资源简介

10.1　二元一次方程组的概念
　　1．经历列方程的过程，了解二元一次方程（组）的概念．
　　2．知道二元一次方程（组）的解的概念，会检验一组值是不是某个二元一次方程（组）的解．
　　3．通过实例认识二元一次方程（组）是反应数量关系的重要数学模型，能设两个未知数并列方程组表示实际问题中的两种相等关系，提高学生分析问题、解决问题的能力．
　　二元一次方程（组）及二元一次方程（组）的解的概念．
　　理解二元一次方程组的解的概念，知道二元一次方程有无数个解．
新课导入
　　新疆是我国棉花的主要产地之一．近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式．某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机，1 h就完成了8 hm2棉田的采摘．如果大型采棉机1 h完成2 hm2棉田的采摘，小型采棉机1 h完成1 hm2棉田的采摘，那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台？
　　【师生活动】教师提问：你能用已学过的一元一次方程的知识解决问题吗？
　　学生先独立思考，再小组讨论，得出答案：设这个种棉大户租用了x台大型采棉机，则租用（6-x）台小型采棉机．所以2x+(6-x)＝8．
　　教师追问：能不能根据题意直接设两个未知数，使列方程变得容易呢？
【设计意图】以问题的形式创设情景，第1个问题让学生体会利用一元一次方程是解决实际问题的数学模型，从而回顾一元一次方程的概念；第2个问题的目的是引出本节课学习的“二元一次方程”，渗透方程模型的通用性，激发学生的学习兴趣．
新知探究
一、探究学习
　　【问题】如何设两个未知数，列方程解决上面的问题？
　　【师生活动】教师引导学生找出题中的两个未知量：大型采棉机和小型采棉机的台数．
　　小组分析讨论，找出题中包含的两个必须同时满足的相等关系：大型采棉机台数＋小型采棉机台数＝总台数，大型采棉机1 h采摘面积＋小型采棉机1 h采摘面积＝1 h采摘总面积．
　　师生一起设未知数，列方程．
【答案】解：设这个种棉大户租用了x台大型采棉机， y台小型采棉机．
　　由题意，得x＋y＝6，2x＋y＝8．
　　【思考】这两个方程有什么特点？与一元一次方程有什么不同？
　　【师生活动】学生自由发言，教师进行补充总结：（1）有两个未知数；（2）含有未知数的项的次数都是1；（3）含有未知数的式子都是整式．
　　【设计意图】从实际问题出发，引导学生列出多元方程，对比一元一次方程进而认识二元一次方程，实现对方程从一元到多元的认识．
　　【思考】只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫作一元一次方程．
　　你能类比一元一次方程的定义，给二元一次方程下个定义吗？
　　【师生活动】学生小组讨论，师生一起总结．
　　【新知】二元一次方程：
　　每个方程都含有两个未知数（x和y），且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫作二元一次方程．
　　上面的问题中包含两个必须同时满足的条件，也就是未知数x，y必须同时满足方程x＋y＝6和2x＋y＝8．把这两个方程合在一起，写成就组成了一个方程组．
　　方程组中有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组．
　　【设计意图】引导学生利用一元一次方程进行知识的迁移与类比，让学生用原有的认知结构同化新知识．
　　【练习】1．下列各式中，属于二元一次方程的有（　　）．
　　①x＋y＝3；②x－2y2＝3；③3x＋4y；④xy＝3．
　　A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
　　【师生活动】学生独立思考作答，教师给出正确答案．
　　【答案】A
　　【设计意图】通过练习，加深学生对二元一次方程的概念的理解．
　　【练习】2．下面的方程组中，属于二元一次方程组的是（　　）．
　　A． B． C． D．
　　【师生活动】学生独立思考，师生一起分析得出答案．
　　【答案】A
　　【设计意图】通过练习，加深学生对二元一次方程组的概念的理解．
　　【问题】满足方程x＋y＝6，且符合问题的实际意义的x，y的值有哪些？把它们填入表中．
x
y
　　【师生活动】学生观察、计算，答出适合的x，y的值，完成表格：
x 1 2 3 4 5
y 5 4 3 2 1
　　当x＝1时，1＋y＝6，可得y＝5，符合题意；
　　当x＝2时，2＋y＝6，可得y＝4，符合题意；
　　……
　　教师总结：由上表可知， x＝1，y＝5；x＝2，y＝4；…；x＝5，y＝1使方程x＋y＝6两边的值相等，它们都是方程x＋y＝6的解．
　　【新知】一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解．
　　【思考】如果不考虑方程x＋y＝6与上面实际问题的联系，这个方程的解有多少个？
　　【师生活动】学生小组讨论，得出答案，师生一起总结．
　　如果不考虑方程x＋y＝6与上面实际问题的联系，那么x＝－6，y＝12；x＝0.5，y＝5.5；……也都是方程x＋y＝6的解，这样的解有无数个．
　　【归纳】一个二元一次方程有无数个解，即无数多解满足这个二元一次方程．
　　【设计意图】让学生通过把具体数代入方程，认识到满足一个二元一次方程的未知数的值有很多对．考虑到问题的实际意义时，满足方程的未知数的值有有限对．
　　【思考】满足方程2x＋y＝8，且符合问题的实际意义的x，y的值有哪些？把它们填入表中．
x
y
　　【师生活动】学生独立思考，完成表格：
x 1 2 3
y 6 4 2
　　【思考】观察二元一次方程2x＋y＝8的解的特点，你能联想到最近学过的什么知识？
　　【师生活动】教师引导学生在平面直角坐标系中，把二元一次方程2x＋y＝8的一个解用一个点表示出来．学生动手画出平面直角坐标系，并标出一些以方程2x＋y＝8的解为坐标的点．
　　教师提问：过这些点中的任意两点作直线，你有什么发现？在这条直线上任取一点，这个点的坐标是方程2x＋y＝8的解吗？
　　学生独立操作、思考，完成作答，教师展示动画并总结．
　　【归纳】实际上，在平面直角坐标系中，以每个二元一次方程的解为坐标的点都在一条直线上，这条直线上有无数个点，每一个点的坐标(x，y)都是这个方程的一个解，这条直线外的任意点的坐标都不是这个方程的解．
　　【设计意图】与学过的平面直角坐标系的知识相结合，让学生认识二元一次方程的几何意义，从图形角度理解二元一次方程的解有无数个，为学习“一次函数”等埋下伏笔．
　　【问题】是否存在符合问题的实际意义的x，y的值既满足方程x＋y＝6，又满足方程2x＋y＝8？
　　【师生活动】教师引导学生观察两个表格发现：x＝2，y＝4既满足方程x＋y＝6，又满足方程2x＋y＝8．也就是说，x＝2，y＝4是方程x＋y＝6与方程2x＋y＝8的公共解．教师组织学生归纳出x＝2，y＝4是二元一次方程组的解，记作
　　结合前面的问题可知，这个种棉大户租用了2台大型采棉机，4台小型采棉机.
　　【新知】一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解．
　　提醒：
　　（1）二元一次方程组一般都只有一组解（有时没有解或有无数组解）；
　　（2）二元一次方程组的解是该方程组中每一个方程的解，而二元一次方程组中某个方程的解不一定是该方程组的解．
　　【设计意图】通过探究活动认识二元一次方程组的解，为实际问题分析提供了基础．
二、典例分析
　　【例1】已知＋(n＋2)y＝10是关于x，y的二元一次方程，求m，n的值．
　　【分析】x的指数必须是1，y前面的系数必须不等于0，上述方程才是二元一次方程．
　　【答案】解：根据二元一次方程的概念，得
　　m－1＝1，且n＋2≠0，
　　所以m＝2，n≠－2．
　　【归纳】利用二元一次方程的概念确定字母参数取值的方法
　　根据二元一次方程的概念可知，需满足条件：含有未知数的项的次数都是1，且两个未知数的系数都不为零．根据条件列出关于字母参数的式子，进而得到相应字母参数的值．
　　【设计意图】通过例题，进一步加深学生对二元一次方程的概念及其特点的掌握．
　　【例2】若是二元一次方程组的解，则m－n的值是______．
　　【师生活动】教师引导学生作答，然后教师给出正确答案．
　　【答案】4
　　【解析】由题意可知，是方程组的解，
　　将代入方程组，
　　解得
　　所以m－n＝4．
　　【例3】加工某种产品须经两道工序，第一道工序每人每天可完成900件，第二道工序每人每天可完成1 200件．现有7名工人参与这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一、二道工序所完成的件数相等？
　　【分析】题中必须满足两个条件：参与第一道工序的工人人数＋参与第二道工序的工人人数＝7，第一道工序完成总件数＝第二道工序完成总件数．
　　【答案】解：设每天第一道工序安排x名工人，第二道工序安排y名工人．
　　由题意，得
　　列表格找出满足方程x＋y＝7，且符合问题的实际意义的解．
x 1 2 3 4 5 6
y 6 5 4 3 2 1
　　当x＝4，y＝3时，也满足方程900x＝1 200y．
　　所以是方程组的解．
　　答：每天第一道工序安排4名工人，第二道工序安排3名工人．
　　【设计意图】在例题讲解过程中，让学生充分活动起来，通过例题探究来进行总结，重点在于理解，会灵活运用．
【设计意图】通过例题，考查学生对二元一次方程组的解的掌握情况．
课堂小结
课后任务
　　完成教材第89页练习题．

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