2025中考数学解题思想专题-转化思想(原卷+解析卷)

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2025中考数学解题思想专题-转化思想(原卷+解析卷)

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转化思想
转化思想:转化思想通常是指将未知问题转化为已知问题,将抽象问题转化为具体问题,将实际问题转化为数学问题的一种数学思想方法,这种转化思想也常常发生在不同的数学问题之间互相转化之中。它是分析问题、解决问题的有效途径,包含了数学特有的数、式、形的相互转换,也包含了心理达标的转换。“曹冲秤象”“阿基米德测王冠”的故事就体现了转化思想,曹冲把秤大象的重量转化为秤船上石块的重量,阿基米德用王冠排开水的体积测王冠的体积。
转化思想在中考数学中的应用范围
1.代数式中的转化
在代数式中,经常需要通过变形、化简等手段,将复杂的式子转化为简单的式子。比如,对于分式,可以将其转化为乘法形式,对于多项式,可以将其因式分解或配方。例如数学课上用甲、乙、丙三种纸片拼成大正方形,根据图形面积得到乘法公式,这一过程运用了转化思想,把图形问题转化为代数公式问题。又如小华模仿拼图形,根据图形面积写出多项式因式分解的式子,也是将图形与代数式进行转化。
2.方程中的转化
在解方程时,经常需要通过消元、降次、换元等手段,将复杂的方程转化为简单的方程。例如解分式方程时,在方程两边同乘,把原方程化为整式方程,体现了转化思想;解方程时,将视为一个整体,设,则原方程化为一元二次方程,运用换元法达到降次转化的目的,体现了整体思想和转化思想。
3.几何中的转化
在几何中,经常需要通过添加辅助线、构造辅助图形等手段,将复杂的问题转化为简单的问题。比如在证明三角形全等的定理时,可以通过构造辅助线来证明两个三角形全等。
4.函数中的转化
在函数中,经常需要通过变换函数形式、构造函数等手段,将复杂的问题转化为简单的问题。比如在研究二次函数的性质时,可以将其转化为顶点式形式来研究其对称轴和最值。
解题思路:
1.明确目标问题
面对中考数学题目,首先要清晰地识别问题的本质和求解目标,确定这是一个关于代数式化简、方程求解、几何证明还是函数分析等哪方面的问题。例如在看到一个复杂的方程时,明确要将其转化为可求解的简单方程形式。
2.寻找转化方向
根据问题的类型和已知条件,思考可以将问题转化到哪个已知的、熟悉的知识领域或模型中。如遇到几何图形的面积问题,可考虑通过割补法转化为规则图形的面积计算;对于含有多个未知数的方程,考虑通过消元法转化为一元方程。
3.选择合适方法
根据转化方向,选择具体的转化方法。在代数式中可以采用变形、化简、因式分解等方法;方程中可运用消元、降次、换元等;几何里可添加辅助线、构造全等或相似图形;函数中可进行函数形式的变换等。比如在解方程时,如果发现方程中有重复出现的式子,可采用换元法简化方程。
4.实施转化并求解
运用选定的方法对问题进行转化,将复杂问题逐步转化为简单问题,然后按照熟悉的方法进行求解。在求解过程中要注意每一步的合理性和准确性。
一.选择题(共10小题)
1.(2024 渭源县模拟)已知反比例函数在每一个象限内y随x的增大而增大,则k的值可能是(  )
A.﹣3 B.﹣1 C.0 D.
【分析】由题意可得k+2<0,所以k<﹣2,所以选A.
【解答】解:∵反比例函数在每一个象限内y随x的增大而增大,
∴k+2<0,
∴k<﹣2,
只有选项A符合题意.
故选:A.
2.(2024 新密市模拟)如图,已知 ABCD中,E是边AD的中点,BE交对角线AC于点F,那么S△AFE:S四边形FCDE为(  )
A.1:3 B.1:4 C.1:5 D.1:6
【分析】根据AE∥BC,E为AD中点,找到AF与FC的比,则可知△AEF面积与△FCE面积的比,同时因为△DEC面积=△AEC面积,则可知四边形FCDE面积与△AEF面积之间的关系.
【解答】解:连接CE,∵AE∥BC,E为AD中点,
∴.
∴△FEC面积是△AEF面积的2倍.
设△AEF面积为x,则△AEC面积为3x,
∵E为AD中点,
∴△DEC面积=△AEC面积=3x.
∴四边形FCDE面积为5x,
所以S△AFE:S四边形FCDE为1:5.
故选:C.
3.(2024 泸州校级二模)设x1,x2是方程x2﹣3x+1=0的两根,则(  )
A. B. C.3 D.5
【分析】先求出()2,再求其算术平方根即可.
【解答】解:∵x1,x2是方程x2﹣3x+1=0的两根,
∴x1+x2=3,x1 x2=1,
而()2=x1+x2+23+2=5,
且0,0故0,
∴,
故选:B.
4.(2024 甘谷县校级三模)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的角平分线AD交BC于点D,BC=7,BD=4,则点D到AB的距离是(  )
A.3 B.4 C.5 D.7
【分析】由角平分线的性质,线段的和差,等量代换,求得点到直线的距离为3.
【解答】解:过点D作DE⊥AB交AB于点E,
如图所示:
∵∠C=90°,
∴DC⊥AC,
又∵AD是∠BAC的角平分线,DE⊥AB,
∴CD=ED,
又∵BC=BD+DC,BC=7,BD=4,
∴DC=BC﹣BD=7﹣4=3,
∴ED=3,
即点D到AB的距离是3,
故选:A.
5.(2024 重庆模拟)在多项式﹣(2x+1)+(3x﹣2)﹣(4x+3)+(5x﹣4)中,每次任选其中的m个括号改变选定的括号前面的符号(1≤m≤4,m为整数,将“+”变为“﹣”,“﹣”变为“+”),化简后再求绝对值,称这种操作为“变号绝对”操作,并将绝对值化简后的结果记为“A”.例如:
A=|+(2x+1)+(3x﹣2)+(4x+3)+(5x﹣4)|=|14x﹣2|,当x时,A=14x﹣2,当x时,A=﹣14x+2,所以A=14x﹣2或者A=﹣14x+2.
①至少存在一种“变号绝对”操作,使得操作后化简的结果是单项式;
②若一种“变号绝对”操作,其化简的结果是6x﹣k,则x;
③所有可能的“变号绝对”操作后所得代数式化简后的结果一共12种.
其中正确的个数为(  )
A.0 B.1 C.2 D.3
【分析】根据阅读内容了解“变号绝对”的方法,根据要求调换运算符号求结果即可.
【解答】解:①﹣(2x+1)+(3x﹣2)﹣(4x+3)+(5x﹣4)改变后两个括号可以消去x值,
A=|﹣(2x+1)+(3x﹣2)+(4x+3)﹣(5x﹣4)|=|﹣2x﹣1+3x﹣2+4x+3﹣5x+4|=4,
至少存在一种“变号绝对”操作,使得操作后化简的结果是单项式,正确;
②若一种“变号绝对”操作,其化简的结果是6x﹣k,
B=|(2x+1)+(3x﹣2)﹣(4x+3)+(5x﹣4)|=|2x+1+3x﹣2﹣4x﹣3+5x﹣4|=|6x﹣8|,
则x,正确;
③所有可能的“变号绝对”操作后所得代数式化简后的结果一共有8种,不正确.
故选:C.
6.(2024 瑶海区一模)如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=9,以点A为圆心、6为半径的圆上有一个动点P.连接AP、BP、CP,则的最小值是(  )
A. B. C. D.
【分析】在AB上截取一点F,使AF=4,可得△FAP∽△PAB,进而得出PFPB,从而转化成求PF+CP的最小值.
【解答】解:在AB上截取一点F,使AF=4,
∵AB=9,AP=6,
∴,,
又∵∠FAP=∠PAB,
∴△FAP∽△PAB,
∴,
∴PFPB,
∴则PF+CP,
要使的值最小,
只要PF+CP的值最小,
∴当C、P、F三点在同一条直线上,即P为CF与⊙A的交点时,PF+CP的值最小为CF的长,
在Rt△AFC中,
∵AF=4,AC=9,
∴FC,
即的最小值为.
故选:B.
7.(2024 北京模拟)在平面直角坐标系xOy中,对于点P(a,b),若ab>0,则称点P为“同号点”.下列函数的图象中不存在“同号点”的是(  )
A.y=﹣x+1 B.y=x2﹣2x C.y D.y=x2
【分析】由题意,图象经过第一和第三象限的函数都是满足条件的,由此判断即可.
【解答】解:由题意,图象经过第一和第三象限的函数都是满足条件的,
函数y的图象在二四象限,不满足条件,
故选:C.
8.(2024 浙江模拟)“莱洛三角形”也称为圆弧三角形,它是工业生产中广泛使用的一种图形.如图,分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心,以边长为半径画弧,三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”.若该“莱洛三角形”的面积为,则等边三角形ABC的边长为(  )
A. B.1 C. D.
【分析】令正三角形ABC的边长为x,将“莱洛三角形”的面积转化为扇形ABC面积的3倍再减去△ABC面积的2倍,进而建立关于x的方程即可解决问题.
【解答】解:过点A作BC的垂线,垂足为M,
∵AB=AC,AM⊥BC,
∴BM=CM.
令等边三角形ABC的边长为2x,
则AB=2x,BM=x,
在Rt△ABM中,
AM.
∴,
又∵,
∴,
解得x(舍负),
∴AB=2x=1.
即等边三角形ABC的边长为1.
故选:B.
9.(2024 泸县一模)已知二次函数y=(x﹣a﹣1)(x﹣a+1)﹣2a+9(a是常数)的图象与x轴没有公共点,且当x<﹣2时,y随x的增大而减小,则实数a的取值范围是(  )
A.a>﹣2 B.a<4 C.﹣2≤a<4 D.﹣2<a≤4
【分析】先将所给的二次函数整理,再根据图象与x轴没有公共点,得出判别式Δ<0,从而解得a<4;然后求出抛物线的对称轴,结合抛物线开口向上,且当x<﹣2时,y随x的增大而减小,可得a≥﹣2,从而得出选项.
【解答】解:y=(x﹣a﹣1)(x﹣a+1)﹣2a+9
=x2﹣2ax+a2﹣2a+8,
∵图象与x轴没有公共点,
∴△=(﹣2a)2﹣4(a2﹣2a+8)<0
解得a<4;
∵抛物线的对称轴为直线xa,抛物线开口向上,且当x<﹣2时,y随x的增大而减小,
∴a≥﹣2,
∴实数a的取值范围是﹣2≤a<4.
故选:C.
10.(2024 牙克石市二模)已知抛物线y(x﹣1)(x﹣9)与x轴交于A,B两点,对称轴与抛物线交于点C,与x轴交于点D,⊙C的半径为2,G为⊙C上一动点,P为AG的中点,则DP的最大值为(  )
A. B.2 C. D.5
【分析】P为AG中点,D为AB中点,所以PD是△ABG的中位线,则DP BG,当BG最大时,则DP最大.由圆的性质可知,当G、C、B三点共线时,BG最大.
【解答】解:如图,连接BG.
P为AG中点,D为AB中点,所以PD是△ABG的中位线,则DPBG,当BG最大时,则DP最大.
由圆的性质可知,当G、C、B三点共线时,BG最大.
∵C(5,3),B(9,0),
∴BC5,
∴BG的最大值为2+5=7,
∴DP的最大值为.
故选:A.
二.填空题(共4小题)
11.(2024 蒸湘区一模)已知,那么    .
【分析】直接根据已知用同一未知数表示出各数,进而得出答案.
【解答】解:∵,
∴设x=5a,则y=2a,
那么.
故答案为:.
12.(2025 扬州模拟)如图1,在矩形纸片ABCD中,AB=12,AD=10,点E是CD的中点.将这张纸片依次折叠两次:如图2,第一次折叠纸片使点A与点E重合,折痕为MN,连接ME、NE;如图3,第二次折叠纸片使点N与点E重合,点B落在B'处,折痕为HG,连接HE,则tan∠EHG=   .
【分析】利用折叠的性质,将所求的∠EHG转化为求∠EAB,即可求解.
【解答】解:如图,连接AE,过点E作EF⊥AB于点F,
在矩形纸片ABCD中,AB=12,AD=10,点E是CD的中点,
∴AF=DECDAB=6,EF=AD=10,
由折叠性质可得:
HG⊥EN,AE⊥MN,∠MEN=∠DAB=90°,∠EHG=∠NHG,∠AMN=∠EMN,
∴HG∥ME,
∴∠NHG=∠EMN,
∴∠EHG=∠AMN,
∵AE⊥MN,∠MAE+∠EAN=90°,
∴∠AMN+∠MAE=90°,
∴∠AMN=∠EAN,
∴∠EHG=∠EAN,
∴tan∠EHG=tan∠EAN,
故答案为:.
13.(2025 锡山区一模)如图,正方形ABCD中,BC=2,点M是AB边的中点,连接DM,DM与AC交于点P,点F为DM中点,点E为DC上的动点.当∠DFE=45°时,则DE=   .
【分析】在直角△ADM中,利用勾股定理求出DM的长度,由于F为DM的中点,得到DF的长度,由于AB∥CD,易得△DCP∽△MAP,从而求得DP的长度,由于∠DFE=∠DCP=45°,可以证明△DEF∽△DPC,即可解决.
【解答】解:∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB=BC=DC=2,∠DAM=90°,AB∥DC,
∵M为AB边的中点,
∴AM=BM=1,
∴DM,
∵F为DM的中点,
∴DF=MF,
∵AB∥CD,
∴∠CDP=∠PMA,∠DCP=∠MAP,
∴△DCP∽△MAP,
∴2,
∴,
∵四边形ABCD是正方形,∠DFE=45°,
∴∠DCP=∠DFE=45°,
∵∠CDP=∠FDE,
∴△DCP∽△DFE,
∴,
∴,
故答案为:.
14.(2025 阳新县模拟)如图,在平面直角坐标系中,点B与点D分别在x轴、y轴上,正方形OBCD与正方形OEFG的边长分别为6和4,正方形OEFG绕点O旋转,当F落在y轴正半轴上时,BE2= 52﹣24  ;当C,G,F三点共线时,BE的长为  22或22.  .
【分析】根据已知可知E(2,2),B(6,0),根据距离公式求解即可;求BE的长分两种情况:画出图形求解即可.
【解答】解:正方形OBCD与正方形OEFG的边长分别为6和4,
如图:
则B(6,0),OE=4,
当正方形OEFG绕点O旋转,当F落在y轴正半轴上时,
∴OE平分∠BOD,
∴∠BOE=45°,
设E(m,m),
则OEm=4,
∴m=2,
∴E(2,2),
∴BE2=(26)2+(20)2,
整理得:BE2=52﹣24;
当C,G,F三点共线时,分两种情况:
①如图:
作DM⊥CG于M,DK⊥OG的延长线于K,连接DG,
∴四边形DMGK为矩形,
∵∠KDM=∠CDO=90°,
∴∠KDM﹣∠ODM=∠CDO﹣∠ODM,
即∠CDM=∠ODK,
∵OD=CD,∠K=∠CMD=90°,
∴△CDM≌△ODK(AAS),
∴DM=DK,CM=OK,
∴四边形DMGK为正方形,
设GM=x,
则OK=OG+KG=4+x,
∴CM=x+4,
在Rt△ODK中,由勾股定理可得
OD2=OK2+DK2,
即62=x2+(x+4)2,
解得:x或x(舍去)
∴x,
∵DG为正方形DMGK对角线,
∴DGDKx=22,
∵∠GOE=∠BOD=90°,
∴∠DOG=∠BOE,
∵DO=OB,OG=OE,
∴△DOG≌BOE(SAS),
∴BE=DG=22;
②如图:作DM⊥CG于M,DK⊥OG的延长线于K,连接DG,
∴四边形DMGK为矩形,
同理可证明四边形DMGK为正方形,
设GM=x,则DK=KG=x
∴KO=KG﹣OG=x﹣4,
∴在Rt△ODK中,由勾股定理可得
OD2=OK2+DK2,
62=x2+(x﹣4)2,
解得:x=2或x=2(舍去),
∴x=2,即DK=2,
∵DG为正方形DMGK对角线,
∴DGDK=22,
同理再证明△DOG≌BOE(SAS),
∴BE=DG=22,
综上所述:BE=22或22,
故答案为:52﹣24;22或22.
三.解答题(共4小题)
15.(2025 闵行区模拟)解方程组:.
【分析】将每个方程因式分解,降次化为两个一次方程,解出重新组合的方程组即可得到答案.
【解答】解:x2﹣5xy﹣6y2=0可化为(x﹣6y)(x+y)=0,
∴x﹣6y=0或x+y=0,
x2﹣4xy+4y2=1可化为(x﹣2y+1)(x﹣2y﹣1)=0,
∴x﹣2y+1=0或x﹣2y﹣1=0,
原方程组相当于以下四个方程组:①,②,③,④,
解①②③④分别得:,,,,
∴原方程组的解为:或或或.
16.(2025 河东区一模)在平面直角坐标系中,O为原点,点A(6,0),点B在y轴的正半轴上,∠ABO=30°,△BCO是等边三角形,点C在第二象限.
(Ⅰ)填空:如图①,点B的坐标为  (0,6)  ,点C的坐标为  (﹣9,3)  ;
(Ⅱ)将△BCO沿x轴向右平移得到△B'C'O',点B,C,O的对应点分别为B′,C′,O′.
①如图②,设OO′=t,△B'C'O'与△ABO重叠部分的面积为S.当△B'C'O'与△ABO重叠部分为五边形时,B'O',B'C',C'O'分别与AB,BO相交于点E,F,G,H,试用含有t的式子表示S,并直接写出t的取值范围;
②连接AB'、OC',当AB'+OC'取得最小值时,求点C′的坐标(直接写出结果即可).
【分析】(1)解直角三角形可得BO,CD=9,从而可得B、C坐标;
(2)①由平移的性质可得,BC∥B'C',BC=B'C'=B'O',∠BFG=90°.利用三角函数表示出S△C'B'O'和S△C'GH和S△B'EF的面积,根据S=S△C'B'O'﹣S△C'GH﹣S△B'EF即可求重叠部分的面积;
②通过构造平行四边形转移边和轴对称化折为直,将折线段拼接起来后,利用两点之间线段最短求最值;
【解答】解:(Ⅰ)∵点A(6,0),∠ABO=30°,
∴BO,
∵△BCO为等边三角形,作CD⊥y轴于点D,如图①所示,
则OD,∠DCO=30°,
∴CD9,
故B的坐标为(0,6),C'的坐标为(﹣9,3),
故作案为:(0,6),(﹣9,3);
(Ⅱ)①由平移的性质可得,BC∥BC,B'C'=B'C'=B'O',
∵∠CBA=90°,
∴∠BFG=90°.
∴∠HO'O=30°,∠C'HG=∠O'HO=60°,
在Rt△OHO'中,OO'=t,HO,HO',C'H=C'O'﹣HO',
在 Rt△AO′E 中,O′A=6﹣t,,,
EF=B'E cos30°,B'F,
所以S=S△C'B'O'﹣S△C'GH﹣S△B'EF.
其中t的取值范围是:0<t<6;
②法一:如图a所示,连接AB'和OC',
以AB'和B'C'为邻边构造平行四边形AB'C'A',则可得A'的坐标为A'(﹣3,),
作O点关于直线y的对称点,其对称点为点B(0,),
故AB'+OC'=A'C'+C'B,当A'、C'、B三点共线时,A'C'+C'B值最小,
连接A'B,可由待定系数法求得直线A'B的解析式为y,
令y,解得x=﹣1,
即此时C'的坐标为(﹣1,).
法二:如图b所示,连接AB'和OC',
以OC'和B'C'为邻边构造平行四边形OC'B'M,则可得M的坐标为 M(9,),
作点M关于直线y的对称点N,可得N点坐标为(9,),
故AB'+OC'=AB'+B'N,当A、B'、N三点共线时,AB'+B'N值最小,
连接AN,交直线y于点K,
由待定系数法可得直线AN的表达式为y,
令y可得x=8,
即B'运动到横坐标为8时,亦即向右平移了8个单位,
故C点也向右平移8个单位得C'(﹣1,).
17.(2025 绿园区一模)在平面直角坐标系中,点O是坐标原点.点A、B是抛物线y=x2﹣2x上不重合的两点,其横坐标分别为m、4﹣m.
(1)求该抛物线的顶点坐标;
(2)当点A恰好与该抛物线的顶点重合时,连结AB,设AB与x轴交于点E.过点B作BF⊥x轴于点F,求此时tan∠BEF的值;
(3)已知直线l是与x轴平行的一条直线,当直线l不经过点A时,过点A作AD⊥l于点D.连结AB.以AB、AD为邻边构造平行四边形ABCD.
①若点(0,﹣3)恰好在直线l上,当该抛物线在平行四边形ABCD内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时,直接写出m的取值范围.
②若直线l恰好经过该抛物线的顶点,设直线BC与直线l相交于点G,当直线AG分平行四边形ABCD的面积为1:5两部分时,直接写出m的值.
【分析】(1)配方可得顶点坐标;
(2)A恰好与该抛物线的顶点重合时,即A(1,﹣1),B(3,3),求出直线AB的解析式,再求出E点坐标,最后运用正切定义求解;
(3)①分为当m<2时和当m=2时和当m>2时三类情况详细讨论即可;
②Ⅰ:当A点在B点左边时,根据直线AG分平行四边形ABCD的面积为1:5两部分转化为相似三角形的问题,根据相似比例式列方程求解即可;Ⅱ:当A点在B点右边时,同Ⅰ类似,根据相似比例式列方程求解即可.
【解答】解:(1)∵y=x2﹣2x=(x﹣1)2﹣1,
∴顶点坐标为(1,﹣1).
(2)点A恰好与该抛物线的顶点重合时,即A(1,﹣1),B(3,3),如图1所示:
则设直线AB的表达式为y=kx+b,代入A(1,﹣1),B(3,3),
可得,解得,
故直线AB的表达式为y=2x﹣3,令y=0,则x,
故E点的横坐标为,
因此EF,BF=3,
故tan∠BEF2.
(3)①由图2可知,
当m<2时,A点在B点的左边,当m<1时,在平行四边形ABCD内部包含该抛物线下降部分图象,显然不符合题意,
故此时1≤m<2;
当m=2时,A、B两点重合,不符合题意;
当m>2时,A点在B点的右边,当m>3时,在平行四边形ABCD内部包含该抛物线下降部分图象,显然不符合题意,
故此时2<m≤3;
综上,m的取值范围为:1≤m<2或2<m≤3;
②Ⅰ:当A点在B点左边时,即m<4﹣m时,m<2,如图3所示:
设AG交DC于点H,当直线AG分平行四边形ABCD的面积为1:5两部分时,
即△ADH的面积为平行平行四边形ABCD的面积的,
连接AC,所以△ADH的面积与△ACH面积的比为1:2,
从而HC:BA=HC:CD=2:3,
易证△GCH∽△GBA,△ADH∽△GCH,
从而有,,
设A(m,m2﹣2m),B(4﹣m,(4﹣m)2﹣2(4﹣m)),
∴AD=BC=m2﹣2m+1,BG=(4﹣m)2﹣2(4﹣m)+1=(m﹣3)2,
∴GC(m﹣3)2,
∴AD,即m2﹣2m+1(m﹣3)2,
解得m;
Ⅱ:当A点在B点右边时,即m>4﹣m时,m>2,如图3所示:
设A(m,m2﹣2m),B(4﹣m,(4﹣m)2﹣2(4﹣m)),
当直线AG分平行四边形ABCD的面积为1:5两部分时,
同(Ⅰ)可得BG,
∵BG=(4﹣m)2﹣2(4﹣m)+1=(m﹣3)2,BC=AD=m2﹣2m+1,
∴(m﹣3)2(m2﹣2m+1),整理得:m2﹣8m+13=0,
解得m,
综上,m的值为或.
18.(2024 中山市二模)如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴分别交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,且OB=OC=3OA.
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)如图1,点D是该抛物线的顶点,点P(m,n)是第二象限内抛物线上的一个点,分别连接BD、BC、BP,当∠PBA=2∠CBD时,求m的值;
(3)如图2,∠BAC的角平分线交y轴于点M,过M点的直线l与射线AB,AC分别于E,F,已知当直线l绕点M旋转时,为定值,请直接写出该定值.
【分析】(1)设OA=t(t>0),则OB=OC=3t,可得该抛物线的对称轴为直线x=t,有b=﹣2t,将A(﹣t,0),C (0,﹣3t)代入即可求出该抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3;
(2)取BC中点G,作GH⊥BC于H,连接CH,过C作CM⊥BD于M,过P作PN⊥x轴于N,由抛物线顶点D坐标为(1,﹣4),B(3,0),C(0,﹣3),可得∠BCD=90°,GH∥CD,从而H为BD中点,CH=BHBD,由面积法得CM,故tan∠CHM,即知tan∠PBA,即,设P(m,m2﹣2m﹣3),得,即可得m的值为;
(3)过M作MG∥x轴交AC于G,过F作FT∥x轴交AM于T,过C作CQ∥x轴交AM于Q,由MG∥FT∥CQ∥OA,得△COA∽△CMG,△ACQ∽AGM,有,,故1,即得,根据AM平分∠BAC,可得AC=CQ,从而,同理可得,又A(﹣1,0),C(0,﹣3),即得.
【解答】解:(1)设OA=t(t>0),
∵OB=OC=3OA,
∴OB=OC=3t,
∴A(﹣t,0),B(3t,0),C (0,﹣3t),
∴该抛物线的对称轴为直线xt,
∴b=﹣2t①,
将A(﹣t,0),C (0,﹣3t),代入得:

①②③联立解得:,(t=0已舍去),
∴该抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3;
(2)取BC中点G,作GH⊥BC于H,连接CH,过C作CM⊥BD于M,过P作PN⊥x轴于N,如图:
由y=x2﹣2x﹣3得抛物线顶点D坐标为(1,﹣4),
而B(3,0),C(0,﹣3),
∴BC=3,CD,BD=2,
∴BC2+CD2=20,BD2=20,
∴BC2+CD2=BD2,
∴∠BCD=90°,
∵GH⊥BC,
∴GH∥CD,
∵G为BC中点,
∴H为BD中点,
∴CH=BHBD,
∴∠CHM=2∠CBD=∠PBA,
∵CM,
∴MH,
∴tan∠CHM,
∴tan∠PBA,即,
设P(m,m2﹣2m﹣3),则
解得m1=3(与B重合,舍去)或m2,
∴m的值为;
(3)过M作MG∥x轴交AC于G,过F作FT∥x轴交AM于T,过C作CQ∥x轴交AM于Q,如图:
∵MG∥x轴,FT∥x轴,CQ∥x轴,
∴MG∥FT∥CQ∥OA,
∴△COA∽△CMG,△ACQ∽AGM,
∴,,
∴1,
∴,
∵AM平分∠BAC,
∴∠CAM=∠BAM=∠AQC,
∴AC=CQ,
∴,
同理可得,
由(1)可知:A(﹣1,0),C(0,﹣3),
∴AC,
∴.
(
1
)转化思想
转化思想:转化思想通常是指将未知问题转化为已知问题,将抽象问题转化为具体问题,将实际问题转化为数学问题的一种数学思想方法,这种转化思想也常常发生在不同的数学问题之间互相转化之中。它是分析问题、解决问题的有效途径,包含了数学特有的数、式、形的相互转换,也包含了心理达标的转换。“曹冲秤象”“阿基米德测王冠”的故事就体现了转化思想,曹冲把秤大象的重量转化为秤船上石块的重量,阿基米德用王冠排开水的体积测王冠的体积。
转化思想在中考数学中的应用范围
1.代数式中的转化
在代数式中,经常需要通过变形、化简等手段,将复杂的式子转化为简单的式子。比如,对于分式,可以将其转化为乘法形式,对于多项式,可以将其因式分解或配方。例如数学课上用甲、乙、丙三种纸片拼成大正方形,根据图形面积得到乘法公式,这一过程运用了转化思想,把图形问题转化为代数公式问题。又如小华模仿拼图形,根据图形面积写出多项式因式分解的式子,也是将图形与代数式进行转化。
2.方程中的转化
在解方程时,经常需要通过消元、降次、换元等手段,将复杂的方程转化为简单的方程。例如解分式方程时,在方程两边同乘,把原方程化为整式方程,体现了转化思想;解方程时,将视为一个整体,设,则原方程化为一元二次方程,运用换元法达到降次转化的目的,体现了整体思想和转化思想。
3.几何中的转化
在几何中,经常需要通过添加辅助线、构造辅助图形等手段,将复杂的问题转化为简单的问题。比如在证明三角形全等的定理时,可以通过构造辅助线来证明两个三角形全等。
4.函数中的转化
在函数中,经常需要通过变换函数形式、构造函数等手段,将复杂的问题转化为简单的问题。比如在研究二次函数的性质时,可以将其转化为顶点式形式来研究其对称轴和最值。
解题思路:
1.明确目标问题
面对中考数学题目,首先要清晰地识别问题的本质和求解目标,确定这是一个关于代数式化简、方程求解、几何证明还是函数分析等哪方面的问题。例如在看到一个复杂的方程时,明确要将其转化为可求解的简单方程形式。
2.寻找转化方向
根据问题的类型和已知条件,思考可以将问题转化到哪个已知的、熟悉的知识领域或模型中。如遇到几何图形的面积问题,可考虑通过割补法转化为规则图形的面积计算;对于含有多个未知数的方程,考虑通过消元法转化为一元方程。
3.选择合适方法
根据转化方向,选择具体的转化方法。在代数式中可以采用变形、化简、因式分解等方法;方程中可运用消元、降次、换元等;几何里可添加辅助线、构造全等或相似图形;函数中可进行函数形式的变换等。比如在解方程时,如果发现方程中有重复出现的式子,可采用换元法简化方程。
4.实施转化并求解
运用选定的方法对问题进行转化,将复杂问题逐步转化为简单问题,然后按照熟悉的方法进行求解。在求解过程中要注意每一步的合理性和准确性。
一.选择题(共10小题)
1.(2024 渭源县模拟)已知反比例函数在每一个象限内y随x的增大而增大,则k的值可能是(  )
A.﹣3 B.﹣1 C.0 D.
2.(2024 新密市模拟)如图,已知 ABCD中,E是边AD的中点,BE交对角线AC于点F,那么S△AFE:S四边形FCDE为(  )
A.1:3 B.1:4 C.1:5 D.1:6
3.(2024 泸州校级二模)设x1,x2是方程x2﹣3x+1=0的两根,则(  )
A. B. C.3 D.5
4.(2024 甘谷县校级三模)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的角平分线AD交BC于点D,BC=7,BD=4,则点D到AB的距离是(  )
A.3 B.4 C.5 D.7
5.(2024 重庆模拟)在多项式﹣(2x+1)+(3x﹣2)﹣(4x+3)+(5x﹣4)中,每次任选其中的m个括号改变选定的括号前面的符号(1≤m≤4,m为整数,将“+”变为“﹣”,“﹣”变为“+”),化简后再求绝对值,称这种操作为“变号绝对”操作,并将绝对值化简后的结果记为“A”.例如:
A=|+(2x+1)+(3x﹣2)+(4x+3)+(5x﹣4)|=|14x﹣2|,当x时,A=14x﹣2,当x时,A=﹣14x+2,所以A=14x﹣2或者A=﹣14x+2.
①至少存在一种“变号绝对”操作,使得操作后化简的结果是单项式;
②若一种“变号绝对”操作,其化简的结果是6x﹣k,则x;
③所有可能的“变号绝对”操作后所得代数式化简后的结果一共12种.
其中正确的个数为(  )
A.0 B.1 C.2 D.3
6.(2024 瑶海区一模)如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=9,以点A为圆心、6为半径的圆上有一个动点P.连接AP、BP、CP,则的最小值是(  )
A. B. C. D.
7.(2024 北京模拟)在平面直角坐标系xOy中,对于点P(a,b),若ab>0,则称点P为“同号点”.下列函数的图象中不存在“同号点”的是(  )
A.y=﹣x+1 B.y=x2﹣2x C.y D.y=x2
8.(2024 浙江模拟)“莱洛三角形”也称为圆弧三角形,它是工业生产中广泛使用的一种图形.如图,分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心,以边长为半径画弧,三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”.若该“莱洛三角形”的面积为,则等边三角形ABC的边长为(  )
A. B.1 C. D.
9.(2024 泸县一模)已知二次函数y=(x﹣a﹣1)(x﹣a+1)﹣2a+9(a是常数)的图象与x轴没有公共点,且当x<﹣2时,y随x的增大而减小,则实数a的取值范围是(  )
A.a>﹣2 B.a<4 C.﹣2≤a<4 D.﹣2<a≤4
10.(2024 牙克石市二模)已知抛物线y(x﹣1)(x﹣9)与x轴交于A,B两点,对称轴与抛物线交于点C,与x轴交于点D,⊙C的半径为2,G为⊙C上一动点,P为AG的中点,则DP的最大值为(  )
A. B.2 C. D.5
二.填空题(共4小题)
11.(2024 蒸湘区一模)已知,那么     .
12.(2025 扬州模拟)如图1,在矩形纸片ABCD中,AB=12,AD=10,点E是CD的中点.将这张纸片依次折叠两次:如图2,第一次折叠纸片使点A与点E重合,折痕为MN,连接ME、NE;如图3,第二次折叠纸片使点N与点E重合,点B落在B'处,折痕为HG,连接HE,则tan∠EHG=    .
13.(2025 锡山区一模)如图,正方形ABCD中,BC=2,点M是AB边的中点,连接DM,DM与AC交于点P,点F为DM中点,点E为DC上的动点.当∠DFE=45°时,则DE=    .
14.(2025 阳新县模拟)如图,在平面直角坐标系中,点B与点D分别在x轴、y轴上,正方形OBCD与正方形OEFG的边长分别为6和4,正方形OEFG绕点O旋转,当F落在y轴正半轴上时,BE2=    ;当C,G,F三点共线时,BE的长为     .
三.解答题(共4小题)
15.(2025 闵行区模拟)解方程组:.
16.(2025 河东区一模)在平面直角坐标系中,O为原点,点A(6,0),点B在y轴的正半轴上,∠ABO=30°,△BCO是等边三角形,点C在第二象限.
(Ⅰ)填空:如图①,点B的坐标为     ,点C的坐标为     ;
(Ⅱ)将△BCO沿x轴向右平移得到△B'C'O',点B,C,O的对应点分别为B′,C′,O′.
①如图②,设OO′=t,△B'C'O'与△ABO重叠部分的面积为S.当△B'C'O'与△ABO重叠部分为五边形时,B'O',B'C',C'O'分别与AB,BO相交于点E,F,G,H,试用含有t的式子表示S,并直接写出t的取值范围;
②连接AB'、OC',当AB'+OC'取得最小值时,求点C′的坐标(直接写出结果即可).
17.(2025 绿园区一模)在平面直角坐标系中,点O是坐标原点.点A、B是抛物线y=x2﹣2x上不重合的两点,其横坐标分别为m、4﹣m.
(1)求该抛物线的顶点坐标;
(2)当点A恰好与该抛物线的顶点重合时,连结AB,设AB与x轴交于点E.过点B作BF⊥x轴于点F,求此时tan∠BEF的值;
(3)已知直线l是与x轴平行的一条直线,当直线l不经过点A时,过点A作AD⊥l于点D.连结AB.以AB、AD为邻边构造平行四边形ABCD.
①若点(0,﹣3)恰好在直线l上,当该抛物线在平行四边形ABCD内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时,直接写出m的取值范围.
②若直线l恰好经过该抛物线的顶点,设直线BC与直线l相交于点G,当直线AG分平行四边形ABCD的面积为1:5两部分时,直接写出m的值.
18.(2024 中山市二模)如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴分别交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,且OB=OC=3OA.
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)如图1,点D是该抛物线的顶点,点P(m,n)是第二象限内抛物线上的一个点,分别连接BD、BC、BP,当∠PBA=2∠CBD时,求m的值;
(3)如图2,∠BAC的角平分线交y轴于点M,过M点的直线l与射线AB,AC分别于E,F,已知当直线l绕点M旋转时,为定值,请直接写出该定值.

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