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转化思想
转化思想：转化思想通常是指将未知问题转化为已知问题，将抽象问题转化为具体问题，将实际问题转化为数学问题的一种数学思想方法，这种转化思想也常常发生在不同的数学问题之间互相转化之中。它是分析问题、解决问题的有效途径，包含了数学特有的数、式、形的相互转换，也包含了心理达标的转换。“曹冲秤象”“阿基米德测王冠”的故事就体现了转化思想，曹冲把秤大象的重量转化为秤船上石块的重量，阿基米德用王冠排开水的体积测王冠的体积。
转化思想在中考数学中的应用范围
1.代数式中的转化
在代数式中，经常需要通过变形、化简等手段，将复杂的式子转化为简单的式子。比如，对于分式，可以将其转化为乘法形式，对于多项式，可以将其因式分解或配方。例如数学课上用甲、乙、丙三种纸片拼成大正方形，根据图形面积得到乘法公式，这一过程运用了转化思想，把图形问题转化为代数公式问题。又如小华模仿拼图形，根据图形面积写出多项式因式分解的式子，也是将图形与代数式进行转化。
2.方程中的转化
在解方程时，经常需要通过消元、降次、换元等手段，将复杂的方程转化为简单的方程。例如解分式方程时，在方程两边同乘，把原方程化为整式方程，体现了转化思想；解方程时，将视为一个整体，设，则原方程化为一元二次方程，运用换元法达到降次转化的目的，体现了整体思想和转化思想。
3.几何中的转化
在几何中，经常需要通过添加辅助线、构造辅助图形等手段，将复杂的问题转化为简单的问题。比如在证明三角形全等的定理时，可以通过构造辅助线来证明两个三角形全等。
4.函数中的转化
在函数中，经常需要通过变换函数形式、构造函数等手段，将复杂的问题转化为简单的问题。比如在研究二次函数的性质时，可以将其转化为顶点式形式来研究其对称轴和最值。
解题思路：
1.明确目标问题
面对中考数学题目，首先要清晰地识别问题的本质和求解目标，确定这是一个关于代数式化简、方程求解、几何证明还是函数分析等哪方面的问题。例如在看到一个复杂的方程时，明确要将其转化为可求解的简单方程形式。
2.寻找转化方向
根据问题的类型和已知条件，思考可以将问题转化到哪个已知的、熟悉的知识领域或模型中。如遇到几何图形的面积问题，可考虑通过割补法转化为规则图形的面积计算；对于含有多个未知数的方程，考虑通过消元法转化为一元方程。
3.选择合适方法
根据转化方向，选择具体的转化方法。在代数式中可以采用变形、化简、因式分解等方法；方程中可运用消元、降次、换元等；几何里可添加辅助线、构造全等或相似图形；函数中可进行函数形式的变换等。比如在解方程时，如果发现方程中有重复出现的式子，可采用换元法简化方程。
4.实施转化并求解
运用选定的方法对问题进行转化，将复杂问题逐步转化为简单问题，然后按照熟悉的方法进行求解。在求解过程中要注意每一步的合理性和准确性。
一．选择题（共10小题）
1．（2024 渭源县模拟）已知反比例函数在每一个象限内y随x的增大而增大，则k的值可能是（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．
【分析】由题意可得k+2＜0，所以k＜﹣2，所以选A．
【解答】解：∵反比例函数在每一个象限内y随x的增大而增大，
∴k+2＜0，
∴k＜﹣2，
只有选项A符合题意．
故选：A．
2．（2024 新密市模拟）如图，已知 ABCD中，E是边AD的中点，BE交对角线AC于点F，那么S△AFE：S四边形FCDE为（　　）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6
【分析】根据AE∥BC，E为AD中点，找到AF与FC的比，则可知△AEF面积与△FCE面积的比，同时因为△DEC面积＝△AEC面积，则可知四边形FCDE面积与△AEF面积之间的关系．
【解答】解：连接CE，∵AE∥BC，E为AD中点，
∴．
∴△FEC面积是△AEF面积的2倍．
设△AEF面积为x，则△AEC面积为3x，
∵E为AD中点，
∴△DEC面积＝△AEC面积＝3x．
∴四边形FCDE面积为5x，
所以S△AFE：S四边形FCDE为1：5．
故选：C．
3．（2024 泸州校级二模）设x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两根，则（　　）
A． B． C．3 D．5
【分析】先求出（）2，再求其算术平方根即可．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两根，
∴x1+x2＝3，x1 x2＝1，
而（）2＝x1+x2+23+2＝5，
且0，0故0，
∴，
故选：B．
4．（2024 甘谷县校级三模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，BC＝7，BD＝4，则点D到AB的距离是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．7
【分析】由角平分线的性质，线段的和差，等量代换，求得点到直线的距离为3．
【解答】解：过点D作DE⊥AB交AB于点E，
如图所示：
∵∠C＝90°，
∴DC⊥AC，
又∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，
∴CD＝ED，
又∵BC＝BD+DC，BC＝7，BD＝4，
∴DC＝BC﹣BD＝7﹣4＝3，
∴ED＝3，
即点D到AB的距离是3，
故选：A．
5．（2024 重庆模拟）在多项式﹣（2x+1）+（3x﹣2）﹣（4x+3）+（5x﹣4）中，每次任选其中的m个括号改变选定的括号前面的符号（1≤m≤4，m为整数，将“+”变为“﹣”，“﹣”变为“+”），化简后再求绝对值，称这种操作为“变号绝对”操作，并将绝对值化简后的结果记为“A”．例如：
A＝|+（2x+1）+（3x﹣2）+（4x+3）+（5x﹣4）|＝|14x﹣2|，当x时，A＝14x﹣2，当x时，A＝﹣14x+2，所以A＝14x﹣2或者A＝﹣14x+2．
①至少存在一种“变号绝对”操作，使得操作后化简的结果是单项式；
②若一种“变号绝对”操作，其化简的结果是6x﹣k，则x；
③所有可能的“变号绝对”操作后所得代数式化简后的结果一共12种．
其中正确的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据阅读内容了解“变号绝对”的方法，根据要求调换运算符号求结果即可．
【解答】解：①﹣（2x+1）+（3x﹣2）﹣（4x+3）+（5x﹣4）改变后两个括号可以消去x值，
A＝|﹣（2x+1）+（3x﹣2）+（4x+3）﹣（5x﹣4）|＝|﹣2x﹣1+3x﹣2+4x+3﹣5x+4|＝4，
至少存在一种“变号绝对”操作，使得操作后化简的结果是单项式，正确；
②若一种“变号绝对”操作，其化简的结果是6x﹣k，
B＝|（2x+1）+（3x﹣2）﹣（4x+3）+（5x﹣4）|＝|2x+1+3x﹣2﹣4x﹣3+5x﹣4|＝|6x﹣8|，
则x，正确；
③所有可能的“变号绝对”操作后所得代数式化简后的结果一共有8种，不正确．
故选：C．
6．（2024 瑶海区一模）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝9，以点A为圆心、6为半径的圆上有一个动点P．连接AP、BP、CP，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【分析】在AB上截取一点F，使AF＝4，可得△FAP∽△PAB，进而得出PFPB，从而转化成求PF+CP的最小值．
【解答】解：在AB上截取一点F，使AF＝4，
∵AB＝9，AP＝6，
∴，，
又∵∠FAP＝∠PAB，
∴△FAP∽△PAB，
∴，
∴PFPB，
∴则PF+CP，
要使的值最小，
只要PF+CP的值最小，
∴当C、P、F三点在同一条直线上，即P为CF与⊙A的交点时，PF+CP的值最小为CF的长，
在Rt△AFC中，
∵AF＝4，AC＝9，
∴FC，
即的最小值为．
故选：B．
7．（2024 北京模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b），若ab＞0，则称点P为“同号点”．下列函数的图象中不存在“同号点”的是（　　）
A．y＝﹣x+1 B．y＝x2﹣2x C．y D．y＝x2
【分析】由题意，图象经过第一和第三象限的函数都是满足条件的，由此判断即可．
【解答】解：由题意，图象经过第一和第三象限的函数都是满足条件的，
函数y的图象在二四象限，不满足条件，
故选：C．
8．（2024 浙江模拟）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若该“莱洛三角形”的面积为，则等边三角形ABC的边长为（　　）
A． B．1 C． D．
【分析】令正三角形ABC的边长为x，将“莱洛三角形”的面积转化为扇形ABC面积的3倍再减去△ABC面积的2倍，进而建立关于x的方程即可解决问题．
【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为M，
∵AB＝AC，AM⊥BC，
∴BM＝CM．
令等边三角形ABC的边长为2x，
则AB＝2x，BM＝x，
在Rt△ABM中，
AM．
∴，
又∵，
∴，
解得x（舍负），
∴AB＝2x＝1．
即等边三角形ABC的边长为1．
故选：B．
9．（2024 泸县一模）已知二次函数y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣2a+9（a是常数）的图象与x轴没有公共点，且当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＞﹣2 B．a＜4 C．﹣2≤a＜4 D．﹣2＜a≤4
【分析】先将所给的二次函数整理，再根据图象与x轴没有公共点，得出判别式Δ＜0，从而解得a＜4；然后求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，可得a≥﹣2，从而得出选项．
【解答】解：y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣2a+9
＝x2﹣2ax+a2﹣2a+8，
∵图象与x轴没有公共点，
∴△＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣2a+8）＜0
解得a＜4；
∵抛物线的对称轴为直线xa，抛物线开口向上，且当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，
∴a≥﹣2，
∴实数a的取值范围是﹣2≤a＜4．
故选：C．
10．（2024 牙克石市二模）已知抛物线y（x﹣1）（x﹣9）与x轴交于A，B两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点D，⊙C的半径为2，G为⊙C上一动点，P为AG的中点，则DP的最大值为（　　）
A． B．2 C． D．5
【分析】P为AG中点，D为AB中点，所以PD是△ABG的中位线，则DP BG，当BG最大时，则DP最大．由圆的性质可知，当G、C、B三点共线时，BG最大．
【解答】解：如图，连接BG．
P为AG中点，D为AB中点，所以PD是△ABG的中位线，则DPBG，当BG最大时，则DP最大．
由圆的性质可知，当G、C、B三点共线时，BG最大．
∵C（5，3），B（9，0），
∴BC5，
∴BG的最大值为2+5＝7，
∴DP的最大值为．
故选：A．
二．填空题（共4小题）
11．（2024 蒸湘区一模）已知，那么 　　 ．
【分析】直接根据已知用同一未知数表示出各数，进而得出答案．
【解答】解：∵，
∴设x＝5a，则y＝2a，
那么．
故答案为：．
12．（2025 扬州模拟）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝12，AD＝10，点E是CD的中点．将这张纸片依次折叠两次：如图2，第一次折叠纸片使点A与点E重合，折痕为MN，连接ME、NE；如图3，第二次折叠纸片使点N与点E重合，点B落在B'处，折痕为HG，连接HE，则tan∠EHG＝　　 .
【分析】利用折叠的性质，将所求的∠EHG转化为求∠EAB，即可求解．
【解答】解：如图，连接AE，过点E作EF⊥AB于点F，
在矩形纸片ABCD中，AB＝12，AD＝10，点E是CD的中点，
∴AF＝DECDAB＝6，EF＝AD＝10，
由折叠性质可得：
HG⊥EN，AE⊥MN，∠MEN＝∠DAB＝90°，∠EHG＝∠NHG，∠AMN＝∠EMN，
∴HG∥ME，
∴∠NHG＝∠EMN，
∴∠EHG＝∠AMN，
∵AE⊥MN，∠MAE+∠EAN＝90°，
∴∠AMN+∠MAE＝90°，
∴∠AMN＝∠EAN，
∴∠EHG＝∠EAN，
∴tan∠EHG＝tan∠EAN，
故答案为：．
13．（2025 锡山区一模）如图，正方形ABCD中，BC＝2，点M是AB边的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点F为DM中点，点E为DC上的动点．当∠DFE＝45°时，则DE＝　　 ．
【分析】在直角△ADM中，利用勾股定理求出DM的长度，由于F为DM的中点，得到DF的长度，由于AB∥CD，易得△DCP∽△MAP，从而求得DP的长度，由于∠DFE＝∠DCP＝45°，可以证明△DEF∽△DPC，即可解决．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝BC＝DC＝2，∠DAM＝90°，AB∥DC，
∵M为AB边的中点，
∴AM＝BM＝1，
∴DM，
∵F为DM的中点，
∴DF＝MF，
∵AB∥CD，
∴∠CDP＝∠PMA，∠DCP＝∠MAP，
∴△DCP∽△MAP，
∴2，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，∠DFE＝45°，
∴∠DCP＝∠DFE＝45°，
∵∠CDP＝∠FDE，
∴△DCP∽△DFE，
∴，
∴，
故答案为：．
14．（2025 阳新县模拟）如图，在平面直角坐标系中，点B与点D分别在x轴、y轴上，正方形OBCD与正方形OEFG的边长分别为6和4，正方形OEFG绕点O旋转，当F落在y轴正半轴上时，BE2＝　52﹣24　 ；当C，G，F三点共线时，BE的长为 　22或22．　 ．
【分析】根据已知可知E（2，2），B（6，0），根据距离公式求解即可；求BE的长分两种情况：画出图形求解即可．
【解答】解：正方形OBCD与正方形OEFG的边长分别为6和4，
如图：
则B（6，0），OE＝4，
当正方形OEFG绕点O旋转，当F落在y轴正半轴上时，
∴OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝45°，
设E（m，m），
则OEm＝4，
∴m＝2，
∴E（2，2），
∴BE2＝（26）2+（20）2，
整理得：BE2＝52﹣24；
当C，G，F三点共线时，分两种情况：
①如图：
作DM⊥CG于M，DK⊥OG的延长线于K，连接DG，
∴四边形DMGK为矩形，
∵∠KDM＝∠CDO＝90°，
∴∠KDM﹣∠ODM＝∠CDO﹣∠ODM，
即∠CDM＝∠ODK，
∵OD＝CD，∠K＝∠CMD＝90°，
∴△CDM≌△ODK（AAS），
∴DM＝DK，CM＝OK，
∴四边形DMGK为正方形，
设GM＝x，
则OK＝OG+KG＝4+x，
∴CM＝x+4，
在Rt△ODK中，由勾股定理可得
OD2＝OK2+DK2，
即62＝x2+（x+4）2，
解得：x或x（舍去）
∴x，
∵DG为正方形DMGK对角线，
∴DGDKx＝22，
∵∠GOE＝∠BOD＝90°，
∴∠DOG＝∠BOE，
∵DO＝OB，OG＝OE，
∴△DOG≌BOE（SAS），
∴BE＝DG＝22；
②如图：作DM⊥CG于M，DK⊥OG的延长线于K，连接DG，
∴四边形DMGK为矩形，
同理可证明四边形DMGK为正方形，
设GM＝x，则DK＝KG＝x
∴KO＝KG﹣OG＝x﹣4，
∴在Rt△ODK中，由勾股定理可得
OD2＝OK2+DK2，
62＝x2+（x﹣4）2，
解得：x＝2或x＝2（舍去），
∴x＝2，即DK＝2，
∵DG为正方形DMGK对角线，
∴DGDK＝22，
同理再证明△DOG≌BOE（SAS），
∴BE＝DG＝22，
综上所述：BE＝22或22，
故答案为：52﹣24；22或22．
三．解答题（共4小题）
15．（2025 闵行区模拟）解方程组：．
【分析】将每个方程因式分解，降次化为两个一次方程，解出重新组合的方程组即可得到答案．
【解答】解：x2﹣5xy﹣6y2＝0可化为（x﹣6y）（x+y）＝0，
∴x﹣6y＝0或x+y＝0，
x2﹣4xy+4y2＝1可化为（x﹣2y+1）（x﹣2y﹣1）＝0，
∴x﹣2y+1＝0或x﹣2y﹣1＝0，
原方程组相当于以下四个方程组：①，②，③，④，
解①②③④分别得：，，，，
∴原方程组的解为：或或或．
16．（2025 河东区一模）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO＝30°，△BCO是等边三角形，点C在第二象限．
（Ⅰ）填空：如图①，点B的坐标为 　（0，6）　 ，点C的坐标为 　（﹣9，3）　 ；
（Ⅱ）将△BCO沿x轴向右平移得到△B'C'O'，点B，C，O的对应点分别为B′，C′，O′．
①如图②，设OO′＝t，△B'C'O'与△ABO重叠部分的面积为S．当△B'C'O'与△ABO重叠部分为五边形时，B'O'，B'C'，C'O'分别与AB，BO相交于点E，F，G，H，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②连接AB'、OC'，当AB'+OC'取得最小值时，求点C′的坐标（直接写出结果即可）．
【分析】（1）解直角三角形可得BO，CD＝9，从而可得B、C坐标；
（2）①由平移的性质可得，BC∥B'C'，BC＝B'C'＝B'O'，∠BFG＝90°．利用三角函数表示出S△C'B'O'和S△C'GH和S△B'EF的面积，根据S＝S△C'B'O'﹣S△C'GH﹣S△B'EF即可求重叠部分的面积；
②通过构造平行四边形转移边和轴对称化折为直，将折线段拼接起来后，利用两点之间线段最短求最值；
【解答】解：（Ⅰ）∵点A（6，0），∠ABO＝30°，
∴BO，
∵△BCO为等边三角形，作CD⊥y轴于点D，如图①所示，
则OD，∠DCO＝30°，
∴CD9，
故B的坐标为（0，6），C'的坐标为（﹣9，3），
故作案为：（0，6），（﹣9，3）；
（Ⅱ）①由平移的性质可得，BC∥BC，B'C'＝B'C'＝B'O'，
∵∠CBA＝90°，
∴∠BFG＝90°．
∴∠HO'O＝30°，∠C'HG＝∠O'HO＝60°，
在Rt△OHO'中，OO'＝t，HO，HO'，C'H＝C'O'﹣HO'，
在 Rt△AO′E 中，O′A＝6﹣t，，，
EF＝B'E cos30°，B'F，
所以S＝S△C'B'O'﹣S△C'GH﹣S△B'EF．
其中t的取值范围是：0＜t＜6；
②法一：如图a所示，连接AB'和OC'，
以AB'和B'C'为邻边构造平行四边形AB'C'A'，则可得A'的坐标为A'（﹣3，），
作O点关于直线y的对称点，其对称点为点B（0，），
故AB'+OC'＝A'C'+C'B，当A'、C'、B三点共线时，A'C'+C'B值最小，
连接A'B，可由待定系数法求得直线A'B的解析式为y，
令y，解得x＝﹣1，
即此时C'的坐标为（﹣1，）．
法二：如图b所示，连接AB'和OC'，
以OC'和B'C'为邻边构造平行四边形OC'B'M，则可得M的坐标为 M（9，），
作点M关于直线y的对称点N，可得N点坐标为（9，），
故AB'+OC'＝AB'+B'N，当A、B'、N三点共线时，AB'+B'N值最小，
连接AN，交直线y于点K，
由待定系数法可得直线AN的表达式为y，
令y可得x＝8，
即B'运动到横坐标为8时，亦即向右平移了8个单位，
故C点也向右平移8个单位得C'（﹣1，）．
17．（2025 绿园区一模）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点．点A、B是抛物线y＝x2﹣2x上不重合的两点，其横坐标分别为m、4﹣m．
（1）求该抛物线的顶点坐标；
（2）当点A恰好与该抛物线的顶点重合时，连结AB，设AB与x轴交于点E．过点B作BF⊥x轴于点F，求此时tan∠BEF的值；
（3）已知直线l是与x轴平行的一条直线，当直线l不经过点A时，过点A作AD⊥l于点D．连结AB．以AB、AD为邻边构造平行四边形ABCD．
①若点（0，﹣3）恰好在直线l上，当该抛物线在平行四边形ABCD内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围．
②若直线l恰好经过该抛物线的顶点，设直线BC与直线l相交于点G，当直线AG分平行四边形ABCD的面积为1：5两部分时，直接写出m的值．
【分析】（1）配方可得顶点坐标；
（2）A恰好与该抛物线的顶点重合时，即A（1，﹣1），B（3，3），求出直线AB的解析式，再求出E点坐标，最后运用正切定义求解；
（3）①分为当m＜2时和当m＝2时和当m＞2时三类情况详细讨论即可；
②Ⅰ：当A点在B点左边时，根据直线AG分平行四边形ABCD的面积为1：5两部分转化为相似三角形的问题，根据相似比例式列方程求解即可；Ⅱ：当A点在B点右边时，同Ⅰ类似，根据相似比例式列方程求解即可．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴顶点坐标为（1，﹣1）．
（2）点A恰好与该抛物线的顶点重合时，即A（1，﹣1），B（3，3），如图1所示：
则设直线AB的表达式为y＝kx+b，代入A（1，﹣1），B（3，3），
可得，解得，
故直线AB的表达式为y＝2x﹣3，令y＝0，则x，
故E点的横坐标为，
因此EF，BF＝3，
故tan∠BEF2．
（3）①由图2可知，
当m＜2时，A点在B点的左边，当m＜1时，在平行四边形ABCD内部包含该抛物线下降部分图象，显然不符合题意，
故此时1≤m＜2；
当m＝2时，A、B两点重合，不符合题意；
当m＞2时，A点在B点的右边，当m＞3时，在平行四边形ABCD内部包含该抛物线下降部分图象，显然不符合题意，
故此时2＜m≤3；
综上，m的取值范围为：1≤m＜2或2＜m≤3；
②Ⅰ：当A点在B点左边时，即m＜4﹣m时，m＜2，如图3所示：
设AG交DC于点H，当直线AG分平行四边形ABCD的面积为1：5两部分时，
即△ADH的面积为平行平行四边形ABCD的面积的，
连接AC，所以△ADH的面积与△ACH面积的比为1：2，
从而HC：BA＝HC：CD＝2：3，
易证△GCH∽△GBA，△ADH∽△GCH，
从而有，，
设A（m，m2﹣2m），B（4﹣m，（4﹣m）2﹣2（4﹣m）），
∴AD＝BC＝m2﹣2m+1，BG＝（4﹣m）2﹣2（4﹣m）+1＝（m﹣3）2，
∴GC（m﹣3）2，
∴AD，即m2﹣2m+1（m﹣3）2，
解得m；
Ⅱ：当A点在B点右边时，即m＞4﹣m时，m＞2，如图3所示：
设A（m，m2﹣2m），B（4﹣m，（4﹣m）2﹣2（4﹣m）），
当直线AG分平行四边形ABCD的面积为1：5两部分时，
同（Ⅰ）可得BG，
∵BG＝（4﹣m）2﹣2（4﹣m）+1＝（m﹣3）2，BC＝AD＝m2﹣2m+1，
∴（m﹣3）2（m2﹣2m+1），整理得：m2﹣8m+13＝0，
解得m，
综上，m的值为或．
18．（2024 中山市二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点D是该抛物线的顶点，点P（m，n）是第二象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、BC、BP，当∠PBA＝2∠CBD时，求m的值；
（3）如图2，∠BAC的角平分线交y轴于点M，过M点的直线l与射线AB，AC分别于E，F，已知当直线l绕点M旋转时，为定值，请直接写出该定值．
【分析】（1）设OA＝t（t＞0），则OB＝OC＝3t，可得该抛物线的对称轴为直线x＝t，有b＝﹣2t，将A（﹣t，0），C （0，﹣3t）代入即可求出该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）取BC中点G，作GH⊥BC于H，连接CH，过C作CM⊥BD于M，过P作PN⊥x轴于N，由抛物线顶点D坐标为（1，﹣4），B（3，0），C（0，﹣3），可得∠BCD＝90°，GH∥CD，从而H为BD中点，CH＝BHBD，由面积法得CM，故tan∠CHM，即知tan∠PBA，即，设P（m，m2﹣2m﹣3），得，即可得m的值为；
（3）过M作MG∥x轴交AC于G，过F作FT∥x轴交AM于T，过C作CQ∥x轴交AM于Q，由MG∥FT∥CQ∥OA，得△COA∽△CMG，△ACQ∽AGM，有，，故1，即得，根据AM平分∠BAC，可得AC＝CQ，从而，同理可得，又A（﹣1，0），C（0，﹣3），即得．
【解答】解：（1）设OA＝t（t＞0），
∵OB＝OC＝3OA，
∴OB＝OC＝3t，
∴A（﹣t，0），B（3t，0），C （0，﹣3t），
∴该抛物线的对称轴为直线xt，
∴b＝﹣2t①，
将A（﹣t，0），C （0，﹣3t），代入得：
，
①②③联立解得：，（t＝0已舍去），
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）取BC中点G，作GH⊥BC于H，连接CH，过C作CM⊥BD于M，过P作PN⊥x轴于N，如图：
由y＝x2﹣2x﹣3得抛物线顶点D坐标为（1，﹣4），
而B（3，0），C（0，﹣3），
∴BC＝3，CD，BD＝2，
∴BC2+CD2＝20，BD2＝20，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴∠BCD＝90°，
∵GH⊥BC，
∴GH∥CD，
∵G为BC中点，
∴H为BD中点，
∴CH＝BHBD，
∴∠CHM＝2∠CBD＝∠PBA，
∵CM，
∴MH，
∴tan∠CHM，
∴tan∠PBA，即，
设P（m，m2﹣2m﹣3），则
解得m1＝3（与B重合，舍去）或m2，
∴m的值为；
（3）过M作MG∥x轴交AC于G，过F作FT∥x轴交AM于T，过C作CQ∥x轴交AM于Q，如图：
∵MG∥x轴，FT∥x轴，CQ∥x轴，
∴MG∥FT∥CQ∥OA，
∴△COA∽△CMG，△ACQ∽AGM，
∴，，
∴1，
∴，
∵AM平分∠BAC，
∴∠CAM＝∠BAM＝∠AQC，
∴AC＝CQ，
∴，
同理可得，
由（1）可知：A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴AC，
∴．
(
1
)转化思想
转化思想：转化思想通常是指将未知问题转化为已知问题，将抽象问题转化为具体问题，将实际问题转化为数学问题的一种数学思想方法，这种转化思想也常常发生在不同的数学问题之间互相转化之中。它是分析问题、解决问题的有效途径，包含了数学特有的数、式、形的相互转换，也包含了心理达标的转换。“曹冲秤象”“阿基米德测王冠”的故事就体现了转化思想，曹冲把秤大象的重量转化为秤船上石块的重量，阿基米德用王冠排开水的体积测王冠的体积。
转化思想在中考数学中的应用范围
1.代数式中的转化
在代数式中，经常需要通过变形、化简等手段，将复杂的式子转化为简单的式子。比如，对于分式，可以将其转化为乘法形式，对于多项式，可以将其因式分解或配方。例如数学课上用甲、乙、丙三种纸片拼成大正方形，根据图形面积得到乘法公式，这一过程运用了转化思想，把图形问题转化为代数公式问题。又如小华模仿拼图形，根据图形面积写出多项式因式分解的式子，也是将图形与代数式进行转化。
2.方程中的转化
在解方程时，经常需要通过消元、降次、换元等手段，将复杂的方程转化为简单的方程。例如解分式方程时，在方程两边同乘，把原方程化为整式方程，体现了转化思想；解方程时，将视为一个整体，设，则原方程化为一元二次方程，运用换元法达到降次转化的目的，体现了整体思想和转化思想。
3.几何中的转化
在几何中，经常需要通过添加辅助线、构造辅助图形等手段，将复杂的问题转化为简单的问题。比如在证明三角形全等的定理时，可以通过构造辅助线来证明两个三角形全等。
4.函数中的转化
在函数中，经常需要通过变换函数形式、构造函数等手段，将复杂的问题转化为简单的问题。比如在研究二次函数的性质时，可以将其转化为顶点式形式来研究其对称轴和最值。
解题思路：
1.明确目标问题
面对中考数学题目，首先要清晰地识别问题的本质和求解目标，确定这是一个关于代数式化简、方程求解、几何证明还是函数分析等哪方面的问题。例如在看到一个复杂的方程时，明确要将其转化为可求解的简单方程形式。
2.寻找转化方向
根据问题的类型和已知条件，思考可以将问题转化到哪个已知的、熟悉的知识领域或模型中。如遇到几何图形的面积问题，可考虑通过割补法转化为规则图形的面积计算；对于含有多个未知数的方程，考虑通过消元法转化为一元方程。
3.选择合适方法
根据转化方向，选择具体的转化方法。在代数式中可以采用变形、化简、因式分解等方法；方程中可运用消元、降次、换元等；几何里可添加辅助线、构造全等或相似图形；函数中可进行函数形式的变换等。比如在解方程时，如果发现方程中有重复出现的式子，可采用换元法简化方程。
4.实施转化并求解
运用选定的方法对问题进行转化，将复杂问题逐步转化为简单问题，然后按照熟悉的方法进行求解。在求解过程中要注意每一步的合理性和准确性。
一．选择题（共10小题）
1．（2024 渭源县模拟）已知反比例函数在每一个象限内y随x的增大而增大，则k的值可能是（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．
2．（2024 新密市模拟）如图，已知 ABCD中，E是边AD的中点，BE交对角线AC于点F，那么S△AFE：S四边形FCDE为（　　）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6
3．（2024 泸州校级二模）设x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两根，则（　　）
A． B． C．3 D．5
4．（2024 甘谷县校级三模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，BC＝7，BD＝4，则点D到AB的距离是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．7
5．（2024 重庆模拟）在多项式﹣（2x+1）+（3x﹣2）﹣（4x+3）+（5x﹣4）中，每次任选其中的m个括号改变选定的括号前面的符号（1≤m≤4，m为整数，将“+”变为“﹣”，“﹣”变为“+”），化简后再求绝对值，称这种操作为“变号绝对”操作，并将绝对值化简后的结果记为“A”．例如：
A＝|+（2x+1）+（3x﹣2）+（4x+3）+（5x﹣4）|＝|14x﹣2|，当x时，A＝14x﹣2，当x时，A＝﹣14x+2，所以A＝14x﹣2或者A＝﹣14x+2．
①至少存在一种“变号绝对”操作，使得操作后化简的结果是单项式；
②若一种“变号绝对”操作，其化简的结果是6x﹣k，则x；
③所有可能的“变号绝对”操作后所得代数式化简后的结果一共12种．
其中正确的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（2024 瑶海区一模）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝9，以点A为圆心、6为半径的圆上有一个动点P．连接AP、BP、CP，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024 北京模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b），若ab＞0，则称点P为“同号点”．下列函数的图象中不存在“同号点”的是（　　）
A．y＝﹣x+1 B．y＝x2﹣2x C．y D．y＝x2
8．（2024 浙江模拟）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若该“莱洛三角形”的面积为，则等边三角形ABC的边长为（　　）
A． B．1 C． D．
9．（2024 泸县一模）已知二次函数y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣2a+9（a是常数）的图象与x轴没有公共点，且当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＞﹣2 B．a＜4 C．﹣2≤a＜4 D．﹣2＜a≤4
10．（2024 牙克石市二模）已知抛物线y（x﹣1）（x﹣9）与x轴交于A，B两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点D，⊙C的半径为2，G为⊙C上一动点，P为AG的中点，则DP的最大值为（　　）
A． B．2 C． D．5
二．填空题（共4小题）
11．（2024 蒸湘区一模）已知，那么 　 　 ．
12．（2025 扬州模拟）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝12，AD＝10，点E是CD的中点．将这张纸片依次折叠两次：如图2，第一次折叠纸片使点A与点E重合，折痕为MN，连接ME、NE；如图3，第二次折叠纸片使点N与点E重合，点B落在B'处，折痕为HG，连接HE，则tan∠EHG＝　 　 .
13．（2025 锡山区一模）如图，正方形ABCD中，BC＝2，点M是AB边的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点F为DM中点，点E为DC上的动点．当∠DFE＝45°时，则DE＝　 　 ．
14．（2025 阳新县模拟）如图，在平面直角坐标系中，点B与点D分别在x轴、y轴上，正方形OBCD与正方形OEFG的边长分别为6和4，正方形OEFG绕点O旋转，当F落在y轴正半轴上时，BE2＝　 　 ；当C，G，F三点共线时，BE的长为 　 　 ．
三．解答题（共4小题）
15．（2025 闵行区模拟）解方程组：．
16．（2025 河东区一模）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO＝30°，△BCO是等边三角形，点C在第二象限．
（Ⅰ）填空：如图①，点B的坐标为 　 　 ，点C的坐标为 　 　 ；
（Ⅱ）将△BCO沿x轴向右平移得到△B'C'O'，点B，C，O的对应点分别为B′，C′，O′．
①如图②，设OO′＝t，△B'C'O'与△ABO重叠部分的面积为S．当△B'C'O'与△ABO重叠部分为五边形时，B'O'，B'C'，C'O'分别与AB，BO相交于点E，F，G，H，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②连接AB'、OC'，当AB'+OC'取得最小值时，求点C′的坐标（直接写出结果即可）．
17．（2025 绿园区一模）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点．点A、B是抛物线y＝x2﹣2x上不重合的两点，其横坐标分别为m、4﹣m．
（1）求该抛物线的顶点坐标；
（2）当点A恰好与该抛物线的顶点重合时，连结AB，设AB与x轴交于点E．过点B作BF⊥x轴于点F，求此时tan∠BEF的值；
（3）已知直线l是与x轴平行的一条直线，当直线l不经过点A时，过点A作AD⊥l于点D．连结AB．以AB、AD为邻边构造平行四边形ABCD．
①若点（0，﹣3）恰好在直线l上，当该抛物线在平行四边形ABCD内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围．
②若直线l恰好经过该抛物线的顶点，设直线BC与直线l相交于点G，当直线AG分平行四边形ABCD的面积为1：5两部分时，直接写出m的值．
18．（2024 中山市二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点D是该抛物线的顶点，点P（m，n）是第二象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、BC、BP，当∠PBA＝2∠CBD时，求m的值；
（3）如图2，∠BAC的角平分线交y轴于点M，过M点的直线l与射线AB，AC分别于E，F，已知当直线l绕点M旋转时，为定值，请直接写出该定值．

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