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4.1.2《三角形的三边关系》教案
一、核心素养目标
1、能从彩灯线路、四边形停车场等生活场景中，抽象出三角形三边关系的几何模型，理解 “两点之间线段最短” 在现实中的体现。
2、经历 “测量计算→猜想归纳→演绎证明” 的探究过程，掌握三角形任意两边之和大于第三边的推理方法，发展归纳与演绎思维。
3、用符号语言表述三边关系（如 a+b>c，|a-b|二、教学重难点
（一）教学重点
三角形按边分类（不等边三角形、等腰三角形、等边三角形）及相关概念（腰、底边、顶角、底角）。
三角形三边关系定理（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）的探究与应用。
（二）教学难点
三边关系定理的灵活应用（如已知两边求第三边范围、判断三条线段能否构成三角形）。
等腰三角形中三边关系的特殊性（如已知两边求周长时的分类讨论）。
三、教学方法
情境探究法、实验操作法、问题驱动法、变式训练法
四、教学环节
（一）新课导入（5 分钟）
复习回顾：
提问：“三角形按角分为哪几类？” 展示锐角、直角、钝角三角形的图片，学生快速回答。
追问：“除了按角分类，三角形还可以按什么标准分类？” 引出按边分类的课题。
情境引入：
展示彩灯线路图：“黄色彩灯线与红色彩灯线哪根长？为什么？” 引导学生用 “两点之间线段最短” 解释，为三边关系铺垫。
（二）新课探究（25 分钟）
探究点 1：等腰（边）三角形及按边分类（8 分钟）
概念建构：
展示不同三角形图片，指出 “有两边相等的三角形叫等腰三角形”，标注腰、底边、顶角、底角。
定义等边三角形：“三边都相等的三角形，是特殊的等腰三角形”，辨析 “等腰三角形不一定是等边三角形”。
分类归纳：
引导学生按边分类：
强调：“等腰三角形的底角必为锐角，顶角可以是锐角、直角或钝角”。
即时练习：
判断正误
(1) 一个钝角三角形一定不是等腰三角形。 ( )
(2) 等边三角形是特殊的等腰三角形。 ( )
(3) 等腰三角形一定是等边三角形。 ( )
(4) 等腰三角形只有两条边相等。 ( )
(5) 三角形按边分类可分为不等边三角形，等腰三角形和等边三角形。 ( )
探究点 2：三角形的三边关系（17 分钟）
实验猜想：
学生测量课件中三个三角形的边长，计算任意两边之和与第三边的大小关系，填写表格：
三角形 a+b 与 c a+c 与 b b+c 与 a
(1) > > >
归纳猜想：“三角形任意两边之和大于第三边”。
演绎证明：
利用 “两点之间线段最短” 证明：在△ABC 中，AB+AC>BC（BC 为线段，AB+AC 为折线）。
推导推论：“任意两边之差小于第三边”（如 | a-b|应用探究：
例题：“有两根长度分别为 5cm 和 8cm 的木棒，用长度为 2cm 的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？长度为 13cm 的木棒呢？”
思路：2+5=7<8（不能），5+8=13（等于，不能），强调 “两边之和必须严格大于第三边”。
变式：“如果一根木棒能与长度分别为 5 cm 和 8 cm 的两根木棒摆成三角形，那么它的长度取值范围是什么？” 引导得出 8-5技巧总结：
判断三条线段能否构成三角形的简法：“短边 + 短边> 长边” 或 “长边 - 短边 < 第三边”。
（三）例题讲解（8 分钟）
例题 1：“下列长度能否组成三角形：
(1)5cm， 6cm，10cm (2)6cm，10cm，8cm
(3)2cm， 3cm， 5cm (4)4cm，9cm，4cm
例题 2：“等腰三角形两边为 3 和 7，求周长”
分类讨论：
若腰为 3，3+3<7（不能）；
若腰为 7，7+7>3（能），周长 = 7+7+3=17，故答案为 B。
例题 3：“化简 | a-b+c|+|b-a-c|”
分析：由三边关系得 a+c>b，a+c>b a-b+c>0，b-a-c=b-(a+c)<0，
化简：(a-b+c)+(-b+a+c)=2a-2b+2c。
（四）课堂练习（10 分钟）
基础题：
1.下列长度的三条线段能组成三角形的是（ C）。
A.3，4，8 B.5，5，11 C.5，6，10 D.5，5，10
2.现有长度分别为1cm，2cm，3cm，4cm，5cm 的五条线段，从其中选三条线段为边可以构成_____个的不同的三角形.
3.如果三角形的两边长分别是 2 和 4，且第三边是奇数，那么第三边长为______. 若第三边为偶数，那么三角形的周长______.
提升题：
某地有四个汽车停车场，位于如图所示的四边形ABCD 的四个顶点，现在要建立一个汽车维修站，你能利用“三角形任意两边之和大于第三边”在四边形ABCD的内部找一点P，使点 P 到 A，B，C，D 四点的距离之和最小吗？
实际应用题：
讨论：“为什么桥梁斜梁长度需满足三边关系？” 结合稳定性与结构安全解释。
（五）课堂小结（2 分钟）
知识梳理：
按边分类：不等边三角形、等腰三角形（含等边三角形）。
三边关系：任意两边之和 > 第三边，任意两边之差 < 第三边，应用于判断、求值、化简。
方法总结：
实验归纳→逻辑证明→应用拓展的探究路径；
分类讨论与不等式思想在边长计算中的应用。
（六）课后作业
必做题：课本 P90 随堂练习第 1、2 题；习题 4.2 第 1、3 题。
选做题：探究 “三边关系在四边形对角线交点问题中的应用”（如课件中停车场选址）。
实践题：用长度为 3cm、5cm、7cm 等小棒摆三角形，记录能 / 不能构成的组合，验证三边关系。
五、板书设计
第四章 1 认识三角形（第2课时）
一、三角形按边分类
1. 三边都不相等的三角形
2. 等腰三角形
- 底边≠腰的等腰三角形
- 等边三角形（特殊等腰三角形）
二、三边关系定理
1. 任意两边之和>第三边（a+b>c, a+c>b, b+c>a）
2. 任意两边之差<第三边（|a-b|三、例题解析
例：5cm、8cm木棒，第三边x范围：3六、教学反思
（一）成功亮点
实验探究成效显著：通过测量计算三边长度，90% 学生能自主归纳三边关系，动手操作有效降低抽象理解难度。
分类讨论渗透充分：在等腰三角形边长计算中，引导学生通过 “能否构成三角形” 进行分类，减少 “腰为 3” 等错误答案。
生活情境深度融合：彩灯线路、停车场选址等实例，使三边关系的应用更具现实意义，提升学习兴趣。
（二）不足改进
时间分配待优化：按边分类讲解耗时过长（10 分钟），导致三边关系应用练习时间紧张，需压缩概念讲解，增加 “短边 + 短边> 长边” 的技巧训练。
分层练习针对性不足：提升题中 “绝对值化简” 部分学生理解困难，可增加 “先判断正负再化简” 的分步练习。
数学语言规范性欠缺：部分学生表述三边关系时遗漏 “任意” 关键词，或混淆 “两边之和” 与 “最长边”，需在板书和练习中强化规范表达。
（三）改进方向
制作 “三边关系探究” 学习单，预设测量数据表格与问题引导，提高实验效率。
设计 “数学诊所” 活动，展示 “2,3,5 能构成三角形” 等典型错误，让学生辨析纠正。
课后布置 “生活中的三边关系” 调查作业，要求拍摄实例并说明原理，深化数学与生活的联系。

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