的距离，
因为平面，所以为三棱锥的高，
所以三棱锥的体积为：
.

62．（22-23高一下·广西河池·阶段练习）如图所示，在多面体中，四边形，，ABCD均为边长为2的正方形，E为的中点，过，D，E的平面交于点F．

(1)证明：；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线面平行的性质定理即可证明；
（2）由等体积法求解即可.
【详解】（1）∵，，∴四边形为平行四边形，∴，
又平面，平面，∴平面，
∵平面，平面平面，∴．
（2）∵E为中点，∴点E到平面的距离d为点到平面距离的一半，
又点到平面距离等于点A到平面的距离，
∴点E到平面的距离，又，
∴．
63．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在四棱锥中，//平面PAD，，，，点N是AD的中点．求证：

(1)//；
(2)求异面直线PA与NC所成角余弦值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据线面平行的性质定理即可证明；
（2）由线线平行，以及异面直线所成角的定义即可求解平面角，由余弦定理即可求解.
【详解】（1）在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，BC 平面ABCD，
平面ABCD∩平面PAD＝AD，
∴BC∥AD，
（2）由于点N是AD的中点，BC∥AD，，所以,故四边形为平行四边形，则 ,
故或其补角即为异面直线PA与NC所成角，
在中，,
故异面直线PA与NC所成角的余弦值为
64．（2023高一·全国·专题练习）如图，在五面体中，平面平面，四边形为直角梯形，其中，，，，．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】根据条件结合线面平行的判定定理得到 平面，即可由线面平行的性质得到.
【详解】因为，平面，平面，
所以 平面，
又 平面，
且平面平面，
．
65．（22-23高一下·北京朝阳·期中）如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点．

(1)求证：；
(2)求证：平面；
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意利用线面平行的性质定理即可证明；
（2）取的中点，连接，由（1）可证明是平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可得平面.
【详解】（1）根据题意可得，平面，
平面，且平面平面，
由线面平行的性质定理可得；
（2）取的中点为，连接，如下图所示：

由是的中点，是的中点，可得，且；
由（1）知，且，所以，且；
所以四边形是平行四边形，
即，又平面，平面；
所以平面.
面面平行的判定
66．（23-24高一下·广东广州·期中）由直四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形ABCD为平行四边形，O为AC与BD的交点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)设平面与底面ABCD的交线为l，求证：.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）取的中点，连接，，结合四棱柱的几何性质，由线线平行证明即可；
（2）由线线平行证平面，结合平面即可证平面平面；
（3）由线面平行证线线平行即可．
【详解】（1）取的中点，连接，，
是四棱柱，平行且等于，
四边形为平行四边形，，
又平面，平面，
平面；
（2）平行且等于，平行且等于，
平行且等于，
四边形是平行四边形，，
平面，平面，
平面，
由（1）得平面且，、平面，
平面平面；
（3）由（2）得平面，
又平面，平面平面，
．
67．（2023高三·全国·专题练习）如图，在正方体中，E，F分别为，中点，G，H分别为，中点，O为平面中心．证明：平面‖平面；
【答案】证明见解析
【分析】根据中位线的性质和平行四边形的性质得到‖，‖，然后根据面面平行的判定定理证明即可．
【详解】连接，，
∵为正方体，为平面的中心，
∴‖，‖，，为中点，
∵为中点，为中点，
∴‖‖，，
∴四边形为平行四边形，‖，
∵分别为中点，分别为中点，
∴‖，‖，
∴‖，
∵平面，平面，
∴‖平面，∥平面，
∵，平面，
∴平面∥平面．
68．（2023高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，，的中点．证明：平面平面；
【答案】证明见解析
【分析】由线线平行即可证明面面平行.
【详解】因D，E，F分别是棱，，的中点．
且图形为直三棱柱，则，
得四边形为平行四边形，．
又平面，平面，则平面．
又平面ABD，，
故平面平面
69．（2024高三·全国·专题练习）如图，在多面体中，是正方形，，，，为棱的中点．求证：平面平面.
【答案】证明见解析
【分析】连接交于，连接，即可得到，从而证明平面，再说明四边形是平行四边形得到，即可得到平面，从而得证.
【详解】连接交于，连接，则为的中点，
因为为的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为，，所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为，平面，所以平面平面．
70．（23-24高二上·四川南充·阶段练习）如图，已知点P是正方形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．

(1)求证：平面PAD；
(2)若PB中点为Q，求证：平面平面PAD．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】
（1）取PD的中点E，连接AE，NE，证明四边形AMNE为平行四边形，根据线面平行的判定定理即得；
（2）证明平面PAD，平面PAD，进而即得.
【详解】（1）
取PD的中点E，连接AE，NE，

因为N是PC的中点，所以且，
又M是AB的中点，ABCD是正方形，所以且，
所以且，所以四边形AMNE为平行四边形，所以，
又平面PAD，平面PAD，
所以平面PAD．
（2）
因为Q为PB的中点，M是AB的中点，
所以，又平面PAD，平面PAD，
所以平面PAD，
又平面PAD，，MQ，平面MNQ，
所以平面平面PAD．
面面平行的性质
71．（2023·广西柳州·模拟预测）阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体．如图，四棱锥P－ABCD就是阳马结构，PD⊥平面ABCD，且，，．
(1)证明：平面；
(2)若，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）取中点为,证明，，进而根据线面平行以及面面平行的判定定理证明平面平面，然后根据面面平行的性质定理，即可证得线面平行；
（2）由已知可推出，进而推得.根据等体积法可推得，然后根据体积公式求解，即可得出答案.
【详解】（1）
如图，取中点为,连接.
因为，所以分别为的中点.
又为的中点，所以，.
又，所以.
因为平面，平面，
所以平面.
同理可得，平面.
因为平面，平面，，
所以，平面平面.
因为平面，所以平面.
（2）因为，所以.
因为
，
所以 .
72．（2023高一下·全国·专题练习）如图，平面，平面，，，，.求证：.
【答案】证明见解析
【分析】根据面面平行的判定可得平面平面，由面面平行性质可证得结论.
【详解】，平面，平面，平面，
平面，，平面，平面平面，
又平面平面，平面平面，.
73．（19-20高一·浙江杭州·期末）如图，点S是所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且．求证：平面．

【答案】证明过程见解析
【分析】作出辅助线，得到线线平行，进而证明出线面平行，面面平行，从而证明出线面平行.
【详解】在上取，使得，则，
因为平面，平面，
所以平面，
因为，所以，则，
又中，，故，
因为平面，平面，
所以平面，
因为平面，平面，，
所以平面 平面，
因为平面，所以 平面.

74．（19-20高二下·湖南岳阳·期中）如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，二面角A－CD－F为60°，，CD⊥DE，AD＝2，DE＝DC＝3，CF＝6．

(1)求证：平面ADE；
(2)求直线AC与平面CDEF所成角的正弦值
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【分析】
（1）证明出平面平面，利用面面平行的性质可证得结论成立；
（2）分析可知二面角的平面角为，过点在平面内作，垂足为点，证明出平面，可得出直线与平面所成角为，计算出、的长，即可求得的正弦值，即为所求.
【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴，
又∵平面ADE，平面ADE，∴平面ADE，
∵，平面ADE，平面ADE，∴平面ADE，
又∵，BC，平面BCF，∴平面平面ADE，
而平面BCF，∴平面ADE；

（2）∵CD⊥AD，CD⊥DE，
∴∠ADE即为二面角A－CD－F的平面角，∴∠ADE＝60°，
又∵AD∩DE＝D，平面ADE，平面ADE，∴CD⊥平面ADE，
又∵平面CDEF，∴平面CDEF⊥平面ADE，作AO⊥DE于O，连接CO，
∵平面CDEF⊥平面ADE，平面CDEF∩平面ADE＝DE，平面ADE，
则AO⊥平面CDEF，所以直线AC与平面CDEF所成角为∠ACO，
可知，，
所以．
因此，直线AC与平面CDEF所成角的正弦值为．
75．（22-23高一下·黑龙江鹤岗·期末）如图，在三棱锥中，底面，.点、、分别为棱、、的中点，是线段的中点，，.

(1)求证：平面；
(2)求点到直线的距离；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，连接、，证明出平面平面，利用面面平行的性质可证得结论成立；
（2）求出三边边长，利用余弦定理结合同角三角函数的基本关系求出，由此可得出点到的距离为，即为所求.
【详解】（1）证明：取的中点，连接、，如下图所示：

因为为的中点，为的中点，则，即，
同理可得，所以，，所以，，
因为平面，平面，所以，平面，
因为、分别为、的中点，所以，，
因为平面，平面，所以，平面，
因为，、平面，所以，平面平面，
因为平面，因此，平面.
（2）解：因为平面，、、平面，则，，，
因为，，则，
因为、分别为、的中点，则，
因为、分别为、的中点，则且，
因为，则，
由（1）可知，，所以，，
因为，则，
因为为的中点，则，
所以，，
所以，，
故，
因此，点到直线的距离为.
线面垂直的判定
76．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）如图（1），已知菱形中，，沿对角线将其翻折，使，设此时的中点为，如图（2）.
图1 图2
(1)求证：点是点在平面上的射影；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）依题意可得，连接，利用勾股定理逆定理证明，即可得到平面，从而得证；
（2）设点到面的距离为，利用等体积法求出，设直线与平面所成角为，则，即可得解.
【详解】（1）在菱形中，，
所以，均为等边三角形，
因为，为的中点，所以，
又，所以，
连接，则，
又因为，
所以，所以，所以，
又因为，所以，所以，
又，且，平面，
所以平面，所以点是点在平面上的射影；
（2）设点到面的距离为，又菱形边长为，
则的面积，所以；
由的面积，由（1）知平面，，
所以，所以，
设直线与平面所成角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值．
77．（23-24高一下·福建福州·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，E是的中点．
(1)证明：平面；
(2)若直线与平面所成的角和与平面所成的角相等，求四棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，证明，由线面垂直的性质证明，由线面垂直的判定定理即可得证；
（2）思路一：由线面角相等得，由等面积法求得，再求得底面梯形面积即可求解，思路二：由线面角相等得，由等体积法得，结合梯形面积公式、棱锥体积公式即可得解.
【详解】（1）连接AC，
由，，，∴．
∵，E是的中点，所以．
∵平面，平面，∴．
又∵，平面，∴平面．
（2）过点B作交于G，交于F，
则由（1）可得平面，
∴平面．
∴为直线与平面所成的角，
又∵平面，∴为直线与平面所成的角．
又∵在和中，，是公共边，
∴，∴．
又∵，，∴四边形是平行四边形，
∴．∴．
在中，，，∴，
∴由得，即，
又∵梯形的面积为，
∴四棱锥的体积为；
第（2）问解法二：
因为平面，所以是在平面内的射影，
∠PBA是与平面所成的角，
设，则．
设B到平面的距离为d，与平面所成的角为，
则，
因为与平面所成的角与与平面所成的角相等，所以．
如图，在梯形中，
过C作于H，则，，所以，
由可得，所以．
过E作于F，则．
由，得，
即，所以，解得．
又∵梯形的面积为，
∴四棱锥的体积为．
78．（22-23高二下·天津红桥·期末）如图，六棱锥的底面是边长为1的正六边形，平面，.
(1)求证：直线平面；
(2)求证：直线平面；
(3)求直线与平面所的成角.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）通过证明结合线面平行判定定理可证；
（2）由勾股定理证得，再结合可证；
（3）先说明即为直线与平面所的成角，再求得正切值可解.
【详解】（1）证明：∵正六边形，∴，，
∴，∴，
∵平面，平面，
∴直线平面.
（2）在中，，易得，
在中，，，
∴,∴，
因为平面， 平面，故，
∵,平面，故直线平面.
（3）∵平面，
∴即为直线与平面所的成角，
在中，，，∴，
∴，
即为直线与平面所的成角为.
79．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，四边形是菱形，，是棱上的动点.证明：平面.
【答案】证明见解析
【分析】
先证平面，得，再证，可证平面.
【详解】
因为四边形是菱形，所以.
因为，，平面，且，所以平面.
因为平面，所以.
因为，所以，即.
因为，平面，且，所以平面.
80．（23-24高二上·上海长宁·期末）如图，已知正四棱柱，
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】
（1）根据正四棱柱特点结合线面垂直的判定即可证明；
（2）通过平行四边形的性质并结合面面平行的判定即可证明.
【详解】（1）因为正四棱柱，所以平面，
且四边形为正方形，所以，
又因为平面，所以，
因为，且平面，所以平面.
（2）因为，，所以四边形为平行四边形，
所以，又因为平面，平面，
所以平面，
因为，，所以四边形为平行四边形，
所以，又因为平面，平面，
所以平面，
又因为，且平面，所以平面平面.
线面垂直的性质
81．（20-21高一·全国·课后作业）如图，已知正方体A1C．
(1)求证：A1C⊥B1D1；
(2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】(1)线线垂直的思路是证明直线垂直于另一直线所在的平面.
(2)直线与直线的平行，利用线面垂直的性质垂直于同一平面的两直线平行.
【详解】（1）如下图，连接A1C1．
因为CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1 平面A1B1C1D1，
所以CC1⊥B1D1．因为四边形A1B1C1D1是正方形，
所以A1C1⊥B1D1．又因为CC1∩A1C1＝C1，
所以B1D1⊥平面A1C1C．又因为A1C 平面A1C1C，所以B1D1⊥A1C．
（2）如上图，连接B1A，AD1．因为B1C1= AD，B1C1∥ AD
所以四边形ADC1B1为平行四边形，所以C1D∥AB1，因为MN⊥C1D，所以MN⊥AB1．
又因为MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，所以MN⊥平面AB1D1．由（1）知A1C⊥B1D1．
同理可得A1C⊥AB1．又因为AB1∩B1D1＝B1，所以A1C⊥平面AB1D1．所以A1C∥MN．
故答案为：A1C⊥B1D1；MN∥A1C.
82．（2022高三·全国·专题练习）如图，在多面体中四边形是正方形，平面，平面，.证明：平面平面.
【答案】证明见解析
【分析】先证明可得平面，再证明平面，由面面平行判定定理得证.
【详解】证明：∵平面，平面，
∴.
∵平面，平面，
∴平面.
∵四边形是正方形，
∴.
∵平面，平面，
∴平面.
∵平面，平面，且，
∴平面平面.
83．（20-21高一下·全国·课后作业）如图所示，在三棱锥中，平面，是侧面上的一点，过作平面的垂线，其中，证明：平面．
【答案】证明见解析
【分析】利用线面垂直的性质定理和线面平行的判定定理证明.
【详解】因为平面，平面，
所以．
又平面，平面，
所以平面．
84．（2021高三·全国·专题练习）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，PC⊥平面ABCD，PB＝PD，点Q是棱PC上异于P，C的一点．
（1）求证：BD⊥AC；
（2）过点Q和AD的平面截四棱锥得到截面ADQF(点F在棱PB上)，求证：QF∥BC.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）连结AC，交BD于点O，则O为BD的中点，由条件证明BD⊥平面PAC得出结论；
（2）证明AD∥平面PBC，根据线面平行的性质及线线平行的传递性得出结论；
【详解】（1）因为PC⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以BD⊥PC.
记AC，BD交于点O，连结OP.
因为平行四边形对角线互相平分，则O为BD的中点．
又△PBD中，PB＝PD，所以BD⊥OP.
又PC∩OP＝P，PC，OP 平面PAC.
所以BD⊥平面PAC，又AC 平面PAC，所以BD⊥AC.
（2）因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC.
又AD平面PBC，BC 平面PBC，所以AD∥平面PBC.
又AD 平面ADQF，平面ADQF∩平面PBC＝QF，所以AD∥QF，
所以QF∥BC.
85．（20-21高一上·陕西延安·期末）如图所示，为的直径，C为上一点，平面，于E，于F.求证：平面.
【答案】证明见解析
【解析】C为⊙O上点，所以，根据条件平面，可得，从而面，则，然后可证明平面，即得到，从而得证.
【详解】证明：为⊙O的直径，C为⊙O上点，所以
因为平面，平面，所以
又,所以 面
又平面，则
又，，所以平面
又平面，所以
又因为，
所以平面
【点睛】关键点睛：本题考查线面垂直的证明，解答本题的关键是由线面垂直得线线垂直，从而得到线面垂直，即先证明面，从而得到，再证明平面，得到，属于中档题.
面面垂直的判定与性质
86．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在四棱柱中，是边长为2的菱形，且，侧面底面为中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由已知易证，利用线面垂直可得，进而可证，利用线线垂直可得平面，可证结论成立；
（2）求得的面积，到平面距离，利用可求体积.
【详解】（1）取的中点，连结，
由为中点，知 ，
是边长为的菱形且为中点，
，故，
又由平面，
平面平面，
又四边形为平行四边形，
，
又平面，
平面平面平面平面.
（2）由（1）知的面积为
侧面底面，又，
到平面距离为，即到平面距离为
三棱锥的体积.
87．（23-24高一下·浙江宁波·期中）如图，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点．
(1)求圆柱的侧面积和体积；
(2)证明：平面平面；
(3)若是的中点，点在线段上，求的最小值．
【答案】(1)侧面积，体积
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）确定圆柱的底面半径和高，结合圆柱的侧面积与体积公式计算即可求解；
（2）根据线面垂直的判定定理可得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明；
（3）如图，确定当三点共线时取得最小值.求出，结合余弦定理计算即可求解.
【详解】（1）圆柱的底面半径，高，
圆柱的侧面积．
圆柱的体积．
（2）由题意知，平面，又平面，
所以，而平面，
所以平面，又平面，
故平面平面；
（3）将绕着旋转到使其与平面共面，且在的反向延长线上．
当三点共线时取得最小值，为.
∵，，
，，
∴在三角形中，由余弦定理得，
∴的最小值等于．
88．（23-24高一下·浙江杭州·期中）如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，.
(1)证明：平面平面；
(2)若，与平面的夹角为，求二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设，连接，即可证明、，从而得到平面，即可得证；
（2）过点作交于点，即可证明平面，则即为与平面所成的角，即可求出，过点作交于点，连接，即可证明平面，从而得到即为二面角的平面角，再由锐角三角函数计算可得.
【详解】（1）设，连接，因为为正方形，所以且为的中点，
又，所以，
又，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）在平面中过点作交于点，
因为平面，又平面，
所以，
又，平面，所以平面，
所以即为与平面所成的角，即，
又，所以，
过点作交于点，连接，
又平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，
所以即为二面角的平面角，
又，所以
因为为正方形，所以，则，
所以，即，解得，
又平面，平面，所以，
所以，
所以，
所以二面角的正弦值为.
89．（23-24高一下·河南·期中）如图1，在矩形中，，是与的交点，将沿BE折起到图2中的位置，得到四棱锥.
图1 图2
(1)证明：平面平面；
(2)若，求三棱锥的体积的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据，证得，得出，得到，结合线面垂直的判定定理与面面垂直的判定定理，即可得证；
（2）由三棱锥的体积取最大值时需平面，求得，再求得，结合锥体的体积公式，即可求解.
【详解】（1）在矩形中，，是与的交点，
可得，所以，
因为，且，
所以，可得，所以，
在图（2）中，可得，
因为，且平面，所以平面；
又因为平面，所以平面平面；
（2）若三棱锥的体积取最大值，则需平面，
又因为，且，所以，
可得，所以，
在图（1）中，连接，由,可得相似比为，
设边的高为，边的高为，可得，
因为，可得，
则，
又由，
所以三棱锥的体积.
90．（2024·全国·模拟预测）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，四边形为矩形，平面平面，为线段的中点，且.

(1)求证：平面；
(2)若，，直线与平面所成的角为，求点E到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据面面垂直的性质以及直角三角形的性质得线线垂直，即可利用线面垂直的判定定理证明即可
（2）根据已知条件求，，利用等体积法即可求解点到平面的距离.
【详解】（1）在中，为线段的中点，且，
∴，∴为直角三角形，且，∴.
∵底面为平行四边形，∴，∴.
∵四边形为矩形，∴，
又平面平面，平面平面，平面，
∴平面.
∵平面，∴.
∵，，平面，∴平面.
（2）∵平面，∴，为直线与平面所成的角，∴，
∴，，∴.
由（1）知平面，又平面，∴.
∵，，∴，
∴.
在中，，，∴.
连接，由于为线段的中点，则，
由于，
设点E到平面的距离为d，
则，∴，即点到平面的距离为.

动点探索问题
91．（2024高一下·全国·专题练习）如图，将边长为的正方形沿对角线折起使得点到点的位置，连接，为的中点.
(1)若平面平面，求点到平面的距离；
(2)不考虑点与点重合的位置，若二面角的余弦值为，求的长度.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用等体积法求解点到平面的距离；
（2）根据二面角的定义找出二面角的平面角，结合余弦值得出，利用勾股定理可得答案.
【详解】（1）连接，则，
平面平面，平面平面＝AC，平面，
平面，又平面，
，又正方形的边长为，
，，
设点到平面的距离为，则，
，
，即点到平面的距离；
（2）取的中点，连接，，
，
，，
为二面角的平面角，，
由题可知与全等，
在中，，，
， ，
，.
92．（23-24高一下·浙江宁波·期中）如图，在正方体中，，点E在棱上，且.
(1)求三棱锥的体积；
(2)在线段上是否存在点F，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
(3)求二面角的余弦值.
【答案】(1)
(2)存在，
(3)
【分析】（1）过作，垂足为，可得中为高，求出高和底面，进而可得体积；
（2）假设在线段上存在点F，使得平面，取的三等分点，得到面面，取的三等分点（靠近），再通过线面平行的性质得到，进而可得的位置；
（3）延长交于点，作，垂足为，连接可得为二面角的平面角，在中求解即可.
【详解】（1）过作，垂足为，
因为，所以面即面
明显面，
所以面，
又，，
所以
（2）假设在线段上存在点F，使得平面，
取的三等分点，使，则四边形是平行四边形，
所以，又面，面，
所以面，又面，，
所以面面，又面，
所以面，
取的三等分点（靠近），则，
所以面面，又面，面，
所以，又为的中点，
所以；
（3）延长交于点，作，垂足为，连接，则面，
从而，
所以为二面角的平面角，
在中，，
所以，
所以.
93．（23-24高一下·浙江宁波·期中）如图，在四面体中，，分别是的中点.
(1)求证：；
(2)在上能否找到一点，使平面？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由；
(3)若平面平面，且，求直线与平面所成角的正切值.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
(3)
【分析】（1）利用三线合一证得，再利用线面垂直的判定定理与性质定理即可得证；
（2）找到的中点，利用线面平行的判定定理即可得解；
（3）利用面面垂直的性质定理证得平面，进而得到是直线与平面所成角，再分别求得，从而得解.
【详解】（1）取的中点，连接，
在中，，同理，
而平面，平面，
又平面；
（2）在上能找到一点，使平面，此时，证明如下：
记的中点为，连接，
因为是的中点，是的中点，，
平面平面，平面，
的中点即为所求，此时.
（3）由（1）知，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
取中点，连接，易知故平面，
故是直线与平面所成角，
因为，所以是等边三角形，
设，则，，
在中，，，
所以，
故，
所以直线与平面所成角的正切值为.
94．（23-24高一下·重庆·期中）如图所示正四棱锥中，，，为侧棱上的点，且，为侧棱的中点．
(1)求正四棱锥的表面积；
(2)证明：平面；
(3)侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由．
【答案】(1)
(2)证明见详解
(3)存在，
【分析】（1）根据棱锥的表面积的计算公式即可求出结果；
（2）设，连接，可知∥，结合线面平行的判定定理分析证明；
（3）分析可得在侧棱上存在一点，使平面，满足．证得平面平面，根据面面平行的性质定理即可证出结论.
【详解】（1）因为正四棱锥中，，，
则侧面的高，
所以正四棱锥的表面积．
（2）设，连接，
因为分别为的中点，则∥，
且平面，平面，
所以平面.
（3）
在侧棱上存在一点，使平面，满足．
理由如下：
取中点为，因为，则，
过作的平行线交于，连接．
由于，即．则，
且平面，平面，所以平面，
由（2）可知：平面，
因为，平面，可得平面平面，
且平面，所以平面.
95．（23-24高一下·湖南邵阳·期中）知正方体中，、分别为对角线、上的点，且
(1)求证：平面；
(2)若是上的点，的值为多少时，能使平面平面？请给出证明.
【答案】(1)证明见解析
(2)当的值为时，能使平面平面，证明见解析
【分析】（1）连结并延长与的延长线交于点，可得，结合线面平行的判定定理分析证明；
（2）根据题意先证平面，结合（1）平面，分析证明.
【详解】（1）连结并延长与的延长线交于点，
因为四边形为正方形，所以，
故，所以，
又因为，所以，
所以.
又平面，平面，
故平面.
（2）当的值为时，能使平面平面.
证明：因为，即有，故.所以.
又平面，平面，所以平面，
又平面，，平面，
所以平面平面.
二面角问题
96．（2024高一下·全国·专题练习）如图①梯形ABCD中，，，，且，将梯形沿BE折叠得到图②，使平面平面BCDE，CE与BD相交于O，点P在AB上，且，R是CD的中点，过O，P，R三点的平面交AC于Q．
(1)证明：Q是AC的中点；
(2)证明：平面BEQ；
(3)M是AB上一点，已知二面角为45°，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）构造线面平行证明线线平行，结合中位线定理证明即可.
（2）利用已知推出线线垂直，再证线面垂直即可.
（3）构造二面角的平面角求出比例关系即可.
【详解】（1）在图①中过C作，则，
图②中，连接BD，CE，
又∵，∴，∴，∴且．
∴，∴，
在中，，
∴，又平面ACD，平面ACD，
∴平面ACD，平面平面，
∴，∴，
又R是CD的中点，∴Q是AC的中点；
（2）如图，在直角梯形BCDE中，，∴
中，，，∴
∴，∴
又∵平面平面BCDE，平面平面BCDE，
∴平面BCDE，平面BCDE，∴，
又，平面ACE，
又平面ACE，∴，
在中，，，∴
∴，又由（1）Q是AC的中点，
∴，，∴平面ACD，
又平面ACD，∴
又∵，，∴平面ADE，
∴，又，∴平面BEQ；
（3）如图，过M作，过H作于点G，连结MG，
则∠MGH为二面角的平面角，∴，
设，∴
又，∴
在中，，
由得，即，
∴，∴
97．（19-20高一·全国·课后作业）如图，在矩形中，，，E为的中点，把和分别沿AE，DE折起，使点B与点C重合于点P．
(1)求证：平面⊥平面；
(2)求二面角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线线垂直得到线面垂直，进而得到线面垂直；
（2）作出辅助线，得到线线垂直，得到就是二面角的平面角，结合边长求出二面角的大小.
【详解】（1）由⊥，得⊥，同理，⊥．
又∵，平面，
∴⊥平面．
又平面，
∴平面⊥平面．
（2）如图所示，取的中点F，连接，
∵四边形为矩形，
∴，
因为，所以⊥，⊥，
故就是二面角的平面角．
又⊥平面，平面，
所以⊥，
∵，
∴，
∴．
∴二面角P－AD－E的大小为．
98．（22-23高一下·河南商丘·期末）如图，在四棱锥中，底面是菱形.

(1)若点是的中点，证明：平面；
(2)若，，且平面平面，求二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接交于，连接，根据线面平行的判定定理即可证明结论；
（2）设为的中点，连接，证明平面，从而作出二面角的平面角，解直角三角形即可求得答案.
【详解】（1）连接交于M，连接，

因为底面是菱形，所以为的中点，
又点是的中点，故为的中位线，
故，而平面，平面，
故平面；
（2）设为的中点，连接，因为，故，
因为平面平面，且平面平面，
平面，所以平面，而平面，
故，
底面是菱形，故，作交于N，
则，且N为的中点，
连接，因为平面，
故平面，平面，
故，
则即为二面角的平面角，
设，则，
，则，则，
由于为的中点，N为的中点，故，则，
而平面，平面，故，
则
所以，
即二面角的正弦值为.
99．（22-23高一下·新疆伊犁·期末）如图：已知直三棱柱中，交于点O，，.

(1)求证：；
(2)求二面角的正切值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意可证平面，进而可得，结合证明平面，即可得结果；
（2）可知二面角即为二面角，根据题意结合三垂线法可得二面角的平面角为，运算求解即可.
【详解】（1）因为平面ABC，平面ABC，可得，
由题意可知：，即，
且，平面，
所以平面，且平面，所以，
又因为，则是正方形，可得，
且，平面，所以平面，
且平面，所以 .
（2）连接，可知平面即为平面，则二面角即为二面角，
取的中点，连接，
因为，且为的中点，则，
又因为平面ABC，平面ABC，可得，
，平面，所以平面，
且平面，则，
所以二面角的平面角为，
在中，，可得，
所以二面角的正切值为.

100．（22-23高一下·广东云浮·阶段练习）如图，四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为菱形，且有，，，E为PC中点．
(1)证明：平面BED；
(2)求二面角的平面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面平行的判断定理，利用中位线证明，即可证明；
（2）根据（1）的结果，可证明平面ABCD，作出二面角的平面角，
即可证明.
【详解】（1）设AC与BD交于点O连接EO，因为E，O分别为PC，AC的中点，
所以，
又因为平面，平面BED，
所以平面BED；
（2）过O作于F，连接EF，
因为，且平面
所以平面ABCD，
平面ABCD，所以，
又，平面，
所以平面EOF，又平面EOF，所以，
即∠EFO为二面角的平面角，
由，是边长为1的等边三角形，即，
在直角三角形EOF中，，即，．
所以所求二面角的正弦值为．
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