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【江苏省各地区真题汇编】函数应用考前专题特训-2025年高考数学
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 广陵区校级期中）下列区间中包含函数y＝x3+3x﹣5的零点的是（　　）
A．（﹣3，﹣2） B．（﹣1，0） C．（1，2） D．（3，4）
2．（2025春 南京校级期中）在用二分法求方程lnx+2x﹣4＝0在[1，2]上的近似解时，先构造函数f（x）＝lnx+2x﹣4，再依次计算得f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＜0，f（1.75）＞0，f（1.625）＜0，则该近似解所在的区间可以是（　　）
A．（1，1.5） B．（1.5，1.625）
C．（1.625，1.75） D．（1.75，2）
3．（2024秋 苏州期末）已知函数，若存在实数x1，x2，x3（0＜x1＜x2＜x3），使得f（x1）＝g（x2）＝f（x3），则f（x3﹣x1）+g（x2﹣x1）的最小值为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025 徐州校级模拟）已知函数f（x），若函数g（x）＝f（x）﹣||恰有3个零点，则实数k的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1]∪（1，+∞）
C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）
5．（2025春 南通校级月考）已知函数f（x）＝sincosωx（ω＞0）在[0，]上有且仅有三个零点，则ω的取值范围是（　　）
A．（，） B．[，] C．[4，] D．[4，）
6．（2025春 广陵区校级期中）已知函数f（x）﹣k，下列说法错误的是（　　）
A．f（x）的值域为（﹣1，+∞）
B．若g（x）有2个零点，则k＝0或k＝1
C．若g（x）的3个零点分别为：x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则x1x2x3的取值范围为（2，3）
D．若g（x）有1个零点，则k＜0或k＞1
7．（2025春 高邮市月考）已知函数，g（x）＝f（x）﹣2ax，若函数g（x）有5个零点，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025 江苏三模）已知四点均在函数f（x）＝log2的图象上，若四边形ABCD为平行四边形，则四边形ABCD的面积是（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025 金坛区校级二模）设函数，则下列结论正确的是（　　）
A．存在实数x0使得f（x0）＝f'（x0）
B．方程f（x）＝3有唯一正实数解
C．方程f（x）＝﹣1有唯一负实数解
D．f（x）＝1有负实数解
（多选）10．（2025春 邗江区校级期中）下列说法正确的是（　　）
A．方程的解在（1，2）内
B．函数f（x）＝x2﹣x﹣6的零点是（3，0），（﹣2，0）
C．函数y＝2x﹣x2有两个不同的零点
D．用二分法求函数f（x）＝3x+3x﹣8在区间（1，2）内零点近似值的过程中得到f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则零点近似值在区间（1.25，1.5）上
（多选）11．（2025春 南京校级月考）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），将y＝f（x）的图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象．若g（x）为偶函数，且最小正周期为，则下列说法正确的是（　　）
A．y＝f（x）的图象关于对称
B．f（x）在上单调递减
C．的解集为
D．方程在上有且只有三个相异实根
三．填空题（共3小题）
12．（2024秋 常州期末）若函数f（x）＝ax2﹣cosx+a﹣1在（﹣1，1）上恰有一个零点，则实数a的值为 　 　 ．
13．（2023春 苏州校级月考）已知函数若k＝0，则不等式f（x）＜2的解集为 　 　 ；若f（x）恰有两个零点，则k的取值范围为 　 　 ．
14．（2025 江苏校级三模）设函数，若关于x的方程[f（x）]2﹣3f（x）+2＝0的解的个数是 　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 工业园区校级期中）如图，一个直角走廊的宽分别为a，b，一铁棒与廊壁成θ角，该铁棒欲通过该直角走廊，求：
（1）铁棒长度L（用含θ的表达式表示）；
（2）当a＝b＝2米时，能够通过这个直角走廊的铁棒的长度的最大值．
16．（2025春 盐城期中）设函数（y＞0）．
（1）若f（3，y）＝a0且a2＝27，求；
（2）当m＝﹣3时，求f（6，y）展开式中系数最大的项；
（3）当m＞0时，设n是正整数，t为正实数，实数t满足f（n，1）＝mnf（n，t），求证：．
17．（2023春 江苏校级期中）如图，有一块空地△OAB，其中OA＝3km，∠OAM＝60°，∠AOB＝90°．当地政府计划将这块空地改造成一个度假区，拟在中间挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上，且∠MON＝30°，挖出的泥土堆放在△OAM地带上方便建造景观，剩下的△OBN地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在△OAN的周围安装防护网．设∠AOM＝θ，
（1）当时，求θ的值，并求此时防护网的总长度；
（2）为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小，求：△OMN面积的最小值．
18．（2024秋 阜宁县期末）已知函数f（x）满足f（x）+2f（﹣x）＝3x2+2x+3，函数g（x）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若不等式g（log2x）﹣klog2x≤0在x∈[4，8]上恒成立，求实数k的取值范围；
（3）若关于x的方程2g（|lnx|）4m﹣2＝0有四个不同的实数解，求实数m的取值范围．
19．（2024秋 苏州期末）已知函数f（x）＝loga（1﹣x）+mloga（1+x）（a＞0且a≠1）．请从以下两个条件中选择一个作为已知．解答下面的问题．
条件①：f（x）+f（﹣x）＝0；条件②：f（x）﹣f（﹣x）＝0．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分．
（1）求实数m的值；
（2）当a＝2时，判断函数g（x）＝f（x）+xm+1在区间（﹣1，0）上的零点个数，并说明理由；
（3）已知x∈（0，1），若f（x）＞2，当且仅当，求实数a，n的值．
【江苏省各地区真题汇编】函数应用考前专题特训-2025年高考数学
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C C A D D D B
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ABC AD ACD
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 广陵区校级期中）下列区间中包含函数y＝x3+3x﹣5的零点的是（　　）
A．（﹣3，﹣2） B．（﹣1，0） C．（1，2） D．（3，4）
【解答】解：设f（x）＝x3+3x﹣5，则该函数的定义域为R，
因为函数y＝x3、y＝3x﹣5在R上均为单调递增函数，
所以函数f（x）在R上为单调递增函数，
因为f（0）＝﹣5＜0，f（1）＝1+3﹣5＝﹣1＜0，
f（2）＝8+6﹣5＝9＞0，则f（1） f（2）＜0，
由零点存在定理可知，函数y＝x3+3x﹣5的零点在区间（1，2）内．
故选：C．
2．（2025春 南京校级期中）在用二分法求方程lnx+2x﹣4＝0在[1，2]上的近似解时，先构造函数f（x）＝lnx+2x﹣4，再依次计算得f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＜0，f（1.75）＞0，f（1.625）＜0，则该近似解所在的区间可以是（　　）
A．（1，1.5） B．（1.5，1.625）
C．（1.625，1.75） D．（1.75，2）
【解答】解：f（x）＝lnx+2x﹣4，且f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＜0，f（1.75）＞0，f（1.625）＜0，
则由二分法可得近似解所在的区间为（1.625，1.75）．
故选：C．
3．（2024秋 苏州期末）已知函数，若存在实数x1，x2，x3（0＜x1＜x2＜x3），使得f（x1）＝g（x2）＝f（x3），则f（x3﹣x1）+g（x2﹣x1）的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由，该函数为对勾函数，
结合对勾函数的性质可知函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，在区间（0，1）上单调递减，
根据题意可知0＜x1＜1＜x3，
根据f（x1）＝f（x3），可得，
所以，
由于0＜x1＜1＜x3，那么x1﹣x3＜0，因此x1x3＝1，
由于f（x1）＝g（x2），那么，
因此
，
由于0＜x1＜1，y＝﹣x1，在区间（0，1）上单调递减，
因此在区间（0，1）上单调递减，当x1∈（0，1）时，函数，
因此，
当且仅当时，即当时取到等号，
因此f（x3﹣x1）+g（x2﹣x1）的最小值为．
故选：C．
4．（2025 徐州校级模拟）已知函数f（x），若函数g（x）＝f（x）﹣||恰有3个零点，则实数k的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1]∪（1，+∞）
C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）
【解答】解：先证明：y＝ex在x＝0处切线方程为y＝x+1，且整个函数图象都在切线上方．
因为，
所以切线方程为y﹣e0＝1（x﹣0），
即为y＝x+1．
令u（x）＝ex﹣x﹣1，u′（x）＝ex﹣1，
当x＜0时，u′（x）＜0，u（x）单调递减，当x＞0时，u′（x）＞0，u（x）单调递增，
所以u（x）≥u（x）min＝u（0）＝0，当且仅当x＝0时取等号．
所以ex﹣x﹣1≥0，即ex≥x+1；
再证明：y＝lnx在x＝1处切线方程为y＝x﹣1，且整个函数图象都在切线下方．
因为，
所以切线方程为y﹣ln1＝1（x﹣1），即为y＝x﹣1，
令v（x）＝lnx﹣（x﹣1），则，
当0＜x＜1时，v′（x）＞0，v（x）单调递增，当x＞1时，v′（x）＜0，v（x）单调递增，
所以v（x）≤v（x）max＝v（1）＝0，当且仅当x＝1时取等号．
即lnx﹣（x﹣1）≤0，即lnx≤x﹣1，
根据上述结论，在下面的讨论中可以采用数形结合方式研究函数恰有3个零点的条件．
设g（x）＝0，
即 ，
当x＞0时：方程化简为 ，
即|lnx|＝|x﹣k|，即lnx＝x﹣k和lnx＝k﹣x．
分情况讨论：
当k＞1时，方程|lnx|＝|x﹣k|在x＞0时有3个解；
（分别来自lnx＝x﹣k（两个）、lnx＝k﹣x（一个））．
当k＝1时，lnx＝x﹣1和lnx＝1﹣x的解都是x＝1．
当k＜1时，方程在x＞0时仅有1个解（来自lnx＝k﹣x）．
当x＜0时，方程化简为，
即ex＝|x﹣k|，
即ex＝x﹣k和ex＝k﹣x．
分情况讨论：
当k＜﹣1时，方程ex＝x﹣k和ex＝k﹣x各有1个解．
当﹣1≤k＜0时，方程ex＝x﹣k无解，ex＝k﹣x有一个解．
当0≤k＜1时，方程ex＝x﹣k无解，ex＝k﹣x有1个解．
当k≥1时，方程ex＝x﹣k和ex＝k﹣x都没有解．
综上，当k＞1，x＞0时，函数g（x）有3个零点；
当x＜0时，函数g（x）无零点，
此时共有3个零点；
当k＜﹣1，x＜0时，函数g（x）有2个零点；
当x＞0时，函数g（x）有1个零点，
此时总有3个零点；
其他区间：g（x）的零点个数不足3个，不符合条件．
故选：A．
5．（2025春 南通校级月考）已知函数f（x）＝sincosωx（ω＞0）在[0，]上有且仅有三个零点，则ω的取值范围是（　　）
A．（，） B．[，] C．[4，] D．[4，）
【解答】解：函数f（x）＝sincosωx2sin（），
函数f（x）＝sincosωx（ω＞0）在[0，]上有且仅有三个零点，
就是sin（）在[0，]上有且仅有三个解，则2k或2kπ；
∴，解得．
故选：D．
6．（2025春 广陵区校级期中）已知函数f（x）﹣k，下列说法错误的是（　　）
A．f（x）的值域为（﹣1，+∞）
B．若g（x）有2个零点，则k＝0或k＝1
C．若g（x）的3个零点分别为：x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则x1x2x3的取值范围为（2，3）
D．若g（x）有1个零点，则k＜0或k＞1
【解答】解：作出函数的图象，如图所示：
对于A，当0＜x≤2时，f（x）∈[0，+∞），
当x＞2时，f（x）∈（﹣1，1），
所以f（x）的值域为（﹣1，+∞），故A正确；
令g（x）＝f（x）﹣k＝0，
则f（x）＝k，
对于B，若g（x）有2个零点，
则f（x）的图象与y＝k有两个交点，
则k＝0或k＝1，故B正确；
对于C，若g（x）的3个零点，
则f（x）的图象与y＝k有三个交点，则0＜k＜1，
因为x1＜x2＜x3，
所以0＜x1＜1＜x2＜2＜x3＜3，
且，
则x1x2＝1，x1x2x3＝x3＝3﹣log2（k+1）∈（2，3），故C正确；
对于D，若g（x）有1个零点，
则f（x）的图象与y＝k有一个交点，
则﹣1＜k＜0或k＞1，故D错误．
故选：D．
7．（2025春 高邮市月考）已知函数，g（x）＝f（x）﹣2ax，若函数g（x）有5个零点，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意，可知：
①当x＝0时，g（0）＝f（0）﹣0＝0，
故x＝0为g（x）的1个零点．
②当x≠0时，
由g（x）＝f（x）﹣2ax＝0，
可得2a，
即y＝2a与有4个交点，
当x＜0时，，
设，x＞0，
则，
令h′（x）＝0，得x，
则函数h（x）在单调递增，在上单调递减，
又，
作出的图象，如图所示：
则必有，解得．
所以实数a的取值范围为（，）．
故选：D．
8．（2025 江苏三模）已知四点均在函数f（x）＝log2的图象上，若四边形ABCD为平行四边形，则四边形ABCD的面积是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵函数f（x）＝log2，
由f（2）＝1可得，∴a＝b+2，
由f（）＝0可得，∴a＝1，
解得：a＝4，b＝2，
∴f（x），
设点C，D的横坐标分别为x1，x2，由题意可知，则，∴，
由f（x2）﹣f（x1）＝1得：，
∴，
∴x1x2＝2x2﹣4x1，把代入解得或﹣4，
又∵点C不与B重合，∴x1＝﹣4，∴C（﹣4，3），
∴，，
故平行四边形ABCD的面积S＝||，
故选：B．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025 金坛区校级二模）设函数，则下列结论正确的是（　　）
A．存在实数x0使得f（x0）＝f'（x0）
B．方程f（x）＝3有唯一正实数解
C．方程f（x）＝﹣1有唯一负实数解
D．f（x）＝1有负实数解
【解答】解：由题意可知，函数，
f'（x）x2﹣4x+2（3x﹣2）（x﹣2），
对于A，当x＝2时，f（x）＝f'（x）＝0，故正确；
令x3﹣2x2+2xx2﹣4x+2，
因为f'（x）（3x﹣2）（x﹣2），
所以当x∈（﹣∞，）∪（2，+∞）时，f'（x）＞0；
当x∈（，2）时，f'（x）＜0，
所以函数y＝f（x）的单调递增区间为（﹣∞，），（2，+∞），单调递减区间为（，2），
如图所示：
所以f（x）极大值＝f（），f（x）极小值＝f（2）＝0，
所以方程f（x）＝3有唯一正实数解，故B正确；
方程f（x）＝﹣1有唯一负实数解，故C正确；
f（x）＝1有唯一正数解，故D错误．
故选：ABC．
（多选）10．（2025春 邗江区校级期中）下列说法正确的是（　　）
A．方程的解在（1，2）内
B．函数f（x）＝x2﹣x﹣6的零点是（3，0），（﹣2，0）
C．函数y＝2x﹣x2有两个不同的零点
D．用二分法求函数f（x）＝3x+3x﹣8在区间（1，2）内零点近似值的过程中得到f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则零点近似值在区间（1.25，1.5）上
【解答】解：对于A，设，易知函数g（x）在R上单调递增，
又，
则函数g（x）在（1，2）上存在零点，即方程的解在（1，2）内，选项A正确；
对于B，零点不是点，选项B错误；
对于C，作出函数y＝2x和y＝x2的图象如下所示，
由图象可知，函数y＝2x﹣x2有三个不同的零点，选项C错误；
对于D，函数f（x）＝3x+3x﹣8在区间（1，2）上单调递增，由零点存在性定理可得，零点近似值在区间（1.25，1.5）上，选项D正确．
故选：AD．
（多选）11．（2025春 南京校级月考）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），将y＝f（x）的图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象．若g（x）为偶函数，且最小正周期为，则下列说法正确的是（　　）
A．y＝f（x）的图象关于对称
B．f（x）在上单调递减
C．的解集为
D．方程在上有且只有三个相异实根
【解答】解：将函数f（x）＝sin（ωx+φ）的图象上所有点向右平移个单位长度，
可得sin（ωxω+φ），
然后横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），
可得，
因为g（x）的最小正周期为，所以，解得ω＝2，
即，
因为g（x）为偶函数，
所以，
解得，
又因为0＜φ＜π，当k＝﹣1时，可得，
所以，
．
对于A，当时，，
所以y＝f（x）的图象关于对称，故A正确；
对于B，因为，
所以，
因为函数y＝sinx在[，]上单调递减，在（，]上单调递增，
所以f（x）在上先单调递减后单调递增，故B错误；
对于C，由，得，cos4x，
即，
解得，
所以的解集为，故C正确；
对于D，由，得，
即，
所以（sin2xcos2x），
即，
所以，解得，
又因为，
所以，
所以方程在上有3个相异实根，故D错误．
故选：ACD．
三．填空题（共3小题）
12．（2024秋 常州期末）若函数f（x）＝ax2﹣cosx+a﹣1在（﹣1，1）上恰有一个零点，则实数a的值为 　2　 ．
【解答】解：因为f（﹣x）＝ax2﹣cosx+a﹣1＝f（x），
所以函数y＝f（x）为偶函数，
所以函数在（﹣1，1）上的零点必成对出现，
又因为函数在（﹣1，1）上只有一个零点，
所在此零点必为x＝0，
所以f（0）＝﹣1+a﹣1＝0，
解得a＝2．
故答案为：2．
13．（2023春 苏州校级月考）已知函数若k＝0，则不等式f（x）＜2的解集为 　（﹣1，ln2）　 ；若f（x）恰有两个零点，则k的取值范围为 　（e，+∞）　 ．
【解答】解：k＝0时，f（x），
f（x）＜2等价为或，
解得0≤x＜ln2或﹣1＜x＜0，
所以﹣1＜x＜ln2；
由f（x）恰有两个零点等价为ex＝kx（x≥0）和kx2﹣x+1＝0（x＜0）的实根的个数的和为2．
当k＝0时，ex＝kx（x≥0）的解的个数为0，kx2﹣x+1＝0（x＜0）的实根的个数为0，不符题意；
当k＜0时，ex＝kx（x≥0）无解，kx2﹣x+1＝0（x＜0）的实根的个数为1，不符合题意；
当k＞0时，kx2﹣x+1＝0（x＜0）没有实数解，
则ex＝kx（x≥0）有两解，
设g（x）（x＞0），g′（x），
可得g（x）在（1，+∞）递增，在（0，1）递减，可得g（x）的最小值为g（1）＝e，
当k＞e时，y＝g（x）与y＝k有两个交点．
故答案为：（﹣1，ln2）；（e，+∞）．
14．（2025 江苏校级三模）设函数，若关于x的方程[f（x）]2﹣3f（x）+2＝0的解的个数是 　5　 ．
【解答】解：因为[f（x）]2﹣3f（x）+2＝0，
即[f（x）﹣1][f（x）﹣2]＝0，
解得f（x）＝1或2，
当f（x）＝1时，
若x≤0，则8x+1＝1，无解；
若x＞0，|log6x|＝1，故log6x＝1或log6x＝﹣1，
解得x＝6或，
当f（x）＝2时，若x≤0，则8x+1＝2，解得x＝0，
若x＞0，|log6x|＝2，故log6x＝2或log6x＝﹣2，
解得x＝36或，
所以方程[f（x）]2﹣3f（x）+2＝0的解的个数有5个．
故答案为：5．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 工业园区校级期中）如图，一个直角走廊的宽分别为a，b，一铁棒与廊壁成θ角，该铁棒欲通过该直角走廊，求：
（1）铁棒长度L（用含θ的表达式表示）；
（2）当a＝b＝2米时，能够通过这个直角走廊的铁棒的长度的最大值．
【解答】解：（1）由图形可得L（0＜θ）；
（2）当a＝b＝2米时，L，
设t＝sinθ+cosθsin（θ），
由0＜θ，可得θ，即有sin（θ）≤1，
则1＜t．
又t2＝1+2sinθcosθ，即有sinθcosθ，
则L，
由y＝t在t∈（1，]上递增，可得t，即θ时，ymax＝4，
所以能够通过这个直角走廊的铁棒的长度的最大值为4．
16．（2025春 盐城期中）设函数（y＞0）．
（1）若f（3，y）＝a0且a2＝27，求；
（2）当m＝﹣3时，求f（6，y）展开式中系数最大的项；
（3）当m＞0时，设n是正整数，t为正实数，实数t满足f（n，1）＝mnf（n，t），求证：．
【解答】解：（1）由题可得．
所以，
则m2＝9，
故m＝±3，
令y＝1可得各项系数之和为64或﹣8；
（2）当m＝﹣3时，，
其展开式的通项为，r＝0，1，2，…，6，
设展开式的系数为，r＝0，1，2，…，6，
r为偶数时系数为正，r为奇数时系数为负，
又a0＝1，a215×9＝135，a415×81＝1215，a61×729＝729，
所以f（6，y）展开式中系数最大的项为T5＝1215y﹣4；
（3）证明：由f（n，1）＝mnf（n，t），
可得（1+m）n，
即1+m，
所以m，
所以f（2025，1000）＝（1）2025
＝（1）2025
＞1
＞1+2
＝7，
而7f（﹣2025，t）＝777，
所以原不等式成立．
17．（2023春 江苏校级期中）如图，有一块空地△OAB，其中OA＝3km，∠OAM＝60°，∠AOB＝90°．当地政府计划将这块空地改造成一个度假区，拟在中间挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上，且∠MON＝30°，挖出的泥土堆放在△OAM地带上方便建造景观，剩下的△OBN地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在△OAN的周围安装防护网．设∠AOM＝θ，
（1）当时，求θ的值，并求此时防护网的总长度；
（2）为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小，求：△OMN面积的最小值．
【解答】解：（1）因为空地△OAB，其中OA＝3km，∠OAM＝60°，∠AOB＝90°，
所以，AB＝6km，又，
所以根据余弦定理可求出，
又，即，
所以，又∠AOM为锐角，所以∠AOM＝θ＝30°，
所以∠AON＝∠AOM+∠MON＝60°＝∠A，
所以△OAN是等边三角形，
所以△OAN的周长＝3OA＝9km，即防护网的总长度为9km．
（2）设∠AOM＝θ（0°＜θ＜60°），则∠AON＝θ+30°，∠OMA＝120°﹣θ，∠ONA＝90°﹣θ．
则，
所以，所以，
又，即，所以，
所以
，
当2θ+60°＝90°，即θ＝15°时，△OMN的面积取得最小为．
18．（2024秋 阜宁县期末）已知函数f（x）满足f（x）+2f（﹣x）＝3x2+2x+3，函数g（x）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若不等式g（log2x）﹣klog2x≤0在x∈[4，8]上恒成立，求实数k的取值范围；
（3）若关于x的方程2g（|lnx|）4m﹣2＝0有四个不同的实数解，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）因为f（x）+2f（﹣x）＝3x2+2x+3，
所以f（﹣x）+2f（x）＝3x2﹣2x+3，
故联立上述方程组，解得f（x）＝x2﹣2x+1．
（2）由（1）知，f（x）＝x2﹣2x+1，．
因为不等式g（log2x）﹣klog2x≤0在x∈[4，8]上恒成立，
所以在x∈[4，8]上恒成立，
设t＝log2x，则t∈[2，3]，所以在t∈[2，3]上恒成立，
所以，在t∈[2，3]上恒成立，
因为r∈[2，3]，所以当时，取得最大值，最大值为，
所以在r∈[2，3]上恒成立，则，
所以k的取值范围是．
（3）方程等价于2lnx，
即2|lnx|2﹣（4m+6）|lnx|+6m﹣5＝0，|lnx|≠0，
令|lnx|＝t，则2t2﹣（4m+6）t+（6m﹣5）＝0（t≠0），
因为方程有四个不同的实数解，
所以2t2﹣（4m+6）t+（6m﹣5）＝0（t≠0），有两个不同的正根t1t2，
记h（t）＝2t2﹣（4m+6）t+（6m＝5），所以，．
综上，m的取值范围为{m|}．
19．（2024秋 苏州期末）已知函数f（x）＝loga（1﹣x）+mloga（1+x）（a＞0且a≠1）．请从以下两个条件中选择一个作为已知．解答下面的问题．
条件①：f（x）+f（﹣x）＝0；条件②：f（x）﹣f（﹣x）＝0．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分．
（1）求实数m的值；
（2）当a＝2时，判断函数g（x）＝f（x）+xm+1在区间（﹣1，0）上的零点个数，并说明理由；
（3）已知x∈（0，1），若f（x）＞2，当且仅当，求实数a，n的值．
【解答】解：（1）如果选①，由于函数f（x）的定义域为（﹣1，1），
那么根据f（x）+f（﹣x）＝0，
得f（x）+f（﹣x）＝loga（1﹣x）+mloga（1+x）+loga（1+x）+mloga（1﹣x）
，
对于任意x∈（﹣1，1）都成立，因此m＝﹣1；
如果选②，由于函数f（x）的定义域为（﹣1，1），
那么根据f（x）﹣f（﹣x）＝0，
得f（x）﹣f（﹣x）＝loga（1﹣x）+mloga（1+x）﹣loga（1+x）﹣mloga（1﹣x）
，
对于任意x∈（﹣1，1）都成立，因此m＝1．
（2）如果选①，当a＝2时，．
由于函数在区间（﹣1，0）上单调递减，
且函数y1＝log2μ在定义域上单调递增，因此在区间（﹣1，0）上单调递减，
又由于在定义域上单调递减，
因此在区间（﹣1，0）上单调递减．
又由于函数g（x）的图象连续不间断，
且，，那么，
因此函数g（x）在（﹣1，0）上有唯一的零点．
如果选②，当a＝2时，．
由于函数μ＝1﹣x2在（﹣1，0）上单调递增，
函数y1＝log2μ在定义域上单调递增，因此在区间（﹣1，0）上单调递增，
又由于函数y2＝x+1在定义域上单调递增，
因此在区间（﹣1，0）上单调递增．
又由于函数g（x）的图象连续不间断，
且，，
因此函数g（x）在（﹣1，0）上有唯一的零点．
（3）如果选①，由于x∈（0，1），如果f（x）＞2，
当且仅当，因此f（x）＞2在区间（0，1）上的解集为，且．
根据第一问知函数，
如果a＞1，那么，无解，因此舍去．
如果0＜a＜1，那么，解得，
因此，那么，解得n＝1，，
如果选②，由于x∈（0，1），如果函数f（x）＞2，当且仅当，
因此f（x）＞2在区间（0，1）上的解集为，且．
由（1）知，
若a＞1，则1﹣x2＞a2＞1，无解，舍去．
若0＜a＜1，则0＜1﹣x2＜a2，所以1﹣a2＜x2＜1，
所以，所以，则，
解得，n＝1．
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