资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
【江苏省各地区真题汇编】函数概念与性质考前专题特训-2025年高考数学
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 苏州期末）函数的单调递减区间为（　　）
A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，0] C．[0，+∞） D．[1，+∞）
2．（2025春 金坛区校级月考）已知函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是（　　）
A．[﹣3，﹣2） B．（﹣3，﹣2] C．[﹣3，﹣2] D．（﹣3，﹣2）
3．（2025 江苏模拟）已知函数f（x）和g（x）的定义域均为R．若f（x+1）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（x）﹣g（x﹣2）＝2﹣x，则f（g（﹣1））＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
4．（2024秋 苏州期末）函数y＝f（x）的图象如图①所示，则如图②所示的图象对应的函数解析式可能为（　　）
A．y＝f（﹣x）+1 B．y＝f（﹣x+1）
C．y＝﹣f（x+1） D．y＝﹣f（﹣x﹣1）
5．（2024秋 苏州期末）下列函数中，定义域为[1，+∞）的是（　　）
A．f（x）＝|x|+1 B．
C．f（x）＝ln（x﹣1） D．
6．（2023春 新沂市校级月考）函数的部分图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
7．（2024秋 泰州月考）已知A＝{x∈N|x＜12}，B＝{x∈N|x＜3}，函数f1：A→N，f1（x）的值等于x除以6得到的余数，f2：N→B．设f（x）＝f2（f1（x）），若存在y∈B，使得对于任意的x∈A，都不满足y＝f（x），则函数f（x）的个数是（　　）
A．729 B．189 C．378 D．540
8．（2023春 常熟市校级月考）如图所示的“心形”图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”图形在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为（　　）
A． B．
C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025 武进区校级一模）下列各组函数的图象，通过平移后能重合的是（　　）
A．y＝sinx与y＝﹣sinx B．y＝x3与y＝x3﹣x
C．y＝2x与y＝3 2x D．y＝lgx与y＝lg（3x）
（多选）10．（2025春 如皋市期中）已知f（x）的定义域为R，若f（x﹣3）为奇函数，f（x﹣2）为偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝e﹣xex，则（　　）
A．f（﹣5）＝0 B．f（6）＝e
C．f（x）为偶函数 D．
（多选）11．（2025 江苏校级三模）已知函数是奇函数，且f（1）＞0，则（　　）
A．a＝﹣1
B．a＝1
C．f（x）在R上单调递增
D．若对任意实数x，不等式f（4sin2x+cosx﹣3）+f（m）＜0恒成立，则
三．填空题（共3小题）
12．（2025 武进区校级一模）若在[﹣1，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围为　 　 ．
13．（2016秋 如东县校级月考）函数的单调增区间为　 　 ．
14．（2025春 姑苏区月考）已知奇函数f（x）的一个周期为2，当x∈（0，1）时，，则f（7.5）＝　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 常州期中）已知函数f（x）＝ex﹣x﹣1，g（x）＝alnx﹣x．
（Ⅰ）若h（x）＝f（x）﹣g（x）在[1，2]单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a＜0时，若对任意的，总存在，使得f（x1）≤g（x2），求实数a的取值范围．
16．（2025 江苏校级三模）已知函数f（x）＝ax+ka﹣x（a＞0，且a≠1）．
（1）讨论f（x）的奇偶性；
（2）若，不等式f（﹣lnt）+f（ln（t2﹣6））＜0恒成立，求t的取值范围．
17．（2025春 高邮市期中）已知函数f（x）＝sinx﹣xcosx+ax，x∈（0，π）．
（1）若a＝0，求曲线y＝f（x）在点处的切线方程；
（2）若f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若a＝﹣1，证明：f（x）在（0，π）上有且只有一个零点．
18．（2025春 如皋市校级月考）对于函数h（x）＝asinx+bcosx，称向量为函数h（x）的相伴特征向量，同时称函数h（x）为向量O，的相伴函数．
（1）设函数．试求函数g（x）的相伴特征向量的坐标；
（2）记向数的相伴函数为f（x）．
（i）当时，求sinx的值；
（ii）当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围．
19．（2025春 苏州校级月考）已知函数为奇函数．且f（x）图象的相邻两对称轴间的距离为．
（1）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，当时，求函数g（x）的值域．
（2）设h（x）＝f（x）+sinx+cosx，若h（x）≤c恒成立，求实数c的最小值．
【江苏省各地区真题汇编】函数概念与性质考前专题特训-2025年高考数学
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C D D D D B A
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ACD ACD ACD
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 苏州期末）函数的单调递减区间为（　　）
A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，0] C．[0，+∞） D．[1，+∞）
【解答】解：对于，根据x2﹣1≥0，可得x≤﹣1或x≥1，
因此的定义域为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），
由于内层函数u＝x2﹣1在[1，+∞）上为增函数，在区间（﹣∞，﹣1]上为减函数，
外层函数在[0，+∞）上为增函数，
由复合函数的单调性可知，函数的减区间为（﹣∞，﹣1]．
故选：A．
2．（2025春 金坛区校级月考）已知函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是（　　）
A．[﹣3，﹣2） B．（﹣3，﹣2] C．[﹣3，﹣2] D．（﹣3，﹣2）
【解答】解：因为函数在R上单调递减，
又因为当x≤0时，f（x）＝ax+2cosx，
所以f′（x）＝a﹣2sinx≤0恒成立，
则a≤（2sinx）min＝﹣2；
当x＞0时，由f（x）＝ax2﹣x﹣2a﹣4在（0，+∞）上单调递减，
若a＝0，f（x）＝﹣x﹣4，合题意，
若a≠0，则，解得a＜0，
所以a≤0；
又因为﹣2a﹣4≤2，解得a≥﹣3．
综上所述，a∈[﹣3，﹣2]．
故选：C．
3．（2025 江苏模拟）已知函数f（x）和g（x）的定义域均为R．若f（x+1）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（x）﹣g（x﹣2）＝2﹣x，则f（g（﹣1））＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【解答】解：因为f（x+1）是奇函数，所以f（﹣x+1）＝﹣f（x+1），
所以f（1）＝﹣f（1），所以f（1）＝0，
又f（x）﹣g（x﹣2）＝2﹣x，
所以f（1）﹣g（﹣1）＝1，所以g（﹣1）＝﹣1，
又f（3）﹣g（1）＝﹣1，又g（x）是偶函数，
所以f（3）＝g（1）﹣1＝g（﹣1）﹣1＝﹣2，
所以f（g（﹣1））＝f（﹣1）＝f（﹣2+1）＝﹣f（2+1）＝﹣f（3）＝2．
故选：D．
4．（2024秋 苏州期末）函数y＝f（x）的图象如图①所示，则如图②所示的图象对应的函数解析式可能为（　　）
A．y＝f（﹣x）+1 B．y＝f（﹣x+1）
C．y＝﹣f（x+1） D．y＝﹣f（﹣x﹣1）
【解答】解：先将y＝f（x）的图象关于原点对称，可得出y＝﹣f（﹣x）的图象，如下图所示：
再将所得图象向左平移1个单位，可得出图②，
因此图②对应的函数为y＝﹣f（﹣（x+1））＝﹣f（﹣x﹣1）．
故选：D．
5．（2024秋 苏州期末）下列函数中，定义域为[1，+∞）的是（　　）
A．f（x）＝|x|+1 B．
C．f（x）＝ln（x﹣1） D．
【解答】解：对于选项A，f（x）＝|x|+1的定义域为R，所以选项A错误；
对于选项B，根据2x﹣1≥0得x≥0，因此函数的定义域为[0，+∞），所以选项B错误；
对于选项C，由x﹣1＞0得x＞1，故f（x）＝ln（x﹣1）的定义域为（1，+∞），所以选项C错误；
对于选项D，由得x≥1，故的定义域为[1，+∞），所以选项D正确．
故选：D．
6．（2023春 新沂市校级月考）函数的部分图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题意可得：函数f（x）的定义域为R，
，
所以f（x）为奇函数．
当x＞0时，f（x）＞0，故可排除B、C；
当x→+∞，f（x）→0，故可排除A．
故选：D．
7．（2024秋 泰州月考）已知A＝{x∈N|x＜12}，B＝{x∈N|x＜3}，函数f1：A→N，f1（x）的值等于x除以6得到的余数，f2：N→B．设f（x）＝f2（f1（x）），若存在y∈B，使得对于任意的x∈A，都不满足y＝f（x），则函数f（x）的个数是（　　）
A．729 B．189 C．378 D．540
【解答】解：A＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11}，B＝{0，1，2，3}，函数f1与f2的关系如下图所示：
可以看出，由于函数f1（x）的对应关系固定，
函数f（x）＝f2（f1（x））的个数只取决于N的0，1，2，3，4，5到B的对应关系．
因为存在y∈B，使得对于任意的x∈A，都不满足y＝f（x），
所以N的0，1，2，3，4，5没有对应满B中的所有元素．
考虑其反面，即对于任意的y∈B，总存在x∈A，使得y＝f（x），
即N的0，1，2，3，4，5对应满了B中的所有元素．
求满足反面的f（x）的个数的问题等价于“6名工人到3间工厂应聘，每名工人只去一间工厂，每间工厂至少有一名工人前来应聘，求应聘情况的总数”，
一共有种情况，
即满足反面的f（x）有540个，没有限制条件的f（x）有36＝729个，
因此满足题目条件的f（x）有729﹣540＝189个，故B正确．
故选：B．
8．（2023春 常熟市校级月考）如图所示的“心形”图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”图形在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A选项：易知为偶函数，当x≥0时，，
此函数在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，且f（0）＝0，f（1）＝1，f（2）＝0，故A正确；
B选项：记，则，故B错误；
C选项：，故C错误；
D选项：记，则，故D错误．
故选：A．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025 武进区校级一模）下列各组函数的图象，通过平移后能重合的是（　　）
A．y＝sinx与y＝﹣sinx B．y＝x3与y＝x3﹣x
C．y＝2x与y＝3 2x D．y＝lgx与y＝lg（3x）
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝sin（x+π）＝﹣sinx，将y＝sinx向左平移π可得y＝﹣sinx的图象，符合题意；
对于B，假设y＝（x+a）3+b＝x3﹣x，变形可得x3+3ax2+3a2x+a3+b＝x3﹣x，不存在a、b的值满足该式，
故y＝x3与y＝x3﹣x不能通过平移重合，不符合题意；
对于C，2x3 2x，则y＝2x与y＝3 2x能通过平移重合，符合题意；
对于D，y＝lg（3x）＝lgx+lg3，将y＝lgx的图象向上平移lg3个单位，可得y＝lg（3x）的图象，符合题意．
故选：ACD．
（多选）10．（2025春 如皋市期中）已知f（x）的定义域为R，若f（x﹣3）为奇函数，f（x﹣2）为偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝e﹣xex，则（　　）
A．f（﹣5）＝0 B．f（6）＝e
C．f（x）为偶函数 D．
【解答】解：因为f（x）的定义域为R，若f（x﹣3）为奇函数，f（x﹣2）为偶函数，
所以f（﹣x﹣3）+f（x﹣3）＝0，f（﹣x﹣2）＝f（x﹣2），所以可得f（﹣3）＝0，
所以f（﹣x）+f（x﹣6）＝0，f（﹣x）＝f（x﹣4），
所以f（x﹣4）+f（x﹣6）＝0，
所以f（x+2）+f（x）＝0，所以f（x+4）+f（x+2）＝0，
所以f（x+4）＝f（x），所以f（x）的周期为4，
所以f（﹣5）+f（﹣3）＝0，所以f（﹣5）＝﹣f（﹣3）＝0，所以A选项正确；
所以f（6）＝f（2）＝﹣f（0）＝﹣e，所以B选项错误；
因为f（﹣x）＝f（x﹣4），f（x）的周期为4，
所以f（﹣x）＝f（x），所以f（x）为偶函数，所以C选项正确；
因为f（）＝f（），f（）＝f（），
又x∈[0，1]时，f（x）＝e﹣xex，f′（x）＝﹣ex（x+1）＜0，
所以f（x）在[0，1]上单调递减，
所以f（）＜f（），即f（）＜f（），所以D选项正确．
故选：ACD．
（多选）11．（2025 江苏校级三模）已知函数是奇函数，且f（1）＞0，则（　　）
A．a＝﹣1
B．a＝1
C．f（x）在R上单调递增
D．若对任意实数x，不等式f（4sin2x+cosx﹣3）+f（m）＜0恒成立，则
【解答】解：对于A、B，函数是奇函数，
所以有f（﹣x）+f（x）＝0，
即，
所以有1+x2﹣a2x2＝1，
所以a2＝1，解得a＝±1．
当a＝1时，有，此时，不满足题意；
当a＝﹣1时，有，此时，满足题意，故A正确，B错误；
对于C项，，定义域为R．
当x≥0时，在[0，+∞）上单调递增；
而f（x）为奇函数，故f（x）在R上单调递增．故C正确；
对于D项，结合C项可知，在R上单调递增，且为奇函数，
由f（4sin2x+cosx﹣3）+f（m）＜0可得，f（4sin2x+cosx﹣3）＜﹣f（m）＝f（﹣m），
有4sin2x+cosx﹣3＜﹣m恒成立，
有在R上恒成立．
易知，当时，取得最小值为．
要使在R上恒成立，
所以.故D正确．
故选：ACD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025 武进区校级一模）若在[﹣1，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围为　　 ．
【解答】解：题意等价于f′（x）≤0在[﹣1，+∞）上恒成立，
所以在[﹣1，+∞）上恒成立，
所以在[﹣1，+∞）上恒成立，令，
则，
当且仅当，即x＝0时等号成立，所以，
即实数a的取值范围为．
故答案为：．
13．（2016秋 如东县校级月考）函数的单调增区间为　　 ．
【解答】解：由kπxkπ，k∈Z，
得kπxkπ，k∈Z，
即函数的单调递增区间为；
故答案为：．
14．（2025春 姑苏区月考）已知奇函数f（x）的一个周期为2，当x∈（0，1）时，，则f（7.5）＝　　 ．
【解答】解：根据题意，奇函数f（x）的一个周期为2，
则f（7.5）＝f（﹣0.5+8）＝f（﹣0.5）＝﹣f（0.5），
又由当x∈（0，1）时，，则f（0.5）＝cos，
故f（7.5）；
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 常州期中）已知函数f（x）＝ex﹣x﹣1，g（x）＝alnx﹣x．
（Ⅰ）若h（x）＝f（x）﹣g（x）在[1，2]单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a＜0时，若对任意的，总存在，使得f（x1）≤g（x2），求实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）函数h（x）＝f（x）﹣g（x）＝ex﹣x﹣1﹣alnx+x＝ex﹣alnx﹣1，
求导得，
由h（x）在[1，2]单调递增，得h'（x）≥0在[1，2]上恒成立，
即xex≥a在[1，2]上恒成立，
因此a≤（xex）min，x∈[1，2]，
设H（x）＝xex，x∈[1，2]，
则H'（x）＝ex+xex＝（x+1）ex＞0，
所以H（x）在[1，2]上单调递增，
所以H（x）min＝H（1）＝e，
即a≤e，
所以a的取值范围为（﹣∞，e]．
（Ⅱ）若对任意的，总存在，使得f（x1）≤g（x2），
则当时，f（x）max≤g（x）max，
当时，f'（x）＝ex﹣1＞0，
即f（x）在上单调递增，
所以f（x）max＝f（1）＝e﹣2，
又函数g（x）＝alnx﹣x，a＜0，，
求导得g'（x），
由于a＜0，所以g'（x）＜0，
所以函数g（x）在[上单调递减，
则g（x）max，
因此，
解得，
所以a的取值范围为（﹣∞，2﹣e]．
16．（2025 江苏校级三模）已知函数f（x）＝ax+ka﹣x（a＞0，且a≠1）．
（1）讨论f（x）的奇偶性；
（2）若，不等式f（﹣lnt）+f（ln（t2﹣6））＜0恒成立，求t的取值范围．
【解答】解：（1）函数f（x）＝ax+ka﹣x的定义域为R，且f（﹣x）＝a﹣x+kax，
当f（﹣x）＝﹣f（x）时，ax+ka﹣x＝﹣（a﹣x+kax），即（1+k）（ax﹣a﹣x）＝0恒成立，
所以1+k＝0，即k＝﹣1，此时f（x）＝ax﹣a﹣x，经检验f（x）是R上的奇函数；
当f（﹣x）＝f（x）时，ax+ka﹣x＝a﹣x+kax，即（1﹣k）（ax﹣a﹣x）＝0恒成立，
所以1﹣k＝0，即k＝1，此时f（x）＝ax+a﹣x，经检验f（x）是R上的偶函数；
当k≠﹣1且k≠1时，f（﹣x）≠±f（x），此时f（x）既不是奇函数也不是偶函数；
综上，当k＝1时，f（x）是R上的偶函数；当
k＝﹣1时，f（x）是R上的奇函数；
当k≠﹣1且k≠1时，f（x）既不是奇函数也不是偶函数；
（2）函数f（x）＝ax+ka﹣x，由，得，而a＞0，a≠1，
所以a＝2，k＝﹣1，则f（x）＝2x﹣2﹣x是R上的奇函数且是R上的增函数，
不等式f（﹣lnt）+f（ln（t2﹣6））＜0 f（ln（t2﹣6））＜﹣f（﹣lnt）＝f（lnt），
即ln（t2﹣6）＜lnt，则0＜t2﹣6＜t，
解t2﹣6＞0，得或；
解t2﹣6＜t，即t2﹣t﹣6＜0，得﹣2＜t＜3．于是，
所以t的取值范围是{t|}．
17．（2025春 高邮市期中）已知函数f（x）＝sinx﹣xcosx+ax，x∈（0，π）．
（1）若a＝0，求曲线y＝f（x）在点处的切线方程；
（2）若f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若a＝﹣1，证明：f（x）在（0，π）上有且只有一个零点．
【解答】解：（1）当a＝0时，f（x）＝sinx﹣xcosx，f'（x），
所以在点处的切线方程为，即．
（2）因为x∈（0，π），且f（0）＝0，由f（x）＝sinx﹣xcosx+ax，
得f'（x）＝xsinx+a，当a≥0时，f′（x）＝xsinx+a≥0，在（0，π）上恒成立，
所以f（x）单调递增，f（x）＞f（0）＝0恒成立，当a＜0时，f'（0）＝a＜0，
又因为0＜sinx≤1，所以f'（x）＝xsinx+a≤x+a，则在（0，﹣a）上，f'（x）＝xsinx+a≤x+a＜0，
记I＝（0，π）∩（0，﹣a），则x∈I时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
f（x）＜f（0）＝0，与f（x）＞0恒成立不符，
综上所述，f（x）＞0恒成立，实数a的取值范围是[0，+∞）．
（3）证明：当a＝﹣1时，f（x）＝sinx﹣xcosx﹣x，令F（x）＝sinx﹣x，
则F（0）＝0，F'（x）＝cosx﹣1，当时，F′（x）＜0，F（x）单调递减，
所以在上，sinx﹣x＜0，xcosx＞0，易得f（x）＜0，f（x），在上没有零点，
故只需证明在上有且只有一个零点，令g（x）＝f′（x）＝xsinx﹣1，
h（x）＝g'（x）＝sinx+xcosx，在（，π）上h'（x）＝2cosx﹣xsinx＜0，h（x）单调递减，
h，所以存在，
使得h（x1）＝0，在上h（x）＞0，在（x1，π）上，h（x）＜0；
因此g（x）在上单调递增，在（x1，π）上单调递减，
，g（π）＝﹣1；所以存在x2∈（x1，π），
使得g（x2）＝0，在上，g（x）＞0，在（x2，π）上，g（x）＜0；
故f（x）在上单调递增，在（x2，π）上单调递减，
且，f（x2）＞f（π）＝0，所以在区间，
存在唯一的x0，使得f（x0）＝0在（x2，π）上没有零点，
综上所述，a＝﹣1时，函数f（x）在（0，π）上有且只有一个零点．
18．（2025春 如皋市校级月考）对于函数h（x）＝asinx+bcosx，称向量为函数h（x）的相伴特征向量，同时称函数h（x）为向量O，的相伴函数．
（1）设函数．试求函数g（x）的相伴特征向量的坐标；
（2）记向数的相伴函数为f（x）．
（i）当时，求sinx的值；
（ii）当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围．
【解答】解：（1）∵，
∴由题可知：函数g（x）的相伴特征向量的坐标．
（2）由题可知：向量的相伴函数．
（i）∵，∴，即．
∵，∴，∴．
∴；
（ii）当时，不等式可化为，即恒成立．
∵，∴．
∵，∴，∴；
当，即时，，，
不等式恒成立；
当，即时，，∴恒成立，
∴；
当，即时，，
∴恒成立，∴．
∵，∴，∴．
综上，实数k的取值范围为．
19．（2025春 苏州校级月考）已知函数为奇函数．且f（x）图象的相邻两对称轴间的距离为．
（1）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，当时，求函数g（x）的值域．
（2）设h（x）＝f（x）+sinx+cosx，若h（x）≤c恒成立，求实数c的最小值．
【解答】解：（1）因为
，
因为f（x）为奇函数，
所以，
解得，
又0＜φ＜π，所以，
因为f（x）图象的相邻两对称轴间的距离为，
即，
所以f（x）的最小正周期为π，
所以，解得ω＝2，
所以f（x）＝2sin2x，
函数f（x）的图象向右平移个单位长度，得y＝2sin2（x）＝2sin（2x），
再将y＝2sin（2x）的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得y＝2sin（4x），
即，
当时，，
则，
所以g（x）的值域为；
（2）因为h（x）＝f（x）+sinx+cosx
＝2sin2x+sinx+cosx
＝2（sinx+cosx）2+（sinx+cosx）﹣2，
令，
则，
所以当时，h（x）取得最大值，最大值为，
因为h（x）≤c恒成立，所以，
所以c的最小值为．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑