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10.2　消元——解二元一次方程组 复习
　　1．能观察方程组的系数特点，根据方程组的整体特征，选择解决问题的最优方法．
　　2．能利用二元一次方程组解决其他的数学问题．
　　3．经历观察和分析选择解决问题的最优方法的过程，培养逻辑思维能力和推理能力．
　　会对方程组的整体特征进行分析，选择最优解决方法．
　　消元法解二元一次方程组的灵活应用．
知识回顾
　　1．消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，就可将二元一次方程组转化为 一元一次方程 ．可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫作消元思想．
　　2．代入法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用 含另一个未知数 的式子表示出来，再代入另一个方程，实现 消元 ，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫作 代入消元法 ，简称代入法．
　　3．加减法：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数 相反 或 相等 时，把这两个方程的两边分别 相加 或 相减 ，就能消去这个未知数，得到一个 一元一次方程 ，这种方法叫作加减消元法，简称 加减法 ．
　　4．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”你能用二元一次方程组表示题中的数量关系吗？请选择你认为简便的方法解决这个问题．
　　【师生活动】学生独立完成，小组交流，对各种方法进行比较．
　　【答案】解：设笼中有鸡x只、兔y只．
　　根据题意，得
　　由①，得x＝35－y．③
　　把③代入②，得2(35－y)＋4y＝94，　　解得y＝12．
　　把y＝12代入③，得x＝23．
　　所以这个方程组的解为
　　答：笼中有鸡23只、兔12只．
　　【设计意图】复习消元解二元一次方程组的相关知识，巩固基础，引出本节课学习的“消元解二元一次方程组的灵活应用”．
新知探究
类型一、整体思想在解方程组中的应用
　　【问题】1．用适当的方法解方程组：
　　【师生活动】教师给出分析，学生根据分析独立思考，师生一起总结．
　　【分析】解题的关键是利用整体思想把x＋y和x－y分别看成整体进行消元，先求x＋y，x－y的值，再求x，y的值．
　　【答案】解：②×6，得3(x＋y)＋(x－y)＝6．③
　　③－①，得5(x－y)＝2，即x－y＝．
　　把x－y＝代入①，得x＋y＝．
　　解方程组得
　　所以原方程组的解为
　　【归纳】利用整体思想解二元一次方程组的步骤
　　第1步：找准“整体”，从已知方程组中找到可以作为整体的式子；
　　第2步：正确变形，求解整体，把方程组看作以选定的“整体”为未知数的二元一次方程组，并求解；
　　第3步：求原方程组的解，此时得到的解并不是原方程组的解，需根据选择的“整体”进一步求出原方程组中未知数的值．
　　【设计意图】通过解答本题，让学生知道对于解系数有规律的二元一次方程，除了常用的代入法、加减法，还可以用整体思想解二元一次方程组．
　　【问题】2．已知方程组的解为求方程组的解．
　　【师生活动】教师引导学生观察已知方程组和所求方程组的结构特征，找出“整体”，学生小组讨论，完成作答．
　　【答案】解：把(x＋2)和(y－1)分别看成整体A，B，
　　则所求的方程组可转化为
　　因为方程组的解为
　　所以即解得
　　所以原方程组的解为
　　【设计意图】通过解答本题，让学生意识到，运用整体思想解二元一次方程组的前提是方程组中每一个方程都有相同结构的式子，培养学生的逻辑思维能力和推理能力．
类型二、系数成对称关系的二元一次方程组的解法
　　【问题】3．解方程组：
　　【师生活动】教师引导学生观察x与y的系数的关系，学生小组讨论，完成作答．
　　【分析】若方程组中两个方程的x与y的系数成对称关系，则先把两个方程相加和相减，转化为关于x＋y，x－y的方程组，再利用加减消元法求解．
　　【答案】解：①＋②，得25x＋25y＝75，即x＋y＝3．③
　　②－①，得x－y＝1．④
　　将③④联立，得解得
　　所以原方程组的解为
　　【归纳】对于系数成对称关系的二元一次方程组，通过两方程加减重新构造方程组解答比较简单，也可直接用加减消元法或代入消元法求解，但过程比较烦琐．
　　【设计意图】通过解答本题，让学生知道对于解未知数系数较大，且系数有规律的二元一次方程，可以通过两方程加减重新构造方程组解答，让学生逐步积累解二元一次方程组的经验，提高选择能力．
类型三、利用二元一次方程组求代数式的值
【问题】4．已知是关于x，y的二元一次方程组的解，则代数式
(a＋b)(a－b)的值为____________．
　　【师生活动】学生独立思考作答，教师讲评总结．
　　【答案】－8
　　【解析】把代入方程组，得
　　由①＋②，得a＋b＝－4．
　　由①－②，得5a－5b＝10，即a－b＝2．
　　所以(a＋b)(a－b)＝－4×2＝－8．
　　【归纳】已知二元一次方程组求关于未知数的式子的值时，有时不必解方程组，可将所求式子看作一个整体，利用方程组中两个方程之间的相关运算直接求出式子的值．
　　【设计意图】通过解答本题，让学生学会利用二元一次方程组求代数式的值，进一步体会整体思想．
　　【问题】5．若x，y的值满足方程组则＋＝_____，－＝_____．
　　【师生活动】学生独立完成，一名学生板演，教师讲评．
　　【答案】16　　10
　　【解析】
　　由①＋②，得＋＝80，则＋＝16．
　　由①－②，得－＝10．
类型四、同解方程组的应用
　　【问题】6．已知关于x，y的方程组和有相同的解，求(－a)b的值．
　　【师生活动】学生小组讨论，尝试解答，教师给予帮助．
　　【分析】因为两个方程组有相同的解，所以只要将两个方程组中不含有a，b的两个方程联立，组成新的方程组，求出x和y的值，再将x，y的值代入含有a，b的两个方程中，解关于a，b的方程组即可得出a，b的值，进而可求得(－a)b的值．
　　【答案】解：因为两方程组有相同的解，所以原方程组可化为
　　①②
　　解方程组①，得
　　代入方程组②，得解得
　　所以(－a)b＝(－2)3＝－8．
　　【问题】7．若关于x，y的方程组的解也是方程3x＋2y＝17的一个解，求m的值．
　　【师生活动】教师提示：一个二元一次方程组和一个方程同解可以理解为三个方程有相同的解．学生根据提示独立完成，教师给出答案．
　　【答案】解：方法1：
　　①－②，得3y＝－6m，即y＝－2m．
　　把y＝－2m代入①，得x－4m＝3m，所以x＝7m．
　　把x＝7m，y＝－2m代入3x＋2y＝17，得21m－4m＝17，解得m＝1．
　　方法2：
　　①×3－②，得2x＋7y＝0．
　　联立2x＋7y＝0与3x＋2y＝17，得方程组
　　解这个方程组，得
　　把代入①，得7－4＝3m，解得m＝1．
　　【归纳】利用同解方程（组）求字母参数的方法
　　当几个二元一次方程有公共解或两个二元一次方程组同解时，可利用两个不含有字母参数或通过运算可将字母参数消去的二元一次方程组成新的方程组，并求出新方程组的解，然后利用这个解得到关于字母参数的方程（组），解方程（组）进而求得字母参数的值．
　　【设计意图】通过解答6～7题，让学生知道如何用同解方程求字母参数．
类型五、有关二元一次方程组的新题型
　　【问题】8．定义一种运算“◎”，规定x◎y＝ax－by，a，b为常数，且2◎3＝6，4◎2＝8，则a＋b的值是__________．
　　【师生活动】师生一起分析题目，完成作答．
　　【答案】
　　【解析】因为x◎y＝ax－by．
所以2◎3＝2a－3b＝6，4◎2＝4a－2b＝8，即
解得
　　所以a＋b＝．
　　【设计意图】通过对此题进行解答，让学生知道解有关二元一次方程组的新题型的一般步骤：先弄清题目所给的解题方法，再按照题目所给的方法进行解题．
课堂小结
课后任务
　　完成教材第99页习题10.2第1～6题．

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