资源简介

教学设计
课题 23.4.1中位线
目标确立依据 课标分析 探究并证明三角形的中位线定理。
教材分析 本节课内容选自华师大版数学九年级上册第23章第4节中位线第1课时，教材之所以把三角形中位线定理安排在相似三角形之后,是基于体现课标中“探究、证明三角形中位线定理”,通过相似三角形的预备定理能比较自然地引人三角形中位线定理,三角形中位线定理也可以利用相似三角形的有关定理来证明,它是相似三角形有关内容的自然延伸,是几何中的重要定理。三角形中位线定理深刻地揭示了三角形内部各元素之问的联系,是解决线段平行问题和线段倍半关系问题的重要工具。
学情分析 立足于学生的生活经验和数学活动经历，会用三角形中线性质等分三角形面积，并会在直角坐标系中能用坐标正确表示中点。 前测： 1.如图1，你能把一个三角形都分为面积相等的两个三角形？ 如图2，请问你是如何分法的？是如何找到边的中点的？为什么这两个三角形的面积相等？这两个三角形全等吗？ 你能将一个三角形分割成四个面积相等的三角吗？ 2.(1)平面直角坐标系，已知点A坐标为(-2，-4),点B坐标为(4,6)，那么这两点坐标连线的中点坐标是：（ ）。 (2)平面直角坐标系，设一点坐标为(a,b),另一点坐标为(c,d)，那么这两点坐标连线的中点坐标是：（ ）。 存在问题： 第1题有85%的同学很快找到平分面积的方法，12%对知识遗忘，3%完全找不到思路。 第2题，80%能正确表示中点坐标，15%表示学过，就是忘了怎么求中点坐标，5%的表示完全不知道。 策略： 1.教学中通过将一个三角形分割成四个面积相等的三角形的活动，让学生理解中线与中位线的区别，并用数学语言表述这两概念，强化理解。 2.通过学生猜想、测量探究、推理论证、总结归纳中位线定理。 3.通过课中练习和课后练习，强化学生对“中位线定理”的理解和应用。
教学目标 1.能表示中位线定义，能辨识或画出三角形的中位线。 2.经历论证的基本流程，能用多种方法推理证明三角形中位线定理。 3.能用三角形的中位线定理进行简单的应用，提高学生应用意识，感受数学来于生活用于生活。
重难点 1.能表示中位线定义，能辨识或画出三角形的中位线。 2.经历论证的基本流程，能用多种方法推理证明三角形中位线定理。
评价任务 1.通过课前等分三角形的探究活动，能表示中位线定义，能辨识或画出三角形的中位线，培养几何直观能力；（对应目标1）。 2.通过学生猜想、度量探究、推理论证、总结归纳，经历三角形中位线定理的形成过程，体验数学的严谨性，体会转化、数形结合等数学思想，感悟“一题多解”的思维方式，培养学生语言表达和归纳的能力。（对应目标2） 3.通过课中检测和课后检测及时反馈和巩固。（对应目标3）
教学过程
教学环节 教学活动 评估要点
活动导入 ， 激活思维 通过前侧活动，收集四位同学的“将一个三角形分割成面积相等的四个三角形”的4种分法：分法如下 不难看出这几种分法都与线段中点有关。我们把第三种分法抽离出来进行观察，图中，有顶点和对边中点的连线段，也有两边中点的连线段。我们知道，由三角形的一个顶点到对边中点的连线段，我们称之为三角形的中线。那么连接三角形两边中点的线段又称之为什么线呢？这就是我们本节课主要研究的内容。 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 一个三角形有 条中位线。三角形的中位线有什么性质呢？ 通过活动将任意一个三角形分割成四个面积相等的三角形引入中位线定义，并让学生理解定义。
观 察 猜 想 ， 发 展 思 维 问题1： 观察如图，猜想线段DE与BC边有怎样的位置关系和数量关系. 问题 2 ：你能借助手头上的工具，比如直尺、圆规、量角器等，去验证你的猜想吗？ 问题3： 通过工具去度量验证一定准确吗？ 不一定准确。那么，请问如何从理论上证明这个结论？ 学生动脑猜想结论，再动手量一量，画一画验证猜想结论。
推理论证 ， 提升思维 如图，已知线段DE是△ABC的中位线. 求证：DE∥BC，DE=。 证明1： 在△ABC中， ∵点D、E分别是AB与AC的中点， ∴，且∠A=∠A， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∴DE∥BC，DE=。 其它证明方法： 证法2：过点C作CF//AB,与DE的延长线交于点F。 易证△ADE≌△CFE（SAS）， 可得:四边形BDFC为平行四边形， 从而证得： 证法3： 延长DE至点F，使得EF=DE，连接CF. 易证△ADE≌△CFE（SAS）， 可得：四边形BDFC为平行四边形， 从而证得： 证法4： 建立如图,所示的平面直角坐标系. 设A（a，b），B（0，0），C（c，0）， 则D， 所以 证法5：（渗透中国数学史）视频展示中国魏晋时期数学家刘徽的“割补法”，请同学们课后自行探究证明。 学生通过证一证， 逻辑推理验证结论，体验数学的严谨性。 同时，让学生感悟“一题多解”的思维方式。
总结：三角形的中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 几何语言： ∵DE是△ABC的中位线 ∴ 学生表述展示，培养学生语言能力，和抽象能力。
例1：在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点. (1)已知∠C=70°，则∠AED= . (2)已知DE=5cm，则BC = cm. (3)已知AB=12cm，则EF = cm. (4)已知△ABC的周长为20cm,则 △DEF的周长为 cm. 初步应用定理，加强对定理的理解。
学以致用 ， 深化思维 例2：（教材78页例1）求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。 已知：如图 ，在△ABC中，AD=DB，BE=EC，AF=FC。 求证：AE、DF互相平分。 证明 连结DE，EF， ∵AD=DB，BE=EC ∴DE//AC,且DE= （三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半） 同理可得EF//AB,且 EF= ∴ 四边形 ADEF是平行四边形， ∴AE、DF互相平分。 例题精讲，规范示范，深化定理理解。
1 .如图，需测量河流宽 AB的长度，可以先取一个如图所示的点C，连接CA，CB，分别在线段CA， CB上取中点D，E，连接DE，测得DE= 150 m，则可得A，B之间的距离为 ______ m。 （教材80页习题第2题）如图,矩形ABCD的对角线ACJBD相交于点O，E、F、G、H分别为OA、OC、OB、OD的中点.求证.四边形EGFH是矩形. 课中检测，及时应用反馈，
课堂小结 ， 整理思维 本节课我们学习了什么？学到了什么？学会了什么？ （三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 论证的基本流程：猜想-验证-证明-结论和“一题多解”的思维方式。 能用中位线定理进行简单的应用。） 学生表述总结
课后检测 ， 巩固思维 1.（教材80页习题第3题）如图,在四边形ABCD中,AD=BC,P是对角线BD的中点,M是DC的中点,N是AB的中点。求证:∠PMN=∠PNM。 2.（由教材79页练习第1题改编） 如图,在△ABC中,E、F、D分别为边BC、AC、AB的中点，连接DE、EF、DF,已知AB=8,BC=10,AC=6.试求出线段DE= ，EF= ，DF = 。则 . 。则____. 。 3.（教材79页练习第2题）求证，顺次连接四边形各边的中点所得的四边形是平行四边形。 4. 如图，在正方形ABCD中，AB= ，E、F分别是边AB、BC的中点，连接AF、DE，P、Q分别是AF、DE的中点，连接PQ，则PQ＝______． 课后检测 ， 巩固延伸
板书设计
23.4.1中位线 1.三角形的中位线定义： 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 2.三角形的中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 几何语言： ∵DE是△ABC的中位线 ∴ 3.论证的基本流程：猜想-验证-证明-结论 多媒体 老师示范区或学生展示区
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